（应用数学专业论文）奇偶树上马氏链场的强大数定律及熵定理.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 树上的随机场是随机过程理论在树一这一最新的数学模型上的 应用，它产生于信息理论的编码和译码问题假设一个序列 瓦 ，其 中的状态和状态序偶出现的频率是否遵从大数定律，直接影响到编译 码方法的优劣，故这一领域一直是众多学者研究的重点。三十几年 前，诞生的“随机场”这一概率论与统计物理的交叉学科与其它概率 物理分支，代表着当今数学与物理相互渗透的大潮流的一个重要侧 面。最近，杨卫国及其合作者利用研究概率论极限定理的新方法，把 传统马氏链中的若干强极限定理、s h a n n o n m c m i l l a n 定理推广到了 b e t h e 树和c a y l e y 树上的马氏链场。本论文的工作首先给出奇偶树的 定义，然后证明其上奇偶马氏链场关于状态和状态序偶出现频率的强 极限定理，进而推出其上马氏链场关于状态和状态序偶出现频率的强 大数定律，然后证明其具有a e 收敛性的渐近均分割性，最后给出奇偶 树上一类强偏差定理和广义c a y l e y 树上的公平比强极限定理。证明 中将用到近年来研究概率论强极限理论的新方法。 关键词状态和状态序偶，马氏链场，强大数定律，s h a n n o n m c m i l l a n 定理，非齐次树，奇偶树，强偏差定理，公平比，d o o b 鞅。 江苏大学硕士学位论文 a b s t r a c t r a n d o mf i e l d so nt r e e sa r ea p p l i c a t i o n so nt r e e so ft h e o r yo fr a n d o mp r o c e s s an e w m a t hm o d e l ，w h i c hd e v e l o p e df r o mc o d i n ga n de n c o d i n gp r o b l e mi ni n f o r m a t i o n t h e o r y a s s u m i n gt h e r ei sas e q u e n c eo f 瓦) ，w h e t h e rt h ea p p e a r i n gf r e q u e n c yo f s t a t ea n ds t a t ec o u p l eo b e yt h es t r o n gl a wo fl a r g en u m b e r si st h ek e yo fag o o d c o d i n ga n de n c o d i n gm e t h o d ，s ot h i sd o m a i ni sa l w a y sb e i n gar e s e a r c h i n ge m p h a s e s f o rm a n ys c h o l a r st h i n yy e a r sa g o ，w h e nr a n d o mf i e l d sc a n ei n t o b e i n g i t sa s u b j e c to fi n t e r s e c t i o n0fp r o b a b i l i t ya n ds t a t i s t i c a lp h y s i c s r a n d o mf i e l d s ，t o g e t h e r 谢mo t h e rb r a n c h e so fp r o b a b i l i s t i cp h y s i c s ，s t a n df o ra ni m p o r t a n ta s p e c to fat r e n d ， w h i c hi st h ei n t e r p e n e t r a t i o no fm a t h a n dp h y s p r o f e s s o ry a n gw