（应用数学专业论文）有限群幂零性的研究.pdf

摘要 有限群幂零性的研究 作者简介：胡学瑞，女，1 9 8 3 年0 9 月出生，2 0 0 4 年0 9 月师从于成都理工大学 魏贵民教授，于2 0 0 7 年0 6 月获硕士学位。 摘要 对于有限群的幂零性的研究已受到很多群论专家的关注。i t o 指出设g 是奇 数阶群，若群g 的每个极小子群都含于z ( o 、，则g 幂零。还有其他许多专家 也得到了若干群幂零的结论( 见文献【l 】中章) ，例如幂零还有两个众所周知 的等价条件：每一极大子群正规，每一s y l o w 子群正规。而从子群的半覆盖避 开性，覆盖避开性来研究有限群幂零性的结论还很少，本文就此做了一些探讨。 1 9 6 2 年g a s c h u t z 得到了有限可解群有一类共轭的子群具有覆盖避开性( 见 文献 2 】) ，随后有很多专家进行了相关研究，如g i l l a m 和t o m k i n s o n ( 见文献 【3 】【4 】) 。这些文章主要都是来讨论可解群的某些子群具有覆盖避开性，然而由 此就会想到：若有限群g 的某些子群具有覆盖避开性，那么g 有什么性质呢? 1 9 9 3 年e z q u e r r o 得到了在有限群g 具有某些性质，且g 的s y l o w 子群的所有 极大子群具有覆盖避开性的条件下，g 超可解或者p - 可解的结论( 见文献 5 】) 。 后来，郭秀云，樊恽，何先应等作了进一步的研究，将半覆盖避开性，覆盖避 开性与有限群的可解，超可解，p 幂零性联系起来( 见文献【6 】【7 】 8 【9 】) 。本文 将就这一问题做进一步的探讨：从半覆盖避开性，覆盖避开性来研究有限群的 幂零性，得到有限群幂零的一些结论。 关键词：幂零性，覆盖避开性，半覆盖避开性，极大子群，s y l o w 子群 a b s t r a c t t h er e s e a r c ho nn i l p o t e n c yo ff i n i t eg r o u p s a b s t r a c t o n eo ft h ei m p o r t a n tp r o b l e m si nt h et h e o r yo ff i n i t eg r o u p si st or e s e a r c ht h e e f f e c to f n i l p o t e n e yo nt h ef i n i t eg r o u p s i n1 9 6 2 ，i t oi n t r o d u c e d ：i f gi saf i n i t eg r o u p a n dt h eo r d e ro fgi sa l lo d d ，e v e r ym i n i m a lg r o u p so fgi sc o n t a i n e di nz ( g ) ，t h e n gi sn i l p o t e n t m a n ye x p e r t so fg r o u pt h e o r ya r ei nf a v o ri nt h en i l p o t e n e yo ff i n i t e g r o u p sa n dh a v eg o t l o t so fr e s u l t s ( s e e 【l 】，c h a r p t e ri v ) b u tt h e yh a dl e s sr e s u l t s a b o u tt h ec o v e ra n da v o i d a n c ep r o p e r t i e sa n ds e m ic o v e ra n da v o i d a n c ep r o p e r t i e s a n dt h en i l p o t e n c yo ft h ef i n i t eg r o u p s i nt h i sp a p e r , w es t u d ya b o u tt h ec o v e ra n d a v o i d a n c ep r o p e r t i e sa n ds e m ic o v e ra n da v o i d a n c ep r o p e r t i e sa n dt h en i l p o t e n c yo f t h ef i n i t eg r o u p s i n1 9 6 2 ，g a s c h u t zi n t r o d u c e dac e r t a i ne o n j u g a c yc l a s so f s u b g r o u p sw h i c hh a