（计算数学专业论文）非线性schrodinger方程的高精度守恒差分格式.pdf

南京航空航天大学硕士学位论文 i 摘 要 非线性schr dinger(nls)方程在高能物理、量子力学、非线性光学、超导及 深水波等方面的研究中，起着非常重要的作用。 本论文主要研究了几种非线性schr dinger方程的高精度守恒差分格式。首 先，我们对一般的非线性schr dinger方程构造了一个线性化三层十一点守恒差 分格式。此格式很好地保持了离散电荷和离散能量守恒，具有很好的稳定性和 收敛性，在时间和空间上关于离散最大模分别具有二阶和四阶精度。而且，此 格式是一个无需迭代的线性化格式，因而在计算时间上也有了很大的改善。然 后，我们对含五次项的非线性schr dinger方程构造了两个高精度的守恒差分格 式 两层十点格式和三层十一点格式。理论和数值实验均表明这两个格式具 有很好的稳定性和收敛性，亦具有很好的精度。最后，用同样的方法对径向对 称的非线性schr dinger方程构造了两个守恒差分格式，理论分析和数值实验表 明这两个格式是有效的。 关键词： nls方程，高精度，差分格式，守恒，收敛性，稳定性 非线性 s c h r ? d i n g e r 方程的高精度守恒差分格式 ii abstract nonlinear schr dinger (nls) equations play a very important role in the research of such aspects as high- energy physics, quantum mechanics, nonlinear optics, superconduction and deep ripples, etc. this thesis carries on research to the nonlinear schr dinger equations. in this thesis, a linearizing conservative finite difference scheme is proposed for generic nonlinear schr dinger equations at first. the scheme conserves the energy and charge of systems, and its convergence and stability are proved. the scheme are showed to possess second order accuracy and fourth order accuracy in maximum norm for time and space respectively. besides as the scheme is linearizing without iterative, its runtime is improved too. then we study a class of nonlinear schr dinger equation involving quintic term. and a two- level scheme and a three- level scheme are proposed for the above problems. both theory and numerical test results show the good stability, convergence and accuracy. at last, two high accurate and conservative finite difference schemes are proposed for the radial symmetric nonlinear schr dinger equation in the same method. by means of numerical computation, it is followed that the new schemes are efficient. key words: nls equation, high accurate, difference scheme, conservation, convergence, stability 承诺书 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立 进行研究工作所取得的成果。 尽我所知，除文中已经注明引用的内容 外，本学位论文的研究成果不包含任何他人享有著作权的内容。 对本 论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集体， 均已在文中以明 确方式标明。 