（理论物理专业论文）量子系统中的几何相位.pdf

摘要 论文题目是量子力学中的几何相位，但在讲量子力学中的几何相位 前不能不提到量子力学中的相位，从物理上讲完量子力学的几何相位之 后又不能不从数学上解释物理结果 论文的第一章，主要是一些基础知识，涉及本科生的量子力学和研究 生的高等量子力学课程，框架就是梁九卿教授的 这门 课的第三章， 是我所理论物理所研究生的必修课之一 论文的第一章是基础理论，一开始是推导经典力学中的单个带电粒 子在电磁场中的运动方程，分别从拉氏量和哈密顿量推导然后把经典力 学中的哈密顿量量子化，得到量子化的带电粒子在磁场中运动的薛定谔 方程，之后是薛定谔方程的规范变换和规范不变性，并引入d i r a c 不可积相 因子的概念讨论了a b 问题，并介绍了d i r a c 磁单极涉及含时哈密顿系统 的动力学和b e r r y 相位，并引入绝热近似的概念紧跟着就是非绝热近似下 的a a 相位稍后引入含时不变量的定义，以及精确求解薛定谔方程的含 时规范变换方法，再次讨论了a h a r o n o v b o h m 效应，b e r r y 相位和绝热近似 最后给出了一个含时规范变换的具体计算例子以及计算过程 第二章主要讲了两个利用含时规范变换求解绝热近似下的几何相的 例子，给出比较具体的计算步骤，它们有一个共同特点就是计算的对象都 是二态体系，计算时采用的都是球坐标系，计算的都是只有两个量子态的 纯粹的量子系统 第三章主要在前面计算的基础上做了一些归纳总结以及对几何相的 物理解释 本文对几何相作了一些比较细致全面的分析，从基础理论开始一直 到文献中比较常见的模型计算，将重点放在正则规范变换方法在计算几 何相中的应用上，着重掌握一种计算几何相的方法 关键词：几何相位；正则规范变换； 中图分类号：0 3 6 5 k f a b s t r a c t g e o m e t r i cp h a s ei nq u a n t u mm e c h a n i c s j i n g w e il v ( t h e o r e t i c a lp h y s i c s ) d i r e c t e db yj i u q i n gl i a n g a b s t r a c t s i n c et h et i t l eo ft h i s p a p e r i s “g e o m e t r i cp h a s ei n q u a n t u m m e c h a n i c s ”，i ti sn e c e s s a r yt oe x p l a i nt h em e a n i n go f p h a s e ”i nq u a n t u m m e c h a n i c sb e f o r et h ei n v e s t i g a t i o nf o r “g e o m e t r i cp h a s e ”a f t e ri n s p e c t i n g t h e g e o m e t r i cp h a s e ”，w es h o u l db e t t e re x p l a i ni tm a t h e m a t i c a l l yw h e nt h e p h a s eh a si tr o o td e e p l yi nt o p o l o g y t h et i t l eo ft h i sp a p e r sf i r s tc h a p t e ri s b a s i ck n o w l e d g e ”，i tc a r lb e c l a s s i f i e di n t oq u a n t u mm e c h a n i c sf o ru n d e r g r a d u a t ec o u r s ea n dh i g h e r q u a n t u mm e c h a n i c sf o rp o s t g r a d u a t ec o u r s e t h ef l a m eo f t h i sc h a p t e ri sb a s e o n p r o f e s s o rl i a n g s c o u r s ef o r g r a d u a t ei ni n s t i t u t i o no ft h e o r e t i c a lp h y s i c si ns h a n x iu n i v e r s i t y a tt h eb e g i n n i n go ft h ef i r s tc h a p t e rt h ed e r i v a t i o nf r o mt h el a g r a n g e a n dh a m i l t o nt ot h em o t i o ne q u a t i o no fac h