v e t h eo o v e l - a n da v o i d a n c ep r o p e r t i e so faf m i t os o l v a b l eg r o u p ( s e e 【2 】) t h e r e a f t e r m a n ya u t h o r s s t u d i e dt h i sp r o p e r t y , f o re x a m p l e g i l l a ma n dt o m k i n s o n ( s 【3 【4 】) i nt h e s ep a p e r s ，t h em a i n a i m w a st of m ds o m ek i n do f s u b g r o u p so f af i n i t e s o l u b l eg r o u pg h a v i n gt h ec o v e r - a v o i d a n c ep r o p e r t i e s h o w e v e r , t h eq u e s t i o n sa r i s e s w h e t h e rw ec a no b t a i ns t r u c t u r a li i l s i g h ti n t oaf i n i t eg r o u pw h e ns o m eo fi t s s u b g r o u p sh a v et h e c o v e r - a v o i d a n c e p r o p e r t i e s i n1 9 9 3 ，e z q u e r r og a v e s o m e c h a r a c t e r i z a t i o nf o raf i n i t eg r o u pgt ob ep - s u p e r s o l v a b l ea n ds u p e r s o l v a b l eb a s e d o nt h ea s s u m p t i o nt h a ta l lm a x i m a ls u b g r o u p so fgh a v et h ec o v e ra n da v o i d a n c e p r o p e r t i e s t h e r e a f t e r , x i u y u ng u o ，y u nf a n , x i a n y i n gh ep u s h e d f u r t h e rt h i s a p p r o a c ha n dg o ts o m er e s u l t sa b o u tt h ec o v e ra n da v o i d a n c ep r o p e r t i e sa n ds e m i o o v e ra n da v o i d a n c e p r o p e r t i e s a n dt h es o l v a b i l i t ya n ds u p e r s o l v a b i l i t ya n d p - n i l p o t o n e yo f t h ef i r f i t eg r o u p s i nt h i sp a p e r , w ew i l lp u s hf u r t h e rt h i sa p p r o a c ha n d g e ts o m er e s u l t sa b o u tt h ec o v e ra n da v o i d a n c ep r o p e r t i e sa n ds e m ic o v e ta n d a v o i d a n c ep r o p e r t i e sa n dt h en i l p o t e n c yo f t h ef i n i t eg r o u p s k e y w o r d s ：n i l p o t e n c y , c o v e ra n da v o i d a n c ep r o p e r t i e s ，s e m ic o v e ra n da v o i d a n c e p r o p e r t i e s ，m a x i m a ls u b g r o u p s ，s y l o ws u b g r o u p s 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得盛整理工盔堂或其他教 育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者导师签名： 壁孩口 学位论文作者签名；嘲辱琳 如。