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摘要 小波框架与小波紧框架的构造 刘志国 摘要框架理论最初来源于信号处理，1 9 5 2 年，d u f f i n 和s c h a f f e r 在研究非调 和傅立叶级数时，提出了h i l b e n 空间框架的概念。当小波理论蓬勃发展时 d a u b e c h i e s ，g r o s s m a n n 和m e y e r 把连续小波变换的理论与框架理论相结合定义了 仿射框架( 或称小波框架) 。如今的框架已经广泛应用于小波分析、信号分析、图象 处理、数值计算、b a n a c h 空间理论、b e s o v 空间理论等理论和应用领域的研究。 本文着重讨论了r ( r ) 上小波框架理论，及小波紧框架的构造。本文中引用的 结论大都是此方面的经典结论或是最新的结论。他们代表了此领域的研究水平和 发展方向。在此基础之上，本文作者推广了部分结果，同时也给出了一些新的结 果。本文共分四部分。 第章是绪论，综述了小波分析的产生、发展和框架理论的产生、发展，另 外，还简介了有关框架的对偶的理论。 第二章介绍了框架的基本性质。框架是一类特殊的b e s s e l 序列，框架是把 h i l b e r t 空间中的规范正交基满足的p a r s e v a l 等式推广到比较一般的序列所满足的 双边不等式的结果a 由于we h ，都有，= ( 0 ，m z i ti sv e r yd i f f i c u l tt os a yas e q u e n c ei saw a v e l e tf l a m eo rn o t af u n c t i o n i a b s a e t t h a ts a t i s f i e sa d m i s s i b l ec o n d i t i 。n 膨( 国) 1 2i o ) l d o ) o o ，m a yd i l a t et oaw a v e l e tf r a m e t h ep a p e rp r o v i d e ss o m ej u d g m e n t sf o rw a v e l e tf r a m ea n dw a v e l e t t i g h tf r a m e t h es e c o n dp a r ti nt h i sc h a p t e rl i s t ss o m er e s u l t sa b o u td u a lw a v e l e tf l a m e s t h ec h a p t e r4p r o v e st h a tw ec a n tg e tt h ei n t e r p o l a t e dw a v e l e tt i g h tf r a m e u n d e r s o m ed e s i r e dp r o p e r t i e s ，w es h a l ld e s i g na l o w - p a s s f i l t e rf i r s t l y , t h e nu s i n gt h e i n e q u a l i t y l p ( z ) h 以刮2 - 1 ，w ew i l lg e tt h r e eh i g h - p a s sf i l t e r s t h e r e f o r ew e c a ng e t t h ew a v e l e tt i g h tf r a m e st h a ts a t i s f yo u rp r o p e r t i e s t w oo f t h o s eh i g h p a s sf i l t e r ss a t i s f y s y m m e t r yo ra n t i s y m m e t r y ，a n da l lo ft h e mh a v eaf r e ep a r a m e t e r t h eg r e a t e rf r e e d o m w i l lw i d e nt h es e l e c t i o nf o rb o t hl o w - p a s sa n dh i g h p a s sf i l t e r s a tl a s t ，w ew i l lg i v et h e a l g o r i t h mf o rf i l t e r sa n ds o m ec o n c r e t ee x a m p l e so f w a v e l e tt i g h tf l a m e s k e y w o r d s ：f r a m e b e s s e ls e q u e n c ew a v e l e tt i g h tf r a m ef i l t e r 学位论文独创性声明 x 9 0 0 2 8 3 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得陕西师范大学或其它教育机构的学位 或证书而使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中 作了明确说明并表示谢意。 