（应用数学专业论文）广义凸性和广义单调性.pdf

摘要 凸性和广义凸性在优化问题、均衡问题和变分不等式问题研究中起着非常 重要的作用，这主要是因为凸函数在凸集上的局部极值也一定是其全局极值但 是，凸函数的局限性也十分明显因为实际问题中的大量函数都是非凸函数为 进一步满足解决实际问题的需要，人们对凸性概念作了多种形式的推广因此， 研究凸性的各种推广形式及其在最优化理论中的应用是一件十分重要而有意义 的事情 本文主要内容如下： 第一章：综述广义凸函数和广义单调性的研究意义和研究现状 第二章：因为杨新民等在文献 8 】中提出了广义不变单调概念，并研究了一 些广义不变单调性和广义不变凸之间的关系本章给出八个反例说明8 1 巾一些 实例是错误的，并给出九个新的、合适的实例来说明( 伪、拟) 单调和不变( 伪、 拟) 单调性之间的关系，修正了8 1 中的r e m a r k2 5 第三章：因为m a n o o r 等在文献f 9 1 中引入了q 一不变凸，d 一预不变凸， q 叼一单调的概念，本章系统研究了( 伪、拟) q 一预不变凸，( 严格、强、伪、拟) q 一不变凸和( 严格、强、伪、拟) q 叩一单调性之间的关系，并给出一系列实例 第四章：本章在文献f 6 1 基础上提出了严格半b 一预不变凸函数的概念，并给 出严格半一b 预不变凸函数的一些性质，推广了5 ，1 4 】中的结论 关键字：广义凸性，广义单调性，( 伪、拟) a 一不变凸性，( 伪、拟) q 叩一单调性，( 严 格) 半一b 一预不变凸函数 a b s t r a c t c o n v e x i t ya n dg e n e r a l i z e dc o n v e x i t yp l a ya ni m p o r t a n tr o l ef o ro p t i m i z a t i o n p r o b l e m s ，e q u i l i b r i u mp r o b l e m sa n dv a r i a t i o n a li n e q u a l i t yp r o b l e m s b e c a u s et h e l o c a le x t r e m u mo fc o n v e xf u n c t i o no nc o n v e xs e ts ig l o b a le x t r e m u m b u tt h e l i m i t a t i o n so fc o n v e xf u n c t i o na r ea l s oo b v i o u s b e c a u s ean u m b e ro ff u n c t i o n s a b o t up r a c t i c a lp r o b l e m sa r en o n c o n v e xf u n c t i o n s f o rt h en e e do fs o l v i n gp r a c t i c a lp r o b l e m s ，p e o p l eh a sg e n e r m i z e dt h e c o n v e x i t yf r o md i f f e r e n tp o i n to fv i e w t h e r e f o r e ，s t u d i n gt h eg e n e r a l i z e df o r m so fc o n v e x i t ya n da p p l i c a t i o ni no p t n m i z a t i o nt h e r o yi sv e r yi m p o r t a n ta n di n t e r e s t i n g i nt h ep a p e r ，w em m n l ys t u d yt h ef o l l o w i n gt h i n g s ： c h a p t e r1a c t sa st h eg e n e r a li n t r o d u c t i o nt ot h es i g n i f i c a n c ea n dc u r r e n t s i t u a t i o ni nt h es t u d yo ft h eg e n e r a l i z e dc o n v e xf u n c t i o n sa n dg e n e r a l