a r g e dp a r t i c l ei nm a g n e t i cf i e l d s i nc l a s s i cm e c h a n i c si sp r e s e n t e d t h e nt h em o m e n t u mpi nt h e a c q u i r e d m o t i o ne q u a t i o ni sr e p l a c e db yq u a n t u mo p e r a t o r , t h u sw eo b t a i ns c h r i s d i n g e r e q u a t i o n f o r c h a r g e dp a r t i c l em o v i n gi nm a g n e t i c f i e l d si n q u a n t u m m e c h a n i c s t h e nw ed i s c u s st h eg a u g et r a n s f o r m a t i o na n dg a u g ei n v a r i a n c e o fs c h r i s d i n g e re q u a t i o n ，f o l l o w i n gw h i c ht h ed i r a cp h a s ei si n t r o d u c e d t h e a bp r o b l e mm a dd i r a cm a g n e t i cm o n o p o l ei sa l s oi n t r o d u c e d a d i a b a t i c a p p r o x i m a t i o ni sp u l l e di nf o re x p l a i n i n gt i m e - d e p e n d e n th a m i l t o ns y s t e m a n db e r r yp h a s e t h ea a p h a s ei nn o n - a d i a b a t i ca p p r o x i m a t i o ni si n t r o d u c e d a r e rb e r r yp h a s e t h e nt i m e d e p e n d e n ti n v a f i a n ti si n t r o d u c e da n dak i n do f m e t h o dt os o l v et h e s c h r i s d i n g e re q u a t i o ne x p l i c i t l y c a l l e d g a u g e t r a n s f o r m a t i o nm e t h o d o n c ea g a i nw ed i s c u s s e dt h eb e r r yp h a s ea n d t t 些! 坐! ! a h a r o n o v b o h me f f e c ta l o n gw i t ha d i a b a t i ca p p r o x i m a t i o n a tt h ee n do f t h i s c h a p t e rac o n c r e t ec a l c u l a t i o ne x a m p l eo fg a u g et r a n s f o r m a t i o ni sg i v e n i nc h a p t e r2o ft h i sp a p e r , t w oe x a m p l ea p p l y i n gg a u g et r a n s f o r m a t i o n f o rq u a n t u mg e o m e t r i cp h a s ei na d i a b a t i cc o n d i t i o na r eg i v e n ，w i t he x p l i c i t c a l c u l a t i o np r o c e s s t h et w oe x a m p l e si ss i m i l a ri no b j e c t st oc a l c u l a t e t h e y a r et w os t a t eq u a n t u ms y s t e me x p r e s s e di ns p h e r ec o o r d i n a t i o n i nc h a p t e r3a st h ee n do ft h i sp a p e r , c o n c l u s i o n sa n de x p e c t a t i o nb a s e d o nf o r e n a m e da n a l