（应用数学专业论文）随机利率下提前还贷的优劣分析.pdf

摘要 利率市场化是我国金融改革的核心内容之一，加入w t o 以后，我国 的金融市场将越来越开放，在随机的市场利率下，商业银行资产负债管理 的研究和金融风险的规避显得尤为重要，制定合理的信贷政策，以最小的 风险获得最大的效益，对于提高我国商业银行的自身经营效益，国际竞争 力等都有重要的意义。 从2 0 0 3 年5 月起，上海市的工、农、中、建、交、招商、光大、上 海银行等8 家银行，对住房贷款中提前还贷的行为收取一定比例的违约 金，引起了广泛的社会争议。我们可以通过对提前还贷这个课题的研究确 定收取违约金是否合理，如果合理，应当确定这个违约金的合适的比例是 多少。对于客户来说，也可以通过这个课题明确提前还贷是否合适和在何 时提前还贷使得实际还贷资金最少，而且风险最小。 本文简单介绍了金融数学的发展及现状，其主要理论及商业银行的贷 款模型。并根据金融数学的理论，在随机市场利率的条件下，研究了提前 还贷对贷款人或债权人的收益或损失，以及这些收益或损失的风险额度。 同时也分析了提前还贷的赔偿金闯题。 关键词：提前还贷：布朗运动；随机利率；赔偿金 a b s t r a c t t h er a n d o mi n t e r e s ti so n eo ft h ek e m e lc o n t e n to ff i n a n c er e f o r r n a t i o n i no u rc o u n t r y s i n c e j o i n e dt h ew t o ，t h ef m a n e em a r k e t i no u r c o u n t r yi s m o r eo p e n u n d e rt h er a n d o mi n t e r e s t ，s t u d y i n ga b o u tt h em a n a g e m e n to f o w e sf o rc o m m e r c i a lb a n ka n de l u s i o no ff i n a n c er i s ks e e m sm o r e i m p o r t a n t e s t a b l i s h i n gr e a s o n a b l ec r e d i tp o l i c ya n dg e t t i n gm o r eb e n e f i t u n d e rl e s sr i s kw i l lh a v eg r e a ts i g n i f i c a n c ef o ri m p r o v i n gt h ep r o s e c u t i o n b e n e f i ta n di n t e r n a t i o n a lp o w e rc o m p e t i t i o no fc o m m e r c i a lb a n ki no u r c o u n t r y s i n c em a y2 0 0 3 ，e i g h tb a n k sa d o p t e dc o m p e n s a t i o np o l i c yi ns o m e p r o p o r t i o n f o r g i v i n g b a c kl o a nf o r w a r di n s h a n g h a i i ta r o s ea b r o a d d i s p u t e w ec a nm a k ea s c e r t a i nt h a ti ti sr e a s o n a b l eo rn o tb ys t u d y i n gt h e p r o b l e mo fg i v i n gb a c kl o a nf o r w a r d i f i t sr e a s o n a b l e w ec a nd e t e r m i n e t h ep r o p e rp r o p o r t i o no f c o m p e n s a t i o n a l s of o rc l i e n t ，t h i sp r o b l e mc a n m a k et h e ms u r ea b o u tt h ep r o p e rt i m e o f g i v i n g b a c kl o a nf o r w a r d u s i n gt h et h e o r yo ff m a n c em a t h e m a t i ca n du n d e rt h es i t u a t i o no f r a n d o mi n t e r e s t , i nt h i sp a p e r , w ed i s c u s st h ep r o c e e d so rl o s so fl o a n e rf o r g i v i n