（计算数学专业论文）几类非线性方程的多线性分离变量解.pdf

内蒙古师范大学硕士学位论文 中文摘要 随着科学技术的发展，在许多科学领域中涌现出了大量新的非线 性演化方程，或者一些著名的非线性演化方程出现在一些新的领域中 从而使以物理问题为背景的非线性演化方程的研究已成为当代非线 性科学的一个重要研究方向，创建和发展非线性演化方程的求解方法 是非线性数学物理问题中最为前沿的研究课题之一 经过科学家、工程师和数学家们的共同努力，人们已经建立和发 展了不少求解非线性系统的有效方法，多线性分离变量法就属于其中 的一种基于b i c k l u n d 变换的多线性分离变量法，成功运用于非线性 系统并求得含任意函数的广义解任意函数的合适选择为构造非线性 系统的众多精确解提供了很大的灵活性通过求解这些非线性系统， 发现不同系统的某些场量的多线性分离变量解可以由一通式统一描 述，并且通式中含有一些低维的任意函数，正是由于这些任意函数的 存在，才可以统一地构造出丰富的孤子激发模式本文主要研究了多 线性分离变量法探讨其变量分离的技巧，寻求构造新的多线性分离变 量解，通过选择合适的任意函数，得到了不同的新的局域激发模式 此外，多线性分离变量法还可以被进一步推广到一般多线性分离变量 法，使得在多线性分离变量解中包含了更多低维的任意函数，获得新 的解成为可能本文包括下面几个方面： 第一章，主要介绍孤立子的发现和研究概况，分离变量法在非线 性科学中的进展，简单介绍了几种分离变量法 第二章，首先简单地介绍了多线性分离变量法的步骤，以( 2 + 1 ) 维b r o e r - k a u p k u p e r s h m i d t 方程为例，用多线性分离变量法求解该方 程，获得该方程的包含两个任意函数的分离变量解及一般多线性分离 变量解然后以( 2 十1 ) 维广义b u r g e r s 方程为例，将其约化为含有关于 y ， 的任意函数的一个线性演化方程通过进一步改进这种方法，寻 找形如厂= g ，( y ，f ) + g ：( 少，f ) p ( x ) 形式的解，从而得到了原方程的一些包含 分离变量形式的新解，并适当地选择任意函数，获得了扭状孤波解和 内蒙古师范大学硕士学位论文 周期型孤波解以( 2 + 1 ) 维耗散长水波方程为例，解得该方程的一般多 线性分离变量解，并获得该方程的一些特解以( 2 + 1 ) 维色散长波方程 为例，将其约化为含有关于 x ，f ) 和 y ，r ) 的任意函数的一个线性演化方 程，并通过进一步改进这种方法，寻找形如f = p ( x ，y ，) + g ( 少，f ) 形式的 解，从而得到原方程的一些包含分离变量形式的新解 第三章，给出了本论文的主要结果总结，并提出了一些相关研究 工作的展望与设想 关键词：多线性分离变量法，b a c k l u n d 变换，非线性系统 内蒙古师范大学硕士学位论文 a bs t r a c t w i t ht h ed e v e l o p m e n to fs c i e n c ea n dt e c h n o l o g y , m a n yn e w n o n l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o n s ( n l e e s ) a r ef o u n di nt h es c i e n t i f i ca r e a i n o t h e rh a n d ，s o m ef a m o u sn l e e sa r ed i s c o v e r e di ns o m en e wf i e l d s t h e n l e eb a s e do np h y s i c si so n eo ft h es i g n i f i c a n ts u b je c t si nc o n t e m p o r a r y s t u d yo fn o n l i n e a rs c i e n c e e x p l o r i n ga n dd e v e l o p i n gn e wm e t h o dt o s o l v et h en l e e si st h ef o r e f r o n tt o p i c si nt h es t u d yo fn o n l i n e a rp h y s i c a l p r o b l e m s 。 t h e r ea r em a n yp o w e r f u lm e t h o d st os o l v et h en o n l i n e a rs y s t e m s o n e 。