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曲阜师范大学硕士学位论文 一类二阶半线性中立型微分方程的振动性研究 摘要 微分方程振动性理论是微分方程理论中的一个十分重要的分支，它具有深 刻的物理背景和数学模型，近年来，这一理论在应用数学领域中已取得了迅速 的发展和广泛的重视有大批学者从事这方面的理论研究，取得了一系列较好 的结果研究微分方程振动性理论中，有很好的发展前景，并有较高的实用价 值微分方程解的振动性也是微分方程解的重要性态之一随着自然科学和生 产技术的不断发展，在许多应用问题中均出现了是否微分方程有振动解存在或 者是否微分方程的一切解均为振动解的问题特别是近几十年，微分方程解的 振动性研究发展得相当迅速，其中以二阶微分方程最受人们的关注，因此也被 研究得比较深入和广泛，无论是从方程的类型上还是从研究的方法上均有长足 的发展( 部分结果可参见文【1 - 3 7 ) 本文利用推广的r i c e a t i 一变换及积分平均技巧，函数的单调性，及y 0 n g 不 等式对几类二阶半线性中立型微分方程作进一步研究，得到一些新的成果 根据内容本文分为以下三章i 第一章概述了本文研究的主要问题的重要性 第二章在这一章中，我们分蹬节研究了几种二阶半线形微分方程解的振 动性其主要结果如下：第一节考虑二阶半线性中立型微分方程 p ( t ) i ( 可( t ) + p ( ) 分( a ( t ) ) ) i 。一1 ( 可( t ) + p ( t ) g ( ( t ) ) ) + 呼0 ) i 掣( t ) 1 8 1 可( ) = o ，t t o ， ( 2 1 1 ) 其中r ，p ，口g ( o 。) ，r ) ， g 1 ( r ，r ) ，并且o o 是一个常数。 在这节中我们假设以下成立 ( 丑j ) o p ( t ) l ，g ( 亡) 兰0 ，r ( 舌) 0 ； ( 岛) 嚣赤出= o 。； ( 凰) ( t ) 冬f ，1 吨 ( ) = 。 曲阜师范大学硕士学位论文 定义2 1 1 方程( 2 1 1 ) 的解即函数：吼，o 。) h 且，乃兰t o 使得y ( ) 和r ( t ) l ( g ( t ) + p ( t ) ( ( t ) ) ) 甲一1 ( ( ) + p ( t ) ( ( t ) ) ) 7 都是连续可微的并且对t 毛 满足方程( 2 1 1 ) 我们仅关心方程( 2 1 1 ) 的非平凡解( t ) ，即解9 ( ) 满足 s 印 g ( t ) i = t t ) o 对所有的t q 定义2 1 2 方程( 2 1 1 ) 的一个非平凡解称为振动的如果它有任意大的零 点；反之，它称为非振动的方程( 2 1 1 ) 称为振动的如果它所有的解都是振动 的 定理2 1 1 假设对任意的t t o ，都存在o ，b 满足ts 。 o ，r o 都是常数，p ，口g ( t o ，o o ) ， g ( r i 只) 在这一节中，我们假设 ( h 1 ) 0 p ( 亡) s1 ，q ( 亡) 0 ； ( f 幻) r ( ) g 1 ( t o ，。) ，r ( t ) o ，r ( ) ：= 正r ( s ) 幽一。o 当t _ + o 。； ( 日3 ) i 鲁女生卢 o ，。o i ( 。甑) 盯( 芒) g 1 ( t o ，。) ，盯( t ) t ，l i m 盯0 ) = 堂皇堕整太囊巫主堂垡迨墨 一 定义2 2 1 方程( 2 2 1 ) 的解即函数z ：阻，。) - r ，咒2t o 满足z 和 r ( t ) l ( z ( t ) + p ( t ) 。( t r ) ) r 1 ( 。( t ) + p ( t ) z 0 一r ) ) 7 都是连续可谓的并且当2 死 时方程( 2 2 ，1 ) 成立我们仅关心方程( 2 2 1 ) 的非平凡解z ( t ) ，即解z ( t ) 满足 对所有的t 疋，s u p o 成立 定义2 2 2 方程( 2 2 1 ) 的一个非平凡解z ( ) 称为振动的如果它有任意大 的零点，反之称为非振动的方程( 2 2 1 ) 称为振动的如果它所有的解都是振动 的 定理2 2 1 设a 1 假设对某个( o ，1 ) 满足 。( 卢r 。p ( t ) f ( t ) 一面矗焘) 出2 。，( 。七2 ) 其中f ( t ) = g ( t ) 1 一p ( a ( f ) 。