本人授权南京航空航天大学可以有权保留送交论文的复印件， 允 许论文被查阅和借阅,可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 (保密的学位论文在解密后适用本承诺书) 作者签名： 日 期： 南京航空航天大学硕士学位论文 1 第一章 绪论 1.1 科学计算与偏微分方程数值解 随着计算机的飞速发展，科学计算在各门自然科学(物理学、气象学、地质 学和生命科学等)和科学技术与工程科学(核技术、石油勘探、航空与航天和大 型土木工程等)中起着越来越大的作用，在很多重要领域中成为不可缺少的工 具。从科学研究和技术工程问题中抽象出来的许多数学模型都可以用偏微分方 程或方程组来描述，而科学与工程计算中最重要的内容就是求解这些偏微分方 程或方程组。然而，只有少数简单的偏微分方程可以用初等方法求解。一般而 言，找出这些方程的精确解是极其困难的事情，对于大部分问题都是不可能的。 因此，求出这些问题的近似解就成为一项很有意义的工作。偏微分方程数值解 法这个研究方向因此产生。 近几十年来，偏微分方程数值解法得到了前所未有的发展与应用。所用的 数值方法大致可分为三类。第一类方法是差分方法。zabusky, kruskal(1965)计 算 kdv 方程用的著名的 zabusky- kruskal 格式(二阶精度的 leap- frog 格式)就是 一种差分方法。第二类方法是有限元法 1 ，如 petrov- galerkin 方法。第三类是 谱和拟谱方法，如郭本瑜提出的对 rlw 方程的谱格式 2 。 有限差分法是当今流行的偏微分方程数值解的主要方法之一，一般具有较 好的数值稳定性。差分法求解偏微分方程问题的基本思想是用离散的、只含有 限个未知量的差分方程去近似代替连续变量的偏微分方程和定解条件，把相应 的差分方程的数值解作为偏微分方程的近似解。早在 1928 年，courant, friedrichs 和 lewy 等人就有意对某些偏微分方程构造差分格式能保持一个守 恒量，使得格式不仅与原方程相容，而且能保持一个称之为“ 能量” 的守恒量。 出发点是为了保持差分格式在某一范数意义下的稳定性。诸多学者用这种方法 研究了 sine- glodon方程 4, 3 、正则长波方程 5 、klein- gordon方程 7 , 6 、非线性 schr dinger 方程 308 等方程的守恒差分格式。一个好的差分格式不仅能保持方 程本身所具有的守恒量，更要有较高的精度和合理的计算时间。几十年来，诸 多学者都为之不懈奋斗。 非线性 s c h r ? d i n g e r 方程的高精度守恒差分格式 2 1.2 schr dinger 方程的研究现状 非线性 schrdinger方程(nls)在高能物理、量子力学、非线性光学、超导 及深水波等方面的研究中，具有十分重要的作用。nls 存在着电荷守恒和能量 守恒这一性质，因而要求方程的差分格式尽可能地保持着离散电荷和离散能量 的守恒。郭本瑜分别介绍了直角坐标问题和非直角坐标问题的离散能量方法 32,31 。zhang fei 等人在对三次 nls 方程求数值解时指出 12 ，守恒的数值格式 比不守恒的数值格式能够较好的进行数值模拟，因为后者易于出现非线性 “ blow- up” 。因此构造一个好的守恒的差分格式一直是众多学者一直追求的目 标。常谦顺 8 等人(1981)提出了守恒的二层六点差分格式，并于 1986 年讨论了 广义 nls 方程组的有限差分方法 35 ，张鲁明 3836 提出了带参数的守恒的三层 差分格式， 并对带五次项的非线性 schr dinger 方程构造了守恒的三层差分格式 15 。又对径向对称非线性 schrdinger 方程进行了研究 16 ，构造了守恒的三层 差分格式。 1.3 本文研究内容 本文主要研究了几种非线性 schr dinger 方程的高精度守恒差分格式。 第二 章对一般的非线性 schr dinger 方程构造了一个线性化三层十一点守恒差分格 式，在保持电荷和能量守恒的条件下，精度可以达到 24 ()oh+。与已有的格式 相比，此格式是一个无需迭代的线性化格式，因而在计算时间上有了很大的改 善；精度方面比已有的格式也有很大的提高。第三章对含五次项的非线性 schr dinger 方程构造了两个高精度的守恒差分格式，理论和数值实验均表明这 两个格式具有很好的稳定性和收敛性， 收敛阶数为 24 ()oh+。 第四章研究了径 向对称的高维非线性 schr dinger 方程。由于高维非线性 schrdinger 方程的非 线性性和维数高的问题，以致计算复杂计算量大，目前研究二维以及二维以上 的非线性 schr dinger 方程的文章不多。但是对于径向对称的高维非线性 schr dinger 方程，可以通过坐标变换把高维情况转变为一维情况，降低其计算 量。使得研究相对简单。张鲁明、常谦顺用有限差分的方法构造了径向对称非 线性 schr dinger 方程的三层守恒差分格式 16 ，并证明了稳定性和收敛性，收 敛阶为 22 ()oh+。 基于这些研究工作， 我们构造了两个截断误差为 24 ()oh+的 守恒差分格式，数值实验表明这种方法是有效的。 南京航空航天大学硕士学位论文 3 1.4 预备知识 定义 1 差分格式的稳定性 39 设 n u是差分格式的理论解， 0 v是初始值引进的误差向量，而在边值以及 其他各层计算中未引入其他任何误差。由于 0 v的引入，差分格式的解变为 n u 。 