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一个新型杂交应力四边形有限元及其三维推广 计算数学专业 研究生童蓓蕾指导教师谢小平教授 基于修正的h e l l i n g e r r e i s s n e r 变分原理，利用w i l s o n 非协调位移和9 参完全线性应力模式，我们构造了一个 四结点杂交应力有限元。理论分析表明该单元与一个经 典的杂交元卞学璜和s u m i h a r a 于1 9 8 4 年提出的五 参数杂交应力四边形元( p s ) 等价。我们给出了该方法 的收敛性结果。基于同样的构造思想，我们将这一方法 推广到三维情形，其中位移采用三维w i l s o n 非协调插 值，应力采用两种2 7 参模式。二维和三维情形的数值 试验结果表明了方法的有效性。 关键词：有限元，杂交方法，h e l l i n g e r r e i s s n e r 变分原理 an e wl i n e a rs t r e s sh y b r i dq u a d r i l a t e r a lf i n i t ee l e m e n t a n di t st h r e e d i m e n s i o n a le x t e n s i o n m a j o r ：c o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s g r a d u a t e ：t o n gb e i l e i a d v i s o r ：p r o f x i ex i a o p i n g b a s e do nam o d i f i e dh e l l i n g e r r e i s s n e rp r i n c i p l e ， a4 - n o d e h y b r i d s t r e s s q u a d r i l a t e r a le l e m e n ti s p r e s e n t e db yu s i n g t h ew i i s o n s i n c o m p a t i b l e d i s p l a c e m e n t sa n da9 - p a r a m e t e rc o m p l e t e1 i n e a rs t r e s s m o d e t h e o r e t i c a la n a l y s i ss h o w st h a tt h i se l e m e n ti s e q u i v a l e n tt ot h ec l a s s i c a l5 - p a r a m e t e rh y b r i ds t r e s s e l e m e n t ( p s ) p r o p o s e db yp l a na n ds u m i h a r ai n1 9 8 4 c o n v e r g e n c ef o rt h i sm e t h o di sa n a l y z e d b yf o l l o w i n g t h es a m ei d e a t h ee l e m e n tc o n s t r u c t i o ni se x t e n d e dt o t h et h r e e d i m e n s i o n a lc a s e w h e r et h e t h r e e d i m e n s i o n a l w i i s o n si n c o m p a t i b l ed i s p l a c e m e n t sa n dt w ok i n d so f 2 7 一p a r a m e t e r s t r e s sm o d e sa r eu s e d n u m e r i c a l e x p e r i m e n t sf o rt w o a n dt h r e e 。d i m e n s i o n a lc a s e sa r e a l s od o n et oc o n f i r mt h ee f f e c t i v e n e s so ft h em e t h o d k e y w o r d s ：f i n i t ee l e m e n t ：m i x e d h y b r i dm e t h o d ， h e l l i n g e r r e i s s n e rp r i n c i p l e i i 四川大学硕士学位论文 声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及 取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得四 川大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的 同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢 意。 