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次可加热力学形式和随机双曲集的维数估计中文摘要 中文摘要 拓扑压在遍历理论、动力系统理论、维数理论和平衡态理论里起着极其重要的作 用经典的热力学形式，也即势函数是可加的情况，无论是在确定性系统还是在随机系统 里都已经有了许多重要的理论结果和广泛的应用许多共形映射的排斥子的h a u s d o r f f 维数及其相关的性质都可以用经典热力学形式的相关理论来刻划，随着动力系统的维 数理论的进一步发展，经典热力学形式的局限性就显示出来了，为此越来越多的专家 和学者转而研究非可加的热力学形式，并取得了很多精彩的结果尤其在计算非共形 排斥子的维数方面，b a r r d r a 、f a l c o n e r 和曹、丰、黄等发展的非可加热力学形式 在维数理论里有着很好的应用，他们的工作表明各种形式的非可加拓扑压的零点可以 很好地估计非共形排斥子的维数，事实上，他们的工作是b o w e n 思想的推广另外有 些专家则致力于把非共形排斥子的维数和刻划系统复杂性的熵、l y a p u n o v 指数联系 起来，并且取得了一些非常有趣的结果我们的工作就是围绕这两方面展开的，在本 文中，我们研究了次可加热力学形式和随机系统中的一些维数问题 在第一章，我们分别就确定性情形和随机情形简单介绍了热力学形式的发展过程， 同时简单介绍了维数理论的内容，尤其突出介绍了热力学形式在维数理论中的应用 在这一章，我们还介绍了关于热力学形式和维数论的一些最新结果 在第二章，运用c a o 、f e n g 和h u a n g 所发展的次可加热力学形式我们用生成 集的方法定义了一种次可加测度压，然后又用c a r a t h d o d o r y 维数特征的方法定义了非 紧集上的次可加拓扑压，进而给出了另一种次可加测度压的定义，并且证明了该次可 加测度压等于某个全测集上的次可加拓扑压在一定的条件下，我们证明了这两种次 可加测度压是等价的 在第三章，在k i f e r 关于可加随机拓扑压的框架下，我们把c a o 、f e n g 和h u a n g 的确定性次可加拓扑压的变分原理推广到随机系统进一步，在一些恰当的假设下， 定义了任意一族随机函数的拓扑压并给出了它的一些性质和应用 在第四章，我们考虑了个非共形随机排斥子的维数问题，证明了可以用随机拓扑 熵、拓扑压和一致l y a p u n o v 指数给出非共形随机排斥子的维数估计 i 次可加热力学形式和随机双曲集的维数估计中文摘要 在第五章，我们介绍的随机系统是由按照某种法则独立同分布的映射迭代生成的 在这个随机框架下，证明了二维流形上个关于熵、维数和l y a p u n o v 指数的关系 在附录里，我们给出了随机形式的b r i n - k a t o k 定理的证明 关键词，次可加、变分原理、拓扑压、h a u s d o r f f 维数、非共形排斥子 i i 作者：赵云 指导老师t 曹永罗 次可加热力学形式和随机双曲集的维数估计 a b s t r a c t t h es u b - a d d i t i v et h e r m o d y n a m i cf o r m a l i s ma n dt h ed i m e n s i o n e s t i m a t e sf o rr a n d o mh y p e r b o l i cs e t a b s t r a c t t h et o p o l o g i c a l p r e s s u r ep l a y saf u n d a m e n t a lr o l ei ne r g o d i ct h e o r y , d y n a m i c a l s y s t e m s ，d i m e n s i o nt h e o r ya n dt h et h e o r yo fe q u i l i b r i u ms t a t e s f o rc l a s s i c a lt h e r m o - d y n a m i cf o r m a l i s m ，i e ，t h ep o t e n t i a l si sa d d i t i v e ，b o t hi nd e t e r m i n i s t i ca n dr a n d o m c a s e ，t h e r ea r eag r e a td e a lo fc l a s s i c a lr e s u l t s t h eh a u s d o r f fd i m e n s i o na n dr e l a t e d p r o p e r t i e so fc o n f o r m a lr e p e l l e rc a nb ew e l ld e s c r i b e db yt h ec l a s s i c a lt h e r m o d y n a m i c f o r m a l i s m b u ti tc a nn