（运筹学与控制论专业论文）不确定离散时滞切换系统鲁棒h∞问题研究.pdf

曲阜师范大学博士硕士学位论文原创性说明 ( 在口划“ ) f 本人郑重声明：此处所提交的博士口硕士函论文不确定离散时滞切换 系统鲁棒比问题研究，是本人在导师指导下，在曲阜师范大学攻读博士口 硕士圈擘位期间独立进行研究工作所取得的成果。论文中除注明部分外不包 含他人已经发表或撰写的研究成果。对本文的研究工作做出重要贡献的个人 和集体，均已在文中已明确的方式注明。本声明的法律结果将完全由本人承 担j 作者签名：闩也娟 日期：a1 0 6 弓l 曲阜师范大学博士硕士学位论文使用授权书 ( 在口划“) 不确定离散时滞切换系统鲁棒如问题研究系本人在曲阜师范大学攻读 博士口硕士阻学位期间，在导师指导下完成的博士口硕士日学位论文。本论 文的研究成果归曲阜师范大学所有，本论文的研究内容不得以其他单位的名 义发表。本人完全了解曲阜师范大学关于保存、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向有关部门送交论文的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借 阅。本人授权曲阜师范大学，可以采用影印或其他复制手段保存论文，可以公 开发表论文的全部或部分内容。 作者签名：同邑蛹 刷币签名：智即 日期：3 0 【o 5 毒1 日期：h 惦引 f ，它 摘要 作为一类重要的混合动态系统，切换系统是由多个子系统及一个切换规律构成，切换 规律确定在某一时刻所切换的子系统切换系统在机械系统控制、自动引擎控制、系统工 程、交通控制、过程控制等领域有着重要的应用近年来，关于切换系统和切换控制的研 究受到越来越多的关注本文主要对几类不确定离散时滞切换系统进行了深入地分析研究， 得出了一些关于鲁棒比问题的结论本文的主要贡献是： 1 ) 一类不确定离散时滞切换系统的巩滤波器设计 研究了一类含有时滞的不确定离散切换系统的巩滤波器设计问题这里所要设计的 滤波器是一种l u e n b e r g e r 形式的，得出它满足误差系统是鲁棒渐近稳定的，且对任意的不 确定性满足巩扰动水平7 的充分条件这些充分条件是时滞依赖的，可以用l m i 的形式 表示出来最后数值例子验证了设计方法的可行性 2 ) 一类不确定离散时滞切换系统的鲁棒保性能控制 针对一类不确定离散时滞切换系统，研究了其状态反馈保性能控制问题基于 多l y a p u n o v 函数方法，分析了含有状态反馈控制器的切换系统的鲁棒保性能控制问题，得 到了切换系统保性能控制器存在的一个充分条件将状态反馈控制器设计问题转化为一组 线性矩阵不等式约束下的凸优化问题并通过一个数值例子验证了所提算法的有效性 3 ) 一类不确定离散时滞切换系统的鲁棒比输出反馈控制 针对一类不确定离散时滞切换系统，考虑了其鲁棒比输出反馈控制问题首先借助于 多l y a p u n o v 函数方法，研究了闭环切换系统的鲁棒稳定性和如干扰抑制性能，得到了闭 环系统鲁棒稳定且具有如扰动衰减度的充分条件所有条件均以线性矩阵不等式形式给 出最后通过数值仿真验证了所提算法的正确有效性 关键词切换系统，离散时滞系统，线性矩阵不等式，如滤波，保性能控 制，鲁棒如输出反馈控制 a b s tr a c t a sa ni m p o r t a n tc l a s so fh y b r i dd y n a m i c a ls y s t e m s ，s w i t c h e ds y s t e mi sc o m p o s e do f s e v e r a ls u b - s y s t e m sa n dt h es w i t c h i n gs i g n a l sa m o n gt h e m i nt h em e c h a n i c a ls y s t e mc o n t r o l ， a u t o m a t i ce n g i n ec o n t r o l ，s y s t e m se n g i n e e r i n g ，t r a f f i cc o n t r o l ，p r o c e s sc o n t r o lf i e l ds w i t c h e d s y s t e mh a si m p o r t a n ta p p l i c a t i o n s s of a r ，m o r ea n dm o r ep e o p l eh a v ep a i da t t e n t i o nt ot h e s t a b i l i t ya n a l y s i so ft h es w i t c h e ds y s t e m sa n dd e s i g nf o rs w i t c h e