本学位论文成果是本人在四川大学读书期间在导师指导下取得的， 论文成果归四川大学所有，特此声明。 芬了 梦p 、静、7 、， 秘 舢惨 虚吁 降等 “ 佐 ， 1 引言 众所周知，标准4 一结点协调位移四边形元( q n ) 对材料屈曲问题和几乎不 可压缩材料的平面应变问题数值效果很差。为改进其数值性能，近二十年里发 展了几类应力应变杂交方法，例如基于h e l l i n g e r - r e i s s n e r 变分原理的假设应力 杂交方法 卜“ ，基于胡海昌鹫津久一曙变分原理的增强应力应变方法 6 ，以及基于组合杂交变分原理的假设应力杂交方法 5 7 等。 卞学璜和s u m i h a r a l 9 8 4 年提出的4 一结点四边形杂交应力有限元 3 ( 简 称p - s 元) 是这些方法中的杰出代表，具有如下的高性能：粗网格高精度，对 网格畸变不敏感，能避免p o i s s o n 闭锁现象，等。如今，p - s 元已被纳入通用 软件包，广泛应用于工程计算中。 二维情况时，p s 元的5 一参应力模式是通过弱自平衡条件 ( 1 1 ) i ，d i v r 犯= o ，v 西 和一个单元几何畸变约束导出的。其中- 表示假定的线性应力，证表示w i l s o n 内部位移，k 是任意四边形单元。 事实上，对于p s 的5 一参应力f 下面的关系式 也成立， ( 1 2 ) l p f 0 ) s ( 订) m = 0 ，v 西 其中“是f 的常数部分。 参考文献 1 ，1 1 已经证明了( 1 2 ) 隐含着如下关系： ( 1 3 ) f s 何) 把= t f 菇+ 可凼= d ( 磋) ，v 可， 在此，h 。表示单元k 的尺度，也就是说，p s 元的应力模式在w i l s o n 位移舌，( 见 1 ) 下是弱能量协调的。参考文献 1 2 通过能量协调条件( 1 3 ) 和秩条件给出 了p s 元的收敛性分析和弱闭锁性结论。当 专o ，p o i s s o ? ( 1 一c ) 2 时得到 能量范数意义下的一致收敛性结论，其中，c 是一个与y 无关的常数，h 是网 格尺寸( h = m a x h 。) ) 然而，正是由于应力条件( 1 2 ) 的限制，使得三维元素 所对应的应力分析公式变得很复杂或者根本得不到。因此我们有必要去推导一 种对2 、3 维问题都适用的、方便有效的应力模式。 在三维问题研究中，p i a n & t o n g 4 和c h e n & c h e u n g 8 应用应力限制条 婴型查兰堡主兰垡笙奎 件( 1 2 ) 分别得到一个8 结点高精度六面体元和建立一个加密的四边形平面元 r q 4 。 文献 1 3 讨论了4 结点杂交四边形的应力最优性问题，提出了一种高精度杂 交应力元e c q 4 。利用协调等参双线性( q 4 ) 位移和能量协调性条件 ( 1 4 ) l f s 眄) m = 0 ，v 可 建立了5 参协调应力模式，并证明t e c q 4 元与具有9 参线性应力元和w i l s o n 非协 调位移四边形l q 6 元的等价性。 本文基于修正的h e l l i n g e r - r e i s s n e r 变分原理，利用w i l s o n 非协调位移和9 参完全线性应力模式来构造一个四结点杂交应力有限元。理论分析将表明该单 元与卞学璜和s u m i h a r a 的p s 元等价。我们将讨论这一方法到三维情形的推广。 2 混合杂交有限元的一般形式 考虑线弹性问题： ( 2 1 )一d i v e r = 于，盯= d e ( 5 ) i nq ( 2 2 ) 盯元j n = 季，舀i r o = 0 其中q 仁r 2 为有界开集，其边界为a q = r l u f o 。磊= ，“，) 7 表示位移向量， 盯= ( c r l ，盯。，o 1 ：) 7 表示应力，占( 磊) = 去( v + v 7 ) 矗为应变，d 为弹性模量，于为 给定的体力，元和雷分别为r l 的单位外法向向量和给定的作用于其上的表面力。 与问题( 2 1 ) ( 2 2 ) 对应的区域分解h e l l i n g e r - r e i s s n e r 变分原理为： 求( 矿，矿) v 6 x u 6 使得： ( 2 3 ) n ( 口6 ，磊6 ) 2 ，i 。n u f 。s 。u p n ( f ，f ) ， 这里， ( z a ) ( t 刃= 莩( 一j 1r 。