作者签名：宣刘蓉：幽日期：；纽蓝：上。f 学位论文使用授权声明 本人同意研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属陕西师范大 学。本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西师 范大学。学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其它指定机构送交论文的电 子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校 图书馆、院系资料室被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索； 有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 作者签名：主以：鹤 日期：垫! ! ：圭：! 第一章绪论 第章绪论 1 1 小波分析的产生与发展 “小波分析( w a v e l e ta n a l y s i s ) ”是2 0 世纪8 0 年代正式形成的一种新的数学方 法，它被看作是多元调和分析这数学领域半个世纪以来的工作结晶，是纯粹数 学与应用数学等的交叉学科。小波分析分别被纯粹数学家与研究石油勘探数据处 理、量子场论、声学等领域的应用数学家独立发现，它是纯粹数学与应用数学殊 途同归的又一个光辉例子。由于小波分析的“自适应性质”和“数学显微镜性质”，使 其被广泛应用于基础科学、应用科学尤其是信息科学、信号分析的方方面面，例 如，函数论、量子场论、信号处理、图像处理与传输、模式识别( 人像识别、话音 识别、天体识别等) 、地震勘探、音乐、雷达、c t 成像、彩色复印、流体湍流、机 器视觉、机械故障诊断与监控、分形及数字电视等。它不仅成为数学家们研究的 一个热点，同时也引起了物理学家、生物学家、工程师等其它领域科学工作者的 广泛关注。它的理论研究与实际应用的范围正在迅速深入与扩大。 自1 8 0 7 年j f o u r i e r 提倡用函数的f o u r i e r 级数展开研究热传导方程以来，近 二百年来，f o u r i e r 分析成了刻画函数空间、求解微分方程、进行数值计算与处理 信号数据等的主要数学工具之一。f o u r i e r 分析之所以能有如此作为，是有其原因 的，一方面，从理论角度看，主要在于许多常见运算在f o u r i e r 变换下性质变得更 好；另一方面，从实际应用角度看，是因为f o u r i e r 级数展开式是每个周期振动都 是具有简单频率的简谐振动的叠加这一物理现象的数学描述。f o u r i e r 分析虽然有 许多优点，然而也有不可忽视的缺点。f o u r i e r 级数是，( r ) 在整个时间域上的加权 平均。但是局部性质的描述无论是理论方面，还是实际应用方面都是十分重要的。 f o u r i e r 分析在时间域上局部性的缺乏大大的限制了它的应用。长期以来，数学家 与工程师在努力寻找函数空间l 2 ( r ) 的一种函数基，使得这种函数基既能保持指数 函数基的优点，又能弥补指数函数基的不足，他们想象这种函数族的形式是由一个 函数p ( z ) 经过两个简单的运算，即平移与伸缩生成的。q ( x ) 具有光滑性、紧支撑 性和较高的消失矩的函数通过伸缩和平移而生成的函数族。由于口( x ) 的图像形如 小波，因而这样的基称为小波基。对它的存在性、构造与性质的研究就是小波分 析的重要研究内容之一。 最早用伸缩和平移思想构造小波正规正交基的是a l f r e dh a a r ，他在1 9 1 0 年 给出了h a a r j 、波的构造。其次，1 9 3 8 年p a l e y l i t t l e w o o d 提出了按二进制频率成分 分组的理论。1 9 4 6 年，d g a b o r uj 弥补了f o u r i e r 分析在时间域e 局部性的缺点，给 出了将信号分解为基本信号的方法。