（应用数学专业论文）最小二乘混合有限元方法的理论分析及其应用.pdf

山东师范大学硕士学位论文 最小二乘混合有限元方法的理论分析及其应用 丁胜 山东师范大学数学科学学院，济南，山东， 2 5 0 0 1 4 摘要 本文首先对二阶椭圆问题 彳， i v ( a v u ( x ) ) + c ( x ) u ( x ) = ，( z ) ， z q ， l 乱( z ) = 0 ， z f d ， i i ( - a v u ( x ) ) 死= 0 ， z r 、 提出了一种新的数值模拟方法一一最小二乘扩展混合有限元方法该方法将最小二 乘思想和扩展混合有限元方法相结合分析表明，这种新的方法继承了最小二乘和 扩展混合有限元的优点，即；它能同时高精度逼近未知函数，未知函数的梯度和流 体的通量；有限元空间不依赖于l b b 相容性条件；并且所形成的有限元方程组是对 称正定的等证明了格式解的存在唯一性和稳定性，得出了未知函数、未知函数的 梯度和流体的通量在日1 、l 2 和l 2 空间中的最优误差估计数值试验说明了该方 法的有效性 其次，本文对二阶抛物问题 t iu t ( z ，t ) 一v ( a v u ( x ，亡) ) = f ( x ，) ，( z ，t ) q z i u ( z ，t ) = 0 ， ( z ，) f z i l 乱( z ，0 ) = u o ( x ) ， z q 也提出了相应的最小二乘扩展混合有限元方法分别给出了半离散和全离散的最小 二乘扩展混合有限元格式，证明了所提格式的解的存在唯一性和稳定性，得到了关 于未知函数、未知函数的梯度和通量在日1 、己2 和l 2 空间中的最优误差估计数 山东师范大学硕士学位论文 值试验说明了所提格式的有效性 关键词：二阶椭圆问题，二阶抛物问题，最j 、- - - 乘，扩展混合有限元方法，误差 估计，数值试验 2 中图分类号。0 2 4 1 8 2 山东师范大学硕士学位论文 t h et h e o r ya n da p p l i c a t i o no ft h e l e a s t - s q u a r e s m i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d s d i n gs h e n g s c h o o lo fm a t h e m a t i c a ls c i e n c e s ，s h a n d o n gn o r m a lu n i v e r s i t y j i n a n ，s h a n g d o n g ，2 5 0 0 1 4 ，冀r 。c h i n a a b s t r a c t 瞄= 出h 凶墨 i ss i m u l a t e db yan e w m e t h o d ，w h i c hi sac o m b i n a t i o no fl e a s t - s q u a r e sa n de x p a n d e d m i x e df i n i t ee l e m e n t ，l e a s t - s q u a r e se x p a n d e dm i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d o u r a n a l y s i ss h o w st h a tt h en e w m e t h o di n h e r i t sa l lt h ea d v a n t a g e so fb o t h l e a s t s q u a r e s a n de x p a n d e dm i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，i e ，i tc a ne x p l i c i t l ya p p r o x i m a t et h r e e v a r i a b l e s ：t h es c a l a ru n k n o w n ，i t sg r a d i e n ta n di t sf l u x ，t h ef i n i t ee l e m e n ts p a c e sa r e n o ts u b j e c tt ot h el b b c o n s i s t e n c yc o n d i t i o n ，a n dt h er e s u l t i n gs y s t e mi ss y m m e