（计算数学专业论文）lagrange型向量值有理插值及在控制论中的应用.pdf

上海大学硕士学位论文 摘要 a v r a ms i d i 【3 8 首先提出了一类牛顿型的向量有理插值，它具有可迭代，插 值点可重复等许多优点本文在此基础上进行了推广，在引入了l a g n m g e 多项式 的迭代公式的前提下，提出了一类l a g r a n g e 型向量有理插值，着重研究了其误 差公式及系数的选择，随后对插值点的选择进行了探讨，并提出了l a g r a n g e 型 向量值有理插值的h e r m i t e 插值问题 第一章概述研究工作背景和作者的主要工作 第二章叙述向量函数的定义及其基本性质和向量有理插值的定义和基本概 念，讨论了向量有理插值已有的构造方式和计算方法及其拓广和应用 第三章作者引入了l s g r a n g e - 型向量有理插值问题，讨论了用三种不同的方 式来确定系数 本文提出的l a g r a n g e - 型向量有理插值格式，分母是个数量多项式。其系 数需要被确定；分子是个向量多项式，它满足插值格式通过引入了l s g r a n g e 多项式的迭代公式，提出了三种不同的方法来确定插值格式的系数通过举例， 说明了三种格式的误差大小和对原向量函数的逼近程度 第四章研究了摇值结点的选取原贝! i ，通过定理4 6 ，引理4 2 1 ，推论4 2 1 ， 提出了向量有理插值序列在复右半平面一致收敛的条件，并给出了一种极点和插 值结点的选取方式，即选取插值结点为极点的共轭相反数，按这种方式选取，给 定极点的向量有理插值函数序列能一致收敛于被插向量函数 提出了l a g r a n g e 型向量值有理插值的h e r m i t e 插值问题，最后举例说明了在 线性系统中的应用 关键词。向量函数，l s g r a n g e 多项式，有理插值。切触有理插值，插值结 点的选取，线性系统的模型简化 a b s t r a c t an e w t o n - t y p ev e c t o r - v a l u e dr a t i o n a la p p r o x i m a t i o nw a sf i r s t l yp r e s e n t e di nt h e w o r ka v r a ms i d i l 3 s 1 w h i c hh a dm a n ym e r i t 8o fi t e r a t i o ns n dc o i n c i d e n c eo ft h ei n t e r - p o l a t i o np d n t s i nt h i sp a p e r ，w eg e n e r a l i z et h i sv e c t o r - v a l u e dr a t i o n a la p p r c m n a t i o n i nt e r m so fan e wr e l a t i o ni nt h el a g r a n g ep o l y n o m i a lf o r m , ap r a c t i c a lm e t h o do f l a g r a n g e - t y p ev e c t o rr a t i o n a li n t e 珥d a t i o n 纽p r e s e n t e d w em o s t l ys t u d yi t se r r o r f o r m u l aa n dt h r e em e t h o d st od e f i n et h ec o e m c i e n t s t h e nt h es e l e c t i o no f t h ei n t e r p o - l a t i o np o i n t sa n dt h eh e r m i t ei n t e r p o l a t i o nq u e s t i o no f t h el a g r a n g e - t y p ev e c t o r - v a l u e d r s t i o n a li n t e r p o l a t i o na r eo b t a i n e d t h ec o n t e n t so ft h ea r t i c l ea r ei n t r o d u c e da 8f o l l o w s ： i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w eo u t l i n et h eb a c k g r o u n da n dt h em a i nr e s u l t so b t a i n e di n t h i sa r t i c l e 。