（概率论与数理统计专业论文）the+perance+of+control+charts+for+linear+profiles+with+estimated+parameters.pdf

南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：峦刁宏抛 妇口彦年f 月事口日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年 月 日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名：李一募桕 加暑年，月孑oe l a b s t r a c t s t a t i s t i c a lp r o c e s sc o n t r o l ( s p c ) h a sb e e nw i d e l yu s e dt om o n i t o rt h ep e r - f o r m a n c eo fv a r i o u si n d u s t r i a lp r o c e s s e s m o s to fr e s e a r c hi ns p cf o c u s e so nt h e c h a r t i n gt e c h n i q u e s i nm o s ts p ca p p l i c a t i o n s ，i ti sa s s u m e dt h a tt h eq u a l i t yo f ap r o c e s sc a nb ea d e q u a t e l yr e p r e s e n t e db yt h ed i s t r i b u t i o no faq u a h t yc h a r a c t e r - i s t i c h o w e v e r ，i ns o m es i t u a t i o n s ，t h eq u a l i t yo fap r o c e s si sb e t t e rc h a r a c t e r i z e d a n ds u m m a r i z e db yar e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h er e s p o n s ev a r i a b l ea n do n eo rm o r e e x p l a n a t o r yv a r i a b l e s i np a r t i c u l a r ，m o s to fs t u d i e sf o c u so nt h es i m p l el i n e a rp r o - f i l e s 帆1 et h eh n e a rp r o f i l ei ss i m p l e i to c c u r sf r e q u e n t l y h e r et h i st h e s i sf o c u s o nm o n i t o r i n gap r o c e s st h a ti sc h a r a c t e r i z e db yal i n e a rp r o f i l e a m o n gm a n yc o n t r o lc h a r t sf o rm o n i t o r i n gl i n e a rp r o f i l e s ，t h ec o m b i n a t i o no f t h r e ee w m ac h a r t sp r o p o s e db yk i me ta 1 ( 2 0 0 3 1i sav e r ye f f e c t i v em e t h o dt o m o n i t o rt h et h ei n t e r c e p t ，t h es l o p e ，a n dt h es t a n d a r dd e v i a t i o n s ，r e s p e c t i v e l y , w i t h k n o w np a r a m e t e r s h o w e v e r ，i np r a c t i c a l ，t h ep r o c e s sp a r a m e t e r s ，t h ei n t e r c e p t ，t h e s l o p ea n dt h es t a n d a r dd e v i a t i o na r eu s u a l l yu n k n o w n i nt h ee a r l ys t a g e so fp r o c e s s i m p r o v e m e n t t h e ya r eu s u a l l ye s t i m a t e du s i n gi n c o n t r o lh i s t o r i c a ls a m p l e s w h e n t h ep r o c e s sp a r a m e t e r sa r ee s t i m a t e d ，i n s t e a do fk n o w np a r a m e t e r s ，t h er u n - l e n g t h p e r f o r m a n c eo ft h et h r e ee w m a c h a r t sd i f f e r sf r o mt h a to fk n o w np a r a m e t e r s t h e a r la n dt h ef a l s ea l a r mp r o b a b i l i t i e sa r ei n t e r e s t e d i nt h i st h e s i s ，t h ee s t i m a t o r so ft h ei n t e r c e p t ，t h es l o p ea n dt h es t a n d a r dd e v i a - t i o na r eg i v e n ，w h i l et w od i f f e r e n te s t i m a t o r sf o rt h es t a n d a r dd e v i a t i o ni sc o n s i d e r e d a n dt h er u nl e n g t hp e r f o r m a n c eo ft h e s et h r e ee w m ac h a r t sw i t he s t i m a t e dp a - r a m e t e r si ss t