o ft h e mi st h em u l t i l i n e a rv a r i a b l es e p a r a t i o na p p r o a c h ，w h i c hi s b a s e do nt h eb i c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n t ，h eg e n e r a ls o l u t i o n sw i t hs e v e r a l a r b i t r a r yf u n c t i o n s o fs o m en o n l i n e a rs y s t e m sa r e o b t a i n e db yt h e m u l t i l i n e a rv a r i a b l es e p a r a t i o na p p r o a c h w h e nt h ea r b i t r a r yf u n c t i o n s a r es u i t a b l yc h o s e n ，v a r i o u st y p e so fe x a c ts o l u t i o n st ot h en o n l i n e a r s y s t e m sc a nb eg o te x p l i c i t l yi t i ss h o w nt h a ts o m en o n l i n e a rs y s t e m s w h i c ha r es o l v a b l eb ym e a no ft h em u l t i l i n e a rv a r i a b l es e p a r a t i o n a p p r o a c hh a v e a nu n i v e r s a ls o l u t i o nf o r m u l a t h eu n i v e r s a ls o l u t i o n f o r m u l ap o s s e s s e ss e v e r a ll o w e rd i m e n s i o n a la r b i t r a r yf u n c t i o n s w em a y o b t a i nm a n yn e wt y p e so fl o c a l i z e dc o h e r e n ts t r u c t u r e sb e c a u s eo ft h e e x i s t e n c eo fs o m ea r b i t r a r yf u n c t i o n si nt h es e e ds o l u t i o n s i nt h i sp a p e r , t h et e c h n i q u eo ft h em u l t i l i n e a rv a r i a b l es e p a r a t i o na p p r o a c hi sd i s c u s s e d a n ds o m en e wv a r i a b l es e p a r a t i o ns o l u t i o n sa r eo b t a i n e d b ys e l e c t i n gt h e a r b i t r a r yf u n c t i o n sa p p r o p r i a t e l y , m a n yn e wt y p e so ft h e l o c a l i z e d c o h e r e n ts o l u t i o n sa r eo b t a i n e d f u r t h e r m o r e ，t h em u l t i l i n e a rv a r i a b l e s e p a r a t i o na p p r o a c hc a n b ee x t e n d e di n t ot h eg e n e r a lm u l t i l i n e a rv a r i a b l e s e p a r a t i o na p p r o a c h ，b yw h i c ht h eg e n e r a lv a r i a b l es e p a r a t i o ns o l u t i o n s p o s s e s sm a n yl o w e rd i m e n s i o n a lv a r i a b l es e p a r a t i o nf u n c t i o n so fs o m e n o n l i n e a rs y s t e m sa r ef o u n d t h ep a p e ri s o r g a n i z e da s f o l l o w s 内蒙古师范大学硕士学位论文 c h a p t e r1 i si n t r o d u c t i o no ft h ed i s c o v e r yo ft h es o l i t o nt h e o r ya n d t h ed e v e l o p m e n to ft h em u l t i l i n e a rv a r i a b l e s e p a r a t i o na p p r o a c hi n n o n l i n