gb a c kl o a nf o r w a r d ，a n dt h er i s ko fi t b yt h ew a y , w ea n a l y z et h e c o m p e n s a t i o no f g i v i n g b a c kl o a nf o r w a r d k e yw o r d s ：g i v i n gb a c kl o a nf o r w a r d ；b r o w n i a nm o t i o n ；r a n d o m i n t e r e s t ；c o m p e n s a t i o n 3 序言 中国人民银行货币政策委员会决定，要稳步推进利率市场化改革， 努力发挥利率在优化资源配置、促进商业银行改革中的作用，保障金融 的平稳运行和金融机构的健康发展，据透露，深圳将率先开展利率市场 化改革试点，为更大范围的利率市场化改革探索经验。 利率市场化是指利率的决定权交给市场、由市场主体自主决定利率 的过程。在利率市场化条件下，如果市场竞争充分，则任何单一的经济 主体都不可能成为利率的单方面制定者，而只能是利率的接受者。 改革开放二十多年来，我国在价格领域，尤其是商品价格领域的改 革取得了巨大成就，但在要素价格领域，约束依然存在，比如作为重要 要素价格的资金价格一利率仍然受到管制。利率在宏观调控中的作用已 经得到认可，但是，它的灵敏调节还受到限制。利率管制首先造成这一 重要的价格杠杆在资源配置方面受到严重约束，利率调整对投融资行为 及公众消费导向作用不明显；其次，利率机制的僵化使宏观调控受到约 束，导致宏观当局很难通过对货币供应量的控制实现其货币政策目标； 再次是利率结构扭曲，拆借市场利率导向作用有限，主要表现为国库券 利率比一些企业债券利率和银行贷款利率高，拆借市场利率高于再贷款 利率，受参与主体较少、交易规模偏小制约，拆借市场利率导向作用很 难发挥；最后，利率市场化是我国金融业开放的客观要求。 在市场化的利率下，各种不确定因素使得金融风险越来越难以防 范，越来越多的金融工作者开始使用各种数学工具和金融方法来分析风 险，规避风险。 6 第一章金融数学的基础理论 第一章金融数学的基础理论 1 1 金融数学及其发展 金融数学的研究以数学理论与方法为基础，针对金融领域中普遍关 注的若干热点问题，特别是金融避险问题进行了实证分析。其核心问题 是不确定环境下的最优投资策略选择理论和资产定价理论。它一方面为 防范和化解金融风险、保障经济安全提供建议和对策；另一方面努力促 进数学与金融学、经济学的交叉与综合，同时也为金融、经济领域科研 人员深入研究金融市场中的问题，提供具有普适性的数学分析方法和应 用软件。在此过程中也探索数学、金融学相结合的研究途径。 金融数学这门新兴的交叉学科已经成为国际金融界的枝奇葩。 前不久公稚的2 0 0 3 年诺贝尔经济学奖，就是表彰美国经济学家罗伯 特恩格尔和英国经济学家克莱夫- 格兰杰分别用“随着时间变化易变性” 和“共同趋势”两种新方法分析经济时间数列，给经济学研究和经济发展 带来巨大影响。 金融数学的发展曾两次引发了“华尔街革命”。上个世纪5 0 年代初 期，马科威茨提出证券投资组合理论，第一次明确地用数学工具给出 了在一定风险水平下按不同比例投资多种证券收益可能最大的投资方 法，引发了第一次“华尔街革命”。1 9 7 3 年，布莱克和斯克尔斯用数学 方法给出了期权定价公式，推动了期权交易的发展，期权交易很快成 为世界金融市场的主要内容，成为第二次“华尔街革命”。 近几年接连发生的墨西哥金融危机、百年老店巴林银行倒闭等 事件都在警告我们，如果不掌握金融数学、金融工程和金融管理等现 代化金融技术，缺乏人才，就可能在国际金融竞争中蒙受重大损失。 专家认为，金融数学可能带来的发展应该凸现在亚洲，尤其是在 金融市场正在开发和具有巨大潜力的中国。 7 第一章金融数学的基础理论 国家自然科学基金委员会在一项“九五”重大项目中，列入金融工 程研究内容，可以说全面启动了国内的金融数学研究。 在金融衍生产品己成为国际金融市场重要角色的背景下，我国的 金融衍生产品才b u b j 起步，金融衍生产品市场几乎是空白。加入wt o 后，国际金融家们肯定将把这一系列业务带入中国。 未来我国金融数学的发展将表现在进一步加强研究院与国内外金 融研究机构的合作，深入研究涉及国家经济安全，金融安全中的相关 问题，提出防范和化解潜在风险，抗拒外来冲击的方法，以确保国民 经济持续、快速、健康发展和适应国家战略需求。 1 2 利息的度量 在金融数学中，资金的投资收益最为重要，而资金是有时间效应的， 利率作为投资，储蓄和收益之间的杠杆作用尤为重要。利息理论便成为金 融数学的基础。 下面介绍几个在利息理论中比较重要的概念。 1 2 1 单利( s i n g l ei n t e r e s t ) 考虑投资一个单位的货币，其在每一时期中得到的利息为常数，即本 金和利息和在第一期末为1 + i ，在第二期末为1 + 2 i ，对于一般情况， 就得到线性积累函数： a ( t ) = 1 + i t对整数t 0 这里我们用口( f ) 代表积累函数，d ( f ) 表示在，时刻本金与利息的和。 