（计算数学专业论文）集值映射的相依导数及其在参数向量最优化中的应用.pdf

重庆大学硕士学位论文中文摘要 摘要 本论文利用集值映射的相依导数概念，对一族依赖于u 的参数向量优化问题 v o p ( u ) 进行了灵敏度分析，并将研究成果分别应用到了m i n t y 向量变分不等式 ( m v v i ) 和m i n t y 弱向量变分不等式( m w v v i ) 中，讨论了这两种向量变分不等 式间隙函数的微分性质。 对于参数向量优化问题v o p ( u ) ，一类由向量函数与集值映射复合而成的集值映 射的相依导数的一些链式计算法则首先被确定，然后，目标空间中可行集映射的 相依导数的一些显式表达式也被得到，最后，主要在紧性和李普希兹条件下，扰 动映射和弱扰动映射的相依导数的显式表达式也被得到。 本论文引入两种集值映射g h 朋和g 材嗍。这两种集值映射可分别作为m v v i 和m w v v i 的间隙函数。实际上，g 彤聊和g 村w 玎正好分别是一类约束集不依 赖于参数u 的特殊参数向量优化问题v o p ( u ) 的扰动映射和弱扰动映射。因此，通 过应用在参数向量优化问题v o p ( u ) 情况下得到的结论，参数向量优化问题v o p ( u ) 的扰动映射和弱扰动映射的相依导数的显式表达式很容易得到，从而，m v v i 和 m w v v i 的间隙函数的相依导数的显式表达式也就得到。另外，借助于间隙函数， m v v i 和m w v v i 解的优化条件也分别被研究。 关键词：灵敏度分析，向量最优化，m i n t y 向量变分不等式， 间隙函数， 相依导数 重庆大学硕士学位论文英文摘要 a b s t r a c t b yv i r t u eo ft h ec o n c e p to fc o n t i n g e n td e r i v a t i v e so fs e t - v a l u e dm a p s ，s e n s i t i v i t y a n a l y s i sf o raf a m i l yo fp a r a m e t e r i z e dv e c t o ro p t i m i z a t i o np r o b l e m sv o p ( u 1w i mua s t h ep a r a m e t e ri si n v e s t i g a t e df i r s t ，a n dt h e nt h eo b t a i n e dr e s u l t sa r ea p p l i e dt ot h es t u d y o ft h ed i f f e r e n t i a lp r o p e r t i e so fg a pf u n c t i o n sf o rm i n t yv e c t o rv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s ( m v v l ) a n dm i n t yw e a kv e c t o rv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s ( m w v v i ) ，r e s p e c t i v e l y f o rp a r a m e t e r i z e dv e c t o ro p t i m i z a t i o np r o b l e m sv o p ( u ) ，s o m ec h a i nr u l e sa l e e s t a b l i s h e df i r s tf o rc a l c u l a t i n gt h ec o n t i n g e n td e r i v a t i v e so fac l a s so fc o m p o s i t i o n s e t - v a l u e dm a p s ，e a c ho fw h i c hc o n s i s t so fav e c t o r - v a l u e df u n c t i o na n das e t - v a l u e d m a p s t h e n , s o m ee x p l i c i te x p r e s s i o n sf o rt h ec o n t i n g e n td e r i v a t i v eo ft h ef e a s i b l es e t m a pi nt h eo b j e c t i v es p a c ea l eo b t a i n e d i nt h ee n d ，m a i n l yu n d e rt h ec o m p a c ta n d l i p s c h i t za s s u m p t i o n s ，s o m ee x p l i c i te x p r e s s i o n sf o rt h ec o n t i n g e n td e r i v a t i v e so ft h e p e r t u r b a t i o nm a p sa n dt h ew e a kp e r t u r b a t i o nm a p sa l ep r o v i d e d i n t h i st h e s i s t w os e t - v a l u e dm a p sg m w la n dg m 聊ia r ei n t r o d u c e da st h eg a p f u n c t i o n so fm w ia n dm w v v i ，r e s p e c t i v e l y a f t e rc o n s t r u c t i n gas p e c i a lf a m i l yo f p a r a m e t e r i z e dv e c t o ro p t i m i z a t i o np r o b l e m sv o p ( u ) w h o s ec o n s t r a i n ts e t sd on o t d e p e n do nt h ep a r a m e t e ru w ef i n dt h a t 伊嘲a n d g m 哺w la l ee x a c t l yap e r t u r b a t i o n m a pa n daw e a kp e r t u r b a t i o nm a p ，r e s p e c t i v e l y t h e n , b ya p p l y i n gt h er e s u l t so b t a i n e d f o rv o p ( u ) ，w ec a ne a s i l yo b t a i