e a rs c i e n c e w eb r i e f l yo u t l i n es e v e r a lk i n do fv a r i a b l es e p a r a t i o n a p p r o a c h i nc h a p t e r2 ，f i r s t l yt h ep r o c e d u r e so fm u l t i l i n e a rv a r i a b l e s e p a r a t i o na p p r o a c hi sd e s c r i b e d t a k i n gt h e ( 2 + 1 ) 一d i m e n s i o n a l b r o e r - k a u p k u p e r s h i m i d te q u a t i o na sa ne x a m p l e ，as o l u t i o nw i t ht w o a r b i t r a r yf u n c t i o n sa n dag e n e r a lv a r i a b l es e p a r a t i o ns o l u t i o na r eg i v e nb y m e a n so ft h em u l t i l i n e a rv a r i a b l es e p a r a t i o na p p r o a c h s e c o n d l y , s t a r t i n g f r o mag e n e r a l i z e d ( 2 + 1 ) 一d i m e n s i o n a lb u r g e r se q u a t i o n ，w ed e r i v ea l i n e a re v o l u t i o ne q u a t i o nw h i c hp o s s e s s e sa na r b i t r a r yf u n c t i o no f y ，t ) i sd e r i v e db yr e d u c t i o nt e c h n i q u e u s i n gt h e i m p r o v e dm u l t i l i n e a r v a r i a b l es e p a r a t i o na p p r o a c h ，s o m en e wv a r i a b l e s e p a r a t i o ns o l u t i o n s t a k i n gt h e f o r mo ff = q l ( j ，r ) + 9 2 ( j ，f ) p ( x ) a r eo b t a i n e d w h e nt h e a r b i t r a r yf u n c t i o n sa r es u i t a b l yc h o s e n ，s o m ek i n k - l i k es o l i t a r yw a v e s o l u t i o n sa n dp e r i o d i cs o l i t a r yw a v es o l u t i o n sa r ee x p l i c i t l yo b t a i n e d t h i r d l y ，ag e n e r a l i z e dv a r i a b l es e p a r a t i o ns o l u t i o no ft h e ( 2 + 1 ) 一d i m e n s i o n a ld i s s i p a t i v el o n gw a v ee q u a t i o ni sp r e s e n t e da n ds o m e s p e c i a ls o l u t i o n so ft h i se q u a t i o na r ea l s oo b t a i n e d f i n a l l y , w er e d u c et h e ( 2 + 1 ) 一d i m e n s i o n a ld i s p e r s i v el o n gw a v ee q u a t i o ni n t oam u l t i l i n e a r e q u a t i o nw h i c hp o s s e s s e sa na r b i t r a r yf u n c t i o no f x ，t a n da na r b i t r a r y f u n c t i o no f y ，t ) b ys e l e c t i n gt h en e w t y p es o l u t i o nw i t ht h ef o r m f = p ( x ，j ，f ) + q ( y ，) o ft h el i n e a re q u a t i o n ，an e wv a r i a b l es e p a r a t i