则方程( 2 2 1 ) 是振动的 推论2 2 1 设o 1 如果 强簪鲤譬牲 詈 t 一 盯1 【0 l吐 那么方程( 2 2 1 ) 是振动的 定理2 2 2 设r ，( 曲 o 和a l 如果对某个( o ，1 ) 满足 。( 卢r 。p ( t ) 】( t ) 一竺芝皇丝! j 墓豢竺铲) 出= 。，( 。2 s ) 则方程( 2 2 1 ) 是振动的 注2 2 1 定理2 2 1 中的条件( 2 2 2 ) 和定理2 2 2 中的条件( 22 3 ) 当a = 1 时是等价的只要在( 2 2 2 ) 和( 2 2 3 ) 令女= 1 即可 注2 2 2 如果p ( t ) = o ，( 。) = ”1 。，则( 2 2 1 ) 变为 卜( t ) i 茹7 ( t ) i o 一1 z ( t ) 】+ q ( 亡) i z ( 盯( t ) ) i o 一1 z ( 盯( t ) ) = o ， 并且定理2 2 2 和定理2 2 2 退化为文 2 5 】中的定理l 和定理2 定理2 2 3 设a 1 如果对某个女( o ，1 ) 满足 厂( 醐翮一踹) 出一 曲阜师范大学硕士学位论文 则方程( 2 2 4 ) 是振动的 推论2 2 2 设。兰1 如果 ，妊掣学 ： 则方崔( 2 2 4 ) 是搌动的 定理2 2 4 设o o 1 ，如果 。( 卢r 。p ( 瑚f ( t ) 一竺型塑皇妻暑呈等铲) 出= 。， 这里 靴，一( 高z 。聊s ) n 1 v 。 则方程( 2 2 1 ) 是振动的 定理2 2 5 设o o ，r o ，口o 都是常数，r ，p ，g ，g ( 。) ；r ) ， g ( r ；咒) 在这节中，我们假定下面的条件成立 ( 且1 ) o p ( t ) 茎1 ，q ( ) 20 ； ( z b ) r ( t ) a 1 ( 如，o 。) ，r ( t ) o ，j ；：r 一( s ) 出_ 十。0 当t o 。； 想阜师范大学硕士学位论文 ( 凰) 朵生兰7 o z o 定义2 。3 1 方程( 2 。3 1 ) 的解即函数z ：陬，o o ) - + 足疋妇使得z 和 r ( 洲z ( t ) + p ( t ) t ( t t ) ) 俨- 1 ( z ( f ) + p ( t ) z ( t r ) ) 7 都是连续可微的且当f 满 足方程( 1 1 ) 我们仅关心方程( 2 3 ，1 ) 的非平凡解。( t ) ，即解( ) 满足t 疋 时s 印 o 定义2 3 2 方程( 2 3 1 ) 的一个非平凡解z ( 幻称为振动的如果它有任意大 的零点，反之称为非振动的方程( 2 31 ) 称为振动的如果它所有的解都是振动 的 定理2 3 1 假设对任意的t t o ，存在。，6 且t n o ， 则方程( 2 3 1 ) 是振动的 推论2 3 2 假设对任意的t 芝存在t 曼8 l o ，( t ，s ) d ，一掣= h ( t ，s ) 面丽是dj ! 二的非负连续 函数假设对任意的( o ，1 ) 满足 1 1 恕9 百季面j ( 。 卢日( 如) r 。( s _ 口) f ( s ) 一掣卜讣需) 虻。，旧删 其中f ( t ) 二q ( t ) 【1 一p ( t 一口) 。，g ( t ) = r ( t ) r 1 加( t ) 则方程( 2 3 1 ) 是振动的 注2 4 1 如果o = l ，( 2 3 1 ) 变为 p ( t ) 扛( t ) + p ( t ) z 水一r ) ) + q ( o ) ，( 。( t 一们) = o 则定理2 4 1 退化为文【3 4 中的振动结论如果p ( t ) io ，一一o ，( z ) = 吲”1 z ，则( 2 3 1 ) 变为 p ( t ) l z ( t ) i d 一1 z ( t ) + g ( t ) ，( 。( t ) ) = o ， 定理2 4 1 退化为文【3 6 】中的定理1 推论2 4 1 如果定理2 4 1 中的条件( 2 4 1 ) 替换为 u 罂去肌铀h 需卜卜州， 1 1 器罂9 面孟面上。日( 厶s ) r 。( s 一口) f ( 口) 。s 2 。， 则定理2 4 1 中的结论仍然成立 定理2 4 2 设日( t ，s ) ， ( t ，s ) 和g ( t ) 如定理2 4 1 中所定义，且满足 。s 囊蚀擎器卜o o ， a z ， 曲阜师范大学硕士学位论文 ，；等高脚如，十衙1 2 g ( s 刊如 o 其中z o ，m 是常数， i = 1 ，2 ，- ，n ( 皿) 函数口：口o ，o 。) _ r 是连续的且非减，口( t ) 坝寸t 如以及l i m 口( ) = 。 ( 风) 函数t ：。) - r 是连续的，且满足对t o 时凡t 以及l i m ( t ) = o 。，i = l ，2 ，一，n 定义3 1 1 方程( 3 1 1 ) 的解即一个连续可微函数。( t ) 定义在t m i n 一( o ) ， r i ( t o ) ，i = 1 ，2 ，一，n 使得当m i n 口( t o ) ，兀( t o ) ，l = 1 ，2 ，- - - ，n 5t o 时。( t ) = 曲( t ) 且对所有的t 如满足方程( 3 1 1 ) 我们仅关心方程( 3 1 1 ) 的非平凡解m ( t ) ， 即解z ( t ) 满足t 兰t o 时s 卸 i 。( t ) l ：t 研 o 定义3 1 2 方程( 3 1 1 ) 的一个非平凡解。( t ) 称为振动的如果它有任意大 的零点，反之称为非振动的方程( 3 1 1 ) 称为振动的如果它所有的解都是振动 的 引理3 2 1 如果$ ( t ) 是方程( 3 i 1 ) 的一个非振动解，则= ( 旬。协) 最终为 正，其中z ( t ) ：= 。0 ) + p ( t ) z ( 口( t ) ) ，t t o 引理3 2 2 【2 6 】如果。( t ) e 2 p o ，。) 对任意的o o ，z ”【t ) o ，t 。 则存在一个鲍如使得 z ( 郇) ) 州t ) 掣，乃，l ：l ，2 ，n 定理3 2 1 假设存在一个正的非递减的函数p ( t ) g 1 ( o 。) ) 满足对某 个日x 和充分大的而亡0 ，都存在递减的正数序列 n 。) ，p 。) ， c n 其中 曲阜师范大学硕士学位论文 蘸而e 耶，小) - ( 郴蚪面杀丽e s ) p ( 咖出 万赢( “裂煞( 州驯卅等河雨) ”1 出7 ( o 十1 ) 0 + 1 日( ，。) n 。日孚f s ，n 。) r p 。p ( s ) u 1 叫 十万南e 掣煞( 似+ 错佩丽) 时1 瓿( a + 1 ) “十1 日( k ，c n ) j 。口孚( h ，s ) ”“叶叫。p ( s ) 。一v “一 其中孙) = 耋脚哦( 纠l p ( ( 刚一? 华则方程( 3 1 1 ) 的每个解都是振动的 定理3 2 2 如果存在一个正的非递减的函数p ( t ) c 1 ( 。o ) ) 满足 n 攀肚刈以瑚一型攀簪卜 t _ + c 。jzf o + 1 1 0 十1 爿t f s f 1 和 - i 鬻。，2 卜m s ) 一型筹簪卜 对某个日x 及任意的f t o 成立，其中i ( ) 如定理3 ，1 1 中所定义则方程 ( 3 1 1 ) 的所有解都是振动的 注3 2 1 如果令p ( t ) = o ，i = l ，( 。( 刚= p ( t ) l ”1 。( t ) ，则定理3 1 1 和定理 3 1 2 分别退化为文【2 】中的定理2 1 和定理2 2 定理3 2 3 假设对任意的t t o ，都存在一个正的非递减的函数p ( t ) g 1 ( f 0 ，o 。) ) ，日凰和n 。，c 。置tsn 。 f “型掣羔禁磐旱竖如 慨蛐， 7 ，。( n + 1 ) 叶1 日孚( s 口。) 2 + e 坠塑器杀糟掣眠 j o 。( a + 1 ) ”l h 节( s b n ) l x 曲阜师范大学硕士学位论文 其中4 ( t ) 如定理31l 中所定义，则方程( 3 1 1 ) 是振动的 推论3 2 1 方程( 3 1 1 ) 的所有解是振动的如果存在一个正的非递减的函 数p ( t ) g 1 ( o 。) ) 满足对任意的l o 和某个a 下面的两个不等式成 i 恕p 熹，卜矿黼 一坐塑篆# 堑型1 陋+ 1 ) 叶1i “ 且 ，i 拳击。卜s 邝( s ) 补) 一业塑篆等堑丛k 。 ( a + 1 ) 叶1i ” 定理3 2 4 设恕兄( t ) = o 。则方程( 3 1 1 ) 的所有解是振动的如果对任 意的f t o 和某个a n ，满足下面的不等式： u 絮p 南，。m ) 叫f ) 】s ) 幽 再亩苷两 和 ，i 攀茄西j ( 叫钏s ) d s 再毒杀习， 其中4 ( f ) 如定理3 1 1 中所定义 注3 2 2 妻果p ( t ) ；l ，a = 1 ，r ( t ) e1 ，p ( t ) = o ，i = l ，( z ( t ) ) = l z ( t ) l 。