ds y s t e m s t h i st h e s i sm a i n l y f o c u s e so nt h ep r o b l e mo fr o b u s th p e r f o r m a n c ea n a l y s i sf o rd i s c r e t e - t i m es w i t c h e ds y s t e m s w i t hp a r a m e t e ru n c e r t a i n t i e s m o r es p e c i f i c a l l y , t h em a i nc o n t r i b u t i o n sa r ea sf o l l o w s ： 1 ) ah f i l t e rd e s i g nf o ru n c e r t a i nd i s c r e t e - t i m es w i t c h e ds y s t e m sw i t ht i m ed e l a y t h ep r o b l e mo fh f i l t e rd e s i g nf o ru n c e r t a i nd i s c r e t e - t i m es w i t c h e ds y s t e m sw i t h t i m e d e l a yi si n v e s t i g a t e d t h eo b t a i n e df i l t e ri so ft h el u e n b e r g e ro b s e r v e rt y p e ，w h i c hg u a r a n t e e s t h er o b u s ta s y m p t o t i c a l l ys t a b l eo ft h ee r r o rs y s t e mw i t ha nh o od i s t u r b a n c ea t t e n t i o nl e v e l yf o ra n yu n c e r t a i n t i e s t h e s ec o n d i t i o n sa r ed e l a y - d e p e n d e da n da r ep r e s e n t e di nt e r m so f l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e s ( l m i s ) f i n a l l y , n u m e r i c a le x a m p l e sa r ep r o v i d e dt od e m o n s t r a t e t h ea p p l i c a t i o no ft h ep r o p o s e dm e t h o d 2 ) r o b u s tg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o lf o ra c l a s so fu n c e r t a i nd i s c r e t et i m e - d e l a ys w i t c h e d s y s t e m s t h ep r o b l e mo fg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o lb a s e do ns t a t ef e e d b a c ki si n v e s t i g a t e df o ra c l a s s o fu n c e r t a i nd i s c r e t et i m e - d e l a ys w i t c h e ds y s t e m s b a s e do nt h em u l t i p l el y a p u n o vf u n c t i o n s m e t h o d ，t h ep r o b l e mo fg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o lf o rt h es w i t c h e ds y s t e m sw i t h s t a t ef e e d b a c k c o n t r o l l e r si sa n a l y z e d ，a n das u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo fg u a r a n t e e dc o n t r o l l e r s i sd e r i v e d t h ed e s i g np r