数学建模56046.doc

承 诺 书我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。参赛队员 ：1. * 2. * 3. * 日期：2010年6月13日时间就是生命紧急撤离的数学模型 摘要：“本着以人为本”的要求和保护生命安全的目的，本文通过对“紧急撤离问题”分析及探索与观察提出合理的假设，运用数学分析得出想要的函数图像、方法，建立了以二次函数为主体的数学模型，给出最佳撤离方案，解决了紧急情况下求最短撤离时间的问题。关键词：分析与探索 最短撤离时间 数学函数模型 提出建议一、问题的提出最近世界各地接连发生强烈地震，造成重大人员伤亡，遇难者大多都是被倒塌的建筑掩埋或挤压而失去自己的生命，在人员聚集的场所（如学校）伤亡尤其惨痛。如果地震发生之时人们能在第一时间迅速撤离建筑物，那么伤亡可能会小的多！因此，在灾难发生时，建筑物内的人员能否迅速撤离是有关人身安全的大问题。对于提高特定的建筑物，大家最关心建筑物内所有的人全部撤离完毕所需的时间，以便于安排建筑物的出口以及人员撤离的方案。【下图（图1，图2，图3）是某教学楼的地层平面图、立面图和楼梯处的剖面图】针对这个问题需要提出一个合理可行的最佳撤离方案，使这楼的人员有组字，有秩序的迅速疏散、撤离。问题1：分析这栋楼的人员有组字，有秩序的迅速疏散、撤所用的时间。问题2：根据建立的数学模型确立最佳撤离方案。问题3：为方便紧急撤离就该楼设计方案提出合理化建议。问题4：若教学楼按预计方案建设，考虑到不同年龄段的运动能力不同，为方便紧急撤离，给学校提供合理的宿舍安排方案。二、问题分析在教学楼内的人员大部分集中在宿舍内，且在撤离时需要依次经过出宿舍，从宿舍到楼梯间，下楼梯3个阶段。但由于离开各个宿舍所花的总时间相同，人们在到达走廊向楼梯前进过程中，因下楼梯时间慢，使得大部分人都被堵在楼梯口和走廊上了，因而楼梯上所花的时间总体上是由楼梯上所花时间决定的，楼梯和走廊又是同时进行的，所以走廊上的时间就包含在了下楼梯所需的时间内了。因此只要确定出出宿舍和下楼梯的时间就能求得撤离所需的总时间：只要确定影响这两个阶段撤离时间的因素及相互作用就能分析确定最佳撤离方案，并对该设计方案提出合理化建议。三、基本假设（1）、每间宿舍的容量是A人；（2）、每间宿舍只有一个;（3）、撤离时有负责人组织大家有秩序的尽快离开建筑物。（4）、离开宿舍时，忽略拥挤情况，视为匀速离开；（5）、下楼为匀速；（6）、楼梯有足够的承受负载能力；（7）、忽略最快到大楼梯人所用的极少时间。四、定义符号说明（1）、设总的撤离时间为t总（s）；（2）、设出宿舍的时间为t出（s）；（3）、下楼梯的时间为t下（s）；（4）、所有经过楼梯的总人数为（人）；（5）、设出宿舍的速度为出（人s）;（6）、设下楼梯的速度为v下（人s）;（7）、设最大楼梯速度为vm（人s）；（8）、下楼梯时并排前行人数为（人）；（9）、设并排下楼梯时达最大下楼速度时楼梯上并排前行的最优人数为a（人）；（10）、设每间宿舍的容量是A人五、模型的建立和求解通过分析我们知道总撤离时间 t总=t出 + t下 1由于当某一种出宿舍的模式确定后，v出即为定值出宿舍的时间 t出=Av出 2下楼梯的速度受楼梯上并排人数x的影响，虽x的增大速率是呈现出先增大后减少的变化趋势并当x趋于无穷时速率趋于0,。