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高中“函数的概念”的学习难点剖析及教学策略探究中文摘要 高中“函数的概念 的学习难点剖析及教学策略探究 中文摘要 函数是中学数学乃至整个数学的一个核心概念，从常量数学到变量数学的转变， 是从函数概念的系统学习开始的。函数知识的学习对学生思维能力的发展具有重要意 义。函数概念是中学生感到最难学的数学概念之一，尽管在实际教学中采取了适当渗 透、螺旋上升的方法，分段而有循环地安排函数知识教学，但学生的函数概念水平仍 然比较低。因此，函数概念的教学是数学教学中的一个重要课题，对函数概念教学的 研究不仅是必要的，而且应是深入的 那么，在高中函数概念教学中，学生学习函数困难的原因有哪些? 有什么样的教 学策略可以减轻或者消除这些困难? 这是本文着重探索的问题。笔者通过问卷调查 法，测试法，文献分析法和访谈法对函数概念教学的难点做了初步调查，分析得到当 前学生学习函数概念感觉困难主要有以下三方面原因： 1 、函数本身是个复杂的知识体系。函数不仅是一种概念，更是一种变化的思想 方法，函数定义中变量，对应的概念难以理解，函数表征形式丰富，函数符号语言抽 象难懂； 2 、学生的思维发展水平不够成熟，不能够完全胜任这种需要用辩证的思想、运 动变化的观点才能理解的学习任务。 3 、学生与教师只求会解题的应试态度，忽略函数概念本质的教学。 针对以上三点，笔者结合自身教学实践，给出了一些函数概念教学的策略，来 完成高中生对函数概念的深化： l 、重视概念形成过程； 2 、采取有效措施帮助学生理解函数概念； 3 、采用支架式教学模式； 4 、在教学中渗透数学思想方法； 5 、培养学生学习数学的兴趣。 关键词：高中生函数概念数学概念 作者：邹雪芳 指导教师：杨建明 h i g hs c h o o l ”f u n c t i o no f t h ec o n c e p t ”l e a r n i n gd i f f i c u l t i e sa n dt e a c h i n gs t r a t e g yo f i n q u i r y h i g hs c h o o l f u n c t i o no ft h ec o n c e p t l e a r n i n g d i f f i c u l t i e sa n dt e a c h i n gs t r a t e g yo fi n q u i r y a b s t r a c t t h ef u n c t i o ni st h em i d d l es e h o o lm a t h e m a t i c sa n dt h em a t h e m a t i c si so n eo ft h ec o r e c o n c e p t s ，f r o mt h ec o n s t a n tm a t h e m a t i c sm a t h e m a t i c a lv a r i a b l e sc h a n g e ，i sf r o mt h e f u n c t i o n c o n c e p tl e a r n i n gs y s t e m s t a r t f u n c t i o no f k n o w l e d g el e a r n i n g o nt h e d e v e l o p m e n to fs t u d e n t s t h i n k i n ga b i l i t yi so fg r e a ts i g n i f i c a n c e f u n c t i o nc o n c e p ti sa s t u d e n tf e e lm o s td i f f i c u l tm a t h e m a t i c a lc o n c e p t s ，a l t h o u g hi na c t u a lt e a c h i n ga p p r o p r i a t e p e r m e a b i l i t y , s p i r a lm e t h o d ，s e c t i o n a la n dc i r c u l a ra r r a n g e m e n to ff u n c t i o no fk n o w l e d g e t e a c h i n g ，b u ts t u d e n t so ft h ec o n c e p to ff u n c t i o nl e v e li ss t i l lr e l a t i v e l yl o w t h e r e f o r e ，t h e f u n c t i o nc o n c e p tt e a c h i n gi nm a t h e m a t i c st e a c h i n gi sa ni m p o r t a n ts u b j e c ti nt h et e a c h i n g o ff u n c t i o nc