（理论物理专业论文）一类ns1p黑洞的熵.pdf

摘要 黑洞长久以来是理论物理学界感兴趣的问题，并在最近取得了一些天文学上的观察 证据。黑洞的量子理论带来了很多佯谬，如何去解决这些佯谬是极重要的，问题的解答 将加深我们对量子引力的理解。弦理论是量子引力的一个备选方案，其中是没有自由参 数的，应该可以解决佯谬。如何应用弦理论来处理黑洞也是一个重要的课题。 我们要讨论的是一类n s l - p 黑洞的熵的问题。b e k e n s t e i n 熵为= g 。如果我 们不打算破坏热力学第二定律，那么这个式子对黑洞就是成立的。这是我们的出发点。 i i b i i a 型超弦理论的低能有效作用量是i i b i i a 型超引力。在本文中我们要讨论的 黑洞是超引力的解。我们先对超弦，超引力，t 对偶，s 对偶k a l u z a - k l e i n 约化做一些 介绍。因为我们只对玻色解感兴趣，所以我们也只讨论玻色解。我们希望找出一类n s l p 黑洞的熵并给出其物理上的解释。 首先我们研究一下s 对偶，通过s 对偶我们可以给出n s l p 系统与d i p 系统作用 量是等价的。n s l 。p 黑洞是n s l 超引力的低能有效作用量的解。于是我们可以的知n s l p 黑洞和d 1 p 黑洞是等价的。而熵在s 对偶下是不发生改变的。如果我们能解出n s l p 黑洞的熵那么我们也就知道了与之对偶的d 1 p 黑洞的熵。 我们尝试通过约化l i b1 0 维n s l p 系统来得到5 维黑洞。并将弦标架转为e i n s t e i n 标架 来求黑涧的熵。我们知道在弦理论中动量和荷存在着等价性，通过计算我们期望能得出 n s l p 系统熵和荷之间的关系。 关键词：t 对偶，s 对偶，k a l u z a - k l e i n 约化，超引力，黑洞，熵。 a b s t r a c t b l a c kh o l e sh a v el o n gb e e no b j e c t so fi n t e r e s ti nt h e o r e t i c a lp h y s i c s a n dm o r er e c e n t l ya l s o i ne x p e r i m e n t a la s t r o p h y s i t s n eq u a n t u mt h e o r yo fb l a c kh o l e sp r e s e n t sm a n yp a r a d o x e s i ti s i m p o r t a n tt oa s kh o wt h e s ep a r a d o x e sa r et ob es o l v e d , f o ra n s w e r sw i l ll i k e l yl e a dt od e 印 c h a n g e si no u ru n d e r s t a n d i n go fq u a n t u mg r a v i t y s t r i n gt h e o r yi s ac o n s i s t e n tt h e o r yo f q u a n t u mg r a v i t y , i ti s at h e o r yw i t hn of l e ep a r a m e t e r s w r es h o u l dt h e r e f o r ea s kh o wt h i s t h e o r yd e a l s 、新t l lb l a c kh o l e s w en e e dt od i s c u s si sac l a s so f n s l - pb l a c kh o l e se n t r o p yp r o b l e m b e n k e n s t e i ne n t r o p yi s = g , t h i s e n t r o p ym u s tb et r u e t ot h eh o l ei fw ea r et op r e v e n t av i o l a t i o no ft h es e c o n d l a wo f t h e r m o d y n a m i c s t h i si so u rs t a r t i n gp o i n t t h el o w e n e r g y e f f e c t i v ea c t i o no ft y p e l i b i i as u p e r s t r i n gt h e o r yi st y p e l i b i i a s u p e r g r a v i t y t h eb l a c kh o l e sw h i c hw ew i l ld i s c u s s l a t e ri nt h i sp a p e ra r e ss o l u t i o no f s u p e r g r a v i t y w e n e e dt om a k es