u d i e d t h ee f f e c to fe s t i m a t o r so nt h ep e r f o r m a n c ei sd i s c u s s e di n av a r i e t yo fp r a c t i c a ls i t u a t i o n a n di np a r t i c u l a r ，f o rt h et w od i f f e r e n te s t i m a t e s f o rt h es t a n d a r dd e v i a t i o n s ，t h ee f f e c to ft h e mi sc o m p a r e d a tl a s tw ec o n c l u d e t h a t ，o n c et h ei n t e r c e p ti se s t i m a t e d ，t h ee w m a c h a r tf o rt h ei n t e r c e p ts h o w sa d e c r e a s e di ca r l ，a n dw h e nt h ei n t e r c e p ti sk n o w na n dt h es t a n d a r dd e v i a t i o ni s e s t i m a t e d t h ei ca r lo ft h ee w m ac h a r tf o rt h ei n t e r c e p tb e c o m e sl a r g e s oi s t h ee w m ac h a r tf o rt h es l o p e h o w e v e r ，w h e nt h es t a n d a r dd e v i a t i o ni se s t i m a t e d ， n om a t e rb yw h i c he s t i m a t o r ，t h ee w m ac h a r t sf o rt h es t a n d a r dd e v i a t i o ns h o w s a ni n c r e a s e di ca r l m i l et h eo cr u nl e n g t hd i s t r i b u t i o n ss h o w st h ed e c r e a s e d s e n s i t i v i t yo ft h r e ee w m a c h a r t sw h e np a r a m e t e r sa r ee s t i m a t e d a n df o ra d d i t i o n ， t h ep e r f o r m a n c e so ft h et w od i f f e r e n te s t i m a t o r sf o rt h es t a n d a r dd e v i a t i o nw h i c h w ep r o v i d e d ，a r ea l s oc o m p a r e d b o t hp e r f o r m a n c e sa p p r o a c ht h o s ew i t hk n o w n p a r a m e t e r s ，a st h er e f e r e n c es a m p l es i z ei n c r e a s e s ，b u to n ei sb e t t e r k e y w o r d s ：l i n e a rp r o f i l e s ；a v e r a g er u nl e n g t h ；e w m a ；k m w ；i n t e g r a le q u a t i o n ； p a r a m e t e re s t i m a t o r ；1 e a s ts q u a r ee s t i m a t o r 2 摘要 统计过程控$ 1 j ( s p c ) 被广泛地应用于监控多种工业过程。大部分关于s p c 的研 究集中在控制图技术上。在s p c 的应用中，一般认为可以用一个质量特征的分布来 刻画过程的质量。然而，在某些情况下，响应变量与解释变量之间具有某些关系，这 些关系能更好的概括过程的质量。特别是很多的研究都考虑线性模型。因为虽然线 性模型很简单，但在实际生活中却经常发生。在这篇论文中，着重研究对一个由线 性模型描述的过程的监控。 在很多监控线性模型的控制图中，由k i me ta 1 ( 2 0 0 3 ) 提出的三个e w m a 的联 合控制图在参数己知的情况下是非常有效的。三个控制图分别用来监控截距、斜率 以及标准差。但是，在进行过程控制的前期，线性模型的参数通常是未知的，一般 是需要通过历史可控数据来估计他们的。由于过程的参数是未知的，是估计出来的， 这时的控制图的r u nl e n g t h 分布跟已知情况有差异。通常我们考虑这时的a r l 和 误报率。 在这篇论文中，给出截距、斜率以及标准差的估计。其中我们对于标准方差，给 出两种不同的估计。我们研究了带有参数的三个e w m a 控制图的r u nl e n g t h 的表 现，以及在各种实际情况下的参数估计对其表现的影响。特别地，对于标准差的两 种不同估计，也进行了比较。最后，我们得出结论，对于截距的e w m a 控制图，当 截距是估计值时，受控a r l 降低；当截距已知标准差是估计值时，受控a r l 变大。 对于斜率的e w m a 控制图，结论类似。但是，对于标准方差的e w m a 控制图，当标 准差是估计值时，无论对于我们给出的两个估计方法中的哪一个，爱控的a r l 都增 大。对于这三个e w m a 控制图，当参数是估计值时，失控的a r l 都增大，从而降低 了降低控制图的敏感性。另外，对于标准差的两种不同估计，也比较了它们的表现。 当估参样本量增大时，两种估计都接近于参数已知的情况，但是其中一种估计更加 接近于参数已知时的表现。 关键词：线性模型；a r l ；e w m a ；k m w ；积分方程；参数估计；最小二乘 估计。 