o tw o r kw e l li nn o n - c o n f o r m a ld y n a m i cs y s t e m s ot h en o n - a d d i t i v et h e r m o d y n a m i cf o r m a l i s ma r i s et h ee x p e r t si n t e r e s t ，a n dt h e yh a v ea l r e a d y o b t a i n e ds o m ee x c i t i n gr e s u l t s p a r t i c u l a r l y , b a r r e i r a ，f a l c o n e ra n dc a o ，f e n g ，h u a n g d e v e l o p e dd i f f e r e n tv e r s i o n so fn o n - a d d i t i v et h e r m o d y n a m i cf o r m a l i s mr e s p e c t i v e l y , a n d t h e yf o u n dt h a ti th a sn i c ea p p l i c a t i o n si nd i m e n s i o nt h e o r yr e s p e c t i v e l y t h e i rw o r k s s a i dt h a tt h ed i m e n s i o no fn o n - c o n f o r m a lr e p e l l e rc a nb ew e l le s t i m a t e db yt h er o o to f d i f f e r e n tv e r s i o no fn o n - a d d i t i v et o p o l o g i c a lp r e s s u r e o nt h eo t h e rh a n d ，s o m ee x p e r t s w a sd e d i c a t e dt of i n dt h er e l a t i o nb e t w e e nd i m e n s i o na n dt h es y s t e m si n v a r i a n t s ，s u c h a se n t r o p ya n dl y a p u n o ve x p o n e n t s ，a n dt h e ya l s oo b t a i n e ds o m ew o n d e r f u lr e s u l t s i nt h i sp a p e r ，w es t u d i e ds u b - a d d i t i v et h e r m o d y n a m i cf o r m a l i s ma n dt h ed i m e n s i o n e s t i m a t e si nr a n d o md y n a m i c a ls y s t e m s i nc h a p t e ro n e ，w eb r i e f l yr e c a l l e dt h eh i s t o r yo ft h e r m o d y n a m i cf o r m a l i s mb o t hi n d e t e r m i n i s t i ca n dr a n d o mc a s e a tt h es a m et i m e ，w es i m p l yi n t r o d u c e dt h ec o n t e n t i nd i m e n s i o nt h e o r y , i np a r t i c u l a r l y , w ee m p h a s i z e dt h ea p p l i c a t i o no ft h e r m o d y n a m i c f o r m a l i s mi nd i m e n s i o nt h e o r y b e s i d e s ，w ei n t r o d u c e ds o m er e c e n tr e s u l t sr e l a t e dt o t h e r m o d y n a m i cf o r m a l i s ma n dd i m e n s i o nt h e o r y i nc h a p t e rt w o ，a p p l y i n gt h es u b - a d d i t i v et h e r m o d y n a m i cf o r m a l i s md e v e l o p e db y c a o ，f e n ga n dh u a n g ，w ei n t r o d u c e dad e f i n i t i o no fs u b - a d d i t i v