几类常见的地图投影.ppt

第四章几类常见的地图投影,测绘学院乔俊军制作,第四章几类常见的地图投影,4.1圆锥投影4.2方位投影4.3圆柱投影4.4伪圆锥投影、伪圆柱投影、伪方位投影和多圆锥投影,4.1圆锥投影,一、圆锥投影的一般公式及其分类二、等角圆锥投影三、等面积圆锥投影四、等距离圆锥投影五、圆锥投影变形分析及应用,一、圆锥投影的一般公式及其分类1、圆锥投影的定义假设一个圆锥面与地球面相切或相割，根据某种条件（等角、等面积、透视等）将地球上的经纬线投影到圆锥面上，然后沿圆锥面的一条母线（经线）切开展平，即得到圆锥投影。,4.1圆锥投影,ConicProjection,4.1圆锥投影,2、圆锥投影的分类（1）按圆锥面与地球面的切割关系分：切圆锥投影、割圆锥投影（2）按圆锥面和地球面的位置关系分：正轴圆锥投影、横轴圆锥投影、斜轴圆锥投影（3）按投影的变形性质分：等角圆锥投影、等积圆锥投影、任意圆锥投影,4.1圆锥投影,3、圆锥投影的一般公式以正轴圆锥投影为例纬线投影后为同心圆圆弧，其半径是纬度的函数，函数形式由投影性质和投影条件决定。经线投影后为相交于一点的直线束，且夹角与经差成正比。,以某一经线的投影为X轴，以X轴和最南边纬线s的交点为原点，建立平面直角坐标系：,4.1圆锥投影,设平面梯形ABCD是地球面上微分梯形ABCD的投影，根据经纬线长度比定义有：,在正轴圆锥投影中，经纬线投影后仍保持互相垂直，所以经纬线方向就是主方向，即,4.1圆锥投影,m=a，n=b，根据面积比和角度变形定义有：,现将圆锥投影的一般公式汇集如下：,在这组公式中，由于的函数形式未定，函数式中还有待定的圆锥系数，需要根据投影条件进一步确定。,4.1圆锥投影,二、等角圆锥投影（LambertConformalConicProjection）根据等角条件=0，即m=n，来确定=f（）的函数形式：,4.1圆锥投影,4.1圆锥投影,现将等角圆锥投影的一般公式汇集如下：,在这组公式中，仍然有常数和K需要确定，但由于确定的方法比较多，所以各种不同形式的等角圆锥投影也比较多。,4.1圆锥投影,1、单标准纬线等角圆锥投影设圆锥面切于地球0的一条纬线上，即n0=1，则,4.1圆锥投影,2、双标准纬线等角圆锥投影设圆锥面割于地球1、2的两条纬线上，即n1=n2=1。,相减得,4.1圆锥投影,3、应用举例：百万分一地图等角圆锥投影1962年国际制图会议规定：1100万地图按国际标准分幅，采用双标准纬线等角圆锥投影，自赤道起按纬差4分带，对每带单独进行投影。北纬84以北和南纬80以南的地区，则采用等角方位投影。,双标准纬线规定如下：,投影常数按下式计算：,4.1圆锥投影,自1978年以后，我国1100万地图采用等角圆锥投影，分幅与国际分幅一致，但标准纬线与国际上稍有差异，并规定根据边纬与中纬长度变形绝对值相等的条件确定投影常数，即：,4.1圆锥投影,对于纬差4为一带的圆锥投影来说。2之值为910-8，它对投影计算和实用精度，都没有什么影响，故可略去。,两条标准纬线的近似式为：,4.1圆锥投影,三、等面积圆锥投影（AlbersEquivalentConicProjection）根据等面积条件P=1，即mn=1，来确定=f（）的函数形式：,为经差1弧度，纬差从0到纬度的椭球面上的梯形面积。,4.1圆锥投影,现将等面积圆锥投影的一般公式汇集如下：,在这组公式中，仍然有常数和c需要确定，但由于确定的方法比较多，所以各种不同形式的等面积圆锥投影也较多。,4.1圆锥投影,1、单标准纬线等面积圆锥投影设圆锥面切于地球0的一条纬线上，即n0=1。则,4.1圆锥投影,2、双标准纬线等面积圆锥投影设圆锥面割于地球1、2的两条纬线上，即n1=n2=1。,相减得：,相除得：,4.1圆锥投影,四、等距离圆锥投影根据等距离条件，即m=1，来确定=f（）的函数形式：,s为赤道到某纬度的经线弧长。