i z e dm o n o - t o n i c i t i e s c h a p t e r2 ，b e c a u s ex m y a n ge t c d e r i v a t et h ec o n c e p t so fg e n e r a l i z e di n - v a r i a n tn o n o t o n i c i t yi nr e f e r c e 【8 】，t h e ns o m er e l a t i o n so fg e n e r a l i z e di n v a r i a n t m o n o t o n i c i t i e sa n dg e n e r m i z e di n v a r i a n tc o n v e x i t i e s i nt h ec h a p t e rw ew i l ls h o w t h a ts o m ee x a m p l e si n 【8 】a r ei n c o r r e c tb ym e a n so fe i g h tc o u n t e r e x a m l e s a n d n i n ea v a i l a b l ee x a m p l e sa r ep r e s e n t e d ，t h ee r r o r so fr e m a r k2 5 i n 【8 】w i l lb e c o r r e c t e d i nc h a p t e r3 ，b e c a u s em a n o o re t c p u tf o r w a r dc o n c e p t so fc e - - i n v e x ， q p r e i n v e x ，q 叩一m o n o t o n ei nr e f e r e n c e 9 】i nt h ec h a p t e r ，b ym e a n so fas e r i e so fc o u n t e r e x a m p l e s ，w es t u d yi nas y s t e m a t i cw a yt h er e l a t i o n s h i p sa m o n g ( p s e u d o ，q u a s i ) a - p r e i n v e x i t y , ( s t r i c t ，s t r o n g ，p s e u d o ，e q u a s i ) a - i n v e x i t ya n d ( s t r i c t ，s t r o n g ，p s e u d o ，e q u a s i ) a 叩- m o n o t o n i c i t y c h a p t e r4 ，t h ed e f i n i t i o no fs t r i c t l ys e m i b p r e i n v e x i t yi sf i r s t l yi n t r o d u c e d o nt h eb a s eo fr e f e r e n c e 6 】t h e n ，s o m ep r o p e r t i e so fs t r i c t l ys e m i b p r e i n v e x f u n c t i o na r ed i s c u s s e d o u rr e s u l t sa r ea ng e n e r a l i z a t i o no ft h o s ep r e s e n t e di n r e f e r e n c e 5 ，1 4 l v广义l 八i 性和广义单调性 k e y w o r d s ： g e n e r a l i z e dc o n v e x i t y , g e n e r a l i z e dm o n o t o n i c i t y , ( p s e u d o ， q u a s i ) a - i n v e x i t y , ( p s e u d o ，q u a s i ) a r - m o n o t o n i c i t y ，( s t r i c t l y ) s e m i - b p r e i n v e xf u n c - t i o n 