（理论物理专业论文）腔qed中原子纠缠和量子逻辑门设计的研究.pdf

曲阜师范大学硕士学位论文 摘要 腔量子电动力学( q e d ) 技术提供了一种有效处理光与原子相互作用的 方法，用它来实现量子信息的方案被认为是当前很有前途的理论方案之一。 受激拉曼绝热通道( s t i r a p ) 是一种运用两束或两束以上部分重叠激光来诱 导原子或分子中电子布居转移的方法，是操纵原子和分子的一种有效工具。 本文分别对双模腔中原子量子纠缠特性和利用受激拉曼绝热通道设计量子 门进行了研究，主要内容如下： 1 ，在原来腔q e d 中t a v i s q 蛐m i n g s 模型基础上，研究了两个纠缠a 型 三能级原子与双模量子腔场的拉曼耦合模型，利用部分转置矩阵负本征值方 法计算了两原子纠缠随时间演化特性。结果表明：两原子鲥缠演化呈现周期 性，并且演化规律受到两原子初始状态、腔模初始光子数影响。对于特殊的 原子扔态，两纠缠原子会一直处于最大纠缠态而与光场初始光子数无关。与 标准t a v i s _ c u m m i n g s 模型相比，由于参与纠缠的是三能级原子两个基态，避 免了原子激发态自发辐射影响，因此该模型中两原子纠缠可以保持更长时 闽。 2 我们提出了一个简单的制备多量子比特量子门方案，此方案利用了 光腔中绝热通道技术。在此方案中，我们利用直接技术实现了量子t o f f o h 门 和f r e d k i n 门，而不是利用通用量子门集合中的基本门来构造它们，所以此 方案所使用激光脉冲数日大大减少，操作时间也随之缩短。此外，由于在绝 热条件下系统中原子自发辐射和腔模耗散可以忽略，所以从理论上说此方案 避免了退相干。最后，我们还指出此方案可以用来实现光子量子比特门。 关键词：纠缠；腔q e d ；量子门；受激拉曼绝热通道； 曲阜师范大学硕士擘住论文 a b s t r a c t t h ec a v i t yq e d p r o v i d e sa l le f f e c t i v em e t h o dt od e a lw i t ht h ei n t e r a c t i o no f l i g h ta n da t o m , w h i c hi sa l s oo n eo ft h ep r o m i s i n gc a n d i d a t e sf o rt h ep h y s i c a l r e a l i z a t i o no fq u a n t u mi n f o r m a t i o np r o c e s s i n g t h et e c h n i q u eo fs t i m u l a t e d r o m a na d i a b a t i cp a s s a g e ( s t m a p ) i sam e t h o do fu s i n gp a r t i a l l yo v e r l a p p i n g p u l s e s ( f r o mp u m pa n ds t o k 髂l a s e r s ) t op r o d u c ec o m p l e t ep o p u l a t i o nt r a m f e r b e t w e e nt w oq u a n t u ms t a t e so f 姐a t o mo rm o l e c u l e 毗t e c h n i q u ei sav a l i d t o o lt om a n i p u l a t ea t o ma n dm o l e c u l e 砧ep a p e rs t u d i e so nt h ee n t a n g l e m e n t b e t , w e c nt w oa t o l n si nad o u b l e - m o d ec a v i t ya n dap r o t o c o lf o rc o 碰灯眦= t i n g q u a n t u mg a t e sw i t hs t i m u l a t e dr o m a na d i a b a t i cp a s s a g er e s p e c t i v e l y t h em a i n r e s u l t sa r ea sf o f l o w s ： 1 w e i n v e s t i g a t et h er a m a nc o u p l e dm o d e lo ft w oe n t a n g l e da - t y p e t h r e e - l e v e la t o m si n t e r a c t i n gw i t hat w o - m o d eq u a n t i z e dc a v i t yf i e l d u s i n gt h e m e t h o do f n e g a t i v ee i g e n v a l u e so ft h ep a r t