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文档简介

任意角的三角函数的数学教案 【教学目标：】 1通过对初中锐角三角函数定义的掌握任意角三角函数的定义法并掌握用单位圆中的有向线段表示三角函数值 2掌握已知角终边上一点坐标求四个三角函数值（即给角求值问题） 【教学重点：】 任意角的三角函数的定义 【教学难点：】 任意角的三角函数的定义正弦、余弦、正切这三种三角函数的几何表示 【教学用具：】 直尺、圆规、投影仪 【教学步骤：】 1设置情境 角的范围已经推广那么对任一角是否也能像锐角一样定义其四种三角函数呢本节课就来讨论这一问题 2探索研究 （1）复习锐角三角函数 我们已经学习过锐角三角函数知道它们都是以锐角为自变量以比值为函数值定义了角的正弦、余弦、正切、余切的三角函数本节课我们研究当角是一个任意角时其三角函数的定义及其几何表示 （2）任意角的三角函数定义 如图1设是任意角的终边上任意一点的坐标是当角在第一、二、三、四象限时的情形它与原点的距离为则 定义：比值叫做的正弦记作即 比值叫做的余弦记作即 图1 比值叫做的正切记作即 同时提供显示任意角的三角函数所在象限的课件 提问：对于确定的角这三个比值的大小和点在角的终边上的位置是否有关呢 利用三角形相似的知识可以得出对于角这三个比值的大小与点在角的终边上的位置无关只与角的大小有关 请同学们观察当时的终边在轴上此时终边上任一点的横坐标都等于0所以无意义除此之外对于确定的角上面三个比值都是惟一确定的把上面定义中三个比的前项、后项交换那么得到另外三个定义 比值叫做的余切记作则 比值叫做的正割记作则 比值叫做的余割记作则 可以看出：当时的终边在轴上这时的纵坐标都等于0所以与的值不存在当时的值不存在除此之外对于确定的角比值分别是一个确定的实数所以我们把正弦、余弦正切、余切正割及余割都看成是以角为自变量以比值为函数值的函数以上六种函数统称三角函数 （3）三角函数是以实数为自变量的函数 对于确定的角如图2所示分别对应的比值各是一个确定的实数因此正弦余弦正切分别可看成从一个角的集合到一个比值的集合的映射它们都是以角为自变量以比值为函数值的函数当采用弧度制来度量角时每一个确定的角有惟一确定的弧度数这是一个实数所以这几种三角函数也都可以看成是以实数为自变量以比值为函数值的函数 即：实数角（其弧度数等于这个实数）三角函数值（实数） （4）三角函数的一种几何表示 利用单位圆有关的有向线段作出正弦线余弦线正切线如下图3 图3 设任意角的顶点在原点始边与轴的非负半轴重合终边与单位圆相交于点过作轴的垂线垂足为；过点作单位圆的切线这条切线必然平行于轴设它与角的终边（当为第一、四象限时）或其反向延长线（当为第二、三象限时）相交于当角的终边不在坐标轴上时我们把都看成带有方向的线段这种带方向的线段叫有向线段由正弦、余弦、正切函数的定义有： 这几条与单位圆有关的有向线段叫做角的正弦线、余
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