（应用数学专业论文）边值方法求解具有脉冲状空间对照结构的奇异摄动问题.pdf

d 碱a t i o nf o r e a s tc h i n an o r m a l u n i v e r s i t y a b o u n d a r yv 砒u ea p p r o a c hf o rac l 硒so f s i n g u l a r l yp e r t u r b e dp r o b l e m sw i t h s p i k 争i y p ec o i l t r a s ts t r u c t u r e d 印a 毗m e n t ：m a t h e m a t i 馏 m a j o r ：a p p l i e dm a t h e m a t i c 8 s u b j e c t ： a p p l i e dd i & r e n t i a le q u a t i o n 8 s u p e r v i s o r ：p r o y 0 n g 血n gl i u n a m e ： c is o n g a p r ，2 0 1 1 s h a n g h a i 华东师范大学学位论文原创性声明 郑重声明：本人呈交的学位论文 边值方法求解具有脉冲状空间对照结构的奇异 摄动问题，是在华东师范大学攻读趣磊士( 请勾选) 学位期间，在导师的指导下进 行的研究工作及取得的研究成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个 人已经发表或撰写过的研究成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文 中作了明确说明并表示谢意 作者签名： 缝 日期：弦，年j 一月f 妇 华东师范大学学位论文著作权使用声明 边值方法求解具有脉冲状空间对照结构的奇异摄动问题系本人在华东师范大 学攻读学位期间在导师的指导下完成的砜；哺士( 请勾选) 学位论文，本论文的研究成 果归华东师范大学所有本人同意华东师范大学根据相关规定保留和使用此学位论文， 并向主管部门和相关机构如国家图书馆、中信所和“知网”送交学位论文的印刷版和电 子版：允许学位论文进入华东师范大学图书馆及数据库被查阅、借阅；同意学校将学位 论文加入全国博士、硕士学位论文共建单位数据库进行检索，将学位论文的标题和摘要 汇编出版，采用影印、缩印或者其它方式合理复制学位论文 本学位论文属于( 请勾选) ( ) 1 经华东师范大学相关部门审查核定的“内部”或“涉密”学位论文，于 年 月日解密，解密后适用上述授权 ( 、2 不保密，适用上述授权 导师签名：地本人签名：韭 日期：洌1 年r 月j y 日 宋慈硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 倪明康教授华东师范大学数学系主席 刘兴波副教授华东师范大学数学系 汪志鸣副教授华东师范大学数学系 边值方法求解具有脉冲状空间对照 结构的奇异摄动问题 中文摘要 通过采用边值方法求解具有脉冲状空间对照结构的奇异摄动边值问题 对于内部层问题，首先，从内部层转移点护处将原问题划分为左右两个问题 然后，通过边值方法可以得到分别相应于左右问题的非奇异摄动方程对于 边界层问题，可以直接通过边值方法得到相应的非奇异摄动方程 全文共分4 章第一章为引言部分，简述了具有脉冲状空间对照结构的奇 异摄动问题研究的背景、意义及本文研究的主要内容第二章研究了具有脉 冲状空间对照结构的二阶半线性d 洲c m 日问题，用边值方法求解该问题等， 第三章举出一些数值例子并通过数值试验验证了边值方法的有效性第四章 为文章的结论 关键词： 边值方法，奇异摄动，内部层，边界层，脉冲解，二阶半线性 ab o 衄d 甜yv m u ea p p r o a c hf o rac h s so fs i i l g u l 壮l y p e r t u r b e dp r o b l e i 璐w i t hs p i l 睁聊ec o n t r a s ts t r u c t u r e a b s t r a c t ht h i sp 印盱，an e wb 0 1 l 卫【d 锄了d u e 皿威h d di 8p 】陀础e df b rs 0 1 、，i 】唱a d 髑o fs i n 刚舭l l yp e 毗u r b e db o m l d a 珂砌u ep 加b l 咄而t hs p i k 争t y p ec o n t 瑚l s t s t m c t u r e f b rt h ei n t e m a l ll a y e rp r o b l e m ，缸t l y t h eo r i 百n a lp r o b l e mi sp 叭i t i o d 幽l e f