（概率论与数理统计专业论文）the+expectation+of+aggregate+discounted+dividends+for+an+erlang+n+risk+process+perturbed+by+diffusion.pdf

摘要 d ef i n e t t i 在1 9 5 7 年提出了关于= 项模型的分红策略问题在许多论文和著作 中，对复合普哇松风险模型研究了更一般分红策略同题，其中这些研究包括。s e g e r d a h l ( 1 9 7 0 ) ，g e r b e r ( 1 9 7 3 ，1 9 7 9 ，1 9 8 1 ) ，p a u l 8 衄和q e s s i “g ( 1 9 9 7 ) ，a l b r e e 呐r 和b i n h o 妇 ( 2 0 0 2 ) 最近，l i 和g a r r i d o ( 2 0 0 4 ) 考虑了带有常数分红壁一类更新风险模型，研究了 它的g e r i ) 咀_ s t 曲惩罚函数并且给出了详细的表达 本论文中，主要研究了期望折现分红问题在第三部分，我们应用g e r b c r 和 s h i u ( 0 4 ) 的分红策略研究丁e r l a n g ( 2 ) 风险模型的期望折扣分红，其中这种分红策 略为当余额过程超过规定的常数分红壁时，余额将接一定的比例进行分红在第四 部分，应用同样的分红策略研究了更广泛的带扰动的e r l a n g ( n ) 风险模型事实上，l i 和g 盯r i d o ( 2 0 0 5 ) 已经考虑了这种模型，并研究了它的g e r b 盯s h i u 惩罚函数在这两 部分里，我们取得了期望折现分红满足积分一微分方程，并且他们的解髓够详细的表 达为卷积公式最后。我们应用这些结果到指数索赔，取得了更加简单的表达 关键词te r l a “g ( n ) ；期望折现分红；破产日寸；g 印e r a u z e dl u n d b e r ge q u 砒l o ；边界策 略。 a b s t r a c t t h eb a r r i e rs t r a t e 科啪5i n i t 试l yp r o p o 刚b yd ef i n e t t i ( 1 9 5 7 ) f o rt h eb l _ n o m l a lm o d e l m o r eg e n e r 出b a i t i 盯s t r a t e 舀c sf 0 t 七h e p o u n dp o i s 8 0 nn s kp r o c e 8 s h a v eb e e ns t m i e di nan u i 工】b e r0 fp 印e r sa d db o o k s t h e s er e f e r e n c e si c l u d es e g e r d a h l ( 1 9 7 0 ) ，g e r b e r ( 1 9 7 3 ，1 9 7 9 ，1 9 8 1 ) ，p a u l 吕e n 盼dq e s s i n g ( 1 9 9 7 ) ，a l b r e c 抽ra n dh m h o f e r ( 2 0 0 2 ) r 船e 1 1 廿y ，f o r 既衄p l e ，“a n dg a r r i d o ( 2 0 0 4 ) c o 珊i d e r e dad 蝴o fr e n e w a lr i s k 埘d d e l sw i t hac o n 8 t a n td i v j d e n db a r r i e r a n dg a v ee x p l i c ha n a l y s i so ft h eg e r b e r s l l i u d i s c 。u n t e dp e i 出t ye u n c t i o l l i nt h i 8p a p e r ，w e 而l lm 越n l ys t u d yt h ee 砷e c t a 上i 。o ft 1 1 ed i 8 c o u t e dd i v i d c n d s i ne ；e c 石o n3 ，mc o n s i d c rt h ee x p e c t a t i o no f8 9 目弼a t ed i s c o u n t e dd i v i d e n d sf o rae r _ l a i i g ( 2 ) 出km 。d e l sw i t ht h ed i v i d e n db 町i e r8 t r a t e g y1 1 s e db yb yg e r b 竹a n ds h i u ( 2 0 0 4 ) ，i w h i 曲a8 u 印l u s 丑o w so u tp 8 r t h ( p r o p o r t i 0 i l a i l y ) w h e n 主t 剐a 百v e n c o n 吼a n tb a r r i 盯i ns e c t i 。n4 ，w e 缸t h e r 坤s t l l d i 偿bg e n e r l a l i z e de r l 8 工l g ( n ) r i s kp r o _ c c 8 8p e r t u r b e db y 蛐b i o nu n d e r 也es a 皿es t r a t e 醪i nf a c t il ia dg a r n d u f 2 0 0 5 ) h a w c o 工l s i d e r e dt h i sm o d e la n ds t u d i e dg e r b e r _ s h i ud i 8 c o u n t e dp e n “钾f u c t 0 n i nt h e t * 口s e 醴f o 廿s 帆o b 蚵n 曲甜n e 唧e c t 耐出s 。o u n 据d 击1 口d e 订出s a 硅痧s o m e 扬t 昭r 。