o b l e mo fg u a r a n t e e dc o s tc o n t r o l l e rb a s e do ns t a t ef e e d b a c ki st u r n i n t oac o n v e xo p t i m i z a t i o np r o b l e mw i t hl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e sc o n s t r a i n t s a ne x a m p l e i sg i v e nt oi l l u s t r a t et h ea p p l i c a t i o no ft h ep r e s e n t e dm e t h o d 3 ) d e s i g no ft h er o b u s th o oo u t p u tf e e d b a c kc o n t r o l l e rf o rac l a s so fu n c e r t a i nd i s c r e t e t i m e - d e l a ys w i t c h e ds y s t e m s t h er o b u s th c o n t r o lf o rac l a s so fu n c e r t a i nd i s c r e t et i m e - d e l a ys w i t c h e ds y s t e m s i si n v e s t i g a t e d f i r s t ，t h er o b u s ts t a b i l i t ya n dd i s t u r b a n c ea t t e n u a t i o np e r f o r m a n c ef o r t h es w i t c h e ds y s t e m sw i t hs t a t ef e e d b a c kc o n t r o l l e r sa r ea n a l y z e db a s e do nt h em u l t i p l e l y a p u n o vf u n c t i o n sm e t h o d ，a n dt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h es w i t c h e ds y s t e m st o b e r o b u s ts t a b l ew i t hh o od i s t u r b a n c ea t t e n u a t i o ni sd e r i v e d a l lt h ec o n d i t i o n sa r ep r e s e n t e d i i 澎 i i i 目录 摘要i a b s t r a c t i i 第一章绪论1 1 1切换系统的研究概述1 1 2比滤波的研究现状2 1 3鲁棒控制的研究现状2 1 4本文解决的主要问题3 第二章一类不确定离散时滞切换系统的巩滤波器设计5 2 1引言5 2 2问题描述5 2 3滤波器设计1 2 2 4仿真举例1 9 2 5结论2 2 第三章一类不确定离散时滞切换系统的鲁棒保性能控制2 3 3 1引言2 3 3 2问题描述2 3 3 3主要结果2 5 3 4仿真举例3 1 3 5结论3 2 第四章一类不确定离散时滞切换系统的鲁棒如输出反馈控制器设计3 3 4 1引言3 3 4 2问题描述3 3 4 3主要结果3 5 4 4仿真举例4 3 4 5结论4 4 结束语4 5 参考文献4 6 致谢5 1 i v r r n r m n i a r 幸 a 0 ( 0 ) a ( 2 ) b 符号说明 实数集 他维实向量空间 实m n 矩阵集合 单位矩阵 矩阵a 的转置 由矩阵的对称性得到的矩阵块 a 是正定( 半正定) 矩阵 a b 是正定( 半正定) 矩阵 v 1 1切换系 系统中同时包含离散动态子系统和连续动态子系统，并且两者相互作用的系统称为混 杂动态系统，简称混杂系统切换系统是混杂系统中形式比较简单但又比较典型和重要的 一类系统，它是目前混杂系统研究的一个重要方向近年来关于切换系统的分析和切换控 制的研究越来越受到国内外学者的广泛关注 切换系统作为一类重要的混杂系统，它是由一组连续微分方程描述的子系统以及作用 在其中的切换规则所构成的在我们实际的工程中许多系统都存在多个子系统之间进行切 换的现象因此切换系统在交通系统、机械控制系统、汽车工业等领域得到了广泛的应用 随着现代科技的快速发展切换控制技术在航空航天、高速公路、无线电通讯、智能机器人 等许多领域也有广泛的应用f 7 】，所以对切换系统理论的研究就具有重要的现实价值意义 