（理论物理专业论文）量子密码术和量子纠缠度量的有关研究.pdf

中国科学技术大学学位论文原创性和授权使用声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工作 所取得的成果。除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 任何他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的同志对本 研究所做的贡献均已在论文中作了明确的说明。 本人授权中国科学技术大学拥有学位论文的部分使用权，即： 学校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电 子版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论 文。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 作者签名： 鸳纱 弘删年岁月哥日 中国科学技术大学博士学位论文 第1 页 中文摘要 量子信息物理与信息科学相结合时导致一门新兴交叉学科一量子信息 学的诞生。量子信息与计算科学在基础科学研究方面有着深远的意义，它 的目标之一就是增进人们对量子力学基础的理解；随着实验技术的发展， 量子信息与量子计算研究从最初的学术兴趣对象，变成对计算机科学， 密码技术，通信技术以及国家安全，商业应用都有潜在重大影响的领域， 引起国内外的广泛关注。其中量子纠缠作为量子通信和量子计算的重要资 源，吸引了众多物理学家的巨大兴趣。针对量子纠缠的研究十分广泛，从 最基本的定义到量子纠缠的应用以及量子信息处理方案的实验实现等等。 我们以量子纠缠为重要研究对象，开展了以下两个方面的研究。 第一方面研究了如何利用不同类型纠缠态实现安全高效量子密钥分 发。通过使用e p r 对控制有序重排协议来进行量子密钥的分发，我们提 出了使用n 量子比特和n q u t r i t 的推广的控制有序编码协议，并且具体的 通过3 一q u b i t 和2 一q u t r i t 最大纠缠基态来表示它们。更为重要的是我们对使 用q u t “t 的方案用量子协变克隆机来进行安全性的分析。尽管推广的方案 的使用需要进一步的研究，推广的控制有序重排编码协议有更强的能力和 更高的效率。此外，我们使用非最大的纠缠w 类态概率的进行控制有序重 排编码协议，这个协议具有完全的效率。我们比较了这个协议与原始协议 的相似处和不同之处。最后我们使用这类w 态来进行信息的密钥分离，这 个方案具有抗退相干性。 第二个方面研究量子纠缠定量上的度量和定性上的分类。我们提出一 种推广几何纠缠度的方式，称之为修订的几何纠缠度。通过修订的几何纠 缠度，我们定量了两粒子量子系统两参数类态，两粒子高维的最大纠缠混 态，各项同性的态包括佗粒子d 能级的情况和多粒子束缚纠缠态。结果表明 修订的几何纠缠度是合理的纠缠度量。除了用修订的几何纠缠度来研究了 两粒子高维特殊态系的纠缠程度，我们进一步用它研究多方系统和连续变 量系统的纠缠程度。给出了一些多部分对称纯态包括g h z 、w 态的修订几 何纠缠度，这也包括了多部分噪声中推广的s m o l i n 态。同时，我们得出了 连续变量两模式压缩热态的修订几何纠缠度。令人满意的是我们仍得到了 关系e s i 。日。最后我们推广几何纠缠度的概念到连续变量系统中来， 给出纠缠单调子高斯几何纠缠度。定性的研究上，我们从两种角度( 代数 和几何) 对四量子比特进行s l o c c 等价类的划分，给出2 3 类，构成四层偏 序的分类结构，给出判断任意给定态所属类的方法，并重新从2 2 2 ， 中国科学技术大学理论物理所量子理论组 第2 页 中国科学技术史学博士学位论文 4 4 角度对4 一q u b i t 进行分类，计算给出了4 一q u b i t 的一些纠缠单调子。最后 阐述分析了不同三量子比特纯态分类的不同方法，得出我们的结论。 本文分为四章：第一章介绍量子密码术的研究进展和量子纠缠的相关 概念。第二章给出推广的控制有序重排密钥方案，使用w 态的概率控制有 序重排方案和密钥分离方案。第三章，我们提出修订的几何纠缠度，并讨 论了离散和连续变量的的纠缠态系。第四章，我们讨论了四量子比特纯态 的分类。第五章是全文总结。 中国科学技术大学理论物理所量子理论组 中国科学技术文学博士学位论文第3 页 a b s t r a c t t h ec o m b i n a t i o nb e t w e e nq u a n t u mi n f o r m a t i o np h y s i c sa n di n f o r m a t i o ns c i e n c el e a d st ot h ee m e r g e n c yo fan e wi n t e r d i s c i p l i n e t h eb i r t ho fq u a n t u m i n f o r m a t i o n t h er e s e 盯c hf i e l do fq u a n t