o n c e p t , t h er e s e a r c hi sn o to n l yn e c e s s a r y , b u ts h o u l db ef u r t h e r t h e n , i nt h eh i g hs c h o o lf u n c t i o nc o n c e p tt e a c h i n g ，s t u d e n t s l e a r n i n gf u n c t i o n ，w h a t a r et h er e a s o n sf o rt h ed i f f i c u l t i e s ? w h a tk i n do ft e a c h i n gs t r a t e g yc a l lr e d u c eo re l i m i n a t e t h e s ed i f f i c u l t i e s ? t h i si st h ea r t i c l ef o c u s e so nt h es t u d yo ft h ep r o b l e m t h r o u g ht h e q u e s t i o n n a i r es u r v e ym e t h o d , t e s tm e t h o d ，d o c u m e n ta n a l y s i sa n di n t e r v i e w so ff u n c t i o n c o n c e p tt e a c h i n gd i f f i c u l t yd o i n gt h ep r e l i m i n a r yi n v e s t i g a t i o n , a n a l y s i so fc u r r e n t s t u d e n t s l e a r n i n gf u n c t i o nc o n c e p ts e n s o r yd i f f i c u l t i e sm a i n l yi nt h ef o l l o w i n gt h r e e r e a s o n s ： i n1 ，t h ef u n c t i o ni t s e l fi sac o m p l e xk n o w l e d g es y s t e m f u n c t i o ni sn o to n l ya c o n c e p t , i sa l s oak i n do fc h a n g ei d e a ，f u n c t i o nd e f i n i t i o no fv a r i a b l e s ，c o r r e s p o n d i n gt ot h e c o n c e p tt ou n d e r s t a n d ，f u n c t i o nc h a r a c t e r i z a t i o no fr i c hf o r m s ，f u n c t i o ns y m b o ll a n g u a g e a b s t r a c t ； i n2 ，t h es t u d e n t s t h i n k i n gd e v e l o p m e n tl e v e li sn o te n o u g hm a t u r e ，c a nn o tb ef u l l y e q u a lt ot h en e e dt oa p p l yt h ed i a l e c t i c a lt h i n k i n g ，c h a n g ep o i n to fv i e wi no r d e rt o h i g hs c h o o l f u n c t i o n o f t h ec o n c e p t l e a r n i n g d i f f i c u l t i e s a n d t e a c h i n g s t r a t e g y o f i n q u i r y a b s t r a 一c t u n d e r s t a n dt h el e a r n i n gt a s k i n3 ，t h es t u d e n t sa n dt e a c h e r sw i l l s o l v ep r o b l e m sf o re x a m i n a t i o no fa t t i t u d e s i g n o r i n gt h ee s s e n c eo fc o n c e p tt e a c h i n gf u n c t i o n i nv i e wo ft h ea b o v et h r e ep o i n t s ，t h ea u t h o ru n i f i e so w n t e a c h i n gp r a c f i c e ，p r e s e n t s s o m ef u n c t i o nc o n c e p