4 r 一于i + r 占回卜一毛愀季t 丞一r 霄订司 为能量泛函，u 6 ，v 6 均为有限维子空间， f1 u 6c u = i ( n h l ( 足) ) 2 ；i l r o = 0 ，矿c v = 1 7 h ( d i v ；k ) ， 一一 一 堕型查兰堡主堂焦丝苎 其中瓦为区域q 的正则四边形剖分，彭e 瓦是四边形单元，e ( x 。，y ，) ( 扛】一，4 ) 为 其顶点。h 。( k ) 表示一般的s o b o l e v 空间，j 是一个非负整数。r ( k ) ：h 。( k ) 是平方可积函数空间。h ( d i v ；k ) = 乇= ( f 1 1 ，f ：，1 ：) 7 l 2 ( q ) 3 ；d i v r l 2 ( q ) 2 ， d i v r = ( 0 r h 0 x 1 + o r l 2 o x 2 ，a 2 3 x l + a f 2 2 0 x 2 ) 7 ，矿= 舌。+ 舌，u6 ，v c 和可分 别为单元的协调位移和内部位移。r e 矿一是分片独立的应力。 定义双线性等参映射& ：霞= 卜1 ，1 】2 寸k 如下： ； = f tc ；，”，= 套c + ；，；，c ，+ 玎，”， ；： ， 其中 ，只) ( f = 1 ，4 ) 为四边形剖分单元置的顶点坐标，皓，矾) o = 1 ，4 ) 是参 考单元霞顶点坐标，( x ，y ) 和( 毒，彩分别为直角坐标和等参坐标即： 籀2 麓 = = ：! 。 并设f ri 蟹j j a c o b i 阵为 p 】= ；影；州y 。a 叩孝j = 瓦o n , 一 熹t 等y 熹y = 蔓：a 2 2 j 1 = 。q c t i + + 吃a 2 可孝乏+ + 也b 2 善r 其中j = ( 1 + 善善) ( 1 + 巩可) 4 ( f - 1 ，j 4 ) 为结点形函数，q ，6 l ( f = i ，3 ) 为单元的 几何参数，如下所述： 为 x 2 x 3 x 4 兰，1 可2 f 3 爹4 嘲a a y j 书r 1 嘲= 乩z 一2 掰 设r 盅是5 参p s 应力模式，对于vrep r 毒有 i = 1 川= 1 一 一 1 l 1 1 1 1 一 一 l 1 1 一 一 ，l 1 4 i i ，t，j 觑现玩m 砌如 l 则 四川大学硕士学位论文 c z s ， r i 。= i i = ii 。量i 。主| 1 卢- ，声“，e 尺5 ， 其中f 和7 为等参坐标变量，为单元应力参数向量。 并设u 盘：= u ? o u ? 为位移子空间，其中， 田- t ( c 。( 砀n 日1 ( q ) ) 2 ；玩k = o ，疋k s p a n 1 ，六移，勿) 2 。厍1 ，v k 是等参双线性协调位移子空间，即 瓦= 阱静蝴o + 删鼢脚 c z 固t i z = 乞17 ，2 是3 是4 爱1 9 = ：c g ” 皑= ( u 。b 。y x 。u 。) 7 是结点位移向量，m ( f = 1 ，4 ) 为结点形函数。 u ? ：= i ，；霹l f s p a n 1 善2 ，l 一誓2 2 。巧1 ，v k t a 为w j l s o n 内部位移子空间， 即v 可u ? ， 弦， 吼= 阿1 7 ，三：。井订咖” g f ”r 为参考单元内部位移参数向量。k 是有界区域q 的正则四边形单元。 当体力于= o 时，由( 2 4 ) 式得p s 元的能量泛函为： 觯2 萋h pd - l r m + p 羽。) 拯一量。即。凼| 因为： r 占( 可) 扣一t f 元西西= 一t d i v r d t ) = 0 ，v r 略，v 面研， 由此，p s 元的变分原理即：求( o - b ，群) 嗽。研， 使得： ( 2 8 ) 其相应的驻点方程为： n p s ( o - 刍，群) _ 渊i n f f s u 略p m ( r ，吃) ，”u 一 求( a 怎，群) e 嗡x u ? ，使得 ( 2 9 ) 口( 砍，r ) - b ：( r ，计) = 0 ，v f 矿盅， 四川大学硕士学位论文 ( 2 1 0 ) 6 ：( 盯惫，i 。) = g ( t ) ， v i 。u i * ， 其中a ( 吖) = 【a d 。r 拉，b 2 ( l i ) = p ( i ) 拉，g ( i ) = 。季i 出 k “= = f ；f i r = s p a n 1 ，善，玎) 3 。f ，v k 瓦) ，即v f k 有 h 】00 孝0 0r 0 o 2 1 1 f i 2 l 乏j 2 l ：。0f 0 ；0 。0j 7 0 ：j 卢“，f i , ( o e r 9 , 式中口7 ) 为单元应力参数向量。 考虑如下修正的h e l l i i l g e r - r e i s s n e r 原理：求p 6 ，矿= - h + 群) 时砧使得 ( 2 f 1 2 ) r i s ，( c r ，再) ：，i 。n 。晡fs ，。u e p 。1 7 m ( f ，i ) ， n 。p 固= 善 i ( 一；r d 。