ns o m ee x p l i c i te x p r e s s i o n sf o rt h ec o n t i n g e n t d e r i v a t i v e so f t h ep e r t u r b a t i o nm a p sa n dt h ew e a kp e r t u r b a t i o ni n v o l v i n gv o p ( u ) a n d h e n c eo b t a i ns o m ee x p l i c i te x p r e s s i o n sf o rt h ec o n t i n g e n td e r i v a t i v e so fg a pf u n c t i o n s f o rm v v ia n dm w v v i f u r t h e r m o r e ，b yv i r t u eo ft h eg a pf u n c t i o i l s ，w ei n v e s t i g a t e o p t i m a l i t yc o n d i t i o n sf o rt h es o l u t i o n so f m v v ia n dm w v v i ，r e s p e c t i v e l y k e y w o r d s ：s e n s i t i v i t ya n a l y s i s ，v e c t o ro p t i m i z a t i o n ，m i n t y v e c t o rv a r i a t i o n a l i n e q u a l i t i e s ，g a pf u n c t i o n ，c o n t i n g e n td e r i v a t i v e 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得重废太堂 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本 研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名： 签字日期：沙刁年月f ；日 | 。 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解重废太堂有关保留、使用学位论文的 规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许 论文被查阅和借阅。本人授权重废太堂可以将学位论文的全部或部 分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段 保存、汇编学位论文。 保密() ，在年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密( ) 。 ( 请只在上述一个括号内打“4 ”) 一繇秀玩式 签字日期：。沙 年月3 日 导师始毳誓冬 签字日期：函刁年易月f 弓日 重庆大学硕士学位论文 c h a p t e ri p r e v i e w c h a p t e r1p r e v i e w r e s e a r c ho ns e n s i t i v i t ya n a l y s i si sn o to n l yt h e o r e t i c a l l yi n t e r e s t i n gb u ta l s op r a c t i c a l l y i m p o r t a n ti no p t i m i z a t i o nt h e o r y an u m b e ro fu s e f u lr e s u l t sh a v eb e e no b t a i n e di n s c a l a ro p t i m i z a t i o n ，s e e 【1 】b ys e n s i t i v i t y , w em e a nt h eq u a n t i t a t i v ea n a l y s i s ，w h i c hi s t h es t u d yo f d e r i v a t i v e so f t h es o c a l l e dp e r t u r b a t i o nf u n c t i o n i nt h i sw o r lw ec o n s i d e raf a m i l yo f p a r a m e t e r i z e dv e c t o ro p t i m i z a t i o np r o b l e m s ： v o p ( u )k m i n i m i z e f ( x , u ) = ( z ”) ，k “) ) s u b j e c tt o 工x ( “) cr 4 ， w h e r exi sa nn d i m e n s i o n a ld e c i s i o nv a r i a b l e ui sa n z d i m e n s i o n a lp a r a m e t e r v e c t o r , ，( f - l ，oo p ) i sar e a l v a l u e do b j e c t i v e f u n c t i o no n r 4 r ”，w h i c hi s a s s u m e dt ob ec o n t i n u o u s l yd i f f e r e n t i a b l e ，xi sas e t - v a l u e dm a pf r o mr “t or ”， w h i c hs p e c i f i e saf e a s i b l ed e c i s i o ns e t ，a n dki sac o n ei nr ，w h i c hc a l lb eu s e dt o i n t r o d u c ea no r d e rr e l a t i o ni nr l e tyb eas e t - v a l u e dm a pf r o mr “t or 9 d e f i n e db y r ( u ) = 秒r 9 i y = f ( 工，“) f o rs o m e 工石( “) f o re a c hu r ”，w h i c hc a nb ec o n s i d e r e da saf e a s i b l es e tm a pi nt h eo b j e c t i v es p a c e ， a n d 石i sas c t - v a l u e dm a pf r o mr ”r 9t or ”d e f i n e db y x ( u ，y ) = 伽石0 ) i ，( “) = 岿 f o re a c h ( 球，力r “r 9 c l e a r l y , x ( u ，j ，) s p e c i f i e saf e a s i b l ed e c i s i o ns e tw i t h r e s p e c t t oua n d y f o rv e c t o ro p t i m i z a t i o np r o b l e m v o p ( u ) d e p e n d i n go ns o m eg i v e np a r a m e t e ru ， w ea i mt of i n dt h es o t ( j j l 扬| r y ( “) ) m i n r r ( u ) o f ( w e a k l y ) k - m i n i m a l p o i n t so f y ( u ) ，s e ed e f i n i t i o n3 2 1f o rt h em e a n i n g so ft h es y m b o l sm i n 。t ka n d 脚k t h u s ， w ec a nd e f i n et w os e t v a l u e dm a p swa n dqf r o mr “t or 9b y ) = m i n x y ( u ) a n d q ( “) = m i n m t x r ( u ) f o re a c hu r ”，a n dc a l lt h e mt h ep e r t u r b a t i o nm a pa n dt h ew e a k p e r t u r b a t i o nm a p ， r e s p e c t i v e l y s i n c ewa n dqa r es e t - v a l u e dm a p si ng e n e r a l ，w es h a l ls t u d yt h e b e h a v i o ro f t h e ( w e a k ) p e r t u r b a t i o nm a pq u a n t i t a t i v e l yv i as o m ec o n c e p t so f d e r i v a t i v e s o f s e t - v a l u e dm a p s 重庆大学硕士学位论文c h a p t e r1p r e v i e w 1 1c o n t i n g e n td e r i v a t i v e so fs e t - v a l u e dm a p s f o rt h em o m e n t ，t h r e ea p p r o a c h e sh a v eb e e nu s e dm a i n l yt oi n t r o d u c et h ec o n c e p t so f d e r i v a t i v e so fs e t v a l u e dm a p s ，s e e 2 】t h ef i r s ta p p r o a c he x t e n d st h ec l a s s i c a ls c h e n l e o fd e f i n i t i o no fd i f f e r e n t i a b i l i t ys u c ha sg a t e a u xa n df r d c h e td i f f e r e n t i a b i l i t yt o s e t - v a l u e dm a p s ，s e e 【3 - 8 】t h es e c o n da p p r o a c hi sb a s e do ne m b e d d i n gs e t - v a l u e d m a p su n d e rc o n s i d e r a t i o ni n t oas p a c eo fs i n g l e v a l u e dm a p p i n g s ，w h o s ev a l u e sb e l o n g t os o m ef u n c t i o n a ls p a c e ，w h i c hi se n d o w e dw i t has t r u c t u r eo ft o p o l o g l c a lv e c t o rs p a c e o re v e nas t r u c t u r eo fn o r n a e ds p a c e w h e n e v e rs u c he m b e d d i n gm a yb em a d e ，o n em a y i n t e r p r e ts e t - v a l u e dm a p s a s s i n g l e v a l u e dm a p p i n g sa n d u s es t a n d a r dc l a s s i c a l d e f i n i t i o n so f d i f f e r e n t i a b i l i t y t h i sa p p r o a c hw a sr e a l i z e di n 【9 - 1 2 】f o rs e t - v a l u e dm a p s w i mc o n v e xa n dc o m p a c tv a l u e s t h et h i r da p p r o a c hi se s s e n t i a l l yag e o m e t r i c a lo n e i m m a i ni d e ac a nb ep r e s e n t e da sf o l l o w s as e t v a l u e dm a pfi si d e n t i f i e dw i t hi t sg r a p h d e n o t e db yg r a p h fa n dad e r i v a t i v eo ffa tap o i n t ( x 0 ，y o ) g r a p h fi sd e f i n e da s as e t - v a l u e dm a pw h o s eg r a p hi sat a n g e n to rn o r m a l ( i no n es e n s eo ra n o t h e r ) c o n et o g r a p h fa t ( x 0 ，y 0 ) ，s e ea u b i n 1 3 】f o rt h ec o n c e p to fc o n t i n g e n td e r i v a t i v e so f s e t - v a l u