g a b o r 的方法很快成为涉及时间频率的分析方 第一章绪论 法的典范。今天，g a b o r 的思想仍是无数g a b o r 框架应用的核心。 但对小波分析具有直接影响的是7 0 年代，那个时候，a c a l d e r o n 表示定理的 发现与对h a r d y 空间的原子分解与无条件基的大量研究为小波分析的诞生作了理 论上的准备。1 9 8 2 年，j o s t r o m b e r g 首先构造出了一个很接近现在称之为小波基 的基，但它没有引起人们的注意。在2 0 世纪八十年代初，许多搞信号分析的工程 师们也为小波分析的诞生做出了积极的贡献，例如j m o r l e t 就在2 0 世纪八十年代 初最早使用了小波这一名称，提出了一个确定函数p 的伸缩平移系展开的系统理 论。 直到1 9 8 6 年，ym e y e r 在怀疑上述意义下的小波基的存在性的同时偶然地构 造出了现在称之为m e y e r 基的真正的小波基，以及随后不久，s m a l l a 与ym e y e r 建立了构造小波基的通用方法，即多尺度分析后，小波分析才正式成为一门数学 科学。在其后至今二十年的时间内小波分析及其应用得到了蓬勃的发展。它涉及 面之宽广、影响之深远、发展之迅速都是空前的。它所取得的成就也令人瞩目。 它能对几乎所有的常见函数空间给出通过小波展开系数的简单刻画，也能用小波 展开系数描述函数的局部光滑性质。 图1 1d a u b e c h i e s 小披 2 0 世纪九十年代初，女数学家i d a u b e c h i e s 撰写了一部世界范围公认的经典 学术名著n nl e c t u r e so nw a v e l e t s 2 ，它是根据d a u b e c h i e s 在1 9 9 0 年于第三 次国际小波大会上为众多来自数学与非数学的小波热心听众所作的十次讲演整理 而成的小波专著。该书为全世界普及和推广小波分析做出了极其重要贡献。1 9 9 5 年，龙瑞麟编写了一部高维版本的类似于“t e nl e c t u r e so nw a v e l e t s ”那样的专著 【3 3 。作者用简洁的表达方式反映了高维小波分析领域重要的成果。2 0 0 3 年，o c h r i s t e n s e n 编写了一本系统介绍h i l b e r t 空间中框架和r i e s z 基的基本理论的专著 4 。s t e p h a n em a l l a t 撰写了一本关于信号处理的小波分析应用方面的经典丛书 5 】。 第一章绪论 1 2 框架理论的产生和发展 任何一门学科的发展都不是孤立的。泛函分析是数学的个古老分支。它是 研究小波分析特别是框架理论方面问题的一个十分有力的工具。关于泛函分析的 知识可以参阅文献 6 。框架( f r a m e ) l 里- 论是小波分析的一个重要研究内容，也是小 波分析研究的重要数学工具之一。 1 9 4 6 年，d g a b o r t l l 在进行信号处理时，引入了一个信号关于基本信号的分解。 当时d g a b o r 的思想方法很快成为与时间频率方法联系起来的谱分析的范例。例 如，短时f o u r i e r 变换和w i g n e r 变换。1 9 5 2 年，d u f f i n 和s h a e f f e r l 7 1 在研究非调和f o u r i e r 分析时，进一步提炼了d g a b o r 的思想方法，进入了更深的研究。同时，p a l e y 和 w i e n e r 的基本结果激发他们解决了非调和f o u r i e r 分析研究中的许多问题，得到了一 些新的结果。但是框架这个思想在当时并没有引起广泛的兴趣。 直到1 9 8 6 年，d a u b e c h i e s ，g r o s s m a n n 和m e y e rp 1 取得了里程碑式的成果，才 使框架理论开始被人们广泛关注。框架是标准正交基的一般推广，给定h i l b e r t 空间 h 中的一组基碡) ，h 中的任意元素z 可以表示成z = q q 的形式，且系数如) 是 唯一的。而h 中的框架 ，) 可以将h 中的任意元素，表示成f = 芝：q z ，但其系数豫) 一般不是唯一的。这样，就可以根据实际应用需要选择合适的系数，并且满足一 些标准正交基不能满足的条件。框架的条件较弱，所以它拥有许多标准正交基所 不能拥有的重要性质。因此，它成为许多数学工作者研究的重点对象。 近些年来，算子理论和b a n a c h 空间理论的许多有用的工具用于框架理论的研 究，获得了许多重要的结果 9 、 1 0 、 1 1 。