为此，我们结合实际情况抽象出二次函数模型，即：下楼梯的速度 v下= -（x-a）2+Vm 3那么，下楼时间 t下= 4结合1234式得t总=t1+t2 =+m/( -（x-a）2+Vm) =+即撤离时所用的时间： t总 =+六、结果分析由上述分析知疏散撤离所用最短时间 t总 =+对于一栋确定的楼来说，每间宿舍的容量是确定的。要想节约撤离时间，就要提高撤离宿舍的速度V出及下楼梯的速度。要想提高出宿舍的速度有两种途径，一是增加门的宽度扩大人流量，另一种是增加出口数。另一方面，要想提高下楼梯的速度 就要使下楼梯的人数在单位时间内控制在最优值a.。影响最优值的因素有楼梯的宽度楼梯越宽最优值越大，楼梯设计模式楼梯设计模式越好，越有利于下楼梯，最优值越大，因此，要适当的增加宿舍的出口宽度，一间宿舍一般设置两个出口，同时要适量增加楼梯宽度。合理设计楼梯下面我们将在 给出选择最优下楼梯方式。我们认为在两楼梯横向并排下来，从而获得最短的撤离时间。七、模型评价与改进我们将从楼房中紧急撤离所用时间的计算抽象为一个以二次函数做为主体比如简单的数学模型，并对其中的一些情况进行合理的简化与解释。提出最佳设计方案以及楼房设计中的一些细节建设的合理化建议。但未找到下楼梯的最大速度Vm时对应a与它影响因素关系式。在下楼过程中没有考虑到身体不好的弱势群体对时间的影响，缺乏更精确的定量分析，没有考虑楼梯个数以及设置位置的影响。由此计算出来的下楼时间与实际时间存在一定的误差。八、最佳撤离方案根据建立的数学模型，我们确定最佳撤离方案是：当发生地震或听到撤离信号时，立即有一人打开宿舍门，同时时组织各成员依门宽度案多人（一般是两人或三人）并排的方式离开宿舍进入楼道，赶往楼梯。在此期间各离开宿舍的人员依楼道楼梯宽度，按多人并排方式快速离开楼道，下楼梯转往安全地带。在选着楼梯时各宿舍按就近原则有组织撤离。在赶往楼梯时应遵循先到先下，不争不抢的原则。在必要时一楼同学可选择跳窗。同时离开楼门的同学不应该在楼门处逗留，应迅速转往其他安全地带。九、楼房设计的合理化建议为方便紧急撤离，结合实际我们就该楼的设计方案给出的合理化建议是：增加宿舍楼的出口数，可在楼两端各增加一个楼梯间，楼梯出口门均添加传感器，尤其自动控制开闭。此两个出口均在紧急情况发生时使用（当地壳震动达到一定程度即房屋的抗震能力）。一方面，便于平常宿舍楼的管理；另一方面，紧急情况发生时可以极大缩短下楼的时间，迅速撤离建筑物。由于增大楼梯宽度的同时也增加了占地面积，因而其宽度能容纳4人就够了。楼梯长度不能太长，太长不仅占用空间而且耗费下楼时间，但也不能太陡，因为这样不安全。所以要综合各因素去一个合适的坡度。我们从资料上得知坡度为20度到45度为宜，儿最好的坡度为30度。但在人流大的公共场所如教学楼这应该选取20度为宜。当坡度平缓时又有足够的空间则可以采取三段的楼梯样式，这也增大了楼梯的通行量，同时可适当增加楼梯宽度及楼道宽度。另外，学校还要加强学生素质的培养。平时可以进行一系列的演习活动以便应对紧急情况发生时带来的恐慌！十、针对不同年龄的学生，提出的合理安排宿舍的方案民用建筑都有共性，宿舍和宿舍人员疏散和撤离相同，若教学楼按照我们改进宿舍楼的方案改进教学楼，为了使不同年龄的学生尽快撤离，总体上按低年级低楼层，高年级高楼层的原则进行安排。一般情况下按一年级一楼，二年级二楼，三年级三楼，死你四年级四楼。 若低年级人数较多则安排在楼梯附近。 防盗