（应用数学专业论文）带源项的抛物型方程差分方法研究.pdf

摘要 很多实际工程问题建立数学模型后，都可以归结为抛物型方程问题。由于实际工程 问题的复杂性，建立的抛物型方程，其精确解往往不容易求得，因此研究其数值求解方 法无疑具有非常重要的理论意义和工程应用价值。有限差分方法是求解微分方程定解问 题的重要数值方法之一。用差分方法求解抛物型方程的问题，需要构造出精度高、稳定 性好、存储量并且计算量都要小的差分格式。本论文对理论研究和实际应用中常常遇到 的抛物型方程进行了数值方法的研究。 本论文介绍了用于求解抛物型方程数值解法的发展和应用，分析了当前对于抛物型 方程差分格式的构造发展过程。讨论了一维、高维两种情况的抛物型方程及相应的定解 条件，采用待定系数方法分别进行了研究。 首先，文中采用待定系数法对一维抛物型方程构造出了高精度( 截断误差达到 d ( ( ，) 3 + ( 缸) 6 ) ) 、稳定性较好( o ，4 5 ) 的三层显式差分格式，当网格比，具体到特 定的值时，差分格式的截断误差能达到d ( ( f ) 4 + ( 血) 8 ) 。 其次，对于高维( p = 2 ，3 ，4 ) 抛物型方程，文中指出了当差分格式中选取不同的节 点集，或者选取相同的点集但通过改变节点上网格函数值的线性组合系数都能改变格式 的精度，分析了对p = 4 时的一个差分格式，得到了求解高维抛物型方程差分格式的一 般方法。 数值计算实例表明，理论分析是正确的，所建立的差分格式是有效的。 关键词：待定系数法，高精度，截断误差，稳定性，显式差分格式，隐式差分格式 r e s e a r c ho nd i f k r e n c es c h e m e so fs o u r c ei t e mi n v o l v e d p a r a b o l i ce q u a t i o n y a n gp i n g ( a p p l i e dm a t h e m a t i c s ) d i r e c t e db yv i c e p r o z h o us h e n g t i a n a b s t r a c t w eo r e nm e e tt h ep r o b l e mo fs o l v i n ge q u a t i o n so fp a r a b o l i ct y p ei nm a n yf i e l d ss u c ha s d i f f u s i o n ，s e e p a g e ，h e a tc o n d u c t i o na n ds oo n a st h ec o m p l e x i t yo ft h ep h y s i c a lp r o b l e m i t s e l f ，t h ee x a c ts o l u t i o n sa r en o te a s yt ob ea c h i e v e d ，s ot h es t u d yo fi t sn u m e r i c a ls o l u t i o ni s u n d o u b t e d l yav e r yi m p o n a n tt h e o r e t i c a la n de n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o n t h ef i n i t ed i f r e r e n c e m e t h o di so n eo ft h em o s ti m p o r t a n tm e t h o d st os o l v et h ed e f i n i t es 0 1 u t i o no fd i f r e r e n t i a l e q u “o n s w h e nm ep r o b l e mi ss 0 1 v e dw i t hd i f f e r e n c em e m o d s ，w em u s tc o n s t m c td i f f e r e n c e s c h e m e 、h i c hh a sh i 曲- o r d e ra c c u r a c y ，s a t i s f i e ds t a b i l i t y ，l e s ss t o r a g ea i l dc