i a lt r a n s p o s i t i o nm a t r i xw eo b t a i nt h e t i m ee v o l u t i o no f e n t a n g l e m e n tb e t w e e nt h et w oa t o m s t h er e s u l t ss h o wt h a tt h e e n t a n g l e m e n to ft h et w oa t o m sd i s p l a y sp e r i o d i c i t y ；t h ee v o l u t i o nr e g u l a ro f e n t a n g l e m e n ti si n f l u e n c e db yt h et w oa t o mi n i t i a ls t a t ea n di n i t i a lp h o t o nn u m b e r o f t h ec a v i t y f o rs p e c i a li n i t i a ls t a t e ，t h et w o - a t o m q u a n t u m s t a t ew i l ls t a yi nt h e m a x i n l u me n t a n g l e ds t a t e 矗 坨v e fa n dh a sn or e l a t i o nw i t ht h ei m t i a lp h o t o n n u m b e r c o m p a r e dw i mt a v i s - c u m m i n g sm o d e l ，i nt h i sm o d e lt h ee n t a n # e m e n t o f t h et w oa t o m sc a l ll i v ef o rm u c h l o n g e rt i m e 2 as i m p l ep r o t o c o lt or e a l i z et h et o 伍3 l i g a t ea n dt h ef r e d k i ng a t eb y a d i a b a t i cp a s s a g ei na n o p t i c a lc a v i t yi sp m s e n t e a i no u rp r o t o c 0 1 t h em u l t i q u b i t g a t e sc a nb eg e n e r a t e dw i t h o mu s m gt h ec o m p o s i t i o no fe l e m e n t a r yg a t e sf r o ma u n i v e r s a ls e t , s oi ti n v o l v e sm u c hs m a l l e rn u m b e r so fl a s e rp u l s e sa n ds h o r t e r o p e r a t i n gt i m e m o r e o v e r , u n d e rt h ea d i a b a t i cc o n d i t i o n , b o t ht h ea t o m i c e m i s s i o na n dc a v i t yd a m pa l ea v o i d e d , s ot h ep r o t o c o li sd e c o h e r e n e e - f r e ei n t h e o r y i ti sa l s op o i n t e do u tt h a tt h i sp r o t o c o lc a r lb eu s e dt or e a l i z em u l t i - q u b i t g a t e so np h o t o n i eq u b i t s 。 k e yw o r d s ：e n t a n g l e m e n t ；c a v i t yq e d ；q u a n t u mg a t e ；s t i m u l a t e d r o m a na d i a b a t i cp a s s a g e i i 曲阜师范大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 量子信息学简介 量子信息学u 】是随着量子力学在信息科学中的应用，逐渐地建立并发展 起来的一门新兴学科，是当前科学研究的一大热点。那么这门学科为什么会 产生并发展起来呢? 首先，在物理学领域，2 0 世纪初建立的量子力学口均其 产生提供了物理基础，而对单量子系统的控制又为其提供了一定的技术支 持。其次，在计算机科学上，随着电子器件越做越小，量子效应影响越来越 明显，迫使人们利用量子力学原理去构造新型计算机。