e dm a p sa n d 【1 4 2 1 】f o rt h em o r ed e t a i l e dp r e s e n t a t i o n so fo t h e rd i f f e r e n t r e a l i z a t i o n so f t h i sa p p r o a c h i nt h i sw o r k ，t h ec o n c e p to fc o n t i n g e n td e r i v a t i v e so fs e t - v a l u e dm a p sw i l lb eu s e d t od e s c r i b et h eb e h a v i o ro ft h e ( w e a k ) p e r t u r b a t i o nm a p sq u a n t i t a t i v e l y t h a ti s ，w e s h a l ls t u d yt h ec o n t i n g e n td e r i v a t i v e so ft h ep e r t u r b a t i o nm a pwa n dt h ew e a k p e r t u r b a t i o nm a po b yt h ed e f i n i t i o n so fwa n dq ，w e n e e dt os t u d yt h ec o n t i n g e n t d e r i v a t i v eo ft h ef e a s i b l es e tm a pyi nt h eo b j e c t i v es p a c e h o w e v e r , s i n c e y = f ( x ) ，“) f o r e a c hu r ”，w ea l s on e e dt os t u d yt h er e l a t i o n s h i p sb e t w e e nt h e c o n t i n g e n td e r i v a t i v e so fya n dx a c t u a l l y , s e v e r a la u t h o r sh a v eo b t a i n e ds o m er e l a t i o n s h i p sb e t w e e nt h ec o n t i n g e n t d e r i v a t i v e so fya n dx i n 2 2 ，l ie ta 1 d i s c u s s e dt h ed i f f e r e n t i a la n ds e n s i t i v i t y p r o p e r t i e so fg a p f u n c t i o n sf o rv e c t o rv a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s u n d e rar e g u l a rc o n d i t i o n ， m c yf i r s to b t a i n e da ne x p l i c i te x p r e s s i o nf o rt h ec o n t i n g e n td e r i v a t i v eo fas p e c i a l f e a s i b l es e tm a pi nt h eo b j e c t i v e s p a c e ，w h i c hi s ac o m p o s i t i o no fas p e c i a l v e c t o r - v a l u e do b j e c t i v ef u n c t i o na n daf i x e dc o m p a c tc e n s 仃a i n ts e t i n 2 3 ，t a n i n oa l s o o b t a i n e da ne x p l i c i te x p r e s s i o nf o rt h ec o n t i n g e n td e r i v a t i v eo fag e n e r a lf e a s i b l es e t m a pi nt h eo b j e c t i v es p a c e u n d e rt h ea s s u m p t i o n st h a tzi su p p e rl o c a l l yl i p s c h i t za t s o m e ( ，夕) r “x r 9a n dt h a t r ( 矗，夕) c o n s i s t so fo n l yo n ep o i n t ( s e ep r o p o s i t i o n 4 1o f 2 3 ) h o w e v e r , t h et w oc o n d i t i o n sa r ev e r ys t r o n g l yr e s t r i c t i v ea n da r eh a r dt ob e 2 重庆大学硕士学位论文 c h a p t e r1p r e v i e w c h e c k e d s i n c et h ef e a s i b l e s e t m a p i nt h e o b j e c t i v es p a c ey = ( 日) ，w h e r e h ( u ) = ( x ) ，u ) f o re a c hu r “，w eg a l lc o n s i d e rya sac o m p o s i t i o ns e t v a l u e d m a po ft h ev e c t o r - v a l u e df u n c t i o nfa n dt h es e t - v a l u e dm a pht h u s t oc h a r a c t e r c o m p l e t e l yt h ec o n t i n g e n td e r i v a t i v eo fyu s i n gt h ec o n t i n g e n td e r i v a t i v eo fx s o m ec h a i nr u l e sn e e dt ob ee s t a b l i s h e df o rc a l c u l a t i n gt h ec o n t i n g e n td e r i v a t i v eo fa c o m p o s i t i o ns e t - v a l u e dm a pc o n s i s t i n go f av e c t o r - v a l u e df u n c