i nt h es e c o n dc h a p t e r , w es t a t es o m eb a s i cc o n c e p t sa n dp r o p e r t i e so fv e c t o r - f u n c t i o na n dv e c t o r - v a l u e dr a t i o n a li n t e r p o l a t i o n ，t h em a i nc o m p u t a t i o nm e t h o d sa n d r e s u l t so l lw t o r - v a l u e dr a t i o n a li n t e r p o l a t i o na n di t ss e r v a la p p l i c a t i o n s i n t h et h i r d c h a p t e r ，w ei n t r o d u c et h r e ed i f f e r e n tt y p 目o f c r i t e r i bt oo b t a i nt h e t h r e et y p e so fl a g r a n g e 。t y p ev e c t o r - v a l u e dr a t i o n a li n t e r p o l a t i o np r o c e d u r e s t h ed e n o m i n a t o r so ft h e s ei n t e r p o l a n t sm s c a l a r - v a l u e dp o l y n o m i a l sw h o s ec o - e 伍c i a 出c a nb ec h o s e ni nt h r e ed i f f e r e n tw a y s t h e i zn u m e r a t o r s 啪m a t r i x - v a l u e d l a g r a n g ep o l y n o m i a l st h a ta ”c o n s t r u c t e dt os a t i s f tt h ei n t e r p o l a t i o nc o n d i t i o n a n d w es h o wt h ee t r o ro fe a c hp r o c e d u r e sb ye x a m p l e i nt h ef o u r t hc h a p t e r , w es t u d yt h ec h o s e np r i n c i p l eo ft h ei n t e r p o l a t i o np o i n t & w i t h t h e o r e m 4 6 ，l e n m m 4 2 1a n d c o r o n a r y 4 2 1 ，w e p r e s e n t t h e c o n v e r g e n c e p r i n c i p l e o f r a t i o n a li n t e r p o l a t i o nf l e q u c e so l lt h ec o m p l e xr i g h tp l a n ea n dt h em e t h o do f c h o i c - t n gt h ep o l e sa n di n t e r p o l a t i o np o i n t s ，i e t h ei n t e r p o l a t i o np o i n t ss h o u l db ec h o s e n a 8t h ec o n j u g a t e 缸v e r s ei l u l i l b e f f i l l ；o ft h ep o l e s w i t ht h ep r i n c i p l e t h ev e c t o rr a t i o n a l i n t e r p o l a t i o n8 e q u e n c i w i t hp r e s c r i b e dp o l e sc o n v e r g eu n i f o r m l yt ot h ei n t e r p o l a t e d v e c t o r - v a l u e df u n c t i o n t h e nt h eh e r m i t ei n t e r p o l a t i o nq u e s t i o no ft h el a g r a n g t y p ev e c t o r - v a l u e dm t i o n a li n t e r p o l a t i o na r eo b t a i n e d a tl a s t w es h o ws o m ee x