（运筹学与控制论专业论文）汇率的经典脉冲控制——和投资组合问题的随机目标规划模型.pdf

摘要 汇率在一个国家的经济中占着非常重要的位置，由于通货膨胀、国家政策及 其它国家经济的影响等因素，汇率会产生很大的波动，而汇率频繁波动或者波动 幅度过大都会给经济造成很大的影响甚至造成很大损失，因此政府部门就要制定 相应的策略来控制汇率以减少它对经济造成的危害。这就是本文所主要讨论的汇 率控制问题，在本文里，作者主要讨论的是如何应用利率和官方干预来对汇率进 行控制。 在近几十年来国内外许多数学家也对此做过很多研究，如德国金融数学家 r a l f k o r n 在1 9 9 9 年发表的“脉冲控制在金融数学中的应用”就主要讨论了脉冲控 制在现金管理、汇率控制和投资组合问题中的应用。c a d e n f l l a s aa n dz a p a t e r o f 在1 9 9 9 年发表的“央行在外汇市场上的最优干预”则讨论了官方干预问题而 他们在2 0 0 0 年发表的“应用利率和外汇储备对汇率的经典一脉冲随机控制”则 讨论了混合的经典一脉冲控制 本文的主要工作包括两点一是在c a d e n i l i a s aa n dz a p a t e r o f 汇率的混合 控制文章基础上对模型进行了更深一步的修改，使问题更具有实际意义，在原先 模型基础上建立了三个模型并由此得出了四个非线性偏微分方程和相应线性部 分方程的解析解其中第一个模型考虑的是汇率高于目标值和低于目标值时对经 济产生的影响的非对称性；另一个模型考虑到当今经济的多边贸易问题，在原先 汇率基础上引进了另外两国之间的汇率并假设两个汇率之间服从一定的线性函 数关系，进而也得到了不同于原先模型的控制问题；第三个模型考虑的是利率高 于和低于目标值时对经济影响不一致的情形。随机控制除了在汇率中的应用外， 它还可以应用到现金管理和投资组合问题上文章的另一部分内容讨论的就是投 资组合问题，作者在这里应用了e n r i q u eb a l l e s t e r o 提出的一个新的随机目标规 划方法，采用幂效用函数和双曲绝对风险厌恶函数，以资产组合为背景，构造了 两个具有分数形式目标函数的随机目标规划模型，给出了解法并讨论了解的经济 意义。同时还产生了一种相对风险极小的有效解，为决策者提供了一种新的方案 选择途径。 关键词：汇率，混合经典一脉冲控制，拟变分不等式，随机微分方程，停时 4 a b s t r a c t e x c h a n g er a t e i s v e r yi m p o r t a n ti na n yc o u n t r y s e c o n o m i c s d u et ot h e f a c t o r so fi n f l a t i o n ，g o v e r n m e n t sp o l i c ya n do t h e rc o u n t r i e s e c o n o m i c s si n f l u e n c e t h ee x c h a n g er a t ew i l lf l u c t u a t eu pa n dd o w n s w h i l eb i gf r e q u e n c yo rb i g e n t e n t i o no fe x c h a n g er a t e sf l u c t u a t i o nw i l lt a k eg r e a ti n f l u e n c eo rc a u s eg r e a t l o s e so nt h ee c o n o m i c s s ot h eg o v e r n m e n ts h o u l dt a k em e a s u r e st oc o n t r o lt h e e x c h a n g er a t et or e d u c et h el o s e s t h i si st h es oc a l l e dc o n t r o lo fe x c h a n g er a t e i n t h i sa r t i c l e ，t h ea u t h o rm a i n l yt a l k sa b o u th o wt oc o n t r o lt h ee x c h a n g er a t eu s i n g i n t e r e s tr a t e sa n do m c i a 】i n t e r v e n t i o n s i nr e c e n ty e a r sm a n ym a t h e m a