_ d d b r e 工1 t 瑚e q l l a t i o n ，a n dw h 0 8 e8 0 1 u t i o n sc a nb ee x p r e s s e da sac o n v o l u t i o nf o r l l l u l a f i n 柏】hw ea p p l yt h e s er e 8 u l t st ot h ee x p 珊m i l t i b 】c l 撕c a s ea 1 1 do b t a i ns o m es i m p l e e x d r e s s e 8 k 俐d ie r l a n g ( ) ；酞p e c t e dd i 0 u n t e d d j 、r i d c n d s ；t i m e0 fr u m ；g e e r b l i z e d l u n d b e r ge q u a t i o n ib a n j 盯s 七r a t e g y 1 i n t r o d u c t i o n m u c ho f t h el i t e r a t u r eo r u i nt h e o r yi sc o n c e n t r a t e do nt h ec l a s s i c a lr i s kh 1 0 d e l ， i nw h i c hc l a i m so c c u ra sap 0 i s s o np r o c e s s a n d e r 8 e n ( 1 9 5 7 ) l e t sc l a j 1 so c c u ra c r d i n g t oam o r eg e i l e r a lr e n e w 甜p r o c e s sa n dd e r i v e sa ni n t e f me q u a t i o nf o rt h ec o r r e s p o n d i n g r u i p r o b a b i h t ys i n c et h e ，r a n d o mw a l k sa n dq l l e u i n gm e 0 叮h 唧p r o v i d e dam o r e 鼯唧8 lf r 8 m e w o r k ，w h i 出h a 81 e dt oe x p l i c i tr e s u l t si i lt h ec a 8 ew h e t ew a j 七i n gt i m e so r c l a j ms e v e r i t i e sh a v ed i s t r i b u t i o n sr e l a t e dt ot h ee r l 舭唱a n dp h a s e - t y p e l ia 肛dg 盯r i d o ( 2 0 0 3 ) c o 璐i d e dar i s kp r o c e 鼹w i t hd a i mi i d i n t e r - 缸r i v a lt i m 髑 d i s t r i b u t e da se r l a i l g ( 札) ，n + ，e x t e n d i gt h ec l a s s i c a lr i s km o d e la n dt b ee 卜 l a n g ( 2 ) m o d e lo fd i c k s o n ( 1 9 9 8 ) ，d i d 【s o n8 n dh i p p ( 1 9 9 8 ，2 0 0 1 ) a n dc h e n ga n d i 缸g ( 2 0 0 3 ) g e r b e ra n ds h i u ( 2 0 0 3 a b ) f l l r t h e re ) ( t e dt h et h e o r yt og e n e r a l i z e de r l a n g ( n ) w a j t i n gt i m e 8 ( i e d i s t r i b u t i o ni s t h ec o n v o l u t i o no fn e x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i 0 s ，w i t h p 0 8 s i b l yd i f f e r e n tp a r 锄e t e r s ) t h ec l a 踌i c a 王r i s km o d e lp e r t l l r b e db yad i 任u s i o nw a s 矗r s ti n t r o d u c e db yg e r b e r ( 1 9 7 0 ) a n dh a sb e e nf l l r t h e rs t u d i e db ym 衄ya u t h o r 8d 曲gt h ek 哦f e wy e a 馘 e g d u 丘e s n ea n dg e r b e r ( 1 9 9 1 ) ，n l r r e ra 皿ds c h m i d u ( 1 9 9 4 ) ，s c l l 埘l i ( 1 9 9 5 ) ，g e r - b e ra n dl a n d r y ( 1 9 9 8 ) ，w a n ga n d m ( 2 0 0 0 ) ，w a n g ( 2 0 0 1 ) ，t s a i ( 2 0 0 l ，2 0 0 3 ) ，t s 出 a n dw n h n o t ( 2 0 0 2 a ，b ) ，z h a d ga n dw a n g ( 2 0 0 3 ) ，c h i ua n dy i n ( 2 0 0 3 ) a n dt h er e f e r _ e n c e st h e r e i n m 咖t l y il ia n dg 舭r i d o ( 2 0 0 5 ) c o n s i d e rt h ee ) p e c t e dd i s c o l l l l t e dp e n a l t y f i l n c t i o nf o ras p 黜a n d e r 8 0 nr i 8 kp r c c e s sp e r t l l | b e db yad i 在h s i o n 7 r h eb a 埘e rs 七嘲w 