o m p u t a t i o nt i m e i nt h i sp a p e r ，n u m e r i c a lm e t h o d sf o rp 觚a b o l i ce q u a t i o n s 甜ei n v e s t i g a t e d ，w h i c ha r eo r e n 印p l i e di nt h et h e o r yr e s e a r c ha 1 1 dp r a c t i c a la p p l y i nt h i sp a p e r ，t 1 1 ed e v e l o p m e ma n da p p l i c a t i o no fn 啪e r i c a lm e t h o d sf o rp a r a b o l i c e q u a t i o n sa r ei n 缸d d u c e d t h ed e v e l o p m e n tp r o c e s st os 0 1 v et h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa th o m e a n da b r o a di sa l s oa n a l y z e d i nr e s p o n s et ot l l ef i r s tq u e s t i o n ，c o n s t r u c t i o no fd i f f e r e n c e s c h e m e s ，t h a ti s ，s o l v i n gt h ed i f f e r e n t i a l 印p r o x i m a t i o np r o b l e mo fe q u a t i o n sa n db o u n d a 叮 c o n d i t i o n s t w op a r t sa r es t u d i e db yt h eu n d e t e m i n e dp a r 锄e t e r sm e t h o d f i r s t ，b yu 芏l d e t e m i n e dp 锄l m e t e r sm e t h o d ，t h ep a p e rh a sp r e s e n t e dah i g ha c c u r a c y ( t h e t n m c a t i o ne 仃o ri sd ( ( f ) 3 + ( 工) 6 ) ) e x p l i c i td i f - f e r e n c es c h e m ef o rs 0 1 v i n go n e d i m e n s i o n p a r a b o l i ce q u a t i o n ，w h i c hc a j lb ee x p l i c i t l yc a l c u l a t e da n dt h es t a b l ec o n d i t i o ni sg o o d ( m e s h r a t i oi s 0 。 “( x ，0 ) = 矽( x ) ，o x 甜( 0 ，f ) = “( ，f ) = o ，f 0 ( 2 - 1 ) 令缸及& 分别为空i 司和时i 司步长，其中心= m 。在x ，平面上由点= 缸 岛( 甜；”一“；) + 可( 唰一吐。+ 甜爿一“盖。) + e 义z 口。一够省+ 够磊。一够省) + 乞( z f 一矿。1 ) = 口7 7 1 ( “蒿一2 彬+ 1 + “符) + 口7 7 2 ( 甜二l 一2 “；+ 材二。) + 口7 7 3 ( “筒一2 彬以+ 甜高)( 2 2 ) 其中岛，爿，吖，乞，7 7 1 ，仍，7 7 3 为待定系数，将差分方程中出现的函数“用在点( 缸， i 岛+ 2 ( 爿+ 印+ 乞= 1 + 2 ( 爿一印一岛= 2 ( 7 7 1 7 7 3 ) 【7 7 l + 7 7 2 + 7 7 32 l 矽= 石( 口) 窘出+ 正( 动窘( 研+ 石( 雾( 研+ 工( 叻窘( 甜+ d ( 硝 ( 2 - 3 ) 石( 口) ：i b 一三( 吖+ 印 1 z 口口 石( 口) = 丢( 7 7 l + 7 7 3 ) + 去( 7 7 l 一现) + 志一吉一去( + 印一去( 爿+ 印 六( 口) = 去( 7 7 l 一7 7 3 ) + 击( 7 7 l + 仇) + 志( 仇一7 7 3 ) + 面b 一 3 第二章差分方程的建立 击( 可+ 印一云l _ ( 爿一印一丽( 爿+ 印 五 ) = 去( 吼+ ) + 去( 玩一7 7 3 ) + 瓦丧芦( 吼+ 仇) + 互斫吉谤( 7 7 l 一仇) + 诹i 击砭万 一去一击( 十s p 一去( 和印一去( 硝一s p 一面b ( 爿+ s p ( 2 - 4 ) 不难推知方程( 2 2 ) 的特征方程 p ：一盟二型生垄生垒二竺堕p + ! 