o m e i n t r o d u t i o n o n t h e s u p e r s t r i n g ，s u p e r g r a v i t y t - d u a l i t y , s d u a l i t y , k a l u z a - k l e i nr e d u c t i o n s i n c ew ea r ei n t e r e s t e di nb o s o n i cs o l u t i o n , w e w i l lo n l yd i s c u s st h eb o s n i cp a r t w eh o p et os o l v ean s1 一pb l a c kh o l e se n t r o p ya n df i n di t p h y s i c a li n t e r p r e t a t i o n f i r s t ，w ew i l ld i s c u s ss - d u a l i t y , w h i c hg i v e st h ee q u i v a l e n c eo ft h en s 1 一ps y s t e m sa c t i o n a n dd1 一ps y s t e m sa c t i o n t h en s1 一pb l a c kh o l e si st h es o l u t i o no ft h en s1s u p e r g r a v i t yl o w e n e r g ye f f e c t i v ea c t i o n s o ，t h en s i - pb l a c kh o l e si se q u i v a l e n tt odi pb l a c kh o l e s w ek n o w t h a te n t r o p yi sn o tc h a n g eu n d e rs - d u a l i t y i fc a ns o l v et h ee n t r o p yo ft h en s1 - ps y s t e m ，t h e e n t r o p yo ft h ed 1 一ps y s t e mt h a tc a nb ek n o w n b yu s e dt h es - d u a l i t y w et r yt oc o n s t r u c ta5 - d i m e n s i o n a lb l a c kh o l eb yd i m e n s i o n a lr e d u c t i o no ft h en si p s y s t e mo f10 一d i m e n s i o n a lt y p e l i b a n dt r a n s f o r mt h e5 - d i m e n s i n a ls t r i n gf r a m et oe i n s t e i n f l a m et oc o m p u t et h en s1 一ps y s t e m se n t r o p y w ek n o wt h a te x i s te l le q u i v a l e n c eb e t w e e n m o m e n t u ma n dc h a r g ei ns t r i n gt h e o r y h o p et og e tb yc a l u l a t i n gt h er e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h e e n t r o p ya n dc h a r g e k e yw o r d s ：t - d u a l i t y , s - d u a l i t y , k a l u z a - k l e i nr e d u c t i o n , s u p e r g r a v i t y , b l a c kh o l e e n t r o p y 西北大学学位论文知识产权声明书 本人完全了解西北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定。学校 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版。本人允许 论文被查阅和借阅。本人授权西北大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存 和汇编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所等机构将本学位论 文收录到中国学位论文全文数据库或其它相关数据库。 保密论文待解密后适用本摩朋。 学位论文作者签名： 孽整熬指导教师签名：堑塞2 沙f 。