u mi n f o r m a t i o na n dq u a n t u mc o m p u t a t i o n ( q i q c ) ，a ni n t e r d i s c i p l i n a r y6 e l dw h i c hi n v o l v e sq u a n t u mm e c h a n i c s ， c o m p u t e rs c i e n c ea n dt h et h e o r yo fi n f o r m a t i o n ，h a sa t t a c t e dm o r ea n dm o r ei n - t e r e s t s q u a n t u me n t a n g l e m e n ta t t r a c t sm u c ha t t e n t i o nf r o mm a l l yr e s e a r c h e r s d u et ot h ef a c tt h a ti tp l a y sa ni m p o r t a n tr o l ei nq i q ca sav a l u a b l er e s o u c e i n v e s t i g a t i o nc o n c e r n i n gq u a n t u me n t a n g l e m e n ti sw i d ef r o mi t sb a s i cd e f l n i t i o n s t oa p p l i c a t i o n st oe x p e r i m e n t w | ed e v e l o pt h er e s e a r c hf o mt w os i d eo nt h e b a s i so fq u a n t u me n t a n g l e m e n t o n ei sh o wt or e a l i z ea ns e c u r ea n dh i g he 币c i e n tq u a n t u mk e yd i s t r i b u t i o n b yu s i n gd i f f e r e n tk i n de n t a n g l e ds t a t e s b a s e do nc o n t r o n e do r d e rr e a r r a n g ee n c r y p t i o n ( c o r e ) f o rq u a n t u mk e yd i s t r i b u t i o nu s i n ge p rp a i r s ，w ep r o p o s et h e g e n e r a l i z e dc o n t r o l l e do r d e rr e a r r a n g e m e n te n c r y p t i o n ( g c o r e ) p r o t o c o l so fn q u b i t sa n dnq u t r i 乞s ，c o n c r e t e l yd i s p l a yt h e mi nt h ec a s e su s i n g3 一q u b i t ，2 一q u t r i t m a x i m a l l ye n t a n g l e db a s i ss t a t e s w 色f u r t h e ri n d i c a t et h a to u rp r o t o c 0 1 sw i l l b e c o m es a f e rw i t ht h ei n c r e a s eo fn u m b e ro fp a r t i c l e sa n dd i m e n s i o n s m o r e o v e r ， w ec a r r yo u tt h es e c u r i t ya n a l y s i su s i n gq u a n t u mc o v a r i a n tc l o n i n gm a c h i n ef o r t h ep r o t o c o lu s i n gq u 乞r i t s a l t h o u g ht h ea p p l i c a t i o n so ft h eg e n e r a l i z e ds c h e m e n e e dt ob ef u r t h e rs t u d i e d ，t h eg c o r eh a sm a n yd i s t i n c tf e a t u r e ss u c ha sg r e a t c a p a c i t ya n dh i g he 币c i e n c y b e s i d e s ， w ep r o p o s eag e n e r a l i z e dc o r l t r o l l e do r d e r r e a r r a n g e m e n te n c r