t r i c a n dp o s i t i v ed e f i n i t e t h es t a b i l i t y , e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h es o l u t i o nf o r t h ew e a kf o r ma r ep r o v e d o p t i m a le r r o re s t i m a t e sf o rt h es c a l a ru n k n o w n ，i t s g r a d i e n ta n di t sf l u xi nh 1 ，l 2a n dl 2 - s p a c ea r ed e r i v e d n u m e r i c a lt e s t sc o n f i r m t h ee f f i c i e n c yo ft h en e wm e t h o d t h e nw es i m u l a t et h ef o l l o w i n gs e c o n d - o r d e rp a r a b o l i cp r o b l e m 囊至季三主：v链(z，)=，(z，) ( z ，t ) q z ( z ，t ) f 正 g 毯q ， 3 出东师范大学硬士学位论文 b yl e a s t s q u a r e se x p a n d e dm i x e df i n i t em e t h o d t h es e m id i s c r e t i z a t i o na n df u l l y d i s c r e t i z a t i o nl e a s t s q u a r e se x p a n d e dm i x e df i n i t ee l e m e n tp r o c e d u r e sf o rt h i sp r o b - l e ma r ep r o p o s e d a n dw ep r o v et h es o l v a b i l i t ya n ds t a b i l i t yo ft h ep r o c e d u r e sw e p r o p o s e d n u m e r i c a la n a l y s i ss h o w st h a tt h em e t h o dc a na p p r o x i m a t et h es c a l a r u n k n o w n ，i t sg r a d i e n ta n d i t sf l u xw e l l n u m e r i c a lt e s t sc o n f i r mt h ee f f i c i e n c yo ft h e m e t h o d 。 k e y w o r d s ：s e c o n d - o r d e re l l i p t i cp r o b l e m ，s e c o n d - o r d e rp a r a b o l i cp r o b l e m ，l e a s t - s q u a r e s ，e x p a n d e dm i x e df i n i t ee l e m e n tm e t h o d ，e r r o re s t i m a t e ，n u m e r i c a lt e s t s s u b j e c tc l a s s i f i c a t i o n ：0 2 4 1 ，8 2 4 独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得酶研究成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中 不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含为获得 ( 注：如没有其他需要特别声明的，本栏可空) 或其他教育机构的学位或 证书使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在 论文中作了明确的说明并表示谢意 纛者? 