上面提到的单利的积累函数仅对t 0 的整数有定义。现在我们将其 拓展到f 0 的非整数值，相当于把利息按比例的分配给一时期内的任何 部分。由单利的定义可知，一个单位的利息函数a ( t ) 一1 应只与时间长度有 关，而与时间起点无关。换而言之，一个单位的初始投资经过t + j 时期 8 第一章金融数学的基础理论 所得到的利息口( ，+ s ) 一1 ，等于，个时期得到的利息与经过j 个时期得到的 利息之和， a ( t + j ) 一1 = ( 口( ，) 一1 ) + ( 口( j ) - 1 ) 即 口( f + 曲= 口9 ) + 玎( 5 ) 一1v t ，s 0 因累计函数有连续性，由初始条件：口( o ) = 1 ，a o ) = 1 + f ，由导数的 定义可得： a 。) = 烟半 ：l i r a ! ! 盟! 坐! 二! ! = 鲤! ! j _ o j ：1 1 骤旦盟：l i r a a ( s ) - a ( o ) ：口( o ) j 斗o r5 呻ot 在上式中以，代替r ，并将等式两端从0 到f 积分，就有 p ( ，) 办= p ( o ) d r 即 口( f ) 一a ( o ) = t 口( o ) a ( t ) = l + f 口( o ) 若取t = 1 ，则有 a ( 1 ) = 1 + f = 1 + 口( o ) 因而口( 0 ) = f ，代回原式得到： 口o ) = l + f t v t 0 这样我们得到上述推导并不依赖于f 为正整数，而是对一切t 0 都成立。 1 2 2 复利( c o m p o u n di n t e r e s t ) 上面提到的单利具有一种特别的性质，即每期得到的利息不再进行投 资以获得更多的利息。而下面所讲到的复利会假设每期得到的利息会自动 再投资。“复”这个词在这里是指用利息投资以得到额外利息的过程。 我们还是考虑投资一个单位的货币，其本金和利息和在第一期末为 l + i ；这一余额1 + i 在第二期开始时作为本金，并在第二期内赚取利息 9 第一章金融数学的基础理论 ( 1 + ，) ，弟二期未的积累值为i + ，+ f ( 1 + f ) = ( 1 + ，) 2 ；类似的，我们以余额( 1 + f ) 2 作为第三期开始的本金并在第三期获得利息( 1 + 矿，那么第三期的积累值 为( 1 + f ) 2 + f ( 1 + f ) 2 = ( 1 + 矿此过程无限继续下去得到复利模型 a ( t ) = ( 1 + f ) f对整数t 0 这里我们用口( f ) 代表积累函数，口( f ) 表示在f 时刻本金与利息的和。 上面提到的复利的积累函数仅对t 0 的整数有定义。现在我们将其 拓展到t 0 的非整数值。由复利的定义可知，一个单位的利息函数 口( ，) 一l 应只与时间长度有关，而与时间起点无关，一个单位的初始投资经 过t + s 时期所得到的积累值，等同于经过r 个时期得到的积累值n ( f ) 在投 资s 个时期所得到的积累值，可表示为 a ( t + s ) = a ( t ) - 口0 )v t ，5 0 由累计函数的可微性和初始条件：a ( o ) = 1 ，a ( 1 ) = 1 + i ，有 口( ，) 。蚴 a ( t + j 、- a ( t ) ：。( f ) l i r 罂旦盟生：口啦尘匕! 盟：盯( 嘣( o ) s s s - - o s 这样就得到：等= d 出i n 口( f ) = 口( o )口( f )讲 在上式中以r 代替，并将等式两端从0 到r 积分，就有 瑶= p 毋 即l n a ( t ) 一i n a ( o ) = ，a ( 0 ) i n a ( t ) = t 口( 0 ) 若取f = 1 ，则有 i n a ( 1 ) = l n ( 1 + f ) = 口( 0 ) 代回原式得到 1 0 第一章金融数学的基础理论 l n a ( t ) = t l n ( 1 + i ) = i n ( 1 + 力 即 a ( t ) = ( 1 + ，) 这样我们得到上述推导并不依赖于t 为正整数，而是对一切f 0 都成立。 1 2 3 现值( p r e s e n tv a l u e ) 投资一个单位的货币，在第一期米将积累到l + i ，1 + i 称为积累 因子( a c c u m u l a t i o nf a c t o r ) ，因为这是期初的投资累计到期米的值。考 虑一种相反的情况，为了在期末得到一个单位的货币，期初需要投资多 少? 由前面的利息算法可知，应该是( 1 + f ) ，这两种情况的出发点不同： 前一种情况是问期初的一个单位货币在期末将增加到多少；而后一种情况 是问期末的一个单位货币是由期初多少货币带来的，为此，引入“贴现” 的概念，并将( 1 + ，) 。