t i c i a n sm a k eg r e a tr e s e a r c ho nt h i sp r o b l e m ， f o re x a m p l e ，t h ea r t i c l eo f “o p t i m a lc e n t r a li n t e r v e n t i o ni nt h ef o r e i g n e x c h a n g e m a r k e t ”b yc a d e n i l l a s aa n dz a p a t e r o fi n1 9 9 9d i s c u s s e st h ep r o b l e mo fo f f i c i a l i n t e r v e n t i o n w h i l et h ea r t i c l e “c l a s s i c a la n di m p u l s es t o c h a s t i c i n t e r v e n t i o n o ft h ee x c h a n g er a t e u s i n gi n t e r e s tr a t e sa n dr e s e r v e s ”b yc a d e n i l l a s aa n d z a p a t e r o fi n2 0 0 0t a l k sa b o u tt h em i x e dc l a s s i c a la n di m p u l s ec o n t r o l ， t h ea u t h o ro ft h i sp a p e rm a i n l yd ot w o j o b sh e r e o n ei sm a k i n gs o m ec h a n g e s o nt h em o d e lo ft h ee x c h a n g er a t eh a s e do nt h em o d e lo fc a d e n i l l a s aa n dz a - p a t e r o ft om a k ei t m o r er e a s o n a b l ea n dp r a c t i c l e t h r e em o d e l s f o u rn o n l i n e a r p a r t i a le q u a t i o n sa n dt h ei n t e r r e l a t e da n a l y t i c a lr e s o l u t i o n sa r ed e r i v e di nt h i s a r t i c l e t h ea u t h o rc o n s i d e r st h ed i f i e r e n ti n f i u e n c e sw h e nt h ee x c h a n g er a t ei su p o rd o w ni t s t a r g e ti n t h ef i r s tm o d e l i nt h es e c o n dm o d e lt h ea u t h o rc o n s i d e r s t h ef a c t o ro fm u l t i l a t e r a lr e l a t i o n sa n dt a k e si n t oa n o t h e re x c h a n g er a t eb ys u p - p o s i n gt h er e l a t i o nb e t w e e nt h i st w oe x c h a n g er a t e si sl i n e a r w h i l ei nt h et h i r d m o d e lt h ea u t h o rc o n s i d e r st h ed i f i e r e n ti n f l u e n c e so fi n t e r e s tr a t e sw h e ni t i s u p o rd o w ni t st a r g e t e x c e p tt h ea p p l i c a t i o no ft h es t o c h a s t i cc o n t r o li ne x c h a n g e r a t e ，i t c a na l s ob ea p p l i e dt ot h ep r o b l e mo fc a s hm a n a g e m e n ta n dp o r t f o l