y s i si sg i v e n ，e s p e c i a l l yf o rg e o m e t r i cp h a s e sf e a t u r e s n l i sp a p e rg i v e saf u l la n de x p l i c i ta n a l y s i sf o rg e o m e t r i cp h a s e f r o m b a s i ct h e o r yt of a m i l i a rc a l c u l a t i o nm o d u l e si na r t i c l e s ，ef o c u so nt h e a p p l i c a t i o no fg a u g et r a n s f o r m a t i o nm e t h o dt og e o m e t r i cp h a s ec a l c u l a t i o n k e y w o r d s ：g e o m e t r i cp h a s e ；g a u g et r a n s f o r m a t i o n ； i i i 引言 引言 量子力学试图从微观层次上揭示物质的规律，经典力学中的力学量到了量子力 学全部变成了对波函数作用的算符，所谓算符就是对波函数的某种操作，比如时间平 移，空间平移等等，时间平移不变导致能量守恒，空间平移不变导致动量守恒等结论 都是在算符操作的基础上得出来的任何理论都需要实验的检验，实验的本质就是测 量，但是如果量子力学理论是正确，就可以进行一次虚拟的测量只要我们知道微观 粒子和环境相互作用的模型，比如哈密顿量，就可以根据算出的结论预告实际中可能 出现的结果，这就是理论的威力。 量子力学中最重要的就是波函数，波函数模的平方表示在x 点处发现动量为p 的 粒子的几率密度，是可观察量，从这一意义上来说波函数又被称为几率幅。波函数含 有一个相角，这一相角作为一个不可观察量，一般没有明确的物理意义，但是这一 相角却不总是可以忽略的，量子系统隐藏了许多信息，有些信息就是通过相角来表 示的。本文要做的就是计算出某些物理系统的波函数的表现形式并逐步揭示出特定 条件下量子力学波函数中不可被忽略的相角的含义。 量子力学中的几何相是在特定条件下显现出来的具有参数空间中的几何意义的 相位，几何相许多都是在绝热近似下得出来，本文采用的计算方法是正则规范变换， 本质上是三维空间中的一个转动变换，将任意指向的角动量变换到等价的z 轴方向， 相应地波函数也被变换到z 轴方向的本征波函数，变换的目的是为了简化计算结果， 并使计算结果具备可读性。 几何相的应用是很广泛的，i ：i ，立b 在量子计算领域中。绝热近似量子相位门是一 种便于操纵的量子门，优点是具有内在的容错性，但是操作需要的时间比较长，理 论上研究比较多的都是绝热近似下的几何相位量子门，这种量子门叫相移量子门。 如果理论上能推广到非绝热近似的几何相，无疑适用范围更广泛，非绝热近似结果 的绝热近似应该和绝热近似方法得到的结果一致。 本文中的几何相指的是非绝热近似的几何相，绝热几何相是对绝热近似条件下 得出的几何相的简称。 量子系统的几何相位 第一章基础理论 这一章主要讲的是基础理论，为后面的计算和讨论作了准备，主要内容是规范 变换，绝热近似和正则规范变换 第一节带电粒子在电磁场中的运动 11 1 经具力字中的电磁运动万崔 在经典力学中，一个质量为m ，电荷为e 的带电粒子在电磁场中的运动方程如下： m a v 一：p e + 旦v b ( 1 1 ) d tc 相应的拉格朗日量为： 三：! m y 2 一e + 旦a v( 1 2 ) 2 c 根据椅格朗日方稗及梯摩等运笪的表扶式 得到 要罢一罢：o ( 1 3 ) 西wa r 、 aaaa 瓦= e 。瓦+ e ，面+ e z 瓦 v v 毛毒坞参坞毒= 熹 v ( a b 1 = a v b + b v a + a v b + b v a v 。( a v ) = a ( 1 4 ) ( 1 5 ) ( 1 6 ) ( 1 7 ) v v ( v v ) = v v v + v v v + v x v v + v v v - 2 ( 圪寿+ 巧毒+ 一参) ( e ，k 坞巧坞屹) ( 1 8 ) = 2 ( e 。k + e y 巧+ c z k ) = 2 v 塑二童圣! ! 堡鲨 一一 一 v 。v 。：( e ，以嵋巧鸲k ) ( e ，毒坞参+ e ：番) 斗膨旦o v 一。矿。旦。v 。v h e ：巧参媳巧毒川e r 屹参吨_ “专， 毛c k 。嘉y 一壶- m z 形蠹一_ x 表慷c 巧参一t 。旁 v v 、，v = 瞳c 匕! 参一巧壶m ，c 圪蠹一圪毒m 孵参一屹。专州1 - l 0 ) 。( e ，圪+ e ，巧+ e ：圪) = 一2 ( e ，k 1 + e y v y 1 + e = k 。