对于任意给定的0 ,存在与,h 无关并且依赖于的正整数，使当 000 uuv= =+ + (2.1.3) )( )()0 ,( (2.1.2) )0( , 0),(),( (2.1.1) 02 0 2 2 2 rl rl xxxxuxu ttxutxu uu x u t u i 其中( , )u x t是复值函数， 0( ) ux 为已知的复值函数， 2 1i = ，该问题有着如下的 电荷与能量守恒关系 8 ： 0 2 2 ),(qudxtxuq r x l x = (2.1.4) 0 4 2 ) ),( (edxu x txu e r x l x = = (2.1.5) 其中 00 ,q e 为常数，公式(2.1.4)、(2.1.5)分别为电荷和能量守恒。 由(2.1.4)、(2.1.5)式可以证明 8 ： cu l (2.1.6) 其中，c为一般正常数。在本文中不妨假设c与 i c 均表示某个正常数。 2.2 差分格式的构造 对于方程(2.1.1)(2.1.3)，我们提出如下格式： 111 11 111 11 1 () ()14()() 24 1 ()14()() 24 nnnn jjjj x xxxx x t nnn jjj xxxxx x i uuuu uuu + + + + + 2 11 ()0 (1,2,1,1,2,) nnn jjj uuujjn + +=kk (2.2.1) 0 0,(0,1,2) nn j uun=k (2.2.2) 0 0( ), (1,2,1) jj uu xjj=k (2.2.3) 关于上述差分格式有如下性质： 非线性 s c h r ? d i n g e r 方程的高精度守恒差分格式 6 定理 1 差分格式(2.2.1)(2.2.3)关于离散电荷和离散能量是守恒的，即 10nn qqq =k (2.2.4) 10nn eee =k (2.2.5) 其中 22 1 1 () 2 nnn quu + =+ (2.2.6) = + = + + += j j n j n j n x n x j j x n jx n jx n jx n j n uuhuu uuuu h e 0 2 1 222 1 1 1 1 11 1 )( 12 7 )()()()(re 12 (2.2.7) 证明：将(2.2.1)式与 11+ + nn uu做内积，然后取虚部，左端各项计算如下： 第一项： )( 2 1 )()( 2 im )()( 2 im)( 2 im 2 1 2 1 0 1111 2 1 2 1 11 0 1111 1 1 11 + = + + = + = + = += +=+ nn j j n j n j n j n j nn n j n j j j n j n j n j n j j j n j n j uu uuuuhuu i uuuu ih uu uu ih (2.2.8) 第二项： = + + + = + + + + = + + + + += + 1 1 11 1 1111 1 1 1 11 1 1111 1 11 1 1 1 1 11 1 )()()()(14)()(im 24 )()()()(14)()(im 24 )( )()(14)(im 24 j j x n jx n jx n jx n jx n jx n j j j x n jx n jx n jx n jx n jx n j n j n j j j xx n j xx n j xx n j uuuuuu h uuuuuu h uuuuu h (2.2.9) 因为)2 , 1 , 0(, 0 0 =nuu n j n 所以 = + + + = + = 1 1 1 1 1 1 1 11 1 )()(1)()( j j x n jx n j j j x n jx n j uuuu 因此 0)()()()(14)()(im 24 1 1 11 1 1111 1 =+ = + + + j j x n jx n jx n jx n jx n jx n j uuuuuu h (2.2.10) 即 南京航空航天大学硕士学位论文 7 = + + + + = + + + += + 1 1 11 1 1111 1 11 1 1 1 1 11 1 )()()()(14)()(im 24 )( )()(14)(im 24 j j x n jx n jx n jx n jx n jx n j n j n j j j xx n j xx n j xx n j uuuuuu h uuuuu h (2.2.11) 同理 = + + + = + + + = + = + + + + = + += += + += + 1 1 1 1 1111 1 1 1 1 11 1 1111 1 1 1 11 1 1111 1 1 1 11 1 1111 1 11 1 1 1 1 11 1 )()()()(14)()(im 24 )()()()(14)()(im 24 )()()()(14)()(im 24 )()()()(14)()(im 24 )( )()(14)(im 24 j j x n jx n jx n jx n jx n jx n j j j x n jx n jx n