i o ， t h eo t h e rj o bi sa b o u tt h ep r o b l e mo fp o r t f o l i o t h ea u t h o ru s e st h em e t h o do f e n r i q u eb a l l e s t e r o ss c h e m eo fs t o c h a s t i cg o a tp r o g r a m m i n g ，t w os t o c h a s t i cg o a l p r o g r a m m i n g m o d e l sw e r em a d ei nt h i sp a r t t h ea u t h o ru s e st h ef u n c t i o no fe x p o n e n t i a lu t i l i t ya n dh y p e r b o t i ca b s o l u t er i s ka v e r s i o ni nt h i sp a r t t h er e l a t i v e r i s ka n d m e a n i n g a r ed i s c u s s e di nt h i sp a p e r a l s ot h en e w p r o g r a m m i n g i sa g o o d 5 a l t e r n a t i v ea p p r o a c hf o rt h ed e c i s i o n - m a k e r k e y w o r d s ：e x c h a n g er a t e ，m i x e dc l a s s i c a l i m p u l s e s t o c h a s t i c c o n t r o l ，q u a s i v a r i a t i o n a l i n e q u a l i t i e s ，s t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，s t o p p i n gt i m e s 6 第一章前言 1 1 历史背景和现状 随着经济的发展汇率理论也在不断的发展完善，由传统的汇率模型到7 0 年 代初期货币主义的汇率模型到现在的“均衡模型”和“流动性模型”；由宏观的 汇率理论模型到微观汇率理论模型，经历了很长的发展阶段。近年来随着具体经 济实践的发展，有关汇率的一些理论也在不同的领域扎根，其中最主要的有对于 官方干预汇率的理论探讨；关于汇率目标区的理论模型。作者论文的主要内容就 是对运用官方干预和传统的经典控制来对汇率进行干预的汇率模型的讨论。 官方干预) l i f e 市场指的是货币当局为了影响汇率而买卖# l i f e 的行为，其中最 主要的是所谓的“冲销干预”即中央银行为干预汇率而买卖# i f f l ：的同时或稍后再 在公开市场售出或购入相应的政府债券，以抵消因买卖外汇而释放或回笼的本国 货币对国内货币供给造成的冲击。西方经济学对官方干预的理论探讨主要着重于 官方干预措施的作用机制。一般认为官方干预是通过两条渠道来影响汇率的，首 先是改变资产的相对供给。假设当局购入外汇，同时在公开市场卖出政府债券来 冲销，如果本国和外国的债券是完全替代的，那么居民为保证其资产组合平衡必 将卖出同政府在公开市场售出的债券数额相同的外国债券，从而居民售出的外 币量完全等于政府购入的外币量，汇率仍保持不变。但在现实中本国和外国的债 券并不是完全替代的，居民售出的外国债券在上述情况下一般少于增加的本国债 券，从而 率发生变化，干预产生效果。另一个作用的渠道是政府的信号功能。 官方在外汇市场的干预行为通过改变外汇交易商的心理预期对当前汇率产生反 馈作用。 而目标区理论是针对国际货币体系中出现的特殊制度安排而发展起来的一 种汇率理论。所谓汇率目标区是指两国或多国货币当局根据协议规定各自货币之 间的一个中心汇率和上下波动界限，各国当局有义务采取措施以保证汇率围绕中 心汇率运动而不超出上下界限，它的汇率决定公式为s = m + u ，其中m 为当局 控制的货币数量v 为货币外的其它基本经济变量。 除了上述的官方干预和目标区理论外，文章f 1 4 1 还讨论到了管理浮动汇率 制度下货币政策目标模型，文章应用经济理论和多目标决策分析方法，探讨货币 政策目标之间的关系，首次建立管理浮动汇率制度下的货币政策多目标模型，并 在此基础上应用多种计量经济学方法( 协整、方差分解和脉冲响应分析) ，实证 8 政策目标之间的关系，首次建立管理浮动汇率制度下的货币政策多目标模型，并 纛戴基础上应援多静诗量经济学方法( 协熬、方差分勰秘辕冲响应分辑) ，实证 研究中国鑫实现管理浮动汇率削度戳来货币政策莓标之闻静关系褥疆了有重要 懑义的结论。 