1 ) 2 0 从而 v r v - 幢杀坞品坞参喊” e 黝i o n _ 1 1 v ，v - ( e ，昙嵋言螅参x ( e e 胪e 黝= o v ( v v ) = v v ，v + v v ，v + v v ，v + v x vx v = o v ，( a v ) = a v ，v + v v ，a + a v t v 十v v r a = v v ，a + v x v ，a 丝；洲+ 兰a a v c 。l ，= _ e vr 矿+ 昙v v ，a + e 。v v r a 旦熹一丝：盟+ 鬲ed a 瑚庐一詈v v r a - m昙v 艰心o d t a r d t d t 一= 一十一7 # r w c c 。 用百d v = e ( - r e i i d a + 三v 艰xa - e e + 三v x b 得到正则动量p 的表达式 p ：熹训+ 其中v 2 去c 卜 a n c m o 得到哈密顿量的表达式 ( 1 1 2 ) ( 1 1 3 ) ( 1 1 4 ) ( 1 1 5 ) ( 1 1 6 ) ( i 1 7 ) ( 1 1 8 ) ( 1 1 9 ) 量子系统的几何相位 f p e a ) 2 h = v p 一上= l 一+ p 西 z m 如果认为哈密顿量只是r ，p 的函数，有 e h x f = a p 童= 票 把( 1 2 1 ) 式中p 的表达式代入( 1 2 2 ) 式得 其中 从而得到 ( 1 2 0 ) m x 。+ 三4( 1 2 1 ) c ( 1 2 2 ) 聊i 2 詈譬+ 筹i + 塑0 x j j + 筹乏) = 一e 筹+ 毫坞t 鸲赫c e ：詈坞瓦0 a i 坞嚣， z 。， 川i ：p ( - v o 一! 譬) + 兰( v 。v ，。a ) c 研c c v v ，删。巧等+ 噔一喏一k 差 ( v v ，a ) = k 警+ k i o a k 一i 0 a j k 挈 ( 1 2 4 ) 。 呶jm l 呶t礅t ( v x x 7x a ) k = 巧警+ k 差一筹一巧罄 肌；：p e + _ e v b ( 1 2 5 ) 这样就分别从上和得到了得到了经典力学中电磁场带电粒子的运动方程其中 最重要的是( 1 2 0 ) 式，也就是和量子力学形式一致的电磁场中哈密顿量的表达式 1 1 2 量子力学中的电磁运动方程及规范不变陛 经典力学中可以用e ，b 或者a ，矿来表示电磁场的运动方程，但到了量子力学， 电磁场的运动方程只能用a ，妒来表示，a ，更基本，可以直接在算符作用下变换 写出单位带电粒子在电磁场中的薛定谔方程， 得 宰 第一章基础理论 疏掣：舯 ( 1 2 6 ) 西 其中的哈密顿算符必须写成( 1 2 0 ) 式量子化( 算符化) 的形式 一：( p 上- - ea ) 2 h + b 莎( 1 2 7 ) = 一+ 甜 ( 1 2 7 ) 2 m 其中耷：一i h v ，( 1 2 7 ) 式只含a 和经典力学中的动量被量子化成了一个算符，耷不 再是一个可观察量薛定谔方程( 1 _ 2 6 ) 的波函数解有一个相角不确定性，不确定的相 角通过规范变换被吸收掉不会导致波函数模的平方的变化下面讨论薛定谔方程在 定域规范变换下的不变性，一般来说规范变换的形式是 a 呻a a + v z ，斗1 = + 孥 ( 1 2 8 ) 甜 如果不显含时间 a 斗a = a + v z ，一。= 庐 ( 1 2 9 ) 我们要求薛定谔方程( 1 2 6 ) 在规范变换( 1 2 9 ) 下具有形式不变性，只要波函数相应 地做如下变换“3 v 斗甲= we x p 咩z ( 1 3 0 ) n c 方程就变为 梳翌：士( 耷一旦a ) 2 + e ( 1 3 1 ) a t 。2 m 、c ( 1 3 1 ) 式和( 1 2 6 式) 完全等价，对矢势的规范变换被吸收进了波函数的相角 现在证明上述结论，把( 1 3 0 ) 式代入( 1 3 1 ) 式得到 ( _ 访v 一堕) 、壬，。：( 一f v 一坠一三v z ) 甲e x p 兰州： cccn c ( - i 壳v 甲一等甲) e x p 秀朋+ ( 嘲毫v 们一甲e x p 秀i e 纠 ( 13 2 ) ：( - i h v t 一坠v ) e x i e c门c 堑型塑丛l ( - i v 一! 舍) 2 、王，= ( 一访v 垒一e v z ) ( 一访v l 壬，一旦叁甲) e x p 降明= ( 一a 2 v 2 甲+ ( 一 2 v t l _ ev hc z)。+(堕堕v甲，hc7 。l 、c ， + 学掣v 面i ev z ”等v 岍( 警v 庐盼+ 等甲 ( 13 3 ) + 等v 槐) e x p 兰小( 剃啪等w + 7 e 2 a 2y 删i i e f i g 2州0 r。，y l ，cj = ( 确v 一等) 2 甲】e x p 岜捌 肮詈娟詈e 冲勃= 去c 耷一吲 = “确v 一等) 2 甲+ e 妒) e x p 【兰别 两边消去e x p 秀础得孙6 百d t = 去( f 壳v 一詈a ) 2 + 印 疗c 研聊、 。