7 年r 月加日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解盛叠堡工态堂有关保留、使用学位论文的规定， 有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和 借阅。本人授权盛叠堡王盍堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数 据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：韵莓玮 砂。刁年 j月湘 日 第1 章引言 第1 章引言 1 1 问题的提出及研究意义 群论起源于十九世纪e g a l o i s 研究多项式方程的根式解问题。这是数学史 上一块众所周知的里程碑。在十九世纪中叶给出了抽象群的概念，并以公理化 的方式研究群。 抽象代数研究的对象是代数系，是由非空集合和定义在该集合上的一种或 若干种满足一定规则的运算所构成的系统。代数学是探讨元素的运算体系的， 这些元素像数一样，可以用加法或乘法或同时用两者把它们结合起来。体系的 性质取决于一些基本定律( 如闭合律、结合律、交换律、零和单位元素、负和 逆、分配律等) 中有哪些成立。人们研究满足某些特定定律的抽象体系，而群 是最基本的代数系，也是目前研究成果最丰富研究最广泛的代数系。群，简而 言之是对运算满足闭合律、结合律、单位元素和逆这些定律的代数系。这一代 数系一一群一一提出，对于当代数学及其它领域有着不可估量的作用。 群最初是作为研究对称性这样一个现实世界的重要规律的工具而产生并发 展起来的。这可以溯源到伽罗华理论，人们发现用这一理论解决高次方程的根 能否用根号表示的关键，乃是方程的根的平等性与对称性。自然科学的其它部 i - j 女d 几何学、物理学、结晶学、化学等，也不断的要求用群论这一工具去解决 各自的有关对称规律的研究，这又促成群论的诸分支的形成。费德洛夫群( 规 则系统理论) 便是明显的一例。当群论系统地发展起来之后，它的概念与方法 便不仅对于对称规律、而且对于其它许多问题的解决，也具有重大的意义了。 有限群是群论中运用最为广泛的，也是众多学者，专家研究最多，涉及面 最广的一个研究领域。自群论产生以来，成百上千的学者、专家通过不懈的努 力，取得了可喜的成绩，研究手法灵活多样。其中最直接的研究方法就是对群 进行整体上的研究，而有些群从整体上研究很困难，因而我们考虑将这一复杂 体系分解成较简单的子体，从研究这些予体性质出发来研究整体的性质，这种 “以小见大”、“局部到整体”的方法也是群论另一种重要的研究方法：从某一子 群出发研究原群的结构的方法。 对于有限群的幂零性的研究已受到很多群论专家的关注。i t o 指出设g 是奇 数阶群，若群g 的每个极小子群都含于z ( g 1 ，则g 幂零。还有许多其他专家 也得到了若干群幂零的结论( 见文献 1 仲章) ，例如幂零还有两个众所周知 的等价条件：每一极大子群正规，每一s y l o w 子群正规。可以说群的幂零性研 究是一个著名经典的课题。而从子群的半覆盖避开性、覆盖避开性来研究有 成都理工大学硕士学位论文 限群的性质近几年也引起了专家们的注意，像郭秀云，樊恽等。但从子群的半 覆盖避开性、覆盖避开性来研究有限群的幂零性的结论还很少，本文就此做了 一些探讨。 1 9 6 2 年g a s c h u t z 得到了有限可解群有一类共轭的子群具有覆盖避开性( 文 献 2 】) ，随后有很多专家进行了相关研究，如g i l l a m 和t o r n k i n s o n ( 见文献f 3 1 q ) 。 这些文章主要都是来讨论可解群的某些子群具有覆盖避开性，然而由此就会想 到：若有限群g 的某些子群具有覆盖避开性，那么g 有什么性质呢? 1 9 9 3 年 e z q u e r r o 得到了在有限群g 具有某些性质，且g 的s y l o w 子群的所有极大子群 具有覆盖避开性的条件下，g 超可解或者p 可解的结论( 见文献 5 】) 。后来， 郭秀云，樊恽，何先应等作了进一步的研究，将半覆盖避开性、覆盖避开性与 有限群的可解、超可解、p 一幂零性联系起来( 见文献 6 】 7 】 8 】【9 】) 。本文将就这 一闯题做进一步的探讨：从半覆盖避开性、覆盖避开性来研究有限群的幂零性， 得到有限群幂零的一些结论。 1 2 国内外研究现状 1 9 5 3 年r b e 耐文 1 5 1 ) 对群的特征幂零子群作了研究。 1 9 5 7 年由b a e r r ( 文 2 2 1 ) 证明了下述结论：若g = a b ，且a ，b 是g 的 超可解正规子群，则g 超可解营g 幂零。 