年毛月z ) 日 ) o 秒年石月猡日 西北大学学位论文独创性声明 本人声明：所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 本论文不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得西 北大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的 同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢 ：也 恳0 月以日 西北大学硕士学位论文 第一章引言 弦论最初是在对高能物理的研究中提出的，1 9 6 0 年代，在对强相互做用的粒子散射 研究中发现v e n e z i a n n o 公式n 1 埘，= 等粽裂 满足一种对偶的性质，在对公式的研究中发现v e n e z i a n n o 公式解释为一维延展物，即弦 与弦的散射振幅。由此出发而诞生了弦理论。 弦做为一维延展模型，在时空中运动划出的是一个2 维的世界面，我们一般用参数霸o r 来描述这个世界面s ( f ，仃) ，那么弦的运动过程实际就是一个2 维面嵌入到高维时空 流形的过程。这样嵌入的几何性与弦的动力学性质就建立了联系。 不妨假设世晃面的诱导度规与时空度规存在如下关系 = g 。，a 。x p 包x ”( 1 2 ) 此处x 为时空的坐标。 按照n a m b u g o t o 作用量可写为1 2 】 s 一击肛拈厅 ( 1 3 ) 随着弦理论的发展，不同的学者竟然做出了5 种不同的弦理论，这一点十分令人费解。 也对弦理论的前景构成了挑战。 近些年来弦论工作者做出了一些著名的结果，其中最为重要的结果之一就是关于弦 论中对偶性的理论。原本用于超对称规范理论的公式被扩展到弦理论中1 2 1 。弦理论的发 展过程中出现了5 种微扰不等价的超弦理论，在近些年的发展中，对偶性的研究指出5 种不等价超弦理论在1o 维情形下通过非微扰映射能彼此联系起来。在这一系列关系中5 种不等价的超弦理论可以看做是对同一基本理论的五种不同的微扰展开，这种基本理论 叫做m 理论2 捌。m 理论内在的基本公式还不得而知，取其微扰极限可得出唯一的1 l 维超引力模型。但此种方法指明了弦理论与超引力之间的关系并且随着理论的发展取得 了一系列有趣的让人期待的结果。 弦理论中存在很多另人惊讶的性质，如t 对偶预示在存在额外维的情况下两种不同 的几何可能是等价的【4 】，最简单的例子是半径为r 的环等价于半径为2 r ，此处，为基 本弦的长度标度。t 对偶明显可以将两种理论联系起来，如两种i i 型超弦理论和两种杂 第一章引言 化弦理论。这样i i a 型和i i b 型超弦理论实质上是一个理论，两种杂化弦理论也一样。 更确切的说它们反应的是连续几何如环形维的不同半径下的不同结果。此半径并非更基 本理论的参数，在一定程度上它是标量场的真空期望值，并决定了动力学性质。 另一种对偶性，s 对偶性于超弦第二次革命1 9 9 0 年代中期被发现，s 对偶将弦耦 合常数岛和1 & 联系起来【5 l ，如同t 对偶将半径为芝r 和r 联系起来，两个基本的例 子为i 型超弦理论到s o ( 3 2 ) 杂化弦理论和i i b 超弦理论到它自身【6 】。所以根据小量墨在 这些理论中的作用和微扰理论，我们可以得知当g 。 1 时的理论。例如强耦合的i 型超 弦理论等价于弱耦合的s 0 ( 3 2 ) 的杂化弦理论。在i i b 理论中关于它自身存在这种对偶性。 弦论中耦合常数由e x p 矽的真空期望值给出，矽为伸缩子场。s 对偶如同t 对偶是一个关 于场有矽到矽的变换，和真空期望值并无关系。 通过运用弦论中的对偶群，一个连续对偶群的离散形式在超引力理论中被发现，通 常的微扰弦态可以映射为在p 个空间方向上延展的孤立子构形。这可能是粒子( p - - o ) ， 也可能是弦( p = 1 ) ，膜( p = 2 ) ，或者更一般的说p 一膜【7 ，引。所以我们可以说现代的弦理论， 不再是仅仅关于弦的理论。实事上p 维延展的物体j 下是非微扰弦对偶的自由度的需要。 从超引力的观点来看，p 膜天然就是不同的携带对应( p + 1 ) 形式规范势非消散荷的低 能有效作用量的弦的经典解。所以要去识别这些超引力p 膜的构形是需要弦对偶的。出 于这些原因近年来不少研究的注意力转移到超引力膜及其性质上。陆续出现了一些研究 成果，如非消散电荷或磁荷的经典解，在n e v e u s c h w a r z n e v e u s c h w a r z ( n s n s ) 2 形式 下是相互关联的。基本弦与孤立子5 膜在对偶下变为孤立子弦与基本5 膜。这些工作由 p o l c h i n s k i 所开 l j 9 , 1 0 】。 这些解关联于开弦的端点汇成的薄膜，其横向满足d i r i c h l e t 边界条件，纵向满足通 常的n e u m a n n 边界条件。于是我们称之为d i r i c h l e t 膜或简称为d 膜。 黑洞一直是理论物理学界关心的问题，s c h w a r z s c h i l d 通过求解真空e n i s t e i n 方程的 到了球对称的静态真空解，在对解得研究中发现，度规竟然具有奇性。