传统的汇率理论是通过利率对汇率的影响来间接的对汇率进行影响的，在本 文燕我疑主要考虑了瘟爨蜜方子蓣嚣经典控裁缍台在起戆混合控裁，我靛曩 到的数学工其主要就是脉冲控制。我们都知道对于管璎撩错者来说每时每刻的交 易和控制是不可能的，由此便产生了脉冲控制，它由一系列干预时间和干预量组 成。通常假设两次干预之嘲盼过程x ( t ) 目鼹从下面的黔齿式磁剪 炽i 五矬 d x ( t ) 一b ( x ( t ) ) d t 十o ( x ( t ) ) d w ( t ) 妫数b ：r _ 月满足李普希豫条件，初始值x ( o ) = z 滗义在概率空间( q ，f ) 尸) 上，( 匀，t 0 是一维枣靛运动，在隧搬进程孛，w ( t ) 是以“自噪声”懿名字 弓l 率出来静邵遴常所说静“n o i s e ”，袅龙子饔对阉，z ；j 孽予羲爨，般酶撩 制问题如镡i 帆 秘氓 ro墨 搿，悉& 彩霹( z8 ”巩y ( x ( 。) ) 斑+ ( 蜀+ 2 | 。i l ) 岛；c * ) ( 1 l 1 ) 逡里k 0 ，k 0 且为常数，为一个谶续函数，霹为x ( t ) 初始值为z 时的 期攫值， s 一 ( 馥，戤) ，i 是由控制者选择的控制集。脉冲控制的方法可 潋应震到诲多念疆阕题上， 5 孛蕤论述了稼跨控裁袭三拿金懿嚣繇孛戆应嚣， 其中德国数学家r a l fk o r n 猩这一方面的研究非常深入。而隙阱 1 0 】就是针对 脉冲控制在汇率中的应用的几篇文章， 9 为单纯的脉冲控制， 8 j f l o 为混合 锻艇脉冲控制，昧了在汇率方面的应用之外，脉 申控制还应用在现鑫管理，投资 缀合等方嚣，葵孛两藏是对瑗金管理阕懿静一个讨论，暖蘩讨论了指数逵踪 问题 对于投资风险问题一崴就是广大数理经济学家及缀济学家们研究的重要内 容，关于嚣缒阉题的讨论缀有很多的文整，教榜f l 孛就讨论了投资的多狰觋 除，为经济学寐们提供了饺多研究风险酶璧要依据， 2 5 列在稷设 芷券价格服 从布朗运动的蕊础上，建立了证券投资最优控制问题数学模型，并把经济学家 搬出的风险规避系数引入到_ i 芷券投资决策问题中，然后根据随机控制理论，推导 爨了螽l l 验袈蘧毅炎者懿燕睡数嚣灌是戆蛰毒强陵魏遗黎数懿交态纛翘镶徽努方 糕，并得列了麓于随机控制阉题值函数的诞券投资最偬策略。 19 】则是e n r i q u e 9 b a l l e s t e r o 提出的一个新的随机目标规划模型 s t a 其中多目标模型为 q m i n f 0 。如( 易) 盯2 ( 勇)- - 4 。 、一。 j = l s ，t 奶q 其中0 。为偏好系数本文的第二个主要任务就是在上述随机目标规划模型的基 础上采用幂效用函数和双曲绝对风险厌恶函数，以投资组合 g j = 岛j = 1 ，q i = 1 为背景展开的讨论。在解决投资组合问题的过程中，除了用脉冲控制即拟变分不 等式求解在f 1 7 1 还用最优停时的方法对问题进行了讨论，通常的我们仅考虑固 定和成比例交易费用，有些文章中还考虑到了红利和税收，其中 2 6 考虑到了税 收的问题。f 1 8 】则是对有交易费用的消费一投资问题的讨论。在文章【2 4 】中我 们看到作者还讨论了风险灵敏控制问题，投资问题一直是金融中的一个非常引人 注目的问题丽投资风险问题又是投资问题中的一大问题，越来越多的数学家们正 在深入的研究这一课题， 1 2 研究意义 利率和汇率在一个国家的经济中占着非常重要的位置，而且利率和汇率相互 作用影响着国家的经济，所以保持一个国家的利率和汇率之间的平衡对一个国家 的发展有着非常重要的经济意义。1 9 9 7 年爆发的亚洲金融危机表明，金融危机的 危害性极大，它不仅会使一个国家经济动荡，而且又可能导致国家经济崩溃，因 此保持一国金融安全与稳定是维护国家经济安全的核心内容。亚洲金融危机的教 训在于，在对外开放的过程中，如果不能保持利率和汇率政策的协调，一国经济 将容易受到外部的冲击，从而加大发生金融危机的可能性。因此，保持本外币政 策的协调，特别是保持利率和汇率政策的协调对于避免金融危机发生和维护国家 1 0 经济安全至关重要。在扩大对外开放的今天，保持利率政策和汇率政策的协调， 对维护我国经济安全有着特别重要的意义，而且随着中国加入世界贸易组织，我 国最终将开放国际收支的资本项目，实现人民币的完全可兑换，人民币利率也会 逐渐市场化，汇率决定的市场体系将更加完善，人民币利率和汇率之间的关系将 会更加密切。所以如何处理好利率政策和汇率政策的协调配合，把国际金融市场 对我国经济可能造成的冲击降低到最低程度是事关国家经济安全的重大问题。