歹眵一字弋够i 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，有 权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复零件和磁盘，允许论文被查阅 和借阅本人授权学校可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据 痒进行检索，可以采愿影印、缩窜或扭描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 貅歹协一字：甲级甚 签字日期；2 0 0 9 年驴2 月 签字日期：2 0 0 9 年4 n ：z 日 山东师范大学硕士学位论文 第一章引言 最小二乘方法的产生可以追溯到1 7 9 5 年，数学家g u a s s 应用最小二乘方法准 确地预测出神谷星( c e r e s ) 的运行轨道而现代的最j 、- - 乘数值方法是由b r a m b l e 和n i t s c h e 3 5 】等人于上世纪七十年代在研究椭圆边值问题时首先提出的这种方法 可形成一个条件数为o ( h _ 2 ) 的正定线性方程组，但是有限元空间需要满足c 1 光滑 性条件这种c 1 限制可通过引入中间变量将微分方程转化为一阶方程组来克服， 这就是后来由p e h l i v a n o v 、c a r e y 和l a z a r o v 1 8 - 2 3 等人发展起来的最小二乘混合 有限元方法( l s m ) 该方法同时具有最小二乘和混合有限元方法的优点并且弥补 了各自的缺陷，主要体现在；所形成的离散格式是对称正定的；可同时逼近未知函 数和通量；有限元空间无需满足c 1 光滑性条件和l b b 1 5 - 1 7 1 相容性条件，空间构 造更灵活等方面鉴于这些优点，该方法被广泛应用于求解各种问题 2 4 - 2 9 , 4 5 - 4 8 】但 是最小二乘混合有限元方法的不足之处是不能同时高精度逼近逼近未知函数、未知 函数的梯度和通量，也很难处理具有小扩散系数和复杂边界条件的问题 扩展混合有限元方法是由陈掌新在1 9 9 8 年提出的，他将其应用于线性和非线 性椭圆问题的求解 1 2 , 1 3 之后，该方法又被成功应用于抛物问题【4 3 】和积分微分方 程1 4 4 j 等问题的求解扩展混合有限元方法扩展了标准的混合有限元方法，它可同 时高精度逼近未知函数、未知函数的梯度和通量；适合处理具有复杂边界条件和小 扩散系数的问题，可以用来求解微扩散和低渗透型微分方程；在地下水动力学等问 题的模拟中得到了广泛的应用但是该方法仍然要求有限元空间满足l b b 相容性 条件，限制了空间的选择，并且所形成的方程组是非正定的，计算复杂为更好地 数值模拟实际的地下水动力问题，人们希望构造一种既能具备扩展混合有限元方法 的优点又不需要满足l b b 相容性条件，计算简单的高效数值模拟方法 本文在前人工作的基础上，将最t b - - 乘思想和扩展混合有限元方法相结合，提 出并分析了最 、- - 乘扩展混合有限元方法( l s e m ) ，深入讨论了该方法在椭圆问 题和抛物问题上的应用理论分析表明该方法同时具备了最t b = - 乘和扩展混合有限 5 山东师范大学硕士学位论文 元方法的优点，主要体现在：格式同时逼近未知函数、未知函数的梯度和通量；有 限元空间无需c 1 连续并且不受l b b 条件的限制，构造更灵活；所形成的代数方程 组是对称正定的且条件数为o ( h _ 2 ) ，便于计算；可处理具有小系数和复杂边界条件 的问题等方面 本文第二章讨论二阶椭圆问题的最t j 、- - 乘扩展混合有限元方法设qc 刺( d = 1 ，2 ，3 ) 为有界凸域，边界f = f dur ( r d o ) l i p s c h i t z 连续，考虑二阶椭圆问题 瞄= 叱h 2 q ， z f d z f n 其中v u 表示函数u 的梯度，v g 表示向量函数g 的散度，礼是q 的单位外法向 量，a = ( a i j ( z ) ) 忙l ，z q 假定系数口巧是有界的，矩阵a 是对称正定的，并假 定c ( z ) 是具有有界导数的连续有界函数 对椭圆问题( 1 1 ) 人们提出了很多数值模拟方法，如有限元方法 1 0 , 1 1 】，混合有 限元方法 5 - 9 1 ，扩展混合有限元方法 1 2 , 1 3 ，最t j 、- - 乘有限元方法【3 5 】和最小二乘混合 有限元方法 1 8 - - 2 1 l 等这些方法各有优缺点，本文基于上述考虑，对椭圆问题( 1 1 ) 提出并分析了最j 、- - 乘扩展混合有限元方法给出了最j 、- - 乘扩展混合有限元逼近 格式，并对格式的解的存在唯一性、稳定性和收敛性进行了理论分析，同时，说明 