o n s o l u t i o no fi sf o u n db yu s eo ft h ei m p r o v e dm u l t i l i n e a rv a r i a b l es e p a r a t i o na p p r o a c h i nc h a p t e r3 ，t h ec o n c l u s i o n sa n dd i s c u s s i o n sa r ep r e s e n t e d k e y w o r d s ：m u l t i l i n e a rv a r i a b l es e p a r a t i o na p p r o a c h ，b i i c k l u n dt r a n s f o r m a t i o n ，n o n l i n e a rs y s t e m 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研 究工作及取得的研究成果，尽我所知，除了文中特别加以标注和 致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成 果，也不包含本人为获得内蒙古师范大学或其它教育机构的学位 或证书而使用过的材料本人保证所呈交的论文不侵犯国家机 密、商业秘密及其他合法权益与我一同工作的同志对本研究所 做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示感谢 签名： 耋五竺 日期： 油fo 年6 月7 日 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解内蒙古师范大学有关保留、使用学 位论文的规定：内蒙古师范大学有权保留并向国家有关部门或机 构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以将学 位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影 印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子 文档的内容和纸质论文的内容相一致 保密的学位论文在解密后也遵守此规定 签名： 色t 竿导师签名：勒p 谕 日期：f0 年，月 日 第一章引言 第一章引言 1 i 孤立子的发现和研究概况 英国物理学家js c o t tr u s s e l l 于1 8 3 4 年首先发现孤子( s o l i t o n ) 现象1 8 4 4 年他在写给第1 4 届英国科学促进协会的报告中讲述 “我正观察着一条船的运动，那船被一对马快速地拉着 沿着狭窄的运河前进，船宪彝! 停下来，但被船所带动的 大量河水并不停止，它们汇集在船头附近，处于剧烈的 扰动状态然后突然离开船头以巨大的速度向前滚动， 形成一个圆而光滑、轮廓分明、巨大的孤立的高水头， 沿着运河继续前进，役有明显的形状改变和速度减小我 骑马追踪它，它仍以每小时8 至9 英里的速度向前滚动并 保持其原来形状即大约3 0 英尺长、1 到1s 英尺高然后 高度逐渐减小，约一、二英里后消失在河道的弯曲处这就是我在1 8 3 4 年8 月第一次偶 然发现这个奇异而美妙的现象的经过”随后他又进行了实验研究：用重锤落入水 槽的端来产生孤波 畦二二= 三= 二 图卜11 罗录实验的示意圈 图1 i 是罗素实验的示意图( i ) 重锤落水前，( i i ) 重锤落水后，( i i i ) 产生的孤波以恒定速度 向右移动并保持波形不变他还从实验得出，孤波移动速度c 与水槽中静止永深h 和孤 波波幅a 之间有如下关系： 一= g “+ 一) ， ( 11 ) 由上式看出，波幅较高的孤渡其移动速度也较快 但波幅下降到半高度的波宽则较窄， 不幸的是，罗素的发现在当时未能执流体力学方程组中得到合理的解释，因而未能引起 物理学家们的重视艟后a 酊( 1 8 4 5 ) ，s t o e k e s ( 1 8 4 7 ) ，b o u s s i n e s q 和l o r d r a y l e i 曲( 1 8 7 6 ) 进一步研究这种波形，b o u s s l n e s q 提出了一个非线性演化方程，即b o u s s i n e s q 方程： ，鼙 内蒙古师范大学硕士学位论文 一一要兄( 奶。一年u j c r d o t o ( 1 2 ) 直到1 8 9 5 年科特韦格( k o r t e w e g ) 和德弗里斯( d ev r i e s ) 才。在浅水长波, r i d , 振幅假 定下建立了单向运动的非线性浅水波方程c 3 并用该方程来描述罗素所发现的现象，此 即著名的k d v 方程 o 打r 2 3 - 夏 _ 0 死( i 冉知+ 咯”= 警 ( 1 3 ) 式中r 是表面相对于平衡位置的位移，口是- d , 待定量，它和流体的运动是否均匀有 关g 是重力加速度，丁是表面张力，p 是密度如果作以下变换： ，= 丢捂 x = 一万一夕2 孝，( 1 4 ) ll 舻j 刁+ j 口， 则方程( 1 3 ) 可以化为无量纲形式 u t 一6 u u 。