（计算数学专业论文）积分方程的小波解法.pdf

0。i0；3省鼍；，； 钿 i 独创性声明 m l l l l l i l l l l 川i ly 17 4 0 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 签名：盛立：垄日期：砀咖年士月刀e t 论文使用授权 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 签名：盈鱼：艺导师签名： 日期：7 劾年岁月哆日 摘要 摘要 小波分析作为一门新兴的数学分支，它在理论及应用上涉及到了调和分析、 泛函分析、数值逼近、微分方程及积分方程数值求解等诸多数学领域。所以被广 泛地应用于各种领域。现在，小波分析已成为科学研究和工程技术应用中涉及面 极其广泛的一个热门话题。 小波分析是f o u r e r i 分析的发展和完善。小波分析的发展是以解决实际问题为 出发点，而后形成辐射多学科的理论体系，所以小波分析一次又一次形成研究热 潮，成为国际研究热点。小波变换克服了传统f o u r i e r 变换的不足，在时域和频域 都具有良好的局部化特性，小波在数值分析、信号处理、图像处理等领域有重要 的应用价值。由于对高频成分采用逐渐精细的时域或频域取样步长，从而可以聚 焦到对象的任意细节。从这个意义上讲，它被誉为数学显微镜，可以预料在未来 将成为科技工作者经常使用的重要的数学工具。 积分方程出现在自然科学领域当中并且占有重要的地位。如何解积分方程，这 是问题的关键，对于具体的积分方程( 组) ，除非极为特殊的情形，很难求出它的精 确解，因此数值解或近似解受到了众多研究者的极大关注。由于小波兼有光滑性 和局部紧支撑性质，与传统的有限元、有限差分方法比较，能更好的处理积分方 程的数值求解问题。在本文中我研究了小波分析在积分方程中的应用。本文所作 的主要工作有： 1 介绍了小波和积分方程的一些基础理论，先给出了最简单的小波即h a a r 小波的定义和基本的一些性质，接着介绍由h a a r 小波构造出h a m 小波的积分算子 矩阵和乘积算子矩阵，再用h a a r 小波分解了f r e d h o l m 方程组和v o l t r r a 方程组， 再用算子矩阵对它们进行变换成为非线性的方程组，然后用配置法解出所得的两 个方程组的数值解。最后给出了数字仿真图和表格，形象地给出了数值解和精确 解的比较，所得的数值解随着级数m 的增大而更加趋于精确，因此为了得到更精 确的解，可以取更大的m 值。 2 先给出了l e g e n d r e 小波的定义和一些基本的性质，然后介绍了由l e g e n d r e 小波构造出l e g e n d r e 小波的积分算子矩阵和乘积算子矩阵，最后用l e g e n d r e 小波 分解了f r e d h o l m 方程组和v o l t e r r a 方程组，再用算子矩阵对它们进行变换成非线 摘要 性的方程组，然后用配置法解出这两种方程组的数值解。然后给出了数字仿真图 和表格，形象地给出了数值解和精确解的比较，所得的数值解随着聊和后的增大而 更加趋于精确，因此为了要得到更精确的解，可以取更大的m 和k 值。 关键词：h a a r 小波，l e g e n d r e 小波，算子矩阵，f r e d h o l m 方程，v o l t e r r a 方程 a b s t r a c t w a v e l e ta n a l y s i si san e wp r o m i s i n gm a t h e m a t i c a lb r a n c h i ti si nt h et h e o r ya n d a p p l i c a t i o n r e l a t e dt ot h eh a r m o n i c a n a l y s i s ，f u n c t i o n a la n a l y s i s ，n u m e r i c a l a p p r o x i m a t i o n ，n u m e r i c a ls o l u t i o no fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n di n t e g r a le q u a t i o n sa n d m a n yo t h e ra r e a so fm a t h e m a t i c s w a v e l e ta n a l y s i sh a saw i d er a n g eo fe n g i n e e r i n g a p p l i c a t i o n sd u et oi t st i m e - f r e q u e n c yl o c a l i z a t i o na n dm u l t i - s c a l ea n a l y s i sp r o p e r t y a t p r e s e n t ，w a v e l e ta n a l y s i sh a sb e c o m eap o p u l a ra n dw i d e l yu s e ds u b j e c ti nt h ea r e a so f s c i e n t i f i cr e s e a r c ha n de n g i n e e r i n gp r o j e c t s w a v e l e ta n a l y s i si st h ed e v e l o p m e n ta n dp e r f e c t i o no ft h ef o u r i e ra n a l y s i s s i n c e t h ed e v e l o p m e n