近些年来，对切换系统的研究已经取得了不少的成果，大部分的成果主要集中的对切换系 统动态特性的分析上，比如对于切换系统稳定性分析f 2 ，6 ，2 0 ，2 4 ，2 9 ，3 4 ，关于切换系统能 控性和能观性的研究 3 ，4 4 ，以及切换系统滤波控制器的设计【1 6 ，3 6 ，4 0 】等方面的问题 对于我们研究的控制系统来说稳定性是第一需要的，它要求系统能够稳妥地保持预 定的工作状况如果系统的稳定性都没法保障，那么系统将无法正常的工作，其他的性能 指标更无从谈起所以稳定性是切换系统研究的一个重要方面，文献 2 4 】给出了切换系统 在稳定性方面在的研究目前关于切换系统稳定性的研究结果成果比较有代表性的有公 共l y a p u n o v 函数法和多l y a p u n o v 函数法d a a f o u z 在文献 1 2 中提出通过l y a p u n o v 函 数方法研究任意切换律下切换系统的稳定性分析和控制的综合问题，对每一个子系统都设 计反馈控制器，使得闭环系统是渐进稳定的他所提出的切换l y a p u n o v 函数方法要比共 同l y a p u n o v 函数方法具有较低的保守性，从而为切换系统的研究提供了更有效的方法 在切换系统中，可能存在这样的切换系统，即使每个子系统都渐近稳定，但在某一个切 换策略下也可能系统不稳定，或者每个子系统都不稳定，但存在一个切换策略使得整个系 统渐近稳定，因此切换策略的选取也极为重要目前对于切换律设计问题的研究一般采用 的是由b r a n i c k y 提出的多l y a p u n o v 函数方法 6 】，此方法的核心是用每个子系统所具有 的类l y a p u n o v 函数，使他们在切换系统过程中满足一定的条件来达到系统的稳定性文 献 5 2 】在 1 2 1 的基础之上研究了含有不确定性的离散切换系统，利用切换l y a p u n o v 函数方 法设计状态反馈控制器，使得闭环系统是渐近稳定的并且满足给定的二次性能指标，再通 l l ， 过求解线性矩阵不等式约束下的凸优化问题得到次优保性能控制器 1 2 滤波的研究现状 滤波是将信号中特定波段频率滤除的操作，是抑制和防止干扰的一项重要措施滤波一 词最早源于通信理论，是从含有干扰的接收信号中提取有用信号的一种技术这里的“接 收信号 是指被观测的随机过程，“有用信号”是指被估计的随机过程滤波是控制理论 研究的一个重要分支，它的研究在航天技术、控制工程、电子技术及其他科学技术中具有 重要的现实意义 历史上最早提出滤波的是美国的维纳，他在1 9 4 2 年2 月给出了从时间序列的过去数据推 知未来的维纳滤波公式，建立了在最小均方误差准则下将时间序列外推进行预测的维纳滤 波理论然而实际的控制问题中输入过程取决于外界的信号和干扰环境，环境的统计特性 常常是未知和变化的，因而难以满足维纳滤波的条件和要求因此，维纳滤波在解决实际问 题中应用不广2 0 世纪6 0 年代，k a l m a n 和b u o y 提出了k a h n a n 滤波，他用状态方程来描 述动态方程，用状态空间模型取代了维纳滤波方法中采用的传递函数模型k a l m a n 滤波要 求的储存量和计算量都比较小可以处理多种信号，因此广泛应用于机器人导航控制、传感 器数据融合甚至在军事方面的雷达系统以及导弹追踪等 通常情况下k a l m a n 滤波技术应用得比较广泛，然而在系统模型和噪声统计特性存在 不确定性的条件下，它的应用就受到了一些限制因此许多学者基于鲁棒巩控制的思想研 究了不确定系统的鲁棒比滤波比滤波可以有效地解决k a l m a n 滤波所遇到的问题，对 误差参数的变化敏感性低，在事先不知道干扰信号统计特性的情况下，系统模型也能稳定 精确地跟踪目标该方法不仅估计精度高，而且鲁棒性还很强 近年来，许多学者热衷于采用如鲁棒滤波器来估计线性系统的状态，并且对于鲁 棒比滤波的研究已经取得的了一些显著成果1 9 ，3 5 ，4 3 由于许多系统中都普遍存在不 确定性，从而造成了系统的不稳定和性能变坏，所以人们开始研究不确定系统的鲁棒巩滤 波文献 5 3 】设计了一种随机不确定系统鲁棒比滤波器，并且给出了求解该问题的l m i 方法文献 1 7 ，1 8 ，4 7 对一类具有凸多面体不确定离散系统的滤波问题，采用参数依赖 型l y a p u n o v 函数，寻找与系统的不确定性相关联的l y a p u n o v 函数，来减少设计的保守性 1 3 鲁棒控制的研究现状 2 0 世纪5 0 年代首先出现了关于鲁棒控制( r o b u s tc o n t r 0 1 ) 的研究，在以后的几十年中， 鲁棒控制一直是国际自控界的研究热点所谓“鲁棒性 是指控制系统在一定结构、大小 2 的参数摄动下，维持某些性能的特性根据对性能的不同定义，可分为稳定鲁棒性和性能鲁 棒性早期对于鲁棒控制的研究主要针对单变量系统的在微小摄动下的不确定性，具有代 