+ ”蹦= 0 ，( 1 5 ) 并在h 专o d 时要求7 7 和r ，都趋：于0 的条件下求出方程( 1 3 ) n 孤n n n 慨，) = a s e c 讯万3 a ) ( x 一吼 ( 1 6 ) 其中c = 厩) ，如图1 ，2 所示 f 一 i 、 图卜2 ：钟型孤立子 当孚1 时，这个结果和罗素实验观察到的( 1 1 ) 式一致 甩 然而这种波是否稳定? 两个孤立波碰撞后能否变形? 这些问题还没有得到解答 直到2 0 世纪5 0 年代，人们在流体力学之外的其他物理领域寻找到生机，由于著名物理 学家f e r m i ，p a s t a 和u l a m 等人的工作h 1 ，打破了这一僵局他们将若干个质点用非线性 弹簧连接成一条非线性振动弦，初始时这些谐振子的所有能量都集中一个质点，其他的 质点的初始能量均为零按照经典的理论认为：只要非线性效应存在，就会有能量均分， 2 第一章引言 各态历经等现象出现，任何微弱的非线性相互作用，可导致系统由非平衡状态向平衡状 态过渡但实际计算的结果并非如此，上述达到能量平衡的观念是错误的经历长时间 以后，几乎全部能量回到了原先的初始分布，这就是所谓的f p u 问题1 9 6 0 年，g a r d n e r 和m o r i k a w a 帕3 在对碰撞的磁流波的研究中重新发现了k d v 方程1 9 6 2 年p e r r i n g 和 s k y r m e 雒1 将s i n e g o r d o n 方程用于研究基本粒子时，数值计算结果表明：这样的孤立波 并不散开，两个孤立波碰撞后仍保持原有的形状和速度19 6 5 年z a b u s k y 和k r u s k a l 口1 用数值模拟方法考察了等离子体中孤立子碰撞的非线性相互作用过程，得到了比较完 整和丰富的结果1 9 6 7 年，户m ( t o d a ) 剐把一维晶体看成具有质量的弹簧拉成的链条，研 究了这种模式的非线性晶格振动，用牛顿定律先得到差分方程，然后在长波近似和小振 幅的假定下得到了k d v 方程，并解得了孤立波解，使f p u 问题得到正确的解答进一步 证实了孤立子相互作用后不改变波形的论断，这是一个具有历史意义的重大发现，促使 他们把碰撞过程和弹性粒子之间的碰撞过程十分相似的孤立波，命名为孤立子( 或孤 子) ( s o l i t o n ) 孤立子概念的提出，不但揭示了孤立波的本质，而且被普遍接受并推动了 世界范围内孤立波研究的热潮，己成为非线性科学的重要课题。 孤立子的发展大致分为以下三个阶段：第一阶段1 8 3 4 1 9 5 5 年主要的成就为： 1 r u s s e l l 发现孤立波；2 s i n e g o r d o n 方程的b i i c k l u n d 变换的发现；3 k d v 方程及 其孤波解的提出；4 c o l e h o p f 变换第二阶段1 9 5 5 1 9 7 0 年主要的贡献有：1 f p u 问题的提出；2 孤立子的命名；3 反散射法；4 m i u r a 变换；5 l a x 对第三阶段从 1 9 7 0 年至今，这个阶段发展的极为迅速 除k d v 方程具有波包型( 钟型) 孤立波外，己经发现还有几类重要的非线性波动方 程并具有其它典型类型的孤立波例如 ( 1 ) 正弦一戈登( s i n e g o r d o n ) ( s g ) 方程其形式为呻1 一u 。- i - s i n u = 0 ( 1 7 ) 具有两类孤立波解 u ( x ，f ) - 4t a n 一- 【e x p 掣坪i 1 ) ，( 1 8 ) q l c 2 它表示沿x 轴正向运动的扭结孤子解( 相应于取+ 号) 和反扭结孤子解( 相应于取号) 如 果取负值，则沿x 轴反向运动，如图1 3 所示 m 力= 4 t a n - 车錾生业】 ( c l ，1 n 3 ( 1 1 3 ) 这个方程被称作k ( m ，z ) 方程对于k ( 2 ，2 ) 方程，他们获得一类新的孤立子解 u ( x ，f ) = 对于r ( 2 ，3 ) ，x ( 3 ，2 ) 和x ( 3 ，3 ) ，也获得了类似的解这样的解被称为紧孤立子解如果令 善= x c t ，那么u ( x ，t ) 的图形如图1 - 6 所示 译咩 丝3 内蒙古师范大学硕士学位论文 中得到，后来19 9 8 年v a k h n e n k o 和p a r k e s 等n 纠町在v a k h n e n k o 方程 ( u f + “，) ，+ 材= 0 ， 中发现有单圈孤立子和n 圈孤立子解存在，其形式为 “：- 孚s e c h ：【华，x w ：3 石鼬( 华) 叫 。2 “ 、 2 。 