t 缸dr i g b tp r o b l e m 丘d mt h et r 钺l s f 酹p o i n ta 七t h ei n t 咀_ n a ll a y 班 r e g i o n n 衄，t h r o u g bt h eb 伽m qv a l 鹏础t h o d ，t h e 娥a n dr 遮h tp r o b l e 脚 8 r e d ：v e r t e di t o 虹呛n o n s i 叫a r l yp e r t 山b e dp r o b l 删a n d 坶t h eb o u n d 一 舡yl a y 凹c ( m r e c t i o nt e d l n i q u e ，t h eo r i g i n a lp 】o b l e mi 8d i 制t l yc 【加矾茁乞e di 咖 佃。卫啪一8 i 州舡1 yp e r t l l 】i b e dp 】b i e m 8 t h e r e 肛ef o u rc h 印t e r si i lt h i sp 印e r t h e 丘r s to n ec o n t a j 瑚ab r i e f i d t r o d u i c t i o nt o 让l eb a c k 乒o u da n ds i 毋疵a n c eo ft h es t u d yo ft h e 咖刚a l r 1 y p e r t 山b e dp r o b l e m 8w i t h8 p i l o e - 娜eo 叫t r a s ts t r u c t l l 】呛，锄1 dt h em 血p r o b l e m s d 曲c 强e di nt h i sp 印e ra r e 幽op 】e 粥n t e d t h es e c o n d ei n ：v e s t i g a t 铭t h e 鲫m 础跎m i u n e 缸邮b l e m 丽t hs p 雌娜e c o n t r a s ts t m c t u r e ，衄d 心c h 嗽b e l v e db yu s i n gt h eb o u n d a r yv 8 1 m e t h o d t h et h i r do 始i 8d 伽t e d t o8 0 m en 皿e r i c a l 【锄p l 笛，a n di n 出c a t 够戗炝d 琢：i e n c yo ft h eb o 1 d a r y 讪e m 砒h o d 坷瑚皿俩c a lt e s t 8 a n dt h el a s to n e 百碳络m er 豁1 1 ：i t s k | e yw o r d s ：b 叫阻d a r y 山硷m e t h d d ，8 i 1 1 罢斗】kp e r t b a t i o n ，i n t 戗n a l l a 5 ，e r ，b 0 1 如【d 锄yl a n 日，s p 邋e - t y p e 耐u t i o n ，酏c 叩d o r d e r 踟面一l i l l e 壮 目录 中文摘要 i 英文摘要 i i l 引言l 1 1 背景及研究意义1 1 2 本文的主要工作2 1 3 预备知识3 2 二阶半线性d 主r i c m 缸问题7 2 1 问题的提出7 2 2 边界层函数法求解二阶半线性d i 7 t c m e t 问题9 2 3 边值方法求解二阶半线性d 主7 藿眈2 莳问题1 5 2 3 1 边值方法求解内部层问题1 5 2 3 2 边值方法求解边界层问题1 7 3 数值例子 1 9 3 1 例1 及数值模拟1 9 3 2 例2 及数值模拟2 5 4 结论3 0 参考文献3 1 后记3 4 华东师范大学硕士论文1 引言 1 引言 1 1 背景及研究意义 解决工程技术和科学领域中的各种理论和实际课题，就问题的数学方面 而言主要是求解析解和数值解两大类方法但是由于问题的非线性性、不均 匀性和一般的边界条件，精确解是罕见的，一般只能求近似分析解因此，随 着社会经济与科学技术的日益发展，边值方法【1 1 】【1 3 】作为一种重要的求解 非线性问题的近似方法。受到国内外学者普遍的重视奇异摄动边值问题的边 值方法是m 0 b 趿k k a d 棚) 8 j 0 0 和y n f 洲y 在讨论二阶齐线性奇异摄动边 值问题的求解方法时提出来的【n 】 奇异摄动理论和方法【1 】- 【2 8 】的研究自1 9 3 5 年以来先后在前苏联，美国 和其他国家蓬勃发展起来，成为数学的一个重要领域因为奇异摄动问题在实 际问题( 比如高雷诺数忍；的o 优e r 一跏d 托。