求极限的方法总结

精品文库求极限的几种常用方法一、 约去零因子求极限例如求极限limx1x4-1x-1，本例中当x1时，x-10，表明x与1无限接近，但x1,所以x-1这一因子可以约去。二、 分子分母同除求极限求极限limxx3-x23x3+1型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 limxx3-x23x3+1=limx1-1x3+1x3=13三、 分子(母)有理化求极限例:求极限limx(x3+3-x2+1)+分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。例：求极限limx01+tanx-1+sinxx3=本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子是解题的关键。四、 应用两个重要极限求极限 两个重要的极限1limx0sinxx=1 (2)limx(1+1x)x=limx0(1+x)1x=e在这一类型题中，一般也不能直接运用公式，需要恒等变形进行化简后才可以利用公式。例：求极限limx(x+1x-1)x第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出1，再凑1+1x，最后凑指数部分。 limx(x+1x-1)x=limx(1+2x-1)x=limx1+1x-122x-1(1+2x-1)122=e2五、 利用无穷小量的性质求极限 无穷小量的性质：无穷小量与有界量的乘积还是无穷小量。这种方法可以处理一个函数极限不存在但有界，和另一个函数的极限是零的极限的乘积的问题。例：求limxsinxx因为sinx1, limx1x=0,所以limxsinxx=0六、 用等价无穷小量代换求极限常见等价无穷小有： 当x0时,xsinxtanxarcsinxarctanxln1+xex1， 1-cosx12x2，(1+ax)b-1abx等价无穷小量代换,只能代换极限式中的因式。此方法在各种求极限的方法中应作为首选。例：limx0xln(1+x)1-cosx=limx0xx12x2=2例：求极限limx0sinx-xtan3x-limx0sinx-xtan3x=limx0sinx-xx3=limx0cosx-13x2=limx0-12x23x2=-16七、 利用函数的连续性求极限这种方法适合求复合函数的极限。如果u=g(x)在点x0处连续gx0=u0，而f(u)在点x0处连续，那么复合函数y=f(gx)在点x0处连续。limxx0f(gx)=fgx0=f(limxx0g(x) 也就说，极限号limxx0与f可以互换顺序。例：求limxln(1+1x)x令y=lnu,u=(1+1x)x因为lnu在点u0=limx(1+1x)x=e处连续 所以limxln(1+1x)x=lnlimx(1+1x)x=lne=1八、用洛必达法则求极限洛必达法则只能对00或型才可直接使用，其他待定型必须先化成这两种类型之一，然后再应用洛必达法则。洛必达法则只说明当也存在limf(x)g(x)等于A时，那么limf(x)g(x)存在且等于A。如果limf(x)g(x)不存在时，并不能断定limf(x)g(x)也不存在，这是不能用洛必达法则的，而须用其他方法讨论limf(x)g(x)。例：求极限limx0lncos2x-in(1+sin2x)x2limx0lncos2x-in(1+sin2x)x2=limx0-2sin2xcos2x-sin2x1+sin2x2x=limsin2x2x(x0-2cos2x-11+sin2x)=3九、用对数恒等式求limf(x)g(x)极限limx01+ln1+x2x=limx0e2xln1+ln1+x=elimx02ln1+xx=e2对于1型未定义式，也可以用公式limf(x)g(x)1=elimfx-1g(x) 因为limf(x)g(x)=elimgxln(1+fx-1)=elimfx-1g(x) 十、利用两个准则求极限夹逼准则：若一正数N。当nN时，有xnynzn,limxxn=,limxzn=a，则有limxyn=a.利用夹逼准则求极限关键在于从yn的表达式中，通常通过放大或缩小的方法找出两个有相同极限值的数列xn和zn，使得xnynzn。例xn=1n2+1+1n2+2+1n2+n 求xn的极限。因为xn单调递减，所以存在最大项和最小项 xn1n2+n+1n2+n+1n2+n=nn2+n xn1n2+1+1n2+1+1n2+1=nn2+1nn2+nxnnn2+1 又因为limnnn2+n=limnnn2+1=1所以limnnn2+nxn=1单调有界准则：单调有界数列必有极限，而且极限唯一。利用单调有界准则求极限，关键先要证明数列的存在，然后根据数列的通项递推公式求极限。例，证明下列极限存在，并求其极限。y1=a ,y2=a+a,y3=a+a+ayn=a+a+a+a证明：从这个数列看显然是增加的。用归纳法可证。又因