托勒密定理在解题中的应用.pdf

嘲删磷 河北省晋州市第 四中学数学组 苑建广 托勒密( P t o l e my ， 古希腊数学家) 定理内容简单 ， 形式优美 ， 是经典的平 面几何命题之一 其证明思路 及应用方法历来被视作启智发思的 良好素材 今予管 窥， 供同行参考 1 托勒密定理的证明 定理 ： 圆内接 四边形 中， 两条 对角线 的乘积 等于两组对边 的乘 积之和 如图 1 ， 四边形 AB C D 内 接于0， AC、 BD是其对 角线 ， 则 有 AC B D=AB C D+AD B C 析证 ： 此定理证法颇 多， 为配 合基础教学 ， 这里仅介绍 “ 构造相 似形” 的证法 ( 1 ) 待证式左端有一项 ， 右端 有两项 ， 可尝试把左端分成 两项 ， 比如取 BD上一点 M ( 设其分 B D 图 2 为z、 Y两段) ， 则左端=AC B D -AC z 十AC Y， 只需证 AC z A BC D及 AC y =AD B C同时 成立即可 结合 图形特征 ， 可令 B C M一 AC D， 又 C B M 一 C AD ( 如 图 2 ) ， 故 C B M C AD， 可 得 AC B M=BC AD ； 又易得 BC A= MC D， 且 B AC = MDC，故 ABC DMC，可 得 AC MD=AB DC 两式相加得待证结论 ( 2 ) 若“ 试 图从得 出结 论 左端”出发 ， 可 将 AC 、 B D分置 于某两个 相似三 角形 中且使 AC、 BD为非 对应 边 ( 为 什 么? ) 由于 图3 M AC在AADC中， 结合 l 一 2 ， 可构造 以 BD为一 边与AAD C相似的三角形 ， 如图 3 ， 延长 B C至 M ， 使 BDM= ADC， 则ADC BD M_ 则 ACB D = AD B M=AD B C+AD MC， 比较待证 式， 转 为证AB DC =AD MC， 即AB DC MD， 这一 点由 DAB= MC D及 ADB一 C D M 易得 ， 思 路再次被顺利打通 评注： ( 1 ) 为“ 转化线段积” 而“ 分割” ， ( 2 ) 为“ 产生 线段积” 而“ 补充” ， 都是以“ 构造相似三角形” 为目的 在满足 了“ 特征结 论需要 ” 的同时 ， “ 释放 了 图形 内 涵” ， 思维过程科学严谨 ， 值得借鉴学习 2 托勒密定理的应用 托勒密定理的结论串联 了圆内接 四边形 的四条 边及两条对角线 ， 对运用 的环境要求 比较宽松 ， 只要 一 个 四边形内接于某 圆即可运用 用其解证题 目， 常 可取得简捷明快、 清新别致的效果 2 1 辨识图形。 直接运用托勒密定理 例 1 ( 2 0 0 4 广州市中考) 如图 4 ， 四边形 AB C D为 圆内接 四边形 ， 对 角线 AC、 B D 相交于 点 O， 在不添加辅助线 的情况下 ， 请写 出由已知条件可得出的三个 图4 不同的结论： ( 1 ) ； ( 2 ) ； ( 3 ) 解析： 显然 由托勒密定理可得到一个结论 ， 即 AC BD AB CD+AD BC 例 2 ( 2 0 0 4 天津 市中考 ) 如图 5 ， 正AAB C 内接 于 0O， 点 P是劣弧白e上任一点， P A 与 BC 交于点 E， 有如 下结 论 ： P A P B+ P c ； 一南+壶； P A P EP B PC 其中正确的结论为 图 5 维普资讯 f I l l羞t 。 蠢 I t 意纛 蠢 。 、 2 o o z i f _ 1 - 2II I C韧 中 ) 腰雕I J砸 1 解析 ： 由托勒 密 定理 ， 得 B C P AACP B +ABPC， 又 BCACAB， 。 