3 1 i n t r o d u c t i o n s t a t i s t i c a lp r o c e s sc o n t r o l ( s p c ) h a sb e e ns u c c e s s f u l l ya p p l i e di na v a r i e t yo f i n d u s t r i e ss i n c es h e w h a r ti n t r o d u c e dt h et e c h n i q u ei n1 9 2 4 as a m p l ei sp e r i o d i c a l l y d r a w nf r o map r o c e s sa n das a m p l es t a t i s t i ci sc o m p u t e d ，e g ，t h es a m p l ea v e r a g e o rt h en u m b e ro fd e f e c t s t h es a m p l es t a t i s t i ci sp l o t t e do nag r a p hw h e r et h ex a x i si st i m ea n dya x i si st h es a m p l es t a t i s t i c t h ep r e s e n c eo fa na s s i g n a b l ec a u s e i ss i g n a l e di ft h es a m p l es t a t i s t i cf a l l so u t s i d et h eu p p e ra n dl o w e rc o n t r o ll i m i t s i nm o s ts p ca p p l i c a t i o n s ，i ti sa s s u m e dt h a tt h eq u a l i t yo fap r o c e s sc a l lb e a d e q u a t e l yr e p r e s e n t e db yt h ed i s t r i b u t i o no faq u a l i t yc h a r a c t e r i s t i c h o w e v e r ，i n s o m es i t u a t i o n s ，t h eq u a l i t yo fa p r o c e s si sb e t t e rc h a r a c t e r i z e da n ds u m m a r i z e db y a r e l a t i o n s h i pb e t w e e n t h er e s p o n s ev a r i a b l ea n do n eo rm o r ee x p l a n a t o r yv a r i a b l e s 。 i np a r t i c u l a r ，m o s to fs t u d i e sf o c u so nt h es i m p l el i n e a rr e g r e s s i o np r o f i l e s k a n g a n da l b i n ( 2 0 0 0 ) p r o p o s e dt w oc o n t r o lc h a r t sf o rp h a s ei im o n i t o r i n go fl i n e a r p r o f i l e s o n e i sm u l t i v a r i a t et 2c h a r ta n dt h eo t h e ri st h ec o m b i n a t i o no fe x p o n e n t i a l w e i g h t e dm o v i n ga v e r a g e ( e w m a ) c h a r ta n drc h a r t i nk i me ta 1 ( 2 0 0 3 ) ，t h e m e t h o db a s e do nc o m b i n a t i o no ft h r e ee w m ac h a r t sw a sp r o p o s e df o rd e t e c t i n g as h i f ti nt h ei n t e r c e p t ，s l o p ea n ds t a n d a r dd e v i a t i o ns i m u l t a n e o u s l y g u p t ae ta 1 ( 2 0 0 5 ) c o m p a r e dt h ep e r f o r m a n c eo ft w op h a s ei im o n i t o r i n gs c h e m e sf o rl i n e a r p r o f i l e s ，t h ec o n t r o lc h a r t i n gs c h e m e sp r o p o s e db yc r o a r k i na n dv a r n e r ( 19 8 2 ) a n d k i me ta 1 ( 2 0 0 3 ) t h es i m u l a t i o ns t u d ys h o w st h a tt h ec r o a r k i na n dv a r n e rm e t h o d p e r f o r m e dp o o r l yc o m p a r e dt ot h ec o m b i n e dc o n t r o lc h a r t i n gs c h e m eo fk i me ta 1 ( 2 0 0 3 ) t h ep r o c e s sp a r a m e t e r s ，t h ei n t e r c e p t ，t h es l o p ea n dt h es t a n d a r dd e v i a t i o na r e u s u a u yu n k n o w ni nt h ee a r l ys t a g e so fp r o c e s si m p r o v e m e n t ，a n dt h e ya r eu s u a l l y e s t i m a t e du s i n gmi n - c o n t r o lh i s t o r i c a ls a m p l e so fs i z e 绍( o rb yt h ep h a s eis t u d y ) m a n ya u t h o r sh a v ei n v e s t i g a t e dt h ee f f e c to fe s t i m a t i n gt h ep r o c e s sm e a na n dv a r i - a n c eo i lt h ep e r f o r m a n c eo ft r a d i t i o n a lc o n t r o lc h a r t s ( s e em o n t g o m e r y ( 2 0 0 4 ) ，r y a n ( 1 9 8 9 ) a n