了所形成的有限元方程组是对称正定的且条件数为o ( h _ 2 ) 最后，进行数值试验， 验证了所提格式的有效性 第三章讨论二阶抛物问题的最小二乘扩展混合有限元方法设qc 刺( d = 1 ，2 ，3 ) 为有界凸域，边界r 是l i p s c h i t z 连续的，j = ( 0 ，t 】，考虑二阶抛物问题 t l 饥( z ，t ) 一v ( a v u ( x ，亡) ) = 厂( z ，t ) ， ( z ，t ) q z 钆( z ，t ) = 0 ，( z ，t ) f z ( 1 2 ) i iu ( z ，0 ) = u o ( x ) ， z q ， 其中u t ( z ，t ) = 幽o t ，v u 表示函数u 的梯度， v q 表示向量函数g 的散度， 6 山东师范大学硕士学位论文 a = ( ( z ，t ) ) 毛：1 ，( z ，t ) qx 【0 ，卅，并假定a i j 是导数有界的连续函数，矩阵a 是对称正定的，a f l 存在且有界 对抛物问题( 1 2 ) 人们提出了许多数值模拟方法，如有限元方法 1 , 2 , 3 9 , 4 0 ，混 合有限元方法 3 0 - 3 3 , 3 s 1 ，扩展混合有限元方法 1 4 , 4 3 , 4 4 , 4 9 】，h 1 - g a l e r k i n 有限元方法 3 , 4 , 3 4 , 4 1 , 4 2 l ，最小二乘混合有限元方法 2 2 - - 2 9 , 3 6 - - 3 7 , 4 5 - 4 7 等。这些方法仍然各自有其 优点和缺陷，本文对抛物问题( 1 2 ) 提出最小二乘扩展混合有限元数值模拟方法所 提格式与文【2 4 ，2 5 ，3 6 ，3 7 ，4 7 】所提格式相比，无需对范数加权，格式更为简洁自然；而 且较之文 2 8 ，2 9 】所提的分离的最小二乘混合有限元格式具有更广泛的应用范围本 文首先提出了问题( 1 2 ) 的半离散最 、- - 乘扩展混合有限元格式，证明了半离散格 式解的存在唯一性、稳定性，并对半离散格式进行了收敛性分析然后，给出了问 题( 1 2 ) 的全离散最小二乘扩展混合有限元逼近，同样，对全离散格式也进行了可解 性、稳定性和收敛性分析最后，进行数值试验，验证了所提格式的有效性 对文中出现的记号做一些必要的说明；用w 知, p ( f 1 ) 表示通常的s o b o l e v 空间， 其范数记为0 p ，q ，日七( q ) = w k , 2 ( q ) ，l 2 ( q ) = w 0 , 2 ( q ) ，当p = 2 时将p 略去 设x 是s o b o l e v 空间，西( z ，t ) 在q 【a ，6 】上适当光滑，则可定义空间妒( o ，6 ；x ) 及相应范数如下 ( 。，6 ；x ) = 西：6i l 西( - ，亡) | j 5 ，xd t 0 是适当选取的常数应用g r e e n 公式，并进一步整理，有 a ( v ，弘，g ；铆，肛，q ) = ( v - q ，v q ) + 2 ( ( 例一p ) ，v g ) + ( ( c p ) u ，( e z ) v ) + ( g ，q ) 一2 ( a 弘+ 矽v 廿，q ) + ( 么芦十z v v ，a 弘+ z v v ) 一( a p + p v ，4 p + p v 口) + ( a p ，a p ) + 2 ( v v ，p ) + ( p ，肛) + ( v v ，v v ) 一p 2 ( 口，口) + 2 p ( 铡，口) = ( v q + ( c p ) u ，v q + ( c 一) 钞) + ( a p + p v 勘一q ，a p + v 口一g ) + ( p ，p ) + 2 ( ( e f l a ) w , ，p ) + ( ( e z a ) w , ，( e z a ) v v ) 1 0 山东师范大学硕士学位论文 一( ( e f l a ) v v ，( e f l a ) v v ) + ( v v ，v v ) 一p 2 ( v v ，v v ) - f 1 2v ， ) + 2 f l ( c v ，勘) = ( v q + ( c p ) 可，v q + ( c p ) 口) + ( a p + b v v q ，a p + b v v q ) + ( p + ( e f l a ) v v ，肛+ ( e f l a ) v v ) + 2 f l ( a v v ，v v ) 一p 2 ( a v v ，a v v ) 一p 2 ( v v ，v v ) 一2 ( u ，u ) + 2 p ( 铡，刨) 2 f l ( a v v ，v v ) 一俨( a v v ，a v v ) 一2 ( v v ，v v ) + 卢( ( 2 c p ) 可，u ) ， ( 2 2 9 ) 其中e 是单位矩阵 由( 2 1 2 ) ，( 2 2 1 ) 和( 2 2 2 ) ，知 2 f l ( a v v ，v v ) 之2 p 乜。