嬲i m i a l l yp r o p o s e db yd ef i n e t t i ( 1 9 5 7 ) f o rt h eb i n o l i 8 1 m o d e l m o r eg e ：n 艘a lk u 如s 乇r & t e 舀e bl d r 也e 伽砸p a l m dp o j s s o n 矗8 kp r o c 嘴sh a v e b 咖8 t l l d j e di nan l 珊i b 凹0 fp a p e r sa n db o o b t h e 鼬r e 6 背e n c e si n d u d es e g e r d a h l ( 1 9 7 0 ) ，g e r b e r ( 1 9 7 3 ，1 9 7 9 ，1 9 8 1 ) ，p a 肚棚8 n dg j 嘲i n g ( 1 9 9 7 ) ，a l b r 优h e ra n dk a j h o 勋 ( 2 0 0 2 ) 髓啪n y f o r 唧l e ，l i a n d g 缸r i d o ( 2 0 0 4 ) c o n 8 i d e r e da c l 8 鼹r e n e w 8 lr 斌 m o d 出丽t hac 0 衄t a n td i v i d e n db a 州e r ，a n dg 帅唧】j c j ta n a l y s i so ft h eg e r b e r - s h i u d j s ( 幻t i n t e dp e n 8 l t yf i 】| n c 协姐 i t h i sp a p e r ，w ew 丑lm 越n l ys t u d yt h ee x p e c t a t i o n t h ed i s c o u n t e dd i v i d e n d s i n s e c t i o n2 ，w ec o n s i d e r t h e 唧e c t a t i o n0 fa 嚣r e g a t e 出s c o u t e dd i 、，i d e n d sf o rae r l a n g ( 2 ) r i s km o d e l sw t h ed m d e n db a r r i e r8 t r a t e 斟1 l s e db yb yg e r b e ra ds h i u ( 2 0 0 4 ) ，i n w h i c l las u r p l l l s 丑a w s0 u tp 眦l y ( p r o p o r t i o n 越i y ) w h e ni te ) c c e e da 舀v e nc o n 8 t a n t b a 卜 r i e r i ns e c t i o n3 ，w e 缸t h e r l ys t u d i e sag e n e r l a h z e de r k 培( n ) r i s kp r o c e s sp e r t u r b e d b yd i i h l s i o nc o n s i d e r e db y “a dg a r i i d o ( 2 0 0 5 ) u n d e rt h es a m es t r a t e 阱 1 2 m o d e ld e s c r i p t i o na n dn o t a t i o n s l e t ( q ，f ，p ) b eac o m p l e t ep r o b a b i h t ys p a c ec 0 t a i n i n ga l lo b j e c t sd e 丘n e da t t h e 五d l l o 而g w ec 0 i l s i d e rac o m p a n y 谢t hi n i t i a ls u r p l u so re q l l i t y 缸 o i fn o 出访d e n d 8w e r ep 越d ，t h es u r p l l l 8a tt i 把tw o u hb e ( t ) u ( t ) = “十d 一磊+ 口b ( ) ， ( 2 1 ) k = 1 w h e r eci 8t h ep o s i t i v ec o n 8 t a tp r e i l l i u mi n m er a t e ；玩i sas e q u e n c eo fn o n n e g a t i v e t f dr a n d o mv a d a b l e s ； ( t ) ，t o i sao r d i n 盯yr e n e w a | m o d e l ，a m e l y ，t h ei n t e _ r o c c u r r e n c et i m e 正b e t w e e n “一1 ) 冼a n di 地c l 越l s ，a r em o d e l e da sas e q u e n c eo f 血d e p e n d l j 玎七8 n di d 瑚1 t i c 8 l l yd i s t d b u t e dr a n d o m 娜a b k s w e 鹪s u 始u l a 七t h ew 8 i t i n 蓝 t i m e s 丑h a wac o m m o ng e n e r a 王i z e de r l 8 n g ( 扎) d i s t r i b u t i o n ，i e t h e 正8 坤d i s t r i b u t e d a st h es u mo fni n d 印e n d e n ta d d 唧。