y p t i o n ( g 0 0 r e ) p r o t o c o l su s i n gn o n m a x i m a l l ye n t a n g l e d 、v - c l a s ss t a t e sw i t hp r o b a b i l i t y b u ti ta l s oh a sf u l le m c i e n c ya n dw ec o m p a r e t h es i m i l a r i t ya n dd i f f e r e n c ew i t ho r i g i n a lp r o t o c 0 1 f i n a l l y ，w eu s et h i sw c l a s s s t a t et os p l i 七q u a n t u mi n f o r m a t i o n ，t h u st h es c h e m ei sr o b u s ta g a i n s td e c o h e r - e n c e a n o t h e ri st h er e s e a r c hw h i c hi sq u a n t i f i c a t i o n a lm e a s u r e m e n t a n dq u “i t a - t i v ec l a s s i f l c a t i o n w 宅r e v i s et h eg e o m e t r i cm e a s u r eo fe n t a n g l e m e n t ( g m e ) t h er e v i s e dg e o m e t r i cm e a s u r eo fe n t a n g l e m e n t ( r g m e ) i sa ne n t a n g l e m e n t m o n o t o n e s o m eu s e f u li n e q u a l i t i e sa b o u tr g m ea r ed e d u c e d a 8t h er g m e s a p p l i c a t i o n ，t h et w 伊p a r a m e t e rc l a s so fs t a t e si n2o nq u a n t u ms y s t e m ，t h et w o p a r t i c l e sh i g hd i m e n s i o n a lm a x i m a l l ye n t a n g l e dm i x e ds t a t e ，t h ei s o t r o p i cs t a t e 中国科学技术大学理论物理所量子理论组 第4 页中国科学技术大学博士学位论文 i n c l u d i n gn p a r t i c i ed l e v e lc a s ea n dt w om u l t i p a r t i t eb o u n de n t a n 9 1 e ds t a t e sa r e c a l c u l a t e d t h er e s u l ts h o w st h e r ei sar e l a 土i o ne i n 2 e r e ，w h i c hi n d i c a t e st h a t t h er g m ei sa na p p r o p r i a t em e a s u r eo fe n t a n g l e m e n t i nt h i sp a p e rt h ee n t a n g l e m e n to fp u r e4 一q u b i ts t a t e si sd i s c u s s e d w bc l a s s i f y 4 一q u b i tp u r es t a t e su n d e rt h es t o c h a s t i cl o c a lo p e r a t i o na n dc l a s s i c a ic o m m u n i c a t i o n ( s l o c c ) t h e r ee x i s tt w e n t yt h r e ee s s e n t i a u yd i f f e r e n tc l a s s e so fs t a t e s ， g i v i n gr i s et oaf b u r g r a d e dp a r t i a l l yo r d e r e ds t r u c t u r e w ea l s og i v et h em e t h o d s t oj u d g ew h i c hc l a s sa na r b i t r a r y4 - q u b i ts t a t eb e l o n g st o f i n a l l y ，w er e - c l a s s i f y 4 q u b i 七s t a t ef t o m2 2 