,4.1圆锥投影,现将等距离圆锥投影的一般公式汇集如下：,在这组公式中，仍然有常数和c需要确定，但由于确定的方法比较多，所以各种不同形式的等距离圆锥投影也较多。,4.1圆锥投影,1、单标准纬线等距离圆锥投影设圆锥面切于地球0的一条纬线上，即n0=1。则,4.1圆锥投影,2、双标准纬线等距离圆锥投影设圆锥面割于地球1、2的两条纬线上，即n1=n2=1。,相减得：,相除得：,4.1圆锥投影,五、圆锥投影变形分析及应用1、由切割关系决定的变形特点（1）圆锥投影的各种变形均是纬度的函数，与经度无关，同一纬线上的变形是相同的。（2）在切圆锥投影中，标准纬线上的长度比n0=1，其余纬线上长度比均大于1，并向南、北方向增大。（3）在割圆锥投影中，在双标准纬线处的长度比n1=n2=1，变形自标准纬线向内、向外增大，在双标准纬线之间，n1。,4.1圆锥投影,2、由投影性质决定的变形特点（1）等角圆锥投影：经线长度比与纬线长度比相等（m=n），角度没有变形，但面积变形较大（P=m2）。（2）等面积圆锥投影：经线长度比与纬线长度比互为倒数（mn=1），面积没有变形，但角度变形较大。（3）等距离圆锥投影：变形介于等角投影与等面积投影之间，经线长度比保持为1（m=1），纬线长度比与面积比相等（n=P）。,4.1圆锥投影,3、圆锥投影的应用地球上广大陆地位于中纬度地区，并且圆锥投影经纬线形状简单，最适于制作中纬度沿东西方向延伸的地图。（1）等角圆锥投影：多用于方向保持正确的图种，如我国的百万分一地形图、中国全图、分省地图等。（2）等面积圆锥投影：多用于面积比保持正确的图种，如分布图、类型图、区划图等自然资源图与社会经济图。（3）等距离圆锥投影：多用于各种变形要求适中的图种，如原苏联出版的苏联全图采用此投影。,4.1圆锥投影,4、标准纬线的选择（1）如果制图区域纬差不大，可采用单标准纬线圆锥投影。单标准纬线的选择非常简单，只需要制图区域南北边纬线的纬度S，N取中数，并凑整即可。（2）如果制图区域纬差较大，应采用双标准纬线圆锥投影。双标准纬线的选择可以使用下列近似公式求得。应用该式推求标准纬线，基本符合边纬与中纬长度变形绝对值相等的条件。,4.1圆锥投影,4.2方位投影,一、方位投影的一般公式及其分类二、等角方位投影三、等面积方位投影四、等距离方位投影五、透视方位投影六、方位投影变形分析与应用,一、方位投影的一般公式及其分类1、方位投影的定义假设一个平面与地球面相切或相割，根据某种条件（如等角、等面积、透视等）将地球上的经纬线投影到该平面上，即得到方位投影。,4.2方位投影,AzimuthalProjection,4.2方位投影,2、方位投影的分类（1）按平面与地球面的切割关系分：切方位投影、割方位投影（2）按平面和地球面的位置关系分：正轴方位投影、横轴方位投影、斜轴方位投影（3）按投影的变形性质分：等角方位投影、等积方位投影、任意方位投影,4.2方位投影,（4）按投影的透视关系分,外心透视方位投影正射透视方位投影,球心透视方位投影内心透视方位投影球面透视方位投影,4.2方位投影,3、方位投影的一般公式以正轴方位投影为例纬线投影后为同心圆，其半径是纬度的函数，函数形式由投影性质和投影条件决定。经线投影后为同心圆的直径，两经线间的夹角与相应经差相等。为了扩大方位投影的应用，我们引进球面极坐标的概念，通过地理坐标与球面极坐标的换算，仍然利用正轴方位投影的公式，可以很方便地实现斜轴和横轴投影的计算以及经纬网的构成。,4.2方位投影,为了计算方便，我们视球体为正球体，这样我们便可以采用由球面三角推导出的地理坐标（，）与球面极坐标（Z，）之间的转换公式。假定新极点坐标（0，0），计算斜轴或横轴方位投影时，可分别采用以下两组公式计算球面极坐标：,正轴和横轴都是斜轴的特例,斜轴,横轴,4.2方位投影,投影平面与地球面的位置关系如图所示，以Q为极点的等高圈和垂直圈分别代替纬圈和经圈。