em e a s u r e - t h e o r e t i c p r e s s u r eb yu s i n gs p a n n i n gs e t w h i l ew e i n t r o d u c e da n o t h e rd e f i n i t i o no fs u b - a d d i t i v e m e a s u r e - t h e o r e t i cp r e s s u r eb yu s i n gt h et h e o r yo fc a r a t h d o d o r yd i m e n s i o nc h a r a c t e r - i s t i c ，a n dw ef o u n dt h a tt h i sm e a s u r e - t h e o r e t i cp r e s s u r ew a se q u a l t ot h et o p o l o g i c a l p r e s s u r eo nac e r t a i ns e t f u r t h e r m o r e ，w ep r o v e dt h a tt h i st w od e f i n i t i o n sw a se q u i v - a l e n tu n d e rs o m ea s s u m p t i o n s i i i 次可加热力学形式和随机双曲集的维数估计 a b s t r a c t 一一一_ 一 i nc h a p t e rt h r e e ，u n d e ry u r ik i f e r 8r a n d o ms e tu p ，w eg e n e r a l i z e dc a o ，f e n ga n d h u a n g sr e s u l t st or a n d o me a s e w ea l s od e f i n e d t h et o p o l o g i c a lp r e s s u r ew i t ha n a r b i t r a r yf a m i l yo fr a n d o mf u n c t i o n s ，a n dw eg a v es o m ep r o p e r t i e sa n d a l la p p l i c a t i o n o ft h en e wd e f i n e dt o p o l o g i c a lp r e s s u r e i nc h a p t e rf o u r ，w ec o n s i d e r e dt h ed i m e n s i o ne s t i m a t e so fr a n d o mn o n - c o n f o r m a l r e p e l l e r s a n dw e s h o w e dt h a tt h ed i m e n s i o ne s t i m a t e sc a nb eg i v e nb yr a n d o mt o p o - 1 0 酉c a l le n t r o p y , t o p o l o g i c a lp r e s s u r ea n du n i f o r ml y a p u n o ve x p o n e n t s am e a s u r 争 t h e o r e t i cv e r s i o nw a sa l s oc o n t a i n e d i nc h a p t e rf i v e ，w ei n t r o d u c e dar a n d o md y n a m i c a ls y s t e m sw h i c h w a sg e n e r a t e db y f 0 研a r da n db a c k w a r ds u c c e s s i v e 印p l i c a t i o n so fr a n d o m l yc h o s e nm a p s f r o mt h es p a c e f o m e db ya 1 1c 2d i f f e o m o r p h i s m so ns o m em a n i f o l d ，t h e s em a p sb e i n gi n d e p e n d e n t 趴di d e n t i c a l l l yd i s t r i b u t e dw i t hac e r t a i nl a w u n d e rt h i ss y s t e m ，w eg a v eaf o r m u l a w 1 1 i c hr e l a t e de n t r o p y , d i m e n s i o na n dl y a p u n o ve x p o n e n t si nt w o d i m e n s i o n i nt h ea p p