e i g u oa n dh i s a s s o c i a t e se x t e n ds o m es t r o n gl i m i tt h e o r e m sa n ds h a n n o n m c m i l l a nt h e o r e mf o r c l a s s i c a lm a r k o vc h a i n st om a r k o vc h a i n so nb e t h et r e e sa n dc a y l e yt r e e sr e c e n t l y i n t h i sp a p e r , w ef i r s tg i v et h ed e f i n i t i o no fe v e n o d dt r e e ，t h e nw e p r o v et h es t r o n gl i m i t t h e o r e m so nt h ef r e q u e n c i e so fs t a t e sa n do r d e r e ds t a t ec o u p l e sf o re v e n o d dm a r k o v c h a i nf i e l d so nt h a tt r e e a c c o r d i n gt ot h i s ，w es t a t et h es t r o n gl a wo f l a r g en u m b e r s o nt h ef r e q u e n c i e so fs t a t e sa n do r d e r e ds t a t ec o u p l e sf o rm a r k o vc h a i nf i e l d so nt h e t r e e ，t h e nw eo b t a i nt h ea s y m o t o t i ce q u i p a r t i t i o np r o p e r t yo nt h a tt r e ew i t ha e c o n v e r g e n c e a tl a s t ，w eg i v et h es t r o n gd e v i a t i o nt h e o r e m sf o rt h ee v e n - o d dt r e ea n d t h ee q u i t a b l er a t i oo fs t r o n gl i m i tt h e o r e m s i nt h ep r o o f ，an e wt e c h n i q u ef o r e s t a b l i s h i n gt h es t r o n gl i m i tt h e o r e mi np r o b a b i l i t yt h e o r yi sa p p l i e d k e y w o r d ss t a t e sa n ds t a t ec o u p l e s ，m a r k o vc h a i nf i e l d s ，s t r o n gl a wo fl a r g e n u m b e r s ，s h a n n o n m c m i l l a nt h e o r e m ，n o n - h o m o g e n e o u st r e e ，e v e n - o d d t r e e ，s m a l ld e v i a t i o nt h e o r e m s ，e q u i t a b l er a t i o ，d o o bm a r t i n g a l e i i 学位论文版权使用授权书 芏9 3 8 0 葛i 3 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同 意学校保留并囊鬣家有关郝门或极梅送交论文麓复印侔帮电子版，允诲 论文被查阅和借阕。