更值得关注的是，2 0 世纪9 0 年代中期发现了s h o r 量子因子分解算法【3 】和g r o v e r 量子搜索算法 4 1 ， 这两类算法展示了量子计算从根本上超越经典计算机的计算能力和在信息 处理方面的巨大潜力，这就更加争强了量子计算机的吸引力。另外，在密码 学上，目前广泛采用的公钥密码系统【5 1 在量子计算机面前也不再安全，这不 仅引起了人们对量子计算机的更大兴趣，而且促使了一种新型加密方式 量子密码术的产生。正是在上述种种原因共同作用下，才催生出这门崭新的 学科一量子信息学。而今，它已经发展成为包含量子计算机 6 1 、量子通信 7 1 和量子密码术嘲等多个研究方向的一个庞大的学科体系。 1 1 1 量子信息的重要资源量子纠缠 量子纠缠 9 1 ( q u a n t u me n t a n g l e m e n t ) 是多比特系统所特有的量子性质。 它在量子信息技术中有着重要应用，对它的研究是当前量子理论的一个前沿 热点方向。纠缠这一概念是基于1 9 3 5 年量子力学创始人e i n s t e i n 、 p o d o s c k y 、r o s e n 、s c h r o d i n g e r 提出的e p r 佯谬和s c h r o d i n g e r 猫态佯谬l l u j 产生的。早期对量子纠缠态表现出来的量子非局域性研究大多停留在哲学 层次上，直至1 9 6 4 年b e l l 提出著名的b e l l 不等式【u j 才使得量子纠缠态 的非局域性可以通过实验来验证。b e l l 不等式也成为在实验上对量子纠缠态 可操作的第一个数学判别准则。 纠缠判据、纠缠度量和量子纠缠态制各是量子纠缠的主要研究方向。在 曲阜师范大学硕士学位论文 纠缠度量方面，当前主要的纠缠度量方法有部分熵纠缠度、相对熵纠缠度、 共生纠缠度和部分转置负本征值等。近几年来，关于量予纠缠态制备也已推 导验证并付诸实施了许多方案，z h e n gs h i - b i a o 等提出了q e d 腔中两原予纠 缠的有效方案【1 2 l ，r a u s c h e n b e u t e l 等又提出在q e d 腔中控制量子位而产生纠 缠态【j 3 】，b o u w m e e s t e r 等人和潘建伟等1 1 4 l 入利用极化纠缠双光子源分别实现 了多光子极化纠缠态。 1 1 2 量子信息学的重要分支量子计算 ( 1 ) 量子比特 比特( b i t ) 是经典计算和经典信息的基本概念，由双态系统来构成，系统 状态用0 和1 来标志。与此类似，在量子信息学中建立了量子比特( q u b i 0 的概 念，它由双态量子系统来实现。对应经典比特，量子比特的两个可能状态用 1 0 ) 和j 1 ) 来表示。需要注意的一点是，经典比特所处状态是确定的，也就是 说，要么是0 要么是1 ，不能既是0 又是1 。而量子比特与经典比特有本质区别， 根据量子力学中态叠加性，这些双态量子系统的量子态可以是f o ) 和f 1 ) 的线 性组合，称为叠加态。所以量子比特记作 f 妒) = 叫o ) + 纠1 ) ( 1 1 ) 其中，口和是复数，且k 1 2 + i 剧2 = l 。量子比特状态是二维复空间中的向 量。特殊状态i o ) 和1 1 ) 是计算基态，是构成这个向量空间的一组正交基。我 们可以通过测量一个经典比特，来确定它是处在0 态还是处在1 态，但是不能 通过测量量子比特来确定它的量子状态，即得到口和口的值，只能得到关于 量子状态的有限信息。在测量量子比特时，我们得到。的概率为陋l 。得到1 的 概率为捌2 。 信息可以封装在量子比特所组成的集合中，称为量子信息。例如，我们 可以用自旋1 2 系统来实现量子比特，用自旋向上态i ”和自旋向下态ij ，) 来 描述此量子系统。这样，系统自旋态可用来表示量子位：任一自旋态可表示 为自旋向上和自旋向下的叠加，f 妒) = 口f t ) + 剧0 ) ( 其中a 和是复数， m 。+ l a l 2 = 1 ) ，此即为该单量子比特所包含的量子信息。 单量子比特可以用一个双态量子系统来实现，那么相应的多量子比特如 2 曲阜师范大学硕士学位论文 何表示呢? 以双量子比特为例，它有四个基态，分别记作i o o ) ，1 0 1 ) ，1 1 0 ) 和 1 1 1 ) ，一对量子比特可以处于这四个基态叠加，这样描述双量子比特的态矢 量为 i 妨= c i o o ) + c b 。1 0 1 ) + a 坩1 1 0 ) + 口。1 1 1 ) ( 1 2 ) 类似于单量子比特情形，测量结果x o ，0 1 ，l o 或1 1 ) 出现的概率是p ，1 2 ， 测量后，量子比特处于状态i 力。归一化条件为l 吒1 2 - - 1 。对此系统，也可 以只测量其中一个量子比特，如测第一个比特，得到。的概率为p 。1 2 + l 口。1 2 ， 测量后系统状态为 l 矿) = ( 1 3 ) 更一般地，考虑n 个量子比特系统，其基态形式可以表示为i x t x 2 ) ( 而，x ：，= 0 , 1 ) ，量子状态由2 。个复系数来决定，表示为 l 痧) =f x ，x ：x 。) ( 1 4 ) 而。