这时过A点等高圈的天顶距Z相当于90，过A点垂直圈的方位角相当于，有：,以通过Q点的经线的投影作X轴，过Q点与经线投影相垂直的直线作为Y轴，则平面直角坐标公式为：,4.2方位投影,设平面梯形ABCD是地球面上微分梯形ABCD的投影，根据垂直圈和等高圈长度比的定义，有：,主方向，即1=a,2=b，根据面积比和角度变形定义有：,由于本投影的垂直圈和等高圈投影后仍保持互相垂直，所以垂直圈和等高圈方向就是,4.2方位投影,现将方位投影的一般公式汇集如下：,在这组公式中，由于的函数形式未定，需要根据投影条件进一步确定。,4.2方位投影,二、等角方位投影根据等角条件=0，即1=2，来确定=f（Z）的函数形式：,在该公式中，仍然有常数K需要确定，下面我们讨论确定常数K的方法。,4.2方位投影,为了确定常数K，我们设投影平面割于地球Zk的一条等高圈上，即2K=1，有：,4.2方位投影,现将等角割方位投影的公式汇集如下：,4.2方位投影,当ZK0时，即得到等角切方位投影的公式,对于正轴情况下，只需要用代替，用90代替Z，即得到正轴等角方位投影公式。,4.2方位投影,三、等面积方位投影根据等面积条件P=1，即12=1，来确定=f（Z）的函数形式：,4.2方位投影,现将等面积方位投影的公式汇集如下：,对于正轴情况下，只需要用代替，用90代替Z，即得到正轴等面积方位投影公式。,4.2方位投影,四、等距离方位投影根据等距离条件，即1=1，来确定=f（Z）的函数形式：,4.2方位投影,现将等距离方位投影的公式汇集如下：,对于正轴情况下，只需要用代替，用90代替Z，即得到正轴等距离方位投影公式。,4.2方位投影,五、透视方位投影透视方位投影是用透视原理来确定=f（Z）的函数形式，如图所示：,4.2方位投影,现将透视方位投影的公式汇集如下：,在这组公式中，由于视点D的位置还没有设定，需要根据视点D的位置进一步确定透视关系。,4.2方位投影,根据视点与球心的相对距离D，透视方位投影可分为：1、当D=时，正射投影。2、当RD时，外心投影。3、当D=R时，球面投影。4、当0DR时，内心投影。5、当D=0时，球心投影。,4.2方位投影,根据投影面与地球的相对位置（0，0），透视方位投影可分为：1、当0=90时，正轴投影。2、当0=0时，横轴投影。3、当0090时，斜轴投影。,4.2方位投影,六、方位投影变形分析与应用1、由切割关系决定的变形特点方位投影的各种变形均是天顶距Z的函数，与方位角无关。同一等高圈上的变形是相同的。在切方位投影中，切点Q上没有变形，其变形随着远离Q点而增大。在割方位投影中，所割的等高圈上2=1，其他变形自所割等高圈向内、向外增大。,4.2方位投影,2、由投影性质决定的变形特点等角方位投影：垂直圈长度比与等高圈长度比相等（1=2），角度没有变形，但面积变形较大（P=12）。等面积方位投影：等高圈长度比与垂直圈长度比互为倒数（12=1），面积没有变形，但角度变形较大。等距离方位投影：变形介于等角投影与等面积投影之间，垂直圈长度比保持为1（1=1），等高圈长度比与面积比相等（2=P）。,4.2方位投影,3、方位投影的应用方位投影应用广泛，特别是在编制航海图、航空图和世界地图集中多有应用。就制图区域形状而言，适宜于具有圆形轮廓的地区。就制图区域地理位置而言，两极地区：正轴投影；赤道地区：横轴投影；其它地区：斜轴投影。,4.2方位投影,4.3圆柱投影,一、圆柱投影的一般公式及分类二、等角圆柱投影三、高斯-克吕格投影四、通用横轴墨卡托投影五、等面积圆柱投影六、等距离圆柱投影七、圆柱投影变形分析与应用,一、圆柱投影的一般公式及分类1、圆柱投影的定义假设一个圆柱面与地球面相切或相割，根据某种条件（如等角、等面积、透视等）将地球上的经纬线投影到圆柱面上，然后沿圆柱面的一条母线（经线）切开展平，即得到圆柱投影。,4.3圆柱投影,CylindricalProjection,4.3圆柱投影,2、圆柱投影的分类（1）按圆柱面与地球面的切割关系分：切圆柱投影、割圆柱投影（2）按圆柱面和地球面的位置关系分：正轴圆柱投影、横轴圆柱投影、斜轴圆柱投影（3）按投影的变形性质分：等角圆柱投影、等积圆柱投影、任意圆柱投影,4.3圆柱投影,3、圆柱投影的一般公式以正轴圆柱投影为例纬线投影后为平行直线，其间距x是纬度的函数，函数形式由投影性质和投影条件决定。