jx n jx n jx n j j j x n jx n jx n jx n jx n jx n j j j x n jx n jx n jx n jx n jx n j n j n j j j xx n j xx n j xx n j uuuuuu h uuuuuu h uuuuuu h uuuuuu h uuuuu h (2.2.12) 第四项 0)( )(im 11 1 1 11 2 =+ + = + n j n j j j n j n j n j uuuuuh (2.2.13) 第二项和第三项的和为 0，从而得到 22 11 1 () 2 nn uu + =0 (2.2.14) 令 22 1 1 () 2 nnn quu + =+ ，则有 1nn qq =，递推之则(2.2.4)式成立。 将式(2.2.1)与 11nn uu + 做内积，然后取实部，左端推导如下 第一项 0)( 2 re 11 1 1 11 = + = + n j n j j j n j n j uu uu ih (2.2.15) 第二项 = + + + + = + + + += + 1 1 11 1 1111 1 11 1 1 1 1 11 1 )()()()(14)()(re 24 )( )()(14)(re 24 j j x n jx n jx n jx n jx n jx n j n j n j j j xx n j xx n j xx n j uuuuuu h uuuuu h 非线性 s c h r ? d i n g e r 方程的高精度守恒差分格式 8 = + = + + + = + 1 1 2 111 1 1 1 11 1 1111 1 )(14)()(2re 24 )()()()(14)()(re 24 j j x n jx n jx n j j j x n jx n jx n jx n jx n jx n j uuu h uuuuuu h = + + + + 1 1 11 1 1111 1 )()()()(14)()(re 24 j j x n jx n jx n jx n jx n jx n j uuuuuu h (2.2.16) 第三项 = = + + + = + = + + + + = + += + += + 1 1 2 111 1 1 1 1 1 1111 1 1 1 1 11 1 1111 1 1 1 11 1 1111 1 11 1 1 1 1 11 1 )(14)()(2re 24 )()()()(14)()(re 24 )()()()(14)()(re 24 )()()()(14)()(re 24 )( )()(14)(re 24 j j x n jx n jx n j j j x n jx n jx n jx n jx n jx n j j j x n jx n jx n jx n jx n jx n j j j x n jx n jx n jx n jx n jx n j n j n j j j xx n j xx n j xx n j uuu h uuuuuu h uuuuuu h uuuuuu h uuuuu h (2.2.17) 第四项 = = + = + =+ 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 1 1 1111 2 )(re j j n j n j j j n j n j j j n j n j n j n j n j uuhuuhuuuuuh (2.2.18) 第二项加第三项得 )( 12 7 )()()()(re 12 )(14)()(2re 24 )(14)()(2re 24 2 1 2 1 1 1 11 1 11 1 1 1 2 111 1 1 1 2 111 1 + = + = = + = n x n x j j x n jx n jx n jx n j j j x n jx n jx n j j j x n jx n jx n j uuuuuu h uuu h uuu h (2.2.19) 综合可得 0 )( 12 7 )()()()(re 12 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 1 11 1 11 1 =+ = = + + = + j j n j n j j j n j n j n x n x j j x n jx n jx n jx n j uuhuuh uuuuuu h (2.2.20) 令 = + = + += 1 1 2 1 222 1 1 1 1 11 1 )( 12 7 )()()()(re 12 j j n j n j n x n x j j x n jx n jx n jx n j n uuhuuuuuu h e 南京航空航天大学硕士学位论文 9 则有 nn ee= +1 ，递推之，可知(2.2.5)式成立。 定理 2 设定解问题(2.1.1)(2.1.3)的解满足 6,32 0 ( , ),( ),u x tcuxc则差分格式 (2.2.1)(2.2.3)的解有估计式： ,. nnn x uc uc uc (2.2.21) 证明： 由(2.2.4)式立得： 2 n uc , 故 n uc成立。 