方程) 中有广泛的应用，因而 奇异摄动问题一直是计算中的热点问题 近年来，大量的工作【1 】- 【4 】是研究奇异摄动问题中产生强烈反差解的内 部层现象，这类解我们习惯上称之为空问对照结构这种特殊的内部层问题 最早在1 9 7 3 年a b 噶i l e 忱和v f b | u t l 姗的 中有所反映，但当时并没有提出空间对照结构的概念，最早提出空间 对照结构这个概念的是a b v 丑圆i l 帆和v f b 呲l l z 钾在1 9 8 7 年发表的文章 【5 】空间对照结构可以分为阶梯状空间对照 结构( 它在相平面或相空间上对应于异宿轨道) 和脉冲状空间对照结构( 它在 相平面或相空间上对应于同宿轨道) ，该问题的研究具有很重要的意义，在化 学的自组织理论中尤为深刻 1 华东师范大学硕士论文1 引言 1 2 本文的主要工作 到目前为止，对脉冲状空间对照结构的研究仅局限于对半线性方程的研 究 下面考虑二阶半线性眈，云僦矗问题 l 一器叫蚶础 。 川， ( 1 1 ) lu ( o ，) = a ，口( 1 ，) = b ， o 1 假设退化方程f ( 让，t ，0 ) = o 有三个根u l = 妒l ，t 2 = 仇( t ) ，t 1 3 = 协( t ) ， 并且 l ( t ) ，o ) ，( 仇( t ) ，o ) 是方程 f ，血 j 面2 毛 l l 害= f 蚺 ( t 固定，r = 兰) 的两个鞍点( 忱( t ) ，o ) 是( 1 1 ) 的中心，并对某个t 有连接着 两个鞍点且包含该中心的轨线，它们形成细胞腔 现在讨论退化方程f ，t ，0 ) = 0 有两个根让1 = 口( t ) ，t 2 = ，y ( t ) 的情 形其中陋( t ) ，o ) 是( 1 1 ) 的鞍点，( ，y ( t ) ，o ) 是( 1 1 ) 的中心，并且轨线形成从 ( a ( t ) ，o ) 出发，围绕( ，y ，o ) 又返回陋 ) ，0 ) 的同宿轨道( 如下图所示) 此时 问题( l 1 ) 存在内部转移层的解一脉冲解【1 0 】 孑 i 、 ( 甜顼0 )h 0 ) jo ) 一 j 。 2 华东师范大学硕士论文1 引言 1 引言 1 1背景及研究意义 解决工程技术和科学领域中的各种理论和实际课题，就问题的数学方面 而言主要是求解析解和数值解两大类方法但是由于问题的非线性性、不均 匀性和一般的边界条件，精确解是罕见的，一般只能求近似分析解因此，随 着社会经济与科学技术的日益发展，边值方法【1 1 】- 【1 3 】作为一种重要的求解 非线性问题的近似方法，受到国内外学者普遍的重视奇异摄动边值问题的边 值方法是m o b 趾k k a d 如a j 0 0 和y n r 耐d y 在讨论二阶齐线性奇异摄动边 值问题的求解方法时提出来的【n 1 奇异摄动理论和方法【1 卜【2 8 1 的研究自1 9 3 5 年以来先后在前苏联，美国 和其他国家蓬勃发展起来，成为数学的一个重要领域因为奇异摄动问题在实 际问题( 比如高雷诺数冗b 的n 优盯一5 协d 七e s 方程) 中有广泛的应用，因而 奇异摄动问题一直是计算中的热点问题 近年来，大量的工作【1 】【4 】是研究奇异摄动问题中产生强烈反差解的内 部层现象，这类解我们习惯上称之为空间对照结构这种特殊的内部层问题 最早在1 9 7 3 年a b 画1 e 豫和v f b | u t l l z o v 的 奇异摄动微分方程的渐近 展开中有所反映，但当时并没有提出空间对照结构的概念，最早提出空间 对照结构这个概念的是a b 咖和v f b u t 也舛在1 9 8 7 年发表的文章 具有空间对照结构的渐近解【5 】空间对照结构可以分为阶梯状空间对照 结构( 它在相平面或相空间上对应于异宿轨道) 和脉冲状空间对照结构( 它在 相平面或相空间上对应于同宿轨道) ，该问题的研究具有很重要的意义，在化 学的自组织理论中尤为深刻 1 华东师范大学硕士论文1 引言 1 2 本文的主要工作 到目前为止，对脉冲状空间对照结构的研究仅局限于对半线性方程的研 究 下面考虑二阶半线性d i ，i c m e t 问题 p 害- f ( 小一， 0 t 1 ， ( 1 - 1 ) 【t ( o ，e ) = a ， u ( 1 ，) = b ， o e 1 假设退化方程f ( 牡，t ，o ) = o 有三个根牡l = 妒1 ( t ) ，t 2 = 妒2 ( t ) ，t 1 3 = 伽( ) ， 并且 1 ( t ) ，o ) ，( 协( t ) ，o ) 是方程 rd j 面2 毛 i 害= 砟，u ( t 固定，r = 兰) 的两个鞍点( 妒2 ( ) ，o ) 是( 1 1 ) 的中心，并对某个t 有连接着 两个鞍点且包含该中心的轨线，它们形成细胞腔 现在讨论退化方程f ( u ，t ，o ) = o 有两个根u 1 = ( t ) ，t 1 2 = 7 ( 孟) 的情 形其中( q ( t ) ，o ) 是( 1 1 ) 的鞍点，n ( t ) ，o ) 是( 1 1 ) 的中心，并且轨线形成从 ( q ( t ) ，o ) 出发，围绕( ，y ( t ) ，o ) 又返回 ( t ) ，o ) 的同宿轨道( 如下图所示) 此时 问题( 1 1 ) 存在内部转移层的解一脉冲解【1 0 】 石 。