e n d i x ，w eg a v eap r o o fo ft h er a n d o mv e r s i o no fb r i n - k a t o k t h e o r e m k e y wo r d s ：s u b - a d d i t i v e ，v a r i a t i o n a lp r i n c i p l e ，t o p o l o g i c a lp r e s s u r e ，t t a u s d o r f f d i - m e n s i o n ，n o n - e o n f o r m a lr e p e l l e r w r i t t e n 坶z h a oy u n s u p e r v i s e d 坶p r o f c a oy o n g l u o i v 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明：所提交的学位论文是本人在导师的指导下，独立进行 研究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含其他 个人或集体已经发表或撰写过的研究成果，也不含为获得苏州大学或其它 教育机构的学位证书而使用过的材料对本文的研究作出重要贡献的个人 和集体，均已在文中以明确方式标明本人承担本声明的法律责任 研究生签名；垫墨日期：堕至哆 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文合作 部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的复印件 和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文本人电子文 档的内容和纸质论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论 文被查阅和借阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容论文的公 布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理 j 研究生签名：鲨墨日期：2 2 玉兰7 导师签名： 蜉哦掣 次可加热力学形式和随机双曲集的维数估计第一章绪论 第一节引言 第一章绪论 动力系统的研究起源于牛顿的经典力学，最初，牛顿的运动三大定律和万有引力 定律给予系统动力学研究的活力而真正带给人们关于动力系统理论研究观念根本性 改变的是1 9 世纪庞加莱( h p o i n c a r g ) 的关于天体力学及微分方程定性理论的研究 【7 7 】随后g b i r k h o f f ，e h o p f , a v a r n o l d ，s i n a i ，s s m a l e 以及我国的廖山涛教授等 在这个领域作出了杰出的贡献动力系统的研究涉及了众多的数学分支，它在物理、 力学，化学、生物、工程科学和经济科学中有广泛而深入的应用动力系统理论广义 地说是研究一个随时间( 离散或连续) 而演化的系统的长时间的性态确切地说，是研 究某个状态空间上的连续变化( 半) 群的作用具体点说，把一个系统所有的状态构成 一个状态空间xj 系统的演化用变换t ：x _ x 表示，这里t x 表示零时刻的状态 在系统演化的下一时刻所处的状态如果是考虑系统随时间连续演化的过程，则相应 考虑的是x 到自身的单参数映射族 正：r ) 当决定系统行为的法则不随时间变 化时，我们一般假设死h = 正t t ，也即( 噩：亡r ) 为r 在x 上的一个群作用 事实上，一个单独的可逆变化t ：x x 也决定个群作用，即z 在x 上的作用 如果我们考虑的时间是r + ( z + ) ，那么相应的系统是一个半群作用本文主要涉及由 单个变化诱导的z 或z + 作用 为了对系统作具体的数学研究，通常在状态空间x 上附加某些结构和对变换t 作 一些限制，据此我们大致可以把动力系统理论分为三大类t ( ) 如果x 为一拓扑空间，t ：x _ x 是同胚( 或者是连续满映射) ； ( - - ) 如果x 是一可测空间，t ：x x 是保测变换； ( 三) 如果x 为光滑的r i e m a n n 流形，t ：x _ x 是微分同胚( 或者就是可微映 射) 三种情形依次称为拓扑动力系统、遍历理论、微分动力系统这种分类并不是很严谨 的；它们中间有很多交叉渗透的地方，比如赋予状态空间可微结构而研究其遍历性质 1 次可加热力学形式和随机双曲集的维数估计第一章绪论 的光滑遍历理论 第二节热力学形式简介 设x 为一紧致度量空间，t ：x _ x 是连续映射用c ( x ，r ) 表示由x 上全体连 续函数所组成的空间，它在最大值范数下是个b a n a c h 空间我们所要研究的对象是 函数p ( 正- ) ：c ( x ，r ) 一r u o o 这个函数我们称之为关于t 的拓扑压拓扑压在遍 历理论、动力系统理论和平衡态理论里起着重要的作用，见参考文献【1 7 