1 称为贴现因子( d i s c o u n tf a c t o r ) ，定义一个新的符 号v ，有 1 l + f 它表示将期末的投资贴现成期初的值，所谓“贴现”是指将来的价值 折扣为现在的某个价值，即现值( p r e s e n tv a l u e ) 将上述结果推广到不止一个时期，要确定某人在开始时应投资多少才 能在f 时期末得到积累值1 ，所需的投资本金就是口1 ( f ) ，即口( ，) 的倒数。 对于v t 0 ，可以得到下述结果： 单利：口1 ( f ) = 而1 删：口- l ( 咖南一v 1 2 4 连续时间下的利息度量 第一章金融数学的基础理论 在一些重要的情况下，需要度量利息在每一时刻，也就是在无穷小时 间区间内运行的强度，这种对利息在各个时刻的度量叫做利息力( f o r c e o f i n t e r e s t ) 。在连续时间的情况下，考虑利息在i t ，t + a t 上的推广，并 取当f + 0 时的极限，得到： l i m a ( t + a t ) - a ( t ) ：旦盟 “+ o a ( f ) a t口0 ) 假定导数都存在，上式的极限值为在t 时刻的利息效力，简称为利息力， 记作莎，即 a ：竺盟：d l n a ( t ) d f n d t 用以度量利息在f 时刻的强度。 可以看到最具有下述两个性质： 1 谚是利息在某个确定时刻t 的强度的度量； 2 4 将此度量表示为每一度量时期的比率： 用，代替f 并将此式两边在0 到t 之间积分，得到： p 咖= 烨州吲圳h n 器 从而累计函数服从指数分布 删= 器一一c 乒咖， 考虑时间区间o ，l 在该区间上的利息力为常数占，在期末的实质利 率为i ，则有 i + f = 口( i ) = e x p ( s 4 a t ) = e 从而，以下关系式成立 占= l n ( 1 + i ) ，i = e 6 1 。v = e 一6 1 2 第一章金融数学的基础理论 假定利息力d 恒为常数，则有复利累计函数的关系式 口( ，) = p 8 = ( 1 + d 。 1 3 年金( m n u i t y ) 在相同间隔的时间上进行的一系列付款称为年金。如房屋的租金，抵 押付款，汽车的分期付款，投资款项的利息付款等都是年金的例子。“年 金”的原义是限于每年一次的付款，但现在已经被推广到按任何正规时间 间隔付款。相邻的两个年金付款之间的间隔称为支付期，相邻的两个计息 日期之间的间隔称为计息周期，这里计息是指将到期的利息转化为本金。 年金的主要构成要素有- - ：时期和付款。就这两个要素是否有固定性 和确定性，可将年金分为确定年金和风险年金。其中确定年金是一种在固 定的时期支付确定款项的年金( 例如2 0 年分期付款购买一个价值1 0 0 万 的房子每年付款的金额和付款的时间长度都是确定的) ；风险年金是付 款不确定的年金( 例如，由养老计划按月支付的退休金，只有当退休者活 着时才支付的生命年金) 1 3 1 延付年金 考虑这样一种年金，它在n 个时期中，每个期末支付1 个单位。这种 年金称为延付年金。图1 3 1 是这种年金的示意图。年金在0 时刻的现值 记为口矿在n 时刻的积累值记为。 01 “23 蝣n - 3f i - 3 ：n l “ 闺1 3 1 延付年金的时间图 f i g1 3 1 t i eo fd e l a ya n n u i t y 按第一时期开始时( 0 时刻) 的求值方程导出的表达式。 第一章金融数学的基础理论 第一个时期末付款1 在0 时刻的现值为v ，第二个时期术的付款1 在 0 时刻的现值为v 2 ，第n 个时期末付款1 在0 时刻的现值为v ”，总的 现值必为每次付款的现值之和，即 乳：v + v 2 + v 3 + + v h - i - p n ：! ! ! 二塑：生= 1 l vf 的表达式用类似的方法按第n 个时期的求值方程得到。第一个时期 术付款1 在n 时刻的积累值为( 1 + 矿，第二个时期末的付款1 在r l 时刻 的积累值为( 1 + f ) ”2 ，第n 个时期末付款1 在f i 时刻的积累值为1 ， 总的积累值必为每次付款的积累值之和，即 s i2 ( + 。”l + ( + d ”- 2 + + ( + 。+ - = 专i = ；：；三= 里。! 二? 二。二! 幽和的定义及计算公式可以得到它们之恻的关系 5 i2 ( 1 + 矿 1 3 2 预付年金 考虑这样一种年金，它在n 个时期中，每个期初支付1 个单位。这种 年金称为预付年金。图1 3 2 是这种年金的示意图。年金在0 时刻的现值 记为而。在n 时刻的积累值记为晶。 图i 3 2 预付年金的时间图 f i g1 3 2t i m eo fp r e p a ya n n u i t y 按第一时期开始时( o 时刻) 的求值方程导出面的表达式。 第一个时期付款1 在0 时刻的现值为1 ，第二个时期初的付款1 在0 1 4 第一章金融数学的基础理论 时刻的现值为v ，第1 3 个时期初付款1 在0 时刻的现值为v ”1 ，总的 现值五a 必为每次付款的现值之和，即 面小v 矿= 苦 s 二l 的表达式用类似的方法按第n 个时期的求值方程得到。