表性的是z a m e s 提出的微分灵敏度分析，他于1 9 8 1 年提出的以控制系统内的某些信号间的 传递函数矩阵比范数为优化指标的设计方法产生了如控制理论但是在实际工业过程 中故障也导致系统中参数的变化，这种变化是有界摄动而不是无穷小摄动因此产生了以 讨论参数在有界摄动下系统性能保持控制为内容的现代鲁棒控制近些年来，人们展开了 对不确定系统鲁棒控制问题的研究，并取得了一系列研究成果 2 6 ，2 8 ，3 0 1 比鲁棒控制理 论和弘分析理论则是当前控制工程中最活跃的研究领域之一，多年来一直备受控制研究工 作者的青睐 各类工业系统中普遍存在时滞与不确定性现象，时滞和不确定性使得系统的分析与综 合变得更加复杂和困难并且也导致系统不稳定和性能变差因此，不确定时滞系统的鲁棒 控制问题就成为控制领域的一个研究热点，近几年也取得了许多研究成果f 2 5 ，27 】连续时 间系统和离散时间系统的控制与设计具有很大的差别，随着计算机控制技术的迅速发展， 在工业过程控制中对离散时间系统控制的研究显得尤为重要所以人们已经广泛关注于离 散不确定时滞系统控制的研究，文献1 2 研究了一类离散切换系统的控制器设计问题文 献【1 】考虑了一类不确定离散切换系统鲁棒如控制问题，构造了与系统不确定性无关的切 换律 鲁棒控制是切换系统的一个重要研究内容，目前切换系统鲁棒控制的问题主要是针对 切换律可以自由设计的连续时间切换系统，而在有些情况下，切换律是任意的，因此需要研 究切换系统在切换律任意时的鲁棒控制问题目前对于切换律设计问题的研究主要采取 有b r a n i c k y 提出的多l y a p u n o v 函数方法 1 4 本文解决的主要问题 本文主要研究以下三个问题： 1 针对如下不确定离散时滞切换系统： x ( k - 1 - 1 ) = a k ，口( 詹) z ( 七) + a k ，曲( 七) z ( 七一h ( k ，盯( 七) ) ) + b k ，( 南) 叫( 尼) 删= c d 慨秤( ) g 删z ( 七一啦删) n t d k , a ( 砷伽( 七) ( 1 4 1 ) z ( k ) = l 仃( 忌) z ( 忌) x ( k ) = ( 后) ，k = 一九，一危+ 1 ，0 通过l y a p u n o v - k r a s o v s k i i 泛函方法，设计了具有l u e n b e r g e r 形式的比滤波器，得到了使 3u 得误差系统是鲁棒渐近稳定的，且对任意的不确定性满足如扰动水平的充分条件 2 考虑了如下不确定离散时滞切换系统： r i z ( 七+ 1 ) =a k ，盯( j c ) z ( 忌) + a k ，如( 七) z ( 七一d ) + b k ，盯( k ) 钍( 忍) + d k ，矿( ) 叫( ) ， i z ( 忌) = g ( 七) z ( 南) + 乙( 七) u ( 尼) ， ( 1 4 2 ) l lz ( 忌) = 砂( 忌) ，k = 一九，一九+ 1 ，0 基于多l y a p u n o v 函数方法，研究了其状态反馈保性能控制问题，得到了切换系统保性能控 制器存在的充分条件，并且将状态反馈控制器设计问题转化为一组线性矩阵不等式约束下 的凸优化问题 3 针对如下不确定离散时滞切换系统： x ( k + 1 ) = a k ，( 七) z ( 七) + a k ，d 盯( 七) z ( 七一d ) + b k ，矿( j c ) u ( 毙) + d k ，仃( 七) 加( ) ， 州= 椰) + 帆删z ( 七一d ) ( 1 4 3 ) z ( k )= c 0 ( 南) 茁( 七) + 月0 ( 南) u ( 七) ， x ( k ) = 妒( 七) ，忌= 一九，一九j r - 1 ，0 借助于l y a p u n o v 函数方法和线性矩阵不等式技术，设计出输出反馈控制器，使得闭环系统 是鲁棒稳定且具有比扰动衰减度 4 第二章一类不确定离散时滞切换系统的 如滤波器设计 2 1 引言 切换系统是由多个子系统以及作用在其中的切换规则构成，它作为一类重要的混杂系 统在交通系统、机械控制系统、汽车工业、航空航天等领域都具有广泛的应用在过去 的二十年里，有关切换系统理论及其应用的研究受到众多学者的关注目前已经有不少关 于这方面的研究结果 1 3 ，2 2 ，2 3 ，4 5 ，4 6 】文献 1 2 通过l y a p u n o v 函数方法研究了一类离散 切换系统的稳定性和控制设计问题文献f 4 1 】利用完备性条件研究了切换系统的稳定性文 献 3 2 i 1 匿过单l y a p u n o v 函数和多l y a p u n o v 函数的方法对控制器切换的如状态观测器设 计的稳定性进行了研究，提出了稳定性的充分条件 