x 2 ， = o ，1 ( 2 ) 量子门 经典计算机线路由连线和经典逻辑门来建造，与此类似。量子计算机也 是用连线和量子逻辑门来构造，连线用于线路问传递量子信息，而量子逻辑 门则负责操作量子门来处理量子信息。量子力学要求量子门对量子比特实现 幺正线性操作，因此量子门可以方便地用幺正矩阵表示。 单量子比特门是最简单的量子门。常用单量子比特门的符号和矩阵表示 为： h a d a m a r d 门 p a u i i 吖门 p a u l i _ z 门 匀0习匀 o l n u(g九l 上压 廿丹廿廿 曲阜师范大学硕士学位论文 相位门 州8 门 g 二) 当然，除了单量子比特门还有一些重要的多量子比特f - ： 受控非门 交换门 f r e d k i n 门 王 0 0 10 0 0 01 0 0 01 10 0 0 0 0 0 0 0 0 10 01 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 10 01 0 0 0 0 o o 4 芸 ，。o o o o o l o 。o o o o o o o l o o o o o o o 1 o o o o o l 0 o 叭l引叫价_川引lv o o o o o ，o o o o o o o o o l o o o 1 o o o o o l 0 o o o o o 0 1 o 0 o o o jf。-。_-_-_j_j，-_-_。f-_-i o l o o o o o o o 1 o o o 0 o o l o o o o 0 o o 1 o o o o o o 0 士工 壬 曲阜师范大学硕士学位论文 如果一组门的量子线路可以以任意精度近似任意酉运算，这组门就称为 是对量子计算通用的。寻找通用量子门集合一直是备受关注的问题。现己证 明了一些通用门集合，如受控非门和单量子门一起构成一个通用集合；还有 可提供容错设计的通用门集合，如通用门标准集合，由h a d a m a r d f - 、相位门、 受控非门、别8 门组成：又如h a d a m 留d i - j 、相位门、受控非门、t o 髓l i 组 成的集合。 1 2c q e d 基础 光场与原子相互作用一直是量子光学中的重要问题，腔量子电动力学提 供了一个有效方法来研究这种相互作用，其中j - c 模型和1 模型是描述原子 与场相互作用的基本和成功的理论模型。 ( 1 ) j a y n e s - c u m m i n g s ( j c ) 模型 1 9 6 3 年，j a y n e s 和c u m m i n g s t l 5 】提出了处理二能级原子与单模场相互作 用体系模型- j c 模型在偶极近似和旋转波近似下的哈密顿量为 日 = 壳芝+ h a i a + 口+ g h ( a s + + a + s 一) ( 1 5 ) 式中a + 和a 为频率为的单模光场的产生和湮灭算符，瓯和s ：是描述本征 跃迁频率为吼的二能级原子行为的赝自旋算符，g 为原子和光场的耦合常数， 它反映原子与光场相互作用的强度。 ( 2 ) t a v i s c u m m i n g s ( t - c ) 模型 1 9 6 8 年，t a v i s 和c u m m i n g s 1 6 j 提出了处理两个定态全同二能级原子与 单模场相互作用体系模型其哈密顿量具体形式为 日：7 1 0 7 0 2s + h a 3 t l * a + 壹堙q + 篷+ 曲s ) + f 汝( 墨椰墨+ 篷( 0 s ，伪) ( 1 6 ) ，l1 - 1 其中& “、s ，分别为表征原子行为的反转和跃迁算符，纨是原子本征跃迁 频率，国是光场频率，4 + 和a 分别为光场产生与湮灭算符，g 为光场与原子 的耦合系数，q 为原子间耦合强度。 5 曲阜师范大学硕士学位论文 1 3 受激拉曼绝热通道 在原子布居转移诸多方法中，受激拉 曼绝热通道【1 7 s 嘲是较为有效并且应用较 为广泛的一种，它的主要特点就是，在整 个过程中，中间态只有少量甚至没有电子 分布。以三能级系统为例( 图1 1 ) ，其受 激拉曼绝热通道过程的结构包括三个态： 初态、中间态和末态，分别为f o ) 、1 1 ) 和， 允许的偶极跃迁为1 0 ) 斗i e ) 。1 1 ) - - h l 砖。两 个相互重叠的相干激光脉冲用于诱导电子 从初态到末态的布居转移。束p m n p 脉冲 l o )l i ) 图i - i 三能级原子模型 用于耦合初态与中间态：一柬s t o k e s 脉冲用于耦合中间态与末态。两柬激光 用其频率或偏振来区分，但每个耦合都近似为单光子共振。如图1 一l 所示共 振系统相互作用h a m i t t o n i a n 可以写为 日，( f ) = q ，l , ) ( o l + a 。i d 0 1 + h 七 ( 1 7 ) 传统激发，先用p u m p 脉冲将电子从初态转移到中间态，再用s t o k e s 脉冲 将电子转移到末态。考虑到第一次转移的低效及激发态电子的不稳定，最终 转移效率很低。