《北工大数值分析》PPT课件.ppt

数值分析NumericalAnalysis,董君良北京工业大学/理学院dongjl,计算方法,话说数学数学是什么？,1.数学是关于数和形的学问,数代数：数量关系的科学,有序思维占主导,培养逻辑推理能力；,形几何：空间形式的科学,空间想象、形象思维占主导,培养直觉能力和洞察力.,数学是一门研究现实世界中数量关系和空间形式的科学-恩格斯,数学的三大核心领域,分析(MathematicalAnalysis),代数(Algebra),几何(Geometry),2.数学科学按内容可分成五大学科,应用数学(Appliedmathematics)着限于说明自然现象，解决实际问题，是纯粹数学与科学技术之间的桥梁,纯粹数学(Puremathematics)专门研究数学本身的内部规律撇开具体内容，以纯粹形式研究,计算数学(Computationmathematics),运筹与控制(Operation,从线性到非线性;,从局部到整体,从简单到复杂;,从连续到间断,从稳定到分岔;,从精确到随机、到模糊;,计算机的使用.,首先是表现在现代数学的新领域和高层次中，其次是数学向一切学科与社会部门的渗透和应用。,现代数学发展的新趋向,计算机的应用,例子求,functionmysum=mysum(n)mysum=0Fori=1:1:nmysum=mysum+i;endmysum,如果线性方程组,的系数行列式不等于零，即,Crammer法则,那么线性方程组有解，并且解是唯一的，可以表示为：,例：求解一个n阶线性方程组，如果使用克莱姆法则，需要计算n+1个n阶行列式，在不计加减运算情况下，至少需要n!(n2-1)次乘除运算。当n=20时，用每秒运算30亿次（P43.0G）的计算机求解时，大约需要10000年的时间。,而如果使用高斯（Gauss）消元法，,高斯消去法总的乘除运算量为：,大约需要3060次乘除运算，不到一秒钟就能完成。,科学计算,科学计算ScientificComputing(计算科学ComputationalScience),使用数学、统计与计算器的技术，借助计算机高速计算的能力，来解决现代科学、工程、经济或人文中的复杂问题,狭义的科学计算是针对某些特定的数学问题，设计有效的计算方法来求解，即为数值计算/数值分析/计算方法/计算数学,科学计算是一门工具性、方法性、整合性的新学科，是各种科学与工程计算领域（如：气象、地震、核能技术、石油探勘、航天工程、密码解译等）中不可缺少的工具,计算数学是科学计算的核心与基础,科学计算已成为当今科学研究的三种基本手段之一，是数学将触角伸向其他学科的桥梁。,科学计算,随着计算机的高速发展，数值计算方法已深入到各个科学研究领域，计算性交叉学科不断涌现，如计算力学、计算物理、计算化学、计算生物学、计算经济学等,科学计算,使用计算机进行科学计算、数据处理及分析已成为人类科技活动的主要方法之一。熟练地使用计算机进行科学计算，已成为科技工作者的一项基本技能,科学计算,利用计算机解决实际问题通常分下面几个过程：,实际问题,数学模型,数值方法,程序设计,上机实现,应用举例,问：今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？九章算术,例：一个古老的数学问题,应用举例,线性方程组数值求解教材第五、六章,应用举例,例：人口预测,表格中是我国1950年到2005年的人口数（见中国统计年鉴），试预测未来的人口数,插值与曲线拟合教材第二、三章,应用举例,例：铝制波纹瓦的长度问题,建筑上用的一种铝制波纹瓦是由机器将一块平整的铝板压制而成。假若要求波纹瓦长4英尺，每个波纹的高度(从中心线)为1英寸，且每个波纹以近似2英寸为一个周期。求制做一块波纹瓦所需铝板的长度L。