d r l a r s o n 、d e g u a n gh a n 和x i n g d e d a i 等人把算子代数理论运用到框架理论的研究中，使得框架理论研究更上了一个 层次，开辟了一个新的局面，从整体上把握和研究了框架和基的性质( 1 2 、 1 3 】。 关于具有特定性质的框架理论可以参阅文献 1 4 2 0 。 基的扰动理论是在1 9 8 0 年由r y o u n g 2 l 】提出来的，经过近些年的发展己经 得到了很大程度的拓展。 1 9 9 5 年，o c h r i s t e n s e n 讨论了h i l b e r t 空间中的框架的稳定性【2 2 】。不久，他 又推广了p a l e y 和w i e n e r 关于r i e s z 基稳定性的结果【2 3 】。 1 9 9 7 年，o c h r i s t e n s e n 和pgc a s a z z a 合作推广了关于b a n a c h 空间算子u 可逆的扰动性结果，得出一个更弱条件的扰动性结果，并把这个结果运用到h i l b e r t 空间和b a n a c h 空间中框架的扰动性的研究中2 4 1 。 1 9 9 9 年，o c h r i s t e n s e n 推广了d i n g 和h u a n g 关于闭值域算子扰动性的结果， 第一章绪论 得出个更弱的扰动条件，并将这个结果运用到子空间中框架的扰动性研究中 2 5 。关于框架的稳定性和扰动性的研究还可以参n 文献 2 6 2 8 】。关于g a b o r 框架 , t r i m , 波框架的稳定性和扰动性的研究可以参阅文献 2 9 3 1 。 2 0 0 1 年，朱玉灿口2 c h 空间中q 框架与p 一砌e s z 基的概念，并讨论 了它们的稳定性和扰动性。 2 0 0 3 年， o c h r i s t e n s e n d 和ts t o e v a 0 3 1 合作证明y p 框架 g ，) c x ， ( 1 p 0 ，使得对v f h 都 有： 仍) 【2 8 1 f 1 2 ( 2 1 ) 拒i 则称 哆) j e i 是h 中的一个b e s s e l 序列。称b 为 吼k 的b e s s e l 界。其中最小的b 称 为最优的。 定理2 1 1 若娩k h 是一个b e s s e l 序列，则对任一闭子空间i r i 。e h 而言， 只要s p a n o ， h 。，则 仍k 也是h 、的b e s s e l 序列，反之亦然。特别的，觇 。 ：是s p a n g o i 的b e s s e l 序列。 证明根据定义知为显然。 定义2 2 设娩k h ，如果存在两个正数4 、b ，爿b 使得v f h 有 4 2 孵) 卜b 1 1 1 1 2 ( 2 2 ) j e i 。 则称觇) 。为h 中的框架。其中a ，b 分别称为框架下界和上界，最小的b 和最大 的a 称为最优界，特别地，a = b 时称框架 仍k 为紧凑的，a = b = i 时称为正规框 架。若只有右边不等式成立，则( 羁k 为h 的一个b e s s e l 序列。 第二章框架的基本性质 由以上定义可见。框架是一类特殊的b e s s e l 序列，框架是把h i l b e r t 空间中规 范正交基满足的p a r s e v a l 等式推广到比较一般的序列所满足的双边不等式( 2 2 、的 结果，而b e s s e l 序列是h i l b e r t 空间中一个正交序列所满足的b e s s e l 不等式推广到 比较一般的序列所满足的不等式( 2 1 ) 的结果。 以下为简洁起见，把h 中以i 为指标集的b e s s e l 序列全体记为b ，把h 中以 i 为指标集的框架全体记为f ，若( 识k 是h 中一个b e s s e l 序列，则记为娩) 。b ， 若舰) 。是h 中一个框架，则记为娩k f 。 定理2 1 2 设觇b f ，且以彳、b 为框架界，则有： ( 1 ) v i i ，恻r b ； ( 2 ) 若i 胁j f 2 = b ，则仍is p a n 矿j ( 3 ) 刘吼4 2 爿，则纪面而慨k 。 推论2 1 3 设娩) 。导，且以b 为b e s s e l 界，则有 ( 1 ) v i i i ，l i 妒, 1 1 2 b ( 2 ) 若恻1 2 = b ，则仍z s p a n ( 妒a 引理2 1 4 设 纯) ie b ，n x j v c k f 2 ( i ) ，c ，仍无条件收敛，且有 j e f 1 2 i q 识f b 蚶i ，v e i ，2 ( i ) 。 i i e i r e i 若从泛函分析的观点看引理2 1 4 ，则可以用算子的性质来描述与刻划b e s s e l 序列。