在 央行对汇率控制的实际过程中，除了上述的通过利率来控制还有另外一种办法， 那就是直接的干预，国家通过一定的行政手段在外汇市场上进行干预，这就是在 上面我们已经介绍过的脉冲控制。中国人民银行法规定货币政策目标是“保 持货币币值的稳定，并以此促进经济增长”，保持货币币值稳定是指保持人民币 对内币值和对外币值的稳定，而这两者之间存在着明显的矛盾性自东南亚金融 危机爆发以来，我国始终将稳定人民币汇率作为货币政策的首要目标，从而起到 了稳定亚洲乃至世界经济金融秩序的巨大作用，稳定人民币汇率对于中国树立敢 于承担维持国际经济秩序的良好形象，提高东亚以及世界各国政府对中国的信任 程度和中国经济的信心，有着重要的意义，但由于货币政策目标间的矛盾性，这 种做法势必影响到其它货币政策目标的实现，因此货币政策目标的关系也是一个 有待深入研究的问题。 1 3 本文的主要工作 国内外无论对于汇率的还是投资组合的研究都仅仅给出了一个总体框架，在 许多细节问题上并没有考虑到具体的经济情况，本文在模型基础上结合实际经济 因索进行了更加深入的讨论，得出了最优控制策略，并对方程的解析解和数值解 进行了深入的研究。总结一下本文的主要工作如下： 1 在文章 1 0 的基础上对模型进行了更深一步的改进，在原先模型的基础上建 立了三个模型，使问题更加具体化，第一个模型考虑到汇率高于目标值和低于目 标值时对经济产生的影响是非对称的，从而控制问题中的，( “，x t ) 产生了很大 变化；另一个模型考虑到当今经济的多边贸易问题，在原先汇率基础上引进了另 外两国之间的汇率并假设两个汇率之间服从一定的线性函数关系，进而也得到了 不同于原先模型的控制问题；第三个模型考虑的是汇率离于和低于目标值时对经 济影响不一致的情形本文不仅建立了三个不同于原来的模型，还得出了四个不 同的方程，对在一定条件下得出了相应的解析解和简单脉冲控制策略，其中某些 方程的数值解之倒也已经得到。 2 在e n r i q u eb a l l e s t e r o 提出的个新的随机警标规划熬础上采用幂效用函数 和双曲绝对风险厌恶函数，以资产组合为背景，褐造了两个具有分数形式疆标函 数的随机隐标规划模型，给出了解法并讨论了解的经济意义。并产生了一种相对 菇陵摄，j 、泌有效簿，隽决策者提穰了一稀新醣方巢选择途径。 1 2 第二章脉冲控制的基本理论 2 1 基本定义 定义2 1 1h o 公式首先我们来看一维的 t o 公式 机过程， d x t = # d t - 4 - v d b t 设x 是满足下式的一个随 设g ( t ，。) c 2 ( o ，。) 硒也就是g 在 0 ，。) 上是两阶连续可微的 9 ( t ，五) 也为一个h o 过程，且 d k = 警( t ，五) 出+ 塞( t x t ) d x 。+ 三2 堕0 x 2 咒) ( d 五) 2 其中 ( 2 1 1 ) 因此k ： ( 2 1 2 ) 出d t = d t ，d b t = d b c d t = 0 ，d 点k d b t = d t 称满足上述条件的式子为j d 公式。 定义2 ，1 2 假设一个人有资产例如房子，股票，石油等等，他打算卖掉这些资 产，他的资产t 时刻在公开市场上的的价格变化托遵循同上面的随机微分方程 譬：r 五+ o 五，n o i s e ， ( 2 1 3 ) 其中r ，n 是已知的常数，那么选择什么样的时间来卖出资产是最优的? 即使假 设到目前为止墨的行为巳知，由于噪声的作用出卖资产的人仍然不知道在什么 时候是最佳时间，因此当考虑最大收益时找到的这么一个长期的停时策略即定义 为最优停时 定义2 1 3 常假设两次干预之间的过程x ( t ) ) l g t 从t 面的i t o 公式 d x ( t ) = t t ( x ( t ) ) d t + 口( x ( t ) ) 矗形( f )( 2 14 ) 函数“：r _ r ，口：r _ r 满足李普希兹条件以保证上述微分方程一定存 在一个唯一的非扩散的解，初始值x ( o ) = 。定义在概率空间( q ，f j p ) 上， w 7 ( t ) ，t 0 是一维布朗运动称满足上述微分方程的过程x ( t ) 为随机过程 定义2 1 4 通常的无限时域的既有干预费用又有偏差所引起的费用的控制问题 如下定义： 骱恕：，霹( ze 小肚( 蝴+ 姜e 咖( k 刊潮一1 ) ( 2 1 5 ) 1 3 这里k 0 ，k 0 且为常数，k 为干预时的固定费用，k 为干预时的比例费用， f 为一个连续函数，霹为x ( t ) 初始值为z 时的期望值，s = “n ，黝，i ) 是由控制者选择的决策集。