a m p l e si nl i n e a rs y s t e n 上鲞太堂亟堂焦迨塞坐 k e y w o r d s ：v e c t o rf u n c t i o n ，l a g r a u g ep o l y n o m i a l ，r a t i o n a li n t e r p o l a t i o n ，g $ - c u l a t o r yr a t i o n a li n t e r p o l a t i o n ，t h ec h o s e np r i n c i p l eo ft h ei n t e r p o l a t i o np o i n t s ，t h e m o d e lr e d u c t i o no f t h el i n e a rs y s t e m 上海大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 研究背景 科学技术中，许多同题可以归结为对具有有理性( 如具有奇异点或奇异边界 值) 的函数的讨论根据w e i e r s t r a s s 定理，传统的多项式函数是一种非常好的 逼近工具，但在有些情况下，这种任意点附近的性质决定整个实数区问的性质的 特性有悖于自然界所呈现的物理特性因而对于具有奇异点或奇异边界值函数 的逼近问题，当用有理函数作为其逼近时远比用多项式或多项式样条有效，在相 同的逼近阶下，有理逼近通常具有比甩多项式做逼近时更高的精度、更简明的表 达式有理逼近已成为非线性数值逼近与应用中类重要工具许多年来，许多 著名的数学家在这领域内开展研究工作。取得了不少成果，发展起一系列数值 有理逼近的理论和方法国内比较系统的介绍可见于l 数值有理逼近 ( 王仁宏 著) ，p 8 d 6 逼近 ( 徐献瑜，李家楷，徐国良著) 多元有理插值与逼近 ( 朱功勤，顾传青，植结庆著) 等专著 有理逼近的理论和方法为数值逼近与近似计算和频域分析提供了一个强有 力的工具。被广泛应用于机械振动数据分折、数字滤波、电路分析，系统控制理 论的模型简化计算机几何辅助设计等领域譬如。给定一个线性控制系统 x ( 0 = a x ( t ) + b u ( t ) y ( o = c x ( 0 + d u ( t ) 对其做拉氏变换，得频域方程 y ( o ) = c ( 8 j 一棚一1 b u ( s ) + d u ( 8 ) 其中频域传递函数g ( 盯一 ) _ 1 b + d 是个有理函数通常情况下系统矩阵a 的维数非常大，在模拟分析过程中，必须对系统进行简化，方面是构造具有与 原系统相同的传递函数的新系统，使得系统矩阵的维数最小；另方面是在保留 原系统传递函数的主要特性如主导极点等的情况下，在容许的误差范围内，以较 小阶数的有理函数去逼近原系统传递函数。这是个有理逼近求解问题对于此 类系统的逼近求解和简化，在七八十年代研究得较多的有预给极点的p a d 6 型逼 近方法，连分式逼近方法九十年代，p e t e rf e l d m a n m ，r o l a n dw p t t m d ，b s i z h a n j u n 等在研究控制系统，数字电路分析时，用到p s d d 逼近与l c 正交化 相结合的数值计算方法，能够较大的提高p s d d 逼近计算精度 上连太堂塑圭堂焦硷塞2 有理逼近作为非线性逼近的个重要分支，其表现形式是多种多样的，如有 各种连分式插值与逼近问题，各种p a d 6 逼近问题有理插值问题是求给定有限 个插值节点满足相应插值条件下的有理插值函数的求解问题，而p a d * 逼近同题 是在给定函数形式幂级数f ( 习；函盘条件下，求具有与f ( $ ) 前t t 项相同 逼近阶的有理函数在插值问题中，插值同个节点至n 阶导数的有理插值问题 就转化为p a d 6 逼近问题 由于有理分式的计算非常复杂，随着电子计算机的发展，有理插值与逼近的 研究才得以迅速发展现在已在多元有理逼近，矩阵有理逼近、抽象有理逼近分 析，有理逼近的数值计算方法、以及与数学其它分支交差研究等等许多方面蓬勃 发展起来计算的方法和问题的提法不断革新，如，矩阵p a d 6 逼近的k r y l o v 代 数与l a c z s 正交化计算过程。利用c l i f f o r d 代数结构的向量p a 拍型逼近和p a d 6 逼近，有理插值与逼近的最小实现问题，具有有理解的微积分方程求解问题，切 触有理插值、有理样条问题，各种p a d 6 型逼近问题等等 许多实际问题，如数字滤波、电路分析，系统控制理论的模型简化、空间曲 线或曲面设计等问题都可以归结为向量( 或矩阵) 有理插值和逼近问题，因而对 这类问题的研究就显得特别重要 国内顾传青1 6 一【1 5 】，朱功勤、顾传青【1 8 ，1 9 l 在上个世纪八十年代末较早的开 展了基于这种广义逆的向量( 或矩阵) 有理插值和逼近的研究。