滤波问题也是控制理论研究的一个重要分支，它的研究在航天技术、控制工程、电子 技术及其他科学技术中具有重要的现实意义起初k a l m a n 滤波技术得到广泛应用，但是在 系统模型和噪声统计特性存在不确定性的条件下，它的应用就受到了一些限制此种情况 下就采用比滤波，它比k a l m a n 滤波估计精度更高并且具有更好鲁棒性因此对于比滤 波的研究越来越受到广大学者的关注，文献【1 5 研究了一类线性时滞系统的如滤波问题 本文对带有时滞的不确定离散切换系统的比滤波进行了研究我们这里所要设计的 滤波器是一种l u e n b e r g e r 形式的，得出它满足误差系统是鲁棒渐进稳定的，且对任意的不 确定性满足巩扰动水平7 的充分条件这些充分条件是时滞依赖的，能通过线性矩阵不 等式的形式表达出来最后给出的仿真例子说明了设计方法的有效性 2 2问题描述 考虑如下不确定离散时滞切换系统( 1 ) ： z ( + 1 ) = a k ，矿( 七) z ( 南) + a k ，拈( 奄) z ( 忌一h ( k ，矿( 七) ) ) + b k ，盯( 七) 叫( 后) z ( k ) = l 矿( 七) z ( 七) z ( ) = 咖( 七) ，k = 一九，一九+ 1 ，0 t ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 其中z ( 忌) 舻是状态，y ( k ) p 是测量输出，z ( k ) r p 是估计输出，w ( k ) r 口是外部 扰动，并且属于1 2 0 ，o 。) 空间a ( k ) ：z + 一a f = 【1 ，2 ，) 为系统的切换信号，它是一 5 个依赖于时问k 或状态x ( k ) 的分段常值函数，在某一时刻k ，若盯( 忌) = i a f ，则系统相 应的切换为第i 个子系统h ( k ，盯( 七) ) ：z + 一为包含仃( 后) 的时变时滞，且满足 0 h ( k ，i ) h ，v k z + ，i ， 其中h 是一个正常数( 七) 代表初始条件在系统( t ) 中，l 矿( 七) 是已知的常数矩阵并且不 确定的矩阵满足以下形式 。4 七，盯c 知，4 七，d 口c - 一c ，上孔，盯c 七， = = a 盯c 南，4 帕b c 七，上乃c 惫， 。2 2 4 ， + 删h 胁， ， 其中a 盯( 七) ，缸( 七) ，玩( 七) 是已知的具有适当维数的实常数矩阵，h ( k ) 为未知的实矩阵，且满 足 h t ( 忌) 日( 后) i ( 2 2 5 ) 历( 七) 和b ( ) ，( 七) ，( 七) 为已知的具有适当维数的实常数矩阵，反映了不确定参数的结 构信息 我们把系统( e 1 ) 表示成如下的等价形式， x ( k + 1 ) 一x ( k ) = 可( 尼) ， 0 = - y ( k ) + 陋南，盯( k ) + a k ，打( 七) 一卅z ( 后) - a k ，曲( 砷 可( s ) + 鼠州七) 叫( 七) s = k - h ( k ( k ) ) 下面给出本章用到的一些引理 引理2 1 s 】对任意的向量p ，和适当维数的矩阵m 0 ，则有 一2 p ? ，m 肛+ t m 一1 z ， 引理2 2 1 5 】( s c h 补引理) 给定具有适当维数的矩阵m = m r , q = q t , l 则q 0 且m + l t q 一1 l 0 等价于 或者 m t l q q 三 l rm 6 0 ， 0 证明选取l y a p u n o v - k r a s o v s k i i 函数 其中 v ( k ) = ( 忌) + k ( 七) ， 7 ( 2 2 7 ) r l 1j m 0 o 十 0 0 玩 慨 斛 也 0一耖 m+r 0 r y h 。 = 七 虼 七z 砷 “r 七 r z=七 不失一般性，假设当o ( k ) = i 时，a ( k + 1 ) = j ，vi ，j 为书写方便记才蛳= a k ， + a 七，成一， 对( 七) 作前向差分，有 k ( 七) = v 1 ( 后+ 1 ) 一( 七) 跏哗一 = x ( k + 1 ) t 只j x ( k + 1 ) 一x t ( 尼) p 1 x ( k ) = 【x ( k ) + 可( 忌) 】t 只jp ( 七) + 可( 南) 】一x t ( k ) p l i x ( k ) = z t ( 忌) ( p 1 j p 1 t ) z ( 七) + 2 x r ( 忌) 蚕( 忌) + 矿( 七) p 1 j 可( 尼) 三 ，则显然有 2 z r c 七，日，可c 七，= 2 z r c ，可r c 七， 弓 可： 卅x t ( k ) y t ( k ) p i j p 2 心卅瓦m m 墨m 力如m 蛳吣) = 2 ，( 七) b 才柳z ( 尼) + ，( 忌) b j 一岛+ 麓；露悟( ) + z t ( k ) p 2 b k ，t w ( k ) 一矿( 尼) 岛可( 后) + 可r ( k ) p 3 b k ，1 w ( k ) 七一1七一1 一，( k ) p 2 a 删可( s ) - y t ( k ) p 3 a k ，击可( s ) ) ， 应用引理2 2 ，我们可以得到 七一1 - 2 x r ( k ) p 2 a k ，凼荆 s = k - h ( k ，i ) s = k - h ( k ， ) 七一1 x t ( k ) p 2 a 删m a t 。