一1 。( t ) ， 则定理3 1 4 退化为文【8 】中的( i ) 注3 2 3 如果p ( t ) il ，n = 1 ，r ( t ) 兰1 ，r ( t ) = t 士r ，p ( 舌) = o ，i = 1 ，知( ) ) = i z ( t ) f o 一1 。( t ) 且g ( ) = 7 t 2 ，则方程( 3 1 1 ) 退化为e u l e r 方程 。”( t ) + 古。( 亡土r ) = o ( 3 l3 ) 些皇堕垫盔堂堡堂焦堡壅 由文 1 3 ，1 4 ，3 4 】知方程( 3 1 3 ) 是振动的如果7 1 4 ，方程( 3 1 3 ) 是非振动的 如果7 1 4 应用定理2 4 到方程( 3 1 3 ) ，我们同样可知方程( 3 1 3 ) 是振动的 如果7 l 4 即我们的结论也是比较好的 关键词；二阶，半线性，中立型，振动，区间振动，滞后，微分方程 曲阜师范大学硕士学位论文 o s c i l l a t i o no fs e c o n d o r d e rh a l f _ l i n e a rn e u t r a l d i 嗣f e r e n t i a le q u a t i o n s a b s t r a c t t h eo s c i l l a t i o no f o r d i n a r yd i f f 色r e n t i a le q u a t i o ni so n eo fi n l p o r t a n tb r a n c h e s o fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i nt h e 靠e l do fm o d e r na p p l i e dm a t h e m a t i c s ，i th a 8m a d e c o n s i d e r a b l eh e a d w a yi nr e c e n ty e a r s ，b e c a u s ea l lt h es t r u c t u r eo fi t se m e r g e n c e h a sd e e pp h y s i c a lb a c k g r o u n da n dr e a l i s t i em a t h e m a t i c a l m o d e l m a t 】ys c h o i a r st a k eo nt h er e s e a r c ho ft h i s6 e l d ，t h e yh a v ea c h i e v e dm a n y9 0 0 dr e s u l t s w i t ht h ei n c r e a s i n gd e v e l o p m e n to fs c i e n c ea n dt e c h n o l o g y ，t h e r ea r em a n y p r o b l e m sr e l a t i n gt od i h e r e n t i a le q u a t i o nd e r i v e df r o ml o t so fr e a la p p l i c a t i o n s a n dp r a c t i c e ，s u c ha sw h e t h e rd i f f b r e n t i a ie q u a t i o nh a sao s c i l i a t i n gs o i u t i o n o rn o t ，a n dw h e t h e ra uo fi t ss 0 1 u t i o n sa r eo s c i l l a t o r yo rn o t i n 、吧r yr e s e n t y e a r s ，g r e a tc h a n g e s o ft h i s 丘e l dh a v et a k e np l a c e e s p e c i a u y ，t h es e c o n do r d e r d i 珏色r e n t i a le q u a t i o nh a sb e e np a i ( 1m o r ea t t e n t i o n sa n di n v e s t i g a t e di nv a r i o