1 。( 甜玩o ) ( ，y ( t ) ， 、 ? 2 华东师范大学硕士论文1 引言 为了表述简单起见，仅限于讨论在区间【o ，1 】上只有一个脉冲状空间对照 结构的转移点如果有几个这样的点的话，讨论完全类似 通过采用边值方法求解具有脉冲状空间对照结构的二阶半线性 d i ，t c m e t 问题对于内部层问题，首先，从内部层转移点扩处将原问题划 分为左右两个问题然后，通过边值方法可以得到分别相应于左右问题的非奇 异摄动方程对于边界层问题，可以直接通过边值方法得到相应的非奇异摄 动方程最后，用传统的求解常微分方程的方法【冽对各个方程进行求解本 文最后通过举出一些数值例子证明了该方法的可行性及有效性，并且表明该 方法计算量少，简单易行并在此基础上进行了数值模拟【3 叫，即通过对小参 数e 取不同的值，使得论文的结论更加直观明了而且可以通过观察图形看出 在小参数取值越来越小时，其结果的精度就越高 1 3 预备知识 1 奇异摄动概念【8 】 考虑常微分方程组 等= m ，t ，吐 ( 1 2 ) 假设，( u ，t ，) 对其全体变量连续，且当，t ，在某个区域中变化时对让满足 李普希茨条件利用某些定解条件，例如初始条件 u ，0 = 护( 1 3 ) 来确定方程组( 1 2 ) 的解仳( t ，e ) 接下来可以用下面的方法来求出u ( t ，) 最简单的渐近表达式：首先在第 ( 1 2 ) 式中的，( u ，t ，e ) 中令e = 0 ，一般说来，这时可以得到更简单的方程组 害训训) ( 1 4 ) 3 华东师范大学硕士论文 1 引言 其次用与( 1 3 ) 相同的初始条件，即面) = 护，来确定这个方程的解面( t ) 我 们自然希望，如果充分小，则面( t ) 会是让( t ，e ) 的渐近近似深入的研究说明 确实如此，即当一。时，差t ( t ，) 一面( t ) 是无穷小量，而且这个差对在区 间，卅上关于e 一致的趋于零这个结果在今天认为是古典的已包含在微 分方程的教科书中 现在考虑方程组 e 塞= f ( 刎，t ) ，害= 化，蚺 ( 1 5 ) 如果将这个方程组重新写成( 1 2 ) 的形式，那么显然加在( 1 2 ) 右端的连续性 条件已经不再满足了，因为这时是在分母，从而当e _ 0 时产生了奇异性 然而想要尝试利用在研究( 1 2 ) 时那样的方法来研究( 1 5 ) ，即令e = o 来 构造方程组( 1 5 ) 在满足某些定解条件之下的解的渐近近似这时不同于方程 组( 1 4 ) ，而是得到了方程组 o = f ( 牙，酬i ，害= 豫，识t ) ( 1 6 ) 由于( 1 4 ) 的阶数与( 1 2 ) 是一样的，因此( 1 4 ) 的解豇( t ) 可以满足对( 1 2 ) 提 出的定解条件( 1 3 ) 但是方程组( 1 6 ) 的解一般说来已经不可能再满足为了 决定方程组( 1 5 ) 的解而提出的所有那些定解条件了，因为方程组( 1 6 ) 的阶 数低于( 1 5 ) 的阶数因此在给出( 1 5 ) 定解条件的点处，( 1 6 ) 的解与( 1 5 ) 的 解可能很不相同 类似的现象不仅在研究微分方程组( 1 5 ) 的时候会遇到，而且在研究所谓 的具有小滞量的微分一差分方程时也会遇到这种方程的最简单的例子是差分 方程 z ) = f 0 0 一e ) ，t ) ( 1 7 ) 这里的自变量t 可以连续变化，也可以是离散的为了确定起见，假设t 取一 系列的离散值：0 ，黯，于是在= 0 处给定初始条件 z ( o ) = 严 ( 1 8 ) 4 华东师范大学硕士论文1 引言 之后，从( 1 7 ) 式可以顺序求出z ( k ) 的值，七= 1 ，2 ，亦即 z ( e ) = f ( z o ，5 ) ，z ( 枯) = f 0 ( e ) ，如) ，( 1 9 ) 如果在( 1 7 ) 中令e = o ，则可以得到函数方程 牙( t ) = f ( 乏( t ) ，t ) ( 1 1 0 ) 由此( 在满足一定条件之下) 可以求出t 的隐函数三( t ) 一般来说这个函数已 不再满足条件( 1 8 ) 了因此，如果提出( 1 1 0 ) 的解可以作为问题( 1 7 ) ，( 1 8 ) 的近似解，并得出某种结论的话，那么也可以对( 1 5 ) 和( 1 6 ) 提出同样的问题 和得出类似的结论 值得注意的是这两种情况不同于( 1 2 ) 与( 1 4 ) 之间关系的原因都是一样 的，即当= 0 时改变了方程的类型，或者说方程在如下的意义下是退化了， 即为了决定当e = 0 