又由(2.2.5)式得 = + = + + +=+ 1 1 2 1 2 1 1 1 11 1 0 22 1 )()()()(re 12 )( 12 7 j j n j n j j j x n jx n jx n jx n j n x n x uuhuuuu h euu 由 hlder不等式得 = + + 1 1 2 1 222 10 22 1 )( 12 1 )( 12 7 j j n j n j n x n x n x n x uuhuueuu 即 = + + 1 1 2 1 2 0 22 1 )( 2 1 j j n j n j n x n x uuheuu = + + = + = + = 1 1 2 1 22 1 22 1 1 2 1 1 1 2 1 2 max j j nnn j nn j j j j n j j j n j n j uuuhuuuhuuh 根据差分算子的 sobolev不等式 nn x n ucuu 1 + 其中为某个充分小的正数， 2 3 2 2 2 2 1 2 1 2 )( nn x nn x nn ucuccucuuu+ + 即 2 3 2 2 2 0 1 1 2 1 2 0 22 1 2 22222)( nn x j j n j n j n x n x n x ucuceuuheuuu+ = + 取适当的，使得 2 2 120c 则有 非线性 s c h r ? d i n g e r 方程的高精度守恒差分格式 10 c c e u n x + )21 ( 2 2 2 0 2 所以 2 n x uc，由 sobolev不等式进而得到 n uc ，定理得证。 2.3 差分格式的稳定性和收敛性 现在证明差分格式(2.2.1)(2.2.3)的稳定性和收敛性。 定理 3 在定理 2 的条件下，差分格式(2.2.1)(2.2.3)的解以范数收敛到定解问 题(2.1.1)(2.1.3)的解。且收敛阶数为 24 ()oh+。 证明： 记(,) n j uu jh n=是方程(1)(3)的解，则 )()()(14)( 24 1 )()(14)( 24 1 )( 11 2 1 1 11 1 1 1 11 1 + + + + + + += n j n j n j xx n j xx n j xx n j xx n j xx n j xx n j t n j n j uuuuuu uuuuir (2.3.1) 设 n j u是差分格式(2.2.1)(2.2.3)的解，令 nnn jjj euu=，则式(2.3.1)减去(2.2.1)式 得： 111 11 22 1111111 11 1 () ()14()() 24 1 ()14()() ()() 24 nnnnn jjjjj xxxxx x t nnnnnnnnn jjjjjjjjj xxxxx x ri eeee eeeuuuuuu + + + + =+ + (2.3.2) 其中 n j r为截断误差，在 n j u处将式(2.3.2)进行 taylor 展开 112 1 ()()() 2 t nnnn jjj u uuuo t + =+ (2.3.3) 12 163016 2 1 )()(14)( 24 1 1 2 1 1 11 1 1 2 1 1 11 1 + + + + + + + + + + =+ n j n j n j n j n j xx n j xx n j xx n j uuuuu uuu (2.3.4) 2 14 2 1 ()() 2 n j u o h x + =+ 南京航空航天大学硕士学位论文 11 11111 2112 111 11 2 14 2 163016 11 ()14()() 24212 1 ()( ) 2 nnnnn jjjjj nnn jjj xxxxxx n j uuuuu uuu u o h x + + + += =+ (2.3.5) 综合(2.3.4)与(2.3.5)得 111111 1111 22 114 22 2 24 2 11 ()14()() ()14()() 2424 1 ()()() 2 ()() nnnnnn jjjjjj xxxxxxx xx xxx nn jj n j uuuuuu uu o h xx u oh x + + + + =+ =+ (2.3.6) 22 112 ()() nnnnn jjjjj uuuuuo + +=+ (2.3.7) 将上述各式代入(2.3.2)可得截断误差为 24 ()oh +。 式(2.3.2)与 11nn ee + +做内积取虚部，并作如下估计： 左端为 222 1111 1 im(,) 2 nnnnnn reeree + + 而右端计算如下： 第一项 22 1111 1 im (,)() 2 nnnnn t i eeeee + += 如同定理 1 的证明，第二项与第三项的和为 0. 