（计算数学专业论文）tsvd方法在数值微分及图像恢复问题中的应用.pdf

武汉理i ：火学硕叶：学位论文 中文摘要 反问题是目f j 具有交叉性的计算数学，应用数学和系统科学中的研究热点问 题，在各种领域中都有深刻的应用背景。反阀题通常是不适定的，反问题求解的 本质性困难是解的不稳定性，即方程的解( 如果存在) 不连续依赖于右端的数据， 当右端的数据有误差时，其解与真解之间会产生很大的误差，此时必须采用特殊 的求解方法才能褥到合理的结果。当前，求解不适定阀题最常觅有效的方法是正 则化方法，建立有效的正则化方法，正则参数的选取以及算法实现是反问题研究 的三大核心问题。 本文首先从一些实例出发，介绍了反问题和不适定问题的基本概念，并讨论 了方程的m o o r e p e n r o s e 广义解和m o o r e p e n r o s e 广义逆，以线性自伴紧算子的 谱分析与紧算子奇异值分解为理论基础，利用奇异系给出了解的表达式，得出了 线性紧算子方程的不适定性，即m o o r e p e n r o s e 广义解的不稳定性的结论，说明 了紧算予方程解不稳定的根源在于紧算子的奇异值趋于零的性质。由此通过引入 难则化滤子函数柬减弱或滤掉奇异值趋于零的性质对解的稳定性的影响，构造正 剐算子，从丽提供了建立菠则化方法的理论依据。 反问题的数值计算通常需要将问题离散化，此时t s v d ( 谱截断) 芷则化方 法是分简单有效的正则纯方法。文中详细讨论了t s v d 正煲| j 熊的误差估计与正 则参数的选取问题，通过芷则参数的先验和后验选取，证明了t s v d 正则解的误 差具有渐进最优阶。作为t s v d ( 谱截断) 正则化方法的应用，文中研究了两个 不同领域中典型的不适定问题：数值微分问题和图像复原问题。 数值微分问题是不适定的，为了得到近似已知函数稳定的近似导数，并且能 够很好地反映导数的间断情况，本文讨论了p p t s v d 方法，其正则解可以在没 有任何先验信息的情况下反映解的间断性，我们将这种方法应用于数值微分问 题，数值实验说明这种方法对反映导数的间断情况十分有效。 本文还研究了在n e u m a n n 边界条件假设下，具有对称及平移不变性的点扩 教蠡数的数字图像复原问题文中将此类匿像复原闻题转化为不适定的解卷问题， 并分析了离散卷积算子的性质，进而将t s v d 方法应用于解卷问题，通过快速余 弦变换给出了相应的图像复原的算法实验说明了算法的有效性 关键词：不适定问题，t s v d ，数值微分，p p t s v d ，图像复原 武汉理i ：大学硕七学位论文 a b s t r a c t i n v e r s ep r o b l e m 。w h i c hi sah o tt o p i ci nt h ec o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s 。a p p l i e d m a t h e m a t i c sa n ds y s t e ms c i e n c e ，h a se x t e n s i v eb a c k g r o u n di nm a n yd o m a i n s i n v e r s e p r o b l e mi sa l w a y si 1 1 p o s e d a n dt h i sp r o p e r t yr e s u l t si nt h ei n s t a b i l i t yo fi t ss o l u t i o n t h a tm e a n st h es o l u t i o no ft h ee q u a t i o n ( i fe x i s t s ) d o e sn o tc o n t i n u o u s l yd e p e n do n t h er i g h t h a n d e dd a t aa n dt h ee r r o ro fr i g h t h a n d e dd a t aw i l lp r o d u c el a r g ee r r o ro n t h es o l u t i o n t h e r e f c i r ew em u s tu s es p e c i a lm e t h o dt oo b t a i nr e a s o n a b l es o l u t i o n t h e m o s tp o p u l a ra n de f f e c t i v em e t h o df o ri l l - p o s e ds o l v i n gi sr e g u l a r i z a t i o nm e t h o d t h e k e yi s s u e so fi n v e r s ep r o b l e ms t u d ya r ec r e a t i n ge f f e c t i v er e g u l a r i z a t i o nm e t h o d 。