t i o na n das e t v a l u e dm a p ， w h i c hs h a l lb eh a n d l e di nt h i sw o r k 1 2s e n s i t i v i t ya n a l y s i si nv e c t o ro p t i m i z a t i o n u n t i ln o w ，m a n yr e l a t i o n s h i p sb e t w e e nt h e c o n t i n g e n td e r i v a t i v eo fya n dt h e c o n t i n g e n td e f t v a t i v e so fw a n dqh a v eb e e no b t a i n e du n d e rv a r i o t i sc o n d i t i o n s ，s e e 2 3 2 8 i ne a s eo fg e n e r a lv e c t o ro p t i m i z a t i o n , t a n i n o 2 3 1o b t a i n e ds o m er e s u l t s c o n c e r n i n gt h eb e h a v i o ro ft h ep e r t u r b a t i o nm a pb yu s i n gt h ec o n c e p to fc o n t i n g e n t d e r i v a t i v e so fs e t v a l u e dm a p s t h e n ，s h i 【2 4 】a n dk u ke ta 1 【2 5 】e x t e n d e dt a n i n o s r e s u l t s a sf o rc o n v e xo p t i m i z a t i o np r o b l e m s ，t a n i n o 2 6 】a n ds h i 2 7 】s t u d i e ds o n l e q u a n t i t a t i v er e s u l t sc o n c e r n i n gt h eb e h a v i o ro ft h ep e r t u r b a t i o nm a p f u r t h e r m o r e ，k u k e ta 1 【2 8 】s t u d i e dt h eb e h a v i o ro ft h r e ek i n d so fp e r t u r b a t i o nm a p su n d e rt h ec o n v e x i t y a s s u m p t i o n s 1 3d i f f e r e n t i a lp r o p e r t i e so fm i n t yv e c t o rv a r i a t i o n a l i n e q u a l i t i e s t h ev e c t o rv a r i a t i o n a li n e q u a l i t y ( f o rs h o r t ，w do rt h ew e a kv e c t o rv a r i a t i o n a l i n e q u a l i t y ( f o rs h o r t ，w v v d ，h a sb e e no fg r e a ti n t e r e s ti nt h ea c a d e m i ca n dp r o f e s s i o n a l c o m m u n i t i e se v e rs i n c et h ep a t h - b r e a k i n gp a p e r 2 9 】i nt h ee a r l ye i g h t i e s e n o r m o u s r e s u l t so ne x i s t e n c e s ( s e e 3 0 3 3 】) a n ds t a b i l i t i e s ( s e e 3 4 ，3 5 1 ) h a v eb e e no b t a i n e d t h e r eh a v eb e e ns o m ea p p l i c a t i o n st ob ef o u n di nv e c t o rt r a f f i ce q u i l i b r i u mp r o b l e m s ( s e e 【3 6 - 3 8 】) i ti sw e l lk n o w nt h a tt h ec o n c e p to fg a pf u n c t i o n si sv e r yi m p o r t a n tf o rt h es t u d yo f v v i t h e r eh a v eb e e nt w om e t h o d st ob eu s e df o ri n t r o d u c i n gg a pf u n c t i o n sf o rv v i u n t i ln o w y a n ga n dy a o 3 9 】d e f i n e dg a pf u n c t i o n sf o rw i p r o b l e m sa sr e a l - v a l u e d f u n c t i o n s ( a l s os e e 4 0 ) f r o mt h ev e c t o ro p t i m i z a t i o np o i n to fv i e w ，c h e ne ta 1 4 1 】 d e f i n e dg a pf u n c t i o n sf o rw i p r o b l e m sa ss e t - v a l u e dm a p s ( a l s os e e 4 2 】) f u r t h e r m o r e ， l ie ta 1 2 2 jd i s c u s s e dd i f f e r e n t i a la n ds e n s i t i v i t y p r o p e r t i e so ft h eg a pf u n c t i o n s 3 重庆大学硕士学位论文c h a p t e r1p r e v i e w i n t r o d u c e di n 【4 1 】f o rv v iu n d e rs o m es u i t a b l ec o e r c i v e n e s sc o n d i t i o n s t h e ya l s o o b t a i n e da l le x p l i c i te x p r e s s i