本人授权江苏大学可以将本学位论文的全部内容或 部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制 手段绦存器涎绽本学位论文。 零学垃论文藩予 学位论文作者签名： 如彩年；月，z 曰 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密翻。 童獭 指导教师签名： 硎 妒钐年z 月，2 日。 独创性声明 本人郑重声明：所整交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立 进行研究工作所取得的成果。除文率已注睚弓| 爝鹃内容戳辨，本论文不 包含任何其他个人或集体已经发表或撰鞲过的作品成果。对本文的研究 做出重簧贡献的个入和集体，均巴在文中以明确方式标鞠。本入完全意 识到本声明的法律结果妇本人承担。 学位论文作者签名： 蕉颦哗 日期：砌善年z 胃，2e t 江苏大学硕士学位论文 第一章绪论 在概率论的发展史上，强极限理论的研究一直占有很重要的地位，近些年来， 刘文和杨卫国在概率论极限定理方面做了大量的研究工作，尤其是对非齐次马氏 链性质的研究取得了大量突出的成果【1 2 1 4 ，这些成果使得大家对非齐次马氏 链的性质有了更进一步的认识，并且日趋完善。近三十年来诞生的“随机场”是 一门概率论和统计物理的交叉学科，一方面为统计物理提供了严格的数学工具， 另一方面也大大开拓了概率论的研究领域。通常我们将随机场大致分为格上随机 场与树图上随机场，其中的重要内容是格上与树图上的m a r k o v 随机场。m a r k o v 随机场是马氏过程推广到多指标的情形，由于它在图像分析与数据压缩理论、遗 传算法等方面具有广泛的应用前景，近年来引起物理学、概率论、信息论界的广 泛兴趣，从而成为近些年来发展起来的重要分支之一。信息论中 s h a n n o n m c m i l l a n 定理的研究，也一度成为学者们研究的一个热点。研究树图上 马氏链与马尔可夫随机场的关系已经成为一个重要课题。近年来国内外许多学者 已经开始了这方面的研究工作。其中b e r g e r 与叶中行在依概率收敛的意义下研 究了齐次树图上p p g 不变随机场遍历性及渐近均分割性，同时给出若干猜测， 认为上述结论在a e 收敛下也成立 6 。刘文和杨卫园将分析方法巧妙地引入到树 上马氏链场极限定理的研究，得出齐次树图上马氏链场具有a e 收敛意义的强大 数定律和s h a n n o n m c m i l l a n 定理【7 ，1 0 】。本论文的工作是在刘文和杨卫国等人 的研究工作的基础上，主要讨论奇偶c a y l e y 树上的强极限定理。 本论文共分六章，第一章为绪论，第二章为预备知识，介绍一些与本论文相 关的基本概念及相关性质。第三章和第四章采用近年来概率论中研究强极限理论 的新方法给出奇偶c a y l e y 树上的两点m a r k o v 链场关于状态和状态序偶出现频率 的强大数定律和s h a n n o n m c m i l l a n 定理。在证明的过程中巧妙地引入了两个辅 助的含参数的m a r k o v 链，从而与原有的m a r k o v 链场一起构造出奇偶m a r k o v 链 场。第五章介绍奇偶c a y l e y 树上一类强偏差定理，第六章在构造一个鞅序列的基 础上介绍奇偶c a y l e y 树上马氏链场的公平比强极限定理。 江苏大学硕士学位论文 第二章基本理论与概念 2 1 鞅的定义及基本概念 2 1 1 条件期望的定义和性质 下面涉及的问题都将固定在完备的概率空间( q ，f ，p ) 上进行。 1 条件期望的定义 定义2 1 1 设b 为f 的子盯一域，为( 准) 可积随机变量，y 为满足下 列条件的随机变量： ( i ) y 为b 可测的 ( i i ) 对每一个曰b ，p 卯= d 卸 则称y 为z 关于b 的条件期望，记为y = ( x l 回) 。特别地，当圆= 盯( z ) 时，也 称y 关于z 的条件期望，记为e ( x i z ) 注：e ( 爿l z ) 是盯( z ) 可测的。 