t h e s e l e c t i o no fp a r a m e t e r sa n dt h er e a l i z a t i o no ft h ea l g o r i t h m t h i sp a p e rf i r s ti n t r o d u c e st h ed e f i n i t i o n so fi n v e r s ep r o b l e ma n di 1 1 p o s e d p r o b l e mb yc o n s i d e r i n gs o m ei n s t a n t sa n dd i s c u s s e st h em o o r e p e n r o s eg e n e r a l i z e d s o l u t i o na n dm o o r e p e n r o s eg e n e r a l i z e di n v e r s e o nt h eb a s eo fs p e c t r u ma n a l y s i so f 1 i n e a rc o m p a c ts e l f - o p e r a t o ra n ds i n g u l a rv a l u ed e c o m p o s i t i o nf s v d ) o fc o m p a c t o p e r a t o lw ep r e s e n tt h ee x p r e s s i o no ft h es i n g u l a rs y s t e r na n dc o n c l u d et h a tt h el i n e a r c o m p a c to p e r a t o re q u a t i o ni si l l p o s e dt h a tg i v eu st h et h e o r y ：t h eg e n e r a l i z e ds o l u t i o n o fm o o r e p e n r o s ei su n s t a b l e t h er e a s o no ft h ei n s t a b i l i t yo fc o m p a c to p e r a t o r e q u a t i o ni st h ep r o p e r t yt h a tt h es i n g u l a rv a l u eo fc o m p a c to p e r a t o ra p p r o a c h e sz e r o t h e r e f o r ew ei n t r o d u c et h er e g u l a r i z a t i o nf i l t e rf u n c t i o nt ow e a k e no rl e a c ht h e i m p a c to f m i sp r o p e r t yo ns t a b i l i t yo fs o l u t i o n b yc r e a t i n gt h er e g u l a r i z a t i o no p e r a t o l w ec o n s t r u c tt h et h e o r yo fr e g u l a r i z a t i o nm e t h o d t h en u m e r i c a lc a l c u l a t i o no fi n v e r s ep r o b l e mo r d i n a r i l vn e e d sd i s c r e t i z a t i o no f p r o b l e ma n dt r u n c a t e ds i n g u l a rv a l u ed e c o m p o s i t i o n ( t s v d ) r e g u l a r i z a t i o nm e t h o d i st h e ns i m p l eb u te f f e c tm e t h o d t h i sp a p e rd e t a i l e d l yd i s c u s s e st h ee r r o re s t i m a t i o n o ft s v dr e g u l a r i z a t i o ns o l u t i o na n dt h es e l e c t i o no fp