2 ，4 4a s p e c t s b e s i d e s ，w ed i s c u s 8t h ec l a s s i 6 c a t i o n d i 丘i e r e n c eo fs e v e r a lm e t h o d sf o r3 q u b i tp u r es t a t e t h et h e s i si so r g a n i z e da sf b l l o w s ：i nc h 印1w ep r o v i d eg e n e r a l i z e dc o n t r o l l e do r d e rr e a r r a n g ee n c r y p t i o n ( g c o r e ) p r o t o c o l ，g c o r eu s i n gw c l a s s s t a t ew i t hp r o b a b i l i t ya n ds e c r e ts p l i t t i n gs c h e m eu s i n gw c l a s ss t a t e i nc h a p 2 ，t h er e v i s e dg e o m e t r i cm e a 8 u r eo fe n t a n 9 1 e m e n t ( r g e ) i sp r e s e n t e d ，a p p l y i n g i ti n t ot h ed i s c r e t ea n dc o n t i n u o u sv a r i a b l es y s t e m s i nc h a p3 w r em a k es o m e d i s c u s s i o na b o u tt h e4 一q u b i tp u r es t a t e i nc h a p 4ab r i e fs u m m a r yi sg i v e n 中国科学技术文学理论物理所量子理论组 中国科学技术大学博士学位论文 第5 页 第一章量子密码术和量子纠缠 量子力学是极其深刻的理论，它是近代自然科学的基础。量子物理与 信息科学相结合时导致一门新兴交叉学科一量子信息学的诞生。量子信息论 是经典信息论地革命性发展，是编码在原子尺度上的量子相干态的信息。 量子信息论通常包括量子通讯和量子计算两个部分。量子通信的巨大功效 来自量子纠缠。以量子计算机和量子通讯为主要内容的量子信息论是当前 国际上十分热门的研究方向。由e p r 佯谬引发的关于量子力学基本问题的 论战揭示了量子力学奇特特性，即纠缠态所展现的非局域关联，这已得到 实验验证。现在量子纠缠态作为量子信息的重要资源而备受关注。它已经 广泛应用于量子纠错、量子密码术、量子隐形传态和量子计算等量子信息 过程中。 本章第一节将主要介绍量子密码术的研究：第二节中简述量子纠缠的 基本定义、性质和相关概念；最后对本章的内容予以小结。 1 1 量子密码术 量子密码通信的原理植根于量子态的概率特性在经典信息理论中，信 息量的基本单位是比特( b i t ) ，它的状态或0 或1 。在量子信息理论中，量 子信息的基本单位是量子比特( q u b i t ) 。由于态叠加原理，一个量子比特的 状态不同于经典比特，而表现为量子态的叠加。如 ) = q l o ) + p 1 1 ) 其中a ，p 是复数，且满足关系2 + 例2 = 1 。显然，这样的量子比特远不止 只有l o ) 和1 1 ) 这两个状态。i o ) 和1 1 ) 状态可被称为计算基态( c o m p u t a t i o n a l b a s i ss t a t e l ，它们是构成这个向量空间的一组正交基。对这个量子比特进 行测量，结果是以几率i q l 2 得到i o ) ，以几率蚓2 得到1 1 ) 。相应的密度矩 阵表示如下 测量结果用密度矩阵表示 肪= 昌2 在测量过程中非对角元( 量子相干性) 消失了，称为波函数的塌缩，即量 子退相干。 中国科学技术大学理论物理所量子理论组 俭l g 陋矿 。，。l l i p 第6 页 中国科学技术大学博士学位论文 任何偷听者，如果要从携带有信息的单光子获取有关信息，首先要进行测 量，必然会在某种程度上改变了单光子原来状态从而导致量子误码率的异 常增加所谓量子误码率是指量子系统所引起的码值错误概率将量子误码 率记之为q b e r 现有的经典密码通信主要是依靠计算的复杂性，使偷听者无 法在特定时间内破译密码与之不同单光子密码通信利用量子力学原理对 信息进行编码，通信双方密切地监察量子误码率的异常增加，从而判断有没 有被偷听一旦发现被偷听，立即摈弃，重新进行通信 1 1 1 不可克隆原理 不可克隆原理，也称作不可复制原理，是量子密码通信的基本原理此原理 可表达为：对于未知的量子态不可将其复制而不改变其原来的状态具体地 说，如果量子态是已知的，我们原则上可以重复地制备它困难在于我们不 能通过单次测量来获知量子系统的确切特性因为一旦进行测量，原来量子 态就可能改变了，测得的结果只是组成此量子态的各种可能状态之一，除非 被测量子态恰好是测量算符的本征态，否则测量将不可避免地并不可逆地改 