2 条件期望的性质： 以下b ，回，8 等都是f 的子盯一域。 命题2 1 1 ( i ) 若x ，y 为可积随机变量，口，b 为任意常数，则： e ( a x + b y l 毋) = a e ( x l 国) + b e ( y f b ) a s ( 2 1 1 ) ( i i )e ( 1j 国) = 1 a s ( 2 1 2 ) ( i i i ) - 若x y ，贝0 ：e ( x i 国) e ( y i 圆) a s ( 2 1 3 ) 特别地，当x 0 时，e ( xj 毋) 0 i e ( x i 国) 巨e ( i x l i 圆) a s 命题2 1 2 设y 为可积随机变量， x 。，n 1 为随机变量序列，则： ( i ) ( 条件期望l e v i 引理) 若y x 。个x ，贝0 ： 峄e ( x 。i b ) = e ( x i b ) a s ( 2 1 4 ) 若y x 。山x ，则( 2 1 4 ) 式也成立。 ( i i ) ( 条件期望的f a t o u 引理) 敬苏大学硕士学位论文 若x 。y ，则 若x 。y ，则 e ( 1 i 珏旁f ) ( * ib ) - l i m i n f e ( x 。ib ) ( 2 + l 。5 ) e ( 1 i m s u p x 。l 妨l i m s u p e ( x 。| ( 2 ，1 6 ) nn ( i i i ) ( 条件期望的l e b e s g u e 控制收敛定理) 萋| x 。| s ￥，x 。一x 毒s 溪： l 曲e ( x 。i 国) = e ( xj b ) a s( 2 1 7 ) 禽魅2 。1 ，3 ( i ) 著y 为密哥灏瓣隧税交爨，篮x ，x y 为霹织涟筏交黧， 则： e ( x y | 辔) = y e ( x l 霉)f 2 。1 。8 ) ( i i ) 嘎为b 的予盯域，x 为可积的随机变量，则： e ( e ( x 嚷) i b ) = e ( x i 霸) = e ( e ( x i 圆) | 辗)( 2 1 9 ) ( i i i ) 若x 为可积的随机交髓，c r ( x ) 与b 独立，则 e ( x f 谚) = e x 。特别地，渚x 与y 栩互独立时，e ( x l y ) = e x 。 2 + 。2 鞍豹霆义鞫注矮 戆义2 1 2 设( q ，叮，p ) 是完备的概率空间，n = o ，l ，2 ，”。j 是非负整数全 俸，魏栗掌懿予拶壤族f = 磊，拄n 满是下瓣条律： ( i ) 磊包含乎中的一切可略祭； ( i i ) 对簿一个疗g n ，c + lc f 即霸个 到豫= 曩，捍n 为盯域滤。g 掌，f ，p ) 稼为带滚概率空闽。 以下的概念粒性质都在带流概零空间，羁f ，p ) 上讨论。 定义2 1 3 随机变量序列x = x 。，r l n ) ，若满足 ( i ) x 蹩罗逶疯戆，繇对每个建，x ( 致辩豫 置，鬈，挥0 为夔辊逶纛滓 江苏大学硕士学位论文 列) ；且辩每个n ，x 。是可积的； i 玲对每个1 1 n ，e ( x | 霉) = x 。a s ( 2 1 1 0 ) 则称 以，露，刀o 为f 鞅或鞍。如果将( 2 1 1o ) 式中的簿号换成( ) ，则称 五，霉，摊0 尧上( 下) 鞍。 龠趣2 1 4 ( i ) 对于鞅，有甄= 甄；对于上( 下) 鞅，有甄冬( ) 甄 ( i i ) 瓦，栉n 为上鞍的充要条件是 一以) 为下鞍； ( i i i ) 置，nen 为鞍戆充要条婷是 蜀，搬n 糕趋上鞍又必下鞅； ( i v ) 上( 下) 鞅为鞅的充要条件是e k = e ，v n ，a s 翕嚣程麓参显【2 】网 2 1 3d o o b 鞅收敛定理 参蘧2 。 s 设x = x 。，n n 为下鞍，羞s u p e x 。+ c o ，或等傍建 口 s u p e l x 。i 0 ，憨有 p ( 爿j + l = i 。“| x o = i o , x 1 = i l ，x 。