型二譬竺翌：o ( 2 - 5 ) 。 岛一( j 一2 ) 占? + 口s 7 7 1 。 岛一0 2 ) 爿+ 口s 7 7 1 、 其中： j ：4 s i n 竺尝( 为1 和m 1 间整数) 。 由定理2 1 可推知，差分方程( 2 2 ) 的稳定性条件是： l 岛+ 2 ( 硝+ s d + 占2 = 1 毛+ 2 ( 0 一印一乞= 2 ( 7 7 1 一仍) 【7 7 1 + 仍+ 7 7 3 = 1 利用这些条件便可以确定各系数，构造出无穷多个具有不同逼近阶的差分格式，这种方 法称为待定系数法。 2 3 差分格式的稳定性 直观来讲，差分格式的稳定性是指逐层计算时误差的传递是可以控制的，具体地说 就是：设初始层上引入了误差f o ，如果存在常数k ，使得第n 层上的误差满足 忙“肛k 忙。那么称差分格式是稳定的，其中删。是某种范数。 用差分方法求解微分方程定解问题，最常用的方法是用差商代替微商，舍去截断误 差得到其最高阶的差分格式。这种离散方法固然简单，但在网点确定的前提下只能得到 一个差分格式，甚至难以得到其最高阶的差分格式。对任何一个数学物理模型，当网点 确定之后一定存在一个逼近它的最高阶差分格式，比最高阶低的差分格式都能构造出 来，给出稳定条件，并通过上机计算才能比较其优劣。为了能获得较高阶的差分格式， 本文用待定系数法，即引进与网点个数相同的待定系数，且注意到数学模型内在的关系， 推导出截断误差与待定系数的关系，使截断误差的阶尽量高，确定出待定系数。下面我 们来讨论使用待定系数法来构造高精度、计算量小、稳定性尚好的差分格式。 4 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 第三章一维抛物型方程的差分格式 3 1 现有差分格式分析 鉴于传统差分格式在时间和空间上精度都较低，近年来，有许多科研工作者开始致 力于高精度、恒稳定格式的研究，并且已有的研究结果表明，提高数值方法的精度和稳定 性对于提高问题的求解能力是一个非常有效的途径。对于一维抛物型方程，传统的差分 格式已经很多，但由于受到引进参数多少的制约，不可能把上述问题所需的差分格式 都构造出来，更不可能把精度高、点数少，稳定条件好的差分格式从中挑选出来。应用 待定系数法构造抛物型方程的高精度差分格式有效地解决了这一问题，这方面的工作在 文献 3 5 中已做得不少，且对二、三层格式的构造也基本解决。如计算数学1 9 9 1 年第一期载文：“解抛物型方程的高精度显式差分格式 ，其中第二个格式用了三层七 点逼近阶达到d ( 缸) 4 ，其实用三层七点可以构造出更高阶的差分格式，其它一些文章也 有类似情况。为了说明这个问题，文 6 把文【3 5 】中构造的二、三层格式的一般形式简 单引入。 对于方程( 2 1 ) ，取f = 出，办= 血，构造格式 厶甜；2 南莩( q 稍一6 ，噍一c ，稍) - o ( 3 1 ) ，q = ( 一，一1 ，0 ，1 ，) ，n 是自然数，q ，6 ，q 是r 的函数。显然当q 取为o 时( 3 - 1 ) 为二层格式。逼近误差为 硪咖h 训：= 笔赫拶m + d ( 胪1 ) ( 3 _ 2 ) 其中： i = 军( _ c ) 鲁+ 辫”( 1 厂1c ， 焉 ( 3 - 3 ) 刀= o ，1 ，p 。当，= o 时，o 取上 o r 表示括号内函数在( ，气) 的取值。 ，z 2 表示 ，l 2 的整数部分。 文 7 考虑高阶( 2 m 阶) 抛物型方程： 5 第三章一维抛物型方程的差分格式 詈删州器( 胚) 甜( x + 三，f ) = “( x ，f ) ( 一 x 。，o ，丁) “( x ，o ) = 厂( x ) ( 一 x o 。)