1 9 6 2 年g a s e h u t z ( 文【2 】) 讨论了有限可解群有一类共轭的子群具有覆盖避开 性。 1 9 7 4 年g i l l a m 和1 9 7 6 年t o m k i n s o n ( 文 3 】 4 】) 继续讨论了有限可解群的 一些子群具有覆盖避开性。 1 9 8 8 年陈重穆( 文 3 3 1 中) 证明了下述著名定理：若群g 的素数阶群及4 阶循环群均在z ( 0 1 中，则g 幂零。这也是n 0 定理的推广。 1 9 9 3 年e z q u e r r o ( 文 5 1 ) 得到了在有限群g 具有某些性质，且g 的s y l o w 子群的所有极大子群具有覆盖避开性的条件下，g 超可解或者p 可解的结论。 1 9 9 3 年海进科( 文【2 1 】) 利用p 一超中心得到群g 是p 一幂零或幂零的一些充要 条件。 1 9 9 4 年王品超，杨兆兴( 文【2 9 】) 利用群的极大子群的正规指数得到了一 些群幂零的充分条件。 1 9 9 8 年王品超，温风桐，杨明升( 文 1 7 1 ) 得到了有限群为幂零群的充分条件。 1 9 9 9 年韦华全，赵啸海( 文 2 4 】) 利用某些c - 正规子群得到群幂零的一些充 分条件。 2 0 0 0 年海迸科，王品超( 文 1 9 1 ) 得到了两个幂零群的积是幂零的充分条件。 2 第1 章引言 2 0 0 1 年王品超，闫咏梅( 文 2 3 】) 利用c 正规子群及m 正规子群的性质刻 画有限群的幂零性，可解性。 2 0 0 3 年郭秀云( 文【6 】) 讨论了( 1 ) 在有限群g 具有某些性质，且g 的一些 极大子群或2 极大子群具有覆盖避开性的条件下，g 可解的刻画。( 2 ) 在有限群 g 具有某些性质，且g 的一些子群具有覆盖避开性的条件下，g 为口可解或者 p 幂零的结论。 2 0 0 3 年b e r n db a u m a n 和u l r i c hm e i e r f r a n k e n f e l d ( 文【2 0 】) 中从群g 对正规子 群的幂零作用来刻画g 的幂零性。 2 0 0 4 年何先应( 文 9 】) 讨论了在有限群g 具有某些性质，且g 的某些s y l o w 子群的极大子群或2 极大子群具有覆盖避开性的条件下，g 为p 幂零的结论。 2 0 0 4 年王坤仁( 文 3 0 】) 从极大子群、中心主因子、正规子群的c 主列的 角度来刻画幂零群。 2 0 0 5 年郭鹏飞( 文【1 0 】) 研究次正规子群对有限群结构的影响，并得到幂零 性的若干等价条件和充分条件。 2 0 0 5 年张勤海，赵俊英( 文【3 1 ) 从子群的共轭子群入手得到群幂零的若 干等价条件和充分条件。 2 0 0 6 年樊恽( 文 7 】) 讨论了在有限群g 具有某些性质，且g 的一些子群 具有半覆盖避开性的条件下，g 为p 可解或可解或超可解的结论。 2 0 0 6 年李士恒，梁登峰( 文 1 3 】) 讨论了在给出有限群g 具有某些性质， 且g 的2 极大子群具有覆盖避开性的条件下，g 可解或p 幂零的刻画。 2 0 0 6 年赵涛( 文 1 4 】) 假定了有限群g 的子群具有覆盖避开性，给出了o 是可解的刻画。 2 0 0 6 年刘玉凤( 文 1 2 】) 给出了可解群g 的部分给定指数的s y l o w 子群的正 规化子是幂零群的g 的结构。 2 0 0 6 年陶司兴，王品超( 文 2 5 】) 利用了万可补子群的一些性质，得到了若 干有限群为幂零群的充分条件。 2 0 0 7 年郭秀云( 文 8 】) 继续讨论了g 的一些子群具有半覆盖避开性的性 质对g 结构的影响。 1 3 论文创新点 关于幂零群有两个众所周知的等价条件：一个是每个极大子群正规，另一 个是每个s y l o w 子群正规( 文 1 ) 。后来群论专家先后引入了c 一正规，弱c 一正 规，m 正规，s 正规，拟正规，弱拟正规等等概念，这些都是比正规性弱且类 3 成都理工大学硕士学位论文 似的概念。用这些概念来得到群幂零的结论已经有很多。子群的半覆盖避开性 和覆盖避开性实际上也是正规的弱化推广。 以上有些结论是关于在g 的一些子群具有半覆盖避开性或者覆盖避开性的 条件下，得到的主要结论，其中从g 的一些子群具有半覆盖避开性或者覆盖避 开性得到g 幂零的结论不多，较多的是得到群可解，超可解，而从群可解，超 可解与群幂零的定义可以看出，群幂零可推出群可解，超可解，也由此可见有 限群幂零是一个较强的结论。因而从半覆盖避开性，覆盖避开性来研究有限群 的幂零性仍是一个比较新的、值得进一步研究的课题。本文正是从这一思路考 虑的。 