具体地说，有下面的结论： 定理2 1 5 在一个合适的映射下，b 和b q 2 ( i ) ，h ) 是一一对应的。 证明设僻k 是f 2 ( i ) 的标准正交基，若 够k b ，作从f 2 ( i ) 蓼 i - i 的线性算子 f 如下： t ：，。( i ) 寸i t ，e i 卜识，v i i 。 易证r 有界，v c ， f e i f 2 ( i ) ，丁k k = q 仍由引理2 1 4 ，e l 1 2 i t c a 。1 2 = l q 纪l b 卅 第二章框架的基本性质 所以2 b 。这说明，对于任意娩k b ，则可作唯一的算子丁b ( ，2 ( i ) ，h ) 。 反之，给定一个算子丁b ( 1 2 ( i ) ，h ) ，记仍= t e i ，v i i ，则可h ，因为 善l ( 仍) f 22 善j ( ，t e ，) f 22 善f ( ，+ ，4 1 2 = l i t 州2s l i t 1 1 2 m 2 所以娩) 。b 且以l i r l l 2 为最优界。 下面作映射： 妒：b - b ( z 2 ( i ) ，h ) ， 哆kh ，：，2 ( i ) 斗h ，e i 卜够v i i ( 2 3 ) 由上面证明知为双射。 推论2 1 6b 和口( f 2 ( i ) ，h ) 是一一对应的。 由定理2 1 5 知道，可以把对b e s s e l 序列的研究转化为研究相应的有界线性 算子。 推论2 1 7 两个b e s s e l 序列的线性组合仍旧是一个b e s s e l 序列。 推论2 1 8 设渤 m e ht 若v c j 。e 1 2 ( i ) ，都有z c ，仍无条件收敛，且 1 2 l c 纪】- a i i i i ，即t 是h 到r p ) 上的一个有界的可逆算子，由此知 胄( ，) = h 。 反之，任给一个满射算子丁b ( ，2 ( i ) ，h ) ，记死，= 妒，v i i 。有： 第二章框架的基本性质 z k ：，仍) 1 2 = | ( 厂，t e ) 1 2 = l ( z + ，q ) 1 2 = 【p + ，1 1 2 ( 2 5 ) f e ii e li d 由r 是满射，故r 为单射且有连续左逆，故鲥 o 使i 丁：1 1 2 - - 4 1 1 ：1 1 2 。所以 许k e f 。 定义2 3 设 仍k f ，则框架算子s 是从h 到f 2 ( i ) 的线性算子，定义为 ( 矽) ，= ( f ，仍) 相应的丁，r 分别称为框架变换，准框架算予。 记s 为s 的伴随算子，则容易推得s + s 可逆，并且有 a i d s s 。s 量b id 。 易证有心s b i d 。故s 是一个正可逆算子，且有下述关系 b _ i d s _ 1 a - 1 厶。 由此得到下面的框架分解式： f = s s 1 ，= ( s f ，识) 吼= ( 厂，s 。玑) 谚 厂= s 1 矽= s 。( 厂，识) 仍= ( ，仍) s 。伊 i e lt “ ( 2 6 ) ( 2 7 ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) m ( 2 8 ) 式和( 2 9 ) 姑f l ，v f h ，f 可分解为框架 竹b 的线性组合，g _ 是a q r l 研究框架的根本原因。 引理2 2 2 【7 ，引理8 设 识k f ，且以一，b 为最优界，设其框架算子为s 则 s 一1 仍 。，f ，且以b ，爿一1 为最优界。 定义2 4 称 s 。竹k 为 仍k 的典则对偶框架( c a n o n i c a ld u a lf r a m e ) 。 h i l b e r t 空间h 中元素利用框架 吼k 和 s 。1 纯l 来展开时，满足下述的所谓最 小能量原理： 第二章框架的基本性质 引理2 2 3 1 7 设 以le f ，可h ，则j k ke 1 2 ( i ) ，使= q 孵，这里 c i = ( 占，仍) ，v i i i ，其中g 是一个固定向量，且若另有一序列 每k z 2 ( i ) ，也 使得，= 6 l 仍，则不存在苫h ，使砖= ( 舀仍) ，v i e i 。且有下面的关系式 r e i e l 1 2 = ”+ z i c , - d , 1 2 j e ij e il e l 事实上，引理2 2 3 中的g = s - l ，。 f 2 t o ) 现在来考察框架 s 1 仍k ，设它对应的准框架算子是于，于：h 斗，2 ( i ) ，h ( ，s 一1 仍) ) 。，可h ，b i t f = t s 一1 ，所以于= 弼，这里丁为 仍b 对应 的准框架算子，故f = s 一1 r ，e r 以一t 一t = s 一1 r + t s = s ，即 s 一1 仍乙对应的框 架算子是s ，所以 s 一1 仍) 。