( 3 4 ) 周期初边值问题时，利用待定参数法，构造了一个两层恒稳定向精度隐式格式及一个二 层高精度显格式，对高阶抛物型方程( 3 4 ) ，用如下含多参数的差分方程逼近： 掣饥掣+ 仍华怕掣 机：华+ 仇华幌华 _ ( - 矿+ l 仇器+ 7 7 6 器) ( 3 - 5 ) 其中钆，叩一。，仇，7 7 4 是待定参数。适当选择这些参数，可以使差分格式逼近 微分方程( 3 4 ) 具有尽可能高阶的离散误差，而且具有较好的稳定性。其稳定性条件为 ，= 出( 缸) 2 ”1 2 2 州，其局部截断误差阶分别为d ( ( r ) 2 + ( x ) 6 ) 及d ( ( 缸) 2 + f ( 缸) 2 + ( 缸) 6 ) ，比同类格式精度高二至四阶。随后，文 8 又构造了一组三层( 特殊情况下为 两层) 、含双参数，高精度的隐式差分格式，其截断误差为d ( ( 出) 2 + ( 血) 6 ) 。文 8 对高 阶抛物型方程( 3 - 4 ) 提出了如下的三层多参数隐式差分格式： 惫 + 丢) 嘣一2 口略：+ 一丢) “是) + 去 + 丢) 甜蒿一2 口甜二。+ 一三) 甜高) + 亳+ 扣一2 口“；m 一扣- 1 卟矿+ l c 冲峒筹巾历器州，簪甸 差分格式( 3 6 ) 的实参数偶心，) 为非负实偶数。而彘，轰，岛是与方程阶数2 所有关 的待定实常数。适当选择这些参数和待定常数，可以使差分方程( 3 6 ) 逼近微分方程( 3 4 ) 具有尽可能高阶的离散误差，而且有较好的稳定性。当m 确定时，对于实参数偶 ，) 的不同选取，便可得到不同的差分格式。通过选取适当的参数，便可得到截断误差阶为 d ( ( 出) 2 + ( 缸) 6 ) 的三层双参数隐式差分格式： 6 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 击( 2 。一吉：) ( 口+ 三) “裟一2 口略：m 一三) 甜是) + 去( 一8 岛。+ 。+ 詈岛。+ ：) ( 口+ 丢) 甜符一2 口甜二。+ 一丢) 材= ) + 古( 6 b ，+ 。一言岛。+ ：+ 1 ) ( 口+ 圭) 町”一2 口甜；+ 一圭) “；_ ) + 去( 一8 岛。+ 。+ ；b 2 州) ( 口+ 争扰蒿一2 口 知+ ( a 一争“蒿) + 去( 2 。一吉：) ( 口+ 丢) “蒿一2 口呼：+ ( 口一三) 唰) - ( - 矿+ l ( 牲删) 筹+ ( ) 器 + ( 挂圳) 器) ( 3 _ 7 ) 在格式( 3 7 ) 中，若参数口= 丢，= o ；口= 1 ，= 丢及口= o ，= o 便可到类似文 9 ， 1 。】中对于抛物型方程鲁= 窘所指出的三个差分格式。在特定情况下当参数口：三， = o 时得到了一个两层高精度的差分格式： ( 1 2 岛删一垦棚) ( 材茹+ “曷) + ( - 4 8 垦槲+ 1 6 岛棚+ ：) ( 唰+ 唰) + ( 7 2 岛。+ 4 3 0 岛坍+ 2 + 1 2 ) “；“+ 6 ( 一1 ) m ，| ”“；“ = ( 1 2 垦川一垦棚) ( 略2 + 呼2 ) + ( 一4 8 岛州+ 1 6 垦。+ 2 ) ( 畋l + 呼1 ) + ( 7 2 垦。+ 4 3 0 岛。+ 2 + 1 2 ) 彬+ 1 + 6 ( 一1 ) ”，”甜； ( 3 - 8 ) 并证明了：对一切正整数所，差分格式( 3 6 ) 对任意选取的非负实参数口0 ，0 都是 绝对稳定的。数值例子表明：所提格式是有效的，理论分析与实际计算相吻合。文 1 0 】 采用含参数差分方程逼近的方法，构造了一维齐次扩散方程的高精度隐格式，随参数选 取的不同，格式的截断误差可分别达到d ( ( 出) 2 + ( 缸) 4 ) 和d ( ( 址) 4 + ( 缸) 4 ) 。其中格式 d ( ( ，) 2 + ( 缸) 4 ) 是无条件稳定的，而d ( ( f ) 4 + ( 缸) 4 ) 格式却是无条件不稳定的，所以 d ( ( 出) 4 + ( 缸) 4 ) 格式不能用于实际计算。文【1 1 】基于泰勒展开和待定系数的方法，构造了 一维抛物型方程精度为d ( ( 缸) 3 + ( 缸) 4 ) 的三层九点显格式，其稳定性条件为， 1 2 ，即 7 第三章一维抛物型方程的差分格式 格式为条件稳定的。文 1 2 对二阶抛物型方程坐：罂，构造了一族新的三层隐式差分 o to x l 格式( 在特殊情况下是两层) 含参数、高精度、绝对稳定，三对角型的隐式差分格式，它 们含有非负参数，吃，其截断误差至少可达( 特殊情况下还可以 高) d ( ( f ) 2 + ( 缸) 4 ) 。