咀e n t i a l l yd i s t r i b u t e dr v s s 二垒w i 十w ；+ + w j w h e r et h ew jm a yh a v ed i f f e r e n te x p o n e n t i 越p a r 锄e t e r s 九 0 f i n a u y b ( t ) ：t 0 ) i 8as t a n d a mw i e n e rp r o c e s s 七h a ti si n d e p e n d e n to ft h e c o n l p o u do r d i 媳r yr e n e w a lp r o c e 8 ss ( t ) = 答五a n dt h ed i 8 p e r s i o np a r a l e t e r 仃 o f 、l r t h e 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l s p r o c e ， u ( t ) = u ( t ) 一d ( f ) ，( 2 2 ) l 吐6 0b et h ef o r c eo f i n t e r e s tf o rv a l u a t i o n ，w ec a ni n t e r p r e te z “一巧外a st h e ”d i s c o u m i gf 粕t o r ”l e tdd e n o t e 也ep r e s e n t 州u eo fa ud m d e i 出u t i lr u i ， d = e 。， ( 2 | 3 ) 2 、v h e r e t = i n f t o i 疗o ) o ) ， ( 2 t 4 ) i s t h e t i m eo fr u i n f o r t h e m o d m e dp r o c e s s w e l l s e t h es y m b o l y ( 札，6 ) ，o u 6 ，f o r t h ee x p e c t a t i o no f t h ed i s c o u n t e dd i v i d e d su n t i lr u i n ， y ( “，6 ) = e 【d i u ( o ) = 】 ( 2 5 ) i nt h i sp a p e r ，w ew i l lm a i n l ys t u d yt h e 既p e c t a t i o no ft h ed i s c o u n t e dd j v i d e n d s y ( u ，的i ns e c t i o 3 ，f o r e r l a n g ( 2 ) r i s k m o d e l ，i e 盯皇oa n dn = 2 ，w ed e r i v e t h a t ， a saf u n c t i o n0 fi n i t i a ls u r p l l l s “，y ( 钍，6 ) 8 a t i 曲e 8a ni n t e g r o d i 艉r e n t i a le q u a t i o n t h e n u 8 i 1 1 9s o m ei t e g r 出t r a i l s f o r mt e d l n i q u e s ，w ed e r i v e 甲h c i te x p r e s s i o n sf o ry ( u ，6 ) w e a p p l y 地e s er e s u l t 6t oe x p o n e n t i a ld a i 瑚c a s e ，a n d0 b t 撕ns o m es i m p l e 唧r e s s e s i n s e c t i o n4 ，f u r t h e r l y8 t u d i e sag e n e r l a l i z e de r l a n g ( n ) r i s kp r o 。e 8 8p e r t l l r b e db yd j 蹦0 n c 0 i l s i d e r e db yl i 彻l dg a r m o ( 2 0 0 5 ) u n d e rt h es 锄e8 t r a t e 科 t h en a t u r em t r 舶n 掣) o f u ( ) ) i s 掣= 仃( u ( s ) ，5 t ) f 0 rs t o p p i n gt i m e 下，b = 民：盯( 掣，t o l n r t ) f 尹，t 芝o ) t h e 广n ( 1d 触o t et h en f o l dc o n v o l u t i 0 o f ，( 谢t hi t s e l f 柚db yc o n v e n t i 0 ， w ed e 丑n e ，柏( z ) = d ( z ) ，w h e r ed ( z ) i sd i r a cd e l t af l m c t i o n ，a n d ”女”i 80 0 n v o h l t i o n o p e r a 七i o n t h r o u g h o u tt h i gs e c t i o ，a n dt h en e x t ，w ea s s u m et h a 七t h ec l 缸ms i z e szh 8 8a c o n t i n u o l l 8d e n 8 i t yf u n c t i o np ( = ) ，a n di sah g h t - t 蚰e dd i s t r m u t i o n 3e r 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， y ( “，6 ) = b l e 1 “+ b j e 也”+ 占e 一凰， 6 n d m y ( 6 t 6 ) = ( c 一) c ，w eg e t b 1 r l e n 6 + b 2 也e r 2 b b r e 一肋：三二! c f b m y ( 。o ，6 ) = ( c o ) 肛，w eh a v e 雷l = 岛= o t h i s i 8 ， y ( ，6 ) ：雪e 一凰+ 三；! ， 6 d u s i n g t h ec o t i n u i 蚵o f t h e f u n c t i o n y ( 钍，6 ) a t “= 6 ，w eh a v e ( 3 3 1 ) ( 3 3 2 ) ( 3 3 3 ) ( 3 3 4 ) 即1 6 + 岛一+ 弦。= 对岛+ 专竺 汹)