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师的指导下进行的研究工作和取得 的研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文不包含任何其他个人已 经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得天津工业大学或其他教育机构的 学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所作的任何贡献均 已在论文中作了明确的说明并表示了谢意 学位论文作者签名： 舞墟 i 签字日期：吕年j q f o 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解天津工业大学有关保留、使用学位论文的规定 特授权天津工业大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘 ( 保密的学位论文在解密后应适用本授权说明) 论文作者签名： 龟 扦易羟 i 签字日期：o 萨月肜日 导师躲觅狮 签字日期：o f 歹年- 月汐日 学位论文的主要创新点 一、在舻中，系统研究了( 伪、拟) q 一预不变凸，( 严格、强、伪、拟) q 一不变凸 和( 严格、强、伪、拟) q 卵一单调性之间的相互关系，给出一系列实例 二、提出了严格半b 一预不变凸函数的概念，并给出严格半一b 一预不变凸函数的相 关性质及在最优化理论中的应用 三、指出【x m y a n ge ta 1 ，j o p t i m t h e o r y a p p l 1 1 7 ( 2 0 0 3 ) 6 0 3 6 2 5 】中一些例子 的错误，给出合适例子，并修正该文中r e m a r k2 5 的结论 1 1 研究概述 第一章绪论 凸性理论在对策论、工程、管理科学和最优化理论中起着非常重要的作用， 这主要是因为凸性有一些很好的性质，比如凸函数在凸集上的局部极值也一定 是全局极值；可微凸函数在凸集上某点的梯度等于零，则该点是函数的极小值 点另一方面，实值函数的凸性和向量函数的单调性之间具有十分密切的关系， 即实值函数的凸性等价于对应梯度函数的单调性 正是由于凸性在数学规划中的重要作用，六十年代中期出现了一个新 的数学分支一凸分析1 9 7 0 年，r o c k a t e l l a r 1 所写的 书 和1 9 7 3 年r o b e r t 所写的 - - 书的出版，是凸分析发展的一个 重要里程碑，极大推动了凸分析的发展，特别是国际上颇具影响的学术杂 志 于1 9 9 4 年创刊，标志着凸分析的研究已成蓬勃 发展之势，标志着凸分析形成了现代数学中的一个专门研究领域事实上，具有 凸性的函数相对来说是很少的因此人们一直在研究凸函数的各种推广形式即 广义凸函数，使其既能保持凸函数的一些良好性质又比凸性更弱的条件，这样的 函数诸如拟凸、似凸、伪凸等等 1 9 8 1 年，h a n s o n 2 提出不变凸函数的定义，设冗n 表示n 一维欧氏空间，厂( z ) 是 舻上的实可微函数，其梯度用v f ( x ) 表示满足条件： 对任意的z ，y 肝，存在向量卵( z ，y ) r n ，使得 f ( x ) 2 ，( 可) + v ，( 可) t 叩( z ，可) 并把不变凸函数的概念推广为拟不变凸和伪不变，、函数 1 9 8 6 年，b e n i s r e a l 3 】等提出预不变凸函数概念： 定义1 1 1 设sc 舻和，：s _ r 如果对任意z ，y s ，都存在向 l n ( x ，y ) r n ，对所有q 0 ，1 1 ，y - 4 - q 叩( z ，y ) s ，则称s 是关于7 7 的不变凸 集 第一章绪论 设s 是关于7 7 的不变凸集，且满足妇，y s ，对所有o 【0 ，1 】，有： ，( 3 + q 叩( z ，秒) ) o l f ( x ) + ( 1 一q ) ，( 可) ， 则称。