r j l 可见薛定谔方程在不含时规范变换下形式是不变的，定态薛定谔方程 一( 一i h v 一三a ) 2 甲+ v t ：e t 2 , q c 的形式解可以写成 ( 1 3 4 ) ( 1 3 5 ) ( x ) = y 妒( x ) e x p 景f 5 a ( x ) 出。 ( 1 3 6 ) 其中s ( x ) 是端点在x 的线积分路径，而缈( 。( 。) 满足方程 寺( 确v ) 2 ( x ) + v v ( x ) = 印( x )( 1 3 7 ) 证明的过程和证明薛定谔方程的规范不变性类似，如果想调制波函数的相位，可以进 行一个a 变换，a 不是直接可观察量，什么时候a 导致的物理效应才是可观察的呢? 第二节a bf a - j 题_ 1 2 1 a h a r o n o v b o h m 效应 如果在一个磁场区域中，b o 时一定具有可观察效应，不能区分是b 还是a 导 致的可观察效应，考虑b = 0 i _ 日a 0 的区域，看看此时是否有可观察效应 6 兰二兰垩型堡堡 设有一个沿z 轴方向的磁场，环绕z 轴存在a = 杀e ，环绕z 轴一周的路径积分 叮a 饥= f ( v a ) d s = ( i = o 上面讲的是穿过闭合路径磁通量的定义，下面在柱坐标系中验证一下 ( 1 3 8 ) c l l = d p + e ：d z 十e 口p d 妒 aaa v 础一历+ e z 瓦托一面 v 一，杀：鲁a + e ，x - a as 9 ) v c 杀易岛叼鸲鲁c 南叫坞去c 毒u 堡a 妒e p - 2 z 巾c p - - - - t e ：+ o + 砖。：l o 州, p o 胪。) 很明显，根据( 1 3 9 式) 最后得到的结果( 1 3 8 ) 式在柱坐标系的积分结果是中下面讲 一下d i r a c 不可积相因子的概念 在只有常磁场( 不依赖时间t ) 的时候，如取a = a ( r ) ，= 0 ，则含时s e 可以写为 捕旦、壬，：一1 悖一e a ) 2 、壬， ( 1 _ 4 0 ) 甲永远可以写成甲= e x p 嚣ci a 饥f “，其中甲。满足方程 兢旦o t 甲。= 上2 m p 2 甲。 ( 1 4 1 ) e x p 曩ci a 胡 习惯上被称为d i r a cn n n n n 子，叫它不可积相因子的原因是积分 值不固定，和积分路径的取法有关“1 下面讲a b 问题 根据前面的设定a = 旦 e 。, d i r a c 相因子e x p 云ci a 2 7 9 0h c 棚 的值为 e x p 秀i ej , 芴。，啡，j ：e x p 【_ i e 瓦1 。纠? h ce x p f ( o = e x p i a ! 纠 ( 1 4 2 ) 其中i f f 。0 = 丝e 是磁通的量子单位 鎏塑塾塑塑垡 一 设电子枪s 出来的电子束流经过双缝后被分成两部分，一部分沿路径1 运动，另 一部分沿路径2 运动，然后它们在双缝后面的屏幕会合，发生干涉，干涉条纹的出现证 明电子的波动性： 牝即岭甲 e x p 【薏i a a 1 + 甲妒e x p i t e 。 a 侧 门c “ 。 疗r 啦 。 2 e x i 罢l 枷肼p e 冲尝p 胡一去j a 础 一p 熹f a 础甲卜岬、 e 也t h c ，f j 删】) 1 _ 4 3 2 e x p 。蠢ja 胡】( 甲f + 甲pe x p i 2 z c a ) w 1 2 l 、壬，( o 1 2 + l 、壬，尹1 2 + v l 。、王，字e “”+ v l ”甲尹一z 一 ( 1 4 4 ) 其中甜称磁通量子数，如果两条路径是对称的i e iw 。1 2 = | 甲：i o j1 2 = 1 甲pi z j 甲2 2 1 r ( 1 + c o s 2 z r c r ) ( 1 4 5 ) 当a 是整数的时候，无观察效应，这时e x p 秀f a 洲= e x p i 甜纠导致了一种规范变换 、壬，= 甲。p2 ”斗甲= 、壬，护” ( 1 4 6 ) 这种规范变换称奇异规范变换，之所以是奇异的，是因为它和口的值有关，是特殊条 l - z zu ir a c 慨早微 假设在北磁极有一个带电为g 的粒子，使用球坐标描述，从点出来的磁感应 强度是b = 7 qe ，这就是磁单极模型，磁力线被无限拉伸，有去无回，像几何中的射线 在这个磁场中，一粒子会受到r ，0 ，妒三个方向的作用，成正交系： d 1 2 e j r + e 日r d o + e p rs i n o d 妒 ( 1 4 7 ) 肚e ，鲁堍去坞志 ma s ， 。= r s i n o e o l ”了q ，2 却= 4 丌g ( 1 4 9 ) 中是从g 流出来的磁通量根据v a = 罟e ，和( 1 4 9 ) 式得出a 的一个可能的值： 第一章基础理论 a = 鬲q 磊s i n 而o e ， (150)cos，f 1 +们 当0 斗石时，a 寸。