u s c l a s s e sb yu s i n gd i 珏b r e i l tm e t h o d s ( s e e 1 一 3 7 ) t h ep r e s e n tp a p e re m p l o y sag e n e r a l i z e dr i c c a t it e c h n i q u e ，i n t e g r a la e r a g e ，t i n e q u a l i t yo fy o n ga n dt h em o n o t o n eo ff h n c t i o n st oi n v e s t i g a t et h e o s c i l l a t i o nc r i t e r i af o rs o m ec l a s so fh a l f - l j n e a rn e t u r a ld i f r e r e n t i a ie q u a t i o n s ， t h er e s u l t so fw h i c hg e n e r a i i z e da n di m p r o v e ds o m ek n o w no s c i l l a t i o nc r i t e r i a t h et h e s i s 话d i v i d e di n t ot h r e es e c t i o n sa c c o r d i n gt oc o n t e n t s i nc h a p t e rl ，p r e f a c e w ei n t r o d u c et h ei m p o r t a n c eo ft h em a i nc o n t e n t s o ft h i sp a p e r i nc h a p t e r2 ，t h i sc h a p t e ri sd i v i d e di n t of o u rs e c t i o n st oi n v e s t i g a t et h e o s c i i l a t i o nc r i t e r i af o rs o m ec l a s so fh “f - i i n e a rn e t u r a ld i 虢r e n t i a le q u a t i o n s ， v s t a t et h em a i nr e s u l t sa sf 0 u o r w s ： f i r s t ，w ea r ec o n c e r n e dw i t ht h es e c o n d o r d e rh a l f - l i n e a rn e u t r a ld i h b r e n 堂皇堕夔盔堂亟主堂鱼堡茎 一一 t i a le q u a t i o n 【r ( t ) i ( ”( t ) + p ( f ) ( ( t ) ) ) i 。一1 ( 0 ) + p ( z ) ( 九0 ) ) ) + g ( t ) g ( ) i 。一1 ( t ) = o ，t ， f 2 1 1 1 w h e r er ，p ，口g ( 陋o ，o o ) ，r ) ， c f l ( r ，r ) ，a n d 口 oi sac o n s t a n o t h r o u g h o u tt h i sp a p e r ，w ea s s u m et h a t ( 日1 ) o p ( t ) 1 ，口( t ) o ，r ( 亡) o ； ( ) e 赤d t = o 。； ( 凰) 忍( t ) t ，j i mh ( = o 。 d e n n i t i o n2 1 1b yas o l u t i o no f ( 2 1 1 ) ，w em e a nat u n c t i o n 可：【毛，。) 一 r ，7 02t os u c ht h a t 可( ) a n dr ( t ) i ( 可( t ) 十p ( t ) 可( ( t ) ) ) 7 l 。