变了原来的原子态 设有复制机，其输入为量子态i ) ，起始状态为l s ) 其输出有两部分，第一部 分是原来的量子态i 矽) ，第二部分是将起始状态l s ) 复制而成的i 砂) 复制机输入 的量子态可表示为f ) ol s ) ，输出的量子态则为l ) ol ) 孤立量子系统的演变 应遵从幺正变换，故有 ( i 妒) ol s ) ) = i ) 固l ) 兰i ，咖) ) 式中0 是张量积，u 是幺正变换 同样，当输入另一量子态i 矽) l ) ，亦应有 u ( i 妒) 圆i s ) ) = l 妒) qi 妒) 三i 妒，妒) ) 取) 与i 矽妒) 的内积由于张量空间的内积对于对应的子空间的 乘注意到幺正变换的内积保持不变，我们得到 ( l 砂) ( s i s ) = ( 矽i 妒) ( l 妒) ( 训砂) = ( ( f 矽) ) 2 ( 1 1 1 ) ( 1 1 2 ) 内积相 ( 1 1 3 ) ( 1 1 4 ) ( l 妒) 一般是一个复数，( 引砂) = ( ( 训矽) ) 2 只有两种可能，既( 移f 矽) =o 或( 西i 妒) = 1 就是说，复制机不能复制彼此不正交的两种状态仍以一个量子 位为例，设1 0 ) 与1 1 ) 是两个互相正交的基矢，复制机既使能复制1 0 ) 与1 1 ) ，也不可 能复制一般的量子态i ) = 口1 0 ) + 卢j 1 ) 从以上的分析中，我们还看到，量子密码通信的安全性要求随机地使用彼 此不正交的量子态，否则就有被偷听者复制的可能 中国科学技术大学理论物理所量子理论组 中国科学技术大学博士学位论文第7 页 两个互不正交的量子态f ) 与l 移) ，它们的内积( i 妒) o 也就是 说i ) 在l 砂) 的分量不为零，l 矽) 在i 矽) 的分量不为零，因此不能通过单次测量将它 们区分开来 上述的量子力学结果，在原子密码通信中可表达为，任何试图识别两个互 不正交的量子态的举措，必定导致原来状态的改变设i 咖) 及l 矽) 是两个互不正 交的量子态，识别装置的初始状态是l 让) 识别装置相当于幺正变换u ，经识别 装置后，l u ) 变为l u 曲) 或i 邯) ，即 u i ，u ) = j ，u 西) i 妒，让) = i 妒，t 上t f ) 对式( 1 1 5 ) 和( 1 1 6 ) 取内积，可得 ( i 砂) ( u l u ) = ( i 妒) ( 也毋l 乱妒) 因l ) 与l 妒) 不正交，( j 矽) o ，可得 ( 牡i 仳) = ( 让毋l 牡妒) = 1 ( 1 1 5 ) ( 1 1 6 ) ( 1 1 7 ) ( 1 1 8 ) 故得f 郇) = f 让币) ，就是说，即使i ) 与i 妒) 是不同的，识别机器得到的结果都一 样，不能将之区别只有i ) 或l 矽) 改变了，才会得出不同的l u 西) 及i u t f ，) 以上我们在讨论复制机及识别机时，都假定了它们的作用等价于幺正变 换，这是基于一个获得公认的量子力学的假设，孤立的量子系统的演变是幺 正变换 1 1 2 量子密钥分发 量子密码通信是一个新的迅速成长的领域，现有不少的协议被提出下 面我们将介绍几种重要协议。 1 b b 8 4 协议 b b 8 4 协议又称四态协议，它是由c h b e n n e t t 及g b r a s s 缸d 于1 9 8 4 年提出 的，所以称之为b b 8 4 协议【1 】。现将主要步骤概括如下： ( 1 ) a 预备随机数列 钆) 及p ) ，b 预备随机数列 c 七) 口七) ， 6 七) ， c 七) 均随 机地取值0 或l ，七= 1 ，2 ， ( 2 ) a 向b 发送量子态i 矽。曲。) ，不同。曲七取值代表4 个不同的量子态，o k 的 值表示a 传送的码值。巩= 0 用正交归一基z 将量子态编码，“= l 则用 基x 编码 ( 3 ) b 对i 口。h ) 进行同步测量。b 用c 的取值来决定测量l 口曲。) 所用的 基若c 七= 0 用基z ，如= 1 则用基x ( 4 ) b 在收到a 发出的信号后通过公开信道告知a 。在确定b 已收到信号 后，a 与b 通过公开信道进行基的筛选。它们舍去所有c 巩的数据，只保 中国科学技术大学理论物理所量子理论组 第8 页 中国科学技术大学博士学位论文 留c 七= 氏的数据。经过基筛选后留下的。七数据就是筛后数据。如果不考虑 量子通道的衰减，筛后数据的长度约2 ( 5 ) a 及b 通过公开信道交换部分的筛后数据，检验量子误码率的大小。 若q b e r 超过容许值，表明偷听存在，则摒弃该次通信。否则，舍去已 公开的用作检验的数据，保留余下的筛后数据，继续进行步骤( 6 ) 及 ( 7 )。 ( 6 ) a 及b 进行数据协调，即通过公开信道进行纠错，使a 及b 所拥有的 数据。七高度一致，q b e r 降到可接受的水平。 ( 7 ) a 及b 通过公开信道，进行密性放大，将窃听者e 可能获得的少量信 息变为无效。 经过上述步骤后a 与b 所共同拥有的。七数码串，就是所需的密码。 2 二态协议 二态协议又称b 9 2 协议，是由c 。