r 一于t + rr s ，卜一 懈季t 办一t u 亓可d 刁 是f 的常数部分。这样得到的杂交元我们称之为m p s 元。 我们知道，变分原理( 2 1 2 ) 等价于：求 6 ，孬6 = 硭+ 钟) 曙u 毒使得 ( 2 1 3 ) a ( o hf ) - b 2 ( f ，厅“) + 6 l ( t o ，霹) = 0 ，v f k 6 ， ( 2 1 4 ) 6 2 ( 盯6 ，哥) 一b ，( 盯：，巧) = f ( l ) + g ( l ) ，v 哥= t + 订嘭， 其中一是盯6 的常数部分，其中6 1 ( f 。，可) 2 啦元。西出。 注2 1 ：当去掉边界积分项f o _ i i 哥，d s 后，我们就得到l q e 1 3 的的能量泛函： n 坼力= 水( 一l r d 4 r - 如协啊，卜一正酗 下面我们基于公式( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 给出杂交m p s 元的单元刚度矩阵。假设单 元应力r 和位移舌= 吃+ 霹在k 中形如( z 1 1 ) ，( 2 6 ) 和( 2 7 ) ，则公式 ( 2 1 3 ) 、( 2 1 4 ) 中的积分项如下： a ( 以r ) 聊= p d a d q = ) tf 1f l o ；d 。m ，i j p 嗣叩卢r = ：( ) 1 h p ， b 2 ( f ，i ) ( 聊一6 ，( 0 可) = f ( i ) d q 一【“s ( t ) d q 四川大学硕士学位论文 其中 = m 。鲁蝎z 等蝎zc 参+ 象，出妙 一。警等：每+ 争，蛐 秽) ) t “。扣冲【c i 】蟛t 朋砌l 巾嗣蝼) = = c f ，7 曰( ：蟊) = ：c f ，7 陋。g g + 口，g 】， h = n00 o l 丁= io o o l l， l o ll o j 坩僦 ： ：坩嘭驯 。= 也。d 3 x 。】， ，。表示3 阶单位矩阵，0 m 。表示一个m 行n 列的零矩阵。 由方程( 2 1 3 ) 我们得到下面应力一位移关系 p ) = 彳。c & 马，( ； 号彳4 励扣) ， 结合方程( 2 1 4 ) 产生一个1 2 x1 2 的单位刚度阵 k 1 2 。1 2 = b 彳一b 在内部位移参数q “上应用静力凝聚过程后就得到m p s 元的8 x 8 单元刚 度矩阵。 3 p - s 元和m p s 元的等价性 定理3 1 设( 盯怎，钟) e 略u ? 和 元 s p 是0q 刀分 矿 u _ ) ， _ ”+ f _ = 一 ， r 盯 6 ( 婴型查兰堡主竺篁丝茎 和m p s 元的有限元解，那么在体力= o 时有： ( 3 1 ) 仃基= 仃“，五? = 面7 也即分别用p s 元法和m p s 元法可求得相同的有限元解。 证明：由( 1 1 ) 和( 1 2 ) ，p s 应力空间i ，妻可写成： 嚷= k 6 ；i 疥v f 订锄= o ，【( f f 。) ( i ，) d n = o ，v t u ? ，v k 瓦 经过计算我们会发现关系式( 1 2 ) 隐含关系式( 1 1 ) 。 事实上，假设单元应力f v 1 6 ，k 中内部位移砖u ? 分别由式( 2 1 1 ) 和( 2 7 ) 给出，那么，由( 1 2 ) 我们得出了9 维向量万满足的约束条件为： m ，p = 0 ，r 9 ， 其中 m = 00 o0 oo oo 岛0 一a 3 oo0 0 一a 3 岛 0o 0 00o 一岛0q o o o 0 q 一岛 同时，由( 1 1 ) 我们得出了9 维向量口满足的约束条件为： m ：声= o ，声r 9 ， 其中m ，：| _ o o o 也 o ”，一岛。口- i l o 00 0 一口3b 】0盯i b lf 因此矿盅又可写成 ( 3 2 ) = z t e 曙；【( f t o ) s ( 可) 垃= o ，坛j 当，= o 时，利用方程( 2 1 4 ) 我们推出： b ：( 盯6 ，哥，) 一b t ( 盯：，露) = 0 ，v 哥，u ? ， 即 上( 盯6 一酣) 占( 可) m = o ，v 巧，v k 故矿e 喘 由式( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) ，( a t h , 矽) 唿u ? 满足 ( 3 3 ) 口p 6 ，r ) - b 2 ( f ，影) = 0 ， ( 3 ，4 ) 6 2 ( 盯6 ，吃) = g ( t ) ， 7 一 v f 嚷 i c u ； 婴型查兰堡主兰竺堡奎 这说明p 6 ，矽) 也是p s 元的有限元解，即等价式( 3 1 ) 成立，定理得证。 通过比较我们可以发现：p s 元中并未包含内部“b u b b l e ”位移，采用了5 参 不完全线性应力模式，而m p s 元包含了一个可以利用静力凝聚消去的w i l s o n 部位移，采用完全线性应力模式。 