，出碍z ( 七) + 矿( s ) m 萝( s ) 】 $ - - k - h ( k ，)s = k - - h ( k ，d = h ( k ，i ) x t ( k ) p 2 a k ，击m a t 鼬霹z ( 忌) + 七一1 矿( s ) 坳( s ) s = k - h ( k ，i ) 七一1 h x 丁( 七) 恳a ，出m a 。t ，出霹z ( 七) + 影t ( s ) m 可( s ) ， s = k - h 8 - - 2 y t ( k ) p s a k , d i k - 1 荆 k - 1 ( 雪t ( k ) p 3 a 蛐冗一1 如礤挪) ，矿( s ) 助( s ) ) 8 = 知一h ( 免，t ) s = k h ( k , i j 忌一1 ：h ( k ，i ) y t ( k ) p 3 a 七，出冗一1 a r 。，成碍吾( 忽) + 季r ( 8 ) 何( s ) s = k - h ( k j h 雷w ( k ) p 3 a 啪r a k t 成露蚕( 南) + 矿( s ) 砀( s ) ， 因此， 又因为 a v e ( k ) ，( 南) 【凡一巩+ 2 p 2 一a “+ h p 2 a 蹦m 一1 a 黾鼢z ( 砖) + 2 x r ( k ) p 1 j p 2 + - - 如t ，明可( 七) + 2 x r ( k ) p 2 b k ，t 叫( ) + _ 丁( 露) 阮一2 t 3 + h p 3 a 南，成r a t 。，击躜雷( 忌) ( 2 2 8 ) k - 1 + 2 尹( 南) 忍b 婚叫( ) + 9 r ( s ) ( r + m 堵( s ) s = k - h 删朴-1毫。，刺肌珊)一量。萎k-18扒s)埘匆。o k一1 = - hs = k + 0 + 1 口；一“6 一 。” = 旭严( 殆) ( r + m ) 雷( 向) 一雷r ( s ) ( r + m ) 影( s ) ( 2 - 2 9 ) 结合( 2 2 8 ) ，( 2 2 9 ) ，则可以得到 a v ( k ) ，( 惫) p 1 j p 1 t + 2 p 2 一a 蛳+ h p 2 a 知面m 一1 a 五成露】z ( 尼) - t - 2 x t ( k ) p 1 j 一马+ w a t 七l 霹括( 知) + 2 x t ( k ) p 2 b 知，i 叫( 殆) + 矿( 忌) 【r j 一2 p s + h p 3 a 蕊冗一1 a 乏凼露+ 危( 冗+ m ) 】琴( 七) + 巧r ( k ) p 3 b 七， 砌( ) ( 2 2 1 0 ) 即 其中文惫) = z t ( 老) 分r ( 七) “7 t ( 忌) 】r ， 互= 0 ：享三荸：】， 9 ( 2 2 1 1 ) ( 2 2 1 2 ) f 1 1 1 2 一l 木也。l l j 从另一方面应用引理2 2 ，矩阵不等式( 2 2 6 ) 可得 o 巧+ e i i i i + e f l 三 三 0 对任意满足( 2 2 5 ) 的矩阵日( 七) ，通过引理2 3 ，, - l p a 得到下面的不等式 等价于 即 o i j + o 巧+ i i t 日( 七) 邑+ ( i i t 日( 尼) 三i ) t 0 ， u 1 10 ) 1 2 最邑日( 后) 民0h p 2 e 日( 七) 玩 木0p 3 晟日( 七) 见h p 3 e i 日( 后) f d i 木木 木掌 宰宰 v n1 2 1 2 马b k ，i 0 h p e a k ，出 宰 v 2 2p 3 b k ，th p 3 a k ，出0 木掌 一7 2 1 00 奉宰木 一九r0 | c宰宰宰 一九 彳 】0 0 0 ， ( 2 2 1 4 ) 其中 再次应用引理2 2 有 妒1 1 + 三 厶多1 2 最鼠，i 2 2b b k ，t 木 一1 2 i 0 ， ( 2 2 1 5 ) 从而可得量 0 ，故y ( 忌) 0 ，即| jz1 1 2 7i iw2 由( 2 2 1 1 ) 我们可以得到 a v ( k ) + z t ( 七) z ( 七) 一, 7 2 w r ( 后) 伽( 七) = a v ( k ) + x t ( k ) l t l t x ( k ) 一7 2 w 丁( 后) 叫( 七) 尹( 忌) 鼋忌) 显然如果矩阵不等式( 2 2 1 5 ) 成立，则有 y ( 后) + z t ( 忌) z ( 南) 一q 2 w t ( 忌) 伽( 尼) 0 ( 2 2 1 6 ) 将( 2 2 1 6 ) 从0 到o 。