tt e a c h i n gs t r a t e g y , t oc o m p l e t eh i g hs c h o o ls t u d e n t st od e 印t h e c o n c e p to ff u n c t i o n ： 1 ，p a ya t t e n t i o nt oc o n c e p tf o r m a t i o np r o c e s s ； 2 ，t ot a k ee f f e c t i v em e a s u r e st oh e l ps t u d e n t st ou n d e r s t a n dt h ec o n c e p t o f 胁c t i o n ； 3 ，u s i n gas t e n tt e a c h i n gm o d e ； 4 ，i nt h et e a c h i n go fm a t h e m a t i c st h o u g h tm e t h o d ； 5 ，c u l t i v a t es t u d e n t s i n t e r e s ti nm a t h e m a t i c s k e yw o r d s ：h i g hs c h o o ls t u d e n t st h ec o n c e p to ff u n c t i o n m a t h e m a t i c a l c o n c e p t s m w r i t t e n b y ：z o ux u e f a n g ：， s u p e r v i s e db y ：y a n gj i a n m i n g 高中“函数的概念”的学习难点剖析及教学策略探究第一章问题的提出 第一章问题的提出 函数是从数量关系的角度描述运动变化规律的数学概念，是从数学角度反映千变 万化的世界的重要模型。 德国著名数学家f 克莱因( f k l e i n ，1 8 4 9 - - 1 9 2 5 ) 称函数为数学的“灵魂，并 认为函数应该成为中学数学的“基石 2 ，函数概念的学习，对提供学生数学素质，培 养学生创新精神和应用意识，有着无可替代的指导作用。 1 1 函数概念的发展历史 纵观3 0 0 年来函数概念的发展，众多数学家从几何、代数，直至对应、集合、关 系的角度不断赋予函数概念以新的思想，从而推动了整个数学的发展。 函数( f u n c t i o n ) 这个名词，是微积分奠基人一德国数学家莱布尼茨提出的，最 初，莱布尼茨用函数一词表示变量x 的幂( 如x ，x 2 ，) ，后来还用函数一词表示曲 线的横坐标，纵坐标，切线的长度，垂线的长度等一切与曲线上的点有关的量3 。根 据数学的发展演变，函数的概念有以下三种说法：变量说，对应说和关系说。 1 1 1 十八世纪及之前的“变量说一 _ 变量说是函数的原始定义，它把函数定义为：“依一定规律依赖于一个变量的另 一个变量 。虽然这个定义简单粗糙，但是人们经历了很漫长的探索，它突出了“变 量 这个概念。 十七世纪伽俐略( g g a l i l e o ，意，1 5 6 4 1 6 4 2 ) 在两门新科学一书中，几 乎从头到尾包含着函数或称为变量的关系这一概念，用文字和比例的语言表达函数的 关系。1 6 7 3 年前后笛卡尔( d e s c a r t e s ，法，1 5 9 6 - - 1 6 5 0 ) 在他的解析几何中，注意到 了一个变量对于另一个变量的依赖关系，但由于当时尚未意识到需要提炼一般的函数 1 c o o n e ytj , w i l s o nmr t e a c h e r s t h i n k i n ga b o u tf u n c t i o n s ：h i s t o r i c a la n dr e s e r c hp e r s p e c t i v e s a i n ：r o m b e r gt a i n t e g r a t i n gr e s e a r c ho nt h eg r a p h i c a lr e - p r e s e n t a t i o no ff u n c t i o n 【c 】h i l l s d a l e ：l a w r e n e ee r l b a u ma s s o c i a t i o n p u b l i s h e f 8 19 9 3 2 p o n t ejp t h eh i s t o r yo fc o n c e p to f f u n c t i o na n ds o m ee h l c a l i 伽i a li m p l i c a t i o n s 【j 】m a t h e m a t i c s e d u c a t o r , 1 9 9 3 ，3 ( 2 ) ：3 2 3 李天荣函数概念的发展历史再探究阴临沧教育学院学报2 0 0 6 ，6 ( 2 ) ：8 9 第一章问题的提出高中“函数的概念”的学习难点剖析及教学策略探究 概念，因此直到1 7 世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候，数学家还没有明确 函数的一般意义，绝大部分函数是被当作曲线来研究的。