在许多方面取得 了一系列成果其后檀结庆等也开始了这方面的工作 a v r a ms i m l 3 s f 3 9 提出了一种新的牛顿型向量有理插值，并深入研究了这种 插值格式的性质，取得了一系列成果这种格式它具有可迭代，插值点可重复等 优点，极大地拓展了向量有理插值的研究领域本文正是在基于这种格式的进一 步的研究 1 2 主要工作 第一章，概述研究工作背景和作者的主要工作 第二章，就向量有理插值研究领域中已有的研究内容及主要结论做了简单地 回顾概述的内容包括向量函数的定义、性质，向量有理插值的定义，代数性质 以及向量有理插值的各种构造方式和计算方法。并例举了很多数值例子 第三章，是作者在导师指导下所做的工作考虑将a v r a ms i , u 3 s 提出的牛 顿型向量有理插值推广到l a g r a n g e 型向量有理插值此格式分母是个数量多 项式。其系数需要被确定；分子是个向量多项式，它满足插值格式通过引入了 上盘太堂亟堂焦监塞 l a g r a n g e 多项式的迭代公式，提出了三种不同的方法来确定插值格式的系数通 过举倒，说明了三种格式的误差大小和对原向量函数的逼近程度 第四章，在第三章的基础上研究了插值结点的选取原则 通过定理4 6 。引理4 2 1 ，推论4 2 1 。提出了向量有理插值序列在复右半 平面一致收敛的条件，并给出了一种极点和插值结点的选取方式，即选取插值结 点为极点的共轭相反数，按这种方式选取，给定极点的向量有理插值函数序列能 一致收敛于被插向量函数 提出了l a g r a n g e 型向量值有理插值的h e r m i t e 插值问题，最后举倒说明了在 线性系统中的应用 上海大学硕士学位论文 4 第二章向量有理插值方法简介 w y n n 4 6 ( 1 9 6 3 ) 率先提出向量的有理插值问题，他注意到，如果把c - 算法应 用到向量上并实施s a m e l s o n 逆变换，就能得到象数量一样的准确结果w y n n 的想法之一已被m c c l e o d ( 1 9 7 1 ) 所证实 g r a v e s - m o r r i s 3 5 ，3 8 借助于一元t h i e l e 型连分式和s a m e l s o n 逆变换。提供 了一种向量有理插值的t h i e l e 型插值方法，从而建立起元向量t h i e l e 型连分 式插值的理论g r a v e s - m o r r i s & j e k 盥 3 6 利用公理性定义研究向量有理插值问 题，并且给出了个l a g r a u g e 行列式方法求解向量有理插值问题 顾传青朱功勤【7 ，1 1 ，3 0 ，3 2 将数量多元函数的反差商与倒差商的概念应用 到向量上，并实施s a m e l s o n 逆变换，由此推广到二元向量连分式插值情形，建立 了二元t h i e l e 型和s t i e l t j e 型向量连分式插值的理论和方法从某种意义上说， 向量值有理插值是数量( 标量) 有理插值的一种自然推广 本章主要介绍向量有理插值的各种已有的构造方法及其基本概念、性质和结 论 、 2 1 向量函数及向量有理插值定义 2 2 1 向量函数 在本文中，要广芝地应用向量分析的知识，因此在这里对向量分析的基本内 容作简单扼要的介绍 定义2 1 1 对于实向量 d = a l ，a 2 ，) t ，i ； 6 l ，b 2 ，k ) 7 定义茁和i 的内积为 幢，两= 矿i = a l b l + n 2 6 2 + + “6 - l 定义占的长度为 i 司= 、( 瓦动= 、n 2 + 谴+ + 碡 ( 2 1 1 ) 定义2 1 2 给出一点集口如果对于f 中每一个点z ，有一个确定的向量r 和它对应，则我们说，在f 上给定了一个向量函数，记作 ，= r - ( z ) ，z 丌 上盗盘堂亟堂焦造塞 向量函数的绝对值可以定义为 i d x ) l = 扣下；两( 2 1 2 ) 例如，设 是实数轴上一区间t o t t l ，则得一元向量函数 尹= 贰t ) 设f 是平面域，一，口) 霄则得二元向量函数 尹；r ( 设 r 是空问中一区域，扛，f ，= ) g ，则得三元向量函数 ，= r ( x ，玑力 正如数学分析中对是实函数所讨论的那样，我们也可以对向量函数引进极 限，连续微商等概念 1 向量函数的极限 定义2 1 3 设最t ) 是所给的一元向量函数，i 是常向量一长度与方向都固 定的向量，。如果对任意给定的 0 ，都存在数6 o ，使得当0 i t t o i 蠢 时 i t ) 一面 在区间t ls t s t 2 上 是连续的 利用命题2 1 1 的结果。我们可以得到t 命题2 1 2 如果雄) 和郡) 是在点t 0 连续的向量函敷，而a 0 ) 是在点t o 连 续的实函数，则向量函敷唧) 4 - j 驻) ，a ( t ) 珂t ) ，f ( t ) 武t ) 和实函数贰t ) 砟) 也都 在点t o 连续( 把命题中的点t 0 改为区问t l t t 2 时，命题也成立) 3 向量函数的微商 定义2 1 5 设贰t ) 是定义在区间t lsts 如上的一个向量函数设t o ( t l ，t 2 ) ，如果桩限 l i m r - ( t o + z x ：t ) - r ( 一t o ) t 叫，凸 存在。