第一个时期 初付款1 在n 时刻的积累值为( 1 + f ) ”，第二个时期初的付款1 在n 时刻的 积累值为( 1 + 矿，第n 个时期初付款1 在n 时刻的积累值为1 + f ， 总的积累值必为每次付款的积累值之和，即 ；i = ( + j ) ”+ ( 1 + 。”i + + ( t + f ) = ( 1 + f ) 号i = ；? ；三 由占i 和而的定义及计算公式可以得到它们之间的关系 s i = a ；l ( 1 + f ) ” 我们可以得到初付年金和延付年金之间的关系式 s t , i = s ；n ( 1 + i ) 口i = ( 1 + i ) 1 3 3 连续年金 连续年金，即支付频率趋近于无限的年金。这种年金在n 个利息转换 期问内连续支付，且在每个时期内的总支付量为1 ，我们用二i 和；i 表示 其现值和积累值。于是就有： 品m=p硪=孚00 v 稿饥卜= 宰 这里j 为固定连续利率。 第一章金融数学的基础理论 将连续年金推广到利息力非固定的情况，设利息力函数4 ，则有以下 计算公式 二j = 忙p ( - 1 6 , d f ) a t 0o ；i = 如( e 打) a t 00 1 4 还贷的几种基本形式 不同还款方式的设计原则都是净现值理论，根据财务管理中“货币的 时间价值”理论来说，利息总额不同的原因是贷款占用的时间不同，利息 多少的差异就在于还款进度不同。 等额本金法又称递减法，这一还款法在贷款初期还款最多，以后逐 月下降，其还款计算公式是：每月还款额= ( 贷款本金还款月数) + ( 本 金一累计已还本金) 月利率。 等额本息法即还款额月月相等，简称等额法。等额还款计算公式是： 每月还款额= 贷款本金月利率( 1 + 月利率) 还款月数 ( 1 + 月利率) 还款月数一1 。 等额递增法指在借款期限内同一年中每期归还本息额相等，但后一 年比前一年每期应还本息额等额递增。 等额递减法指在借款期限内同一年中每期归还本息额相等，但后一 年比前一年每期应还本息额等额递减。 等比递增法把还款期限划分为若干时间段，在每个时间段内月还款 额相同，但下一个时间段比上一个时间段的还款额按一个固定比例递增。 等比递减本息法这种方式将整个还款期划分出几个时间段，前一时 间段比后一时问段多还一定本息，而每个对间段内每月须等额还贷。 组合还款法是在等额本金还款法和等额本息还款法的基础上，根据 借款人的收入成长曲线，而为借款人量身定做的还款方式。它根据借款人 未来的收支情况，首先将整个贷款本金按比例分成若干偿还阶段，然后确 第一章金融数学的基础理论 定每个阶段的还款年限，在每个阶段内是按照等额本息还款方式来还款 的。 以上所述的都是还贷的基本形式，在实际的应用中可能会有多种形式 间的转换，或者是它们的组合。 1 5 贷款模型 符号说明：af ：经过t 次还款之后还欠银行的款额，护0 ，1 ，2 ，n 其中ao ：期初贷款总额，n ：还款总期数，f ：贷款利率，正贴现率 本文仅讨论计复利情况下的有关模型 1 5 1 等额法还款模型 假设期初贷款a0 元，月利率为每月还款x 元，at 表示第t 个月 尚欠银行的钱数，则一个月后的本息之和为彳t ( 1 + d ，第抖1 个月欠 银行的钱数： a 抖1 = at ( 1 + d 一并t = 0 ，1 ，2 ，n( 1 ) 这是一个一阶线性非齐次差分方程模型通过求解得到 工：垫q 掣! ( 2 ) 【( 1 + f ) “一1 】 公式( 2 ) 表示在等额还款条件下，期还完，每期应还x 元与a0 、j 、n 之 间的关系 1 5 2 递减法还款模型 贴现水平一般用贴现率d 表示，它是单位货币在单位时间内的贴现额d 与j 有如下关系式： d ：l ，1 一d ：l 1 + f1 + j 若第抖1 期尚欠银行钱款的现值a 抖1 。则第t 期欠银行的钱款at 应包 第一章金融数学的基础理论 括两个部分。一部分是彳什l 相当于第t 期的价值，第二部分是第什1 期 还款j 元相当于上一期的价值即 彳t = a 。l ( 1 一d ) + 石( 1 一d ) t = 0 ，1 ，2 ，a 通过求解线性非齐次差分方程，得： 4 = 【凡一d o 卅) 】击) 言( 1 卅) 卜o ，1 ，2 ， 当a ”= 0 时，有 ，：a o d ( 1 - d ) “1 一( 1 一d ) ” 1 6 赔偿金 ( 4 ) 对于提前还贷这种违约行为，银行将收取一定比例的违约金，我们 称之为赔偿金。目前国内各大银行对其金额没有统一的规定。如目前中 行上海分行规定：一年之内提前还款的，将收取提前还款总金 额的一个月的利息作为违约金；而工行上海分行的做法是：一 年之内，住房商业贷款的借款人如需提前还款，将收取提前还 款金额的5 作为违约金。 收取赔偿金的理由是： 1 临时处理业务造成了银行人力资源的占用。 2 提前还贷使银行的贷款计划被打乱。 3 提前还贷本身也是一种违约行为，收取违约金也是国际惯例。 4 随着货币化分房的政策逐步实施，有一部分市民将有望得到单位的 一次性大额补助，从而使目前已经呈激增态势的提前还款量再次面 临激增的可能，而面对提前蜂拥而至的大笔资金，银行无法一下子 将其运用起来，造成一定损失。 