第四项 = + + = + + = + += += + 1 1 1111 1111 22 11 1 1 11 2 11 1 1 11 2 11 2 )()(im )()()( )(im )()()(im j j n j n j n j n j n j n j n j n j n j n j n j n j n j n j n j n j n j n j n j n j j j n j n j n j n j n j j j n j n j n j n j n j n j eeuuuuuuuuuuh eeuuuueeeeuh eeuuuuuuh = + += 1 1 1111 )()(im j j n j n j n j n j n j n j n j n j eeuuueeuh 综合得 非线性 s c h r ? d i n g e r 方程的高精度守恒差分格式 12 = + += 1 1 111111 2 1 2 1 )()(im),im()( 2 1 j j n j n j n j n j n j n j n j n j nnnnn eeuuueeuheeree 由定理 2 得 )( )()( )()(im 2 1 22 1 1 0 2 1 2 1 2 1 1 1 11 1 1 1111 + = + = + = + + + + nnn j j n j n j n j j j n j n j n j j j n j n j n j n j n j n j n j n j eeec eeecheeech eeuuueeuh 即 )( 2 1 )( 2 1 2 1 22 1 1 2 1 2 1 22 1 2 1+ + nnnnnnnn eeeceeree 即 2 1 1 2 1 22 1 1 )22(1 2)22(1 + + nnnn ececrec 令 2231 22,2cc cc=+=，两边对 n从 0 至 n求和得 = + = + n m m n m m n m m n m m ececrec 0 2 2 0 2 3 0 2 1 1 2 2 )1 ()1 ( 整理得 = + + n m m n m mn ecrecec 0 2 4 0 22 0 2 2 1 2 )1 ()1 ( 取足够小，使得 2 10c ，其中为某一正数。不妨令 2 1wc = ， 则有 = + + n m m n m m n m m n m mn e c ree w c r w ee 0 2 4 0 22 0 0 2 4 0 22 0 2 1 由 gronwall 不等式，立即得到 ) 1( 4 0 22 0 2 1 )( + = + + n c n m mn eree 由于 2 0 0,e= 2 242 0 () n m m roh = =+ ，所以 124 () n eoh + =+。定理得证。 定理 4 在定理 2 的条件下，差分格式(2.2.1)(2.2.3)的解在平方模的意义下连续 地依赖于初值。 南京航空航天大学硕士学位论文 13 2.4 数值实验 考虑如下算例 11 ： = = =+ + 2020)2exp()(sec)()0 ,( 10, 0),20(),20( . 10 ,202002 0 2 2 2 xixxhxuxu ttutu txuu x u t u i 上述问题的孤波解为 ).32exp()4(sec),(itixtxhtxu= 我们的差分格式是一个三层的线性化格式，不能自启动，需要借助别的格式计 算1n =层。在此，对于1n =层我们不妨取精确解。记 2 /dh=求解方程如下： + + + + + + + + 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 3 2 2 2 1 24 5 3 2 24 00 243 2 24 5 3 2 24 00 243 2 24 5 3 2 00 243 2 24 5 n j n j n n n j n n n u u u u u id d d d du i dd d d du i dd d du i d = + + + + 1 1 1 2 1 2 1 1 2 1 2 3 2 2 2 1 24 5 3 2 24 00 243 2 24 5 3 2 24 00 243 2 24 5 3 2 00 243 2 24 5 n j n j n n n j n n n u u u u u id d d d du i dd d d du i dd d du i d 我们按无穷范数 度量误差，并与 thiab r，等人提出的 crank- nicolson 格式 9 (我们称之为 c- n 格式 1) 0)()( 2 1 )( 2 1 2 11 =+ +n j n j n j n j xx n j xx n jt n j uuuuuuui 常谦顺等人提出的格式 10 (我们称之为 c- n 格式 2) (2.4.1) (2.4.2) (2.4.3) 非线性 s c h r ? d i n g e r 方程的高精度守恒差分格式 14 0)( 2 1 )()( 2 1 )( 11 22 111 =+ +n j n j n j n j xx n j xx n jt n j uuuuuuui 张鲁明加上耗散项后提出的格式 11 (我们称之为格式 3) 0)()( 12 )()( 2 1 22 1 2 2 1 =+ + + +n j n j n j t xx n j xx n