4 第2 章绪论 2 1 群论的发展及内容 第2 章绪论 十九世纪初，在天才的法国数学家伽罗瓦( e g a l o i s ) 解决“五次方程能否 用根式解”的过程中，就创造了“群”、“域”这样的代数体系。群的概念的引 进导致了代数学在对象、内容、方法上的深刻变革，而不必仅限于置换群。凯 莱( a c a y l e y ) 在1 8 4 9 - 1 8 5 4 年间指出矩阵在乘法下、四元数在加法下都构成 群，人们还发现高斯( k f g a u s s ) 在数论中研究过的具有同一判别式的二次型 类，= 甜2 + 2 b x + c y 2 ( a ，b ，c 为整数，x ，y 取整数值，d = b 2 一卯取固定值) 对于 型的合成运算也构成群，从而引进了有限抽象群。1 8 6 8 1 8 6 9 年间，若尔当 ( c j o r d a n ) 在物理学家布拉维斯( a b r a v a i s ) 关于运动群的理论的启发下，开展 了无限群的系统研究。若尔当的工作又影响到克莱因( f k l e i n ) 关于几何分类 中的无限变换群的研究。1 8 7 4 1 8 8 3 年间，挪威数学家李( s l i e ) 又研究了无 限连续变换群。 历史上第一个被研究的群是有限置换群，它发端于拉格朗日关于代数方程 式求解的一般方法，并随同伽罗华理论的需要而发展起来。后来人们发现，这 一理论中对于定义在任意有限集合里的代数运算性质的研究，比用以构成群的 置换更为重要。由置换群向一般有限群论的这种过渡，使群论得以建立在公理 的基础上。1 8 7 0 年，克隆尼克给出了群论的公理结构，这成为以后研究抽象群 的出发点。同年，李在研究求解微分方程时提出了李群的概念。作为古典的连 续群论，它指的是变换群( 目前则指抽象群) 。 从十九世纪末至今，有限群的主要研究方法和主要结果均已得到，主要研 究方向也已指明。但是有一个矛盾逐渐突现出来，这就是在几何学、组合拓扑 学等数学分支中常遇到的一些与群非常类似的代数对象，却往往是无限的。这 就使得群的有限性成了一个极不自然的限制了。数学家们期望能用一些自然的 限制来代替群的有限性，使得已有的理论依然正确，而去掉这些限制后则不再 成立。遵循这个原则，一般群论的研究蓬勃发展起来，产生了与无限群的研究 紧密相关的分支( 自由群和自由积理论) ，并使群论达到了更为精确和严格的程 度。自然，有限向无限的发展，也产生了一些新的问题。例如象阿贝尔群这样 一个在有限群论中已完全解决了的理论，在一般群论中却变成了一个远未完成 的理论。 在群论的众多分支中，有限群论无论从理论本身还是从实际应用来说都占 据着较为突出的地位，它有十分悠久的历史。在爱丁堡举行的国际数学会上由 5 成都理工大学硕士学位论文 维兰德作的题为有限群构造之发展的报告，以及由居里亨在全苏第三届代 数会上作的题为近年来有限群发展的若干方向的报告，并有虎拍的巨著， 都足以说明有限群研究的盛行。 群论研究分为有限群理论和无限群理论。有限群是代数学中一个古老的分 支，有限群的研究大体可以分为群表示与群构造两个方面：群论的一个重要组成 部分，是由舒尔和弗洛伯纽斯创立的群的表示理论。所谓群表现指的是把一个抽 象群转化为与它同态的矩阵群来讨论。这是为了研究一个群g 的内在结构，取 一个具有己知结构或结构较简单的群h 来表示g 。这样的群h 一般只要求与g 同态而未必同构，因此由h 了解到的g 的结构只能是粗糙的。要准确地了解群 g 的结构，就必须有充分多的表示。这些就构成了群表示论的主要内容。而研究 代数学的基本问题之一就是决定由某些公理定义的代数系究竟有多少个互不同 构的类型，即所谓同构分类问题。所以群的构造无疑是群论研究的又一主要内容。 有限群构造的内容非常丰富，研究群就是要把其结构弄清楚，因此研究群的构造 就是研究群中子群的构造，群的数量刻画，群的同构分类问题等等。群构造在于 解决各种抽象有限群的结构问题，主要包括p 群的性质，循环群、交换群、幂 零群、可解群能唯一分解为p 群之直积的问题，有限群的扩张问题等等。而群 表示理论的建立主要用于研究有限群的结构，主要包括：有限群的常表示，有限 群的模表示，拓扑群的表示理论。 正如对任一事物的认识要从其性质和构造入手一样，对抽象群理论的研究 正向许多方向深入进行着：其中之一是找出具体给定阶的群的全体，这个问题 一般还解决不了，已有一些群论学者如g h i g n m n ，j g t h o m p s o n ，c c s i m 等都 曾研究过有关不同构的n 阶群的个数及其上界问题，另一热门研究方向是：确 定复合群或可解群和单群。单群问题已经在上世纪八十年代解决了，而研究群 的可解性仍是目前前沿的研究。 “横看成岭侧成峰，远近高低各不同”，在这两大方向的研究热潮中，更有 相当学者立足于具体给定的群横向研究，即研究给定的特殊群的存在问题、数量 问题、构造问题。