5 外资银行的进入，也使得中资银行迫切需要保护自己的客户资源不 受影响。制订相应的惩罚条款也是措施之一。 对此，有关专家表示，对提前还贷收取违约金是势在必行的，借钱、 第一章金融数学的基础理论 还钱都应该有规矩。但是中国有中国的国情，在目前尚未成熟的买方 市场上，单凭收取违约金并不能很好地解决“提前还贷”所引发的问 题。而银行作为经营者，既要维护眼前的利益，还要想方设法吸引更 多的客户。 1 9 第二章随机利率下提前还贷的风险及收益 第二章随机利率下提前还贷的收益及风险 实际生活中，利率并不是固定不变的，而是具有一定的随机性，尤其 在长期的经济行为中，采用固定利率可能会带来预期与实际之间的较大偏 差。随机利率( r a n d o mi n t e r e s tr a t e ) 在金融数学中已成为热点问题。 本章首先引入金融数学中一个重要的概念“净现值理论”，然后介绍布 朗运动并以此建立随机利率模型，在此随机利率下，我们先求出某种提前 还贷模型的收益或损失，接着分析此种模型中银行或贷款人在t 时刻的风 险额度，并用计算机模拟其结果。 2 1 净现值理论 净现值是一项投资的市场价值与投资成本之间的差额。货币是有时间 价值的。项目投入的初始成本费用的价值与项目未来产生的现金流量的价 值不具备可比性。只有把项目产生的全部现金流量按一定的贴现率折算出 现值，才能与当前投入的资本费用相比较。净现值法的基本原理就是计算 出项目未来产生的全部现金流量的现值，并以此与全部投入成本的现值相 比较，其差额即为净现值。 2 2 布朗运动和随机利率模型 传统的贷款模型假定利率是确定的，然而利率却具有随机性，政策和经 济环境的变化以及重大事件的发生都会导致它的波动。利率的变化无疑会 给投资者带来无法预料的风险，由于利息随机性产生的风险，对银行而言 是相当大的，于是利率风险的管理对于金融机构来说是不容忽视的。综上 所述，为了减小预期与实际结果的差别，使用随机利率( r a n d o mi n t e r e s t r a t e ) 是比较恰当的。 2 0 第二章随机利率下提前还贷的风险及收益 随着对金融数学研究的深入，利息随机性的研究在近年来越来越受到重 视。 本文是在前人的基础上，建立了随机利率下还贷模型。 首先我们引入布朗运动的概念。1 8 2 7 年英国植物学家布朗发现花粉在 液体表面上作无规则运动，此运动被世人称为盔翅运麴( b r o w n i a n m o t i o n ) ( 又称为w i n n e r 过程) 。1 9 0 5 年，e i n s t e i n 提出了布朗运动的严格的数学理 论。布朗运动是最重要的一类随机过程。通常随机动态系统的状态往往都 与布朗运动有关，比如利率的变化，商品价格的变化等等。本文中我们用 彬，0 ) 来表示布朗运动。它有以下三个性质： w 0 = 0 独立增量性：对v s t 彬一以与睨 独立( 其中 0 “j t ) 高斯性：对vs t v , 一m n ( 0 ，卜5 ) 关于稚朗运动的具体定义和性质请见参考文献。 接下来先得到几个关于w i n n e r 过程的等式，以方便后面的计算： 1 e 0 嘎) ：e c 2 e 0 珥+ b ) = e 0 ( 4 一以) e 0 2 峨) = e c 2 c t - , ) e 2 c k 本文中我们用，( ，) 表示t 时刻的即时利率，为了得到，( ，) 的表达形式， 首先观察【0 ，t 】时间段内的平均利率，( f ) 。大家都知道时间段【0 ，t 】越长，平 均利率的波动就越小，并且它总在一个固定值附近波动，为了简便起见， 我们取r ( f ) = 口+ ，1 彬，其中a ，为正常数。对上式，不仅有，( ，) _ 口 ( f 斗0 0 ) 且v a r ( ，( ，) ) = t 1 2 _ 0 ( t - - o 。) 。这样得到平均折现因子为 e - r ( f l f = e - c o - # w , 。 2 1 第二章随机利率下提前还贷的风险及收益 2 3 1 模型的建立 2 3 提前还贷模型 我们用r ( ，) 表示t 时刻的即时利率，为了得到r ( f ) 的表达形式，我们 首先观察 0 ，t 时间段内的平均利率瓦( ，) 。大家都知道时间段 o ，t 越长 平均利率的波动就越小，并且它总在一个固定值附近波动，为了简便起见， 我们取 雨( f ) = 口+ 肛- 。b 其中a ，为正常数，且为标准布朗运动。 于是，当，_ 0 0 时我们不仅有瓦( f ) 斗a ( tj o o ) 且方差 d c r c t ) ) = ，一1 口2 - - 0 这样我们得到，时刻的折现因子为： e - r ( ) = e - o , - 舟( 2 ) 1 阪设呆人贷款总额为a ( 兀) ，贷款期限为t ( 年) ，即时还贷利翠为r 如果用a ，表示在【o ，f 】时间段内贷款人的还款额，那么在【f ，r + d t 】时间段 内，还款额戤为本金等础加上未还贷部分的利息( 么一专彳) ，西即 枷，= 等( 1 + 丹一讲 ( 3 ) 如前所述，f 时刻的折现因子为e - e , ( p = e - * n - 皿。