下面讨论m p s 元有限元解的存在性及p s 元和m p s 元有限元解收敛性。 设e 磊，h ；是置的单元尺度，f f f i i i o 和肌。分别表示有限维子空间曙和 以的能量模，定义如下： f i | l o 庐o ( v ) ) “2 = ( c r d - t r m y ”，v f v ，、1 1 2 i i i , f l ：= l k s ( 口) d z ( p ) d f 2i ，v 哥u 易知下列各不等式成立： ( 胁圳i o o - c c l l 札。：= c ( 弘确) l ，2 ，v r e v ( 2 ) ：i i i v l l l 刚咿川岫= c 睡埘诊咿) m ) v ie u 且有：j b j ( f ，舌) i c 川f n 哥叭，n v f v “，v 舌u 6 ( 卢l ，2 ) 利用文献 1 2 的结论和证明技巧，容易得出下面的引理： 引理3 1 假定秩条件 ： ( + ) 6 2 ( t 哥) ( ) 一b l ( 彳o ，露) ( 聊2 上p 文i ) 一。文巧) k n = & v r e k 6 = ，占 ) j r = o 对v u ；，v ke 瓦成立，则离散的i n f s 印( 或b 口) 条件“” ( 3 5 ) s ，。u 。p 。曼i 垒生；铲c 哥- 。n ，v 舌u 参 成立，这里c 是一个与网格尺度 = m a x h 。 和p o i s s o n 比率v ( 0 ， ) 无关 的常数，在文中不同的地方可能取值不一定相同。 注3 2 ： 易知2 + ，一，对于秩条件( 木) 是必要的，这里坳是独立的应力 参数值，是结点位移值，是内部位移值，而，是刚体自由度。对于m p s 元而言坳。9 ，。8 ，2 4 ，a n d1 = 3 ，即满足此必要条件。 婴型奎兰堡主兰垡丝苎 定理3 2 假谤刚瓤务分协番岳争鞫酾 最留舞冉殍婶泸链酹提塞缸 岳每的白垆条 车船南 棚b 问题( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 存在唯一的混合杂交有限元解 ( 盯“，i = 虬- - h + i ? ) k 6 【，；，且有： ( 3 6 ) 口一仃6 o n + 1 1 i 霸一面6i i l l 。o 懒卜刚。皿+ 嚣等高警 + 氍0 i 颤一训蜩+ 攀繁等 c 规忙一c r u 。+ 嬲0 l 砸一刚帅+ ，s 以u p - - ；尚毒) c 矗叫仃弧n + i i 霸如n 】c hi i 孬1 1 3 n 这里盯= d ( 厅) ，c 同引理3 1 的假设。 证明：我们知道，问题( 2 ，1 ) ( 2 2 ) 的弱解p ，“) 满足方程： ( 3 7 ) a ( 盯，r ) 一b 2 ( f ，厅) + 良( f o ，厅，) = 0 ， v f v ， ( 3 8 ) b ：( 盯，i ) 一b l ( 仃o ，可) = 厂( t ) + g ( 吃) ，v f = 吃+ 西u 因为( 开一u c ) l o k = o ，l h ( 3 7 ) 减去( 2 1 3 ) 我们得到： ( 3 9 ) 口( c r - - o - h f ) - b 2 ( r ，厅一面6 ) 一6 l ( f o ，面，一“- - ，h ) = 0 v r v 1 6 设“z ( 厂) ；p k 6 ；6 ：0 ，可) - b 。( ，巧) = ，( 吒) + g ( t ) ，v 哥u 参) ， 可知： f 一盯6 ；n = a ( r 6 一盯，f 5 一盯5 ) ( 3 1 。) ：= 口a ( ( 。r 。 一- 盯c r ，, ，r 。6 一- 盯a 。 ) ) + + 屯a ( a ( ，- 。一a 盯 , 。r ，h 露- 一a 可 ) ) + 6 。( ，：一盯：，玩一可) c ( 1 1 1r 6 一盯。+ 厅一矿i l l l , n 1 ) f 6 一盯“。+ 岛( f ：一盯。h ，刃一巧) 再由三角不等式可褥： ( 3 1 1 ) 盯一引o 庐c l 一瑷n 川盯_ f l 。，n + 善 | 霸一吼n + 翟紫j 由( 3 5 ) 及参考文献 1 3 】中p r o p o s i t i o ni i 一2 5 的证明过程可得： 一一些! ! 奎兰堡主兰堡望苎 ( 3 1 2 ) ，一。i n ：。f ( ，) t r - r h o n - c ，i 。n 叩f i l lc r r 6 | 。，n1 ，i s 。u ，毒p 等 事实上，对v f 5 k 6 ，令竹6 叶使得： ( 3 1 3 ) b 2 ( ，“，矿) = 6 2 ( 盯一f 6 ，矿) 一6 。( c r 0 ，巧)v 哥u 参 关系式( 3 8 ) 确保( 3 1 3 ) 至少有一解。由( 3 5 ) 及参考文献 1 3 中的p r o p o s i t i o n i i 一1 2 可得存在一个解满足： | | i ，6j|j。