t 为第i 次干预时间，矗为第i 次干预量，z 为可 行脉冲控制决策集 定义2 1 5 一个脉冲控制策略定义为满足下列条件的一系列干预时闽和干预量 钊 0 7 - i 兀+ l ，v i nf 2 1 6 ) i i ) r i 是相对于滤波 的一个停时 i i i ) 靠相对于 是可测的 0 ， ：= 口 x ( s 一) ，8 t ，t 0( 2 1 7 ) x ( 疋) = x ( t 一) 一矗 ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) p ( 规n t ) = o ，v t 0 ( 2 1 1 0 ) 定义2 1 6 定义相对于i - b c ! 偿，纠的价值函数如下 v ( x )：i 。f 磋( ，。e s e z 、j o ，z 为可行脉冲控制决策集 定义2 1 7 定义最小算子 1 。f ( x ( t ) ) d t + e “( + k 1 5 d ) i 。 ) ( 2 1 1 1 ) = l 吖“扛) 22 盛p 0 一f ) + k + 自i ( 21 1 2 ) 最小算子代表了最好的瞬时干预行为和过后的最优行为的一种决策函数，也就是 这种决策既保证了瞬时最优干预又保证了长期的最优干预，在这里我们假设了上 1 4 式可以取到最小值 定义算子： l v ( x ) + ，( z ) ：= ；口2 ( z ) 。( z ) + b ( x ) v 。( z ) 一a ( z ) + f ( x ) ( 2 1 1 3 ) ，而且由 如f 圳的定义我们可得v ( z ) m y ( x ) ，构造b e l l m a n 原理的一个变量 如下： u ( z ) = i 蜓e x ( e - a t m v ( x ( t ) ) + e “。f ( x ( t ) ) d t ) = ：g v ( x ) r e j 0 这里，为有限停时集，玩为无干预政策时的期望，应用b e l l m a n 原理我们 可以推得 l v ( x ) + i ( x ) 0 定义2 1 8 称函数u ：( 0 ，o 。) - - + 【0 ，o 。) 为问题j j j 的拟变分不等式如果满足如 下条件 l v ( x ) + f ( x ) 0( 2 1 1 4 ) v ( z ) m v ( x )( 2 1 1 5 ) ( v ( z ) 一m v ( x ) ) ( l v ( x ) + ，( z ) ) = 0( 2 1 1 6 ) 定义2 1 9 设 为拟变分不等式的一个解，那么下面的脉冲控制称为相对于u 的一个拟变分不等控制 h ，o ) = ( 0 ，0 )( 2 1 1 7 ) n = i n f t n 一1 ：v ( x ( t - ) ) = m v ( x ( t 一) ) )( 2 1 1 8 ) 6 = a r g r a 。i f n ( ( x ( n 一) 一a ) + k + k l s l ：r , x ( t ) + 蚓( o ，。) ) ( 2 - 1 1 9 ) 2 2 基本定理 定理2 2 1b e l l m a n 动态规划原理： 假设随机过程x ( t ) 在tm t 客, l 是满足以下形式的i t o 过程： x ( t ) = x “( f ) = z + q ( u ( s ) ix ( s ) ) d s + ，0 t ( 7 ( “( s ) ，x ( s ) ) d 叫( s ) ( 2 2 1 ) 其中x ( t ) r ，叩：u r - s tr ，盯：u r _ r ；( t ) ucr 是任意时刻t 在给定的b o r e l 集上取值以控制x 俐的一个参数，由于在t 时刻u ( t ) 必须根据 t 时刻以前发生的信息来取，因此过程“( f ) 必须是只一适应的考虑受控系统 俾2 纠的目标函数： f t ，“( z ，2 ) = e 。 上8 叫f ( “( s ) ，( s ) ) d s + ( x ( 。) ) e ”) ( 22 2 ) 的最优控制问题：其中f ：ux r _ 兄是在状态乱亿纠下的成本函数即对任 意初值z ，找出价值函数u 亿砂和只一适应的最优控制u 4 ( t ) 使得成立： v ( x ，t ) = s u p j “( z ，t ) = j 矿( x ，t ) ( 2 2 3 ) 引入算子： ( 删加咖，z ) 差+ 却娜) 岩叫 则有以下引理： 引理2 ：( t h eh a m i l t o n j a c o b i b e l l m a n ( h j b ) e q u a t i o 刊 假设价值函数 ( z ，t ) c 2 是如俾2 到所定义的则对于任意初值o 向f 是以 弋( h j b l 馕微龠亩桂的解： 掣= 州s u p ， ( l u y ) ( 州) + f ( “，讲 ( 2 2 删 y ( x ，0 ) = ( 。) 