经线投影后也为平行直线，且与纬线正交，各经线的间距y与相应经差成正比。,以某一经线的投影作X轴，以赤道的投影作Y轴，则平面直角坐标公式为：,4.3圆柱投影,设平面矩形ABCD是地球面上微分梯形ABCD的投影，根据经纬线长度比定义，有：,在正轴圆柱投影中，经纬线投影后仍保持互相垂直，所以经纬线方向就是主方向，即m=a,n=b，根据面积比和角度变形定义，有：,4.3圆柱投影,现将圆柱投影的一般公式汇集如下：,在这组公式中，由于x的函数形式未定，y中还有待定系数，需要根据投影条件进一步确定。,4.3圆柱投影,二、等角圆柱投影根据等角条件=0，即m=n，来确定x=f（）的函数形式：,4.3圆柱投影,公式中仍有常数需要确定。,4.3圆柱投影,常数需要根据圆柱面与地球面的切割关系来确定，在割圆柱投影中，圆柱面割于赤道南北两条同名纬线K上，则：,当K=0=0时，圆柱面切于赤道上，割圆柱投影变为切圆柱投影，则,ac是地球椭球体的长半径。,4.3圆柱投影,现将等角圆柱投影的一般公式汇集如下：,当K=0时，圆柱面切于赤道上，这时=ac，ac是地球椭球体的长半径。,4.3圆柱投影,4.3圆柱投影,等角圆柱投影：荷兰地图学家墨卡托（MercatorGerardus15121594）于1569年创建，故又名墨卡托投影。它不仅保持了方向和相对位置的正确，而且使等角航线在图上表现为直线，这一特性对航海具有重要的实用价值。等角航线：是地球表面上与经线相交成相同角度的曲线。在地球表面上除经纬线以外，等角航线都是以极点为渐近点的螺旋曲线。大圆航线：是地球表面上通过两点间的大圆弧线，即两点间的最短距离线。,4.3圆柱投影,三、高斯-克吕格投影1、高斯-克吕格投影（等角横切椭圆柱投影）的定义是以椭圆柱为投影面，使地球椭球体的某一经线与椭圆柱相切，然后按等角条件，将中央经线两侧各一定范围内的经纬线投影到椭圆柱面上，再将其展成平面而得。,该投影由德国数学家、天文学家高斯（C.F.Gauss，17771855）及大地测量学家克吕格（J.Krger，18571923）共同创建。,4.3圆柱投影,2、高斯-克吕格投影的三个条件（1）中央经线和赤道投影后为互相垂直的直线，且为投影的对称轴。（2）投影具有等角性质。（3）中央经线投影后保持长度不变。3、高斯-克吕格投影的直角坐标公式长度比公式和子午线收敛角公式（略）。,4.3圆柱投影,这是高斯-克吕格投影6带内长度变形表,4.3圆柱投影,4、高斯-克吕格投影变形规律（1）除中央经线上长度比m0=1以外，其它任何点上长度比均大于1。（2）在同一条纬线上，离中央经线越远，则变形越大，最大值位于投影带的边缘。（3）在同一条经线上，纬度越低，变形越大，最大值位于赤道上。（4）本投影属于等角性质，故没有角度变形，面积比为长度比的平方。,4.3圆柱投影,我国基本比例尺地形图12.5万、15万、110万、125万、150万均采用6分带的高斯-克吕格投影。15千、11万地形图则采用3分带的高斯-克吕格投影。,为保证精度，高斯-克吕格投影采用6或3分带投影方法：,4.3圆柱投影,为了保证我国范围内的高斯-克吕格投影y坐标均为正值，规定将每带的纵坐标轴向西平移500公里。,yA=245863.7myB=-168474.8m,yA通=20745863.7myB通=20331525.2m,4.3圆柱投影,四、通用横轴墨卡托投影1、通用横轴墨卡托投影（UniversalTransverseMercator，简称UTM投影）的定义其实质是等角横割圆柱投影，它是以圆柱为投影面，使圆柱割于地球椭球体的两条等高圈上，然后按等角条件，将中央经线两侧各一定范围内的经纬线投影到圆柱面上，再将其展成平面而得。