如图1 7 所示 1 2 分离变量法在非线性科学中的进展 ( 1 1 6 ) ( 1 1 7 ) 求偏微分方程的精确解的方法有很多，常常是对于不同的问题采用不同的研究手 段比较常用的方法有反散射方法( i n v e r s es c a t t e r i n gm e t h o d ) n 6 憎1 、达布变换法 ( d a r b o u x t r a n s f o r m a t i o nm e t h o d ) 伽2 2 1 、p a i n l e v e 截断展开法( t r u n c a t e dp a i n l e v e e x p a n s i o n ) 汹侧、经典和非经典李群 法( c l a s s i c a la n dn o l l c l a s s i c a ll i eg r o u pa p p r o a c h e s ) 2 6 - 2 a 3 、c k 直接法( c k sd i r e c tm e t h o d ) 汹嘲1 、辅助方程法d 卜3 3 1 、广义条件对称方法 ( g e n e r a l i z e dc o n d i t i o n a ls y m m e t r ym e t h o d ) 3 4 侧、几何方法( g e o 咖e t r i c a lm e t h o d ) t a t - a s 、 假设法( a n s a t z 。b a s e dm e t h o d ) 啪啪1 ，形式分离变量法“h 2 3 和多线性分离变量法 4 3 - 7 7 限于 篇幅，下面仅对分离变量法作简单介绍，而对其它方法不作任何讨论 线性物理中有两大普适的方法，即傅立叶变换法和分离变量法这两种方法都不能 直接应用于非线性科学中：到上世纪六十年代后期，傅立叶变换法被非常成功地推广到 了非线性物理的可积模型中，导致著名的反散射方法的产生而分离变量法在非线性物 理中一直没有得到成功的推广和应用，直到最近才在几个方向得到了发展主要有：几 何方法( p w d o l y e ) ，形式分离变量法，泛函分离变量法口8 。舯1 相关泛函分离变量法瞰删 和多线性分离变量法n 3 咕羽 1 几何方法 几何法( g e o r m e t r i c a lm e t h o d ) ，以p w d o l y e 为代表，主要的想法是：对于k 阶方程 “f = f ( x ，u ，“l ，u 2 ，“) ，( 1 1 8 ) 与和式分离变量条件 u ，= 0 ，( 1 1 9 ) 相容当且仅当 ( q ) 。= 0 ( 1 2 0 ) 4 “o 其中地表示对x 的k 阶偏导数， 见= a ，+ a 。+ 扰2 a 。+ + “t a 。 ( 1 2 1 ) 6 第一章引言 通过求解相容性条件( 厦) 。= o 可得一切可能的f ，从而实现对所给方程 进行具有和式分离解的完全归类和求解 2 形式分离变量法 形式分离变量法最早是由曹策问提出的非线性化方法以及李翊神和程艺的对称 约束法而楼和陈则给出了求解非线性方程的形式分离变量法的一般过程，具体为： 对于一个n 阶( n + 1 ) 维的非线性微分方程 f ( t ，x i ，x 2 ，x n ，“，“而，“而，“， 。f ) 耋f ) = o ， ( 1 2 2 ) 引入一组变量形式分离的方程 l ，= k ，f _ o ，1 ，2 ，舱，x o 兰t ， ( 1 2 3 ) 其中甲三( ，i f f m ) t - - - g t , ( t ，x 1 ，x 2 ，乇) ，k 三k ( 甲) 是有m 个分量的矩阵函数 相容条件 = 要求矩阵函数k 。满足 【k ，k ，】兰k ；k 一k j k r 兰云( k 。( 甲+ 以) 一k ( 甲+ 以，) ) l ，oi 0 ( 1 2 4 ) 我们假定方程( 1 2 4 ) 的解与甲之间具有关系 “= u ( 甲) ，( 1 2 5 ) 将式( 1 2 5 ) 和( 1 2 7 ) 代入方程( 1 2 4 ) 后确定出函数己，和k ，由此来得到形式分离变量解 3 泛函分离变量法 一 屈长征提出了泛函分离变量法并建立了利用一般条件对称对方程进行归类和求 r 解的步骤和实现方法，具体为： 以阶( 1 + 1 ) 维非线性方程 f ( t ，z ，烈，u t ，“，u u x x ，) 暑f ( u ) = 0 ( 1 2 6 ) 为例，虽然我们可以对其求乘积型分离变量解或和式型分离变量解，然而对绝大多 数的非线性系统却没有此种解，因此，人们寻求泛函分离变量解 f ( u ) = ( x ) + 5 f ，( f ) ， ( 1 2 7 ) 其中f ( u ) 是可逆函数泛函分离变量解( 1 2 9 ) 满足约束条件 刁兰“盯十g ( u ) u ，u ，= 0 ， ( 1 2 8 ) 其中g ) 三厂彬，( “) 这：问题等价于寻求奄程( 1 2 8 ) 的一般条件对称 v = 刁兰+ g ( “) 】兰 ( 1 2 9 ) 由此可以给出系统( 1 2 8 ) 具有泛函分离变量解( 1 2 9 ) 1 狗完全归类并给出归类方程的泛 函分离变量解 4 导数相关泛函分离变量法 导数相关泛函分离变量法是泛函分离变量法的进一步推广，它能够给出完整得多 7 内蒙古师范大学硕士学位论文 的分离变量可解归类在利用导数相关泛函分离变量法对一些类型的非线性系统进行 导数相关泛函分离变量可解的完全归类的研究中，对一些不同类型的非线性模型，先要 