c h a n d r a s e k h a r 在对白矮星进行研究中发现当星体的质量大于1 4 倍太阳质量时，简并的f e r m i 电子气 的相对论状态方程不能计算它的万有引力。推测可能存在着其他的演化可能。在其后的 几十年中，黑洞的研究不断的发展起来，上世纪7 0 年代，h a w k i n g 等人对黑洞量子力 学以及b e n k e n s t e i n 对黑洞热力学做了不少开创性的研究【1 l - 1 6 】。黑洞粒子的产生更是将 2 西北大学硕士学位论文 引力理论，量子力学和热力学结合在一起，在理论物理学界引起了广泛的关注。黑洞研 究中也出现了很多问题，如信息佯谬等【1 7 1 。弦论出现后不断有人将弦论中得到的结果和 方法应用到黑洞的研究中，弦理论是一种统一所有相互作用的量子理论，当然也包括引 力，因此不应该存在信息丢失的问题。如果b e k e n s t e i n 熵= g 是成立的，那么如 何在微观上用弦论来解释黑洞极高简并的微观状态，黑洞对应的到底是一个微观状态还 是一个热力学系综，这都需要解答。s u s s k i n d 等人提出一个较为有趣的方案去研究弦论 中黑洞的问题【m 。考虑弦的高度激发态，这些态拥有的质量m 孑假设这些弦的耦 合非常小( & 1 ) 实质上这些弦是自由的，左行和右行振荡能级m ，口7 m 1 ， 于是在该质量下状态时高度简并的。微观状态数给出的熵为伽= l i l 【卜口m 。( 确 切的比例常数依赖于有多少个方向紧化，每个紧化方向提供的绕数的模对熵也有贡献。) 考虑弦的耦合常数& 增大，这将会带来引力，因为n e w t o n 引力常数g 藓。 如果m 足够大那么就可能给我们带来黑洞。我们知道黑洞的b e k e n s t e i n 熵= g 对于s c h w a r z s c h i l d 黑洞在3 + 1 维非紧化情况下我们得到& 破m 2 。 ，) 一2 更一般的情况如果有d 维非紧化时空那么可以得到m d 可以看出& ，。与s 础随m 的不同幂次增长，& 胁随m 的幂增长表明即使在g = o 的 情况下微观状念数任然随能量的e 指数而增长。 瓯伽与瓯政之间的差别指出如果能级将会随耦合常数g 变更。直接去比较不同耦合 常数g 所对应的简并度是不可行的。为了避免这个问题我们选择了b p s 态，在b p s 念 下选择适当的单位可实现q = m 【1 9 2 0 。b p s 态的质量由其所现代的模的值所决定。所以 所有质量为m 的b p s 态可以归为一类，通过改变耦合常数g 来比较简并态的变化。我 们期望能得到瓯伽= 。严格的讲，计算黑洞的熵应该使用的是量子引力理论，弦理 论是量子引力的一个备选方案，但即使这样用量子引力的细节去计算黑洞的熵任然是我 们所不知道的，但是如果我们认为黑洞的熵是严格的正比于黑洞的视界面积的话，那么 黑洞熵就和量子引力的细节应该无太大关系。 在第二章里，我们将回顾一下t 对偶和s 对偶的物理意义对后面将会用到的技巧加 以说明。在第三章我们将简要说明2 类最简单的黑洞，黑洞的视界和热力学。前面以有 3 第一章引言 人研究过弦论中5 维和4 维黑洞，得到了许多重要的结果 2 0 - 2 3 1 。第四章我们将研究d 1 弦在s 对偶下的对称性，并利用这一点将n s l p 黑洞通过s 对偶变成d 1 p 黑洞，来比 较其微观状态熵和b e n k e n s t a i n 熵。 4 西北大学硕上学位论文 第二章超弦及弦论中t 对偶与s 对偶 2 1 超弦作用量 弦理论起初是在上世纪6 0 年代对强相互作用的研究中发展起来。这个理论的基础 模型是一维的延展物，被称为弦。 弦论当时被用于描述强相互作用的基本思想是不同的粒子对应于弦不同的振动态 ( 或量子态) 随着标准模型的出现，引力被认为其传播子自旋应该为2 ，而弦论中可以 提供自旋为2 的玻色子。传统的量子理论是无法将引力放进去的，引力用广义相对论所 描述，而在极小的距离和极高的能量情况下如何描述引力是广义相对论没有解决的。所 以有人就试图将广义相对论纳入到弦理论中，弦理论也就成了一个量子引力的备选方 案。 为描述基本粒子而发展出的标准模型为s u ( 3 ) s u ( 2 ) s u ( 1 ) 的规范群，描述强相 互作用，弱相互作用和电磁相互作用。其传播子为自旋为1 的玻色子。弦理论有可能统 一的描述4 种相互作用。 为了满足相对性，弦论必须满足超对称，由此而发展处了超弦，超对称和超弦展现 - s e 多奇特的性质，但由于寻找超伙伴的能标很高，是否真存在超对称还有待遇验证。 k a l u z a 与k l e i n 在1 9 2 0 年代提出了额外维的概念，即我们所在的4 维时空可能只 是更高维度空f l j j 紧化的结果，k a l u z a 与k l e i n 考虑了一个5 维的e i n s t e i n 引力理论得到 了很多令人吃惊的结果，他们的：l ：作后来进一步被人发展成了多个额外维度的理论，并 被弦理论家发展到超引力理论中，所有这些关于紧致的额外维理论被统称为 k a l u z a - k l e i n 理论。