化抽象为具体，从一个典型的群研究其性质、子群的个数及构 造、直积、可解性及其自同构群等。 最近2 0 多年来，经过很多数学家的努力，在有限群中取得了一连串的突破， 并终于在1 9 8 1 年2 月解决了著名的有限单群分类问题，这项重大的科学成果得 来是很不容易的，如果从1 8 3 2 年伽罗瓦( e g a l o i s ) 证明交错群是单群开始算 起，整整经理了1 5 0 年。参加这项工作的数学家前后共达几百人，为了证明单群 分类定理，即有限单群共有1 8 个无限族和2 6 个零散单群，人们使用了抽象群论 的、表示论的、几何的以及组合论和图论的方法，在杂志上发表的文章数千页至 6 第2 章绪论 上万页。由于这项重大的成果以及有限群论几乎遍及各个科技领域的应用性，在 数学界及其他相关领域中形成了“有限群热”，使有限群成为了一般科技工作者 乐于掌握的一个数学工具。 2 2 群论的研究方法及应用 由于客观世界普遍存在各种各样的对称性，而群论正是描述，反映和研究 对称性的数学武器，因此从其诞生至今，就存在一个由纯粹数学领域扩展到其 它自然科学领域的有趣现象。1 8 9 0 年一1 8 9 1 年，费德洛夫和熊夫利用群论方法 系统解决了晶体结构分类问题，证明了具有周期性排列的空问点阵总共有2 3 0 种，使人大开眼界。杨振宁先生曾经说过；“群论的美妙和它在物理中应用的深 入对我后来的工作有决定性的影响。” 群对称是现代数学的灵魂，而研究群对称的基本工具是群表示论。从现代 代数学的观点来看，研究一个代数结构，除了直接了解其内部构造和性质外， 有效的方法是让这个代数结构( 例如群或域上的代数) “作用”在另一个相对简 单的结构上( 例如集合或向量空间) ，通过考察这种作用的效果而达到理解这个 代数结构本身的目的。这一想法就是表示论的原始思想。它在后来的发展中如 此重要和富有成果，以至于现代表示论不仅以其优美在数学的众多分支中的应 用而别具魅力，而且在自然科学与技术领域里都有广泛的应用。群最初是作为 研究对称性这样一个现实世界的重要规律的工具而产生并发展起来的。这可以 溯源到伽罗华理论，人们发现用这一理论解决高次方程的根能否用根号表示的 关键，乃是方程的根的平等性与对称性。自然科学的其它部门如几何学、物理 学、结晶学、化学等，也不断的要求用群论这一工具去解决各自的有关对称规 律的研究，这又促成群论的诸分支的形成。费德洛夫群( 规则系统理论) 便是 明显的一例。当群论系统地发展起来之后，它的概念与方法便不仅对于对称规 律、而且对于其它许多问题的解决，也具有重大的意义了。 当代科学技术发展的一大特点是，在几乎所有的领域，数学与计算机技术 被广泛的应用。近代数学的思想方法、观点和结论正在深入地渗透迸自然科学和 社会科学的众多的理论分支，这是因为各门学科越来越走向定量化，越来越需要 用数学来表达其定量和定性的规律，并且运用数学的方法和成就来加速自身的发 展。“高科技本质上是一种数学技术”的观念已日益为人们所共识。因此作为近 代数学的三大基础之一的抽象代数，对于培养数学修养、抽象思维和逻辑推理能 力等，为进一步学习专门的数学知识和自觉运用数学创造性的开展科学研究与解 决问题都是很有必要的基础。 有限群的理论现在已经发展得很成熟，应用也及其广泛。它不仅对研究数学 7 成都理工大学硕士学位论文 的其他分支是很重要的，而且是研究某些自然科学学科量子力学、结晶学、理论 物理、量子化学以及密码学、系统科学、数理经济等领域，群的理论和方法也不 断的受到重视。 8 第3 章预备知识 3 1 基本符号 本文采用通用的记号， 作如下说明： g i g i h g h g | h 瓯 z ( c ) g ( 日) c g ( 日) s y t , ( g ) k ( g ) i q ( g ) r ( c ) o ( g ) h g a u t ( g ) h g g g ( ”) m ，b 】 g o d ( a ，b ) 第3 章预备知识 为了叙述的方便和统一，特将文中所用的一些符号 9 表示一个有限群 表示群g 的阶 h 是g 的一个子群 h 是g 的一个正规子群 g 关于其正规子群h 的商群 表示n 元对称群 表示g 的中心 表示子群h 在g 中的正规化子 表示子群h 在g 中的中心化子 表示g 的西洛p 子群 表示i g i 的所有素因子的个数 表示g 的所有正规p 子群的乘积 表示g 的f i r i n g 子群 表示g 的f r a t t i n i 子群 h 是g 的一个极大子群 g 的自同构群 h 在g 中的核 表示g 的导群 表示g 的n 阶换位子群 表示a ，b 的换位子群 表示a ，b 的最大公因子 成都理工大学硕士学位论文 3 2 定义 3 2 1 1 1 ；称群列g = k k ：k 。