，形成一条奇异线，奇异线的方程就是0 ：丌微分几何可以证明 找不到满足( 1 4 9 ) 式的无奇异线的a 的表达式如果奇异线无观察效应，上面的就是 完全的磁单极模型 疗= 去( 声一，访詈= 觚甲钱e x p 羔j 删 ( 15 1 ) 绕奇异线( s t r i n g ) 0 = 口的环流积分 训i ec 岬q s i n 0 。，s i 删妒= 罢叮( 1 - c o s 0 脚o 一= 瓦i e q4 万= 等= f 2 嬲( 1 5 2 ) 口：。( 整数) 无观察效应，絮里：n 是d i r a c 量子化条件，更明显的表达式驴：盟 2 利用奇异规范变换 a 一志e ，= 警e ， s s ， 可以移动奇异线( s t r i n g ) 位置到0 = 0 第三节含时系统动力学和相位 1 3 1b e rr y 十目1 互 当疗显含时间时，i d h = 百o h + 去 疗，膏】。，膏不是守恒量类比薛定谔方程 h 1 e ) = e i e ，汤丢= 宣，陬r ) ) = 协x p 詈f 鼬 ( 1 5 4 ) 假设存在瞬时本征态 h ( f ) i e ( f ) ) = e ( t ) l e ( t ) ) ( 1 _ 5 5 ) 设含时薛定谔方程的形式解为 i 甲s ( f ) ) = l 。) ) e x p h f e ( f ) a t 。 ( 1 5 6 ) 量子系统的几何相位 把( 1 5 6 ) 式4 弋x 访丢1 甲撕) ) 得到 捕景陬r ) ) 硼嗉) 印瑚删r ) 阳f ) ) ( 1 _ 5 7 ) 日( r ) 甲。( r ) ) = e ( 圳甲。( f ) ) 倪明l 1 b 6 ) 孔1 、悬吝h j 目旱疋片力桂州胖 含时薛定谔方程的解有如下形式，当存在瞬时本征态i 订( f ) ) 时， h ( r ) l n ( f ) ) = e ( r ) h ( f ) ) ( 1 5 8 ) s e 方程珐丢l 甲( ，) ) = 疗( r ) j 掣( f ) ) 的解可以表示成瞬时本征态的叠加 ) 2 莓g ( 啾) ) ( 1 5 9 ) 把( 1 5 9 ) 式代入薛定谔方程得到 砌；( 6 n i 酬+ c 。珈d ，) ) ) 3 车e e ) ( 1 6 0 ) 两边内乘( 珊o ) i 利用( n ( f ) l m ( ，) ) = 反。得到 访6 。+ 疏莓e ( 州( r ) 丢i 砸) ) = g 吃 ( - e t ) 绝热近似的定义是( m ( f ) 罢卜( f ) ) = 。，当晰”的时候( 1 6 1 ) 式在绝热近似下变成 腩。+ 疏c 卅( 聊( 。丢卜( r ) ) = g 乜 嘶一等如，珈怔 me z ， c 卅( r ) = e x p 卜丢f 瓦( r ) 西一f ( 肌( r ) 丢卜( ，) ) 出 q ( 。) 令f ( 坍c r 。，昙卜c 幻) 出。= 帆，是实数，( 脚c 。去卜c r ，) 是纯虚数，证明如下 呱 扣 d 一衍 呱 d 一出 、r弋 l 厂呻 呻去 d 一衍 呱 扣刮 第一章基础理论 实部等于。，所以( m ( r ) 丢卜( r ) ) 是纯虚数 通过参数月( ，) 含时，有周期性月( ，) = 月p + ，) ，表示成了参量矗的函数，口) 就是绝热近似下的b e r r y 相位，慢参量r 经过时间t 还原 ( 耻r ( m ( 鼬) ) 署l m ( r ) 卜叫每( m ( r ) v 。i 啪( r ) ) 扭 叫f c v 。( 嘶( r ) v 。im ( r ) ) l - d s 瑚蜘笋躲 一z j 【昙( m 昙j 脚) 一品( m 丢l m d z a y e 。， 一z 去( 聊丢l m ) 一昙( m 丢l m ) 一 叫f 刍( m 去i 肌) 一壶( 研昙i m ) ，d y d x 13 2a k , 柞1 1 立 时问平移变换的定义是 于l 甲( f ) ) = l 甲o + 丁) ) ，于_ 1 1 甲( f ) ) = 1 甲。一丁) ) 根据( 1 6 5 ) 式的定义对疗( f ) i 甲( f ) ) 进行时间平移变换 于( 膏( r ) l 甲( f ) ) ) = 荫( f ) 于1 于l 甲( f ) ) = t h ( t ) t 一1i 甲o + r ) ) = 膏( f + r ) i 甲o + r ) ) ，得出f 诗( r ) 于= 疗o + 丁) 如果曹有时间平移不变性 衍( f ) 一= 青( f + 丁) = 西( r ) z 自( f ) 一疗o ) 于= 于，膏】= 0 于和膏有共同的本征态 疗f z ) = 毛于l 五) = 五协于2 f 五) = 咒2 协 刘五) = 协叫 ) = 去协( l 五) = l f ( 五p + ”丁) l o + 订丁) ) = l l ”( 旯( r ) i 丑( r ) ) = l 丑i ”，a l1 l ( ( t + n t - 1 ) l 旯( t + n t - 1 ) ) = i 去i “( 丑o ) 1 a ( r ) ) = l 去i ”，五1 j 2 只有i 五 1 的时候上两式才能同时成立，即兄：p m 初态是i 甲( f ) ) = e 。