超弦理论需要1 0 维或1 1 维，要得到我们所在的4 维必须紧化掉6 维或7 维。 平直时空中弦的p o l y a k o v 作用量为1 2 1 s 一去p 耐卟尸丸x 叼。x ”r ， ( 2 1 ) 其中( 盯，f ) 是世界面上的诱导度规。实际中我们感兴趣的问题多发生在弯曲时空中， 比较自然的想法就是将( 2 1 ) 中的平直度规换成非平直的度规 s 一去p f 叫训j 广q a x 乜x ” ( 2 2 ) 5 第二章超弦及弦论中t 对偶与s 对偶 对于含有费米子的弦的作用量为 耻一击p 耐叩吃r 一矿柙口门 ( 2 3 ) 其中 小i ) 2 = ( 影亿4 ， 矿，矿) = - 2 r l 妒 6 x 9 = 却9 = 影”s 如户：二矽) 二 ( 2 5 ) 其中s 为由反对易的g r 嬲s m a n m 数构成的无穷小m a j o r a n a 旋量，这样的变换叫做世界面 上的超对称变换。 上面这种具有超对称的弦就可以称为超弦，对作用量做变分，就可以分别得到x 芦，y 声的 运动方程 将缈可以写成2 分量形式 y = 亿6 ， f e r m i 场量的运动方程为 ( 兰+ 吴) = o ( 2 7 ) d o -d f ( 兰一吴) = o ( 2 8 ) d c ，-d f 对于f e r m i 场量存在3 种边界条件：r a m o n d r a m o n d 与n e v e u - s c h w a r z 边界条件 对于r - r ，弦的边界条件为 ( 盯，f ) = ( 仃，f ) ，1 7 = o ，万( 2 9 ) 对于开弦有 旷( 叩) = 下1 群p 刮) 、么 心( 盯，f ) = 击薹群p 嘲( f ”) 对于闭弦有 缈y ( c r ，f ) = 稚嘲 6 ( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) 西北大学硕士学位论文 蛘( 盯，f ) = 彰e 嘲。州 一e z 对于n s ，弦的边界条件为 ( 盯，f ) = 一 ( 盯，f ) ，仃= o ，万 ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 对于开弦有 ( 仃，r ) = 矽p 嘲 ( 2 15 ) n e z + l 2 ( 仃，r ) = 矽e 嘲什9 ( 2 1 6 ) n e z + 蟛2 对闭弦有 ( 盯，f ) = b r a e 嘲 ( 2 17 ) n e z + ( 仃，f ) = 咋嘲什叻 ( 2 1 8 ) n e z + 2 如果将不同的场加入作用量中也就会得到不同的弦理论。 2 2k a l u z a k l e i n 紧化 我们在第4 章将把1 0 维n s l p 系统通过k a l u z a - k l e i n 紧化约化到5 维束求黑洞的 熵，k a l u z a - k l e i n 紧化是一类最简单的紧化。假设空问为5 维，度规为，其中m ，n = 0 4 ， 假设其中一维是环紧化的。使用4 维坐标r 4 ( ，= 0 4 ) 和周期坐标x 4 = x 4 + 2 n r ， r 为环的半径。 假设5 维坐标发生一个变化寸x = + ( x ) 那么 g m nj g m n = g 州一8 m s n 一8 n s ( 2 1 9 、) 将度规分解为g 6 声，g 卯甜，g 5 1 。几部分，考虑做一个变化 g ”声4 一g 箩= g ”一a 幺( x ) ( 2 2 0 ) 从4 维的角度来看g ”“是一个标量，g ( 2 5 。) 杂化弦的低能有效作用量为 昂2 去p 1 0 x ( 一d e t g ) l ，2 p 刮陋+ 4 ( v ) 2 】一壶( 膏。) ) 2 一詈e 乃( f 口) ) 2 ( 2 5 1 ) 式中疗( 3 1 ，g ( 3 是3 形式场，2 是2 形式场。常数设定为 2 k 2 童2 毛2 0 岛2 = 1 6 n - g i o = ( 2 万) 7 口“g ；( 2 5 2 ) g 1 。为1 0 维的n e w t o n 引力常数。如果我们对场进行如下一个变换 瓯，( ，) = p g j , ，( h e t e r o t i c ) 矽( ，) = - 认h e t e r o t i c )( 2 5 3 ) g ( 3 ( ，) = 疗( 3 ) ( h e t e r o t i c ) 可以发现i 型弦理论和s 0 ( 3 2 ) 杂化弦理论的低能有效作用量形式上是一样的。( 2 5 3 ) 式 中这种矽专一矽即为s 对偶，即强弱对偶。我们可以猜测i 型弦理论和s 0 ( 3 2 ) 杂化弦理 论不仅低能有效作用量的形式具有对偶性，它们可能就是从不同的角度描述的同一个量 子理论。由于岛= e ，那么( 2 5 3 ) 式实际上揭示了i 型弦理论和s 0 ( 3 2 ) 杂化弦理论的 耦合常数之间存在一个简单的关系： g i 墨h = 1( 2 5 4 ) 这样我们可知如果一个理论是弱耦合，那么与之对偶的理论必定是强耦合的。