a r a m e t e r s b yt h ec o m p a r i s o n o ft h ep r i o ra n dp o s t e r i o r is e l e c t i o no fp a r a m e t e r s w ep r o v et h a tt h ee r r o ro ft s v d r e g u l a r i z a t i o ns o l u t i o nh a so p t i m u ma s y m p t o t i cc o n v e r g e n c eo r d e r t oa p p l yt h i s r e g u l a r i z a t i o nm e t h o d ，w es t u d yt w ot y p i c a li 1 1 一p o s e dp r o b l e m sf r o mt w od i f f e r e n t d o m a i n so fn u m e r i c a ld i f f e r e n t i a t i o na n di m a g er e s t o r a t i o n 。 p r o b l e mo fn u m e r i c a ld i f f e r e n t i a t i o ni si 1 1 p o s e d i no r d e rt og e tt h es t a b l e a p p r o x i m a t ed e r i v a t i v eo fag i v e nf u n c t i o nw h i c hi s a l s oa b l et oi n d i c a t et h e d i s c o n t i n u i t yo ft h ed e r i v a t i v e 。i nt h i sp a p e r , w ed i s c u s sp p t s v dm e t h o d 。t 蜘： r e g u l a r i z a t i o ns o l u t i o no fp j p 。t s v dc a l li n d i c a t et h ed i s c o n t i n u i t yw i t h o u ta n yp r i o r i i n f o r m a t i o n w ea p p l yt h i sm e t h o di nn u m e r i c a ld i f f e r e n t i a t i o na n dt h ee x p e r i m e n t s h o w st h a tt h i sm e t h o di sv e r ye f f e c t i v e w ea l s os t u d yo nt h ed i g i t a li m a g er e s t o r a t i o no fp o i n ts p r e a df u n c t i o nw h i c hh a s t h ef e a t u r eo ft r a n s l a t i o ni n v a r i a n c e ，u n d e rt h en e u m a n nb o u n d a r ya s s u m p t i o n t h i s p r o b l e mo fi m a g er e s t o r a t i o nc a nb ec h a n g e dt oai 1 1 一p o s e dd e c o n v o l u t i o np r o b l e m 。 舱a n a l y z et h ep r o p e r t i e so fc o n v o l u t i o no p e r a t o ra n dt h e na p p l yt h et s v dm e t h o d t od e c o n v o l u t i o np r o b l e m w ep r e s e n tt h ec o r r e s p o n d i n ga l g o r i t h mb yu s eo ff a s t c o s i n et r a n s f o r m ，a n dt h ee x p e r i m e n ta c c o u n t sf o r t h ee f f e c t i v i t y k e y w o r d s ：i l l p o s e d ；t s v d ；n u m e r i c a ld i f f e r e n t i a t i o n ；i m a g er e s t o r a t i o n ； p p t s v d 。 