h b e n n e t 于1 9 9 2 年提出的f 2 ，3 ，4 1 设a 预先准备随机数码序列 o 七) ，b 准备随机序列 九) ，o 岛，6 七只取值。或1 当= o ，a 向b 发出量子态l 锄) = i o ) ，当。奄= 1 ，a 向b 发出量子态l 也) = 去( i o ) + 1 1 ) ) b 收到信号后，若6 = o ，用正交归基z 测量- 6 七= l 用正交归 一基x 测量基z 由；o ) 及j 1 ) 组成在基z 上测量l o ) ，得到了结果他= o 在基z 测 量l 1 ) ，得到的仉可能是。或1 ，概率各为j 基x 由击( o ) 1 1 ) ) 组成。在基x 上测量去( 1 0 ) + 1 1 ) ) ，结果= o 在基x 上测 量l o ) ，张将以概率；取值l 或o 从上述可见，当口奄= 巩时，一定为0 只有口七6 七，弦才有可能为1 或者说 若仉= 1 ，必有a 6 缸，亦即鲰= 6 k + 1 ( m d d 2 ) 测量后，通过公开信道将弦告知a ，a 及b 舍弃所有的= 0 的数据，只保 留“= 1 的q 七6 k 对，从而得到所需的筛后数据与b b 8 4 不同，筛去的数据不是 基不匹配的数据，而是测量结果弦= o 的数据。在筛后数据中，如果不考虑通信 错误及窃听，必有。岛= 6 七+ 1 a 及b 继续通过公开信道进行偷听检验，纠错及密性放大最后得到所需的 密码 3 e p r 协议 a e k e r t 于1 9 9 1 发表了用e p r 对来传送密码的文章人们将之称为e p r 协 议，又称e 9 l 协议【2 ，6 】，现简述如下：设a 及b 共同拥有纠缠态 1 砂) = 二丢( j o o ) + j 1 1 ) ) ( 1 1 9 ) 砂) 是e p r 对当进行测量，砂) 将以概率；演变为j 0 0 ) 或1 1 1 ) 设a 先进行测量，得到了l o ) ，则b 也处于1 1 ) ，若b 先进行测量，得到 了1 1 ) ，则a 也处于1 1 ) 如果a 与b 采用相同的基进行测量，它们将得到完全相 中国科学技术大学理论物理所量子理论组 中国科学技术大学博士学位论文第9 页 同的测量值若a 与b 采用不同的基进行测量，则尽管a 与b 拥有相同的量子态， 得到测量结果将不同 e p r 对可以由a 准备，a 留一半将另一半发给b 也可以由b 准备，将一半发 给a ，或者由第三方准备各发一半给a 与b a 与b 随机地选择一部分他们所拥有的e p r 对，用不同的基进行测量，对测 量得的数据，再用贝尔不等式来判断这些e p r 对有无破坏一旦破坏超过合 理范围，表明窃听严重，从而舍弃通信对未被破坏的e p r 对，用相同的基进行 测量，得到a 与b 彼此一致的数据若a 与b 不能将e p r 对保存足够的时间，也可 变通如下： a 与b 随机地独立地用两种以上的基对e p r 对进行测量利用不同基测得 的数据，检验e p r 的纯洁度而相同基测得的数据，经过纠错及密性放大后用 做密码 e p r 协议的提出具有重要的理论价值，它将量子密码通信与纠缠态直接 联系起来，为量子密码通信的研究开辟了新的道路 1 1 3 量子密钥分发在量子信息中的研究 第一个量子密码通信协议是由c h b e n n e t t 及g b r a s s a r d 于1 9 8 4 年提出 的，这就是著名的b b 8 4 协议，经过2 0 年的发展，量子密码通信目前己从单纯研 究桌布走向实际应用一个以日内瓦为基地的公司在2 0 0 7 年7 月曾宣布，该 公司己在长达6 7 k m 的光纤上实现单光子密码通信自由空间单光子密码通 信也有长足的进步n a t u r e 杂志2 0 0 2 年1 0 月发表的文章述及，曾在德国南部 相距2 3 4 k m 的两座高山进行实验，检测码率为1 5 2 k b i t s 文章作者认为经过 改进后有望实现近地轨道( 5 0 0 一1 0 0 0 k m ) 的单光子密码通信，进而可利用卫 星进行全球范围的密钥传递单光子信号太弱，易受干扰及衰减因此人 们一直致力于研究使用有一定强度的相干光来进行量子密码通信相干光 量子密码通信的研究大致可分为两类，一是利用连续变量进行量子密码通 信，简称q c v ( q u a n t u mc o n t i n u o u sv a r i a b l e ) 另一类是量子噪声密码通信，简 称k c q ( k e y e dc o m m u n i c a t i o ni nq u a n t u mn o i s e ) 前者( q c v ) ，由a 向b 发出一定 强度的相干光，其量子态包含对应于光子位置及动量的两个连续变量e 窃 听时受海森伯不确定性原理的制约，必然干扰a 与b 的通信，使信噪比增加从 而被察觉后者( k c q ) ，也是利用不确定性原理a 从大量的互相紧邻的量子态 中，每次选择一个发送给b 窃听者e 不知道a 发送给b 是什么状态，因而测到的 是量子噪声，得不到有用的信息b 因为知道密钥，从而能准确地测出量子态所 代表的码值( 0 或1 ) ，可以说，k c q 是利用量子噪声来保护要传送的信息量子密 码通信己发展至逐步走向实用化的新阶段，它不只需要科学家的参与，还需要 吸引大量的工程技术人才及投资管理者的参与 中国科学技术大学理论物理所量子理论组 第1 0 页 中国科学技术大学博士学位论文 1 。