文中引入记号： 磁= 鲁l + 1 0 圪+ 2 l ，乙甜：= “：+ 。一2 “：+ 碟一， 可得到如下含三参数的三层隐式差分格式为： 1 ( 3 q + 口2 一) “j ：”一4 ( 一) 甜| ：+ ( 口l 一一3 口3 ) 扰? 1 一凸l 一 1 2 “ 2 f 2 亩姒掣，帕z 碟坞略1 ) ( 3 9 ) ( 1 ) 三层情况。 当喁+ + = 1 时，利用等式窘= 窘，便得其相应的局部截断误差为： 月= 弓一号一嘉心2 譬) 一掰( + d ( ( 蚺( 硝) ( 3 - l o ) 所以，三层格式( 3 9 ) 的截断误差至少可达d ( ( 出) 2 + ( 缸) 4 ) 。若令( 出) 2 项的系数为0 ，得： 21 = 一一气 31 2 0 厂2 时的局部截断误差为。( ( 缸) ，+ ( 缸) 6 ) 。这时，由下面所得的稳定性条件之吃三推得稳 定性限制，击当然还要附加其它稳定性条件嵋吃o ，5 亏一五苦以及2 0 。 31 2 0 ，2 + + = 1 ) ，但由于( 缸) 6 的存在，已不能选取非负参数使差分格式( 3 9 ) 的精度更 高而又绝对稳定。 ( 2 ) 两层情况。 当= ，= 。时，利用等式窘= 窘，便得其相应的局部截断误差为 r = 詈( 1 一磊) ( 妒( 窘) + 。( ( 矿+ ( 矿( 血) 2 + 出( 缸) 4 + ( 缸) 8 ) ( 3 1 1 ) 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 所以，当= ，= 0 或当= 0 ，口：= 时，其截断误差至少d ( ( f ) 2 + ( 缸) 4 ) 。若令 ( f ) 2 项的系数为o ，得，= 时的局部截断误差为d ( ( f ) 3 + ( 缸) 6 ) 。 v 二u 若干特例： ( 1 ) 当q = ，= o 或= o ，口2 = 口3 时，格式( 3 9 ) 便成为不含参数的两层恒稳隐式 格式，即文 1 3 中的格式6 ，亦即文 1 4 】中的格式( 2 6 ) 。 ( 2 ) 当= 哆= 妻，= o 时，格式( 3 9 ) 可成为两层六点的恒稳隐式格式，即文 1 3 中的 格式1 3 。 ( 3 ) 当= 1 ，口：= 口，= 0 时便得一个三层九点恒稳隐式格式，即文 1 3 】中的格式1 3 。 ( 4 ) 记一= 口，口：= 三一2 ，由+ 口：+ = 1 得3 q + 口：一= 2 口+ 1 ， 一哆一3 = 2 口一1 ，= 丢+ 詈+ 。 格式( 3 9 ) 便成为文 1 5 中的格式( 2 ) ，此格式对非负有界参数偶 ，) 的任意选取均 稳定。特取口= o ，= 面啬一击时截断误差高达。( ( 出) 3 + ( 缸) 6 ) ，这时还要求 厂毒三，与本文结论相符。 2 0 ( 5 ) 当= 吃= 丢，口：= 丢时格式( 3 - 9 ) 为恒稳三层九点隐式格式，即文 1 0 中的格( 7 ) 。 ( 6 ) 当q ：委，：昙时格式( 3 9 ) 便为文 1 0 中的格式( 1 0 ) 。 oj ( 7 ) 当呸= 与孑，= 1 7 一与宁及= 7 7 + 与字时格式( 3 - 9 ) 便成为三层七点高精度 显式格式，即文 1 5 】中的格式( 2 8 ) 。 ( 8 ) 当口l = ，2 q 吃时，记= 6 l 2 ，则由q + + = 1 得吃= 1 一岛。显然，有 岛委，格式( 3 9 ) 成为恒稳的三层七点格式。尤其当= 吃= 丢，口：= o 时，可得新 的恒稳的三层六点格式为： ( 甜1 一甜箸1 ) = 1 2 厶( “1 + 甜1 ) ( 3 - 1 2 ) 文 1 6 采用如下节点集( 如图3 1 ) 由对称性原则建立了两个两层七点半显差分格式。 9 第三章一维抛物型方程的差分格式 n + 1 n 图3 - l 又【1 6 】中采用的节点集 f i 9 3 - 1t h en o d e ss e ta d o p t e di np a p e r 【1 6 】 建立差分算子： 厶【甜】：= 7 7 1 ， 甜班，+ 7 7 2 ， “】：一口( 7 7 3 霹 材】：+ 7 7 。 “只。