PA=PB+PC， 故 正 确 若 正 确 ， 应 有 l一 南+ 壳， 此 式 显然不成立 ， 故 错 ； 可利用 x P B A X P E C而 得 故 、 正确 评注 ： 上述二例之图形 明显属于托勒密定理的运 用环境 直接运用 ， 思路清晰， 过程简捷 3 完善图形， 构造运用托勒密定理 例 3 ( 2 0 0 4 全国初数赛， 四川省初赛) 如图 6 ， 不等边AABC内接于 0， 是其 内心 ， 且 A _ l 1 0 ， 求证 AB +AC一2 BC 析证 ： 延长 A工 交0于点 D， 连结 D B、 DC、 I B 由“ 内心” 性 质可知 l = 2一 3 ， 4 ； 5 进而 推知 DB=DC( 设 D B 长 为 ) 由 DBI= 3 + 5 一 1 + 4 DI B， 推知 DB=DI = 由“ 垂 径定理” ， 推知 AI =DI = ； 在 四边形 AB DC中运用 托勒密定理 ， 可得 AB DC+ACB D=BC AD， 即 AB +AC BC 2 ， 故 AB+AC 一2 BC 图 6 图 7 例 4 ( 2 0 0 3 南京 市 中考) 如 图 7 ， O0与O0 交于A， B两点， 点 0在O0 上， 0 的弦 O C交 AB 于点 D ( 1 ) 求证： O A。 =O C 0 D； ( 2 ) 若 Ac+B C= 0c， 0 的半 径 为 r ， 求 证 AB= r 析证 ： ( 1 ) 略 ； ( 2 ) 连结 0lB， 则 O A=OB=r ， 由托 勒密定理可得 AB OC =O A B C+OB AC， 即 AB 0C = = ： r BC +r ACr( BC+AC ) 一r 3 O C， 故 AB= 3 r _ 评注： 例3 4 中， 有了“ 圆” ， 却没有完整的圆内接 四边形 通过连线 完形， 建构 出托勒密定理 的运用环 境 ， 巧妙地达到了常规办法难以企及的效果 例 5 证明勾股定理 析证 ： 如图 8 ， 把 Rt AABC绕斜边 AC 中点 0旋 转 1 8 0 。 ， 点 B落至 D 处， 作出矩形 ABC D 的外接 圆， 连结 BD 由托勒密定理得 AC B D=AB C D+BC AD， 而 ACBD， ABC D， B C=AD， 故 AC 2 = AB。 +BC2 图 8 图 9 C 例 6 ( 2 0 0 2 黄 冈市中考) 如 图 9 ， 梯形 ABC D 中， ADB C， ABDC， BD_ l I DC， B D 平分 ABC ， 若梯形周长为 2 0 c m， 求此梯形的中位线长 解析： 作 出等腰 梯 形 的外接 圆， 易 知 1 一 2 一 3 ， AB=AD， 设 ABAD=DC= ， 则 BC一 2 O 一3 ， 连结 AC， 则 AC=BD， 由托 勒密定理得 AC BD=AD BC+AB C D， 即 BD。 = ( 2 03 x ) + 。= 2 0 x 一2 。 ；又B D 一 B C 2一 Dc 2 一 ( 2 0 3 x ) 。 一 。 一8 x 。 一1 2 0 x+4 0 0， 、 二式 联立 ， 解得 一4 或 =1 0 ( 舍去) ， 则 AD一4 ， B C=8 ， 故中位线长为A_ 一6 c m , 厶 例 7 ( 2 0 0 2 山 东省 中考) 如 图 l O ， 正五边形 ABC DE中， 对角线 AC =6 ， 则其边长为 解析 ： 正五边形必 有外接 圆， 连结 DA， DB， 则有 ACB D=AD=6 ， 设 AB=BCC D- - a ， 在四边形 ABC D 中， 运用托勒密定理得 AC B D=AB C D+ BC AD， 即 3 6 口 +6 a ， 解之 ， 得 口 1 一一3 3 ( 舍 去) ， 4 2一一3 +3 图 1 0 图 l l 例 8 ( 第 2 1届俄 罗斯竞赛) 已知正七边形 A1 A2 A7 ， 求证 ： 1 一 1 十 1 析证 ： 作 出 正七 边 形 的外 接 圆， 如 图 1 1 ， 连结 A1 A ， A。 A 在四边形 A1 A。 A A 中， 运用托勒 密定 理得 A1 A4 A3 A5 一A1 A5 A3 A4 +A1 A3 A4 A5 ， 又 维普资讯 。 