= ) = p ( x 。州= “ = f 。) ( 2 2 1 ) 疫立，烫l 稼舅荛寓数参数豹马搴辩夫链。羞s 为霹羹黎箴骞羧嶷，羹| l 黎菇分割 依次为离散参数的马尔科夫链和有限马尔科夫链。 下疆我翱绘斑马氏链的等价蛙震 5 ： 引理2 2 1 设x = 以，片= 0 , 1 ， 是定义在概率窝间( q ，f ，p ) 上的随机序 列，彤懿获态窆耀s 是霹裂巢或鸯戳襞，赠下臻薮述要耀等徐： ( i ) 爿是离散参数的马氐链，即式( 2 2 1 ) 成立。 ( i i ) 瓣经 哥芷整数拜，经霪 # 受整数列：0 岛走 0 ，以下均同。 ( i i i ) 对任何难整数肝，任何非负整数列：0 s 如f l r 以及任何 岛，0 。s ，毽存 户( 气= f 0 ，x , l = ”。，2 ，瓦+ ，= l n * 1 ) = p ( 气= f o ) p 五= tl 鼠= 移t p k 。= k tl 五= 乇) ( 2 2 3 ) ：f f ；p ( x o = d p ( 五= f o | 凰= d p ( 五。= + l | 以= t ) ( 2 2 4 ) l e 6 ( i v ) 对任何正整数 、m ，任何非负整数列0 t o5 t l t 。 f m t 以 及经舞毛，曩，毛。毛。s ，恒毒 i p ( 爿0 嵩q ，+ 一，爿i 柑= 毛+ ，j 冀i = f 。，x , l 拦矗，五j 拦) = p ( 羔i 。2 不+ t ，发0 。= 毛+ 。l 炭i = 毫) ( 2 + 2 + 5 ) ( v ) 对任何正整数栉、m ，任憾非负整数列o 如f 1 岛 岛+ l 。 坚孳盔堂堡主堂鱼堡塞 以及任何f 。，。+ 。s ，恒有 p ( x , o2 j o ，t ，k = l n - i , ，2 ，五。= + 。i 五= ) 5 p ( 五2 f o ，2 一tl 五2 ) p ( + ，= 。，+ 。= + 。j = ) ( 2 2 6 ) ( v i ) 对任何正整数盯、m ，任何非负整数列0 f o + ； 1 ) ，有唯一的一个x 。( x 1x ：x ，一，) 是其相邻顶点，记为i = f ( ，) 。定义。在a 上的柱集的概率为 k 。( 国( f ) = 占( f ) ，f 4 ) 2 万( f ( ) ) 翌q p ( 0 ) i 占( ( 加) ( 3 1 7 ) 其中s ( f ) 在s 中取值。( 3 1 7 ) 定义唯一相容的柱集测度( 与a 的序无关) ，因而 定义( q ，c f ) 上的一个概率测度。这样定义的。称为树t 上由随机矩阵q 及分布7 确定的树t 上的马氏链场。 定义3 1 3 1 4 1 旧设q 。= ( q 8 0 1 0 ) ，q o = ( q 。叫f ) ) 供啭，_ ，回为两个严格为正的 随机矩阵，万8 = 。( o ) ，石8 ( 1 ) ) ，z 。= 咖。( 0 ) ，玎。( 1 ) ) 是s 上的两个严格为正的概率分 布，并且满足 万8 ( i ) q 8 ( j l i ) = z r 。( ，) q 。o l j ) ，v i s ( 3 1 8 ) 9 江苏大学硕士学位论文 将r 分解为t = t 。u r 。，其中r 。与r 。均如前定义。在( q ，f ) 上定义概率测度如 定义3 1 2 ，其中万8 用于，。中的顶点，万。用于丁。中的顶点，q 。用于从丁。转移 到丁。，q o 用于从丁。转移到丁。，像这样定义在( q ，f ) 上的概率测度。矿称为树 图t 上由随机矩阵q 8 与q 。确定的奇偶马氏链场。 考虑a 丁( 一的序 ( o ，1 ) ，( 1 ，1 ) ，( 1 ，2 ) ，( 1 ，3 ) ( 疗，1 ) ，( n ，2 n3 州争) ) ( 此序满足性质 a ) ，令 一1 , n 为偶数 ，8 ( 胛) = l0 , n 为奇数 由( 3 1 7 ) 及定义3 1 2 易得 心。矿( ) ，1 ，n 为奇数， ，。( 功= l0 ，n 为偶数 。壶：脚。 ， ) r 酽s = 器2 h _ 1 纵k ，肛一 ，。 ( 3 1 9 ) 设七，l s ，瓯( 七，c o ) ，鄙( 后，c o ) ，霹( j 】 ，卯) 分别表示z 7 ： 置，f f ( ”) ，肖砰： 五，t 巧 ，砰= 墨，f 巧) 中k 的个数( 简记s 。( 后) ，s o ( k ) ，e ( j j ) ) ，s 。( 七，) ， 耳( 七，国) ，( t ，) 分别表示随机变量序偶 ( ，x m 扎，) ，o 聊 一1 ，1 h 2 蛩p 帆+ 1 sj 虬+ 。( 一1 ) + l ，n 2 1 ， ( 工。”鼻，) ，o 脚n 一1 ，1 h 0 ，由m a r k o v 不等式有 至鸬( i 丁卜乙s ) - 差。1 e x p ( 一p i g ) o ) ，可得 x t i 絮婶傺一万1 知m b 鲥m s u d 至1 雩 i n ( 1 + ( 2 - 1 ) q 。( k l i ) ) 一q 。( k l f ) 】l 1 3 6 【争 n a “ s 磊( a 一1 ) q 。( 啪 2 ( 五一1 ) 当五_ 1 + 0 时，2 ( 2 1 ) 斗0 ，故有 ；呵印 笋习1 。圭一o 。删。砷， 0 协扩础一s 2 均 由式( 3 2 1 5 ) 与式( 3 2 1 3 ) 可得 - 叩黔一万l 绀i o w 即。嘲 0 t o , , o o - a e b z 舶， 取0 0 为常数，七，s 固定。令p = q 。，p 。= ( p ( ，协( f ，j s ) 是另一 随机矩阵，其中 哪i ，= 焉，篇11 ) q ( 3 2 2 0 )+ ( 旯一。( ，l 七) 、 p 。( j l o = q 。( j 1 f ) ，i i ，i ，s ( 3 ，2 2 1 ) 由( 3 2 2 0 ) 与( 3 2 2 1 ) 有 丢； ；：i ： i ! ：告= 驴h ) 4 ( “jc 1 ；i i j i 二1 1 ) q ；雨，矗( ，聊n c 。z 2 z ， q 。( x 。扎，i z ， ) + ( 一 。( z l 七) 。 。 、7 设万i = ( 石i ( o ) ，丌；( 1 ) ) 与万：= ：( o ) ，r ；( 1 ) ) 是满足条件 硝( f ) p ( j l o = ( ，) p ( f i ，) ，v f s 的两个分布，矿为树t 上由随机矩阵尸8 与p 。及上述分布所确定的奇偶马氏 链场，并有q 。= p 。，与( 3 1 9 ) 类似有 ：(j)豆。，糍，、+。【p(扎。i矗一r枷【p(靠扎，117i x o r 枷) 2 ( ) 凰羁。：“ _ 1 ) + i 【p ( 扎s 矗，一) 忡【p ( 靠1 s ，一) r n i2 芎】3 ”一3 h n 一12 甲，72 h = ( ，) 旦器。县：【p ( + 1 1 ，i x ，一) p m 县曩，盟， p ( 靠扎，i 一) p 州( 3 2 2 3 ) 由( 3 2 2 2 ) 、( 3 2 2 3 ) 、( 3 1 1 2 ) 与( 3 1 1 5 ) 有 , l l p , e o ( x 7 ”) 屹。，矿( x 严) ) 一) 一 靠一 j j + 一 +k 一 (一( p p p q 2 t 1 *3 r 0 1 2 p m | i 2 2 n 一 - 一 (一( 硝万 = 志 。1 眦，rmr n m州n 删 器 江苏大学硕士学位论文 = 雾等( x o 舻丽i 去蕊( i l k ) 严“ 叫4 ) 万2 1 )+ ( 五一1 ) q 9 。 。 由( 3 2 2 4 ) 殿引理3 2 1 ，得 “呀u p 筹1 m 寿踮岬堋讪鲥驰m h r 驴吧扎n ：西， 类似( 3 2 1 6 ) 与( 3 2 1 7 ) 的证明，( 3 2 1 8 ) 可由( 3 2 2 5 ) 推出。类似( 3 2 1 8 ) 的证明 方法可证( 3 2 1 9 ) 。 3 ，3 强大数定箨 趸理3 3 ，1 设g 。2 q 。2 9 鄹鳓是瑶f ：国土戆骂氏链爨，鬈( 安x 辑) 妇 ；萋定 义，则 1 挚筲= 棼 驴叠， ( 3 3 1 ) l 挚鼍卑吲秘 尥嗽嘲) 其中万= ( 0 ) ，万( 1 ) ) 是由q 决定的平稳分布。 