+ 7 7 5 【“b ：) = o ( 3 1 3 ) 得差分格式为： ( 7 2 ，一1 2 ) 蜊一( 1 4 4 ，+ 1 2 0 ) 彬“= ( 一3 6 ，3 + 1 2 ，2 1 3 ，一1 2 ) 吐l + ( 1 4 4 ，3 1 2 0 ，2 + 1 6 0 ，- 一1 2 0 ) “? + ( 一2 1 6 ，3 + 2 1 6 ，2 1 7 4 ，) 甜鲁l + ( 1 4 4 r 一1 2 0 ，2 + 16 ，) “7 ， 、， ， 一( 3 6 ，3 1 2 ，2 + ，) 甜a 3 ( 左一右) ( 3 1 4 ) 根据对称性可得其对称格式为： ( 7 2 ，一1 2 ) 喇一( 1 4 4 ，+ 1 2 0 ) 彬“= ( 一3 6 ，3 + 1 2 ，2 1 3 ，一1 2 ) 略l + ( 1 4 4 ，3 1 2 0 ，2 + 1 6 0 ，一1 2 0 ) “? + ( 一2 1 6 ，3 + 2 1 6 ，2 1 7 4 ，) “2 l + ( 1 4 4 ，3 1 2 0 ，2 + 1 6 ，) 甜2 2 一( 3 6 ，3 1 2 ，2 + 厂) “二3 ( 右一左) ( 3 - 1 5 ) 此格式在实际计算中具有可显式计算、计算量小，精度高的特点。 在解决问题( 3 4 ) 时，文 1 7 】用三层格式，有较高的精度并且构造了一类三层九点隐式 差分格式，格式带有参数，参数在一定范围内选取，即可得到一组差分格式，截断误差 达到d ( ( 出) 3 + ( 缸) 6 ) ，绝对稳定。当参数取特定值，精度可提高到d ( ( 出) 4 + ( 血) 8 ) ，稳 l o 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 定性条件为o 啪 o 研缸 。 “( z ，0 ) = 矽( x ) ，o x 工 z ，( 0 ，f ) = 甜( 三，f ) = 0 ，r o 3 2 1 差分格式的构造 ( 3 2 2 ) 设时间步长为出= f ，空间步长为缸= 办= 三m ( m 为正整数) ，对区域 o ，三 【0 ，r 】 作矩形剖分，取局部节点集为( 如图3 5 ) ： ( _ 一。，乙+ 。) ，( _ ，乙+ 。) ，( _ 小乙+ 。) ，( t 小乙) ，( _ ，乙) ，( _ + 。，乙) ，( _ ，乙一。) ，其中：_ = 力， 乙= 聆r ，并令 “鹭= “( ，) ，列；是 甜】；的近似值。 n + 1 n n 1 。 图3 5 局部节点集 f i 9 3 5p a r t i a ln o d e ss e to fu 当问题( 3 - 2 2 ) 的解充分光滑时，有如下关系式成立： 1 5 一一 蔓三童二丝丝望型互堡堕茎坌整茎 一 _ - - ，_ - _ - _ _ - _ _ _ _ _ - - _ _ _ _ - 一一一一 盟：口”竺黧，优，刀为非负整数。 ( 3 2 3 ) 苏”a ”缸肿孙 将七个节点上的值在节点( 乃，z f ) 处作t a y l o r 展开，并使用式( 3 2 3 ) 进行整理，可得： “喵：型：詈p 鲁嘉”孚雾p 孚窘伊吡4 ， “咄一：生箬：鲁卜譬雾”簪窘卜譬雾”。c n 肚骗 “搿一甜? + 1 = 一 ：詈”口办窘p 鲁c 州窘p 鲁c ，砌，窘f ； + 等叶6 川一缸+ 鲁叶协删一洳 + 警( 1 + 1 5 r + 6 酽协3 ) 铷+ o ( 哟61 、 。苏。 。 甜骗= z ：一 二。 ：缸砌窘”筹c 卅窘卜鲁c ，砌，窘哆 + 筹叶6 川一翻等m 铷一新 + 等( 1 + m 删耐) 函+ d ( 删) 鳓；：丛等堕 ；詈p 鲁”等等”等等p 哪5 百i ，十西丽j 十百丽i ，十百酽j 叭“7 用上述差商建立含多参数的差分算子： 乙m r = 7 7 。，阻e + 7 7 ：，陋矿1 + 玑，融n + 刁。，陋】；q 一口瞳r ( 3 - 2 4 ) 来逼近微分算子l ：罢一口碧，其中，7 足= 1 ，2 ，3 ，4 ) 是待定参数。 