时方程的解所用的定解条件数目，比为了决定原来方程 的解所用的定解条件数目少( 特别对来( 1 6 ) 说根本不需要任何定解条件，因 为它是一个有限方程) 人们通常把系统( 1 2 ) 称为系统( 1 4 ) 的摄动系统，而且将一个不为零 的小参数e 引入到系统中来的过程也叫做摄动这个术语也可以用于系统 ( 1 5 ) ，( 1 6 ) 和系统( 1 7 ) ，( 1 1 0 ) ，不过在系统( 1 2 ) ，( 1 4 ) 的情形下我们称它为正 则摄动，而对于系统( 1 5 ) ，( 1 6 ) 和系统( 1 7 ) ，( 1 1 0 ) 的情况将称为奇异摄动换 句话说，将非摄动系统与含有不为零小参数的摄动系统进行比较，如果发现为 了决定摄动系统的解所需要的定解条件数目，比为了决定非摄动系统的解所 需要的定解条件数目来得多，那么我们就称这样的摄动为奇异摄动 2 边界层 在奇摄动问题中，当参数e 任意小时，可能产生原来( 摄动) 系统的解与 退化系统的解之间明显不同的区域的这种现象，我们称它为边界层现象而这 个区域本身就叫做边界层区域，或者简单地叫做边界层【8 1 5 华东师范大学硕士论文1 引言 术语边界层”来自流体力学描写粘性流体的方程组相对于描写理想流 体的方程组正好是奇摄动系统的典型例子在流体动力学中早己注意到，即 使在粘性极小的情况下，理想流体方程组对所描写的例如在流线形物体边界 附近流动的过程也不起作用( 例如绕流问题) ；这种在物体边界附近的区域在 流体动力学中就称为边界层从数学观点来看，在流体动力学中产生这种现 象的原因也是由于理想流体方程组的解不可能满足对粘性流体方程组成立的 条件 3 内部边界层 对于奇异摄动初边值问题，即当一o 时，它们的解除去边界层邻域都 趋向于退化问题的某一个解但是在某区间上，不妨设区间为【0 ，1 】，讨论问题 时，有可能产生这种情况：退化问题有两个解，当e _ 0 时，在区间的一部分 【0 ，扩】上解趋向于退化问题的一个解，而在区间的另一部分陋，1 1 上解趋向于 退化问题的另一个解这样，在点扩附近产生解的快变化邻域，造成问题的解 从一个退化解向另一个退化解的快速转移通常这个邻域称为内部转移层， 而具有内部转移层的解称为空间对照结构，扩称为转移点【7 】一般来说转移 点是事先未知的，需要确定当然，在【o ，1 】上也可能存在若干个转移点，在这 些点上会产生不同解之间的跳跃 6 华东师范大学硕士论文2 二阶半线性d ，彤c 日l 五玎问题 2 二阶半线性d z r 苞c 庇2 e 亡问题 2 1 问题的提出 往下将讨论二阶半线性d t r l c z e t 边值问题 o t 1 ， ( 2 1 ) 0 s 1 下面研究的主要是在参数e 取值很小时用边值方法求解问题( 2 1 ) 首先，作如下假设： 吼】在d 上f ( u ，t ，o ) 充分光滑，其中d = ( u ，t ) i a u b ， 0 t 1 ) 在( 2 1 ) 式的第一式中，令= 0 时得到的问题称之为退化问题，即 f ( 缸，亡，o ) = o 慨】在【0 ，1 】上，退化方程f ( u ，t ，o ) = o 有两个解札= q ( 亡) 和缸= ，y ( 亡) ( 为确定起见a ( t ) o ，r ( 7 ( t ) ，t ，o ) o 则 = 砖( 7 ( t ) ，t ，o ) + 4 咒( ，y ( t ) ，t ，o ) 如果足( 7 ( t ) ，t ，o ) o ，尬( ，y ( t ) ，t ，o ) 可以是焦点，经过鞍点舰( 口( t ) ，t ，o ) 有两条轨线进出，其中一条可以进入( 或走出) 焦点，不能形成同宿轨道( 如下 图所示) 石 厂1 儿斫) ，o )( 厢，文一 1 石 r 。 、 i f 所) ，o )编忒一 一 华东师范大学硕士论文 2 二阶半线性d j r f g 日l 互玎问题 2 2 边界层函数法求解二阶半线性d 茁7 - 茁眈z 以问题 下面将用边界层函数法构造渐近解闭 接下来将认为在转移点t 处函数( t ，) 取得极值，那么 ( 矿，s ) = o ( 2 2 ) 假设扩的值有下面的表达式 r = 岛+ 矗1 + + 七“+ ( 2 3 ) 根据边界层函数法，问题( 2 1 ) 的渐近解为 u = 面+ u + q + 觑， ( 2 4 ) 其中 面= 锄( t ) + 瓯1 ( t ) + 是正则级数， t 工= o t 上( 伯) + 棚1 t ( 丁0 ) + 是在点t = o = t 肛) 邻域的边界层级数， q u = t ( 7 ) + e q l u ( 7 ) + 是在点t = 矿( r = 一扩) 店) 附近产生脉冲状现象的级数， 舭= 岛u ( n ) + 兄l 让( n ) + 则是在点t = 1 h = 一1 ) e ) 附近的边界层级数 把( 2 4 ) 代入( 