求各种场量及其导数的某种( 泛函) 组合可以有加法或乘法的变量分离解，然后根据这 一要求来确定相应的一般条件对称，进而利用一般条件对称、不变曲面条件和群论方 法来确定所有可能的方程和可能的泛函组合，定出方程所有可能的等价类，最后再分别 求出导数相关泛函分离变量解 1 3 本文主要工作 基于b i i c k l u n d 变换的多线性分离变量法，可以获得非线性系统的含任意函数的j 义解，而且通过选择合适的任意函数，可以构造非线性系统的众多精确解通过求解这 些非线性系统，发现不同系统的某些场量的多线性分离变量解可以由一通式统一描述， 并且通式中含有一些低维的任意函数，正是由于这些任意函数的存在，才可以统一地 构造出丰富的孤子激发模式本论文主要讨论了多线性分离变量法的变量分离的技巧， 从而得到了新的多线性分离变量解，通过选择合适的任意函数，得到了不同的新的局 域激发模式此外，多线性分离变量法还可以被进一步推广为般多线性分离变量法， 从而得到一些非线性系统的一般多线性分离变量解，这个解中包含了更多低维的变量 分离函数本文正是基于这一背景下，对多线性分离变量法进行了进一步研究，主要内 容如下： 第二章主要介绍了( 2 + 1 ) 维非线性的多线性分离变量法，以( 2 + 1 ) 维 b r o e r k a u p k u p e r s h m i d t 方程为引例，用多线性分离变量法求解该方程，获得该方程 的包含两个任意函数的分离变量解然后以( 2 + 1 ) 维广义b u r g e r s 方程为例，将其约化 为含有关于 ) ，) 的任意函数的一个线性演化方程通过进一步改进这种方法，寻找形 如= g l ( j ，t ) + g ：( j ，t ) p ( x ) 形式的解，从而得到了原方程的一些包含分离变量形式的 新解，并通过适当地选择任意函数，获得了扭状孤波解和周期型孤波解以( 2 + 1 ) 维耗 散长水波方程为例，获得含有任意函数的一般多线性分离变量解，并且获得该方程的 一些特解以( 2 + 1 ) 维色散长波方程为例，将其约化为含有关于 z ，f ) 和 y ，t 的任意函 数的一个线性演化方程，并通过进一步改进这种方法，寻找形如f = p ( x ，y ，) + g ( y ，) 形 式的解，从而得到原方程的一些包含分离变量形式的新解 8 第二二章一些( 2 + 1 ) 维非线性系统的多线性分离变量解 第二章一些( 2 + 1 ) 维非线性系统的多线性分离变量解 2 1 多线性分离变量法简介 1 9 9 6 年楼森岳教授和陆继宗在关于d a v e y s t e w a r t s o n 系统的论文中提出了一种 分离变量法，此即多线性分离变量法的雏形后来唐晓艳博士和楼森岳在此法的基础 上进一步研究，并建立了完善的多线性分离变量法，使得多线性分离变量法真正得到 发展以致能够推广应用于大量的非线性模型到目前为止，多线性分离变量法己经成 功求解了一大类的( 2 + 1 ) 维非线性系统，如d a v e y s t e w a r t s o n ( d s ) 方程、 n i z h n i k n o v i k o v v e s e l o v ( n n v ) 方程、b o i t i l e o n m a n n a p e m p i n e l l i ( b l m p ) 系统、 色散长波方程( d l w e ) 、m + n 分量a k n s 系统、高阶b k k 系统、m a c c a r i 系统等等对于 ( 3 + 1 ) 维目前已经成功求解了两个模型，即( 3 + 1 ) 维b u r g e r s 方程和( 3 + 1 ) 维 j i m b o m i w a 方程，并且成功求解了( 1 + 1 ) 维广义的浅水波方程 用多线性分离变量法求解( 2 + 1 ) 维非线性系统 f ( u ，“，甜。，珥，) = 0 ( 2 1 ) 可以分为以下四个步骤： 步骤1 多线性化非线性系统( 2 1 ) 把解“展开为 材= 一，厂卜“ ( 2 2 ) i = 0 其中u 和厂是 x ，y ，t 的函数，玎是正整数，是非线性系统( 1 ) 的任意种子 解u n 一，( n f ) 和静都由p a i n l e v e 测试的领头项分析得到把式( 2 2 ) 代人式( 2 1 ) 得多 线性化方程 f ( 厂，六， ，z ，) = 0 ( 2 3 ) 步骤2 作变量分离假设 假设函数厂的形式为 f = a o + q p ( x ，r ) + a 2 q ( y ，) + a 3 p ( x ，t ) q ( y ，) 三a o + q p + a 2 q + a 3 p q ( 2 4 ) 其中p 和g 分别是 x ，t 和 y ，t ) 的函数，a o ，a 。