如纳皮尔引进的对数，罗波 尔引进的正弦曲线等，后来，数学家给这些曲线所代表的函数引进了名词和记号，在 1 7 世纪，人们已经普遍使用形如口。( 菇是有理数) 的函数。1 7 1 4 年，莱布尼茨在他 的著作微积分的历史与起源中，就用函数一词来表示依赖于一个变量的量，几乎 与莱布尼茨同时，瑞士数学家雅克伯努意给出了和莱布尼茨相同的定义，1 7 1 8 年， 约翰伯努意给出了如下函数定义：“由任一变数和常数的任意形式构成的量叫做这一 变数的函数。后来，约翰伯努意的学生欧拉在他的著作无穷小分析引论中指出： 凡是能给出解析式表示的，通称为函数，这里的“解析式表示：比莱布尼茨的“幂 和约翰伯努意的“任意形式构成的量 都要广泛得多，欧拉把变数与常数之间加、 减、乘、除，开方、三角、指数、对数等运算构成的式子都叫做解析的函数。1 7 7 5 年，欧拉又给出如下定义：如果某些变量，以这样一种方式依赖于另一些变量，即当 后面的这些变量变化时，前面的这些变量也随之发生变化，则将前面的变量称为后面 变量的函数。使得函数的定义更普遍，更具有广泛的意义。 直到1 8 世纪，在解释“任意函数 的概念的时候，拉朗贝尔说是“任意的解析 式 ，而欧拉说是“任意画出的一条曲线”，这两个定义到底哪个更广泛一点，表面 上看欧拉的更一般，因为所以的解析式都能用一条曲线来表示，而不是每条曲线都能 用解析式来表示。当时为了统一两者的观点，就把能用解析式表示的函数称为“真函 数”或“连续函数”，其他的就是“伪函数。此时，法国科学家傅里叶( f o u r i e r ， 法，1 7 6 8 1 8 3 0 ) 提出了质疑，继而发现某些函数可用曲线表示，也可用一个式子表 示，或用多个式子表示，从而结束了函数概念是否以唯一一个式子表示的争论，把对 函数的认识又推进了一个新的层次。 1 1 2 十九世纪的“对应说一 1 8 3 7 年狄利克雷( d i r i c h l e t ，德，1 8 0 5 1 8 5 9 ) 认为怎样去建立x 与y 之间的关系 无关紧要，他拓广了函数概念，指出：。对于在某区间上的每一个确定的x 值，y 都有 一个或多个确定的值，那么y 叫做x 的函数。”狄利克雷的函数定义，出色地避免了 以往函数定义中所有的关于依赖关系的描述，简明精确，以完全清晰的方式为所有数 2 高中“函数的概念”的学习难点剖析及教学策略探究第一章问题的提出 学家无条件地接受。至此，我们已可以说，函数概念、函数的本质定义已经形成，这 就是人们常说的经典函数定义。 等到康托尔( c a n t o r ，德，1 8 4 5 - - 1 9 1 8 ) 仓j 立的集合论在数学中占有重要地位之 后，维布伦( v e b l e n ，美，1 8 8 0 19 6 0 ) 用。集合”和“对应”的概念给出了近代函数定义， 即：“设a ，b 是两个集合。如果按照某一确定的对应关系，对于集合a 中的每一确 定的元素x ，总有集合b 中的一个确定的元素和它对应，那么这个对应关系就叫做映 射。当a ，b 为数集时，称为函数【3 l 。 这个定义通过集合概念，把函数的对应关系、 定义域及值域进一步具体化了。 根据这个定义，对应就是函数。目前，这种定义，越来越多的被一些教科书采 用。“对应说 虽然较之“变量说”稍觉抽象，但是它抓住了函数的本质属性，突出 了两个集合间元素的对应就是函数，且打破了。变量是数”的观点，变量可以是数，也 可以是其它对象( 点、线、面、体、向量、矩阵等) ，只有这样，函数的定义才能使 用各种不同的研究对象，使函数呈现出各种形态并被赋予专门的名称。因此，“对应 说”比“变量说 的定义普遍的多。 1 1 3 现代的“关系说一 1 9 1 4 年豪斯道夫( f h a u s d o r f f ) 在集合论纲要中用。序偶”来定义函数，把函 数关系看作是一种特殊的关系： “设r 是一个二元关系，如果还满足( 而，j ，。) r ，( x 。，y ：) r ，则y ，= y ：，称r 是函数关系1 。 因此，函数就是两个集合间的关 系，但是，两个集合间的关系不一定是两个集合间的函数。其优点是避开了意义不明 确的。变量”、。对应”等概念，其不足之处是过于形式化，抽去了函数关系生动的直观 变量的运动特征，看不出对应关系的形式，更没有解析式的表达。2 0 世纪5 0 年 代末，美国数学家m 克莱因曾这样批判：从伽利略到狄利克雷，数学家一直绞尽脑 汁去理解函数的概念，但现在却由定义域，值域和序偶来玩弄把戏。z 1 张奠宙邹一心现代数学与中学数学【m 】上海教育出版社 2 i n em t h e a n c i e n t sv e r s u st h em o d e m s ：a n e wb a t t l eo f t h e b o o k s j m a t h e m a t i c st e a c h e r , 1 9 5 8 。5 1 ( 6 ) ：4 1 8 - 4 2 7 3 第一章问题的提出高中“函数的概念”的学习难点剖析及教学策略探究 “新数运动的失败表明，函数的高度形式化对学生理解不易。