证龋由：j z q 。= q 。= q ，从而q 8 ( 碲) = q 。( 砷) = q ( k l o ，k ，i 薯s 在( 3 2 5 ) 式两 边阕乘以q 硎枣) ( 毒= o ，1 ) 然后楣搬，并刊鼹( 3 t 2 。4 ) 式煮 ，挚忙谢鲫旧一筲筒南撩撕衅姒啦，】 刮叫筒一困1 驿1 “) q ( 2 】o l i ) 20 心一a , e ( 3 3 3 ) 由归纳法可诞 1 科麓岢一南拇 卜u o - a e _ b s m 1 6 江苏大学硕士学位论文 由于寄乩舢哕) ( f 旧叫油山a 眦愀b 。川 推论3 3 1 1 在定理3 ，3 1 的条件下，有 l 乎耥= j l m ) 挚黼= 扣， ，挚耥= 知， ，争黼= 扣， 证明由( 3 3 1 ) 式有 驴罱钳叫 l i 。r a 崭= l i 。m ! - - 一= ”l 咒l ” 。一a e ， ( 3 3 5 ) 。一a e ， ( 3 3 6 ) a 。一a e ， ( 3 3 7 ) u d a e 一 ( 3 3 8 ) 。一a e ( 3 3 9 ) 3 6 “+ 6 ”“一4 一= j 3 - 6 一3 当珂= 2 m + 1 时，有 - 争搿唧等= 三 ( 3 3 1 0 ) ( 3 3 11 ) 于是由( 3 3 9 ) 一( 3 3 1 1 ) 可得( 3 3 5 ) 与( 3 3 6 ) 成立类似可证( 3 1 3 7 ) 与( 3 - 3 8 ) 推论3 3 1 2 在定理3 3 1 的条件下，有 1 7 r 3 3 1 2 ) ( 3 3 1 3 ) 江苏大学硕士学位论文 由( 3 3 6 ) 与( 3 3 8 ) 可得 1 争潲叫p u q - a , e , b s ，。， 于是由( 3 3 1 3 ) 与( 3 3 1 4 ) 可知( 3 3 1 2 ) 成立。 定理3 3 2 设9 8 = q 。= o ，即心是( ：，) 上的马氏链场。霹( _ j ，f ) ，( ，) 如 前定义，则 1 争筠堕叫删j 的 h i ，”l 1 挚潞i 删 ”i 其中万= ( o ) ，r r ( 1 ) ) 是由q 决定的平稳分布。 口一a e ， ( 3 3 1 5 ) 址明 出了彰2 彰2 蟛，从啊彰【z i ”2 9 。( f i 纠2 彰【川”【k ，6 ) 田 ( 3 2 1 8 ) 式有 驴徘 争剖筒刚旧 - o , u o - a e b 。， 由于i 两3 1 t ：1 i = ，由此式狮，) 钮s 2 ) 式可觚s s ) 式。类似可证 ( 3 3 1 6 ) 式。 推论3 2 2 1 在定理3 3 2 的条件下，有 - 守黼2j 1 砌螂) m q - a e , ( 3 。，s ) 1 挚! ! 青；i ；平2 = 寻万( 七) g ( ，i 后) ，七一口e - ， ( s ，t ，) t 挚书群2 细i u q - a e , b ，勘， 争锛舁= 扣删 心吨“ 。埘， 证明 由( 3 3 1 5 ) 有 江苏大学硕士学位论文 ，簪锵耐叫踟 ，驴删， s 抛， 由0 3 2 2 ) 、0 3 1 0 ) 及0 3 ，1 1 ) 霹褥( 3 。3 ，1 8 ) 与( 3 3 1 9 ) 。类议霹缮0 。3 2 0 ) 与 ( 3 3 2 1 ) 。 接论3 ，3 ，2 + 2 在定理3 。3 ，2 豹袈传下，有 1 挚黹叫恻婶 心一一， ( 3 ，粥， 证明由于s 。( t ) = 群( 膏) 十爵( 危) ，于是由0 3 1 8 ) 与0 3 2 0 ) 可褥 啤并叫衅，, t l q - - a , e s 烈， 凌( 3 3 。1 9 ) 与( 3 3 2 1 ) 可褥 l 毫n 。! ! 专； ；：平2 鼍疗( 】j ) q ( f f _ j ) 。一口e ( 3 3 2 5 ) 由f 3 3 + 2 4 ) 与f 3 3 2 5 ) 立得f 3 3 2 3 ) 。 3 ，4 灏近均分割性 设声是可测空阊( q ，f ) 上的概率涮度。