o f o x 把各差商的渐近表达式代入( 3 2 4 ) 式，经整理得： 轴驴( ”缸一a 雾p ( 仍嘞脚洳 1 6 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 + 专c ：，+ 业半c 训一扣6 新 + c 簧c 玩例+ 学魄一扣4 筑 小( 7 7 l 训+ ( 1 啪，蝴) 】鲁洳+ ( o ，+ 2 0 ，2 慨训】鲁新 竹3 似训】筹函 + d ( r 4 + 办8 ) ( 3 2 5 ) 为了使误差阶达到d ( f 3 + 办6 ) ，只须解下列方程组： 解之得： 7 7 l + 7 7 2 + 7 7 3 + 7 7 4 = 1 7 7 3 一仇= o 1 ，( 7 7 l 一7 7 2 ) 十( 1 + ，) ( 7 7 3 + 7 7 4 ) = ( 3 2 6 ) o 丢c 仍+ 业掣= 云 2 4 0 ，3 + 3 0 0 ，2 + 5 6 r + 3 7 7 12 蟊忑f 2 0 ，2 1 吖z 一西萨了丽 1 6 0 ，2 7 7 3 2 7 7 4 2 面再丽 ( 3 - 2 7 ) 由式( 3 2 5 ) 舍去截断误差，经过化简整理得差分格式为： ( 2 4 0 ，3 + 3 0 0 厂2 + 5 6 厂+ 3 ) “；+ 1 + ( 4 8 0 厂3 1 2 0 ，2 5 6 ，一6 ) “；一( 6 0 厂2 3 ) 矿一1 + ( 一1 2 0 ，3 + 2 ，- ) ( 唰+ 甜筒) 一( 2 4 0 ，3 + 6 0 ，2 + 2 ，) ( 略1 + 甜二1 ) = o ( 3 - 2 8 ) 将7 7 1 ，仍，7 7 3 ，仇的值代入到式( 3 2 5 ) ，可得截断误差： e ：型型型黑羔等亲生丝塑拼+ d ( 4 呐 ( 3 - 2 9 ) 2 0 1 6 0 ( 3 6 0 ，2 + 6 0 厂)苏引，。7 7 令窘e 前的系数为o ，可得：r = o 1 3 3 5 ，o 5 1 1 8 。 所以当满足式( 3 2 9 ) 时，此时截断误差可达到d ( f 4 + 办8 ) 。 1 7 第三章一维抛物型方程的差分格式 定理3 1 格式( 3 - 2 8 ) 的截断误差为d ( r 3 + 厅6 ) ，当r = 0 1 3 3 5 或o 5 1 1 8 时，格式( 3 2 8 ) 定理3 2 ( m i l l e r 准则) 啦! ：实系数二次方程彳五2 + b 兄+ c = o ( 彳 o ) 的两个根位于单 l a c o a 十b + c 0 i a b + c 0 定理3 - 3 当0 o 营3 6 0 ，2 + 6 0 ， o ，4 8 0 厂3 + 3 6 0 ，2 + 5 2 ， 0 ，恒成立。 ( 2 ) 彳一召+ c o 亡，一2 4 0 ，3 + 3 6 0 ，2 + 1 1 2 ，+ 1 2 + ( 2 4 0 ，3 + 1 2 0 ，2 + 8 r ) 1 ，o 4 8 0 ，2 + 1 2 0 ，+ 1 2 0 ，- 4 8 0 ，3 + 2 4 0 ，2 + 1 0 4 ，+ 1 2 o 亡今，0 8 0 6 9 4 5 。 ( 3 ) 么+ b + c o 争7 2 0 ，3 + 1 2 0 r 2 一( 7 2 0 ，3 + 1 2 0 厂2 ) v o 1 8 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 1 4 4 0 ，3 + 2 4 0 ，2 0 ，0 o ，恒成立。 以上三个不等式对0 ，4 5 时均成立，故格式( 3 1 8 ) 的特征方程的两个根位于单 位圆内或圆上，且一个根严格的在单位圆内，由文 2 3 知格式( 3 1 8 ) 稳定。 所以当，4 5 时，格式( 3 1 8 ) 是稳定的，此时截断误差为d ( f 3 + 办6 ) 。 特别的，当，满足，4 5 和f 0 1 3 3 5 或o 5 1 1 8 时，可知f 0 1 3 3 5 或0 5 1 1 8 。 所以产0 1 3 3 5 或0 5 1 1 8 时，格式( 3 1 8 ) 稳定且截断误差提高到d ( f 4 + 办8 ) 。 3 2 3 数值例子 对初边值问题： 害= 等胚p 。 净3 ， 材( ) f ，o ) = s i n x ，o 石万 “( 0 ，) = 甜( 万，f ) = o ，0 利用格式( 3 1 8 ) 以及精确解求数值解，并与精确解进行比较。为方便起见，我们用精确 解甜( x ，f ) = p 叫s i nx 给出第一层矿的值( 对一般问题可用其它高精度格式计算矿) 。表中的 值取节点在( 乃，刀f ) 点的绝对误差值，其中对格式( 3 1 8 ) 分别取，= l 6 ，4 5 ，o 1 3 3 5 ，o 5 1 1 8 ， 办= 蠡进行计算。 