则称式t ) 在点t o 点是可饭分的，这个极限称为d t ) 在t o 点的徽商( 或导 矢) ，用( 著) 幻或尹0 0 ) 表示，即 ( 参) = 概堕掣 如果爿t ) 在某个开区间的每一点都有微商存在，则我们说武t ) 在此区间是 可微的或简称向量函数武t ) 是可微的，它的微商记成，( t ) 命题2 1 3 设徘) ，文t ) ，n ( t ) 分别是可微的向量函数，a ( t ) 是可截的实函敷， 则e ( t ) 4 - 冰) ，a ( t ) 式t ) ，雄) x 武t ) ，雄) 贰t ) ( 一t ) ，瓦t ) ，硪t ) ) 都是可微的，并且 ( 凋= 尹+ ， ( 尹士司= ，- i - 一， ( ，司= ，x 亨+ ， ( ，刃= 一亨+ 尹， ( t 弓回= ( 一，瓦回- i - ( t ，田+ ( 最茸彳) 上连太堂亟堂焦迨塞z 所以每一个向量函数覆t ) 和三个有序实函数组z ( t ) ，f o ) ，z ( t ) 对应 命息2 1 4 如果向量函数砟) 在【t 1 ，t 2 l 上是可截的，则向量函数所对应的三 胁肛瓤耋酬- 1 ) ， 竹：缎并y 。c t 。) 出= 翩砒 = 西$ ( t ) 疵+ 而+ 两：( t ) 出， 设插值数据协，萨) ) i 砘l ，。中插值点为 其中巧，i j ，对应的向量插值值为 毋= ) = 矾矗) ，t = 0 1 n ，萨) 满足此插值条件的有理函数z ) 为了避免有理函数的左乘与右乘问题。我们 其中贰z ) 为一向量多项式，口( 动为数量多项式 个向量多项式烈) 的阶d e g 硪z ) 定义为， 土鲞盘堂亟堂焦监塞 如果个有理函数式z ) 其分子向量多项式的阶为n 。分母数量多项式的阶为l ， 我们称此有理函数为 n i t 型有理函数 所谓向量值有理插值同题，就是寻求形如( 2 1 3 ) 的向量值有理分式函数m ) ， 使之满足如下插值条件， 巧= 搿= 妒，i = o , l , - - - , n ；j - 1 ，d ( 2 1 4 ) 这里r 0 ) 是d z ) 的第j 个分量，即贰z ) = ( t 1 ( 。) ，r 2 ( z ) ，扛) ) 罅是d 的 第j 个分量，即d ) = ( 聊，罐) 从向量值函数有理插值的提法可以看出，对向量的各分量而言就是数量有理 插值。所以说向量值有理插值是数量有理插值的推广，基于此在文献【4 l 作了如 下基本假设。 ( i ) 若和 中的第个分量为唯一非零分量，即 妒= 0 j = l ，2 ，一，女一1 ，k + l ，d 则向量值有理插值问题便简化为相应的有理分式函数插值； ( i i ) 如果每个向量的所有分量式成比例的，即 v ( o = 矾，i = 0 ，1 ，n 且由插值点毛与相应的数量值凡可确定个插值函数_ 1 1 0 ) ，则向量有理插值函 数为肋( 。) ，假设( 1 ) 实际上是假设( 2 ) 的特殊情形； ( i i i ) 向量有理插值问题的解不依赖与插值节点的排序； ( i v ) 在某种意义下，插值问题的解是唯一的； ( v ) 插值问题的d 个分量的极点产生于z 轴上同一区间 2 2 向量有理插值主要算法介绍 对已有的主要算法的考察有利于我们对向量有理插值问题的了解下面我们 着重介绍经常作为研究对象的三种向量有理插值构造方法及实现格式 2 2 1t h i e l e - 型连分式插值方法( g r a v e s - m o r r l s 3 4 ，顾传青【9 】) 有理函数总是与连分式密切相连的，在构造向量有理插值函数时，最重要的 一个方法是t h i e l e 型连分式方法 上连盘芏塑堂焦监塞 2 定义2 2 1 给定向量可= ( ”l ，v 2 ，) ，则秽的广义逆r 记作矿1 ，定义为 g - 1 = 1 订= 矿i 研2 ，秽0 ，秽( 2 2 5 ) 其中，矿表示疗的共轭向量，i 司表示向量一的模，即 i 卅= 、嵋+ 磅+ + 嵋 特别地。如果向量一所有的分量仇冗，那么 矿1 = l 归= 彰闸2 ，d 0 ，秽 上述定义的向量广义逆也称为向量s a m e l s o n 逆虽然向量s a m e l s o n 逆由 ( 2 2 5 ) 唯一确定，但绝不是关于向量广义逆定义的唯一形式 不难证明，由式( 2 2 5 ) 定义的s a m e l s o n 逆矿1 具有如下性质， 性质2 2 1 设向量最i c d ，毛i 0 ， r ，a 0 。