美国学者 j a t h o r p e 指出：函数的形式化定义是个大错误，我们可以将函数说成是法则，机 器，但绝不能说成是序偶的集合1 。 函数概念的定义经过三百多年的锤炼、变革，形成了函数的现代定义形式，但这 并不意味着函数概念发展的历史终结，随着以数学为基础的其他学科的发展，随着科 学技术的不断发展，人类对函数的探索也不会停止，函数的概念还会继续扩展，函数 将成为人类历史发展重要的组成部分2 。 1 2 函数是中学数学的核心概念 函数是中学数学课程的一个核心概念。在学习函数概念之前，数学课程中基本 是讨论静态的数学问题，教学中引入了函数概念之后，不仅使讨论内容增加了运动变 化的问题，而且提供了居高临下重新认识已学内容的观点，使得中学生头脑中的数学 知识体系的得到扩大与提升；对基本初等函数的学习，使中学生的数学思维更为活跃， 函数不仅是一种重要的数学概念，而且是一种重要的数学思想，它是联系中学代数主 要内容的一条纽带。 在中学数学中，函数起着不可替代的主导作用。如数、式、方程、不等式等都与 函数有密切关系：函数的定义域和值域都是数集；“式”是函数关系的重要表达形式； 方程或不等式的解集离不开函数的图像。高中数学的许多内容也都与函数密切相关， 如，数列是以自然数集或其子集为定义域的函数；三角函数是中学生研究三角形以及 周期变化的重要工具，微积分初步研究内容主要是初等连续函数的一些性质；解析几 何研究的曲线与方程其实是一类隐函数，它使中学生看到解析式与几何图形的密切联 系。 函数的教学是高中数学教学的重点和难点，函数学习贯穿中学数学的始终，是 学好数学的基础。函数的思想是解决数学问题的重要思想方法，它的应用遍及整个高 中数学，是进一步学好高等数学的基础。 1 c o o n 盯tj , w i l s o nmr t c a c h e r s t h i n k i n ga b o u tf u n c t i o n s ：h i s t o r i c a la n dr e s e r c hp e r s p e c t i v e s a i n ：r o m b e r gt a i n t e g r a t i n gr e s e a r c ho nt h eg r a p h i c a lr e - p r e s e n t a t i o no ff u n c t i o n 【c 】h i l l s d a l e ：l a w r e n c ee r l b a u ma s s o c i a t i o n p u b l i s h e r s ，19 9 3 2 陈蓓函数概念的发展与比较百度文库高等教育理学 4 高中“函数的概念”的学习难点剖析及教学策略探究 第一章问题的提出 1 3 研究的意义及研究内容 高中生是一个庞大的学生群体，研究他们的特点和需要，帮助他们完成函数的概 念的学习任务，是教育者的重要任务。 由于函数概念的抽象性与层次性，学生往往不习惯用集合、对应的观点去解释函 数关系，缺乏用函数思想分析问题和解决问题的能力，本文试图从中进行探索，在教 学实践中发现对于“函数的概念 这部分内容教学的研究，有助于理解命题意向的形 成及其对学生的解题策略、行为的影响同时，这一研究也是作者本身作为数学教师 的个反思希望通过研究中多方面资料的学习，能近距离地观察学生在数学学习中 的习惯、方式和情感，结合学生认知情况，了解学生学习函数的困难所在，并针对这 些困难，找到能帮助学生更好的理解函数的教学方法和策略，有助于揭示和探寻数学 教学存在的问题及其深层次原因 ：。 高中生对概念的理解和使用既依赖于其数学定义，又要结合直观上的性质。一 方面，函数中的部分重要概念需要定义来进行严格的界定，如函数概念，单调函数， 奇函数等，在问题的推导中必须严格遵循这些概念的定义和数学性质方能得到正确的 结论，这超出了大部分初学者能直观理解的范围：另一方面，这些概念又具有直观 性这就决定了一般学生在认识函数时有两种参照系：一种是教材所给出的逻辑推理 结构，另外一种则是自身所具有的直观形象d a v i dt a l l ( 1 9 8 1 ) 的研究中，概念定 义( c o n c e p td e f i n i t i o n ) 可归为前者，而后者则属于概念意象( c o n c e p ti m a g e ) ， 两者问的差别可能导致冲突的因素( c o n f l i c tf a c t o r ) 在指导学生的学习中，教师 可以通过有意识地设置问题情境使学生认识到潜在的冲突因素，以促进学生概念意象 的进化在教材和教法上，根据不同的学生需要进行调整 对普通高中学生学习苏教版必修一“2 1函数的概念和图像整章内容( 2 1 1 函数的概念和图像；2 1 2 函数的表示方法；2 1 3 函数的简单性质：2 1 4 映射的概念) 的情况进行分析和解读通过调查问卷，相关作业和访谈，收集案例学生在学习“函 数的概念和图像”一章内容过程中的各种信息和行为，包括对所学概念的认识理解程 度、解题策略、思想方法，解题时出现的错误等，并对这些信息进行分析，找出学生 学习函数的难点，找出出现这些难点的原因，以此制定有效的教学策略，帮助学生克 服困难，形成对函数的正确理解 5 第二章文献综述及理论框架高中“函数的概念”的学习难点剖析及教学策略探究 第二章文献综述及理论框架 函数概念的教学和理解在数学教育研究中一直是十分重要的内容，相关研究资 料和文献非常丰富。 