进行加和就有 o o e e z t ( 后) z ( 忌) 一7 2 w t ( 七) 伽( 七) 】 y ( o ) 一y ( o o ) k - 0 由零初始条件可以得到 夕( 岛) z ( ) 一, 7 2 w t ( 忌) 伽( 七) 】 0 时，滤波误差系统( 2 ) 是鲁棒渐近稳定的 2 在零初始条件下，对于任意非零w 1 2 【o ，o 。) ，使得l lz1 1 2 0 ，尼 其中 哦= 妒i 1 妒i 2恳鼠一k d i 0 h p 2 a d i 宰 - z z t 恳b 一d ih p 2 a d l 0 1 2 ，0 一九r ，k 0 0 一h m 虼1 = 一z + ( a + a a t - i ) t 男一殍铲， 蛾= 只们。尼们。 ， 已= _ 0h f 小d i = 警烈小 毒；= 一倒t i ；t 一固t i 。；t 。 r ，于。= 。沪。 ? ， 睡0 y t 。r 耻 巧霹。 1 则存在具有形式( 2 3 2 ) 的滤波使得系统( e 2 ) 的鲁棒如滤波问题是可解得，且滤波参数 可以表示成以下形式： 琏= p i - 1 证明通过引理2 1 ，我们可以得到如下矩阵不等式： 其中 令 u ；1 u ；2 = 心三尹 i 木 一鼠，0 木宰 一s f l ， 0 ，使得 砧三 i i ； 毒 一t 1 0 奉木 一_ 1 j 再由s c h u r 补引理，可得 + 仡 皿i 0 0 卜 + 皿f 0 0 1， 0 0i + 町1 j 砧三 1 7 i 圣 皿t 木 - - e t l 000 木宰 一f 1 ，0 0 木掌 宰宰 卑 一q t l 0 宰 木 一百1 ， 皿 0 0 丁 圣 0 0 r h ( k ) l l 0 0 。 。 1 0 0i 0 ，p 2 0 ，b 0 ，k ，z ，阢vx j 和参数矗 0 ，碾 0 ，v i ，j 使得如下线性矩阵 不等式成立： 孬l 一- l ：r 丘i 丕 面i f 1 1 - 2 t j 卑一t l 000 0 0 0 木木 一f 1 ，0 0 000 木奉木 一亿，0 000 宰木木木 一百1 1 000 木木木宰宰 一r00 木宰木牛 j l c 木 一 彳 0 木率木 ，i c木 术幸 一只j 0 ( 2 3 1 5 ) 其中 妒1 1 2 砂1 2 2 叶一 哦= 1 1 = 则存在 为 卮= 巧1 k 证明方法与定理2 1 类似这里就不具体证明了 2 4 仿真举例 本节我们通过数值例子来说明上述结果的有效性 例2 1 考虑如下不确定离散时滞切换系统( 1 ) ： x ( k + 1 ) = a k ，仃( 七) z ( 忌) + a a ，如( 七) z ( h ( k ，盯( 七) ) ) + b k ，盯( j c ) 伽( 尼) y ( k ) = c o z g ，口( 七) z ( 后) ，仅，西( ) z ( 庇一h ( k ，仃( ) ) ) + d k ，矿( 七) 叫( 尼) z ( k ) = l 仃( 七) z ( 七) x ( k ) = ( 七) ，k = 一 ，一九+ 1 ，o 1 9 ( 2 3 1 6 ) 假定测量输出中r 2 = 0 ，其中参数为 a 1 = a d 2 = e 1 = = f b 2 = = f d ：= l 1 = 岛= 给定参数h = 4 ，解线性矩阵不等式( 2 3 6 ) ，可以得到7 = 0 0 3 5 和滤波参数为 k ：蚓批 三 图2 1 给出了状态x ( k ) 的响应变化 肛胁仁 图2 1 滤波误差系统的状态x ( k ) 的响应 一 i 三篓l 、一 ； v i ， e i 2 o 2 摹 1 o o o o 吣 邮 曲 呻 一 例2 2 考虑离散时滞切换系统( 1 ) ，其中状态模型的参数和例2 1 的相同，不同如下： 耻 0 1 2 一 ，= 卜6 一 ， - 0 9 11 现2 i _ 0 8 1l lj r lo 1 9 ，d 2 = i l 0 1 9 l 丙地= _ o 1 邮6 给定参数h = 1 ，p = 1 0 3 解线性矩阵不等式( 2 3 1 5 ) ，可以得到7 = 3 6 0 5 6 和滤波参数为 m = k 1 = ( 1 0 e + 0 0 3 ) 木 一0 4 8 5 80 0 2 3 6 0 3 5 9 6 一o 0 7 3 3 1 0 3 9 75 5 8 7 2 0 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 7 6