武汉理工大学学位论文独创性声明及使用授权书 独创性声明 本人声明，所警交的论文是我个人在导师指导下进行的研究 作及取得的研究成 果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得武汉理工大学或其它教育机构的学位或证书而使 用过的材料。与我一同：t = 作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说 明并表示了谢意。 研究生( 签名) ： 日期立盘4 学位论文使用授权书 本人完全了解武汉理工大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本人授权 武汉理工大学可以将本学位论文的全部内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印或其他复制手段保存或汇编本学位论文。同时授权经武汉理：【大学认可的国家有关 机构或论文数据库使用或收录本学位论文，并向社会公众提供信息服务。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 研究生( 签名) ：导师( 签名) ： 注：此表经研究生及导师签名后。请装订在学位论文摘要前页。 武汉理i ：大学硕七学何论文 第一章引言 1 1 反问题与不适定问题 反闷题是相对于正问题而言的。一般的，对于两个相关阀题，如果其中一个 问题的是( 或部分是) 另一个问题的结论，则称这两个问题是互逆的。通常，将 其中一个研究的较翠、发震的较成熟的问题称为正阀题，丽另一今闽题相应的称 为反问题。 皇上世纪6 0 年代以来，反问题在油藏模拟、地质勘探、卫星探测、遥感技 术、无损探伤以及医学成像等领域有着深刻的应用背景。如今已经发展成为具有 交叉性的计算数学，应用数学和系统科学中的研究热点。 恻 地质勘探中的反问题 假设在地球表面上的某直线上测得x 处的引力竖直分量厂( x ) ，而地面下深度 为| ；i 的线密度为夕0 ) ，那么由万有引力定律： 厂( x ) = kr r p ( x ) d s 【( x s ) 2 + h 2 】2 其中k 为弓| 力常数。 在地质勘探中，通常根据地球表面测量到的数据，对发生在地球内部的地质 异常所在位置、形状和某些参数加以确定。此处魄反问题是已知厂( x ) 的数据， 确定线密度p 0 ) 。 例 。2 物理中的反问题 设一质量为m 的质点在重力的作用下从高度为h 的点珐处，沿着铅直平面中 的曲线r 无摩擦地滑到高度为0 处的点风。正问题是：给定曲线f ：x = f ( y ) ， 确定质点由点p ；滑落到点处的时间t ；反问题是：假设测得质点由饪一高度h 滑落到点风处所需时间为t = t ( h ) ，确定曲线r 的形状。 在曲线1 1 上任取一点p ，坐标为( 夕) ，y ) ，由能量守恒定律： 要脚，2 + 删g y ：m g h 2 从而可得质点的速度为： i d s = 2 9 ( h - y ) 故质点瞻扔点处滑落到点p o 处所需时间为： 砌，= 鬟斋2 e 如果令矽( 少) = i 了而，妒( a ) = 虿，( a ) ，那么这里的反问题可表述为： 武汉理f ：人学硕十学位论文 够( 磊) 已知，( y ) 未知，求解a b e l 积分方程： f 。“ 磐y = 伊( h ) 3 。o i 了一 大多数反问题都可以写成如下的第一类算子方程的形式： 蔹= y 算子t ：哼y ，x ，】，均为度量空间，分别称为解空间和数据空间。r 可以是积 分算子，微分算子或是矩阵。所谓正闻题就是已知罗和茗求y ，焉反问题则是r 和 y 已知的情况下求x ，相当于己知效果，表现，输出反求原因，原像，输入。当 f 为线性算子时，称为线性反问题；当f 为菲线性算孑时，称为非线性反问题。 反问题的求解往往具有不适定性。关于适定和不适定的概念是法国数学家 h a d a m a r d 在1 9 3 2 年最早提出的。他认为由物理中等出的问题总是适定的，基| 】闷 题的解一定存在、唯一且在某种意义下稳定，否则提法就是错误的。 定义1 1 已知算子r ：x y ，x ，y 均为度量空闻。若算予方程t x = y 满足 ( 1 ) v x 又，存在唯的y y ，满足t x = y ( 2 ) v g 0 ，j 艿 0 ，只要6 m - y , i i ， 艿，则有6 一一而k 其中t x , = 致，= y 2 则称算子方程t x = y 在( ，】，) 上是稳定的。 定义1 2 已知算子z ：x _ y ，x ，y 均为度量空间。