的典则对偶是： ( s 。仍) = s s 。仍= 仍，v f i 。 ，亍，s ，s t 这几个算子之间的关系是：t t ：s t 一t ：s 一，亍：t s ，t ：两 于r = r + 于= l ，厅= 开，厅是f 2 ( i ) 到r 口) 的正交投影算子，r p ) = r 每) 。 由上述关系可知，典则对偶框架之间的对偶是相互的。 现在来求s ，由爿厶s 吼可知一b b + - a i 。 ，v e h 。 定义2 5 称引理2 2 4 中的两个框架 ，k 和 岛 f e i 互为交替对偶框架。 定理2 2 5 设 f i ， 岛) 。f ，设 ，k 对应的准框架算子为弓， k 对 应的准框架算子为t ，则下列结论等价： ( 1 ) ，) 。和 岛 。互为交替对偶； ( 2 ) ，= ( 厂，z ) 晶，w h l e l ( 3 ) f = ( ，g ，) ，v f i t ( 4 ) 丁s 巧= 弓+ 毛= ，。 事实上，典则对偶一定是交替对偶，但框架的典则对偶是唯一的，而交替对 偶一般地不一定唯一。现在假设 z ) 。， s 一z ) 。是 z 。的典则对偶，而 吕ke f 是 z l 的任一交替对偶，则有下面的等式 ( 1 ) 厂= ( 厂，s 1 ，) ，v f h ； i e i 第二章框架的基本性质 结论 ( 2 ) ，= ( ，f ) s 。z ，w h ( 3 ) f = ( ，z ) g j ，v ，t h ； l e i ( 4 ) ，= ( ，& ) ，可e h ； e i 它们之间有下述关系 ( ，s 。硝协) 1 2 ( 2 1 4 ) 关于交替对偶框架的求法，亦即一个准框架算子的有界左逆的求法，有下列 引理2 2 6 3 8 ，定理3 6 】设 z 。f ，它对应的准框架算子为t ，则t 的左 逆r 的一般形式是 兄= ( r + 丁) _ 1 t + 矿+ ( i d t ( r + r ) 一t + ) 这里矽是任意线性算子形b ( h ，1 2 ( i ) ) 的伴随，设k k 是，2 ( i ) 的标准正交基，则 ，k 的交替对偶 岳k 由下式决定( s - 1 为 ，k 的框架算子) g ，= rp = s - i f + ( l t ( t + 丁) _ 1 t ) p 。，v i i ( 2 1 5 ) 推论2 , 2 7 设 ，匕f ，则它的交替对偶 璺k 1 7 具有如下结构 g 。= s - t f + p 。，v i i 这里 b k 是和 ，k 强不相交的b e s s e l 序列。亦即r 的左逆为于+ + p ，尸为由 只k 对应的b e s s e l 变换，这里r 是 ，k 的准框架算子，于是 s 一1 ，l 对应的准 框架算子。 证明这由引理2 2 6 中形+ ( f t ( t + r ) 1 t ) r = 0 ，可知。 因为 q f = o q ) j e i r ( 丁) 1 z 2 ( i ) ，所以v c ，) 瑚尺( ，) 1 1 2 ( i ) ，则对 v f h ，都有 第二章框架的基本性质 = ( ( ，s 。z ) + q m ， ( 2 】6 ) 式( 2 1 6 ) 说明了框架分解对噪声有一定的抵抗力，框架的冗余性越大，则这种 削减噪声的能力越强，这里如) 。r ( r ) 1 就是反映了噪声的数据。 定义2 6 若磊= ( s + s ) 。1 识，则族 谚k 也是一个框架( 证明见 2 】中5 8 5 9 ) 。我们 称( 拜k 为 仍) 。的对偶框架。 对偶框架娩k 满足 b i l f l l - 是一一映射，h 在s 下的像是整个z 2 ( i ) 。 定义2 7 纯k 为冗余框架是指仍是非独立的，并且s h 中的元素为具有相 互关联的序列，s h = r a n ( s ) 为1 2 ( i ) 的子空间，小于，2 ( i ) 本身。 框架越冗余，则r a n ( s 1 越小，冗余框架还可以从另外一个角度进行定义 定义2 8 设 仍) 。是中的框架，如果存在i 。i ，使得 吼) f e i 是h 中的框架 则称( 研) f e i 是冗余框架，否则称之为无冗余框架。 定理2 2 9 设 仍 。是h 中的一个框架，则锄 l 是冗余框架的充要条件是t 存在e i ，使得= 丑竹( 为常数) 。 一般来讲，框架可以尧余的。如果框架接近于紧框架且所有的框架向量都 是正交的，那么框架冗余度可以根据( 4 + 占髟来衡量。在实际应用当中，人们总 是期望寻求框架的冗余度，目的是以获得接近连续变换的表示，另外，它还可以 减少离散小波重构误差。 