如果客户在f 时刻提 前还贷，则实际还贷的现值为 x ，= p “一鹧d a ，+ ( 一一r 1 翻弦1 艘 = 等孓t + 弦一耖) 。一觑破+ c a - t - i r a ) e 一艘 “， 2 3 2 提前还贷的收益分析 第二章随机利率下提前还贷的风险及收益 由于还款额的现值大小亘摄影响到贷款双万的经所利益，1 j 叶以尢论是 贷款人还是债权人，主要关心的首先是还款额的现值大小，其次风险的大 4 , x ；t - y - 贷款双方也是不容忽视的。由于利率是不确定的，所以还款额x ，是 随机的，其数学期望e x ，表示提前还贷的现值大小，d x ，) 表示还款额现 值的波动，即它是风险的度量指标。 为了进一步分析提前还贷的优劣性，我们必须先求出e x ，与d ( x ，) 。 期望值，：睾k 1 + n f r ) 髓一皿出+ ( 爿一r - 一叫) 一艘 ( 5 ) 利用布朗运动的性质，有e e 一一m = p 一一+ ，z ，所以 氓= 争乃，卜饥7 ar 卜饥等c 丁叫k 7 = 7 a ( h 心+ 兰t 篇n k ( n 1 ) - 志tn k ( 水r - 如) 丁、 7 l 、7 l 、 7 2 亍a ”咄7 + 裂( n 1 ) _ 篆+ 志( 卜1 ) ( 6 ) 其中k = e - a + ，2 ”。 为了求得e x ，的极大值或极小值，令，( r ) = e x ，于是有 m = 等( h ) ( r + 譬刊e 一+ ；肿 通过对厂( f ) 的分析，我们可以得到以下结论： a 当，+ 2 2 一口 0 时( f ) 单调增加，在r = t 时凰，取极大值，极大值 为 f ( t ) 2 矗寻【k r i n k - ( 1 + t r ) l n k + r ( k t - 1 ) 】 ( 7 ) b 当r + 2 2 一口 口，符合第一种情况，也就是说，提前还贷越早越好。 2 3 3 提前还贷的赔偿金 只在上面第一种情况下存在，此时若贷款入在f 时刻提前还贷，会造成 债权人的损失，预期损失大小为厂( 7 1 ) 一，( r ) 。所以合适的赔偿金额应当定 为 朋) 一m ) = r a _ k 7 ( f r ) + 丽a ( k 7 一t r k 一k 7 + r 承) + 击( k r _ k 7 ) 2 3 4 提前还贷的风险分析 如前所述，我们是用方差来衡量风险大小的，为此我们必须先求出x ， 的方差脚，= e x ，2 一( e x ) 2 ， 瓯2 2 ( 爿一事爿) 2 e 。2 + 2 ( 争2 仃一f ) f ( 1 + 乃一护) e “一棚2 拶以馥 + ( 等) 2 “( 1 + 乃一t r ) ( 1 + t r j 咖1 ”嘣4 圳批 上式最后一项等于 2 ( 争2 f ( 1 + n 一一弦“a t c o + r r s ，) 口一。艮州4 + e 出， 其中5 ，利用e b 。与b 。的相互独立性，知 e e 。# l 8 t + b t l = e e 一烈8 t b ，1 t 郧，= e e 一烈8 t 一8 1 e e _ 2 邱，= e 旷t t s l f 2 e 2 0 l s 经过计算我们可以得到 第二章随机利率下提前还贷的风险及收懿 历，= 高蒜( t 2 r2 - 2 胁+ ，2 z 乃 一丝一( 7 2 r 2 + 2 t r + 1 ) 一t 2 l n w l n v 。7 十+ 1 j + 蒜【( 2 开2 + 2 r _ 2 r 2 r ) w 7 2 乃2 砌】 一f 素笔忑【( t 2 1 2 _ 升2 r + 2 孙- r r + 1 ) u - t 2 r 2 - 2 乃一1 】 十蒜c w 叫每h 加7 一蒜【( 什2 + r ) “一乃2 一r 】 一i 高( “一1 ) + j = j 高( w 7 1 ) + 蒜【( n 2 一，2 r + ，) w 7 一n 2 一， 一蒜陋2 _ t , 1 g + r 叫 + 雨2 a 忑2 ( n + 7 1 2 丹f + r f 2 - v ) w r _ 羔( n + 1 ) ( r - r ) “ + 播( h ) ( w t _ h r ) _ ( 剐2 其中，w = e - 2 a + 2 ， = e - u + 矿n ，v = e - a + 3 矿7 2 一小节 ( 9 ) 由于m ，的表达式相当复杂，我们只能对d x , 进行数值分析，见下 2 3 5 算例 假设某贷款人向某金融机构贷款3 0 万，贷款期限2 0 年，即期还贷利 第二章随机利率下提前还贷的风险及收益 率为0 0 6 ，并且我们假定口= o 0 3 ，口= o 0 1 即： t = 2 0 ( 年) ，a = 3 0 ( 万) ，r = 0 0 6 ，口= o 0 3 ，= 0 0 1 用计算机模拟脚，关于f 的数据和曲线如下： f 1 3 6 4 5 8 4 2 4 5 4 8 7 7 3 3 0 2 3 2 4 3 9 3 5 4 4 4 4 3 8 0 0 7 8 4 6 5 9 6 