，a ：和a ，是常数( 也可以是t 的函数) 把上式代人( 2 3 ) 得 g ( p ，q ，b ，吼，见，q ，) = 0 ( 2 5 ) 显然，上式是关于分离函数p 和g 及其导数的一个方程假设( 2 4 ) 是多线性分离变量 法的基础当p 和q 都取作行波型指数形式时，( 2 4 ) 式就成为h i r o t a 方法的二孤子假 9 内蒙古师范大学硕士学位论文 设 步骤3 分离方程( 2 5 ) 在分离方程( 2 5 ) 过程中，要求函数p 和g 分别满足变量分离方程 g l ( p ，p ，p l ，一) = 0 ( 2 6 ) g 2 ( g ，q ，q f ，一) = 0 ( 2 7 ) 若函数( 模型的种子解或来自其他途径如任意积分函数等) 是关于 x ，f ) 的，那么这个 函数就会出现在方程( 2 6 ) 中，否则就会出现在方程( 2 7 ) 中即，方程( 2 6 ) 中的函数 的自变量只能是 x , t ) 或者，而方程( 2 7 ) 中的函数的自变量只能是( y ，f ) 或者r 如何 将方程( 2 5 ) 分离成( 2 6 ) 和( 2 7 ) 是多线性分离变量法的难点一旦解决了这个难点， 多线性分离变量法就基本上成功了 步骤4 求解变量分离方程( 2 6 ) 和( 2 7 ) 在求解变量分离方程( 2 6 ) 和( 2 7 ) 的时候采用了一个非常巧妙的方法不失一般 性，假定方程( 2 6 ) 中含有一任意函数h = h ( x ；t ) ，则在求解该方程时解出h 而不是p ， 即用p 来表示h 可见，h 的任意性转移给了p ，即p 是任意的类似地，可以用q 来表 示一个关于 y ，f ) 的函数 完成以上四个步骤后就可得到非线性系统( 2 1 ) 的多线性分离变量解，往往可以 得到一个相当普适的公式： 甜=百丽(-鬲2)aq丽ypxu ，a 1 = a 。a ，二a a( 2 8 ) 甜= = f = ，一，1 i z 芍l ( 口o + 口l p + 口2 9 + 口3 p 口) 以上的讨论仅针对单个方程的情形，对于方程组的求解步骤是完全类似的唯 一需要指出的是可能会同时得到多个任意函数且分别出现在了几个变量分离方 程中 2 2 几个( 2 + 1 ) 维非线性发展方程的分离变量解 多线性分离变量法可以求解大量的( 2 + 1 ) 维，某些( i + i ) 维和( 3 + 1 ) 维的非线性系 统，可以实现独立变量的真正的分离以( 2 + 1 ) 维b r o e r k a u p k u p e r s h m i d t 方程为例， 用多线性分离变量法求解该方程，获得该方程的包含两个任意函数的分离变量解及含 有任意函数的一般多线性分离变量解，并且获得该方程的一些特解然后以( 2 + 1 ) 维广 义b u r g e r s 方程为例，将其约化为含有关于( y ，f ) 的任意函数的一个线性演化方程通 过改进这种方法，寻找形如f = q l ( j ，f ) + g ：( y ，t ) p ( x ) 形式的解，从而得到了原方程的一 l o 第二章一些( 2 + 1 ) 维非线性系统的多线性分离变量解 些包含分离变量形式的新解，并适当地选择任意函数，获得了扭状孤波解和周期型孤 波解以( 2 + 1 ) 维耗散长水波方程为例，获得含有任意函数的一般多线性分离变量解， 并且获得该方程的一些特解以( 2 + 1 ) 维色散长波方程为例，将其约化为含有关于 x ，t ) 和 y ，0 的任意函数的一个线性演化方程，并通过改进这种方法，寻找形如 f = p ( x ，y ，) + q ( y ，) 形式的解，从而得到该方程的一些包含分离变量形式的新解 2 2 1 ( 2 + 1 ) 维b r o e r k a u p k u p e r s h mid t 方程的多线性分离变量解 ( 2 + 1 ) 维b k k 方程的形式为 h c y h 唧+ 2 ( h h x ) p + 2 g 。= 0 ， g f + 吒+ 2 ( h g ) ，= 0 首先，对方程( 2 9 ) ，( 2 1 0 ) 进行p a i n l e v e 截断展开， ( 2 9 ) ( 2 1 0 ) = 乩州t ， ( 2 1 1 ) g = g o + g , f q + g 2 厂2 ， 其中q ，g l ，g 2 ，风，g 0 ，厂都是关于 x ，y ，) 的函数，g o 是种子解? 将( 2 1 1 ) 式代人方 程( 2 9 ) ，( 2 1 0 ) ，得到关于q ，g i ，g 2 ，凰，g o 的方程对于方程( 2 9 ) ，有 h o | y h o 。y + 2 0 h o i h qy + h o h o e + 2 g o 。：= 0 h i t y h 、h y + 2 ( h o x hl y + h l t hq y + ho h t 。y + h i h o x y 、) + 2 g l “= 0 - 一h l t f y h p f i h f 节七2 h c y f t + h 、钛fp 2 h 、x ；碲+ h y ；。+ h 、f 。锣2 卜h o x hl j y + h 、。h y hop h f x hq hl x y hq h i y f l 一 日o i 厶+ 日i l 叫) + 2 g 2 盯一4 g l ，六一2 g i 厶= 0 2 h l l t 。一2 ( 2 h 、x x ，七hl f 。七h 、， ：+ 2 hl x 。、 峨y 裔 2 l _ hl h 、