记 暖7 4 ”= x 7 “) = ( x 7 ) 令 五洄净一南l n z ( x t i n ) ) + ( 3 1 4 1 ) a ( c o ) 为r 上关于的熵密度。六( 国) 程某种意义下收敛于常数( 厶收敛，p 收 敛，a , e 收敛) 在信息论中称为s h a n n o n m c m i u a n 定理或信源的渐近均分割性， 置是藩惑论中豹基本定壤( 参整f 6 】) n 蔫文已经提妥，时孛行与b e r g e r 溅t 次榭图l p p g 不变隆机场遍历性及濒近均分割性，不过其收敛楚依概率故敛。 1 9 江苏大学硕士学位论文 杨卫国与刘文研究了b e t h e 树与c a y l e y 树上马氏链场的强大数定律及具有a , e 收 敛性的渐近均分割性。本节利用定理3 3 2 及其推论得到奇偶树上马氏链场a e 收 敛意义下的渐近均分割性，这实际上将文献【7 的结果推广到了一类特殊的非齐 次树图上。 定理3 4 1 设心是如前所定义的奇偶树( 2 ，) 上的马氏链场，令，( z ) 是在 0 , 1 ) 上取值的任意函数。令 则 月2 蛩一l ；1 只( 功) 2 三善厂( x m , h ) ( 3 4 2 ) 守饼2 枷川d , u o - a e 4 固 证明由( 3 4 2 ) 及( 3 1 1 0 ) ，有 。2 纷一【争j1 f a r o ) 2 毛善k z = of ( k ) f i k ( x , , h ) 2 磊，( 后) s n ( t ) ( 3 4 4 ) 由( 3 4 4 ) 及( 3 3 1 2 ) 易知此定理成立。 定理3 4 2 设心是如前所定义的奇偶树疋( ：，3 ) 上的马氏链场，令厂( x ，y ) 是定 义在 o ，1 ) 2 上任意函数。令 n 一12 2 。3 2 。 用+ l h g 一( 卯) 。三磊毗意- 1 ) + 。f ( x m , h ，x r a + l , h ) 一l2 玢一i 月一i2 鹊“争2 = ，三丕。蚤一：，8 ( 加) 厂( ”扎一) + 三三，：聂一。，。( 棚) 厂( 靠扎一) ( 3 | 4 t 5 ) 则 - 嫦野。杰挑伽娜， u q - a e b 。固 证明由( 3 4 5 ) 及( 3 1 1 4 ) 、( 3 1 1 5 ) 有 ) 靠4 ) m最d 厂) m ( r 。啪。蚰珊 _ 一2 r m w 一2 2 川 i i ) ，ln g 江苏大学硕士学位论文 2 五磊厂( j j ，1 ) s 。( 女，d 由( 3 3 2 3 ) 和( 3 4 7 ) 易知式( 3 4 6 ) 成立。 ( 3 4 7 ) 推论3 4 2 设心是如前所定义的奇偶树( 2 上的马氏链场，f n ( o ) 妻n ( 3 4 1 ) 定义，于是有 11 l i m f ( 0 j ) = 一三磊万( 七) 酬七) 1 1 1q ( f l j )a 口吨“ ( 3 4 8 ) 证明在定理3 4 2 中令，( z ，y ) = 一l n q ( y l x ) ，由( 3 4 6 ) 易得式( 3 4 8 ) 成立。 ) h4 )m0瓯d厂) m ( r ，。一拍拍忙 _ 一2 r m 一2 2 脚 + d ，k ( 0 n s d厂 卸， + d e n s d ，k (， ，z。 f | 江苏大学硕士学位论文 第四章奇偶树乏。哪，上马氏链场的强极限定理 4 1 引言 在第三章我们讨论了奇偶树疋( ：m 上马氏链场的强极限定理，建立了( ：m 上 马氏链场的强大数定律以及s h a n n o n m c m i l l a n 定理。本章将以第三章为基础， 讨论奇偶树毛) 上马氏链场的强大数定律以及渐近均分割性 ( s h a n n o n m c m i l l a n 定理) 。 以下记号意义与毛，) 的情况类似( 参见3 1 节) ，令0 = 1 ，则 i l o l ：。虬：a 1 一n( 4 川) j 巧i ：黑l 上：。f ：+ q 臼+ ( q 口，：+ + c q 目，争：! 二兰学 c