厂是预不变凸函数 可以看出，可微的预不变凸函数就是不变凸函数 1 9 9 1 年，b e c t o r 并e l s i n g h 4 1 引入b 一凸函数的定义，b 一凸函数是凸函数从另一 方面的重要推广，并研究了b 一凸函数一些重要的性质1 9 9 3 年，b e c t o r 、s u n e j a 和l a l i t h a 5 弓l 入了b 一不变凸函数和b 预不变凸函数的定义，并讨论了它们各自 的性质以及关于这些函数的最优化条件和对偶理论最近，l o n g 和p e n g 6 】引入 一类更加广泛的凸函数，即半b 预不变凸函数，举例说明了这类函数的存在 性并讨论了其在极小化问题中的应用1 9 9 0 年，k a r a m a r d i a 和s c h a i b l e 7 定义 了( 拟、伪、严格伪、强、强伪) 单调影像，并讨论了它们之间的一些关系以及与 广义凸函数之间的关系2 0 0 3 年，y a n g 8 等提出广义不变单调概念，并研究了 一些广义不变单调性和广义不变凸之间的关系最近，m a n o o r 等在【9 1 中引入 了t 3 r 一不变凸，o l 一预不变凸，c r - - 单调的概念， 1 0 1 则系统研究了它们之间的关系 应用c l a c k 广义次微分，广义凸性和单调性及其性质可推广到不可微的函数 2 0 0 3 年，l y f a n 1 1 等研究了不可微拟( 伪) 凸函数和其c l a c k 广义次微分拟( 伪) 不 变单调性之间的关系2 0 0 6 年，t j a b a r o o t i a n 1 2 等介绍了局部l i p s c h i t z 函数 的广义不变凸性和其c l a c k 广义次微分的广义不变单调性之间的关系最近， m s o l e i m a n i - d a m a n e h 在 1 3 】中引入了极限次微分，利用极限次微分研究了凸性 和不变单调性 1 2 本文内容提要 关于广义凸性和广义单调性性质的研究一般有三种思路：第一种思路是研 究数量函数的拟凸性、严格拟凸性、半严格拟凸性在各种条件下的相互关系；第 二种思路是研究数量函数的伪凸性、严格伪凸性、拟凸性及该函数次梯度相对 应的各种单调性的相互关系：第三种思路是将数量函数的伪凸性和拟凸性及与 之相关的各种单调性的研究从可微情形推广到不可微情形或从数量情形推广到 向量和集值情形应用函数的伪凸性和拟凸性、伪单调性和拟单调性可以研究 单目标问题与多目标问题的最优性条件、对偶问题，也可以研究变分不等式问 题、平衡问题、变分包含问题等解的存在性本文主要讨论了以下内容： 2 第一章绪论 第一章：绪论主要介绍广义凸性的发展背景及研究成果 第二章：广义不变单调性间的关系及反例本章首先给出八个反例说明 8 】中 一些实例是错误的；然后给出九个新的、合适的实例来说明( 伪、拟) 单调和不 变( 伪、拟) 单调性之间的关系；并修正了 8 】中的r e m a r k2 5 第三章：强。一预不变凸函数本章主要受m a n o o r 9 1 的启发，系统研究 了( 伪、拟) q 一预不变凸，( 严格、强、伪、拟) q 一不变凸和( 严格、强、伪、拟) q 7 7 一单 调性之间的关系，并给出一系列实例 第网章：半b 一预不变凸函数及其性质本章在 6 的基础上提出了严格半 b 预不变凸函数的概念，并给出严格半一b 一预不变凸函数的一些性质，推广了f 5 ， 1 4 1 的结论 3 第二章广义不变单调性间的关系及反例 和实值函数凸性密切联系的概念是向量函数的单调性我们知道，实值函 数的凸性等价于其梯度函数的单调性值得注意的是单调性在研究变分不等式 解得存在性时起着非常重要的作用2 0 0 3 年，x m y a n g 在【8 】中给出了广义不变 凸性和广义不变单调性的概念，该文给出广义不变凸性和单调性之间的关系及 性质，并举出相应例子后人在可微、不可微前提下研究函数凸性和单调性关系 时也常引用f 8 1 中的实例，但我们发现 8 】中八个实例及一个性质是错误的本章 我们给出八个反例及九个合适的新的例子 2 1基本概念 设r 是舻中非空子集，叩：xxx _ r 钆( x r n ) 和f ：f 一舻为向量函数 本章中用到的概念全引刨8 】 定义2 1 1 称集合r 是关于7 7 的不变凸集，如果对任意z ，y f ，入 0 ，1 】，有 y + a 叩( z ，y ) r 定义2 1 2 函数f 称为： ( i ) 在r 上是单调的，如果 ( y z ) t ( f ( y ) 一f ( z ) ) 0 ，v x ，y f ( i i ) 在r 上是严格单调的，如果 ( y z ) t ( f ( y ) 一f ( z ) ) 0 ，v x ，y r ：z y ( i i i ) 在1 1 上是拟单调的，如果 ( y z ) t f ( x ) 0 兮( y z ) t f ( y ) 0 ，v x ，y r ：x y 第二章广义不变单调性问的关系及反例 ( i v ) 在r 上是伪单调的，如果 ( y z ) t f ( x ) 0 辛( y z ) t f ( u ) 0 ，y x ，y f ：2 y 。 ( v ) 在r 上是严格伪单调的，如果 ( y z ) t f ( x ) 0 令( y z ) 丁f ( u ) 0 ，比，y r ：z y 。 定义2 1 3 设r 是关于7 7 的不变凸集，称f 在r 上： ( i ) 关于印不变单调，如果 印( z ，) t f ( y ) + 印( 箩，z ) t f ( x ) 0 ，v z ，y r 。 ( i i ) 关于? 7 严格不变单调，如果 ? 7 ( z ，秽) t f ( y ) + 曰( 芗，z ) 丁f ( z ) ) 0 令即( z ，芗) t f ( u ) 冬0 ，v z ，y f ：z y 。 ( i v ) 关于? 7 不变伪单调，如果 叩( 芗，z ) t f ( x ) 0 令7 7 ( z ，萝) 丁f ( y ) 0 ，y x ，y r ：z y 。 ( v ) 关于印严格不变伪单调，如果 ? 7 ( 秽，z ) t f ( x ) 0 辛刁( z ，芗) t f ( y ) 0 ，y x ，y f ：z y 。 条件a 设集合r 是关于7 7 的不变凸集，令，：f _ 冗则有， f ( y + 7 7 ( z ，可) ) ，( z ) ，y x ，y i 、 条件c 令叩：x x _ r n 则有，对所有z ，y r “和a 【0 ，1 1 ， o ( y ，y + 入7 7 ( z ，矽) ) = - a u ( z ，可) ， 7 7 ( z ，y + a 7 7 ( z ，秒) ) = ( 1 一入) 叼( z ，) 6 第二二章广义不变单调性间的关系及反例 2 2关系与反例 本节给出了各类单调性之间的关系，举反例说明【8 】中的八个实例是错误的， 并给出新的例子 注2 2 1 当叩( z ，y ) = z y 时，单调映射是不变单调映射，反之不然 为证明注2 2 1 的结论，在 8 中y a n g 等提e x a m p l e 2 1 内容如下： 设f 和7 7 定义如下： f ( z ) = ( 1 + c 0 8 2 1 ，1 + c 0 8 x 2 ) ， z = ( x l ，x 2 ) ( 0 ，7 r 2 ) x ( 0 ，7 r 2 ) ， ? 7 ( z ，y ) = 【( s i n x l s i n y i ) c o s y i ，( s i n x 2 - s i n y 2 ) c o s y 2 ，z ，y ( 0 ，7 r 2 ) x ( 0 ，7 r 2 ) 显然，f 关于7 7 是不变单调的若令 z = ( 7 r 4 ，7 r 4 ) ，y = ( 7 r 6 ，7 r 6 ) 则 ( 可一z ) f ( y ) 一f ( z ) 】= 一( 丌6 ) ( 怕2 一讵2 ) 0 因此，f 不是单调的 下面的反例说明 8 】中上例是不正确的 反侈u 2 2 1 令er ，叩如【8 】中e x a m p - e 2 所设，取z = ( 。0 1 1 ) ，可= ( ：竺) 且入= 1 ，可得 秒+ 入叼c z ，可，= 1 5 6 ) + ( s i n 0 1 - s i n 1 5 6 ) c o s 1 5 6 ) = - 8 1 8 1 3 ) 譬f ， 这表明r 不是关于叩的不变凸集，因此f 不是关于叩不变单调的 下面给出证注2 2 1 的合适例子 例2 2 2 设f = r 且 f ( x ) = c o sz ，v z r ， 第二章广义不变单调性间的关系及反例 7 7 ( z ，y ) = ( s i n z s i n u ) c o s y ，v z ，y f 显然，r 是关于7 7 的不变凸集且 7 7 ( z ，可) t f ( y ) + 叩( y ，z ) t f ( z ) = 0 ，v x ，y f ， 因此f 在r 上是关于卵不变单调的 反之，取z = 7 r 6 ，y = 7 r 4 ，可得 ( 一z ) t ( f ( 可) 一f ( z ) ) = r 1 2 ( 扼2 一以2 ) y ， 1 ， z = y ，v x ，y f 0 ， z 可 0 ， i - 刁( z ，y ) t f ( v ) = 3 4 1 4 ( 1 一锈2 ) 0 ， 这表明f 在r 上不是关于7 7 不变拟单调的 为说明注2 2 5 的结论，给出下例 f ) , j 2 2 9 令f ，r l ，f j i i 例2 2 2 所设则r 是关于7 7 的不变凸集且f 在r 上是关 于7 7 的不变拟单调映射取z = r t 4 * t l y = 3 r 4 ，可得 j ( y z ) t f ( z ) = v 厄t r 4 0 ， i ( y z ) t f ( y ) = 一v 侄r r 4 。 