l “( f ) ) ，经过一个周期以后l “( f + 丁) ) = l “( r ) ) ，p ( r + 丁) = 目( f ) + 曰( r ) 啪 q n n q i ! i 堡竺堕些盟塑竺 于1 w q ) ) = e i a o + t ) + 印) = g ”e 刚) ) = e j a ( n f 甲o ) )( 1 6 9 ) 经过一个周期以后回复到原量子态，但多出来一 e ”( ”，这个e 一( r 就包括了a a 相位 这样描述a a 相位可能不大好理解，下面概括下 归一化的波函数张成一个希尔伯特空间，去掉相角自由度的波函数张成一个投影 的希尔伯特空间，在这个投影的希尔伯特空间中只差一个相位的态将被视为等同的 态，这个空间在球坐标中是一个由两个实参数标记的单位球面，在自旋问题中叫布洛 赫球面 假设投影希尔伯特空间中的态矢量从时间，开始经过时问丁后回复 7 = j w ( t ) ) = j 甲( f 十d ) = p 。叮j w ( o ) e * e ( r ) = e x p l - m i 、 ”( 甲( f 。) 1 日( f ) l 甲( f 。) ) 讲+ 一f ”( “c r 。，j 暑j “c r 。，) 出。，。， = e x p i ( 8 + 卢) ， ” 拈一几哪+ 胭o 。胛) ) 出。肛7 “j 暑m r 。) ) 西 其中占叫做动力学相，卢称为几何相或者h h a r o n o v a n a d a n ( a a ) 相或者非绝热的 1 3 3 苗盯小变量 含时不变量的定义，如果存在一个厄米不变量，t ：满足 筹= 扣肌豢：。 ， 疗和7 都是含时的_ j 称为含时不变量，满足，f p ) ) = 五f ( f ) ) ，其中等= 。， 是 守恒量证明如下。1 ： 引 ( ，) ) = f 毛( f ) )( 1 7 2 ) 两边微分得 孙) + j 舢( f ) ) 一d 22 ( r ) ) + 以舢) ( 1 _ 7 3 ) 左乘( a 。( 圳得 滴( 旯。_ ) l 豢i ( f ) ) + ( 五一五) ( 。) l 膏i 九( ，) ) = o ( 1 7 4 ) 第一章基础理论 当五。= a 时由( 1 7 4 ) 式得 ( 乃( f ) 0 12 。( f ) ) = o ( 1 - 7 5 ) 式中的i l 和e l 可以相等也可以不相等，从而 訾= ( 啪) 训0 12 水) ) = o ( 1 7 6 ) 式就是要求的结果 含时不变量本征态变换下的薛定谔方程具有规范不变性 示成含时不变量本征态的叠加 、 ，( f ) ) = c 。( o i l ( o ) ( 1 7 5 ) ( 1 7 6 ) 说明如下将波函数表 ( 1 7 7 ) 式代入疏丢l 甲p ) ) = 矗i 甲( r ) ) 得 f 壳莓 毫( 。i 无( r ) ) + e ( 。丢i 五( f ) ) 】2 莓e ( f ) 膏l 以( f ) ) 左乘( 九( f ) l 得 捕g + i h z 。c o ( f ) ( 啪) l i d f r l z o ( r ) ) o h一。， 墼：o t 弋a ( 1 7 3 ) 式得 a r t ( 一旬舢( r ) ) = 堕o t ( 1 8 0 ) 式左乘( 九( f ) i 得到 c 以一九，( 厶c 驯鲁l 九c r ，) = ( 厶c 驯芸l c 幻) 地以) ( 啪) 去膏r ) ) 如果m n ，( 1 8 1 ) 式得到 ( 删丢一扣= 。 从而( 1 7 9 ) 式可以化简为 ( 1 7 7 ) ( 1 7 8 ) ( 1 7 9 ) ( 1 8 0 ) ( 1 8 1 ) ( 1 8 2 ) 量子系统的几何相位 崩c o + i h 啪) ( 啪) i 瓦d 一9 14 ( r ) ) = 。 ( 1 8 3 ) 从( 1 8 3 ) 式得到c m ( f ) 的解为 e ，：e e x p 卜去f ( 厶( f ) l 疗( ，。) i 九( r 。) ) 】巴( o ) 2e 叫巳( o ) ( 1 8 4 ) 其中 = z f ( 啪) i 鲁) ) 出。矧垆一去f ( 啪+ 帕m ) ) 出，( 1 8 5 ) 当i ( f ) ) 斗l 五( ，) ) = e i 乃( r ) ) 时，墒昙旧( f ) ) = 膏j 元( f ) ) ，说明( f ) 是规范变换的 1 34 含时规范变换 已知薛定谔方程 捕丢) = 疗) ( 1 8 6 ) 对茸街如下蛮捶 i ( f ) ) = r + ( f ) i 缈。