2 量子纠缠 量子纠缠是量子力学中独特的资源，它在量子信息和量子计算中具有 关键的作用f ? 】。关于量子纠缠的研究方向很多：如量子纠缠的基本定义、 性质和度量等基本问题：目前对量子纠缠特性的研究取得了一些进展，但 尚未建立起完整的理论。 量子纠缠态分为纠缠纯态和纠缠混态。纠缠纯态是指在任何表象下复 合系统的量子态都不能够写成各个子体系波函数的直积形式。 以常见的两体纯态为例。任意一个量子纯态可以表示为i 矽) = 。c n l 砂n ) ，其中i 讥) 是正交归一化基矢量。于是a ，b 两方复合系统的量子态，其 任意纯态可以写成： i 妒) a 日= 一) a f 九) b ( 1 2 1 ) ( i 妒。) aoi 加) b ) 为正交归一基矢) 用密度矩阵表示 肌b = l 矽) a b ( 砂i = ，n q 0 ) ( 蚓圆( 咖l m ，n ，t j = 胁n 力) ( 识f 。( 奶l ( 1 2 2 ) m ，n ，i ，j 从纠缠的角度，两方纯态分为可分离态和纠缠态。可分离态可以表示为 l 妒) a b = i 妒) aoi ) b( 1 2 3 ) 量子纠缠纯态则是不能够写成上述直积的形式，而且每个予系统处于混合 态而不再是纯态。例如b e l l 态，也称之为e p r 对： 1 妒) = 去( 1 0 0 ) + 1 1 1 ) ) ( 1 2 4 ) v 二 如果两体系统a ，j e 7 的混合态j d 可以写成下面的形式，那么它就是一个 可分态( 非纠缠态) ： p = a 以 以 ( 1 2 5 ) i 其中p l o ，且见= 1 。这个定义表明：可分态i d 至少存在一个可能的 分解，即可以表示为各个子系统密度矩阵直积的凸和。纠缠混态的概念于 是可以得出：不能够写成上述形式的混合态称之为纠缠混态。那么一个自 然的问题就出来了：纠缠的程度如何定义? 为此研究人员作了相当多的探 讨。 中国科学技术土学理论物理所量子理论组 中国科学技术大学博士学位论文第1 1 页 1 2 1 纠缠性质和度量 量子纠缠作为一种独特的资源，在量子信息和量子计算中具有重要的 作用，因此对量子纠缠的性质和度量的研究就显得非常重要。为了得到量 子纠缠度量，首先必须清楚量子纠缠的性质。一般来讲量子纠缠的定义必 须满足以下几个基本要求，即量子纠缠的基本性质f 8 1 ： ( 1 ) 可分态的量子纠缠为o ； ( 2 ) 有界性质：对于两个d 维体系形成的最大纠缠态，其纠缠等于 e ( j d m ) = 七l o g d( 1 2 6 ) ( 3 ) l u ( l o c a lu n i t a r yo p e r a t i o n ) 等价的态具有相同的纠缠： e ( u o 如( p a b ) ) = e ( p a b )( 1 2 7 ) ( 4 ) l o c c ( 1 0 c a lo p e r a t i o na n dc l a u s s i c a lc o m m u n i c a t i o n ) 变换后，平均纠 缠不增； e ( a l o c g ( j d ) ) e ( j d )( 1 2 8 ) ( 5 ) 连续性：当两个密度矩阵的距离无限趋向于零时，它们纠缠差别也 应该趋于零； e ( p ) 一e ( 盯) 一o ，当怕一盯| | 一o，( 1 2 9 ) ( 6 ) 可加性：对于态p 的佗份相同拷贝，其包含的纠缠应该为单份拷贝 所含纠缠的佗倍： e ( p 肌) = 礼e ( p ) ( 1 2 1 0 ) ( 7 ) 次可加性( s u b a d d i t i v i t y ) ：两个态声和口的直积所包含的纠缠不应该 大于两个态各自纠缠之和： e p o 盯) e ( 1 p ) + e ( 盯)( 1 2 1 1 ) ( 8 ) 凸性( c o n v e x i t y ) ：纠缠度量应该是个凸函数； e ( 入p + ( 1 一a ) 仃) 入e ( j d ) + ( 1 一a ) e ( 盯)( 1 2 1 2 ) 其中o 入1 。 对于两体纯态的纠缠，现在已经有了较好的定义：对于混态纠缠，目 前只对2 2 的系统有了清楚的了解：而多体高维系统的量子纠缠问题远 没有解决。量子纠缠度量的定义有许多种，这里分别对几种主要的纠缠度 量给以介绍。 1 约化熵纠缠 中国科学技术大学理论物理所量子理论组 第1 2 页 中国科学技术大学博士学位论文 在经典信息论中，v o nn e u m a n n 熵是用来度量经典几率分布的不确定 性。对于量子态而言，量子态的密度矩阵代替了经典的几率分布。我们用 约化熵来度量量子态的纠缠，以两体纯态l 矽) a 日为例，其约化熵纠缠e 是 用其中任一子系统的约化密度矩阵的v o nn e u m a n n 熵【9 】来定义的 e = s ( p a ) = s ( p b )( 1 2 1 3 ) 这里| | d a = ，i r b ( i 矽) a b ( 矽i ) ，j d b = ，i y a ( i 妒) a b ( 矽1 ) 。 