2 1 ) ，并把f ( 面+ u + q u + 觑，t ，e ) 表示成f = 户+ f + q f + r f ，即可得确定渐近解的各项的方程 9 华东师范大学硕士论文2 二阶半线性d ，r r c 日l 五玎问题 确定奶的方程为 f ( 面，t ，o ) = 0 ( 2 5 ) 选取锄= 仅( t ) 正则级数高阶项讥( t ) 1 ) 由下面的方程容易确定 雹- 2 一露1 戽，奶= 露1 ( 一壶瓦前一瓦面- 一主瓦) - 其中p ”表示函数f 的导数在点陋( t ) ，t ，o ) 处计算 下面将在点扩的邻域讨论描述脉冲状解的边界函数q 七u 确定q o 仳的方 程和定解条件为( 伽= 乜) ) ，一 丁 o 所以对醌( 缸) 有通常的 指数估计 i q o u ( 7 ) l ( 珀盯， 7 o ( c 和尼是某个正数) 当7 o 时可以得到类似的指数估计 l 仉t ( 7 ) l 侥一盯，丁o 这样q o 让( 下) 就完全确定了需要指出的是，如暂时没有确定，而q o u 依 赖于如并且铂t ( 7 ) 是偶函数，即q o u ( 丁) = q o u ( 一r ) 华东师范大学硕士论文2 二阶半线性d j r ，c 日l 互玎问题 对q 1 t 有下面的方程和定解条件 f 警咧丁m 酬， ( 2 - 8 ) 【研1 i ( o ) = 一( t 0 ) ， q 1 u ( 千o o ) = o ， 其中 e ( 7 ) = 【r ( 7 ) q ( ) + e ( 7 ) 】( l + 7 ) + 阮( 7 ) 面1 ( 钿) + e ( 7 - ) 】， 而r ( 7 i ) ，r ( 丁) 和e ( 7 - ) 都在点( 蜘+ q o 缸( 7 ) ，岛，o ) 计算 请注意相应于( 2 8 ) 的齐次方程具有满足条件m ( o ) = o ，m ( 一o o ) = o ，m ( ) = o 的非平凡解m ( 7 ) = 骗牡( 7 ) 这只要对微分方程( 2 6 ) 求导就可 得到所以非齐次边值问题( 2 8 ) 如果要有非平凡解的话必须满足可解性条件 ， 日( 丁) 诺u ( 7 ) 打= o ( 2 9 ) ( 这也是方程( 2 8 ) 右端的非齐次项与相应的齐次方程的解m ( r ) = 锚让( 丁) 正 交) 并且q l u ( r ) 在7 = o 的值由下面公式计算 q t 让( o ) 一南上毋( r ) 骗t ( 丁) 打 1，0 一币南f f 1 ( 丁) 砚u ( 丁) n( 2 1 0 ) = 一一 l一 i 下， 下l n r1 7i i i l f ( 岛，幻，o ) _ ，”v7 x o 气吖 p w 为简化积分( 2 9 ) 把日( 丁) 分成两部分： f 1 ( 7 - ) = 【r ( 7 ) q 7 ( 岛) + e ( 7 ) 】，- + 【咒( 丁) q ( 幻) + 晟( 7 - ) 】t l + 【咒( r ) 面- ( 知) + 忍( 7 ) 】 = 日( 7 ) + 日2 ( r ) 因为q o t ( 丁) 是偶函数，所以毋1 ( r ) 是奇函数，而r 2 ( 7 ) 是偶函数所以 日2 ( 丁) 骗“( 丁) 打= o ， 华东师范大学硕士论文2 二阶半线性d j r f c 日l 上玎问题 而 上毋- ( 7 ) 骗u ( 7 ) d 7 = 2 上r ( 丁) ( 知) + e ( 丁) 1 7 骗t ( 7 ) n ，0 因此方程( 2 1 0 ) 可化成 阪( 7 ) ( ) + e ( 丁) 】丁诺u ( 7 ) d 7 - = o ( 2 1 1 ) 方程( 2 1 1 ) 就是确定的方程从( 2 7 ) 第一式有 r = 仁南= f 面去瓣 利用这个关系把方程( 2 1 1 ) 化成 川= 州( 卅脚 0 ) 】血反，瓯知， f ( t o ) = 【r ( u ，t o ，o ) ( t 0 ) + r ( u ，t o ，o ) 】d “= i _ ：号 - _ _ 了：西， ，口( t o )- ，卢( t o ) i z f 。“ 、，。【专，幻，u jd 七l 2 ( 2 1 2 ) 假设方程( 2 1 2 ) ( 或者( 2 1 1 ) 或者( 2 1 0 ) ) 有解幻( 0 ，1 ) ，并且p ) o 贝l j 问题( 2 8 ) 的解是存在的为此先构造相应于( 2 8 ) 的齐次方程的基本解 组。