2 1多个理论框架在函数概念教学研究中的作用 数学教学心理学上多个理论及关于概念教学的理论为本研究提供了丰富的理论 基础。 2 1 1v y g o t s k y 概念发展理论 g 吣b 提到的概念是指一般性的概念，但他的理论对我们认识数学概念有着重 要的启示。 首先他提出，存在着两种不同认知性质、不同认知水平的概念，即：自发性概念 和科学概念。对于同一个概念，学生都会有一种不知不觉中形成的认识，这种认识产 生于日常生活或者无意识的活动中。“自发 就是指没有人刻意教的，自己也不一定 能解释清楚的。科学概念则是定义明确的、精细的，有一定逻辑意义和体系属性的概 么卜1 j c 尘。 我们在课程中所教的数学概念就是科学概念。在教学生科学性概念的时候，我们 的正确态度是应该正视自发性概念的存在，积极利用它，发挥它的实践性，浅显性， 通俗性，为科学概念的建构做好铺垫，同时也要谨慎的分析它的弱点、缺点和错误， 设法提防，抑制和纠正，让两者得到互相补充，形成理想的结合。 g o t s k y 针对自发性概念和科学概念的差别和联系，创造性的提出了一个很有价 值的心理学概念：最近发展区。它是指学生未经帮助能达到的程度与他经别人帮助后 可达到的程度间所形成的跨度。显然，对于研究具体教学的教师而言，最近发展区应 当看作为非常个性化的概念。例如，一位优等生的最近发展区的跨度，与位后进生 的跨度显然不同，因此，教师应该面对每一位学生的实际状况来估计其在某一课题中 的最近发展区，以能因材施教，不致提出过高或过低的要求，造成学生的过重压力或 1 李士筠p m e ：数学教育心理【m 】华东师范大学出版社2 0 0 1 6 高中“函数的概念”的学习难点剖析及教学策略探究第二章文献综述及理论框架 是埋没浪费他们的才能。 2 1 2 建构主义理论 p i a g e t 赞成认知心理学关于认知结构的概念，并进一步提出，结构或整体只 是系统组成规律的结果，首要的事情是使结构得以形成的自然过程或逻辑程序。为此， 他提出了“建构 即结构的构造，改进和更新的概念。他指出，“发生认识论主要的 成果是这样一个发现，我们获得知识的唯一途径是凭借连续不断的构建 。这里所指 的结构，除了我们平时理解的知识点及网络外，首先是指形成各知识点的稳定的关系 模式，即图式1 。 学生的数学学习实际上是是在学校教育条件下重新发现和认识人类知识的 过程。建构主义认为2 ：1 学习是学习者主动地建构内部心理表征的过程。学习不是 知识由教师向学生的传递，而是学生建构自己的理解的过程。人脑并不是被动地接受 和记录输入的信息，而是主动地建构对信息的理解，学习者以已有认知结构为基础， 对信息进行主动选择、推理、判断，从而建构起关于事物及其过程的表征。2 学习是 一个双向建构的活动过程。建构主义要有两方面含义；第一，对新信息的理解是借助 已有经验，超越所提供的新信息而建构的；第二，从已有认知结构中提取的相关信息 也要按具体情况进行建构。3 学习者已有发展水平是学习的决定因素。同样的学习情 景对不同发展阶段的人会产生不同的效果，处于同样发展水平的人对同一事物的理解 也是不同的。 p i a g e t 的结构和建构的思想启发我们要重视发挥认知结构在教学中的作用，使 其逐步完善，尤其不应将数学知识看成是静止的，它来自于动态的构建。我们的数学 就是要教学生如何发挥主体性，自己去建构自己的数学世界，建构起自己对它的理解。 2 1 3a p o s 理论 a p o s 理论是美国的杜宾斯基( d u b i n s k y ) 等人在数学教育研究实践中发展的一 种理论，按照杜宾斯基自己的说法，a p o s 理论是对皮亚杰的反思性抽象的一种扩展3 。 a p o s 理论是针对于数学概念学习过程研究的一种建构主义的学习理论，从概念的现 实原型、概念的抽象过程、概念的形式化、数学思维方法等多方位引导学生理解一个 1 李二1 ：筠p m e - 数学教育心理 m 】华东师范大学出版社2 0 0 1 2 数学学习的特点( 二) 从建构主义看数学学习人教网2 0 1 02 0 0 4 - 7 2 8 3 濮安山史宁中从a p o s 理论看高中生对函数概念的理解【j 】数学教育学报2 0 0 7 7 第二章文献综述及理论框架高中“函数的概念”的学习难点剖析及教学策略探究 数学概念，符合学生主动建构的教育原理。 度宾斯基认为，学生学习数学概念要进行心理建构，这一建构要经历4 个阶段： a c t i o n ( 操作) 阶段，p r o c e s s ( 过程) 阶段，o b j e c t ( 对象) 阶段和s c h e m e ( 图式) 阶段。 取这四个阶段英文单词的首字母，定名为a p o s 理论。这种理论不仅指出学生的学习 过程是建构，而且表明了建构的层次。这四个步骤一般不能逾越，应当循序渐进。 从数学学习心理学的角度分析，以上四个学习层次分析是合理的，反映了学生学习 数学概念过程中真实的思维活动。