1 6 第三章汇率的混合经典一脉冲控制 一一非对称因素和多边关系因素 3 1 基本框架 3 1 1 ；e 率的基本模型 首先定义汇率的概念x ( t ) 为t 时刻兑换每单位的国外货币所需国内货币的数 量。考虑利率和人为干预对汇率造成的影响后汇率五为满足下列随机微分方程 的一个适应过程 耻z + 上。c p x s + a u s 冲+ o 。删眠+ 缸叫已 ， 其中 让- l 。g 鬻 ( 3 1 2 ) r ( t ) 为t 时刻国内的利率，f ( t ) 为t 时刻国外的利率( 并且假设为已知) ，死为第 i 次干预的时间，6 为第i 次干预的强度a 0 ，弘为随机过程x ( t ) 的漂移系 数( 等于z ( t ) 的均值) ，盯 0 为过程的扩散系数，m 为相对于 b ) 的b r o w n 运动 3 1 2 经英逞盒脉冲控制 三变元 ( u ，l f ) = ( u ；丁1 ，您，；f 1 ，已，矗，) ( 3 1 3 ) 称为混合经典脉冲控制，u 为经典随机控制，也即礼：( 0 ，。) _ r 是一个适应 的随机过程，而且( t ，) 是一个脉冲控制，也就是 兀) 为一列递增的停时，且 矗) 是一列随机变量，满足岛：q r 是r 。可测的 3 1 3 目标函数 由于利率差和汇率差的存在对一个国家的经济造成了一定的影响，汇率的升降 对一个国家的进出口造成很大的影响，而且国家对汇率进行直接的干预时需要一 1 7 定的费用。所以国家控制的目标就是如何使得在费用最低的情况下来控制汇率 如果只考虑一个汇率浮动对国家进出口造成的影响则目标函数如下定义 p 。 j ( x ；u ，t ， ) = e e - 1 * y ( x t ，u t ) d 亡+ e 。“g ( 矗) 厶、c 。) ， ( 3 ，1 4 ) j o ； 其中 f ( x ，u ) = ( x p ) 2 + c u 2 9 ( f ) = k + 七吲， k ，k ，p ，c f 0 ，。o ) ， ( 3 1 5 ) ( 3 1 6 ) p 为汇率的目标值，k 为固定费用，k 为比例费用一般的中央银行要选择一 个最优决策集( u ，t ，) 来使得上述目标函数值最小 3 1 4 ；e 率模型的价值函数 定义3 1 1 相对于目标函数p j 4 ，的价值函数如下定义：对于任意的。( o ，o o ) v ( x ) ：= i n f j ( x ；钍，t ，) ；( “，t ，) a ( z ) ) ，( 3 1 7 ) a 俐为所有的可行混合经典脉冲控制集 3 1 5 汇率模型的相关算子 定义3 1 2 定义算子 m o ( x ) ：= i n f 咖( z + q ) + g ( n ) ：叩r ，q + z ( 0 ，。) ) ，( 3 1 8 ) 删( 小= ；盯2 警怕抖训掣一吲乩 ( 3 1 9 ) 3 2 模型 在我们讨论本文主要的模型之前我们先来看一下a b e lc a d e n i l l a s 和z a p a t e r o f 在2 0 0 0 年文章中所讨论的汇率控制的模型，汇率定义如上所示，它的目标函数 如下所示： n o 。 j ( 石；u ，t f ) = 研 ) d h g ( 矗) 。 。o e - ) t f ( x t , u t = e - a r “d 其中， ，( z ，“) = 扛一p ) 2 + c 7 2 2 ， lc + o 9 ( 日= m i n ( c ，d ) = 0 id 一嘭f 2 ，( 3 3 5 ) 碟：= i n f t 一l ：v ( x ”( t ) ) = m v ( x ”( t ) ) ) ， 簖：= a r g i n f v ( x ”( ) + 叩) + 口( 卵) ：叩r ，x ”( 碟) + 7 7 ( 0 ，。) ) ， x ”是由( u ”，t ”，p ) 决定的轨迹 定义3 3 3 定义简单控制策略为假设存在由四个参数旨，k 茜芦：0 l f 札 u 矗一1 ：五隹( l ，u ) ) ， ( 3 3 6 ) x 甜= 赢+ 6( 3 3 7 ) 价值函数满足 v x ( 0 ，l 】 v z 姒。) 如果v 在 l ，u 内是可微的， v ( x ) = v ( 1 ) + k + 女( f z ) v ( z ) = v ( u ) + k + k ( z u ) 则根据上式得 v ( l ) = - k 2 2 ( 3 3 8 ) ( 3 3 9 ) ( 3 3 1 0 ) 1 7 ( u ) = k 又如果1 7 在 2 ，“) 内是可微的，则 v 。