,应用举例,这个问题就是要求由函数f(x)=sinx给定的曲线从x=0到x=48英寸间的弧长L，即:,数值积分与数值微分教材第四章,上述积分为第二类椭圆积分，无法用普通方法来计算,应用举例,矩阵特征值计算教材第八章,例：Google搜索引擎,1998年创立，目前市值近2000亿,G:GoogleMatrix,“theworldslargestmatrixcomputation”x:PageRankvector“The$25,000,000,000Eigenvector”SIAMReview，2006,Gx=x,eTx=1,搜索引擎：给定关键词，如何从几十万、几百万的海量网页中找出最有用的信息解决思路网页索引确定网页和查询的关系分类,线性代数在Google中的应用,Http网页链接示意图,基本原理“从优质的网页链接过来的网页必定还是优质网页”超链接ABA对B投一票若A的质量高（如QQ），则该投票分数高,PageRank（衡量网页质量）,PageRank示意图,网页链接矩阵,by“网络爬虫”,Google矩阵,问题：已知Google矩阵（网页邻接矩阵），如何求出PageRank?首先，PageRank可以表示为向量R=R1,R2,Rn,PageRank（衡量网页质量）,PageRank是Google矩阵的主特征向量Google矩阵A记A=AT（关注被链接）A（注意每列为和1向量）,PageRank是主特征向量,由于网页矩阵规模巨大（数量级约为240240），无法采用常规矩阵运算，因此通常采用迭代的方法求解,令x=PageRank，则求解x=AxA的最大特征值为1(主特征值)x是主特征值1对应的特征向量,计算方法的任务,计算方法/数值分析的任务,设计求解各种实际问题的高效可靠的数值方法,有效：易于在计算机上实现运算只包括加、减、乘、除以及逻辑运算可靠：收敛性稳定性等有理论保证高效：尽可能地节省计算时间和存储空间即计算复杂性好,对于同一问题，不同的算法在计算性能上可能相差百万倍或者更多！,对求得的数值解的精度进行评估,研究数值算法在计算机上的实现,计算方法,例：求解一个n阶线性方程组，如果使用克莱姆法则，需要计算n+1个n阶行列式，在不计加减运算情况下，至少需要n!(n2-1)次乘除运算。而使用高斯消去法，只需约2n3/3次乘除运算,数值方法特点,数值分析就是研究数值问题的算法，其特点,方法是近似的，所以求出的解是有误差的,与计算机紧密结合：上机实现,掌握一门语言：C语言或Fortran语言熟悉一种数学软件：Matlab，Maple或Mathematica,有可靠的理论分析，,有好的计算复杂性,数值试验,基本概念,解析解、精确解、真解、真值：是一种包含分式、三角函数、指数、对数甚至无限级数等基本函数的解的形式数值解、近似解：利用数值分析的方式来求得数值算法：求问题的数值解的方法,算法的可靠性包括：收敛性，稳定性，误差估计等,算法的评价（优劣）,时间复杂度（计算机运行时间）空间复杂度（所占用的计算机存储空间）逻辑复杂度（影响程序开发的周期以及维护的难易程度）,好的算法有可靠的理论分析以及计算复杂性的算法,课程信息,数值分析（第五版）,教材：,李庆扬等编著，清华大学出版社，2008,数值分析全程导学及习题全解（第5版）,教材配套辅导书：,清华大学出版社，2010,参考资料,第三种科学方法：计算机时代的科学计算石钟慈著，清华大学出版社，院士科普书系，2000科学计算导论（第2版）（英文影印版）M.T.Heath著，清华大学出版社：McGraw-Hill，2001现代科学计算蔡大用，白峰杉，科学出版社，2000数值线性代数徐树方等，北京大学出版社，2000,参考资料,主要内容,插值法函数逼近数值积分和数值微分线性方程组的直接解法和迭代解法非线性方程（组）的数值求解矩阵特征值与特征向量的计算常微分方程的数值解法,所需知识,微积分高等代数、线性代数常微分方程Matlab编程,所需知识,考试方式,期末80%平时20%（