为( 例如j 9 a ) 而v o nn e u m a n n 熵的定义 - 罗= 一1 y ( p ai o gp a )( 1 2 1 4 ) 其中对数函数的底取为2 。如果密度矩阵以的本征值为k ，v o nn e u m a n n 熵可以重新表述为 鼬( 以) = 一k 1 0 9k( 1 2 1 5 ) 霉 把约化熵推广到两体混态，则得到互熵毋，其定义为： 目三s ( p a ) + s ( p b ) 一s ( p a b )( 1 2 1 6 ) 约化熵推广得到的互熵研不是一个理想的纠缠度量，因为其包含了经典 的信息关联，在l o c c 下可能增加【9 】。 2 s c h m i d t 数纠缠 首先说明一下s c h m i d t 分解定理【1 0 ，l l ，1 2 】：任意两体纯态f 矽) a 日总能 够表示为 l 矽) a b = 厄m 。跏 ( 1 2 1 7 ) t = 1 其中鼽为归一化常数且满足关系鼽= 1 。 i z ) a 爿a ，a ( 歹i t ) a = 卜7 ) b 冗b ，b ( 歹7 i i 7 ) b = 文，j ， n m i n ( d i m 冗a ，d i m 何b ) 这里“ ( b ) 分别为a ( b ) 的h i l b e r t 空间。用密度矩阵来描述s c h i m d t 分解 定理，任一两体纯态| p a b 可以表示如下 p a b = f 厕m ( 引o b ( 歹7 i ( 1 2 1 8 )p a b2 乙、鼽乃1 2 ) j 4 u i 圆p ) b i【l z l 芍) t ，j 证明：a ，b 复合系统的一般纯态可以表示为 ，i 妒) a b = o 啦m i 肛) b 三m 阢 ( 1 2 1 9 ) t ，肛 t 中国科学技术文学理论物理所量子理论组 中国科学技术大学博士学位论文 第1 3 页 其中仆) a ) 和 l p ) b ) 分别是咒a 和咒b 的正交归一化基矢，且定义 i ) b 三n 仙l p ) 日 ( 1 2 2 0 ) p 需要注意的是这里的l i ) b 不一定是正交归一的态矢量。 对于子系统a 的任意状态j | d a ，总可以找到一组a 的正交基使得密度矩 阵纵对角化。不妨假设上述的基 i i ) a ) 就是这样的一组基矢，则有： 肌= p m ( 引 ( 1 2 2 1 ) t 而纵也可以通过对量子态| 矽) b 所对应的密度矩阵部分求迹得到： j d a 三n b ( i 妒) j 4 b ( 妒i ) = n b ( m ( 引。阢( j 1 ) u = b ( 确口a ( m ( 1 2 2 2 ) 巧 方程的最后一个等号是因为 n b m ( 引= b ( 柏b ( m ) b 七 = b ( j l 七) b ( 柏b 么。v l 一，o 、一i ，。 k = b ( 歹i i ) b 其中 i 忌) b ) 是子系统b 的任意一组正交归一基。通过两个肌表达式比较， 可以得到b ( ；i i ) b = 鼽6 巧，因此可知 i i ) b 是彼此正交的。把它们归一化， 即b = 去m ，就有 妒) a b = 厄圳z ( 1 2 2 3 ) l 这就是通常所说的任意纯态i 妒) a b 的s c h m i d t 分解形式。现在任何两体量 子纯态都能够写成s c h m i d t 分解形式，但是所采用的具体基矢对不同量子 态是不同的。一般而言，不能够用基矢伸) a ，伸7 ) b 去同时把另外一个纯 态( 不同于i 妒) a b ) 作s c h m i d t 分解。 s c h m i d t 分解定理告诉我们，对于两体量子纠缠纯态i 砂) a b 存在个正 整数：s c h m i d t 数，也即单体约化密度矩阵以或者船的非零本征值的数 目。当s c h m i d t 数大于1 时，量子态l 矽) a b 是纠缠态。s c h m i d t 数的大小从 一定程度上表征了两体纠缠纯态的纠缠程度，因此也可以作为一种纠缠度 量【1 3 】。 中国科学技术大学理论物理所量子理论组 第1 4 页 中国科学技术大学博士学位论文 3 结构纠缠 任一密度矩阵都可以表示为p = 别他) ( 讹i ，对于所有的可能的分解 t 方式( a ，i 哦) ) ，结构纠缠所f 14 】则定义为 毋= ，巴i n 、：鼽& ( i 饥) ) ( 1 2 2 4 ) 耽，) ) 厶一 、。 其中为单体约化密度矩阵的v o nn e u m a n n 熵。其实从定义可以看出， 结构纠缠需要首先求出纯态i 也) 的约化密度矩阵的v o nn e u m a n n 熵，然后 找出p a b 的所有纯态分解对应的那个最小的平均值。显然对于纯态，结构 纠缠和v o nn e u m a n n 熵相等。 一般来讲两体量子态的结构纠缠计算非常困难，但是对于2 2 系统来 说，可以得到结构纠缠的解析形式【1 5 ，1 6 1 。对于一个给定的2 2 系统的密 度矩阵p ，其结构纠缠为 毋( ) ：日f 堡丛掣1 (