dq u s e n b e r r y ( 1 9 9 3 ) ) j o n e se ta 1 ( 2 0 0 1 ，2 0 0 4 ) h a v ei n v e s t i g a t e dt h er u n l e n g t hp e r f o r m a n c e so fc u s u ma n de w m aw i t he s t i m a t e dp a r a m e t e r s r e s p e c - t i v e l y s i n c el i n e a rp r o f i l e sa r eo f t e nm o d e l e db yar e g r e s s i o nm o d e l ，t h er e g r e s s i o n c o n t r o lc h a r ti sa l s or e l e v a n ta n dh a sb e e ns t u d i e db e f o r e ( s e eq u a n d t ( 1 9 5 8 ) ，h o p b e r t ( 1 9 8 2 ) ，h a w k i n s ( 1 9 8 9 ) ，k i ma n ds i e g m u n d ( 1 9 8 9 ) ，k i m ( 1 9 9 4 ) a n dc h e n 5 ( 1 9 9 8 ) ) s h ue ta 1 ( 2 0 0 4 ) s t u d i e dt h er u n - l e n g t hp e r f o r m a n c eo fr e g r e s s i o nc o n t r o l c h a r t sw h e nr e g r e s s i o np a r a m e t e r sa r ee s t i m a t e d i nt h e i rp a p e r s ，t h e yc o n c l u d e d t h a tw h e nt h en u m b e ro fr e f e r e n c es a m p l e sw a ss m a l l ，c o n t r o lc h a r t sw i t he s t i m a t e d p a r a m e t e r sp r o d u c e dal a r g eb i a si nt h ei n - c o n t r o l ( i c ) a r l ，a n dr e d u c e dt h es e n s i t i v i t yo ft h ec h a r ti nd e t e c t i n gt h ep r o c e s sc h a n g e sa sm e a s u r e db yt h eo u t o f - c o n t r o l ( o c ) a r l m o r e o v e r ，a f t e rs h o r tr u n s ，t h ef a l s ea l a r mp r o b a b i l i t i e sf r o mt h ec h a r t s i n c r e a s ed r a s t i c a l l y a l i k et h et r a d i t i o n a lc o n t r o lc h a r t ，t h ec o n t r o lc h a r t sf o rl i n e a r p r o f i l e sa l s oh a v et h es a l l l ee s t i m a t o rp r o b l e m h o w e r v e ，t h ei m p a c to fp a r a m e t e r s e s t i m a t o ro nt h ep e r f o r m a n c eo fc o n t r o lc h a r t sf o rl i n e a rp r o f i l e sa n dt h ed i f f e r e n c e b e t w e e nd i f f e r e n te s t i m a t o r sh a v en e v e rb e e ns t u d i e d i nt h i sp a p e r e w m a - t y p e c o n t r o lc h a r t sf o rl i n e a rp r o f i l e sa r ec o n s i d e r e d w ec a nf i n di nt h i st h e s i st h a t ，o n c et h ei n t e r c e p ti se s t i m a t e d ，t h ee w m a c h a r tf o rt h ei n t e r c e p ts h o w sad e c r e a s e di ca r l a n dw h e nt h ei n t e r c e p ti sk n o w n a n dt h es t a n d a r dd e v i a t i o ni se s t i m a t e d t h ei ca r lo ft h ee 、m ac h a r tf o rt h e i n t e r c e p tb e c o m e sl a r g e s oi st h ee w m a c h a r tf o rt h es l o p e h o w e v e r t h ee w m a c h a r t sf o rt h es t a n d a r dd e v i a t i o ns h o w sa ni n c r e a s e di ca r lw h e nt h es t a n d a r d d e v i a t i o ni se s t i m a t e d w h i l et h e0 cr u nl e n g t hd i s t r i b u t i o n ss h o w st h ed e c r e a s e d s e n s i t i v i t yo ft h r e ee w m a c h a r t sw h e np a r a m e t e r sa r ee s t i m a t e d a n dw ep r o v i d e t w od i f f e r e n te s t i m a t o r sf o rt h es t a n d a r dd e v i a t i o n t h ep e r f o r m a n c eo ft