重构公式，z ( ，竹) 弭涉及到在r 口h ( s ) 上的投影，它可以写为算子形式 f = 雪+ s fr 2 2 1 ) 并且，如果c 上r a n ( s ) ，则s 。c = o 。如果( ，仍 中每一系数都加入一些q ( 比如 舍入误差) ，则它们对重构函数的总的影响为 五。= 蜃+ ( 夥十盘)( 2 2 2 ) 由于s + 包括r 口 ( g ) 上的投影，所以，序列口中与r a n ( s ) 正交的元素不起作用，并 第二章框架的基本性质 且期望l l 一工。l | 小于| o 如果r a n ( s ) 越小，即框架越冗余，则这一影响越明显。 2 3 紧框架的性质 在紧框架中，对可e 1 ：i ，有i ( ，饵) 1 2 = a i i s l l 2 ，由此可得，至少在弱意义下 f = x e ( s ，仍) 仍 ( 2 2 3 ) ，d l 如；) 这就是重构，的公式。公式渤很容易使人想起的正交展开，但是，一般来讲，框 架甚至是紧框架，都不是正交基。 紧框架中，框架界爿的值称为冗余比。若由4 衡量的冗余比等于1 ，则紧框 架实际上就是一组正交基。接下来，我们将就紧框架以定理的形式给出它的一些 性质。 定理2 3 1 若 仍k 是无冗框架，则它是一个线性无关组。 证明 若不然r 则衲k 中有限个元吼，仍，红。线性无关，不妨设 吼= 4 吼，并设旯= m a ) 【帆l ，k 卜，h 畦则 o ，记i ，= i 一 ) ，则i 。是i 的 真子集。对任意v ，h ，显然有 z l ( s ，仍) 1 2 仍) 1 2 - 蚰l l f l l 2 ( 2 2 4 ) * l l s l l 2 m 仍) 1 2e i o ，i i tv i e i ，慨1 i = j ，则 f 粤k 是规范正交基。 v a 证明它显然是定理2 3 2 的推论。证毕。 定理2 3 4 设( 竹) 。是紧框架，框架界a = b = 1 ，若存在i ，i i 仍1 1 1 ，则 仍k 必为冗余框架。 证明取i 。= i 一 i o ，则v f h 第二章框架的基本性质 因而 又显然 m 以) 1 2y l f ，酬2 + 协吼) 1 2 协仍) | 2 + l | 硎2 2 ( 2 2 7 ) l e i j e kk b 饩f j 2 ) | w s 驴蒯 ( 2 2 s ) l ( ，吼) 1 2 m 饵) 1 2 - 0 ，若存在e i ，l i 伊, i i 0 ，如果 。) 。是f ( r ) 的框架，则称 ，) 。：是r ( r ) 的小波框架( 或仿射框架) 。其中函数伊称为基小波或母小波， 实数6 ，b 称为框架参数，6 称为伸缩参数，b 称为平移参数。 3 1 小波框架的判定 下面的命题说明了以上定义的小波框架的确是存在的。文 1 4 1 改进了 8 】中的 结果得到如下命题。 定理3 1 1 【1 4 ，定理5 1 2 】设g r ( r ) ，且s u p p ( 营) 至【f ，明，其中0 f o 满足 ( 1 ) 存在常数爿，b 使得o 4 。恒( 矿) 1 2 - b o ， ( 2 ) 三一l s ， 则任意f r ( r ) 6 1 4 刖夕( 国) 陋墨。) 1 2 6 - 1 曰c ”胁) 。 ( 3 1 ) 特别地， g 。) 是珥( r ) 的框架，界为6 。4 ，6 1 占。其中， 职( r ) = ，r ( r ) ：s u p p 0 7 ) 【o ，+ o 。) ) 下面的定理则给出了r ( r ) 上的一个具有紧支撑的小波框架。 定理3 1 2 1 1 4 ，定理5 1 5 1 设g 。，g ：r ( r ) ，s u p p ( 磊) 卜l , - i 】，s u p p ( 雪2 ) 第三章小波框架 【z ，朋，0 f 0 ，且满足 ( 1 ) 存在常数a ，b ，使得 o 一。阻n ”出) 1 2 占 0 ， ( 3 2 ) o a - z 。陆：( a c o ) 1 2 日 佃，n e m o ， ( 3 3 ) ( 2 ) 2 l 1 6 ， 则 ( g 。+ g ：) ) 是r ( r ) 的小波框架。 上述定理中若没有条件( 2 ) 并不能保证 ( g ，+ 9 2 ) ) 。生成r ( r ) 的框架。如 萨2 ，b = l ， 磊= m _ 2 1 l 】，受= 五1 2 1 ，则函数厂= z 【哪】一五i 捌正交于 d o 。乙( g 。+ g ：) 。：，故 见。z k ( g 。+ g ：) ) 。z 不完全，因此不可能是框架。 定理3 1 3 1 1 4 ，定理5 1 5 设g r ( r ) ，其中0 l 0 满足 ( 1 ) s u p p ( 8 ) - l ，一1 w 1 ，l 】， ( 2 ) 毒连续，并且在( 一l , - 1 ) u ( ，三) 上不为0 ， ( 3 ) 坎1 ：工争 则f g 。) 