一1 ( ( t ) + p ( t ) ( 危( t ) ) ) a r ec o n t i n u o u s l yd i 髓r e n t i a b l ea n ds a t i s f ye q u a t i o nf 2 11 ) f o r 瓦w e r e s t r i c to u ra t t e i l t i o nt ot h en o n t r i v i a ls o l u t i o n 8g ( ) o f ( 2 1 1 ) o n l hie t o s o l u t i o ng ( t ) s u c h t h a ts u p i g ( f ) l ：t t ) o f o ra 1 1 7 毛 d e 丑n i t i o n2 1 2an o n t r i v i a ls o l u t i o no f ( 2 1 1 ) i sc a l l e do s c i l 】a t o r yi fi t h a 8a r b i t r a r i l yi a r g ez e r o s ；o t h e r w i s e ，i ti ss a i dt ob en o n s c i l l a t o r y e q u a t l o n ( 2 1 1 ) i sc a l l e d0 8 c i l l a t o r yi fa l l i t ss o l u t i o n sa r eo s c i l l a t o r y t h e o r e m2 1 1a s s u m et h a tf o ra n yt t o ，t h e r ee x i 8 tn ，6w i t hr 口 oa n d 丁2oa r ec o n s t a n t s ，p ，q e ( o ，) ，e ( r ；咒) t h r o u g h o u tt h i sp a p e r ，w ea s s u m et h a t 日l 凰 凰 甄 osp 0 ) s1 ，q ( t ) o ； r ( t ) e 1 ( ，。) ，r ( ) o ，r ( t ) ：= er 一( s ) d s - 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i 墨掣鲤譬拶 詈 _ 盯。 c l 4 t h e ne q ( 2 2 1 ) i s0 8 c i u a t o r y t t h e o r e m2 。2 2l e tr 7 ( t ) 0a n d0 f 2 1 a s 8 u m e t h a t f o rs o m e 七( 0 ，1 ) 。0 ( 卢酽p ( t ) 】，( 曲一竺芝垒2 = 曼：；笔竺骂铲) 出= o o ( z 。s ) t h e ne q ( 2 2 1 ) i so s c i l l a t o r y 1 l l 堂皇堕整盔堂堡主望堡堡茎一 一一r e m a t k2 2 1c o n d i t l o n 8 ( 22 2 ) i nt h e o r e m2 2 ：la n d ( 2 2 3 ) o ft h e o 。 r e m22 2a r ee q u i v a l e n tf o r0 = = 1m o r e o v e r ，i tc a nb ee a s i l yc h e c k e dt h a tf o r q = 1w ec a nl e t 七= 1i n ( 22 2 ) a n d ( 2 2 3 ) ，r e s p e c t i v e l y r e m a r k2 2 2i fp ( t ) = 0 ，( z ) = 1 2 1 8 一。，t h e n ( 2 21 ) b e c o m e s 【r ( t ) 1 茁m ) 1 ”1 z 沁) + q ( t ) 1 z ( a ( t ) ) r 1 茹( 盯( 啪= o ， a n dt h e o r e m2 2 1a n dt h e o r e m2 2 2r e d u c e st ot h e o r e m1a n dt h e o r e m2 i n 25 1 t h e o r e m2 2 3l e t 。1 a s s u m et h a tf o rs o m e 七( o ，1 ) 。( 舢闸一器) 出一 t h e ne q ( 2 2 4 ) i so s c i l l a t o r y c o r d l l a r y2 2 2l e to 1 a s s u m e t h a t 卺掣掣 罢t - 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