】，【7 9 】和 8 6 】， 至于它在维数理论里的应用，我们将在下一节具体阐述用厂= 【厶) n 1cc ( x ，r ) 表示势函数，如果厶( z ) = 巽jf ( t i x ) ，其中，是x 上的连续函数，则称势函数是 可加的，简记为厂= ，如果势函数是零值常值函数，此时拓扑压就是拓扑熵 我们首先对确定性系统里的热力学形式作个简单的回顾经典的拓扑压首先由 r u e u e 在研究作用在紧度量空间上的扩张映射时引进【7 8 】，在这篇文章中他首先引 进拓扑压的概念，然后证明了拓扑压的一个变分原理后来w a l t e r s 证明了拓扑压的 变分原理对于紧度量空间上的一般的连续映射也是成立的【8 5 】进一步，p e s i n 和 p i t s k e l 定义了紧度量空间上的非紧集上的拓扑压，在一定条件下，证明了关于该拓扑 压的变分原理【7 5 】当势函数是次可加的时候，f a l c o n e r 引进了混合排斥子上的次可 加热力学形式【3 2 j ，定义了混合排斥子上的次可加拓扑压，进一步当势函数还满足一 致l i p s c h i t z 条件和有界形变( b o u n d e dd i s t o r t i o n ) 的条件下，证明了拓扑压的变 分原理最近c a o ，f e n g 和h u a n g 利用分离集定义了紧空间上的次可加拓扑压，在没 有加任何其他多余的条件下，他们证明了该次可加拓扑压的变分原理 2 0 】这个结果 推广了r u e l l e ，w a l t e r s 和f a l c o n e r 的结果与他们这个结果相关的是b a r r e i r a 6 和 m u m m e r t 7 1 1 定义的几乎可加势函数的拓扑压及其变分原理，事实上，这个几乎可加 势函数的结果是c a o ，f e n g 和h u a n g 的结果的一个非常特殊的情形在势函数既不是 可加又不是次可加时，即势函数是任意的一族函数，b a r r e i r a 定义了紧空间上任意一 个集合上的非可加拓扑压【5 】 在对势函数加了某种收敛性的条件后，他也证明了相应 的非可加拓扑压的变分原理 。 2 次可加热力学形式和随机双曲集的维数估计第一章绪论 其次我们对随机系统里的热力学形式作一个简单的回顾所谓随机动力系统，粗 略的来说，就是所研究的系统的状态空间上的映射是依赖于某种法则随机选取的；严 格的定义我们将在第三章给出与确定性系统里经典的热力学形式相对应，随机动力 系统理论里的热力学形式也有类似的结果与随机热力学形式相关的变分原理的第一 个版本由l e d r a p p i e r 和w a i t e r s 给出【5 9 】，他们称之为相对变分原理( r e l a t i v i z e d v a r i a t i o n a lp r i n c i p l e ) 后来他们的结果被推广到一类特殊的随机势函数，详见【1 5 】 最近k i f e r 把这个结果推广到所有可积的随机连续函数【5 2 】随机动力系统里的热力 学形式的研究是刚刚发展起来的，还没有与确定性里全部对应的结果这就自然引起 个问题 问题一，在k i f e r 所研究的一般的随机系统框架下【5 2 】，我们能否定义并证明c a o ， f e n g 和h u a u g 的结果成立即我们是否可以定义关于次可加随机势函数的拓扑压， 并证明关于它的一个变分原理? 我们将在第三章里对这个问题给出一个正面的回答，进一步利用b a r r e i r a 的方法 5 】，定义相应的随机非可加拓扑压并给出它的一系列性质 第三节维数理论简介 在二十世纪初， c a r a t h g d o r y 和h a u s d o r f f 创造性地提出了h a u s d o r f f 维数的概 念后来函数理论领域里的专家把他们两个人的想法发展成为一个完整的学科，其中 b e s i c o v i t c h 和他所在的学派做了大量的这方面的工作这些研究者使用h a u s d o r f f 维 数来说明度量空间中的子集合( 一些类似于c a n t o r 三分集的集合) 的拓扑结构的复杂 性随着动力系统的发展，人们发现许多有趣的不变集，如l o r e n z 吸引子、s m a l e - w i l l i a m s 螺线管和s m a l e 马蹄等，它们具有非常复杂的结构这些不变集的h a u s d o r f f 维数引起了许多动力系统领域里的专家的关注，他们相信吸引子的拓扑结构和作用在 吸引子上的动力学性质应该有着密切的联系比如作为刻划吸引子拓扑结构复杂性的 h a u s d o r f f 维数应该和动力学中的不变量( 如l y a p u n o v 指数和熵) 有着非常密切的关 系，参看文献【4 4 】 3 次可加热力学形式和随机双曲集的维数估计 第一章绪论 就我们所知，维数理论研究中的侧重点大致地可分为下面的三个方向 ( 一) 符号动力学和c a n t o r 类集合的维数在确定性系统里，这方面已经有了非常丰富 的成果，比如h u t c h i n s o