考虑i 型 弦理论中的d 1 弦其张量为 占 ( 2 5 5 ) 幻1 一一g s 面 u 依据上面的强弱耦合我们可以得出s 0 ( 3 2 ) 杂化弦的张量为 t2 面1 ( 2 5 6 ) 同样在i 型理论q b d 5 的张量为 1 2 西北大学硕上学位论文 t d 5 厕1 ( 2 5 7 ) 在杂化弦理论中 t n s 5 - - - 2 瓣1 ( 2 5 8 ) 通过( 2 5 3 ) 中的变化也可以得到s 对偶也即满足t 专乞；，器一三的理论是相互等 价的。 i i b 型超引力其规范场有2 个2 形式场a = ( n s - n s 2 形式) 和c 2 偎一r 2 形式) ，这样弦 可以携带2 种荷。n s l 弦( 或基本弦) 弦携带的荷为( 1 ，o ) 意味着有一个荷与及耦合， 没有荷与c 2 耦合。同样d 1 弦与c 2 耦合它的荷为( 0 ，1 ) 。当然双重荷的态通过s l ( 2 ，r ) 同样可以对偶到双重荷。关于s 对偶我们将在第四章具体分析并应用来解决n s l p 系统 和d 1 一p 系统的对偶问题。 1 3 第三章黑洞及黑洞热力学 第三章黑洞及黑洞热力学 3 1s c h w a r z s c h i l d 黑洞一 通过解真空e i n s t e i n 方程 尽一昙昂，r ：0 ( 3 1 ) 求得s c h w a r z s c h i l d 解。 对于最简单的解，应该存在最高的对称性。静态指的是该场与时间无关，且进行一个 f 专。的反演变换具有不变性。 类时k i l l i n g 矢量场满足 v + v ，乞= 0 ( 3 2 ) 静态时空的k i l l i n g 矢量场的轨迹与一族超曲面f 交，使得 a o g 。，= 0( 3 3 ) g o f = 0 在球坐标( f ，厂，0 ，缈) 下度规可表为 d s 2 = 一f ( r ) d t 2 + 2 r e ( r ) d t d r + r 2 d ( r ) d r 2 + c ( 厂) ( 办2 + ，_ 2 d 0 2 + ，2s i n 2 目d 伊2 ) 做坐标变换 f 7 = t + ( ，) 可以使( ，) 满足 一掣：一r e ( ，) f ( ，) a r 则可得 凼2 = 一f ( r ) d t 2 + g ( r ) d r 2 + c ( ，) d q 2 式中 g ( r ) = r 2 d ( ，) + e 2 ( ，) f ( 厂) 】 d f i 2 = d r 2 + ，2 d 0 2 + 厂2s i n 2 铋缈2 再做坐标变换 1 4 ( 3 4 ) ( 3 5 ) ( 3 6 ) ( 3 7 ) ( 3 8 ) ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) 西北大学硕士学位论文 ，- “= c ( r ) r 2 则可得 d s 2 = - b ( r ) d r 2 + 彳( ，) d r 7 2 + ，2 ( d 0 2 + s i n 2 铋伊2 ) 式中 b ( r 7 ) = f ( ，) 【1 + 器】【1 + 南掣】。2 即静态球对称度规的标准形式为 , i s 2 = - b ( r ) d t 2 + a ( r ) d r 2 + 厂2 ( d 0 2 + s i n 2 鲋伊2 ) s c h w a r z s c h i l d 解为 凼：一( 1 一丝) 西z + ( 1 一丝) 一- 办2 + 2 d q z ， 这个解渐进平直的即 通过观察我们看到当 = 2 m ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) l l t h , j g , ，= o ，g ，- - - - 0 0 ，= 2 m 处被称为奇点，但是在，= 处度舰张量的行列式和标曲率 都足正常的。计算可得 g = 一_ 0 s i n 2 t 。 r = 9 9 v r w = 1 2 r ， ( 3 1 9 ) ( 3 2 0 ) 那么这里出现的奇异性并非是度规决定的，通过适当的坐标变换可以将，= 的奇点消 除。还有一个奇点r - - o ，对应的黎曼标曲率为 r = 等哼 这一奇点是无法通过坐标变换去掉的，称为真奇点。 3 2r e i s s n e r - n o r d s t o r m 黑洞 ( 3 2 1 ) 我们来看一类除质量外还有其他荷的黑洞在e i n s t e i n - h i l b e r t 作用量中加上m a x w e n 1 5 第三章黑洞及黑洞热力学 场，作用量口j 与为 s = p 4 x 厅( 志r l e v , - ) ( 3 2 2 ) 弯曲空间中的m a x w e l l 方程可以由e u l e r - l a g r a n g e 方程和规范场的b i a n c h i 等式得出 v 声f m = 0 ( 3 2 3 ) 忡毛v 20 对偶规范场为 ，= 芝1 ，舻 ( 3 2 4 ) m a x w e l l 方程在g l ( 2 ，r ) 变换下是不变的 ( 袅m 烈盘 b 2 5 ， 其中e 咎吼亿尺， n 2 6 ， 这种变换实际上包括了电磁对偶，但这罩的对偶对于场方程式成立的，对作用量则不成 立，我们在第4 章将要讨论的对偶是从作用量出发，对场方程和度规同样成立。 