其中a c t i o n ( 操作) 阶段是学生理解概念的一个必 要条件，通过操作让学生亲自体验，感受直观背景和概念间的联系；p r o c e s s ( 过程) 阶段是学生对操作进行思考，经历思维的内化，概括过程，学生在头脑中对活动进 行操作和反思，抽象出概念所特有的性质；o b j e c t ( 对象) 阶段是通过前面的抽象认 识到了概念的本质，对其进行压缩并赋予形式化的定义及符号，使其达到精致化， 成为一个思维中具体的对象，在以后的学习中以此为对象去进行新的活动； s c h e m e ( 图式) 阶段的形成是要经过长期的学习活动进一步完善，起初的图式包含反 映概念的特例、抽象过程、定义及符号，经过学习，建立起与其他概念、规则、图 形等的联系，在头脑中形成综合的心理图式。 运用建构主义教学观设计教学活动，把a p o s 理论合理利用于高中数学教学，能 根据学生学习活动规律进行教学设计，帮助学生更好的理解数学，不仅注重学习结果， 更注重学习过程1 2 1 4 奥苏贝尔的概念学习理论 奥苏贝尔( d a v i dp a u s u b e l ，1 9 1 8 - 2 0 0 8 ) 强调1 ，学生的学习以有意义的 接受学习为主，有意义学习过程的实质，就是符号所代表的新知识与学习者认知结 构中已有的适当观念建立非人为的和实质性的联系。有意义的接受学习是学生在教 师的指导和传授下获得知识的最经济、最快捷、最有效的学习方式。学生正是 用这种既省时、又省力的方式在较短的时间里获得大量有用的知识。 奥苏贝尔明确指出：概念学习是有意义学习的核心。在他的概念学习理论中， 他将概念的习得分作了概念的形成与概念的同化两种形式。这两种形式也较深刻的揭 1 何雪玲奥苏贝尔认知同化学习理论对于现代教育的启示【j 】钦州学院学报，2 0 0 8 1 8 高中“函数的概念”的学习难点剖析及教学策略探究第二章文献综述及理论框架 示出了学生知识形成的过程。 概念形成指的是学习者从大量的同类事物的不同例证中独立发现并掌握同类事 物的关键特征的一种心理过程。概念的同化是指学习者利用其认知结构中过去建立起 来的有关概念或命题图示理解新知识的过程，就是儿童将其习得的新知识与原有认知 结构相互藕合，从而扩大原有知识的过程。儿童概念同化知识的过程分为下位学习的 同化模式、上位学习同化模式与并列学习同化模式。下位学习同化模式即指新知识相 对于头脑中原有概念图示为其下位关系时，已有知识结构包含新知识的过程。并列学 习同化模式即指学生新习得的概念与其已有认知结构图示呈非上下位关系时其知识 同化过程。在中学学生的学习过程中，上位概念的学习是及其重要的一种学习形式。 上位概念学习不仅大量发生，而且上位概念学习还可以解释学生学习困难等学习现 象。因为学生学习困难可以看作是学生同化知识的困难，而其同化的困难来自于学生 已有知识图示的缺乏。概念同化是学生获得概念知识的最基本方式。概念的同化过程，i 要求学生把概念的定义通过上下文呈现的关键属性直接同他们的认知结构关联，在这 一接受学习的过程中，只有满足以下要求，才认为是掌握了概念：1 、学生的认知结 构中具有同化新概念的固定点；2 、学生具有将新概念和它的固定点建立本质联系的 倾向；3 、将新概念与原来认知结构中的有关概念精确分化，融会贯通，将其纳入原 有的认知系统，形成新的认知结构；4 、在应用中巩固新概念1 。 7 t 奥苏贝尔同化学习理论中的两个关键点是：一、学生学习前知识图示的准备。二、 学生学习中同化知识的心向。即我们一直所要求与谈到的学习兴趣的问题。 奥苏贝尔的概念学习理论虽然并不能完全的描述学生学习的主要形式，但是他所 构建的学习理论却很好的解释了学生学习困难、学习的迁移、保持和遗忘，对于我们 教育者的教育工作有着极其重要的指导作用。 2 1 5 概念定义和概念意象理论 心理学研究表明，数学概念的心理表征在大多数情况下并非相应的形式定义，而 是由多种成分组成的复合物；与形式定义的明确性、一义性、不变性、抽象性等特征 相比，人们关于数学概念的心理表征具有一些不同的特征。因此，要明确区分概念定 义与概念意象。 1 张玲艳熊昌雄高中函数概念教学的理论基础 j 宣宾学院学报2 0 0 7 ，1 2 ：3 8 9 第二章文献综述及理论框架 高中“函数的概念”的学习难点剖析及教学策略探究 数学概念是运用定义的形式来揭露其本质特征的。定义是准确地表达数学 概念的方式，是用来说明概念的一种词语形式。数学符号是表达数学概念的一种 独特方式，对学生理解和形成数学概念起着极大的作用，它把学生掌握数学概 念的思维过程简约化、明确化了。许多数学概念的定义就是用数学符号来表达， 从而增强了科学性正确地理解。 所谓概念意象，是指与所说的概念直接相联系的各种心理成分的总和，首先，概 念意象不仅指个体关于某一概念的心理表征，往往还包含多种不同的成分，如心智图 像、对有关性质和过程的记忆等。概念意象的各个成分具有一定的相互联系，而不是 互不相关的孤立部分。概念意象的这种丰富性与概念定义的贫乏性( 概念定义仅仅是 由若干词语构成的) 构成了鲜明的对照。其次，概念意象从属于具体的个人，在很大 程度上是因人而异的。概念意象的这种个体性与概念定义的客观性和一义性直接对 立。最后，概念意象并非某种先验的、绝对不变的东西，而是会随着后天经验和学习 活动发生一定的变化。 