c，s。u。pj!1511-：!：；铲 ( 3 1 4 )：c 跚p 堡! ! 二! ! ! 塑二刍鱼尘= ! ! 鲎! 立! = 刍生! 二丝! 垦! ；v l i h o 巾一川叩+ 罢唏孚jlt e 畴 ”| | | l ，n i 这里，我们用到了不等式h ( f ，舌) i c i i i f 蜩舌。n ，v r v “，v 哥u 6 1 4 ， 1 5 】 ( 3 1 3 ) 表明0 6 = ，6 + f z 6 ( 厂) ，因此我们可得： 盯一0 6i l l o , , ，刮j j 盯一f 6 _ f hi l l o , o q f f 口一f 6 。，。+ ，6 。 “1 1 1o - - - t h1 1 1 0 o + s u p f 于是由0 “n 4 壬n f t ( 3 1 2 ) 得证。再由( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) 并应用( h ，) 和( 爿= 2 ) 我们 可以得到： ( 3 1 6 ) 0 - - 0 6 o n 啼薯卜刚旧+ 嚣爷乎 + 氍卜刊队一鬻鬻 下面我们对厅一露6 | | | l 。项做估计。 由r 3 1 0 ) 知： 四川大学硕士学位论文 ( 3 1 7 ) d ( 盯一盯“，r ：l ：6 ：( f ，i 一厅：6 ( 7 7 ，i 一硭)。 = b 2 ( f ，i 一函“) 一b l ( r o ，i 一面“一( 硭一“- - 。h ) ) ，v f k “，v i 【，参 m ( 3 5 ) 得： ( 3 1 8 ) c 伽h 霉塑塑书it 岳塑地 f e i o n ：c s u p ! ! ! = ! ! ：塑垦生! ! 二塑二! ! ! 鱼：垦2 t e 砷f i i i o 。o 舛卜叼| 0 ，q + i 忏刮眦皿+ 并鬻j w 以 利用三角不等式，由( 3 1 7 ) 得： b ，”| 撕h 科1 1 10 - _ 0 - hi i i o 。+ i n f m m + 翟粼 由( h i ) 、( 胧) 、( 3 1 6 ) 年1 1 ( 3 1 9 ) 5 j 汲p - s 元应力应变关系的假设，( 3 6 ) 式得 4 三维情况下混合杂交有限元的一般形式 考虑线弹性问题： ( 4 1 )一破v 仃= ，0 - = d 占( 露) i nq ( 4 2 ) 0 - - 砘= f ，面ir o = 0 其中q c r 3 为有界开集，其边界为a q = r 1 u r o 。菇= ( ，u y ，虬) 7 表示位移向量， 盯：( q ，吒：，仍，q ：，q ，0 2 ，) r 表示应力，占( 面) ：昙( v + v r ) 磊为应变，d 为弹性 模量，于为给定的体力，亓和f 分别为r i 的单位外法向向量和给定的作用于其 上的表面力。 与问题( 4 1 ) ( 4 2 ) 对应的区域分解h e l l i n g e r - r e i s s n e r 变分原理为： 求p h ，矿) v 6 x u 6 使得： ( 2 3 ) n ( 口6 ，扩) = ，i d n f 。s ，。u p n ( r ，i ) ， 型型奎兰堡主兰堡竺奎 这罩， ( 2 a ) u 垆莩 i ( _ i 一弭 ) 卜一 。托出一如晒叫 为能量泛函，u 6 ，v 6 均为有限维子空间， r、 扩c u = 忙( n h l ( 幻) 3 ；i i b = o ，矿c v = 1 - i h ( d i v ；k ) ， l 舡瓦 jx e 其中瓦为区域q 的正则六面体剖分，足瓦是六面体单元，e ( x ，y ，) ( f _ 1 ，8 ) 为 其顶点。h ( d i v ；k ) = f = ( t l ，r n ，r j 3 ，f j 2 ，r z 3 ，) 7 l 2 6 ；d i v r e u ( f 2 ) 3 ， d i v r 2 ( a 1 铂+ 弘2 o x 2 + o r l 3 如，a 2 挑+ a f 2 2 氖2 + o r 2 3 l i g x s ， a f l3 嘲+ a f 2 3 + a r 3 3 ) 7 舌= i 。+ 舌，u6 ，吃和可分别为单元的协调位移和内部位移。r e v h 是分片独 定义狙线性等参映射乓：霞= 【一1 ，1 】3 寸k 如下： 酗。姆蝴m 榔+ 料 其中( ，只，刁) ( 扛l ，8 ) 为六面体剖分单元k 的顶点坐标，( 皇，r ，幺) ( f = 1 ，8 ) 是参考单元霞顶点坐标，( x ，弘z ) n ( 4 ，仍f ) 分别为直角坐标和等参坐标即： 并设足雕j j a c o b i 阵为 陆鞋撕荔嚣溺 r = l = 1 一 ii 一 一 一 l l 1 一 一i一 一 一i 一 一 一 l 1 1 1j 8磊巩f岛珊厶六氕六巩厶六玑厶六仉白磊巩厶 点仇鼻 r。