电荷和磁荷可以通过积分给出 g = 击扣胪去叮f ( 3 2 7 ) f = 三，吃机 ( 3 - 2 8 ) 通过作用量可以得到引力方程为 巳，一j i 尺= 8 万g ( 彤一i i f 胪) ( 3 2 9 ) 令黎曼标曲率r = 0 ，当然同时能动张量也为零，r e i s s n e r - n o r d s t o r m 解为 凼：川一丝+ 之) 西z + ( 1 一丝+ 垡之) d r 2 + r 2 d q ： ( 3 3 0 ) rr rr 。 只= 一吾，矗= p s i n 0 ( 3 3 1 ) m ，q ，p 分别为质量，电荷与磁荷。这个解同样也是静态的，渐进平直的。因为磁荷p 可 以通过电荷对偶生成出来我们实际上可以先取p = 0 。 今 1 6 西北大学硕士学位论文 1 一丝+ 史# ：( 卜r - - - + ) ( 1 + ! ) tt rt 那么 ，= m 扛正丽 ( 3 3 2 ) ( 3 3 3 ) 若m q 。，解有2 个视界面，分别在，t 处，表面引力为t2 气孑。若m = q o ， 两个世界面重合= ，= m ，其质量等于荷，这是极端的r e i s s n e r - n o r d s t o r m 黑洞，表 面引力消失，包= 0 。若m ( 4 7 ) 设榍茸仍能弯同到( 42 ) 式的形式即 第四章一类n s i p 黑洞的熵 & = 壶肚厅如+ 4 ( 纠g 一去( 耐g 】一扩1 2 g ) ( 4 8 ) 其中= p 枷昂，这里我们要( 4 7 ) 式能回到( 4 2 ) 式需要利用下w e y l 变换。假设 是在d 维时空中 令g 。= zg 。 利用r ：，= i 1g 印( g 硝，+ g 。p 一乳，p ) 将( 4 9 ) 代入( 4 1 0 ) 中可得 r ：，= r ：，+ 去( 够，露+ 纵彩一乳，缈一) r i c c i 张量 呓，= - r 2 ，+ 1 1 ：。+ r ：r 易一r 易r 2 心，= - r ：+ 三( + 纵鬈一缈8 ) 】，+ 【r ：，+ 三( 鬈+ 作彭一巩，缈矿) 】，。 + 【r o r ，+ 芝1 ( 鬈+ 吼啄一昂口) 】 r 易+ 三( 彩+ 够一勋缈，) 】 + 【r 易+ 三( + 纵露一跏缈。) 】 r 易+ 三( 彩+ 纬醪一g 。妒) 】 ：r - i ( d + 1 ) 够一够】，+ i 1 够叫+ 够，一( ，伊，a ) ，。】 + 昙r ：，【( d + 1 ) 矽。一够。】+ 昙1 1 易【够，+ 够彤一邑，缈，一，。】 一吾1 1 易【够。彩+ 够，彩一缈，卜了1r 2 【够嘭+ 够露一跏缈，。】 + 三【移+ 劈一邑，缈肆】 ( 。+ 1 ) 一】 一百1 哆p + 啄一跏妒。】 髟+ 纷彩一g 。妒p 】 2 4 ( 4 9 ) ( 4 1 0 ) ( 4 11 ) ( 4 1 2 ) 西北大学硕上学位论文 = 一了d ( 够声) ，+ 争2 够，一靠哪眇口一，眇口芦】 + 詈r ：以+ 互1 ( r 名够，+ r 轨一吼，1 1 勿2 ) 一三1 ( r ：，够。+ r ：够y 一r 易n 一三( r o 够，+ 略够一跏r 2 矿) + 等【够，+ 吼吩一矿嘲 - 够，够+ 够够，一乱，缈，够，+ 够够，+ d 哆卢够，一纵吩- g u ，缈4 一够够，+ 够够，】 = 吃，一罢( 纵) ；，+ 互1 【2 够，一邑叩缈一一乳，矿】 + j 1 ( 1 1 轨+ r 易纵一以，r 易门 一j 1 ( 吒+ 1 1 ：哆一r 矽) 一互1 ( r 乞+ 1 1 ：一1 1 盘门 一等( 2 够册一邑，矿蚴一丢【( d + 2 ) 够肌一2 9 u 饥】 = r u v d z ( 一( ；，一三【。+ 矿叫 一圭【乳，。缈8 + ，缈，。卜互1 邬，r 缈8 + 三g 。r 易一f l , a芝l ，r 易缈，口 一丢 ( 2 一。) 吼+ 百d 邬，妒p 一三，缈芦 = p 一丁d - 2 ( 纵) ；y 一三乳叩伊一一乳，( 妒1 ；球 毛r 易缈”一t d - 2 【乳v c p a 够。一够肌】+ j 1 r 铷2 = 心，一丁d - 2 ( 呲，一j 1 & ，( 以口 一三( 乳旷r 2 一r 盘) 矿一等( 矿一够肌) 将( 4 1 0 ) ( 4 1 1 ) 代入( 4 1 3 ) 中并利用 g 辟一g 乞一g 乞= r 。g ( 4 13 ) ( 4 1 4 ) 第p 日章一类n s i p 黑洞的熵 选择与导数相适配的度规可令v 口g 口，= 0 ，最终可化( 4 1 1 ) 式为 7 = ，一丢( v 2 妒) 一d 2 - 2 v v ，驴+ 三一三v 声妒别 黎曼标曲率r = 只。