受激拉曼绝热过程与传统过程的最大区别在于激光脉冲顺序 不同，先将原子置于s t o k e s 激光场中，然后再置于p u m p 激光场中，称为反直 觉顺序。前束s t o k e s 激光铺好绝热通道，等p u m p 激光来就将电子全部转移 过去。在这个过程中不但要满足相干条件，还要保证满足绝热条件。前者是 指两束激光的相位必须确定，后者是指两束激光的波包必须有部分重叠，且 振幅变化足够缓慢。在此条件下，系统状态布居转移沿着日，的暗态 i d ) 芘q ，1 0 ) - n ，1 1 ) ( 1 8 ) 进行。这样布居转移无论从效率还是从稳定性都有了相当程度的提高。在受 激拉曼绝热通道过程中，布居转移的效率与两束脉冲波包叠加程度有密切的 关系刚( 图1 2 ) 。 6 曲阜师范大学硕士学位论文 图l - 2 原子布居转移的效率与两脉冲波包叠加稃度的关系 1 4 我们做的工作 第一章我们简单介绍了一下量子信息学基础知识、腔q e d 模型和受激拉 曼绝热通道基本方法，第二章研究了双模量子腔场中两纠缠原子的纠缠演化 特性，对于纠缠态制备、量子远程通信等具有一定的指导意义。第三章提出 了利用受激拉曼绝热通道设计多量子比特门的方案，实现了量子t o 肋l i 门和 f r e d k i n l l 。其中二、三两章是我们做的主要工作。 7 曲阜师范大学硕士学位论文 第二章双模腔场中两人型三能级原子 纠缠演化【2 1 】 2 。1 引言 量子纠缠态因其在量子隐形传态1 2 2 、量子密钥分配网、量子秘密共享 2 4 1 中的广泛应用已经成为量子信息领域中的基本资源。因此，纠缠态的度量、 制备和保持一直是倍受人们关注的课题。在纠缠态度量方面，人们提出了多 种物理量用来描述纠缠，如：用来描述纯态纠缠的v o nn e u m a n 熵、纠缠相 对熵凹，用来描述混态纠缠的共生纠缠度 2 6 1 、部分转置矩阵负本征值1 2 7 等。 在纠缠态制备方面，近年来，两原子和多原子纠缠态的制备也有多种方案被 提出，如：利用量子关联光场与原子相互作用使光场的纠缠传递给原予以制 各原子纠缠态网；或在多原子与光场相互作用过程中，对光进行合适的测量， 得到纠缠原子网。与此同时，利用腔量子电动力学方法研究原子与光场相互 作用的纠缠特性也取得了很大得进展，至今为止，人们己对j a y n e s - c u m m i n g s 模型中原子与光场的纠缠特性 3 0 l 和t a v i s - c u m m i n g s 模型中两原子的纠缠特 性【3 1 3 2 1 有了比较充分了解。但是，二能级原予纠缠，由于受到原子能级间耦 极跃迁的影响，纠缠保持时间比较短。 因此，人们采用a 型三能级原子模型，提出了多种制备原子纠缠态的方 法 3 3 0 6 】。此类原子两亚稳态问的耦极跃迁是禁戒的，利用两个或多个此种原 子与光场相互作用，在一定条件下使其两个亚稳态间产生纠缠，这种纠缠态 就可以保持较长时间。文献 3 3 3 6 都主要研究了最初分离的两原子产生最大 纠缠所要满足的条件，而没有研究初始处于纠缠态的两原子纠缠随时问的演 化。在本章中，我们采用两个三能级原子与双模量子腔场的喇曼耦合模型刚， 在双光子共振和单光子大失谐条件下，考虑两原子初始处于纠缠态，双模光 场初始处于粒子数态，讨论了腔中两原子纠缠演化特性。 2 2 态矢量和纠缠度量 8 曲阜师范大学硕士学位论文 考虑两个a 型三能级原子与双模量子腔场相互作用，a 型三能级原子的 结构如图2 - 1 所示，1 1 ) 和1 3 ) 是两个亚稳态，1 2 ) 是激发态，三个能级对应的能量分别为最， 和e ，我们假设e 3 五和e 2 局，e 3 。 腔有两个模a 和b ，它们对应的湮灭( 产生) 算符分别为矿) 和b ( b + ) 。不考虑原子间 偶极相互作用，在旋转波近似下， 系统哈密顿量为 图2 - 1a 型三能级原子 h = h + h f + h 肛 ( 2 1 ) h = 县甜+ 易硝+ 马+ 即嚣+ 易鹾+ 历磴 ( 2 2 ) h f ；叻口+ a + ( o a b + b 7 ( 2 3 ) 麓蕃警乏三2 簇篙 + 9 1 2 ( 口+ + 4 仃昙) + g 嚣( 6 + 盯当+ 6 盯墨) 。7 式中= i 力。i ( i j = 1 , 2 ，3 ) 为原子a 的原子算符，瞄= 1 0 。( ，i ( i i = 1 , 2 ，3 ) 为原子b 的原子算符。模a 的频率为q ，只与能级f 2 ) 和1 1 ) 耦合，模b 的频 率为仍，只与能级1 2 和1 3 ) 耦合。假设q d j 2 ，考虑双光子共振的情况， 即马一骂= q - - o ) 2 ，定义单光子失谐量 a = 马一日一q = 易一日一吃 ( 2 5 ) 设g l ：= g = g ，考虑单光子大失谐的情况，即 玛一置可以绝热消去 能级2 ，这样，相互作用绘景中系统的有效哈密顿量日。为p 刀 9 b l d立协 a 7 一 a d一善 回g 强 口么 6 口n + 盯 舌 ：詈 嘶 蛾 碟 6 口站 + 仃 6 町 矿 和砩 2 一 口 2 一 h 一 曲阜师范大擘硕士学位论文 考虑初始两原予处于纠缠态，双模光场处于粒子效态，系统的状态为 i 甲( o ) ) = ( c o s 0 1 3 1 。) + s i n 0 1 1 。