若算子方程t x = y 满足 ( 1 ) ( 解的存在性) v x x ，砂毯y ，满足t x = y ( 2 ) ( 勰的唯性) 甄= y ，t x 2 = yjx l = 毪 ( 3 ) ( 解的稳定性) t x = y 在( x ，】，) 上是稳定的 则称算子方程戤= y 在度量空间对( 彳，y ) 上是适定的，否则称算子方程t x = y 在 度量空间对( x ，y ) 上是不适定的。 例1 3 病态线性方程组 考虑线性方程组a x = y ，其中a r “”。显然，如果l a i _ 0 ，则爿卅不存在， 叙= y 是不适定的。如果h o ，但是条件数耐( 彳) = 炉彳_ l 阳e 常大，此时， 当a x = y 的右端y 有小的扰动便会引起解的严重偏差，即解不稳定，那么a x = y 同样是不适定的。 武汉理l ：人学硕+ 学位论文 例1 4 第一类f r e d h o i m 积分方程 考虑第一类f r e d h o l m 积分方程 ik ( t ，s ) z ( s ) d s = “( f ) t c ，d 】 其中k ( s ，t ) 为连续函数，u ( t ) r c ，d 】，z ( s ) c a ，b 】。 设z 。( s ) 是对应于右端项“( t ) 的一个解，那么z ：( 5 ) = z 。( s ) + n s i n ( 万s ) 是对应于头 端项“2 ( t ) = ( t ) + nrk ( t ，s ) s i n ( g s ) d s 的解，其中n 为常数。 i i 甜一u 2i i 。：= i l ftr ek ( t , s ) s i n ( 刃s ) d j 】d f i 忆i z zi c 6 】= 蚓m 啪a x ，i ns i n ( 万s ) f = i n i 当万充分大时，陋l 一“2 k 可任意小，但i i 互一乞l l c 【口，6 l = i n l ，这说明解是不稳 定的，从而第一类f r e d h o l m 积分方程是不适定的。 在很长一段时间人们认为研究不适定问题没有实际意义。直到1 9 5 6 年以后 人们才发现适定问题远远不完全是真实物理现象的恰当反映，大量的问题都是不 适定的。在许多实际问题中会出现问题没有解或解不唯一的情况，这时我们可以 重新定义问题的解，使得问题的解存在并且唯一，而此时解的不稳定性依然存在， 事实上，这正是反问题和不适定问题研究中的本质困难。如果不对不适定问题采 取一些特殊的方法，就不会得到合理可靠的结果。 如何建立有效的方法进行求解是不适定问题研究的重要内容。目前求解不适 定问题最具普适性、理论上最完备的方法是由t i k h o n o v 于2 0 世纪6 0 年代创造 性提出的正则化方法。其基本思想是：用一族与原问题相邻近的适定问题的解去 逼近原问题的解。近年来，k i r s c h 用基于谱分析的方法指出解的不稳定性的根 源在于紧算子的奇异值趋于零的性质，由此通过引入正则化滤子函数来减弱或滤 掉奇异值趋于零的性质对解的稳定性的影响，构造正则算子，从而提供了建立正 则化方法的理论依据。如何构造与原问题邻近的适定问题而获得所谓的正则方法 和正则解、如何控制与原问题的邻近程度而获得误差最小的正则解以及如何实现 数值的快速计算是正则化理论和方法的三大核心问题，简单来说就是正则化方法 的构造、正则参数的选取和数值实现问题。 本文在第一章介绍了反问题和不适定问题的基本概念，并讨论了方程的 m o o r e p e n r o s e 广义解和m o o r e - p e n r o s e 广义逆；第二章介绍了自伴紧算子的谱 分析与紧算子奇异值分解，利用奇异系给出了解的表达式，得出了线性紧算子方 程的不适定性，即m o o r e - p e n r o s e 广义解的不稳定性的结论，说明了紧算子方程 解不稳定的根源在于紧算子的奇异值趋于零的性质；第三章给出了f 则化的定 义，介绍了基于谱分析的正则化理论，给出了三个常见的正则化滤子函数及相对 应的三种正则化方法：第四章讨论了t s v d 方法及其正则解的误差估计与币则参 武汉理l ，：人学硕十学位论文 数的选取问题，通过正则参数的先验和后验选取，证明了t s v d 正则解的误差其 有渐进最优阶。第五章介绍了数值微分问题是不适定的，为了得到近似己知函数 稳定的近似导数，并且熊够很荮地反映导数的问甑情况，讨论了p p - t s v d 方法， 其正则解可以在没有任何先验信息的情况下反映解的间断性，并通过数值实验说 明这种方法对反映导数的间断情况十分有效。第六章研究了在n e u m a n n 边赛条件 假设下，具有对称及平移不变性的点扩散函数的数字图像复原问题，将此类图像 复原问题转化为不适定的解卷问题，并分析了离散卷积算子的性质，进而将t s v d 方法应用于解卷问题，通过快速余弦变换给出了相应的图像复原的算法，实验说 明了算法的有效性 1 2 数值微分问题 给定可积函数，( ) ，t 【o ，l 】，求其原函数，( ) ，这是积分问题。相应的反 问题是已知可微函数f ( f ) 求其导函数厂( f ) ，这是微分问题。