其中一个解取m ( 7 ) = 骗u ( 丁) 另一个与m ( 7 ) 线性无关的解蚝( 7 ) 由已 知公式蚝( 丁) = m ( 7 ) 玎2 ( s ) d s 可以得到可以看出当7 _ o 时，k ( r ) 和 其导数是有界的，并且k ( o ) = 一1 f ( 岛，o ) ，当r _ 一时，解蚝( 7 ) 是指 数增长的这是因为 l i m m ( r ) k ( r ) = 一言【r ( 咖，幻，o ) r ，+ 一z 而当r _ 一时， m ( 丁) = 阪( 伽，南，o ) 1 主( q o 缸+ d ( q o u ) ) ， 所以 k ( 7 ) = 一言咒( o 幻，t o ，o ) 【q o u + d ( q o u ) 】 华东师范大学硕士论文 2 二阶半线性d ，冗，c 日l e r 问题 利用k 和蚝司以构造出当一o o r o 时方程( 2 8 ) 的特解： ，_，r q 1 让= 一k ( 丁) k ( s ) 日( s ) d s + m ( 7 ) m ( s ) 日( s ) 山， ，0 ，一 显然西1 牡满足 ，r1 一r q 1 t ( o ) = k ( 7 - ) 上m ( s ) 日( s ) d s = 商上m ( s ) 日( s ) d s ，一 、卜哪 ，o ，一 引理2 2 1 函数国1 札满足下面不等式 i 西】牡i g ，e 一盯 r o 从日( 7 ) 的表达式可见 1 日( 7 ) i ( 口+ 6 h ) 骗缸( 丁) ， 其中口，6 都是常数，而l 蚝( 丁) i 研q o 让( 7 ) 】- 1 ，所以当7 一一o o 时国。让中的第 一项一m ( 丁) 片k ( s ) 毋( s ) d s 是指数趋向零再看表示式国。缸中第二项的积 分 l 仁琊删a s l c 口i s i m l g ( q o u ) 1 _ 1 d q o u c ( q o 让) 2 1 ， 其中，y 可以取任何正数，这里取7 1 所以当r _ 一o 。时，国1 u 中第二项 不超过c ( 醌t ) 1 1 为指数趋于零这样，就可以得到( 2 8 ) 中非齐次方程的通 解： q l 让( r ) = 七q 0 0 ( r ) + 国1 牡( 7 ) ， 其中七是任意常数显然q 1 ( 千o o ) = 0 为了满足条件 研让( o ) = 一( ) ， 1 3 华东师范大学硕士论文2 二阶半线性d ，兄f _ d 日l 五玎问题 七= 一( 磁( 钿) + 诸让( o ) ) f 一1 ( 岛，幻，o ) ， 讲仳( o ) = 一巧( r ) m ( s ) 日( s ) 山 ， ，一 这样就得到了( 2 8 ) 的特解q l 缸( 丁) 当r _ 一时，它是指数衰减的函 类似的方法可以构造当o 7 时方程( 2 8 ) 的解q l u ( r ) ，它满足条 件( 2 9 ) 需要指出q 1 u ( r ) 依赖于暂时还未知的t l ，它由下一步来确定 函数q t ( 丁) 的构造类似于q 1 让( 丁) ，根据可解性条件可得确定t l 的方程 ，) t 1 = h ，( 2 1 3 ) 这里七l 是已知常数由【日2 】的条件可知t l 是唯一确定的，这样最终就求得了 q 缸( 7 - ) ，而q 2 t ( 7 ) 含有暂时未知的如，也要在下一步确定 往下重复上述步骤每一个岛0 2 ) 由下面方程确定 ，m ) 如= ，( 2 1 4 ) 其中缸是已知常数，而q 缸是形如问题( 2 8 ) 的解这样可以求出级数( 2 3 ) 所有的系数如和级数( 2 4 ) 所有的系数q u 至n 阶 边界级数项u 和r t 0 o ) 由通常方法确定例如对i i o u 有下面的问 f 等卸0 ) + m 0 ) ， ( 2 1 5 ) i1 1 0 u ( o ) = a 一口( o ) ，i i o 缸( ) = o 为了保证( 2 1 5 ) 解的存在性必须给出下面条件： ( 1 ) 假设q ( o ) o p ( o ) 华东师范大学硕士论文2 二阶半线性d j 戤c 日己至汀问题 边界函数的指数衰减性质是显然的往下可以逐次确定i u g 1 ) 如果 满足下面条件同样可以求得忍t 0 o ) ( 2 ) 假设a ( 1 ) o ( 1 ) 这样最终渐近展开式( 2 3 ) ，( 2 4 ) 完全构造好了 2 3边值方法求解二阶半线性d 撕如地问题 2 3 1 边值方法求解内部层问题 首先把问题( 2 1 ) 从内部层转移点扩处划分为左右两个问题，而且往下将 认为在转移点矿处函数t ( ，e ) 取得极值，那么( 扩，e ) = o 而钿( o ，1 ) 由方程( 2 1 2 ) 来确定，且掣o 从具有脉冲状空间对照结构的奇异摄动理论不难知道，在区间【0 ，扩) 及 ( t ，1 】上问题( 2 1 ) 的解趋于退化问题的解但在转移点扩附近会产生解的快 道时，问题( 2 1 ) 可能产生内部转移层的解，即脉冲解 首先考虑左问题此时可以把问题( 2 1 ) 看成是求解在区间【0 ，卅上的具 缸：a ) + t j ( 一( 下) ， 7 ：生；竺， t 【0 ，矿】( 2 1 7 ) 由问题( 2 1 ) 及( 2 1 7 ) 