n 4 7 】和b e d f o r d 1 4 在开集条件( o p e ns e tc o n d i t i o n ) 下证明了 自相似集和自共形集的h a u s d o r f f 维数和盒维数( b o xd i m e n s i o n ) 相等，f a l c o n e r 3 3 进一步证明了他们的结论在没有开集条件下同样成立关于确定性系统里详细的维数 理论介绍，可以参看书 3 7 ，6 9 ，7 6 】以及其后面的参考文献由于自然现象是复杂的， 所以把生成c a n t o r 类集合的过程随机化能更好的模拟自然现象这就引起了人们研 究随机c a n t o r 类集合维数的兴趣，并且发现也有一些类似于确定性系统里的成果 如关于随机自相似集的维数【6 5 ，7 3 】和随机自共形集的维数 6 6 】更为一般的随机生 成的随机分形集合，可参看文献 3 1 ，3 6 ，6 2 ，6 7 】 ( 二) 动力系统中的多重分形分析这方面的主要的确定性成果可参看书【7 ，7 6 】及其后 的参考文献，关于类似的随机自共形的情形可参看【7 4 】众所周知，零测集在测度意义 下是可以忽略的因此遍历理论研究中就通常忽略对零测集的考虑，比如b i r k h o f f 遍 历定理、次可加遍历定理和o s e l e d e c 定理等都是在测度意义下几乎处处成立的当前 对这些定理不成立的点所组成的零测集的复杂性的研究很活跃，见【9 ，1 0 ，1 1 ，2 2 ，8 4 及前面提到的文献 ( 三) 双曲动力学和维数理论关于双曲动力学中不变集的h a u s d o r f f 维数的研究。到 目前为止，只有共形动力系统中( 包括可逆和不可逆两种情形) 的维数理论被完全理解 清楚所谓共形动力系统，粗略地来说，就是指系统在每个点处沿各个方向的压缩或 扩张是一样的在确定性系统里，b o w e n 1 8 首先证明经典的拓扑压的根是不变集合 的h a u s d o r f f 维数r u e u e 8 0 】简化了b o w e n 的方法并得到了下述结果。如果，是 c 1 竹的共形的扩张映射，a 是一个孤立的紧不变集且，l a 是拓扑混合的，则集合a 的h a u s d o r f f 维数可以由下面方程的唯一的解给出t p ( i a ，- a l o gl l 仇，i i ) = 0 ， 其中p ( fi a ，) 是拓扑压函数，上面的方程称为b o w e n 方程后来g a t z o u r a s 和p e r e s 进一步证明了可以把光滑性降到c 1 【4 2 】而对于非共形的系统，只能得到一些部分的 结果我们下面将对这方面的进展进行具体的回顾 4 次可加热力学形式和随机双曲集的维数估计第一章绪论 在非共形的情形下问题就变得复杂困难的多了，到目前为止只有一些在特殊情况 下的双曲不变集的h a u s d o r f f 维数得到了计算特别地，f a l c o n e r 计算了一类非共形 排斥子的h a u s d o r f f 维数，详细情况见【3 3 ，3 4 】s i m o n 和s o l o m y a k 运用f a l c o n e r 的 相关的思想计算了一类r 3 空间中的非共形马蹄的h a u s d o r f f 维数【8 3 】 如果，c 1 竹在a 上非共形扩张且是，y 一束状( y - b u n c h e d ，i e i i ( d 正，) - 11 1 1 ” l l 工k ，i i 1 ) 时，b a r r e i r a 利用在【5 】中引进的非可加热力学形式，同时对所有的正 整数n 考虑导数d 霉广的奇异值，给出了排斥子人的盒维数的上界( u p p e rb o u n d ) 估计【8 】这个估计自然地蕴涵了对排斥子h a u s d o r f f 维数的估计，因为个集合的 h a u s d o r t t 维数总不大于它的盒维数而在映射满足0 ( z k ，) q1 1 2 i i 眈，l l 1 时，换 言之，是1 一束状的f a l c o n e r 3 5 】定义了次可加势函数的拓扑压并给出了排斥子 h a u s d o r f f 维数的上界估计对c 1 非共形排斥子，z h a n g s 8 也是对所有的正整数竹， 利用d z p 的奇异值，通过考虑一列拓扑压的极限，定义了一个新的方程，然后他证 明了该新方程的唯一解是排斥子h a u s d o r i t 维数的个上界估计在未加任何其他条 件的情况下，c a o 2 1 】利用在【2 0 】中定义的次可加拓扑压给出了g 1 非共形排斥子的 h a u s d o r i f 维数的上界估计，并证明了f a l c o n e r 3 5 ，z h a n g 8 8 和b a r r e i r a 8 】所得的排 斥子的h a u s d o r f f 维数的上界估计事实上是相等的，这当然在更一般的条件下推广了 他们的结果当然他们所用的方法都是b o w e n 1 8 】的更一般的形式 因为随机动力系统能更好的模拟现实世界，一些学者展开了对随机吸引子的研究 