微分和积分是互逆的 数学问题，如果给出了解析式，通常积分眈微分困难。但是，如果给定的f f f ) 是 近似的，甚至是带有误差的离散值，这时对，( f ) 作数值微分，那么这个问题就要 困难得多。在很多的实际阀题中，例如：图象处理过程中的不连续点的确定问题； 化学分析中的实验数据的波峰分离问题；a b e l 积分方程的求解问题等都会涉及 到数值微分问题。 数值微分闷题的一般提法是：对于可微函数y = ，( 毋，x g 【a , b 】，已知，( 茗) 在点a x o 五 ，确定了y 专x 的一个算子丁+ ：t y = ，t 称为r 的 m o o r e - p e n r o s e 广义逆，r 的定义域为d ( t + ) = r ( t ) + r ( 丁) 上。 引理1 1 设t ：x 专y 是有界线性算子，x ，y 均为h i l b e r t 空间，则矿为闭线性 算子，且矿连续的充分必要条件是尺( 丁) 闭 引理1 2 设t ：xjy 是紧算子，x ，】，均为h i l b e r t 空间，则矿连续的充分必要 条件是尺( 丁) 是有限维的 虽然通过引入m o o r e - p e n r o s e 广义解，一些紧算子方程t x = y 的解的存在性 和唯一性问题得到解决，但是解的不稳定性依然存在，解的不稳定性是不适定问 题的最困难之所在。 武汉理”1 ：大学硕十学位论文 第二章紧算子的谱理论 关于正则化算子砭构造的方法，长期以来的指导思想就是构造适当的稳定 化泛函，也就是稳定化泛函方法近年来，k r i s c h 用基于谱分析的方法讨论不适 定闻题的正则亿，通过引入正则纯滤子函数来构造正则算子，为正则他方法的建 立和误差分析提供了理论依据 1 2 本章先对紧算子的谱理论进行阐述。 2 囔紧算子的奇异值分解 2 。1 。1h il b e r t - s c h m i d t 定理 定理2 1 ( h i l b e r t - s c h m i d t ) 设丁是h i l b e r t 空间x 上的自伴紧算子，则有下列 结论： ( 1 ) 丁的谱只可能是特征值或者是o 丁的特征值都是实数r 至少有一个至 多有可数个特征值，0 是其唯一可能的聚点 ( 2 ) t 的每一个非0 特征值，只存在有限个线性无关的特征向量相应于不同 特征值的特征向量是正交的 1 7 ( 3 ) 把r 的j 零特征值以 i l i 如i i 如i i 丸i 的方式排序，其中每一个特征值以其重数重复( d i m n ( 名i 一丁) 为特短值名的重数) ， 设x ；为对应的单位特征向量，且对应于同一特征值的特征向量两两正交，从而 x ， 构成x 的正交规范系，且对v x x x = ( x ，x j ) x i + p x i t x = 力( x ，曩) x v_ ， 其中p ：一( 丁) 是正交投影 把紧的自伴算子的谱理论推广到紧的非魍伴算予，就得到紧算子的奇异值分 解 2 。 。2 紧算子的奇异值分解 定义2 1 设x ，y 是h i l b e r t 空间，t ：爿哼y 是紧算子，伴随算子为 t ：y 斗x 。鸯伴紧算子t t ：x 斗x 的特征值乃的平方根垮= 乃称为t 的奇异值：t t 的所有非零特征值按递减顺序排列为( 每一个特征值按其重数重 复) ： 五友厶芝 o 为对应的单位特征向量，取巧= 码，( 一，刁，y j ) 称为t 的奇异系。 6 武汉理l ：人学硕十学位论文 注意，由于t t x = 蠢x 懑味着 她曲= ( r 玩妁= ( 玩鳓0 所以，t 的每一个特征值名都是菲负豹 在r 的奇异系( 一，x j ，y j ) 中， 勺) 两两正交，i h i f - 1 ，且 i l y j l l - ( 去码，古码) = 古码，码) = 勺( r r x j ，。( 毫，毫净b ( 娥，巧) = ( 去啦，击码) = 去( 巩，码) ， j tp l 1 弘t i 。上一( r + t x i ，x ，) = 兰! l ( 而，x j ) = o ( f j ) , u d 2 jp 显然f 的奇异系( 竹，0 ，巧) 具有以下性质： ( 1 ) 斗_ 0 ，如果丁有可列个非零的特征值： ( 2 ) = 扩忙t ( 3 ) _ ) 构成的正交规范系，且印a l l 0 = ( 丁) 上。 ( 4 ) 协；构成y 的正交规范系，_ 鼓s p a n y j = 耍( f ) 定理2 2 ( s v d 定理) 设，y 均为b i l b e r t 空间，t ：xj y 是紧算予，t 的奇 异系为( ，x ，y j ) ，p ：x 一( r ) 是正交投影，则 ， 工= ( _ x ) x j + p x ，嵌x t x = 曙j ( x ，x j ) y j ， v x e x 歹 t * y = b t j ( y ，y ) x j ，跏y 2 2 紧算子方程广义解的存在性与不稳定性 定理2 3 ( r i e s z f i s h e r 定理) 设为h i l b e r t 空间，娩) 是其标准正交系，则 ( 2 ) 若唾g 收敛，- 记e a i e i = 石，则拉；= ( 墨) ，且 蚶t = l l x u 2j 乙l r 证明：( 1 ) 注意到0 羔口局l l ：艺l d f1 2 成立，结合与z z 的完备性知：证明：( 1 ) 注意到0 口，q i l = l d f1 2 成立，结合与z 2 的完备性知： | l 扛h + ll | f = n + l 7 敛收 8 忡筒 2 ， 、， 穆 g 2 娃 舔 ，、， l ， 敛收 留 田 懈谢 2 、， 吼 似 同时易知： 嚷- - - 伍q ) l x 一喜a ，秽，1 2 = 1 1 x i l 2 一喜i 口，1 2 令n 一- t o o ，聪 l 有： z , i 旌，1 2 = 1 1 到1 1 定理2 4 ( p i c a r d 定理) 设x ，y 均为h i l b e r t 空间，r ：x _ y 是紧算子，t 的 奇异系为( 鳓，x j ，y j ) ，则 ( 1 ) ) ，d ( t t ) 艺学 0 ，正则化算子疋是有界的，它可以看作 是尹豹近似，但吃关于g 不是一致有赛，而且心也不依范收敛于，。 定理3 1 设x ，y 均为h i l b e r t 空间，t ：x 砷y 是紧算子，d i mr ( t ) = 0 0 ，r a 为 算子z 的难则化算子，则 ( 1 ) 疋关于口不是一致有界 ( 2 ) 段不依范收敛于丁 涯明：1 ) 反证法假设疋关于瑾是一致有界，鞠3 c 0 ，使得 i i 心y 0 - 0 由l i m 琢) ，= t y ，可知 慨j ，卜妒y j i ，z - - 0 因此l | 歹罗释。l l y l 对切y g d ( t ) 成立，即t 有界，与已知矛盾。 ( 2 ) 反证法假设l i 吃一丁0 _ o 口一0 ，则由极限定义，对于8 = l ， l 甄 0 ，使得 k y r j ，忙s i l y u ，跏d ( t ) 故有： 扩y y t y | | + i i y l l - ( , + k y 8 这与丁无界矛盾 l o 武汉理【：大学硕十学位论文 3 2 正则解的误差与正则参数的选取 t 、 设x ，y 均为h i l b e r t 空| 司，t ：x 专y 是紧算予，d i m 疋( ) = 0 0 ，考疼紧算 子方程： t x = y ，y d ( t + ) 的求解。 据e 则化算子的定义，对右端的精确数据y = t x ，正则解心y 当口一。时， 当然收敛于精确解矿y 而在实际闯题中，方程t x = y 的右端往往是观测到的数 据y 艿，它与真实值夕之闻存在误差。假设，s d ( t ) ， 显| | y y 艿忙万，定义 d = 心y 5 是壶扰动数据y 占构造的t x = y 的精确解t y 的近似值鸯估计 ”占y 0 - 0 ，使得 b ( 饼，) l 0 ： 心y ：妻掣( y , y j ) 。，j ，y 是一个正员 j 化算予，且有估计| | 如| | c 位) ： b 如果取口= 口( 万) 在万一0 时，满足口( 艿) _ o ( 倪( 6 ) ) 一0 则口= 傀( 万) 是允 诲的的取法 具有以上性质的函数g 似，) 称为t 的正则化滤子函数 证明从假定( 2 ) 可知 l l 如j ，1 1 2 = 妻 g 心，一) 2 专f ( 弘乃) 1 2 c 缸) ：囊| ( 弦乃) 1 2 0 ，使得 口 u 鼢 2 卉( o ，嘞) 所以对v 掰( o ，a o ) ， i i 如y - x 1 1 2 = 磐嘶) _ 1 2 限。卜私c 嘴h m 甜 寿砻( x t , x j ) 1 2 + 譬 鬟f 因此口l i _ + m u r , z y 2 结论a 得证结论8 穰容易由结论a 得到 定理3 2 说明可以通过正则化函数来构造正则化方法只要给定一个正则 3 4 几种正则化方法 满足定理3 2 中条件的正则化滤子函数很多，最常见的函数有三个，分别 是： g 慨) ：j 0 口十 它对应的是t i k h o n o v 正则化方法： 三 q ( a ，) = 1 一( 1 一a a 2 ) 口 它对应的鼠a n 妇曲e r 迭代法舯妖“南为松她因子： 垡( 瑾，) ： 1 ：口 【0 ， 瑾 它对应的是t s v d 正则化方法 这三种正则化方法所得到的正则化解的精度本质上是一致的，因为它们对应 于的如有相同的估计i 如8 夕名，但其表现形式不同 武汉理1 ：人学硕士学位论文 第四章t s v d 正则化方法 上一章分绍了基于广义算子逆理论和谱分毒厅的方法讨论不适定阅题的正则 化，通过引入正则化滤子函数q ( a ，) 来构造正