是r ( r ) 的框架。 证明 由口 争知，可取f ，l 使得， r o 。任意 c 0 r ，口0 ，不妨设 0 ，由( 1 ) 知 l n 土m 三 z a n l ，记c = _ 丝墨h _ 熊= d ，从而 i n 口i n 口 生一生小坠坐+ 1 。盟一盟+ l = 兰兰二竺+ o 。 i n 口i n 口i n d 冈此 第三章小波框架 驰如) 卜驴f 帕堕等岩+ 1 ) 以c “s d 另一方面由a l ，0 ， l 。时口 - - 7 充要条件是存在一l ，0 f r l 7 l o 满足 ( 1 ) s u p p ( 喜, ) 卜l ，- 1 o t ，l ，i = 1 , 2 圳3 一，k ， ( 2 ) 鸯连续，并且在( 一l , - ，) u ( ，三) 上不为0 ，i = 1 , 2 “3 ，k ， 。 “+ l ，则条件( 2 ) ，( 3 ) 即可满 足。 该定理说明只要母小波的傅立叶变换具有足够快的衰减，也能够保证 g ) 在 一定条件下生成框架。 3 i 小波框架的对偶 我们研究框架的目的之一就是为了获得重构某个函数的算法。如果一个框架 的对偶框架已知，那么重构问题就变得很简单了。我们可以重构任意函数 h r ( r ) 。设 g 。) 是r ( r ) 的框架， 季。) 是 g 。 的对偶框架，对于任意 f r ( r ) 有 ( ， ) = ( ，g 。) ( 喜。， ) = ( ，季。) ( g 。，) = ( ，黔毛。溶 ( 3 4 ) 那么 = ( ，邑，。) 岛至少在弱收敛意义下成立。在开始讨论小波对偶框架之 前，我们先来考察小波框架算子的一些性质。 设gin)是r(r)的小波框架，算子s是g)的框架算子。13中给出了关于, 框架算子的进一步的结果。 定理3 2 1 1 1 4 ，定理5 2 i 】( 1 ) 如果函数g 及常数a ，b 满足定理3 1 1 的假设， 则可= 驴；功”，并且s “= p 日) ，任意，s 霹( r ) 。这里 10 o 叫叻2 1 6 _ 1 胁研，删。 。5 ( 2 ) 如果函数g l ，及常数a ，b 满足定理3 1 2 的条件( 1 ) 以及定理3 1 1 的条 第三章小波框架 件( 2 ) ，s f = 矽，并且s 。，= 刁”，任意厂e r ( r ) 。并且这里 国 0 ( 3 ) 如果函数蜀，9 2 及常数a ，b 满足定理3 1 2 的假设，则夥：仔；砩”，并 且s 4 ，= 功”，f f ：, g f 口( r ) ，这里日( ) = 6 - 1 。l ( 二- g ：) ( n ”) l 。 2 4 ，命题5 5 】知w e y l - h e i s e n b e r g 框架的典则对偶框架仍是w e y l - h e i s e n b e r g 框架。但是，小波框架的典则对偶未必是小坡框架。事实上，设 g 。) 是p ( r ) 的 框架，s 是其框架算子。我们只能得到：g = d a 。曲，s - l 见。g = d 。s g ，任意 , z 。但是，s z k s ，任意m z 。般地，小波框架的交错对偶是存在的， 但是一般说来不是小波框架。 接下来的问题就是：当 g ) 是r ( r ) 框架时，其交错对偶框架在什么条件下 是小波框架? 有没有一般性的判断准则? 这已是公开的问题。 当 g 。 是r i e s z 基时，在c h u ic k 上世纪九十年代初的文章中有关于对偶 框架( 季 的讨论。对于一般的小波框架 2 0 】给出如下结论。 那么 定理3 2 2 【2 0 设 g 。) 是r ( r ) 以a ，b 为界的框架，( 季) 是它的交错对偶 虿两鼢脚) = 1 一e n e z ( 3 7 ) z g ( 2 ”珊) 言( 2 ”曲) = 何j ，叫 ( 3 8 ) ”z 此命题给出t d , 波框架的交错对偶框架是小波框架的必要条件。 定理3 2 3 1 4 1 ，定理l 】设g r ( r ) ，( d 2 ，已g ) ， d 2 。l 蚕) 是r ( r ) 的小波框架， 那么 d 2 t f f 是 2 。乙勃的交错对偶框架的充要条件是 ( 1 ) 鸯( 2 ”国培( 2 ”) = l ，( 3 9 ) 刮圳 月 0 口o 口6 月 d ，怕 旧， i 第三章小波框架 ( 2 ) 富( 2 “吐 ) 季( 2 ”( + 2 ，+ 1 ) ) = 0 ，任意，z p ( 3 1 0 ) ”e z 以上两节对紧支撑小波框架、非紧支撑小波框架、对偶框架的判定和性质进 行了讨论，推广了部分结果。 小波紧框架具有很多良好的性