A3 A5 = A1 A3，A1 A5 一A1 A4，A3 A4 一 A4 A 5 一A1 A2 ， A1 A4A1 A3 一 A1 A4A1 Az + A1 A3 1 A1 A z ， 两 边 同 除 以 A1 AzA A3A A t ， 得 一1_ L A1 A3。Al A4 例 9 ( 1 9 7 7 ， 美国中学生竞 赛) 如果用 a 、 b 、 d分别表示正九 边形的边长 、 最短对角线 和最长 对角线 ， 求证 ： dn +b 析证 ： 作 出正九边形的外接 圆， 连结相关对角线 ， 如图 1 2 ， 则 A2 A4= A3 A5 一 A4 A6= b ， A1 A5 图 1 2 一 A1 A6= d，设A1 A4 一A2 As =c ，在 四 边 形 A2 A3 A A。中， 运用托 勒密定理 可得 b 。 =a c +a 。 ； 在四边形 A A A A 中， 运 用 托勒 密 定理 可得 =a d +a c 一得 b 。 一b d=a -a d ， 整理得 d a + b 评注 ： 例 5 9利用了矩形 ( 正方 形) 、 等腰梯形 、 正多边形有外接 圆的特征 ， 巧构“ 辅 助圆” ， 妙用托勒 密定理 ， 释放题图内涵 ， 别致新颖 例 1 0 ( 2 0 0 5 天津市中考) 在AAB C中， A， B， C所对的边分别用 a， b ， c 表示 ( 1 ) 如图 1 3 ( 1 ) ， 在ABC中， A=2 B且 A 一6 0 。 ， 求证 ： a =b ( b 十c ) ； ( 2 ) 如果一个三角形的一个内角等于另一个内角 的 2 倍 ， 我们称此三角形为“ 倍角三角形” ， 本题第( 1 ) 问的三角形是一个特殊的倍角三角形 ， 那么对于任意 的倍角三角形 A BC， 如图 1 3 ( 2 ) ， 其 中 A；2 B， 关 系式 a 。 =b ( b +c ) 是否仍成立?并证明你的结论 ； ( 3 ) 试求出一个倍 角三角形的三条 边长， 使这三 条边长恰为三个连续正整数 ( 2 ) ( 3 ) 图 1 3 解析： ( 1 ) 、 ( 3 ) 问不再赘述 ， 对一般情形 ( 2 ) 进行 证明： 结论 a 一6 ( 6+c ) 一b 。 +b c与托勒密定理结论 形式相 同， 故联想 到作 出AAB C 的外 接 圆 0o， 设 A的平分 线交 0o 于 D， 连 结 DB、 DC( 如 图 1 3 ( 3 ) ) ， 则 1 一 2 一 3 一 4 ， 易推知 DB=DC=AC 一6 ， B C=AD=a ， 由托勒密定理可知 ADB C=AC BD +AB C D， 即 a =b z +6 c =b ( b +c ) 例 1 1 已知 a 、 b 、 、 3 ， 为正 实数， 且 a +b =1 ， 。 +3 ， 一1 ， 求证 ： a x+b y 1 析证 ： 如 图 1 4 ， 作 直 径 A B =1的 圆， 在 A B 两 侧 任 作 R t AC B、 Rt ADB， 使 AC=a ， B C=b ， B D=z ， AD一3 ， ； 由勾股 D 图 1 4 定理 ， 显然可知 a 、 b 、 、 3 ， 满足题设 条件 ， 由托勒密定 理得 a x +b y =ABC D=1 C DaB=1 评注： 例 1 O 1 1注意到待证结论 的形式特征 ， 通 过作三角形的外接圆， 进而巧妙构 图做 出圆内接四边 形， 再次巧释已知条件内涵， 看似神秘的辅助线却又 信手拈来 ， 轻松 自然 例 1 2 ( 笫 3 6 届美国中学生 竞赛) 在ABC中， C一3 A， BC 一2 7 ， AB=4 8 ， 求 AC=? 解 析 ：作 LAC D = B C E = B aC X A BC的外接 圆于 D、 E两点， 连结 AD、 DE、 E B、 DB( 如 图1 5 图 1 5 ) ， 则 AD=D E=B E：B C =2 7 ， D CAB一4 8 设 D B=C E=x ， 在 四边形 DE B C中， 由托勒密定理得 =2 7 。 +4 8 2 7 ， 一4 5 ； 在四边形 AC B D 中， 由托勒密 定理得 4 8 。 =4 5 AC +2 7 。 ， 解得 A C