，= 1 为群g 的中心群列，如果 k ，g 1 k ，i = 1 ，2 ，j 。存在中心群列的群叫幂零群。 3 2 2 “1 ：g 是有限群，p s y l 。( g ) 。如果g 有正规子群n 满足n n p = i ， n p = g ，则称g 为p 幂零群，而称n 为o 的正规p 一补。 3 2 3 伽：设g 为有限群，h 曼g ，工k 为g 的主因子，称h 覆盖l k ，若 有l ：s h k ，即h l = h k ；称h 避开l k ，若有h n k 孓，即h n l = h n k ；称h 在 g 中具有覆盖避开性，如果h 覆盖或避开g 的每一个主因子。 3 2 4 m ：设h 是群g 的子群，如果存在g 的一个主群列 i = g o g 1 g f = g ，使得对每一个i = 1 2 ，或者h 覆盖g ，g p l 或者h 避开g ，g ，则称h 在g 中具有半覆盖避开性。 3 2 5 “1 ：称群列g = g g ，g 。为群g 的下中心群列，且 【g 。，g 】= ：g 。+ 。 3 2 6 “1 ：称群g 的子群n 是g 的正规子群，如果n 8 ，g ，记作酆。 3 2 7 叫：若g 是有限群，p 是素数，设0 g l ，即矿l i g i ，但p ”1 不整除i g i ， 则g 中必存在p “阶子群，口q 做g 的s y l o w p - 子群。 3 2 8 ：群g 的所有不为1 的正规子群的集合在包含关系之下的极小元素， 叫g 的极小正规子群。 3 2 g “1 ：称群g 的子群h 为g 的极大子群，如果h 日 皿 以l 耳= 1 其中每个子群喝都是g 的正规子群，且每个商群岛一。耳是g 耳的极小正规子 群，则称这样的群列为群g 的主群列，而把诸群e 一，骂叫做g 的主因子。 3 2 2 2 t “：g 是有限群，h 是g 的任一子群，取q 为h 的所有右陪集的集合， 我们如下规定g 在q 上的一个作用p ( x ) ：h g _ h g x ，v t g q ，这时作用p 的核 k e r p = n 椰g 1 上留，即包含在h 中的g 极大正规子群，这个子群我们叫做h 在g 中的核，记做。 3 2 - 2 1 “1 ：集合m 的全体变换依映射的乘法组成一个群。 3 2 2 2 “1 ：设g 是群，a ，b 是g 的子群，则规定a ，b 的换位子群 【爿，b 】- ( 【口，6 】| 口a ，b b ) 3 - 2 - 2 3 ：设h g ，若存在g 的正规子群n ，使g = h n ，且h f ) m h o ， 这里王如为g 在h 中的核，则称h 在g 中为c 一正规子群。 3 2 2 5 ：设p 是素数。称群g 的元素a 为p 元素，如果o ( a ) 是p 的方幂； 而称a 为- 元素，如果( d 0 ) ，p ) = l 。 3 2 2 6 “1 ：设p 是素数，z 。是p 阶循环群，又设n 是正整数， g = 乙z p 乙( 有1 1 个乙) 则显然g 是p “阶交换群，称为p ”阶初等交换p 一群。换言之，我们称型不变量 为( p ，p ，p ) 的交换p 一群为初等交换p 一群。 成都理工大学硕士学位论文 3 2 2 7 “1 ：设g 是q 一群。称群列g = g 0 g 1 g 2 g ，= 1 为g 的一个 次正规q 一群列，如果对于f = 1 2 ，g 是g 的q 一子群，且g f 曼g f - l o 若取 q = a ，上述定义就给出了群的次正规群列的概念。 3 2 2 8 “】：设g 是群，日g ，称h 为g 的次正规子群，如果h 在g 的某 个次正规群列中。 3 2 2 9 1 ：设a 为g 的子群，若m g ，且a m 就有a _ - a m ，则称a 为 g 的m 一正规子群。 3 2 3 0 侧；群g 的一个子群h 称为g 的弱c 一正规子群，如果存在g 的一个 次正规子群t 满足g = 胛且日n t 。 3 2 3 1 删：群g 的个子群a 称为g 的半正规子群，如果存在g 的一个子 群b ，使得a b = g ，且对于b 的所有真子群置，使得爿旦 g 。 3 3 群的一些性质及引理 引理3 3 1 叫：设a 在群o 中具有覆盖避开性，n 是g 的正规子群，则a n n 在g ，中具有覆盖避开性。 证明：设h i k 是g = g n 的任意主因子其中h = 日k = k n ，则h ，k 均是g 的正规子群且k h ，且h k 是g 的主园子。事实上，设e 是g 的正 规子群且k 蜀h ，则k 国h ，其中鼠= 鼠n ，因h k 是g = g n 的 主因子，故k = h 。或h = h ，即k = e 或喝= h ，故h k 是g 的主因子。 由题设，日n a = 足n 4或h a = 1 0 t。