，3 。) ) o i 撑。，甩：) ( 2 7 ) 在相互作用绘景中，系统在t 0 时刻的态矢量可表示为 唿c , 1 1 型芝翁昔1 3 乏未裳弩1 硝 ， + 4 3 8 ，m ，他) + c j ，3 口，l i l ，1 2 + ) 。 将上式代入相互作用绘景的薛定谔方程 f 昙甲= h f l ( t ) ( 2 9 ) 并代入初始条件得： c l 舻- ( n 2 + 1 ) e _ j , q + 币硒e 叫 一- _ 警苎 i e 哪l 石习泓c o s 0 + s i n o ) ( 2 1 0 ) ( 码+ 恐) ( 2 + h a + 恐)j v 、 、 c r t ) = e - i a z t 堕半 + f 兰垫竺 p 喝，+ 亟二丝! e 地， l ( 啊+ 啦) ( 1 + m + n 2 )“+ 也) ( 2 + 啊+ ，屯) + 暑磐等譬。哪! 塑塑塑 (211)12 ( + 啊+ ，1 2 ) ( 2 + m + ，与)j 、 删啦，堕半 + f 兰型2 口叫+ 亟二生! = p 一蛳 l ( + 以2 ) ( 1 + 一十n 2 )( 以l + n 2 ) ( 2 + n l + 以2 ) + 高篙潞尝i e 啦r ( c o s o + s i n o ) 1 2 r t 2 ) 2 ( 1 + 甩i +) ( 2 + 疗l + 、 7 l o 曲阜师范大学硕士学位论文 = ( 而d 赫e 坤+ 雨矗蠢丽e 哪 + 而焉赫e 一却 莉c c o s 口+ 出口，s ， 上式中 五= o ，乃= 一等如+ 嘞) 乃= 一等( 1 + 嚏+ 恐) ，五= 一譬( 2 + 纬+ 2 ) ( 2 1 4 ) 对于包含两个子系统的复合系统，如果系统处在纯态，两子系统间纠缠 用任一子系统约化密度矩阵的 c o nn e u m a n n 熵表示，而如果它处在混合态， 我们用p e r e s 提出的部分转置矩阵负本征值来度量其纠缠度。设系统密度矩 阵为p ，我们可以求出其部分转置矩阵的负本征置，f ，则两子系统间纠缠 度定义为： e = - 2 盯 ( 2 1 5 ) 式中e 的范围是0 e i 。 场与原子组成总系统的密度矩阵为 p ( o = i 甲( f ) ) ( 甲i ( 2 1 6 ) 对光场求迹得到两原子约化密度矩阵为 p 。( t ) = l c d 2 1 1 。，1 。) ( 1 。，1 。i + l c ：1 2 1 3 。，1 。) ( 3 。 l 。1 + c ：c ；1 3 。，1 。) ( 1 。，3 。l + l c ，1 2 f l 。，3 。) ( 1 。，3 。i + l c f 2 1 3 。3 。) ( 3 。，3 。i + c , c i l l 。，3 。) ( 3 。，1 。l ( 2 1 7 ) 将上式对原子b 做转置，求出部分转置矩阵负本征值，利用( 2 i s ) 式可以得 到两原子纠缠度： b 仰= m 2 w 一俪琢而再丽而而) 对上式作数值计算，可以得到两原予纠缠度e 彻随时间的演化规律。 曲阜师范大学硕士学位论文 2 3 数值计算与理论分析 以下具体讨论原子和光场初态变化时，腔中两原子纠缠量随时间的演化 规律。 ( 1 ) 两原子初始状态对纠缠演化的影响 如图2 - 2 所示，我们画出了口【o ，万】内任一值所对应两原子周期性纠缠 演化规律( 图中仅画出了一个周期内的演化图像) ( a ) 0s0s君2(”a120 s 万 图2 - 2 当g = l ，= 5 啊= l ，打2 = 0 时两原子纠缠随时间演化 图2 - 2 ( a ) 描述的是05 口卅2 时两原子纠缠演化。此种情况下，即使当 口= 州4 两原子最初处于最大纠缠态，纠缠也会减小到零，出现退纠缠。当 0 = 0 或州2 时，两原子初始纠缠量为零，但在演化过程中仍然能达到比较大 纠缠量。 图2 - 2c o ) 描述的是州2 s 口s7 时纠缠的演化。纠缠演化有一个显著特 点，就是原子进入腔后，两原子纠缠量先增大后减小，但是不会减小到低于 初始纠缠量，也就是说，纠缠量总是在初始值之上周期性演化。 比较一= 卅4 和e = 3 ，r 4 两种情况，初始纠缠量都为l ，但是演化规律差 别很大，在p = # 4 时会出现退纠缠，而在0 = 3 石4 时，纠缠量始终保持为l 不变。因为口= 3 7 t 4 时，两原子初态 厅 i l ，( o ) ) = 兰 ( - 1 3 。，1 。) + 1 1 。，3 。) 】f ls n 2 ) ( 2 1 9 ) 曲阜师范大学硕士学位论文 将系统哈密顿量作用其上得 ， 一2 h 。l 妒( o ) ) = 一三 o i + 栉2 ) i y ( o ) ) ( 2 2 0 ) 由式( 2 2 0 ) 看出，此时l y ( 0 ) ) 为系统本征态，本征值为- 2 9 2 眠+ 疗2 ) a ，所 以两原子始终处于最大纠缠态而不受光场初始光子数的影响。 ( 2 ) 光场初态对纠缠演化的影响 若初始时光场处于真空态，即，l l = 栉：= 0 时，系统状态不随时间演化。 