c r a u e l 和f l a n d o f i 在【2 4 ，2 5 】中引进了随机动力系统里全局吸引子的概念他们证明 了这个吸引子是个随机集合，是紧不变的，而且它吸引每个有界确定集作者在【2 5 】 中发现该吸引子具有大部分确定性系统里的吸引子的性质同时该随机吸引子又是一 个很自然的东西，他们发现它包含该系统的任何一个紧不变集合( 关于这个观点的详 细阐述见【2 6 】) 随着对随机吸引子的深入研究，一个自然的问题就是如何研究和计算 它的h a u s d o r f f 维数? c r a u e l 和f l a n d o l i 2 7 证明了可分h i l b e r t 空间上的连续可微随机系统的紧随机不 变集的h a u s d o r f f 维数是个随机不变量，进一步他们研究了一类以指数速度压缩d 一 维体积的随机系统的紧随机不变集的h a u s d o r f f 维数，在对d 一维体积的指数压缩和 5 次可加热力学形式和随机双瞳集的维数估计第一章绪论 随机系统的线性化近似加了一致性的条件后，他们得出这样的系统的紧随机不变集的 h a u s d o r f f 维数小于等于d 无疑这样的条件稍微强了些，d e b u s s c h e 3 0 在些非常 自然的假设条件下，利用全局l y a p u n o v 指数( g l o b a ll y a p u n o ve x p o n e n t ) 给出了随 机吸引子的h a u s d o r f f 维数估计 另外有些学者希望象确定性系统那样，能把随机吸引子的维数和随机热力学形式 联系起来在随机共形扩张的情况下，k i f e r 证明了随机共形排斥子的h a u s d o r f f 维数 由随机可加拓扑压的唯一根给出【5 3 】非常有趣的是，这个根是由随机系统的拓扑熵 和l y a p u n o v 指数表示出来的对于在比共形弱一些的情况下，b o g e n s c h f i t z 给出了 随机几乎共形( a l m o s tc o n f o r m a l ) 的排斥子的h a u s d o r f f 维数的上下界的估计【1 6 】。 而且这里的上下界也是由随机拓扑压的唯一根给出，这个结果当然是k i f e r 结果的一 个自然推广这些结果可以看成是确定性理论在随机系统里的一种延续遗憾的是受 制于随机系统的随机性，不是所有的确定性结果都能有相应的随机结果 前面提到动力系统理论领域的专家深信刻划吸引子拓扑结构复杂性的h a u s d o r f f 维 数和刻划吸引子上动力学性质的l y a p u n o v 指数、熵密切相关事实上，早在上世纪八 十年代，y o u n g 就在二维的情形下用一个公式把h a u s d o r f f 维数和l y a p u n o v 指数、 熵联系起来了【8 7 】，并且这个公式对盒维数同样正确对于高维情形里的非共形c 2 排斥子，h u 4 8 】给出了它的h a u s d o r f f 维数和盒维数的上下界估计，而且这些上下界 都是由排斥子上的拓扑熵、拓扑压和一致l y a p u n o v 指数给出的这些都是确定性系 统里的经典的结果了因此，我们自然地得出一个问题s 问题二，在随机非共形的双曲系统里，我们能否把随机排斥子的h a u s d o r f f 维数( 包括 盒维数) 和刻划随机系统复杂性的随机拓扑熵、拓扑压和一致l y a p u n o v 指数联系起 来? 在第四章我们对这个问题进行具体的研究，发现虽然不能把这个问题全部象h u 那 样解决。但我们还是对上述问题给出了正面的回答 6 次可加热力学形式和随机双曲集的维数估计第一章绪论 第四节其他相关结果 在这一节里我们把和第二、三节相关的一些进展作个简要的介绍设x 为一紧致 度量空间，t ：x _ x 是不可逆连续满映射为了研究t 的不可逆程度，这也是从另 一方面来研究t 的复杂性，当前一些学者利用经典拓扑熵的定义，引进了类似于熵的 符号的概念来刻划t 的不可逆程度当前对这种名为。原像熵”的熵类( e n t r o p yl i k e ) 的量的研究非常活跃【2 3 ，3 9 ，4 6 ，5 7 ，5 8 ，7 2 】特别地，c h e n g 和n e w h o u s e 定义的 原像熵量满足类似于经典熵论里的变分原理【2 3 】随后f e n g 把c h e n g 与n e w h o u s e 的结果推广到原像拓扑压，并证明了原像拓扑压的变分原理 3 8 】f e n g 的结果可以 看作是对经典热力学形式和原像熵的一个补充和推广更为有趣的是，m i h a i l e s c u 和 u r b a d s k i 7 0 利用这种原象熵的定义方法，结合b o w e n 非紧集上拓扑熵的定义方法， 给出了一种新的逆向压( i n v e r s et o p o l o g i c a lp r e s s u r e ) 定义利用这个新的拓扑压，他 们给出了一类映射局部稳定流形的维数估计具体来说，对于一个满足公理a 条件的 全纯映射，并且它的一个特别的基本集a 不包含临界点，在一些技术性的假设条件 下，他们得到对所有的$ a ，局部稳定流形和基本集相交而成的集合的h a u s d o r f f 维 数由逆向压的零点给出在没有那些技术性的条件下，该逆向压的零点仍然可以给出 上述集合的h a u s d o r f f 维数估计 虽然在非共形情形下。