则下面关系式成立 彤a 肛= 1 i 甘a = 掘 一砂( r 1 ) 一1 = 面 俾砂( 动一1 = 矿1 给定插值数据 ，r ，毋) ，求解个向量有理函数f 犯) 使得 霸) = 毋) ，i = 0 ，1 ，n ( 2 2 6 ) 利用向量广义逆定义( 2 2 5 ) ，可以递归地定义具有n 项的t h i e l e 连分式 再( 习= 豕( 知) - i - b o 苎) 二( x 卫0 x d + + 丽鬲石x i - - 云z n _ - _ i = = 了 ( 2 2 ：7 ) ( 2 2 7 ) 式为如下的连分式表示 删= 和( x o ) + 瓢菊芒兰五二 + 嗣萧 下面给出( 2 2 7 ) 中求系数的递推算法， 耐0 ) ( 以) = 毋) ，i = 0 ，1 ，- ，n ； 舒1 ) ( 知z 1 ) = ( 。l 一知) ( 承o ) 扛1 ) 一承o ) ( 知) ) ， 弘) ( 知z l 却) = 恤一却一1 ) ( 1 l 一1 ) ( 知却一2 却) 一秘一1 ) ( 卸却一1 ) ) ， l 2 鲞太堂亟堂焦监塞! q 定理2 1 饭设( 22 7 ) 中承0 ( z o 却) ，1 l n ，存在且不等于零商o ( 知) 嘛卉) 。而| 删( z ) = 湖( x o 勺) + 南格 ( 2 黜) 满足- 和+ 1 ) 锄) 0 ，j = 0 1 一，n 一1 这时( 幺2 7 ) 式r - o ) ( x ) 存在，并且当n 为偶数时r - o ) ( z ) 是一个1 1 类型的 g v r i 。当n 为奇数时删( 习, t - - ph n 一1 】类型的g 豫吖向量值有理插值的 简称j 例2 2 1 利用下面的插值数据找一个有理插值函数一o ) ( $ ) = 觑z ) q 伽) ，其插 值值为 d ( 0 ) = ( 2 ，0 ，0 ，一 ) ，承1 ) = ( 1 ，0 ，1 ，i ) 铲) = ( o ，i ，1 ，0 ) ； 其相应的插值点为x o = 一1 ，$ l = o 勋= 1 s o l u t i o n ( i ) ：利用( 2 2 5 ) 及上面的递推算法，我们得到个 2 2 型g v r i 一 烈妨- ( 2 ，o o , - 0 + 酊矗 面+ 再可而 2 面毒：丽( 最，易，f 4 ，e 4 ) 其中，西= 舻一1 2 z + 7 ，岛= 1 2 z ( z + 1 ) t 。 马= 5 护+ l 知+ 7 ，且= ( 一1 3 p + 缸+ 7 ) i ) 可以验证，爿o ) ( 毛) = 暖，i = o 1 ，2 d a b l e2 2 1 例只幺j 计算过程示图 一101 丽) ( 2 ，0 ，0 ，一) ( 1 ，0 ，1 ，i ) ( 0 ，i ，1 ，0 ) 永1 ) ( 一l ，0 ，1 ，一2 i ) ( 一2 ，一 ，1 ，一) d 2 ) 1 击( - 1 7 ，1 2 i ，5 ，一2 i ) 在( 2 2 8 ) 式中，分式剐) 扛) 以递归形式被定义，j = n 一1 ，0 当j = 0 时，就得到( 2 2 7 ) 的删( z ) 递归形式构造萨( $ ) ，q o ) ( x ) 和和扛) 的算法为一 ( i ) 初始化 j 似( 功= 承砷，g ( n ) 缸) = 1 ( n ) 迭代 上连太堂亟堂焦监塞! ! 对j ；n ，i 一1 ，1 定义 口u 一1 ) ( ) = 【声u ) ( z ) 1 2 口a ) ( z ) ， 卜1 ( z ) = q ( j 一1 ( h 0 一l ( ) + ( 一一i ( z ) ( 习+ ( i i i ) 终止 当j = i , 1 1 i t 一1 ，0 时， 和) ( z ) = 庐u ) ( z ) q 0 ) ( z ) ( 2 2 9 ) 这种根据t h i e l e 型向量有理插值函数由后向前逐步有理化的过程中。被因 子q o ) ( z ) 整除的特性控制了随后的有理分式函数分子与分母的阶的成长 2 2 2l a g r a m q g e 型行列式算法( g r a v e m o r r i s 3 6 ，顾传青【2 5 】) 首先我们看例2 2 1 的另解法 例2 2 2 计算一个励何型g v r i ：式z ) = 贝) i q 扛k 使得贰z ) 在插值点x o = 一1 ，x l = 0 ，x 2 = 1 上具有插值值 亭o ) 二( 2 ，0 ，o 一i ) td 1 ) = ( 1 ，0 ，1 ，i ) ，爿2 ) = ( 0 ，i 1 ，o - s o l u t i o n ( 2 ) ：关于插值点的l a g r a n g e 基函数为， 1 0 ( x ) = ( 1 2 ) ( 一$ ) ，l l ( 功= 1 一矿，如( 功= ( 1 1 2 ) ( 护+ 于是我们可以直接计算贰$ ) 和q 仁) 得 p ( z ) f f i ； 0 2 d 0 ) 如伽) 0 2 b ( z ) 2 4 0 l l ( 2 4 0 硝1 ) f 1 0 ) 一7 1 1 2 ( z ) 一7 一l d 2 ) 1 2 ( 习 = ；( 1 l 孑+ 6 + 7 ) ， ( 2 2 1 0 ) ( 2 2 1 1 ) = 3 ( 5 2 - 1 1 , + 7 ，1 2 z ( $ + l h ，5 2 + 1 2 1 + 7 ，( 一1 3 2 + 6 z + 7 ) i ) 所得结果与例2 2 1 完全相同这表明有多种求解g v r i 的算法存在然而，不 论那种方法，它们所得的结果是唯一的 给定插值数据- ( 盈，丽) ) ：i = 0 1 n )( 2 2 1 2 ) 上鲞太堂亟堂焦造塞1 2 这里插值点薯c ，句，i j ，相应的插值值承) c d 关于插值节点的第i 个l a g r a n g e 型基函数定义为 n k = 1 10 一魂) ( 名- z z ) ，i = o 1 ，n ( 2 2 1 3 ) i 舞j = o 我们把集合i = z o ，z l ，) 分成两个不相交的集合。 = 句，以。z s ，如= z s + l ，矶2 ，钿) ，( 2 2 1 4 ) 这里集合 中的元素( 插值点) 的共轭不在集合j 中，集合1 2 由具有实的或共 轭对插值点组成集合 或而可能为空集倒如 i = o ，2 i ，0 ，1 一i ，1 + i ) ， 那么 = 托2 i ，而= o ，1 一i ，l + 班 记 ) = 讹) = ( t | i ) c d 下面是非退化 2 k 2 k 型g v r i 的l a g r a n g e 型行列式计算公式 定理2 2 设插值数据偿最j 中n = 2 k ，# ) = 最z ) q ( ：) 是关于俾袅j 的 k 2 嘲型g v r i 那么，q 扛) 和氟：) 可由下面的公式求得 这里。 口( = ) = 厶l o x 蕊一l工0 m l i ol 1 1 工l 础一ll l 2 l ： 如i 一1 , 0l 姥一l ，1 工溉一1 铀一l 工姥一l 础 如( ：) l l ( z ) 一l ( ：)k ( o ) n 烈z ) = k ( ：) 吼硪) ， 琅= q ( z d l u = 0 ，l = 0 1 ，2 k 一1 ， nd 上咖= 譬) k ( 才) 谬( 锣一妒) ， i = 0 j = l l = 0 ，1 ，五m = 0 1 ，2 k ， ( 2 2 1 6 ) ( 2 2 1 7 ) f 2 2 x s ) 上滏左堂塑土芏焦途塞：! l t m = ( 乏k ( 盈) ) 妒( 谬一) + 耋( 乏删噻拥护一帆 2 2 1 9 f = j + 1 ，l ，m = 0 1 ，2 k ， 如果如是实数，妒= 巧r ，否则妒是向量硪才) 的元素 定理2 1 1 中的武：) 也可以写成如下形式。 p - ( z ) = l l o ，f 也一l 删f 0 ( 力 l o lm l l ul l ，2 t 一1 j ； l 2 t 一1 ，1 j 一l 。2 一l 承1 ) f lz ) 办镛一1 ) k l ( z ) l o 毖 工l 蕊 j 五i 一1 啦 d 雠) ( 。) 上面只给出了当n = 2 k 时g v i r 的l a 韶i i l g e 型行列式公式对于，l 2 k 的情形，可以利用上面的公式求得g v i r 如果n 2 k ，设= 2 ；，对原插值数据( a ，和) ：i = o 1 ，n ，我们定义一 向量多项式或z ) 满足 贰盈) = 神) ，i = + 1 ， r + 2 ，n ，d e gg ( z ) = n 一一1 ， 讲) = ) 一贰) ， = 0 ，1 ， 利用插值数据 ( ，办) ) ：i = 0 ，2 耐和公式( 2 2 1 5 ) 求得口( 。) 和武z ) 氟：) = 西v ( o ) + 觑z ) 口( = ) 其中，庐( ：) ：曼2 ( ：水) 上鲞左望亟堂焦监塞! ! 推论2 2 1 如果所有的插值点x o ，抛是实敷，那么 2 k 2 k l 型g v r i 的 分母多项式有如下简单的形式 q ( z ) = 0 瑶( i ) i d l ) 一硝0 ) 1 2 ； 略( 如一1 ) i d 恤一1 一丽o ) 1 2 l o ( 功 氟：) = 0 瑶( z 1 ) i 承1 ) 一再o ) 1 2 ： g ( x 忭- 1 ) i 和一1 一硝p 和) b 伽) l i ) i d ( o ) 一拼1 ) 严 o l i ( 一1 ) i 痧一1 ) 一百1 ) p i x 0 ) 瞄) i d ( o ) 一讲1 1 2 0 l i 。一1 ) 眵”1 一丽1 ) | 2 讲1 ) l l ( 茹) 匕( 匈) i f ( o ) 一百“) 1 2 珞( z 1 ) i 硝1 ) 一丽”) 严 ： ( 一1 ) i 疥n - l o 一承时1 2 k ( 力 珞) i 删一咖中 匕( 。1 ) i 丽1 一讲”) p ： 匕0 。一i ) i 丽”一“) 一承町1 2 硝“) k ( ) 这里。 