( v v ，v v ) ， 卢2 ( a v v ，a v v ) p 2 q + 2 ( v v ，v v ) ， p ( ( 2 c p ) 刀，v ) z ( 2 c o p ) c g ( v v ，v v ) 从而由( 2 2 1 0 ) ，( 2 2 1 1 ) 和( 2 2 i 2 ) ，知 a ( v ，p ，g ；刀，p ，q ) p 2 ( q 。+ c 0 睇) 一z ( i + 睇+ o t 2 ) 】i lv 口l 臣q 取= a o ( 1 + 四十o t 以) ，则有 p 2 ( q + c 0 曝) 一p ( 1 + 十q 以) 】= 百刁挈医西 ( 2 ( a 。+ c 0 曝) 一o ，0 ) 】 赤 0 因此由( 2 2 1 3 ) 和( 2 2 1 4 ) ，可得 a ( v ，弘，口；可，弘，q ) ci | v vi | 3 q ci l 钞幢n 又由o ( ；) 的定义( 2 2 6 ) ，显然有 a ( v ，p ，g ；秽，p ，q ) - l lv q + c v 憾2o ， ( 2 2 1 0 ) ( 2 2 1 1 ) ( 2 2 1 2 ) ( 2 2 1 3 ) ( 2 2 1 4 ) ( 2 2 1 5 ) ( 2 2 1 6 ) 1 1 山东师范大学硕士学位论文 a ( v ，肛，口；钞，肛，q ) - i lp + v u1 1 3 n ， n ( u ，p ，q ；v ，p ，q ) - l la 肛一q1 1 3 q 从而由( 2 2 。1 5 ) 和( 2 2 1 7 ) ，有 ( 2 2 1 7 ) ( 2 2 1 8 ) 0pl i ；，n = | lp + v v v vl 瞌n 2l l 肛+ v t ，1 1 3 ，q + 2 | lv vi 瞌q c a ( v ，肛，q ；v ，p ，口) ， ( 2 2 1 9 ) 又由( 2 2 1 8 ) 和( 2 2 1 9 ) ，有 i i 口i 瞌q = i ig a 肛+ a pl 瞌n 2l la p q1 1 3 ，n + 2f ia pl 瞌q c a ( v ，p ，q ；v ，p ，q ) ， ( 2 2 2 0 ) 进一步，由( 2 2 1 5 ) 和( 2 2 1 6 ) ，有 i lv 口1 1 3 ，q = i | v q + c v - c vj j 3 ，q 2l lv - q + c v1 1 3 ，q + 2j l 铡1 1 3 ，q c a ( v ，肛，q ；v ，p ，g ) ( 2 2 2 1 ) 综合( 2 2 。1 5 ) ，( 2 2 1 9 ) ，( 2 2 2 0 ) 和( 2 2 2 1 ) 便证得( 2 2 7 ) 口 引理2 凸( ；) 在vxaxw 中是连续的，即存在常数c 0 ，使得对任意的 ( 秽，p ，q ) vxa xw ，都有 n ( 乱，入，盯；钞，p ，口) c ( 1 l 让i i ；，n + | l 入i i g ，q + i i 仃i i 备( d i v ；q ) ) ( 2 2 2 2 ) ( 忡悒q + 憾n + | | g 幅( d i v ；q ) ) 言 证明 由o ( ；) 的定义( 2 2 6 ) 及c a u c h y 不等式，知( 2 2 2 2 ) 显然成立 口 定理1 设厂l 2 ( q ) ，则问题( 2 2 5 ) 存在唯一解( 乱，a ，仃) vxa 彬 证明考虑空间( va ，w ) ，其范数定义为 0 口i 1 , f l + 0pl i o ，n + l iql m d i v ；q ) ，v ( ，p ，口) vx ax 形 由引理1 和引理2 知三线性形式口( ；) 在空间vx axw 中是强制和连续的；另 外，当l 2 ( q ) 时，线性形式厂( ) = ( ，) 是连续的，因此由l a x m i l g r a m 引理 知( 2 2 5 ) 的解是存在唯一的 口 定理2 设l 2 ( q ) ，则格式( 2 2 5 ) 是稳定的，即存在常数c 0 ，使得 f ful 1 , f l + l la | 0 , f l + f l 盯i f 日( d i v ；n ) cl i | o ，n ，( 2 2 2 3 ) 1 2 山东师范大学硕士学位论文 证明在( 2 2 5 ) 中，令( u ，p ，q ) = ( 乱，a ，盯) ，则由引理1 知 j iul l ；，n + l i 入i 瞌q + l i 盯i i 备( d i v ；n ) c a ( u ，入，a ；u ，a ，盯) = ( ，v 盯) cl 川3 ，n 托l iv 仃旧q ， 再利用e 一不等式，便可证得( 2 2 2 3 ) 成立 口 2 3 最小二乘扩展混合有限元逼近 为简单计，我们假定q 是r 2 中的凸多边形域或r 3 中的凸多面体设五。