估计维数的办法显得不多，但一些学者已经展开对非双曲紧 不变集的维数的研究并得到了一些令人惊喜的结果 f r a n z 4 0 】和c e 蝤e n 4 3 1 的结果 不但把映射的光滑性降到了c 1 ，而且没对不变集加任何的双曲性条件f r a n z 在【4 0 】 中考虑个g 1 微分同胚的紧不变集合的h a u s d o r f f 维数具体地说，假设这个不变集 上的切丛存在一个等变化的分解( e q i v a r i a n ts p l i t t i n g ) ，与双曲集不同的是没有对不 变集上的切空间上的切映射的伸展率( s t r e c h i n gr a t e s ) 加任何条件，他证明了这种不 变集的h a u s d o r f f 维数的上界估计可以由切映射的奇异值给出，进一步得出这个上界 估计与映射的拓扑熵有关g e l f e r t 4 3 l 考虑的是个c 1 局部微分同胚的紧不变集的 盒维数，假设这个不变集上的切丛存在一个等变化的分解，利用不变集上的切空间上 的切映射的奇异值，定义一个奇异值函数并考虑用奇异值函数作为势函数的拓扑压 他证明了这种不变集的盒维数由不变集上切丛的余维数以及奇异值函数和所考虑的拓 7 次可加热力学形式和随机双曲集的维数估计第一章绪论 扑压的最小零点决定进一步发现不变集的盒维数还与映射的拓扑熵有关 8 次可加热力学形式和随机双曲集的维数估计 第二章次可加测度压 第一节引言 第二章次可加测度压 受到【4 5 】和【7 6 】中对可加测度压的做法的启发，利用c a n ，f e n g 和h u a n g 所引 进的次可加拓扑压的定义【2 0 】 我们分别定义了两种形式的次可加测度压具体点来 说，类似于【4 5 】中的做法，我们利用生成集定义了一种次可加测度压，我们把这方面 的详细述说放在本章的第二节；类似于【7 6 】里面的做法，我们利用非紧集上拓扑压的 定义，给出了另外一种次可加测度压的定义，并得到关于该测度压的逆变分原理，我 们把这部分内容放在本章的第三节最后我们证明了这两种关于次可加测度压的定义 事实上是等价的在这一节里，我们先给出一些定义和知识背景 设( x ，国是一紧致度量空间，用b x 表示其上的b o r e l 仃一代数，t ：x x 是 连续映射歹= 【厶】黯1 是x 上的一族实值连续函数，如果厂满足下述次可加条件 厶+ 仇( z ) 厶( z ) + n ( t 仉z ) ，y x x ，v 饥，n n ， 则我们称歹是x 上的次可加势函数如果x 上的一个b o r e l 概率测度p 满足 p 口- 1 a ) = p ) ，v a 置k ，则我们称p 为一t 一不变的b o r e l 概率测度，同时 称t 为一保测变换进一步，给定一个t 一不变的b o r e l 概率测度p ，如果对任何一 个t 一不变的b o r e l 集合a ，i e t - 1 a = a ，它的p 一测度为0 或1 ，我们就称p 为一遍历测度，称t 为一遍历变换。用m ( t ) 表示由x 上全体t 一不变的b o r e l 概 率测度所组成的空间，e ( t ) 表示由m ( t ) 中的全体遍历测度所组成的集合 对于任意的肛m ( t ) 和( x ，舀支) 的任意有限可测分解4 ，记一铲= v 仁n - - 0 1 t a ， 则称 札( 正a ) 2 溉一去a 三p ( a ) l o g # ( a ) 是t 关于分解4 的测度熵，称 札( t ) = s u p ( 正4 ) l 艉，舀k ) 的有限可测分解 9 次可加热力学形式和随机双曲集的维数估计第二章次可加测度压 是t 的测度理论熵( 简称为t 的测度熵，其相关性质参见i s 6 ) 对一个连续函数 ，：x _ r ，我们称( t ) + 厂f d # 为，关于t 的测度压，并记之为已( z ，) 用 兀( p ) 表示下述极限。 1， 只( p ) = ，熙去f n d # ， 我们知道一个简单的次可加讨论就可以证明上述极限确实存在进一步注意到当 p e ( t ) 时，由次可加遍历定理知上述极限在不对p 积分时是p 一几乎处处存在 的类似地，对一次可加势函数厂，我们称札( t ) 十只) 为，关于t 的次可加 测度压，并记之为r ( t ，厂) 按照通常的做法，对z ，y x ，给出一个新的度量 d ，l ( z ，y ) ：= m a x o i e ， 则称e 是x 的个( 佗，e ) 一分离集如果一个集合f x 满足。比x ，动f 使得厶( z ，y ) e ，我们就称f 为x 的( n ，e ) 一生成集给定一个测度p m ( t ) 和 0 0 和，e ) 一分离集e x ，置 p n ( t ，) = s u p e a ( 霉) ：e