( f ) = 一k v ( u ) = k ( 3 3 1 1 ) ( 3 3 1 2 ) ( 3 3 1 3 ) 引理：由于我们求的是j 的最小值，所以我们仅仅考虑那些对j 来说有限的决 策集，偏离导致的费用的有限期望值意味着以下条件的成立 p 。 e e “。霹d t o o j 0 p 。 e e “。札；d 司 o 。， d 0 干预费用的有限期望值则意味着以下条件成立 e 眨e 。“i ( t n c o ) 。 n = 1 由( 3 3 1 6 ) 可得 v t 【0 ，。) ：p l i mh t ) = 0 由( 3 3 1 4 ) ，( 3 3 1 5 ) 和( 3 3 1 7 ) 则得 一l i me ( e 一1 丁x ( t + ) = 0 ( 3 3 1 4 ) ( 3 3 1 5 ) ( 3 3 1 6 ) ( 3 3 1 7 ) ( 3 3 1 8 ) ( 3 3 1 9 ) 定理3 3 1 假设存在0 三 u 。满足 c 1 ( ( o ，。) ；( 0 ，) ) nc 2 ( ( o ，。) 一 l ，c ，；( 0 ，o 。) ) 是拟变分不等式的一个解 并且假设”在( 0 ，l ) 和( u 。) 内是线性的那么v z ( 0 ，。o ) ， y ( z ) 2v ( x ) 并且若相对于u 的拟变分不等控制( u ”，t ”，f ) 为可行混合经典脉冲随机控制 则v x ( 0 ，o 。) ， v ( x ) = v ( x ) = l ， z ；u ”，t ”，f ) (h t nf h 一 e f 且拟变分不等控制即为最优混合经典脉，中控制 证明j 定理的证明跟c a d e n i l i a s 和z a p a t e r o 在1 9 9 9 年发表的文章里的相似，但 是在这里决策集为混合控制集，所以仍有些地方不太相同，由于函数口在区间 肛，u 内是连续的所以它在此区间内是有界的，又由于 在肛，u 内的连续性且 在( o ，三) ，( 以o 。) 为是常数，所以v 在( 0 ，。) 内是有界的，令( 乱，t ，) 为可行决 策，x = x ( n ，t ，日为由决策( u ，t ，) 所决定的轨迹，由条件p 3 1 9 ) ， 在紧集内 的有界性和( 0 ，三) ，( 以o 。) 内的线性，我们可得 l i r ae e - a t u ( x ( t + ) ) ：0 ( 3 3 2 0 ) 1 t 根据条件佃3 j 4 ，和 的有界性我们又得 研z 。 e 。x ( t ) ”( x ( 啪) 2 捌 。 ( 3 3 2 1 ) 应用h o 公式我们可得 = i = 1 ( t a r i - l , t a r t e 山l “5 口( 五) 出+ f ( t a r i _ 1 , t a r l e - - a s v ( 墨) 口墨d 瞩) + 丘心) e 。“ ”( 瓦+ ) 一”( ) 根据拟变分不等式得 e - a ( “) 口( 。 h ) 一v ( x o ) 善卜f ( t a q - l , t a r l e - a 8 ，( 墨，) d s + k “e 。i 墨p 划蚴 如果是相对于u 的拟变分不等控制则上述不等式变为等式，两边取期望值得 ( 。) 一e e 一3 ( “) u ( x ( h ) + ) 2 4 n x 讲 肝 一 k 。 l | 0 x q x 一 +kp h e g qt 。 十 、+ 一慨甄 一他 一e一 已9 r 一 e 0 则得 f ( ) = f e x p 一去( 贾( t ) ) ， 代入上式得 2 可a 2 v ( z ) 芸( 掣) 2 + p z i d v ( z ) 一川z ) + ( z _ p ) 。：。 若u 0 ，则 删= f e 印 一兰2 c - ，v ( 贾( 伽 同样代入得 掣差( 掣) + u x d 掣( x x ) 州忡_ p ) 。一。 边界条件同上a = 0 时分别解得解析解为 1 “2 ( z ) = a 2 x r l + b 2 x r 2 + 孑南 h 3 ( x ) = a 3 x 1 + b 3 x 2 + f 口2 2 , u + a ) z 2 + 而2 pz + i p 2 卢。， ) z 2 + 而2 pz + i p 2 p 。， ( 3 ，4 ，8 ) ( 3 4 9 ) ( 3 4 1 0 ) f 3 4 1 1 1 t 1 ，r 2 同上由于( 3 2 8 ) 中f ( x ，r ) 的特殊形式，我们在此暂不去求解 定理3 4 1 设a ，b ，a ，p 满足0 o o5p