，磊 和五，是q 的三族不同( 当然也可以相同) 的正则剖分，h u ，h a 和h 盯分别为三种 剖分中剖分单元的最大直径基于剖分五。，磊a 和五，可构造有限元空间v hcv ， a mca 和w hcw ，使得它们对于钞vn 日+ 1 ( q ) ，m u an ( h 件1 ( q ) ) d 和 q wn ( h 8 1 + 1 ( q ) ) d 具有下面的逼近性质s h i n f 1 1 可一| l o ，q + u i lu 一j ix , n c 允1i i + l ，n ， 眯i n 人f 怕一i i o , n c 埘1 ，n ， 眯i n f l lq q h c h 7 1l lq 两 口 i n f l iv ( g 一吼) j i o , n 0 ，使得 和 | f 锐u hf 1 1 , n + f fa 一久 f 1 0 , f 2 + f f 盯一f0 , t 2 c ( ：i iu | i 七+ 1 ，n + ，吸+ 1 | ial i t + 1 ，n + 尹10 盯l i s + 1 ，n ) ， ( 2 3 1 3 ) 1 1v ( 口一吼) jj o ，q c ( 缱jj uj j 七+ ，q + ，1i la j j r + 1 ，n + ，学jj 伊j i 。，+ 。，q ) ( 2 3 1 4 ) 证明令= p h u u _ l ，p = u p h u ， 叩= r h a a l l ，0 = 入一r h a ，( = h h a a h ，6 = 口i i h a ，由( 2 2 5 ) 和( 2 3 5 ) ，并结合( 2 3 6 ) ，( 2 3 8 ) 和( 2 3 1 0 ) ，可 1 4 山东师范大学硕士学位论文 得误差方程： o ( f ，叼，e ；v h ，p ，l ，q h ) = - a ( p ，0 ，j ；v h ，p ，q h ) = 一( v 6q - c p , v q h - fc v h ) 一( 8 + v j d ，p h + v 钞h ) 一( a 8 6 ，4 p 一g h ) ( 2 3 1 5 ) = - ( v 6 ，c v h ) 一( c p ，v q h ) 一( 0 ，v v h ) 一( v p ，p 1 1 ) 一( a 口一正a # h q h ) v ( v h ，p ，q h ) xa h w h 又由g r e e n 公式，知 - ( v 正c y h ) = ( 抗v ( 叫 ) ) 一( j 扎，e v h ) r = ( 6 ，c v v h ) + ( 正v h v c ) ，( 2 3 1 6 ) 从而( 2 3 1 5 ) 即为 。( ，7 7 ，( ；，舰，q h ) = ( 6 , c v v h ) + ( 6 , v h v c ) 一( 印，v ) 一( p ，v ) ( 2 3 1 7 ) - ( v p ，p _ 7 1 ) 一( a o 一正a # h ) + ( a o 一6 ，g ) 在( 2 3 1 7 ) 中令( v h ，脚，q h ) = ( 荨，叩，e ) ，并利用引理1 有 l l 蟾，q + l l 刁惦，q + l l 0 ，使得 其中i = 缸，a ，盯 面s 正v 在假定( 2 4 1 ) 下，一般的标准有限元空间都满足下面的逆性质： 1 1 ，n c 危：1l | v hi i o , f 2 ， vv h v h ， v q h l o ，q c 九；1l iq hl i 0 , n ， vq h w h ( 2 4 1 ) ( 2 4 2 ) ( 2 4 3 ) 设 张 - 毛。， 也 - 丝。