,4.3圆柱投影,2、UTM投影的直角坐标公式可根据高斯-克吕格投影公式0.9996得到。,3、UTM投影的变形特点（1）中央经线和赤道投影后为互相垂直的直线，且为投影的对称轴。（2）无角度变形，中央经线长度比为0.9996，距中央经线约180km处的两条割线上无变形，长度变形0.04%。（3）亦采用6或3分带投影的方法。,4.3圆柱投影,4、UTM投影与高斯-克吕格投影的区别（1）中央经线长度比不同，UTM投影是0.9996，而高斯-克吕格投影是1。（2）带的划分相同，而带号的起算不同。（3）对于中、低纬度地区，UTM投影的变形优于高斯-克吕格投影。（4）西方国家（美、英、德、法）多采用UTM投影作为国家基本地形图投影，东方国家（中、苏、蒙、朝）多采用高斯-克吕格投影作为国家基本地形图投影。,4.3圆柱投影,五、等面积圆柱投影根据等面积条件P=1，即mn=1，来确定=f（）的函数形式：,在该公式中，仍然有常数需要确定，下面我们讨论确定常数的方法。,4.3圆柱投影,常数需要根据圆柱面与地球面的切割关系来确定，在割圆柱投影中，圆柱面割于赤道南北两条同名纬线K上，则：,当K=0=0时，圆柱面切于赤道上，割圆柱投影变为切圆柱投影，则,ac是地球椭球体的长半径。,4.3圆柱投影,现将等面积圆柱投影的一般公式汇集如下：,当K=0时，圆柱面切于赤道上，这时=ac，ac是地球椭球体的长半径。,4.3圆柱投影,4.3圆柱投影,六、等距离圆柱投影根据等距离条件，即m=1，来确定=f（）的函数形式：,在该公式中，仍然有常数需要确定，下面我们讨论确定常数的方法。,4.3圆柱投影,常数需要根据圆柱面与地球面的切割关系来确定，在割圆柱投影中，圆柱面割于赤道南北两条同名纬线K上，则：,当K=0=0时，圆柱面切于赤道上，割圆柱投影变为切圆柱投影，则,ac是地球椭球体的长半径。,4.3圆柱投影,现将等距离圆柱投影的一般公式汇集如下：,当K=0时，圆柱面切于赤道上，这时=ac，ac是地球椭球体的长半径。,4.3圆柱投影,4.3圆柱投影,七、圆柱投影变形分析与应用1、由切割关系决定的变形特点圆柱投影的各种变形均是纬度的函数，与经度无关。同一纬线上的变形是相同的。在切圆柱投影中，标准纬线上的长度比n0=1，其余纬线上长度比均大于1，并向南、北方向增大。在割圆柱投影中，在双标准纬线处的长度比n1=n2=1，变形自标准纬线向内、向外增大，在双标准纬线之间，n1。,4.3圆柱投影,2、由投影性质决定的变形特点等角圆柱投影：由于经线长度比与纬线长度比相等（m=n），角度没有变形，但面积变形较大（P=m2）。等面积圆柱投影：由于经线长度比与纬线长度比互为倒数（mn=1），面积没有变形，但角度变形较大。等距离圆柱投影：变形介于等角投影与等面积投影之间，经线长度比保持为1（m=1），纬线长度比与面积比相等（n=P）。,4.3圆柱投影,3、圆柱投影的应用圆柱投影应用广泛，适宜于低纬度沿纬线方向伸展的地区，并且可以表示经度大于3600的范围。特别是在编制航海图、航空图、世界时区图和世界地图集中多有应用。,4.3圆柱投影,圆锥投影、方位投影、圆柱投影之间的关系：为圆锥系数，由于圆锥展开后成为扇形，顶角不足360，而地球极点处的=360，所以01经线长度比大于1。,4.4伪圆锥投影、伪圆柱投影、伪方位投影和多圆锥投影,（3）摩尔威特（Mollweide）投影经线为椭圆曲线的等积伪圆柱投影，纬线是平行于赤道的一组平行直线，每条纬线上经线间隔相等，离中央经线经差为90的经线投影后全成一个圆，其面积等于地球面积的一半。由德国摩尔威特于1805年设计。,投影特点：P=1无面积变形S90=Searth/2赤道长度=中央经线2,4.4伪圆锥投影、伪圆柱投影、伪方位投影和多圆锥投影,（4）古德（Goode）投影美国地理学家古德（J.PaulGoode）于1923年提出在整个制图区域主要部分中央都设置一条中央经线，分别进行投影，则全图就分成几瓣，各瓣沿赤道连接在一起。,投影