概念教学就是对概念的认识不断完善的过程，教师和学生通过不断地构建，最终 达成一致，而这种一致建立在丰富的概念意象的基础之上，即实现概念意象与概念定 义的整合。要指出的是，整合不是用概念意象替代概念定义，而是建立概念意象与概 念定义之间相互依赖、相互促进的密切联系。概念意象建立在对概念本质的正确理解 之上，就会因为有了相应的形式定义支撑而更精确、更深刻。形式定义因为有了概念 意象的补充而变得丰富和生动，不再是一种空洞的定义。在概念教学中，教师要引导 学生以概念意象作支撑理解概念定义，以概念定义中的本质属性为中心建立概念意 象，使学生能用自己的数学理解表述概念，建立严密性与描述性相统一的数学概念。 2 1 6 概念的二重性理论 以色列著名数学教育家a n n as f a r d 等人认为：数学概念既表现为一种过程操作， 又表现为一种对象，结构，这就是概念的二重性1 。a n n as f a r d 指出，概念的形成遵 循先过程后对象的认知顺序，最终两者在认知结构中共存，分别发挥作用。 a n n as f a r d 进一步研究指出，从过程到对象的转化需要通过内化、压缩、客体 1 s f a r d a ( 1 9 9 1 ) o nt h ed u a ln a t u r a lo f m a t h e m a t i c a lc o n c e p t i o n ：r e f l e c t i o n so np r o c e s s e sa n do b j e c t sa sd i f f e r e n ts i d e s o f t h es a m ec o i n e d u c a t i o n a ls t u d i e si nm a t h e m a t i c s 2 2 ：1 - 3 6 1 0 高中“函数的概念”的学习难点剖析及教学策略探究第二章文献综述及理论框架 化等心理机制发挥作用。内化是指由思维去把握原先的视觉性程序，即我们不需要由 前一个步骤去依次启动后一个步骤，而是在头脑中建立起相应过程的整体性心理表 征，压缩是指相应过程被压缩成更小的单元，我们不仅不需要实际的去实施相关的运 作，还可以从更高的抽象水平对整个过程的性质作出分析，客体化是指用一种新的视 角去看熟悉的事物，原来的过程变成一种静止的对象。 2 2 国内外关于函数概念的研究 r u h a m ae v e n 曾对美国8 所大学中的1 6 2 位未来中学教师进行研究1 ，指出未来 的数学教师的函数知识是薄弱的，他们对将要授课的数学课程没有完善的认识，没有 真正理解函数的现代意义。许多教师通常不描述函数的定义，而只是教给学生一些判 断函数的规则方法。 s h l o m ov i n n e r 和t o m m yd r e y f u s l 9 8 9 年调查了以色列2 7 1 名不同专业的大+ ： 学生和3 6 名初级中学的教师对函数概念的理解，调查表明2 ，除了数学专业的学生和 教师，其它专业的学生对函数的概念理解都比较肤浅，简单，学生能给出正确定义叙 述的比例随着他的数学水平的提高而增加。 近年来，国内对于函数概念的研究也很多，上海控江中学的曾国光老师研究表 明3 ，学生函数概念的认知发展有三个阶段：作为算式的函数，作为变化过程的函数， 一： 作为对应关系的函数，并且这三个阶段符合从低级到高级，从具体到抽象的认知规律， 而这三个阶段不是每个学生都能完成，学生是否真正理解函数，关键在于学生的表象 形成和发展水平。 首都师范大学的朱文芳博士指出4 ，函数是个较难形成的概念，当学生概念形成水 平较低的时候，就会出现认识上的困难，因此，分初中和高中两次教学有助于学生理 解函数概念。对于思维水平较低的中学生，建立函数这样一个概念在认知上需要克 服很多认知障碍，不能用像理解三角形那样的逻辑方法，需要动态的，形式的处理各 因素之间的关系。 1 r u h a m a e v e n ( 1 9 9 0 ) ：s u b j e c tm a t t e rk n o w l e d g ef o et e a c h i n ga n dt h ec a s eo f f u n c t i o n s e d u c a t i o n a ls t u d i e si n m a t h e m a t i c s ，2 1 ，5 2 1 - 5 “ 2v m n e r s ，t h er o l eo f d e f i n i t i o n si nt h e t e a c h i n ga n dl e a r n m go f m a t h e m a t i c s ，i nd t a l l ( e d ) a d v a n c e dm a t h e m a t i c a l t h i n k i n g ：6 5 8 1 ，1 9 9 1 3 曾国光中学生函数概念认知发展研究 j 】数学教育学2 0 0 2 ，l l ( 2 ) ：9 9 4 朱文芳函数概念学习的心理分析 j 数学教育学报1 9 9 9 ，8 ( 4 ) ：2 3 第二章文献综述及理论框架 高中“函数的概念”的学习难点剖析