，g 则利用( 4 1 6 ) 和w e y l 变换的结果( 4 1 5 ) 可知( 4 8 ) 式中 r a = e - a 妒 r 一( d i ) 2 v 2 缈一量2 半五2 ( v 9 ) 2 】 对应于1 0 维的情形 , - ：- 8 = 一秽5 却 不妨先令( 4 ) 与( 3 ) 中含有标曲率的项相等 一g p 5 枷p - 2 一枷r = 一g p 2 矿r 得出a = 1 ，即q ，= p 矿， & 2 去p 1 0 x 压m 2 伊尺一9 p 2 妒v 2 缈一1 4 p 2 矿( v 咖2 】一d 8 ) 2 一西1p 2 矿l f 3 2 ， v z 缈： a ( 而叼，妒) 一g 矗2 矿v 2 妒厅f 1a ( 忌 、一g = a 芦( p 2 矿二西”a ，伊) 一二西”a ，矽2 e 2 妒a 卢伊 = a ( p 2 伊二西”a ，妒) 一2 二面2 p ( v 矿) 2 在作用量中起作用的实质只有2 e 2 矿( v 伊) 2 项，即( 4 2 1 ) 式最终可以整理为 s = 去p 1 0 x 二；舻矿 天+ 4 ( a 纠2 一丧i ，3 | 2 】一壶( 幔) 2 ( 4 1 5 ) ( 4 1 6 ) ( 4 1 7 ) ( 4 1 8 ) ( 4 1 9 ) ( 4 2 0 ) ( 4 2 1 ) ( 4 2 2 ) ( 4 2 3 ) ( 4 2 4 ) x 寸l t , ( 4 2 ) 式与( 4 2 4 ) 式，发现f 3 与峨这两个三形式场在作用量中互换了位置， 这说明d 1 弦作用量在s 对偶下具有整体对称性。( 4 2 4 ) 式实质上就是n s l 弦( 即f 1 弦) 的低能有效作用量。我们知道在s 对偶下动量p 是不变的，弄清楚了这一点那么 n s l p 系统与d 1 一p 系统在s 对偶下是等价的，这一点我们后面将会用到。 西北大学硕士学位论文 4 2 弦论中黑洞的熵 弦论出现后，不少人用弦论来研究黑洞问题，黑洞一直是理论物理学界关心的问题， 弦论出现后不断有人将弦论中得到的结果和方法应用到黑洞的研究中，弦理论是一种统 一所有相互作用的量子理论，当然也包括引力，因此不应该存在信息丢失的问题。 s u s s k i n d 等人提出一个较为有趣的方案去研究弦论中黑洞的问题。考虑弦的高度激发态， 这些态拥有的质量m 口假设这些弦的耦合非常小( g 1 ) 实质上这些弦是自由的， 左行和右行振荡能级m ，口7 肘1 ，于是在该质量下状态时高度简并的。微观状 态数给出的熵为& 伽= l n n 卜口m 。( 确切的比例常数依赖于有多少个方向紧化，每 个紧化方向提供的绕数的模对熵也有贡献。) 考虑弦的耦合常数g 增大，这将会带来引力，因为n e w t o n 引力常数g 9 2 。 如果m 足够大那么就可能给我们带来黑洞。我们知道黑洞的b e k e n s t e i n 熵& 破2 g 对于s c h w a r z s c h i l d 黑洞在3 + 1 维非紧化情况下我们得到& 出m 2 。 d - 2 更一般的情况如果有d 维非紧化时空那么可以得到一m d - 3 可以看出& 加与随m 的不同幂次增长，。随m 的幂增长表明即使在g = o 的 情况下微观状态数任然随能量的e 指数而增长。 瓯椭与瓯政之i f l j 的差别指出如果能级将会随耦合常数g 变更。直接去比较不同耦合 常数g 所对应的简并度是不可行的。为了避免这个问题我们选择了b p s 态，在b p s 态 下选择适当的单位可实现q = m 。b p s 态的质量由其所现代的模的值所决定。所以所有 质量为m 的b p s 态可以归为一类，通过改变耦合常数g 来比较简并态的变化，期望能 得到瓯咖= 。这样实际上就从形式上解决了黑洞的信息佯谬问题。在这里我们不打 算深入的探讨如何用弦和膜来够着黑洞并如何从微观状态数上解释弦论中黑洞的熵的 问题。 用d 膜去构造黑洞的基本思想是利用膜的维数约化去构造黑洞，这种方法实质上是 在高维的超引力和弦理论中嵌入了黑洞。然后利用d 膜和弦的性质去计算微观微观状态 数，这样就可以算出黑洞的统计意义上的熵s = i n n ，这个结果可以拿来和黑洞几何计 算出来的b 幽t e i i l 熵= g 进行比较。这方面已经在n = 8 ，4 ，2 超引力紧化到5 维 第四章一类n s i p 黑洞的熵 和4 维的黑洞中作出了不少的结果。 在这里我们只研究最简单的n = 8 的1 0 维超引力紧化到5 维的极端黑洞的，这是通过l i b 超弦理论在t o r u s 上紧化得到的 2 9 - 3 1 1 。 4 3 有效作用量的维数约化 维数约化对于我们要从高维的超引力度规的到低位的黑洞几何来说非常重要，我们 先考虑一个d 维的包含d i l a t o n 场的作用量( 弦标架) 。 s 2 去肛厄嘞( 川钆力 ( 4 2 5 ) 我们假设一个方向是环紧化的 ( x 吖) = ( x ，x ) 其中x = x + 2 n r( 4 2 6 ) p 2 。以1 矿j ( 4 2 7 ) 此处或，为d - 1 维弦标架的度规，4 为k a l u z a - k l e i n 规范场，仃为k a l u z a - k l e i n 标量。 可以看出 d e t g m n = p 2 。( 或，+ p 2 。以4 ) 一p 2 4 a u p 2 盯4 ( 4 2 8 ) 即i j 丁得