于 是 ， ( h n ) n ( a n n ) = ( k n ) o ( a n n ) 或( 日) ( 川) = ( k u ) ( 删u ) 。这 就证明a n n 在g ， ，中具有覆盖避开性。 引理3 3 2 ：设g 是群，口，b ，c g ，贝t j a ，b 4 - - , , ，c 】【口，6 】 口，b ，c 】。 引理3 3 3 叭1 ：设g n 为幂零群，且n z f g ) ，则g 为幂零群。 证明：v p s y l ( g ) ，则州s y ( g n ) 。由g i n 为幂零群得 p n n 旦1 g n 则删箩。因为p 蹦，( p n ) ，由f r a t t i n i 论断可得 g = g ( p ) 删= g ( p ) 2 v ，又因为 r z ( g ) sc g ( p ) g ( p ) ，所以 g = 0 ( p ) 即p 兰! g ，从而g 为幂零的。 引理3 3 4 “1 ：设g 是幂零群，则g 的下中心群列终止于l 。 弓l 理3 3 5 “1 ：若a ，b g ，贝f a ，b 1 a 营b n g ( a ) 。 引理3 3 6 “”：设g 为可解群的充要条件是存在一个可解的g 的极大子群m 在g 中c 正规。 引理3 3 7 “：设h g ，i g ：日l = 刀，贝 l g m o i 是( ! ，l g l ) 的因子。 第3 章预备知识 引理3 3 8 “。；设g 是可解群，则g 是幂零群当且仅当对 v p s y l , ( o ) ，n o ( 尸) 是p - 幂零的。 证明：必要性显然，下证充分性。 对k ( g ) i 作归纳法。若k ( g ) l = 1 ，则g 是p 群，则结论显然成立。若 k ( g ) i = 2 ，则设万( g ) = p ，q 由条件g ( p ) ，j ( q ) 分别为p 一幂零群、q - 幂 零群，而由幂零群的定义 ，g ( p ) ，n o ( q ) 是幂零的。下证j ( g ( p ) ) = 名( p ) 。 设v x g ( g ( 尸) ) ，则有x - 1 n o ( e ) x = g ( p ) ，于是x - i p x c _ g ( p ) ，记 x p x = h ，且存在y n o ( p ) 使得厂1 b y = p ，从而y - 1 x p x y = p 即 砂g ( 尸) ，有x g ( p ) ，因此n o ( g ( p ) ) = g ( p ) 同理可证 g ( g ( q ) ) = g ( q ) 。由此得到g ( p ) ，n o ( q ) 为c a r t e r 子群由可解群的 c a r t e r 子群互相共轭知 ，g ( p ) = n o ( q ) 。，于是 ，g ( 尸) 包含g 的s y l o w q - 子群， 因此得到 k ( p ) = g ，从而g 是幂零的。若k ( g ) l 3 ，则由归纳假定g 的每 个真h a l l 子群幂零，于是g 有3 个指数两两互素的幂零子群，则g 是幂零的。 证毕。 引理3 3 9 “”：设g 是群，h 是群g 的具有半覆盖避开性的子群，如 h m g ，则h 也在群m 中具有半覆盖避开性。 证明：h 是群g 的具有半覆盖避开性的子群，则存在g 的主群列 i = g o g t g ，= g 使得日ng f 一1 = 日ng l 或者h g i _ i = h g i ，其中f - o ，l ，。 设m = g n m ，f = o ，1 ，显然有日n 虬l = n m 或h m j l = 月m ，于是h 覆 盖避开m 的主群n 1 = m o 心毛 蝎= m ，于是h 是群也m 中具有半覆盖避 开性。 引理3 3 1 0 0 1 ：设p 是i g 】的奇素因子，p e s y l p ( g ) ，若g ( 尸) 是p 一幂零的， 且p 的极大子群在g 中具有半覆盖避开性，则g 是口幂零的。 证明：假设结论不真且g 是极小阶反例，则我们有o j ( g ) = l 。事实上， 如果d i ( g ) 1 考虑商群g d i ( g ) ，由引理2 2 1 1 知g o i ( g ) 满足定理条 件，由于o 是极小阶反例，于是g o ( g ) 是p 幂零的，因此，g 是p 幂零的， 矛盾。我们还可以得到以下结论。 取g 的一个子群m ，且m 满足p m g ，则m 是p 一幂零的。因为显然 有( p ) n o ( p ) ，因此( p ) 是p 一幂零的，而由引理2 2 9 知道m 满足定 理条件，由于g 是极小阶反例，于是m 是p 幂零的。 o o ( g ) l 且g 是p 可解的。因为g 非p 幂零的，由t h o m p s o n 的一个结 论( 2 6 】中的推论