o no ft h ec o n t i n g e n td e r i v a t i v ef o rac l a s so fs e t - v a l u e d m a p s a n ds o m eo p t i m a l i t yc o n d i t i o n sf o rv v ia n d 、7 l r 、，、7 ib yv i r t u eo ft h eg a p f u n c t i o n s r e c e n t l y , t h e r eh a v eb e e ns o m er e s u l t so b t a i n e df o rm i n t yv e c t o rv a r i a t i o n a l i n e q u a l i t y ( f o rs h o r t ，m w i ) a n dm i n t yw e a kv e c t o rv a r i a t i o n a li n e q u a l i t y ( f o rs h o r t ， m w v v i ) i n 4 3 ，g i a n n e s s ii n v e s t i g a t e ds o m er e l a t i o n s h i p sb e t w e e nt h es o l u t i o n so f m v v i ( m w v v i ) p r o b l e m sa n dt h e ( w e a l d y ) e f f i c i e n ts o l u t i o n so fv e c t o ro p t i m i z a t i o n p r o b l e m su n d e rc o n v e x i t ya n dm o n o t o n i c i t ya s s u m p t i o n s i n 4 4 ，m a s t r o e n is h o w e d s o m ee q u i v a l e n tr e l a t i o n s h i pb e t w e e nm w ip r o b l e m sa n dv v ip r o b l e m su n d e r s u i t a b l er e g u l a r i t ya s s u m p t i o n s s i m u l t a n e o u s l y , h ei n t r o d u c e dar e a l v a l u e dg a p f u n c t i o nf o rm w ib yv i r t u eo f p o s i t i v el i n e a rc o n t i n u o u sf u n c t i o n a l s 1 4a d e s c r i p t i o no ft h ec o n t e n t sa n ds o m en o t a t i o n s i nt h i ss e c t i o n ，w ew i l lg i v ead e s c r i p t i o no fh o wi st h i sw o r ko r g a n i z e d ，a n dp r e s e n t s o m en o t a t i o n sw h i c hw i l lb eu s e dt h r o u g h o u tt h i sw o r k i nc h a p t e r2 ，b yv i r t u eo fan e w l yi n t r o d u c e dc o n c e p to fh - c o n t i n g e n t d e r i v a t i v e , w ef i r s te s t a b l i s hs o m ec h a i nr u l e sf o rc a l c u l a t i n gt h ec o n t i n g e n td e r i v a t i v eo fa c o m p o s i t es e t - v a l u e dm a pc o n s i s t i n go fav e c t o r v a l u e df u n c t i o na n das e t - v a l u e dm a p t h e n , w ei n v e s t i g a t es o m er e l a t i o n s h i p sb e t w e e nt h ec o n t i n g e n td e r i v a t i v e so fya n d x ，a n do b t a i ns o m ee x p l i c i te x p r e s s i o n sf o rt h ec o n t i n g e n td e r i v a t i v eo f t h ef e a s i b l es e t m a pyi nt h eo b j e c t i v es p a c e i nc h a p t e r3 u n d e rt w om a i na s s u m p t i o n st l l a tzi s l i p s c h i t za r o u n ds o m e 五r ”a n dt h a tx ) i sc o m p a c t ，w es t u d ys o m ee q u i v a l e n tr e l a t i o n s h i p sb e t w e e n t h ec o n t i n g e n td e r i v a t i v eo fya n dt h ed e r i v a t i v eo ft h e ( w e a k ) p e r t u r b a t i o nm a p ，a n d b yu s i n gt h er e s u l t si nc h a p t e r2 ，w ea l s oo b t a i ns o m ee x p l i c i te x p r e s s i o n sf o rt h e c o n t i n g e n td e r i v a t i v e so fw a n dq i nc h a p t e r4 ，w ei n v e s t i g a t et h ed i f f e r e n t i a lp r o p e r t i e so fg a pf u n c t i o n sf o rm w i a n dm w v v i ，r e s p e c t i v e l y f o l l o w i n g 4 1 】，t w os e t - v a l u e dm a p sg