0 6 4 7 9 5 1 6 6 4 8 0 5 8 3 8 4 7 0 8 8 2 4 4 5 1 9 6 0 6 d x ， 1 1 4 2 5 2 0 9 8 1 23 9 1 8 7 8 5 1 33 5 3 0 8 4 5 1 43 0 9 8 2 6 7 1 52 6 2 9 9 5 6 1 62 1 3 3 8 3 4 1 71 6 1 6 9 2 7 1 81 0 8 5 4 4 8 1 95 4 4 8 7 2 6 2 00 6 5 9 8 9 1 表2 3 5 方差数据表 t a b le2 3 5v a r i a n c ed a t a 图2 3 5 方差曲线 f i g2 3 5 v a r i a n c ec u r v e 1 2 3 4 5 6 7 8 9 o 第二章随机利率下提前还贷的风险及收益 对于本例来说，由运算结果可以看出，在第八年执行提前还贷时，总 还款额现值的波动性最大，标准差达到了7 0 0 元。这意味着在这时候提前 还贷对于贷款人和债权人来说，风险同样很大，所以应该避免在此时执行 提前还贷。 第三章实际应用中本金及利息的计算方法 第三章实际应用中本金及利息的计算方法 在前一章，我们建立了在随机利率下的提前还贷模型，但在实际应用 中还有更多的情况。在本章，通过一个实例来说明在实际应用中本金及利 息的计算方法。 3 1 实际应用中存在的问题 上一章，我们通过计算分别确定随机利率下提前还贷的收益及风险以 及赔偿金额，但忽略了几个在实际应用中存在的问题： 1 实际应用中还贷会用到月缴方式( 这也是大多数贷款人选择的方 式) ，而不是连续的方式，而年缴，半年缴，季缴贷款都是贷款人可 能选择的方式。 2 虽然利用固定利率来计算利息可能会出现对银行不利的情形，但目 前实际应用中并没有用随机利率来计算，这有几点原因： a 目前在我国金融市场中随机利率仅仅处于研究阶段，还没有一个 很完善的模型； b 银行监管机构对于利率由非常明确的规定，因为定价利率的高低 直接关系到贷款人的利益： c 实际上银行可以通过停止贷款或更改贷款政策来降低损失风险； 3 对于住房贷款人提前还款要注意的是，用公积金贷款购房的最初一 年内不要提前还款。按照公积金贷款的有关规定，部分提前还款应 在还贷满1 年后提出，并且归还的金额应超过6 个月的还款额。还 有一点是，借款合同中规定提前还款者不应出现逾期不还的情况， 如果有逾期不还，应先还完欠款再申请提前还贷。 4 申请提前偿还一部分贷款或者偿还剩余全部贷款，由于借款人在偿 还了贷款后，不存在占用资金的问题，所以对这部分偿还的资金， 银行是不收取利息的，借款人只需偿还剩余贷款的本金。据了解， 第三章实际应用中本金及利息的计算方法 目前各地银行对提前还贷是否收取违约金的规定不同，虽然一些银 行对提前归还住房贷款尚不收违约金，但贷款人提前还贷时必须提 前一至两个月通知银行，以便银行能有时间做好更改贷款契约的准 备工作。 3 2 提前还贷实例 根据多年对购房户的调查得出结论。大多数按揭客户都有提前还款。 缩短借款期限的记录或计划。在此前提下，借款人通过提前还款、缩短借 款期限，可以取得少付利息的效果。 下面我们来讲解一个实际中的本金及利息的计算方法。 某先生贷款买房，月收入2 5 0 0 元，向银行按揭贷款1 0 万元，借款期 限为5 年，年利率为5 0 4 。签约时他选择了按等额本息方式还款。 计算表格如下： 月份利率折现因子支付现值月份利率折现因子支付现值 10 4 20 9 9 5 81 8 6 3 4 73 11 3 0 2o 8 8 4 81 6 5 5 7 3 2o 8 40 9 9 1 7t 8 5 5 7 13 21 3 4 4o 8 8 1 5t 6 4 9 6 0 31 2 6o 9 8 7 61 8 4 8 0 23 31 3 8 6o 8 7 8 31 6 4 3 5 1 41 6 80 9 8 3 51 8 4 0 3 83 41 4 2 80 8 7 5 01 6 3 7 4 7 52 1 00 9 7 9 41 8 3 2 8 13 51 4 7 00 8 7 1 81 6 3 1 4 8 62 5 20 9 7 5 41 8 2 5 3 03 61 5 1 20 8 6 8 71 6 2 5 5 2 72 9 40 9 7 1 41 8 1 7 8 63 71 5 5 4o 8 6 5 51 6 1 9 6 l 83 3 6o 9 6 7 51 8 1 0 4 73 81 5 9 6o 8 6 2 41 6 1 3 7 5 93 7 8o 9 6 3 61 8 0 3 1 43 91 6 3 8o 8 5 9 31 6 0 7 9 2 l o4 2 0o 9 5 9 71 7 9 5 8 84 01 6 8 0o 8 5 6 21 6 0 2 1 4 1 14 6 2o 9 5 5 81 7 8 8 6 74 11 7 2 2o 8 5 3 11 5 9 6 4 0 1 25 0 40 ，9 5 2 01 7 8 1 5 l4 21 7 6 40 8 5 0 01 5 9 0 7 0 1 3