和 略) 搀1 分别是空间v h ，a t , 和w h 的基，则对任意 ( 钞 ，p l l ，q h ) 讫a h v h2 帆，有 lmn 白m = 仡也，q h = 白奶 1 = 1i = l j = l 记i , 7 1 ，吲和分别表示向量( 1 ，已) ，( r h ，r m ) 和( 臼，( ) 的l 2 范 数，在假定( 2 4 1 ) 下，常见的有限元空间都满足如下的假定：存在正常数叱，屈和 戗 = 1 ，2 ) ，使得 口1 ：i i - i iv hl l o ，q 乜2 i i l ， vv h ， 角九! i 叩l 0 弘 l i o ，n 仍 i i 叩i ， v i t h a h ， 一y 1 ：i e i - i iq hi l o ，q 他 ：i ( i ， v q h w k ( 2 4 4 ) ( 2 4 5 ) ( 2 4 6 ) 定理4 假定( 2 4 2 ) 一( 2 4 6 ) 成立，并设存在h 满足h = 0 ( 也) ，i = u ，入，仃，则 线性方程组( 2 3 5 ) 的条件数为o ( h _ 2 ) 证明由引理1 和引理2 ，以及( 2 4 2 ) 和( 2 4 3 ) ，知 c l ( 1 lv hf 匡n + i | 肛 | 1 3 ，n + | iq hi l ；，n ) ) a ( v a ，t t h ，q h ；v h ，p ，i ，锄) 1 6 岛 一2 ( 1 1 口l l1 1 3 ，q + i lp 惦，q + l lq hl l ；，q ) ) ( 2 4 7 ) 山东师范大学硕士学位论文 再结合( 2 4 4 ) ，( 2 4 5 ) 和( 2 4 6 ) ，有 q d ( k 1 2 + i , 7 1 2 + l ( 1 2 ) a ( v h ，p l h ，q h ；v h ，弘 ，q h ) c 2 h d 一2 ( 1 1 2 + i , 7 1 2 + i 引2 ) ，( 2 4 8 ) 此即证得( 2 3 5 ) 的条件数为o ( h - 2 ) 口 2 5 数值试验 为验证格式( 2 3 5 ) 的有效性，我们在区域【0 ，1 】上考虑方程 裂三= = ，州0 ，1 ) ， 其中c = 1 0 ，= - - x e 霉( ( o c ) x + 3 a + c ) 容易验证方程的真解为 乱= e x x ( x 一1 ) ，a = 一e z ( z 2 + z 一1 ) ，盯= 一a e z ( z 2 + z 一1 ) ( 2 5 1 ) l 等分区域 0 ，1 】，则剖分单元为 x i ，z 件1 】( i = 0 ，1 ，三一1 ) ，步长h u = h = h 盯= h = 1 l 定义基函数( 咖) j l ：- 0 1 和 蛾) 垒。如下s 也( z ) ： 1 z k 幻z ，1 】， i ：o ，1 ，三一1 【0 ，zgk x i + i ， 帅) ： 祭蚝1 1 【0 ， z 隹x o ，x x ， i 1 + 警，z 盼1 ，巧】， 奶( z ) 。 1 + 等，z b ，巧+ 1 】， 歹= 1 ，2 ，三一1 ， 【o ， z g x j 扎巧+ 1 】， 龇) ： 1 + 书蜒x l - 1 ，x l ， 1 0 ， z g x l - 1 z 工】 1 7 山东师范大学硕士学位论文 构造有限元空间a l i l 为分片常数多项式空间，和w h 为分片线性多项式空间，即 = s p a n f 矽l ( x ) l 三1 ，人h = s p a n 也( z ) ) 乏，= s p a n 咖( z ) ) 二o 设 l 一1l 一1 l 钆h = 已他，h = 仇也，仃h = 白咖， 1 = i i = 0 j = o 则方程( 2 5 1 ) 的最t b - 乘扩展混合有限元格式可表述为： 求( 1 ，已，：一，缸一1 ，7 0 ，叩1 ，钆一1 ，白，a ，( l ) ，使得 n ( m l - 1 邑他，旨耽九，墨。白奶；，脚，咖) = ( ，v 咖+ c w h ) ， ( 2 删 v ( v h ，脚，q h ) xa hxw h 在( 2 5 2 ) 中取( v h ，舰，q h ) = ( 他z ，i i ，锄) ，则得到方程组 口( 旨岛峻，；l - o - i 统焱，尝。幺吻；咖，九，蚜) = ( 工v 妨+ c 他z ) ， ，。匕们 k 二u j j z 2 = 1 ，2 ，l 一1 ，i i = 0 ，1 ，l 一1 ， j j = 0 ，1 ，l 用m a t l a b 编程计算近似解珏 ， 和，得出真解和近似解的误差以及最小 二乘扩展混合有限元格式的收敛阶，详见表2 1 一表2 - 6 1 8 步长h 范数 0 0 1 0 0 0 50 0 0 2 5 0 o 。