表3 一l 格式( 3 1 8 ) 的误差精度 t a b l e 3 1t h ee r r o r so fs c h e m e( 3 1 8 ) r n j = 6 0j = 1 2 0j = 1 8 0j = 2 4 0 f 1 6 ，n = 1o o 1 5 5 4 31 e 0 1 51 3 3 2 2 7 e - 0 l51 6 6 5 3 3 e 0 1 51 2 2 1 2 5 e 0 1 5 f 1 6 ，n = 10 0 0 1 2 5 4 5 5 e o141 8 3 1 8 7 e - 0 1 42 0 0 9 5 2 e 0145 3 8 0 0 5 e 0 1 1 r = 4 5 n = 1 0 01 3 9 8 8 8 e 0 1 42 2 8 7 0 6 e - 0 1 4 2 3 0 9 2 6 e o14 8 0 1 5 8 1 e 0 1 4 f 4 5 ，n = 10 0 01 3 0 4 5 1 e 0 1 3 1 4 4 1 0 7 e 一0 1 31 4 1 5 1 0 e 0 1 06 9 3 4 1 3 e 一0 0 9 表3 2r 取特殊值时格式( 3 1 8 ) 的误差精度 t a b l e 3 - 2t h ee r r o r so fs c h e m e ( 3 1 8 ) a srt a k e sp a r t i c u l a rv a l u e s r ，n j = 6 0j = 1 2 0j = 1 8 0j = 2 4 0 r = 0 1 3 3 5 ，n = 1 0 0 9 9 9 2 0 1 e 0 1 61 5 5 4 3 1 e - 0 1 51 2 2 1 2 5 e 0 157 7 7 1 5 6 e 0 1 6 r = 0 1 3 3 5 。n = 1 0 0 07 3 2 7 4 7 e o151 1 8 7 9 4 e 一0 1 41 3 7 6 6 8 e 0 1 41 2 7 3 3 7 e o1 l f o 5 1 18 ，n = 1 0 06 1 0 6 2 3 e 0 1 51 0 2 1 4 1 e 0 1 49 6 5 8 9 4 e 0155 9 9 5 2 4 e 015 r = 0 5 11 8 n = 1 0 0 05 8 5 0 8 8 e 0 1 49 5 4 7 9 2 e - 014 9 3 8 1 0 5 e 0 1 2 3 1 9 5 6 3 e 0 0 9 1 9 第三章一维抛物型方程的差分格式 由表3 1 ，3 - 2 看出，对满足稳定性条件的，格式( 3 1 8 ) 与精确解有很好的吻合。 另外，当表3 2 中r 取特殊值0 1 3 3 5 ，0 5 1 1 8 时，格式( 3 1 8 ) 的误差精度更高。 2 0 中国石油大学( 华东) 硕士学位论文 第四章高维抛物型方程的差分格式构造 4 1 现有差分格式分析 对二维和二维以上的抛物型方程，文【2 4 ，2 5 构造了精度较高且绝对稳定的差分格 式，其截断误差阶达到d ( ( 矿+ ( 缸) 4 ) ，但却是三层隐式格式，常因计算量和存储量都 很大而难以使用。文 2 6 3 2 给出了三层高精度显式格式，但稳定性条件都比较苛刻，都 长期徘徊在网比，丢口丢。其中文 3 1 首先证明了截断误差为。( ( 矿+ 出( 血) 2 + ( 出) 2 ( 缸) 2 + ( 缸) 4 ) 并且不可改进为d ( ( 出) 2 + ( f ) 2 ( 缸) 2 + ( 缸) 4 ) ，然后给出了选取参数以 得到最优截断误差d ( ( 出) 2 + 出( 血) 2 ) 和稳定的差分格式的两种方法。这里的格式改进了 【3 3 】的精度，如果当甜( x ，j ，) 满足： 堕：立：o 舐砂砂出 成立，贝 j 导数乳如，窘k ，雾k 川的差分近似关于x 和y 是对称的，定义算子： 兀甜以= “2 l + 畋1 州+ 略l + 略l m t 喙= 略一- + 哆- ，i + 吃+ - + 畋l j 和新参数( 石，石，石，六) = ( q 一2 吃，2 口2 ，口3 2 吼，2 瓯) ，截断误差d ( ( 址) 2 + ( 出) 2 ( 缸) 2 + ( 缸) 4 ) 。文【3 1 】的差分格式已经被成功应用于二维热传导方程的逆源反问题中。 这样看起来，无论是一维的还是高维的抛物型方程，构造能显式计算，稳定性能良 好且精度较高的差分格式，便具有十分明显的理论意义和实用价值。1 9 9 7 年，曾文平教 授构造了一类对如下的任何p 维空间变量的抛物型方程