d i ) 一和1 2 = i t o 一1 2 仞2 2 3 计算满足下面插值数据的【2 2 】型g 性，。鳆。) ：武功向( $ ) j 知= ，= l = 2 i ，忽= 0 ，岳o = ( 。) ，i = o ，1 ，2 s o l u t i o n ：计算基函数 b ( z ) = 一2 i z ，h ( = ) = 寻( 一i = ) ， 1 2 ( ：) = 寻0 一母0 一蕊) 根据定理2 2 中( 2 2 1 5 ) 式，可得 q ( z ) = 贰：) = 1 0 3 1 甙o ) 一d 1 ) | 2 如i | - 2 4 i d l ) 一g o ) 1 2 0 l 1 2 i l b ( z )1 1 ( ：) b ( 。) j 0 3 1 衣o ) 一承1 ) 1 2 工 一2 4 l d l ) 一d 0 ) 1 2 0 l 1 2 g o ) t o ( z )丽1 ) l l ( = )爿2 ) f 2 ( ：) 上瀣盘堂亟芏焦盐塞! 其中。 如= 3 ( t ! ；2 ) 一3 t ! ；+ 2 t 4 1 ) ( 妒一垆) ；1 、 工- 2 = 6 ( 2 垆一4 t | ；0 ) + 3 谬) ( 毋一t 2 ) j = 1 向量有理插值的l a g r g e 型行列式算法具有计算直观的特点，但由于k g r 柚g e 基函数的运用使得算法没有继承性只要改变或增加一个插值点和插值 值，就必须根据插值数据重新计算而前面介绍的t h i e 】e 型连分式方法就具有继 承性优点 2 2 3 向量f 算法( g r a v e s - m o r r i s 3 4 ) c l a e s s e n s ( 1 9 7 8 ) 推广了w y n n 星型结构并运用著名的算法来求解数量有理 插值问题g r a v e s - m o r r i s ( 1 9 8 3 ) 把数量c 算法推广到向量的情形，用来处理向量 有理插值和向量p a d d 逼近问题下面我们主要介绍在处理向量有理插值方面的 一些结果 记数量有理插值的w y n n 星垄结构 ( p m 】，p 一1 m j ， 1 m - i - l l ，【l + 1 州， t , n 一1 j ) 为旧彬s e ，) ，记插值点为知，：g l ，却+ 。+ l ，则c l a e s s e n 发现相邻插值点之 间有下面关系式t 缸一司+ m ) 【陋一回一僻一a 一1 l - 扛一却+ 。+ 1 ) 【( 一c ) 一( 一回一1 l 数量c 算法需要个实的或复的初始值e g = l ，o ，j = o ，1 ，2 ，以及e 鸳= o , j = o ，l ，2 ，。这样c l a e e n 的- 算法为 踟) ：；卿+ 茅孝端_ c i ，一c l ；j 如果对所有的i ，取= 0 ，上式就能处理通常的p a d d 逼近问题。再取：= 1 ，就 得到下面的数量c 一算法t e 肄。= e g 十l + 【譬+ 一毋】1 ，i 0 上瀣本堂亟堂焦监塞! q 推广的向量算法重新描述如下， 热。= 捌+ 般2 = 嚣1 ) + 趔= 0 ，髻) = l ，o l ，j 2 0 记中间元素c = 絮，根据( 2 2 2 0 ) 中的第个计算式，荽表的偶数行中东面元 素e = 甜1 可利用下面的关系式来构造 ( ：一即+ 2 k ) 【( e g ) 一1 一( s c ) 一1 】 = o 一+ 2 1 【( 一仍一1 一( i 矿一c ) 一1 】) 定理2 3 基于向量广义逆运算，向量算法偿2 2 砂和g v r i s 存在如下关 翻= 2 k + j 2 k ，j , k 0 定理2 4 定义 反。) ：= 甜1 ( z ) 霄( z ) ：= 溜( ：) 帚( ：) ：= 翻， 富( 。) ：= 驴2 ) ，文z ) _ 舀) + 。 那么插值数据为 慨，丽) ) ，i = o ，1 ，n + 1 ) ，类型为【n + 1 2 k + 2 】( n ；j + 2 k + 1 ) 的向量有理插值函敷元( = ) = 磊( ：) 如( z ) 可由下面的关系式得到 0 一，) 【( 雪一否) 一1z ) 一( 啻一西一1 ( z ) 】 = 0 一毛l + l 【( 谚一西- 1 ( z ) 卜( 膏一西一1 ( 纠) 即。反z ) = 五( = ) q , ( ：) ( 要求对所有的舶( ) 0 ) 2 3 推广与发展 随着向量有理插值函数研究的不断深入，出现了许多向量有理插值问题的 推广形式【1 9 1 如g r a v e s - m o r r i s 在文献【3 5 】中研究了有向向量有理插值问题 a v r a ms i d i 在文献1 3 7 l 研究了牛顿型向量值有理插值，并且与p a d 6 相互融合 朱功勤、顾传青 3 3 ，7 ，3 2 l 研究了二元向量有理插值问题顾传青跚l ( 1 9 9 7 ) 研究 了多元向量有理插值问题， 9 ( 1 9