只有当啊0 或0 ，才出现纠缠和退纠缠周期性演化因为在模型中我 们考虑g i ：= g ：3 = g ，即腔场的两个模与原予的耦合系数相同，所以两个腔 模的粒子数碍和片，的变化对两原子纠缠量的影响相同，在此，我们只考虑 以：= 0 时，对于不同的，l l ，两原子纠缠的演化规律( 图2 3 ) 。 图2 - 3 当g = 1 ，a = 5 ，= 0 口= 0 时两原子纠缠随时问的演化 ( a ) ：实线： = 1 虚线h l = 2 ( b ) ：n i = 6 ，( c ) ：h l = 5 0 ( d ) ：l = 1 0 0 曲阜师范大学硕士学位论文 由图2 3 我们可以看出，改变初始光场的粒子数行，纠缠度仍然出现周期 性演化。在疗取值较小时 初始纠缠度为零的两原子并不是总能达到最大纠缠 ( 如曲线a 和b 所示) ，不过通过调节万，我们可以找到合适的光场初态，系 统在此初态下演化可以产生两原子最大纠缠( 如曲线c 所示) 。而在n 。取值 很大时，两原子可以达到最大纠缠，但是在一个演化周期内纠缠度会出现很 高频率的振荡，虽然其振荡幅度较小。比较曲线d 和曲线e 还可以看出，在 n 继续增大时，此高频振荡频率增大而其幅度减小。 2 4 结论 本章考虑两个纠缠的人型三能级原子与双模量子腔场的喇曼耦合模型， 利用部分转置矩阵负本征值计算纠缠的方法，求出了两原子纠缠随时问演 化。在该模型中，我们利用的是两亚稳态能级，避免了原子激发态的自发辐 射引起的退相干，所以与t a v i s - c u m m i n g s 模型相比此模型中两原子纠缠可 以保持更长时间。结果表明：两原子之间的纠缠呈现周期性变化。当初始时 腔场两个模的粒子数分别为n l = l 和n ，= 0 ，两原子初态混合角0 0 # 2 时，两原子纠缠会减小到零，出现退纠缠：而当州2s 口s7 t 时，两原予的纠 缠度只是在初始纠缠度之上演化，永不低于初始纠缠度，并且当0 = 3 万4 时， 两原子永远处于最大纠缠态。改变腔模粒子数，在两原子初始纠缠度为零时 仍能得到最大纠缠，并且在粒子数很大时，纠缠度会出现高频振荡，但其振 荡幅度会随着粒子数的继续增大而减小。 1 4 曲阜师范大学硕士学位论文 第三章基于绝热通道设计量子t o f f o l i 门 和f r e d k i nf - - 1 3 8 】 3 1 引言 近几年来，越来越多的人力和物力被投入到量子计算机研究中，主要是 因为它具有强大的计算能力，可以解决经典计算机不能解决或者很难解决的 问题【3 】。在众多研究中，量子逻辑门一直是人们关注的焦点。众所周知，任 意量子门可以用一组通用量子门集合来构造，因此寻找量子门通用集合就成 了问题的关键。围绕着这个目的，人们作了大量的工作并找到了一些通用门 的集合1 3 9 , 4 0 1 。其中，t o f f o l i 门和f r e d l d n 门是通用量子计算中两个重要的量 子1 3 t t 】。到目前为止，关于这两个门的设计，已经提出了大量的方法1 4 1 , 4 2 4 3 , 4 4 1 。 量子比特退相干是实现量子计算机的最大障碍。这就要求实现量子比特 的物理系统尽量避免退相干，还要求用来操作量子比特的量子门尽量少受实 验因数影响。利用绝热场来控制原子状态的系统可以满足以上要求1 4 5 1 。这一 系统利用原子基态来表示量子比特并且利用了单模光腔中的绝热通道技术 来操纵原子。在这一模型基础上，任意单量子比特门嗍和一些多量子比特门 【4 7 4 8 1 设计方案被提出来。然而，由于一些无法控制的相互作用和退相干，在 实验操作每个量子门时总是存在泄漏，因此为了在退相干特征时间内完成对 量子比特的操作，要求我们直接去设计一些特殊量子门而不是利用基本通用 量子门来构造它们 4 9 1 。 在本章中，我们提出了一种利用受激拉曼绝热通道技术( s t i r a p ) 删 制备量子t o f f o l i 门和f r e d k i n 门的方案。在绝热极限和腔模r a b i 频率远大 于激光r a b i 频率的条件下，系统动力学过程中原子激发态和腔模激发态上 都没有布居，故从理论上说此方案是无退相干的。较于利用基本量子门来构 造它们，我们的方案具有利用激光脉冲少和需要操作时间短的优点。 3 2 理论模型 曲阜师范大学硕士学位论文 匝客誊蓄溷 ( a ) l m 7 j l i o ) 图3 - i 单模腔中五能级原子模型 i u 1 叮 1 ：ii 本方案利用的是五能级原子模型( 如图3 1 所示) ，此模型曾被用来制备 多量子比特控制兰：i e l - j t u 】。三个基态i o ) 、1 1 ) 和l 鸯与激发态i 口) 之间的跃迁 分别通过两束激光场和一个单模腔场( r a b i 频率分别为q 。、q 和g ) 耦合。 此外，基态1 1 ) 和i a ) 还与另激发态i “) 之间通过另外两束激光场( r a b i 频率 q 。，和q 。、) 耦合。我们假设各激光场和单模腔场的极化和频率可以保证 每一光场都通过单光子共振过程来驱动唯一的原子跃迁。