h et w oe s t i - m a t o r sa r ea l s oc o m p a r e d a st h er e f e r e n c es a m p l es i z ei n c r e a s e s ，t h ep e r f o r m a n c e s w i t he s t i m a t e dp a r a m e t e r sa p p r o a c ht h o s ew i t hk n o w np a r a m e t e r s t h er e m a i n d e ro ft h i st h e s i si so r g a n i z e da sf o l l o w s i nt h en e x ts e c t i o n ，t h e m o d e lo fl i n e a rp r o f i l e sa n dab r i e fd e s c r i p t i o no ft h ec o m b i n a t i o no ft h r e ee w m a c o n t r o lc h a r t sa r eg i v e n t 1 1 ep a r a m e t e re s t i m a t o r so fk m wc o n t r o lc h a r t si sp r e - s e n t e d n e x t t h ec o n d i t i o n a lr u n - l e n g t hd i s t r i b u t i o no fk m wc o n t r o lc h a r t s i sp r e s e n t e d ，f o l l o w e db yt h eu n c o n d i t i o n a lr u n - l e n g t hd i s t r i b u t i o n t h ep e r f o r - m a n c eo ft h et h r e ee w m ac o n t r o lc h a r t si st h e ns u m m a r i z e d t h el a s ts e c t i o n c o n t a l n sc o n c l u d i n gr e m a r k s 6 2c o n t r o lc h a r t sf o rm o n i t o r i n gl i n e a u rp r o f i l e s i nt h i ss e c t i o n ，t h em o d e lo fl i ：l e a rp r o f i l e sa n d ab r i e fd e 8 c r i p t i o n 。ft h ec o m - b l n a t i o no ft h r e ee w m a c o n t r o lc h a r t sp r o p o s e db yk i m e ta 1 ( 2 0 0 3 ) a r eg i v e n a s s u m et h ej t hr a n d o ms a m p l ec o u e c t e do v e rt i m e i s ( ，黝) ，t ：1 ，2 ，佗 w h e nt h ep r o c e s si s i c ，t h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h er e s p 。璐ea n d 唧1 a n a t o 物2 厶+ a l x i + 仃巧，i = 1 ，2 ，仃， ( 2 1 ) w h e r et h e a r ei n d e p e n d e n ti d e n t i c a l l yd i s t r i b u t e d ( i i d ) a sa s t a n d a r dn o r m a l l r 锄d 。mv a r i a b l ea n dt h ee x p l a n a t o r y v a r i a b l exi sa s s u r e e dt o b e 觚d a t 礼v a l u e s i nt h i s8 e c t i o n ，w ec o n s i d e rt h ep h a s ei ic a s ei nw h i c ht h e i n - c o n t r o l 谢u e so ft h e p ? a m e t e 糟，a 1 a n d 口2a r ea s s u m e dt 。b el 【n 品m ，w h i c hm u s t b ee s t i m a t e db yi c r e t e r e n c es a m p l e s i nk i me ta l ( 2 0 0 3 ) ，u s i n gt h ec 。d e d e x p l a n a t 。可v a l u e s ，t h e y 。b t a i n e dt h e f o l l o w i n ga l t e r n a t i v ef o r mo ft h eu n d e r l y i n gi cm o d e l = 岛+ b l x ；+ 盯e 巧，i = 1 ，2 ， ( 2 2 ) w h 盯eb 02 a o + a 1 牙，b 12 4 1 ，z ；= ( 玩一牙) a n d 牙= 丢妻戤f o rt h ej t hs a m p l e ， t h el e a s ts q u a r ee s t i m a t o r sf o rs o ，b 1a n d 盯2a r e 5 1 = 易，6 1 户誓，m s 易= n w h e r e 易= 杀 t h r e ee s t i m a t o i - - - - r s l ( 物一b l j x 一蛔) 2 ， i = i t 0d e t e c ti ft h e y - i n t e r c e p t ( 岛) ，s 1 。p e ( b 1 ) a n ds t a n d a r d d e v i a t i 。