，l 四川大学硕士学位论文 易知 6 1 + 6 4 玎+ 以f + 6 7 可f + b , f + b g + b 7 管 毛+ 玩善+ 6 6 叩+ 6 7 勿 lj 其中m = ；( 1 + 毒d ( 1 + 矾们( 1 + o ( 1 = 1 ，8 ) 为结点形函数 of l a lb ，c ，( f _ 1 ，7 ) 为单元的几何参数，如下所述： q岛q a 26 2c 3 q6 3c 3 q6 4q q6 5c 5 口66 6c 6 q6 7 岛 l = 一 8 a | a x 8 | 卸 8 | a z 8 | a 8 内q a 旧 在三维情况下，我们选取位移空间如下： 叫= 魂( c 。( 豆) n 日1 ( q ) 3 ) ；吃ir o = 0 ， ti f s p a n 1 ，善，r l ，f ，善玎，当f ，刁f ，善叩f ) 3 。f k ! v k ) 是协调等参三线性位移子空间， 即 1 3 z z z 盟管盟却叭一西 只 只 m 叭一西盟却姒一暂 x x x 盟西盟却一嘭 晰缁嘞 + + + 蝣瞄钾 + + + 哪蝣瞄 + + + q 乞白啊喵嘞 + + + 蝣喵哪 + + + 叩f f吼吼吩 + + + q 吒吩 l = 巩办办加死靠新廊 m m乃朋弘儿乃强而晚墨蚝而毛 玩= 三； = ；窑c ，+ 皇孝，c ，+ 矾叩，c ，+ 幺f ， 芝 ，也即 ；奠【= u l i l n 1 3n i ，n 4 i ln 5 1 3 n 6 1 3n ，i ，n i a q 9 1 爿n 。q 譬， 其中拶= ( 匕。0 8 ) 7e r 2 4 是单元结点位移向量， 町= 巧；可i k 删押( 1 一善2 ，1 - 1 2 , 1 一f 2 ) 3 。巧1 ，v k 瓦) 为w i l s o n 内部位移子 空间，即v 可研， ( 2 7 ) 谚1 k = f ( 1 - 善2 ) 厶( 1 一口2 珥( 1 一f 2 ) ，3 协；m 护 啡：= w o 叫是w i l s o n 非协调位移子空间，即v 矿啡，则有： 枷( 蚓。= 【c m 蚓 选取蹭是分片独立的应力子空间， k 6 = v r y ；( q 。，2 ：，t 3 ，) i 。s p a n 1 ，孝，叩，f ，孝7 f ) 3 。巧1 ， ( _ ：， t - 1 ，r 2 ，) i 。 s p a n 1 ，善，叩，f ) 3 。巧1 ，v k 瓦 ，即若f k 6 ，则 f i 。= 【f l ，f 2 2r 3 ，l l ： t - l ， 9 2 ，r = k ，矾，弛，鼠，中，】”，7 ) r ” 勿f 000 0 o 7 其中，。表示6 阶单位矩阵，中，= 1 0 勿f 0 0 01 【0 0 勿f 0 0 0 j 四川大学硕士学位论文 巧6 = v r 矿；( q ，r ：，q ，) 1 。s p a n 1 ，f ，叩，f ，可f ，髟，勿 3 。巧1 ，( f 。：，1 ，t 2 ，) l 。 s p a n 1 ，f ，r l ，i f 3 。f k i ) v k r h ，即若f k “，贝0 f i 。= 【f i 。锄i 3 ，f l ：f 1 3 r = k ，鼠，矾，纯，o ，】”，r ” 其中，厶表示s 阶单位矩阵，m ，= i f 二 i i i7 5 数值算例 在本节中，我们将用二维数值算例来说明p s 元和m p s 元的等价性，q 4 和q 6 分别为双线性元和w i l s o n 非协调元，计算过程中除特殊说明( q 6 表示采用的3 3 高斯积分) 外均采用2 x 2 高斯积分，且它对m p s 元是精确成立的。本节同时 给出三维情况相应的数值算例，其中h 。元和h 1 1 分别表示8 节点等参三线性六 面体元和三维w i l s o n 非协调元。 5 1 二维算例 51 1 梁弯曲问题：图1 1 给出了割分成五个单元的平面应力梁模型，梁上有 荷载。表l 给出各种单元计算得到的能量n 、a 点的最大位移v a 和b 点的应力 o 。b ，其中q 6 表示采用的3 3 高斯积分。从表中可以看出，p s i d p s 元的 精度较高且没有数值积分影响，因为2 x 2 积分对m p s 元是精确成立的。q 8 元在 2 x 2 积分时能给出更好的结果，但当采用更精确的3 3 积分时结果将变差。 1 0 0 0 1 0 0 0 e 2 1 5 0 0 x 。 一y = 0 2 5 7 叶十_ r 1 了叶了叫 图1 1 ：悬臂梁问题的有限元网格 四川大学硕士学位论文 表1 1 ：简支悬臂梁 e l e m e n t sn v ao x b q 4 - o 8 4 e a4 5 71 7 6 2 q 6 1 9 4 e 49 8 42 4 2 7 q 6 + - 1 7 8 e 49 0 7- 2 3 2 2 p s 、m 甲s一1 8 6 e 49 6 23 0 1 4 e x a c t一2 0 0 e 4 1 0 0 - 3 0 c o 5 1 2c o o k 膜问题：如图1 2 所示，我们用一个一边夹支，另一边均匀分布单 位载荷的梯形板来做膜元素测试，采用了斜网格。