说明f 在r 上不是关于卵的不变单调映射 注2 2 8 当7 7 ( z ，y ) = z y 时，严格伪单调映射是严格不变伪单调映射，反之 不然 反例2 2 。1 4 说i t j q 8 中e x a m p l e 5 。l 是错的。 反例2 。2 。1 4 令f ，叩和f 如 8 ，e x a m p l e 5 。1 】所设取z = 5 r 6 ：币f l y = 3 7 r 4 f ， 有 ，? 7 ( ，z ) t f ( z ) = ( s i n x + c o s x ) 2 ( c o s y c 0 8 x ) = ( 一乎) 2 ( 一乎+ 乎) 0 ， 、叼( z ，秽) 丁f ( 秽) = ( s i n y + c o s y ) 2c o s x c o s y ) = ( 乎一乎) 2 ( 一譬+ 警) = 0 1 1 第二章广义不变单调性问的关系及反例 所以，f 在r 上不是关于7 7 的严格不变伪单调映射 下面给出合适的例子 例2 2 1 5 设f = r ，f ( x ) = 1 一z ，比f ， ，、f 叼( z ，y ) 。 l 则r 是关于7 7 的不变凸集，对任意的z ，y f ， 叩( y ，z ) t f ( x ) = 7 7 ( z ，可) t f ( y ) = v z y f 1 一z ， z 暑， - - ( i z ) ，z y ， 1 一y ，z y 对任意z ，y r 且z y ，若7 7 ( 可，z ) r f ( x ) 0 ，则1 z 或l z y 因此可 得叩( z ，可) t f ( y ) 0 ，这表明f 在r 上是严格不变伪单调的 另一方面，对z = 0 5 和y = 1 5 ，有 f ( y z ) t f ( x ) 0 ， i ( y z ) 丁f ( y ) 一 z z，三n1 一 ，、【，1一， 第二章 广义不变单调性间的关系及反例 _ 一 y ，1 号 7 7 ( z ，y ) t f ( y ) + 7 7 ( 可，z ) t f ( x ) = 0 因此，f 在i 、上不是关于7 7 严格不变单调的 3 1基本概念 第三章强o z 预不变凸函数 设( 日， ) 是实h i l b e r t 空间，非空集合kch 设f ：k _ r 和q ： k k _ r o 是实值映射，向量值映射? 7 ：k k h n a ( v ，u ) = q ( n ， ) ，v u ，u k ，称q ( ，- ) 是对称函数若叩( u ，u ) + 叩( u ， ) = 0 ，v u ，u k ， 称? 7 ( ，) 为斜映射下面的概念都取自【9 】 定义3 1 1 设u k 称集合k 在点钍处是关于7 7 和q 的q 一不变凸集，若 乱+ t a ( v ，u ) n ( v ，u ) k ，v v k ，v t 【o ，1 1 称k 是关于卵和q 的q 一不变凸集，如果在k 上的每一点都是a 不变凸的 一不变凸集也称为q 7 7 一连通集显然，n a ( v ，u ) = l ，7 7 ( u ，u ) = 移一钍时，k 为凸 集，当q ( ，u ) = 1 ，v u ，u k 时，k 为不变凸集，反之不一定成立 以下如无特别说明，均假设k 为关于叩和o z 的非空a 一不变凸集 3 2a 一预不变凸性，伪及一预不变凸性和拟o l 一预不变凸性 本节给出了q 一预不变凸性，伪o l 一预不变凸性和拟q 一预不变凸性之间的关 系及实例 定义3 2 1 称定义在a 一不变凸集k 上的函数f 为： ( i ) 关于叩和a 是q 一预不变凸的，如果对任意u ，u k ，t 【0 ，1 1 ， f ( u + t a ( v ，u ) 叩( u ，u ) ) ( 1 一t ) f ( u ) 十f ( 口) ； ( i i ) 关于叩和q 是伪q 一预不变凸的，如果存在严格正函数6 ：k k r + + ， 使得对任意u ，口k ，t 【0 ，1 1 ， f ( 秒) f ( u ) 兮f ( u + t a ( v ，u ) o ( v ，让) ) f ( u ) + t ( t 一1 ) b ( u ，秒) ； ( 3 2 1 ) 第三章强o l 预不变凸函数 ( i i i ) 关于叩和q 是拟q 一预不变凸的，如果对任意u ，v k ，t 【0 ，1 】， f ( u + t a ( v ，乱) ? 