jt n j uuuu ih uui 以及 zhang fei 等人提出的三层七点格式 12 (我们称之为格式 4) 0)()()( 2 1 )( 11 2 11 =+ +n j n j n j xx n j xx n j t n j uuuuuui 张荣培等提出的两层十点格式 13 (我们称之为格式 5) ), 2, 1, 1, 2 , 1( 0)( 2 1 )()(14)( 24 1 )()(14)( 24 1 )( 1 22 1 11 1 1 11 1 =+ + + + + + + + njjuuuu uuu uuuui n j n j n j n j xx n j xx n j xx n j xx n j xx n j xx n jt n j 进行比较。 从表 2.1 可以看出，我们的格式与已有的格式c- n 格式 1，c- n 格式 2，格 式 3，格式 4 在精度上有了很大的提高。虽然在精度上比格式 5 稍微差一点， 但是精度已经达到 24 ()oh+，具有比较高的精度。 表 2. 1 最大误差e 比较表 01. 0, 1 . 0=h e 时间 t 本文格式 c- n 格式 1 c- n 格式 2 格式 3 格式 4 格式 5 0.1 8.8594e- 004 0.0038 0.0038 0.0013 0.0044 2.3e- 4 0.2 0.0017 0.0072 0.0072 0.0023 0.0084 4.5e- 4 0.3 0.0024 0.0106 0.0105 0.0033 0.0122 6.5e- 4 0.4 0.0031 0.0139 0.0138 0.0042 0.0160 8.3e- 4 0.5 0.0037 0.0172 0.0171 0.0052 0.0199 9.9e- 4 0.6 0.0044 0.0206 0.0205 0.0062 0.0238 0.0011 0.7 0.0052 0.0241 0.0239 0.0071 0.0278 0.0013 0.8 0.0059 0.0276 0.0275 0.0081 0.0319 0.0015 0.9 0.0066 0.0312 0.0311 0.0092 0.0360 0.0016 1.0 0.0074 0.0348 0.0347 0.0102 0.0403 0.0017 南京航空航天大学硕士学位论文 15 我们采用参数为：intel 酷睿双核 cpu t2300 1.66ghz，1mb 缓存，512mb 内存的计算机进行运行时间的比较。本文格式采取的是线性化的求解方法，无 需迭代。而 c- n 格式 1，c- n 格式 2，格式 3，格式 5 在从1+ nn层采取迭代 的方法，运行时间比较长。我们以格式 5 为例，当0.1,0.01h=时，对其取 0001. 0 )(1)1(1 +snsn uu时迭代结束。从表 2.2 中很容易看出：本文格式与格 式 5 在精度相当的情况下，运行时间上有了很大的提高，为格式 5 运行时间的 41%。 表 2. 2 运行时间比较表 0.1,0.01h=(时间单位：秒) 本文格式 格式 5 计算步数 100 步 100 步 运行时间 77.6 189.5 从表 2 . 3中可以看出：当变为原来的 4倍，h变为原来的 2倍时，格式 的最大误差近似地为原来的 1 6 倍。由此可以说明：本文格式的截断误差阶数为 24 ()oh+。 表 2. 3 误差阶数说明表 5 . 0=t 75. 0=t ),(h ),( he ),( )2 ,4( he he ),( he ),( )2 ,4( he he ) 4 1 , 16 1 ( 0.1374 / 0.2199 / ) 8 1 , 64 1 ( 9.1416e- 003 15.03 1.3440e- 002 16.36 ) 16 1 , 256 1 ( 5.7309e- 004 15.95 8.4182e- 004 15.97 非线性 s c h r ? d i n g e r 方程的高精度守恒差分格式 16 图 2.1 显示了当0.1,0.01h=时，不同时刻的电荷 22 1nnn quu + =+与 初始电荷的误差图和不同时刻的能量 n e 与初始能量的误差图(在能量公式中我 们定义 1 1 ()() nnn jxjj uuu h + =)，从图 2.1 中很容易看出，离散电荷误差和离散能量 误差阶数可达到 14 10，因此本文格式对于离散电荷和离散能量是守恒的。 图 2. 1 电荷、能量守恒图 图 2.2 显示了本文格式对孤波解的数值模拟。 图 2. 2 孤波解的数值模拟图 由上述的计算结果可以得出结论： 本章对非线性 schr dinger 方程所构造的 三层高精度守恒差分格式，具有较高的精度可以达到)( 42 ho+，在计算时 间上比同样的高精度差分格式更有优势，因此可以断言此格式是有效的。 南京航空航天大学硕士学位论文 17 第三章 带五次项的非线性 schr dinger 方程的高精度格式 3.1 引言 文 14 对带五次项的非线性 schr dinger 方程 0)( 42 2 2 =+ + uuquq x u t u i qc (3.1.1) 做了理论