1 2 5 j lu u hi i i , n 0 0 2 3 3 1 7 0 5 50 0 11 8 5 6 1 2 30 0 0 5 9 7 8 3 3 30 0 0 3 0 0 1 8 3 7 l fa a hi i o ，f 2 0 0 2 4 1 6 4 1 3 50 0 1 2 0 7 0 1 7 70 0 0 6 0 3 2 11 80 0 0 3 0 1 5 3 1 7 l ld r d r hi i h ( d i v ；q ) 0 2 5 1 3 5 0 3 9 2 0 1 2 5 1 4 0 3 8 10 0 6 2 4 3 6 6 110 0 3 11 8 4 9 3 9 收敛阶 范数 且一盟 盐h 3 = 勰 h a q ：q q 至墨 地一0 0 0 5h a 一0 0 0 1 2 5 i l 让一u h | j 1 ，q 0 。9 7 5 7 5 3 2 0 60 9 8 7 8 1 7 1 2 20 9 9 3 8 9 7 5 7 3 l la hi i o ，n 1 0 0 1 4 2 0 5 5 11 0 0 0 7 1 0 2 8 71 0 0 0 3 5 4 8 3 2 f fd r d r hf h ( d i v ；q ) 1 0 0 6 1 5 2 5 3 51 0 0 3 0 8 3 2 7 21 0 0 15 4 2 7 7 4 山东师范大学硕士学位论文 步长h 范数 o 。0 董o 。50 。0 0 2 5 0 。0 0 1 2 5 | i 让一u hl i x , a 0 0 2 4 0 7 3 0 5 90 0 1 2 0 4 7 3 0 60 0 0 6 0 2 6 3 7 70 0 0 3 0 1 3 8 9 8 | | 天一天五| i o ，q 0 0 2 4 0 7 3 1 8 5o 0 1 2 雅7 3 3 90 。0 0 6 0 2 6 3 8 60 0 0 3 0 1 3 9 0 0 i i 盯一o hl i h ( d i v ；q ) 0 0 0 1 4 1 7 7 7 70 0 0 0 6 6 5 3 9 60 0 0 0 3 2 2 0 2 5 0 0 0 0 1 5 8 2 9 6 收敛酚 范数 惫= 揣，1 3 z 一躐。u u z a艇= 器憋 | | 锃一阮q 0 9 9 8 7 0 8 8 8 30 9 9 9 3 4 7 7 1 50 。9 9 9 6 6 0 3 6 2 l l 入一a , hl i o ，q 0 9 9 8 7 1 2 4 9 50 。9 9 9 3 4 9 6 4 1 0 9 9 9 6 6 1 3 8 5 | | 一o hi j h ( d i v ；n ) 1 0 9 1 3 4 6 1 3 01 0 4 7 0 4 0 1 6 11 0 2 4 5 4 8 9 7 5 步长h 范数 o0l 00050 0 0 2 50 。0 0 1 2 5 ii让一uhi | l i qo 0 2 4 0 9 8 0 4 4 0 0 1 2 0 5 4 7 0 40 0 0 6 0 2 8 3 ；7 90 0 0 3 0 1 4 5 6 0i l aah|io，q0 0 2 4 0 9 8 0 2 0 0 0 1 2 0 5 4 7 0 1 0 0 0 6 0 2 8 3 7 8 0 0 0 3 0 1 4 5 5 9 |l盯一oh l m d i v ；竭0 0 0 0 1 9 4 0 4 8 0 0 0 0 0 5 5 0 2 30 。0 0 0 0 1 9 9 6 4o o o o 0 0 8 7 8 5 收敛阶 范数 惫= 蕊0 0 x 惫一勰鲁= 器滁 f i 乱一钍 i f l ，n0 9 9 9 3 1 9 7 9 6 0 9 9 9 7 5 4 2 3 2 0 9 9 9 8 2 3 1 7 1 |aahl f o ，q 0 。9 9 9 3 1 8 7 4 4 0 。9 9 9 7 5 3 9 4 7 0 9 9 9 8 2 3 1 0 4 l | 盯一o h i h ( a i v ；n )1 8 1 8 2 9 6 3 9 5 1 4 6 2 6 4 1 0 9 7 1 1 8 4 3 5 3 7 9 1 1 9 山东师范大学硕士学位论文 通过以上各表数据可以看出，当步长h 折半递减时，误差也折半递减，误差的收 敛阶均达到了1 阶；此外，当扩散系数a 减小时，收敛阶没有降低，这与本文的理论 分析结果是一致的进一步，我们绘出真解和最小二乘扩展混合有限元解( a = 矗， h = 0 0 1 ) 的比较图，见图2 1 一图2 3 2 0 山东师范大学硕士学位论文 第三章二阶抛物问题的最小二乘扩展混