n ( a ) h a dc h a n g e d ， r e s p e c t i v e l y t h e ya r e ，c a l l e dk m wc o n t r o lc h a r t s ： i n t e r c e p t ： 易叫带) + ( 1 叫抽小乱， l c l z = 一h l ，u c l z = h i ，h i = l i 7 ( 2 3 ) 薹 t c坷a此m篇蜘 动 一 至兮 协n澍甜 = 至堇 研帅 耐 锄 慨 动h 磐一 = 阳 眦善； s l o p e ： s j = o ( 、b 仃l i 佤- b 1 ，+ ( 1 9 ) 岛= u ， l c l s = 一h s ，u c l s = h s ，h s = l s s t a n d a r dd e v i a t i o n ： = 咖( p 万m s 而e 7 两- 0 2 + ( 1 一p ) n j 乩。) ，0 铀 y n r ( m s e j ) = 厕2 0 4 ，u c l = 危，九= 三 ( 2 4 ) ( 2 5 ) w h e r epi sas m o o t h i n gc o n s t a n ta n d 钆i st h es t a r t i n gv a l u e i np r a c t i c e ，钆i so f t e na t a r g e tv a l u ef o ri cp a r a m e t e r s w h e nu 0 ，t h e y a r ec a l l e df i rc o n t r o lc h a r t s i n t h i ss e c t i o n ，ui ss e tt o0f o ra l lp e r f o r m a n c ec o m p a r i s o n s t h et h r e ee w m a c h a r t s a r eu s e dj o i n t l y a sl o n ga so n eo ft h et h r e ee w m a c h a r t ss i g n a l s ，a no u to fc o n t r o l 8 i g n a lw i l lb eg i v e n t h e i ra r lc o m p a r i s o n ss h o wt h a tt h et h r e ee w m a c h a r t s a r em o r ee f f e c t i v et h a nt h em e t h o d so fk a n ga n da l b i n ( 2 0 0 0 ) i nt e r m so fa v e r a g e r u nl e n g t h ( a r l ) i np h a s ei if o rd e t e c t i n gs u s t a i n e ds h i f t si ne i t h e ry - i n t e r c e p t o r s l o p eo ri n c r e a s e s i nt h ee r r o rv a r i a n c e e s p e c i a l l y ，t h et h r e ee w m a c h a r t sa r em o r e e f f e c t i v ei nd e t e c t i n gs h i f t si nt h es l o p eo ft h el i n ew h e nt h ea v e r a g ey - v a l u ed o e s n o tc h a n g e t h a ti st os a y , t h es h i f t si np a r a m e t e rb 1o fe q u a t i o n ( 2 2 ) m o r e o v e r ， t h e i rm e t h o ds e e m sm u c hm o r ei n t e r p r e t a b l e s o ，i nt h i sp a p e r ，t h em o n i t o r i n gt h e l i n e a rp r o f i l e si np h a s ei ia n dw ew i l ls t u d yt h er u n - l e n g t hp e r f o r m a n c eo ft h et h r e e c o n t r o lc h a r t sw i t he s t i m a t e dp a r a m e t e r s 8 3 p a r a m e t e re s t i m a t o ro fk m wc o n t r o lc h a r t s i nap h a s ei ia n a l y s i s ，t h ep r o c e s sp a r a m e t e r sa r eu s u a l l ya s s u m e dk n o w n t h i si st r u ef o ra 1 1t h ec o n t r o lc h a r t st h a tm o n i t o rl i n e a rp r o f i l e sa sm e n t i o n e di n t h es e c t i o n2 h o w e v e r ，t h ep r o c e s sp a r a m e t e r s ，t h ei n t e r c e p t ，t h es l o p ea n dt h e s t a n d a r dd e v i a t i o na r eu s u a l l yu n k n o w ni nt h ee a r l ys t a g e so fp r o c e s si m p r o v e m e n t ， a n dt h e ya r eu s u a l l ye s t i m a t e du s i n g 仇i n - c o n t r o lh i s t o r i c a ls a m p l e so fs i z e 礼f o r b yt h ep h a s eis t u d y ) m a n ya u t h o r sh a v ei n v e s t i g a t e dt h ee f f e c to fe s t i m a t i n g t h ep r o c e s sm e a na n dv a r i a n c eo nt h ep e r f o r m a n c eo ft r a d i t i o n a lc o n t r o lc h a r t s ( s e e m o n t g o m e r y ( 2 0 0 4 ) ，r y a n ( 1 9 8 9 ) a n dq u s e n b e r r y ( 1 9 9 3 ) ) j o n e se ta 1 ( 2 0 0 1 ， 2 0 0 4 ) h a v ei n v e s t i g a t e dt h er a i ll e n g t