其中材料常数e = i 0 ，v - - 1 3 。这个问题没有解析解。细网格解1 7 = 一11 9 7 ( 能量) ，v c = 2 3 9 1 ( 顶点位 移) ，o 。x a = o 2 3 6 ( 最大原理应力) ，o 。m 8 = 一0 2 0 1 ( 最小原理应力) 。 c 图1 2 ：c o o k 膜问题 表1 2 ：c o o k 膜问题 c 单元 ( b ) 兀 v co a m i n b 兀 v ce r m 缸af f n u n b q 4 59 0 1 1 9 0 1 0 80 ，0 7 89 1 4 1 8 _ 3o 1 8 1 o 1 4 3 q 6 1 1 4 42 3 o0 1 7 8o 1 8 51 1 7 42 3 50 2 2 00 1 9 0 q 6 1 1 1 42 2 401 7 3 0 1 7 81 1 7 22 3 40 2 2 00 1 9 0 币1_of 44， 四川大学硕士学位论文 p s m p s* 1 0 5 0 2 1 1 o 1 8 5o 1 5 51 1 5 12 3 o02 2 40 1 8 6 5 1 3 泊松比l o c k i n g 测试：本例是一个平面应变悬臂梁的纯弯曲问题。如图 1 1 给出的是采用五个不规则单元的剖分，表1 3 1 5 分别给出了能量、b 点的应力q 。、a 点的位移v 。的计算结果，材料常数e = 1 5 0 0 。其中q 4 和q 6 当 材料接近不可压缩时会出现l o c k i n g 现象，q 6 元对能量和位移能够给出较好的 结果，但当，趋近0 5 应力数值结果不稳定。而p _ s m p s 元对能量，位移和应力 都能给出较好的结果，即p - s m p s 元是一致l o c k i n g f r e e 的。 表1 3 ：平面应变纯弯曲测试的能量 q 4q 6q 6 p s 、m p se x a c t 0 2 50 7 8 e 4- 1 8 l e 41 6 7 c 41 7 5 e 41 8 8 e 4 0 4 90 1 7 e 4 一1 4 7 e 48 5 8 e 31 4 5 e , 41 5 2 e 4 0 4 9 90 0 6 e 41 4 5 e 43 8 9 e 3- 1 4 3 e 41 5 0 e 4 0 4 9 9 900 4 e 41 4 5 e 41 7 2 e 31 4 3 e 4- 1 5 0 e 4 q 4 q 6q 6 p s m p se x a c t 0 2 51 4 3 52 4 8 62 2 4 7 1 2 9 9 1 0 4 91 8 0 71 9 4 33 0 5 3 22 9 9 5 - 3 0 0 0 0 4 9 91 7 8 14 4 1 6 01 0 9 6 82 9 9 5 0 4 9 9 91 7 7 24 6 6 3 01 3 4 2 3 - 2 9 9 5 表1 5 ：平面应变纯弯曲测试中a 点的位移v q 4q 6 q 6 + p s 、m p se x a c t 0 2 54 2 19 2 2 8 4 7 9 0 4 9 3 8 0 4 99 17 4 84 2 27 4 37 6 o 0 4 9 93 87 3 91 6 47 3 57 5 1 0 4 9 9 92 97 3 88 27 3 47 5 0 四川大学硕士学位论文 51 4 ：悬臂梁网格畸变测试：本例我们讨论被分成两个平面应力单元的弯曲梁 对网格畸变的敏感程度。单元的弯曲度用参数e 来度量，如图1 3 。q 6 和p s m p s 元的敏感度要远远低于q 4 和q 6 + 。 f y e = 。3 0 0 e _ v 。0 j 图1 3 悬臂梁网格畸变测试 1 0 0 0 1 0 0 0 誓 - - - 4 _ 表1 6 悬臂梁网格畸变测试 e e = 0e = l e = 2e = 3e = 4 v v bq 4 q 6 q 6 p s 、m p s 2 8 o ，2 8 0 l o o ，1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 4 4 1 4 19 8 ，9 7 8 6 9 ，8 3 19 2 7 8 5 3 5 9 0 ，5 6 53 2 5 ，3 0 4 6 7 5 ，6 2 96 3 1 ，5 5 0 8 3 ，8 3 1 0 2 4 9 0 8 2 1 7 2 0 2 6 7 2 5 4 7 7 1 ，7 21 0 0 1 1 0 5 ，9 4 5 1 6 o ，1 5 2 7 0 0 5 3 1 5 2 三维算例 5 2 1 不规则五单元悬臂梁测试：承受端部荷载的悬臂梁如图2 1 所示，我们用 五个不规则单元计算以检验