( f ) ) ( 1 - 8 7 其中盖+ 盖= 1 ，我们要做的是找出一个满足方程 访丢) ) 甜) ) ( 1 8 8 ) 的膏1 ，这个疗盖由1 盖+ 把( 1 8 7 ) 式代入( 1 8 6 ) 式得 谢掣) m 蜘趴r ) 扣r ) ) 磁m ) ) ( 18 9 ) 疏丢) ) = 鳓越) 访( 盖昙五w ) ) ) ) 正则变换的定义就是 守( f ) 甜赫确( 衄) ) ( 19 0 ) 杪( f ) ) = r ( t ) l v ( t ) ) 正则变换本质上是一组满足薛定谔方程的幺正变换 求薛定谔方程精确解的方法：构造一个盖( r ) ，膏_ | e ) = 毛( f ) i e ) ，l 瓦) 不显含时 第一章基础理论 间，五dl e 。) = 。能量本征方程的特解 波函数表示成能量本征态的叠加 求方程组 得到 。一扣f 州i e ) ( 1 9 1 ) l 、壬r ( r ) ) ：z c n e 一汀“河e ) = e - 汀肌计e l e ) = e j 州7 砂i 甲( o ) ) ，i 甲。( f ) ) = d ( t ) 1 w 。( o ) ) ( 1 9 2 ) d 0 ) ：。_ 击p 一冲1 称时间演化算符 卜丢l 邺) ) = 膏u ) l 唧) ) l 【i v ( o ) = d ( f ) l 甲( o ) )j ( 1 9 3 ) i 甲( f ) ) = 盖+ ( t ) 1 w 1 ( f ) ) = 盖+ u ) u ( f ) p ( o ) ) = 盖+ ( f ) u 1 ( r ) 孟( o ) i 、壬，( o ) ) ，1 甲( r ) ) = 盖+ ( f ) u 。( f ) 盖( o ) i 、壬，( o ) ) d ( ) ：孟+ ( r ) u o ) 五( 。) ：孟+ o 一；r 疗( r ) m 盖( 。) ( 1 _ 9 4 ) = 盖+ ( r ) p i 【五( f 。) 疗( r ) 一( f 1 ) 一i ( ( 。) 鲁矗+ ( f ) ) 1 曲。盖( o ) 第四节微扰和绝热近似 1 4 1 再论a h ar o n o v b o h m 效应 d i r a c 相位的概念，在规范变换 f a 斗a = a + v z 卜中等一瓴。f q 9 5 下，e = - v 一吉警l ，作用量s _ s ，占s ：占s ：。，电磁场的薛定谔方程 吣b v x a 】 量于系统的几何相位 访昙v = 岛( m v 一。q - - a ) 2 + q 俨 i ha _ 甲： l ( 一i h v 一里a ) 2 + g 痧】甲 o t2 m 、c 1。 ( 1 9 6 ) 其中、壬，：、王，e 云7 ，i 甲。1 2 ：| 甲1 2 ，p 孟。称d i r a c p h a s e 下面再次讨论一下a h a r o n o v b o h m 效应，设电子枪s 出来的电子束流经过双缝 后被分成两部分，一部分沿路径1 运动，另一部分沿路径2 运动，然后它们在双缝后面 的屏幕会合，发生干涉，路径1 和路径2 对称，电子枪点源到双缝的距离都是d o ，双缝 之间的距离是占，双缝到汇聚屏的距离是l ，从上面的缝到汇聚点的距离是d l ，从下 面的缝到汇聚点的距离是吐从双缝的中点到汇聚点的连线相对于水平线的夹角是 占，汇聚点到汇聚屏上中间分隔线的距离是5 双缝后面没有螺线管的时候，整个空间b = 0 ，且a = 0 ，汇聚点的波函数 、壬，( r ) 甲1 ( r ) + 甲2 ( r ) ( 1 9 7 ) 粒子沿路径1 的时候，已知自由粒子的波函数 甲( r ，f ) = ( 2 n h ) 2e x p 巴( p r - e t ) ( 1 9 8 ) 其中 p ：h k ：a 挈：_ 2 n ：h ( 1 9 9 ) l 以 这时沿路径1 的粒子的相位e x p 唼r 出专p r e x p 【f 三争+ f 兰孚 ，沿路径2 的粒子 的相位e x p 唼f 2 出i 1p - r e x p f 呈孚+ f 三孚】，汇聚点的相位差 e x p 【i2 ： r ，d z i2 a ， d 1 _ = e x p ( i 车( d 2 一d 1 ) ) ( 1 1 0 0 ) l ( 1 9 7 ) 式变为 甲( r ) 甲。 1 + e x p 罢三( 吐一而) ( 1 1 0 1 ) 甲。是电子枪发射口的波函数，也就是初始源的波函数 一 一兰= 兰苎! ! 堡堡 i 甲( r ) 1 2 iw 。1 2 1 + c x p ( 竿( d 2 一扪 1 + e x p ( 一竿( d 2 一吐) ) 】 卜+ c o ：。k 华- - z - - j ) i j ：jl“五万菇(1102)21t(1+cos4 1 t c o s 2i 甲( r ) 1 2 。1 22 ”生) ： 。l z万生罩 ，l一 咖m 秒1j “厨+ 萼厮= 厨+ ( 1 1 0 3 ) 吐= r + ( s 一丢巧) 2 以仃了一等仃了：厄i 一要。i n 臼( 1 1 0 4 ) z 2 所以汇聚屏上粒子的强度 邶) 4