式，即可以得到左问题右边界层的相应方程： f 等+ 州m m 丁掣_ ) ( 丁沙帆吐( 2 1 8 ) iq ( 矿) + t ，( 一) ( o ) = p ( 扩) ，( 扩) + 口( 一) ，( o ) = o 华东师范大学硕士论文2 二阶半线性d ，冗，c 日l 上汀问题 其中( 2 1 8 ) 式中的第二式分别由初始条件u ( 扩) = 卢( 扩) 及( 矿，e ) = o 可得 1 等叫如肘b m ) ， ( 2 1 9 ) i 口( 一) ( o ) = p ( 岛) 一口( ) ， t ，( 一) ，( o ) = o 显然，问题( 2 1 9 ) 存在唯一解 下面将讨论右问题此时同样可以把问题( 2 1 ) 看成是求解在区间【t 。，1 】 上的具有左边界层的问题( 关于矿的表达式以及求解知的方程同前) u ：0 f ( t ) + t ，( + ( 7 ) ，丁：车；，t 陋，1 】 ( 2 2 0 ) 由问题( 2 1 ) 及( 2 2 0 ) 式，即可以得到右问题左边界层的相应方程： l 警协他m 下掣q 丁) t 吐( 2 2 1 ) i a ( 扩) + t ，( + ) ( o ) = p ( r ) ， ( 扩) + 兰t ，( + ) ( o ) = o 其中( 2 2 1 ) 式中的第二式分别由初始条件让( z ) = p 0 ) 及0 ( 扩，) = o 可得 善警叫m m ( + ) 圳， ( 2 2 2 ) i 口( + ( o ) = p ( t 0 ) 一口( 如) ， ( + y ( o ) = o 观察问题( 2 1 9 ) 及( 2 2 2 ) ，它们在形式表达式上是一致的，两个问题中的 问题中的左边界层( 即原问题中的内部层) 归纳在一起进行讨论 u ：q ( t ) + u ( r ) ，r ：生三， t 【0 ，1 】 ( 2 2 3 ) 华东师范大学硕士论文 2 二阶半线性d ，兄r c 日l g t 问题 由问题( 2 1 ) 及( 2 2 3 ) 式，即可以得到原问题( 2 1 ) 中内部层的相应方程： l 搴+ 州m 沪眦掣r m m 吐( 2 2 4 ) i a ( 扩) + t ，( o ) = p o + ) ， ( 扩) + 三( o ) = o 其中( 2 2 4 ) 式中的第二式分别由初始条件让( 矿) = p ) 及( 扩，) = o 令= 0 ，则有 l 搴_ f ( 舶m 圳， ( 2 2 5 ) 【t ，( o ) = p ( t 0 ) 一a ( ) ， t ，( o ) = o 显然，问题( 2 2 5 ) 存在唯一解 2 3 2 边值方法求解边界层问题 由奇异摄动理论可知，在【0 ，1 】的大部分区间上，问题( 2 。1 ) 的解都趋于退 化方程的解u = q ( t ) ，但有时为了满足边值条件，在区间的左端点或右端点处 会产生解的快变化邻域，这个邻域一般被称之为边界层 首先讨论问题( 2 1 ) 存在左边界层的情况 令 u = q ( t ) + 伽( 7 b ) ， 7 b = 兰 ( 2 2 6 ) 由问题( 2 1 ) 及( 2 2 6 ) 式，即可以得到问题( 2 1 ) 的左边界层的相应方程 杂憎州- f 训佃( 栅， ( 2 2 7 ) lq ( o ) + 伽( o ) = a ，脚t t 7 ( 7 b ) = o 、7n+十 1 7 华东师范大学硕士论文2 二阶半线性d ，脚c 日l 砑问题 摩焉叫当小。 若满足条件口( o ) so p ( o ) ，则问题( 2 2 8 ) 存在唯一解 类似的，也可以讨论问题( 2 1 ) 存在右边界层的情况 u ：口o ) + ，( n ) ， n ：三；! 由问题( 2 1 ) 及( 2 2 9 ) 式即可以得到问题( 2 1 ) 的右边界层的相应方程： ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) 华东师范大学硕士论文3 数值例子 3 数值例子 3 1 例1 及数值模拟 例1 考虑下面的半线性边值问题： 0 t 1 1 ( 3 1 ) 0 1 则f ( 牡，t ，e ) = 一u ( 让一t 一击) ，且退化方程f ( u ，t ，o ) = o 有解q ( t ) = o 及 一 _ ，y ( ) = t + 击，它们满足： 得： 即 因为 所以 ( 1 ) a ( t ) o ，r ( ，y ( t ) ，t ，o ) o ， ( 3 ) 存在p ( t ) = 萎 + 三) ，满足翟f ( u ，t ，o ) d 缸= o ， o t 1 将a ( t ) = o ，p ( 亡) = 主。+ 三) 及咒( 牡，t ，o ) = 一2 缸+ t + 三代入( 2 1 2 ) 式可 一仳( 南) k c ) 一幻一三】= z 2 + 匆缸血名二+ 丢