量子比特的计算基 由原子基态 o 和j 1 ) 来表示。这些原子被周定在单模光腔中，每个原子( 用 k 标记) 被四束激光q o ) 、o ，( f ) 、q ：o ) 、q 篡k ( f ) 和腔模g 耻( 与时 问无关) 来驱动。在此方案中，我们考虑的是n + 2 个原子被固定在单模腔中。 激光脉冲q 篡k 0 9 和q 鼢) ( ，) 仅被用来实现第k 个原子态1 1 ) 和l 口) 之间的 布局转移。此过程在相互作用表象下的h a m i l t o n i a n 可写为 月( f ) = q 篡：o ( f m “) 0 l + q 滋f ) ( t ) l u ) o l + h z ( 3 1 ) 此h a m i l m n i a n 的暗态为 纸。) ) o cq 翁k ( 0 1 1 ) l e 。9 q ：，( t ) l a ) ( 3 2 ) 上式中伊是脉冲q 篓k ( f ) 和q 滋。) 之间的相对相位，在这罩我们取伊= 露。 在绝热条件下，原子的布居就沿着此暗态转移。 另外，激光场q 耻( f ) ( q ( f ) 或q ，( ，) ) 被用来驱动k 原子的基态( i o ) 或 1 6 曲卓师范大学硕士学位论文 1 1 ) ) 与激发态l e ) 间的耦合。因此我们引入下面的概念：被激光场驱动的基 态记为i o ”) ( 1 l ”) 或j o ”) ) 反之则被记为l ”) ( 1 0 ”) 或1 1 ”) ) ，k ( k = 1 , 2 ，一十2 ) 用来标记第k 个原子。在旋转波近似下，相互作用绘景 中系统的h a m i l t o m a n 为 日( f ) = 芝( q c ”p ，) ( ，i + g 耻浏，) 0 c ”i ) + k ， ( 3 3 ) 式中矿( 口) 为单模腔场的产生( 湮灭) 算符。q o ) ( q o ) 或q ：( f ) ) 和g ( ”分别是激光场和单模腔场与原子k 耦合的r a b i 频率。由于在每一操 作步骤中使用的激光脉冲q 耻( f ) ( q 譬( r ) 或q p ) 不同，h a m i l t o n i a n 的 形式也有所不同，每一不同形式又有不同的暗态。每一步的具体细节我们将 在下文中给出。 3 3 量子t o f f o l if - 1 在本节中，我们将介绍一种设计控制非门的方法，此方法可以很容易的 被推广，用来设计多量子比特t o f f o l i 门。此方法的具体的过程如下。 系统的初态i 一) 在与激光脉冲作用前，定义为 i 一) = 叫o o ) o ) + 纠o l m o ) + 州1 0 x o ) + 艿1 1 1 ) i o ) ( 3 4 ) 上式中，量子态| f 1 如) i o ) 中的 和屯分别表示原子l 和原子2 的态，而l o ) 是 腔场的初始真空态。a ，p ，丫和6 是复系数。在此方案中，利用如图3 2 所示 的六个步骤，使控制比特为1 1 ) 的时候，把靶位的量子比特翻转，输出态为 l 也) = c r l o o ) l o ) + i o l m o ) + ，1 1 l h o ) + 艿l l o ) l o ) ( 3 5 ) 方案中，原予的布居的转移满足绝热条件，是通过绝热通道在暗态上转移的， 所以我们可以用下面方法计算系统的瞬时本征态。 第1 步和第6 步是标准的受激拉曼绝热通道过程，其动力学过程沿着暗 态( 式3 2 ) 。利用激光脉冲序列，我们可以控制原子布居从1 1 ) ( i 口) ) 转移 到l 口) ( 1 1 ) ) 。 对于第2 、3 、4 和5 步，我们可以写出其删t o n i a n 为 1 7 曲阜师范大学项士学位论文 d l k m b e f o r e 肿 m p l i ，1 、恤田b 幻膳妒、【蚶 i 。_ _ _ _ _ _ - _ _ 。- _ _ - _ _ _ _ 一 m p b 图3 - 2 实现控制非门的六个步骤 ：玻絮蜗群l + q ( f 妒) ( p i + g 2 口p ) 卜妇 ” 其瞬时本征态可以用下面方法给出。第l 步操作后，系统状态的四个分量 i o o ) 1 0 ) 、1 0 1 ) 1 0 、i 口o ) i o ) 和i d l ) i o ) 对应着两个正交的子空间飒，和锕1 6 ： 倪，= o 口) l o ) 0 口o ) i o ) ，i l d ) f o ) ，l a l ) l o ) ，i e a ) l o , l a 4 1 0 ，1 4 a ) 1 1 ) ( 3 7 ) 吼。= o o ) 1 0 ) ，1 0 1 ) 1 0 ) ，i o d 1 0 ，i o d o ) ，i i o ) 1 0 ) ，1 1 l 料1 1 d ) f 1 ) ，i z e l o ) ， l e o ) j o ) ，i e 0 1 0 ) ， e a ) t 1 ) ，l e 4 1 0 ) , l a o 1 ) ，i , , l l o ，f 韶) f 2 ) ，f 嘲 1 ) ， ( 3 8 ) 在子空间飒，中，态矢量i 1 口) i o ) 和l 2 瑚0