7 ( u ，u ) ) m a x f ( u ) ，f ( 秒) ( 3 2 2 ) 定理3 2 1q 一预不变凸和伪q 一预不变凸是两个不相关的概念 见下面两个例题 例3 2 1 设k = r 对所有u ，t ，k ，令口( 口，乱) = 1 ，7 7 ( u ，u ) = e v e u $ i f ( u ) = c ，其中c r 为常数则k 是关于o l 和叼的q 一不变凸集，且 f ( u + t a ( v ，u ) 7 7 ( u ，u ) ) = ( 1 一t ) f ( u ) + t f ( v ) ，v u ， k ，v t 0 ，1 】， 这表明f 在k 上关于o l 和卵是q 一预不变凸的 另一方面，对任意t ( 0 ，1 ) 和任意严格正函数b ：k k r + + ，可 得f ( v ) = f ( u ) 和 f ( u ) + t ( t 一1 ) b ( u ，u ) f ( u ) = f ( u + t a ( v ，钍) 叩( u ，札) ) ， 对任意u ，v k 成立，因此f 在k 上关于7 7 和o l 不是伪o z 一预不变凸的 例3 2 2 设k = 【- - 1 ，o ) 对任意u ，u k ，令q ( ，u ) = 一墨，叩( u ，u ) = 1 ，6 ( u ， ) = 一誊，f ( u ) = 1 一u ，贝j j b ( u ，u ) 是严格正函数，并且，对任意【0 ，1 】， 乱+ t a ( v ，乱) 叩( u ，u ) = ( 1 一丢) u k ， 这表明k 是关于q 和7 7 的a 一不变凸集 假设f ( v ) f ( u ) ，则u 口且 f ( u + 亡q ( u ，u ) 7 7 ( 秒，u ) ) 一f ( u ) = 互tu 0 1r 第三章强o t 预不变凸函数 这表明f 在k 上关于o l 和7 7 不是o t 一预不变凸的 有 定理3 2 2q 一预不变凸函数是拟q 一预不变凸的，反之不然 证明：设f 在k 上关于口和7 7 是o t 一预不变凸的，则对任意乜，秒k 和t 【0 ，1 】， f ( u + t a ( v ，u ) 7 7 ( 口，u ) ) ( 1 一t ) f ( u ) + t f ( v ) ( 1 一t ) m a x f ( u ) ，f ( u ) ) + tm a x f ( u ) ，f ( 秒) 】 = m a x f ( u ) ，f ( ) ) ， 因此，f 在k 上关于q 和叼是拟q 一预不变凸的 例3 2 3 设k = 一l ，o ) 对任意乱， k ，令q ( u ，u ) = 一差，7 7 ( u ，u ) = l ， f ( u ) = 1 一u 由例3 。2 2 知k 是q 一不变凸集，f 在k 上关于? 7 和q 不是o l 一预不变 凸的然而，对任意让，v k 和t 0 ，1 】，有 f ( 2 正+ t q ( u ，t 正) 7 7 ( 口，u ) ) = 1 - u + 互t 让f ( u ) m a x f ( u ) ，f ( u ) ) 因此，f 在k 上关于叼和q 是伪一预不变凸的 定理3 2 3 伪q 一预不变凸和拟q 一预不变凸是两个不相关的概念 见下面两例 例3 2 4 设k = ( - - c o ，o ) 对任意u ，u k ，令7 7 ( ，u ) = 1 ，b ( u ，v ) = 一；，f ( u ) = l u 且 ， q c 口，让，= 登；，一“l ：三： 贝u b ( u ，u ) 是严格正函数，1 7x v f f ：, 恩t 0 ，1 】， u + t q ( u ，乱) 叩( ，u ) = 矗+ 一2 考t ( ) v 扎，- 钍l ：三：k 这表明k 是a 一不变凸集若f ( ) f ( u ) ，则“u 且 f ( u 十t a ( v ，乱) 叼( u ，u ) ) = f ( 让) + 去“ f ( “) 一t b ( u ，u ) f ( u ) + 亡 一1 ) 6 ( u ，u ) ， 第三章强q 预不变凸函数 说n ) l f 在k 上关于叩和q 是伪o t 一预不变凸的 另一方面，对，u k ：u ( ( t ，u ) f 7 ( u ) ，叩( ，u ) ) ，v u ，秒k ； ( i i i ) 关于q 和7 7 是强口一不变凸的，若存在常数肛 0 ，使得对v u ，u k ， f ( ) 一f ( u ) ( q ( t ，让) f ，( “) ，叼扣，饥) ) + p i l 7 7 ( ，u ) 1 1 2 ； 】8 第三章强o l 预不变凸函数 ( i v ) 关于a 和7 7 是伪q 一不变凸的，若对v u ，秒k ， ( q ( u ，u ) f 7 ( 让) ，叩( 口，u ) ) 0 令f ( v ) f ( u ) ； ( v ) 关于乜和叩是严格伪q 一不变凸的，若对v u ，v k ， ( q ( ，u ) f 7 ( u ) ，叩( 口，u ) ) 0 专f ( v ) f ( u ) ； ( v i ) 关于a 和叩是强伪q 一不变凸的，若存在常数p 0 ，使得对v u ，v k ， ( q ( u ，牡) f 7 ( u ) ，7 7 ( ，仳) ) + p | i 叩( u ，u ) 1 1 2 0 净f ( v ) f ( u ) ； ( v i i ) 关于q 和r 是拟q 一不变凸的，若对v u ，v k ， f ( v ) f ( u ) 令( o l ( v ，u ) f ( u ) ，7 7 ( ，u ) ) 0 定理3 3 1 一个q 一不变凸函数显然是伪q 一不变凸的，反之不然 例3 3 1 这个例子说明伪。一不变凸函数不一定是q 一不变凸函数 令k = r 对u ，t ，k ，令q ( ，u ) = ；，7 7 ( u ，u ) = u u 矛i f ( u ) = 百1 u 则k 是 关于q 和7 7 的q 一不变凸集 假设( a ( u ，u ) f 7 ( u ) ，7 7 ( u ，u ) ) 0 ，则有v - - u o 和f ( v ) 一f ( u ) = ( u u ) 0 因此，f 在k 上关于q 和叩是伪a 一不变凸的 但是，取西= 0 ，可= 1 ，则有 1 f ( g ) 一f ( g ) 一( q ( 可，g ) f 7 ( 瓦) ，7 7 ( 可，瓦) ) = 一去 0 即f 在k 上关于q 和卵不是q 一不变凸的 定理3 3 2q 一不变凸函数显然是拟q 一不变凸函数，反之不然 例3 3 2 令k ，q ( 口，u ) ，叩( u ，钆) 和f ( u ) 如例3 3 1 所设由例3 3 1 知，f 关于。和7 7 不 是q 一不变f i - b 的但是，对任意u ， k ，若f ( v ) f ( u ) ，则有 u 和 ( q ( ，让) f 7 ( u ) ，叩( u ，u ) ) = 丢( u u ) o ， i j f 在k 上关于q 和7 7 是拟q 一不变凸的 1 9 第三章强q 预不变凸函数 定理3 3 3 伪q 一不变凸函数和拟a 一不变凸函数是两个不相关的概念 见下面两例 例3 3 3 设k = r 对v u ，u k ，令叩( t ，u ) = 1 ，f ( u ) = u ，且 、f o , c v ，u ) = l 则k 是关于叩和q 的o l 一不变凸集，且 因此， - 1 ，钞u ， 1 口= u c q c 口，乱，f 7 c 乱，叼c u ，札，= i 1 ：兰： ( q ( ，u ) f 7 ( u ) ，叩( 口，仳) ) 0 = 争( o l ( v ，u ) f 7 ( 钍) ，7 7 ( 勘，u ) ) = 1 争 = 缸 兮f ( u ) = f ( 口) ， 即f 在k ，h 关于7 7 和o l 是伪q 一不变凸函数，但不是拟o l 一不变凸的 例3 3 4 设k = r 对v u ，v k ，令f ( u ) = u ，且 q c u ，u ，= f ( u ) 且f 在k 上关于? 7 和q 是伪a 一不变凸的 a c u ，钍，= 钍兮f ( v ) f ( 让) ， 即f 在k 上关于卵和q 是伪q 一不变凸函数 另一方面，若f ( u ) = f ( u ) ，则u = 钍且对任意严格正函数6 ：k v t ( 0 ，1 ) ，有 f ( u + t a ( v ，u ) 7 7 ( 口，乱) ) 一f ( u ) = 0 t ( t 一1 ) b ( u ，u ) ， 2 1 ( 3 4 1 ) xk r + + 第三章强q 预不变兀i 函数 i p f 在k 一卜关于卵和q 不是伪a 一预不变凸函数 定理3 4 2 伪q 一预不变凸函数是拟q 一不变凸函数，反之不然 证明：设f 在k 上关于卵和q 是伪o 预不