to ft h ew a v e l e ta n a l y s i si st h eb a s i st os o l v es o m e p r a c t i c a lp r o b l e m s ， a n dt h e n ，i td e v e l o p si n t oar a d i o a c t i v em u l t i - d i s c i p l i n e dt h e o r y , n o wi th a sb e c o m ea h o tf i e l di nt h er e s e a r c h i n t e r n a t i o n a l l y w a v e l e t t r a n s f o r m s c o m p l e m e n tt h e s h o r t c o m i n g so ff o u r i e r - b a s e dt e c h n i q u e sb e c a u s eo f 廿1 e i rf l e x i b l et i m e - f r e q u e n c y w i n d o w s w a v e l e t sa r ew i d e l ya p p l i e di nn u m e r i c a la n a l y s i s ，s i g n a lp r o c e s s i n g ，i m a g e p r o c e s s i n ga n ds oo n b e c a u s eo ft h eh i g hf r e q u e n c yc o m p o n e n tg r a d u a l l yr e f i n e du s i n g t i m ed o m a i no rf r e q u e n c yd o m a i ns a m p l i n gs t e p ，w h i c hc a l lb ef o c u s e do nt a r g e ta n y d e t a i l s i nt h i ss e n s e ，i ti sp r a i s e da sm a t h e m a t i c a lm i c r o s c o p ea n di se x p e c t e dt ob ea n i m p o r t a n tf r e q u e n t l y - u s e dt o o lf o rs c i e n t i f i cp r a c t i t i o n e r s a si ti s w e l l k n o w n ，i n t e g r a le q u a t i o n sa r i s ei nv a r i o u sf i e l d so fs c i e n c ea n d e n g i n e e r i n gt e c h n i q u e sa n dp l a yav e r yi m p o r t a n tr o l ei nt h e s ef i e l d s m e t h o d sf o r s o l v i n gt h e s ee q u a t i o n st h u sb e c o m eak e yf a c t o ri ns u c hf i e l d s f o rs u c he q u a t i o n s ， e x c e p ts o m es p e c i a lc a s e s ，e x a c ts o l u t i o n sa r ed i f f i c u l tt ob ed e r i v e db ya n a l y t i c a l m e t h o d s a sar e s u l t ，n u m e r i c a lm e t h o d so ra p p r o x i m a t em e t h o d sr e m a i nm u c hi n t e r e s t i th a sd r a w nm o r ea n dm o r em a t h e m a 矗c a lr e s e a r c h e r s a t t e n t i o n s b e c a u s et h ew a v e l e t s h a v et h es m o o t ha n dl o c a lc o m p a c tp r o p e r t i e s ，c o m p a r e dw i t ht r a d i t i o n a lf i n i t ee l e m e n t m e t h o da n df i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d ，i ti sam o r eu s e f u lm e t h o df o rs o l v i n gi n t e g r a l e q u a t i o n s i nt h i sp a p e r , w es t u d yt h ea p p l i c a t i o no fw a v e l e ta n a l y s i st oi n t e g r a la n d d i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h em a i nc o n t r i b u t i o n so ft h i sd i s s e r t a t i o na r ea sf o l l o w s i i i a b s t r a c t 1 i n t r o d u c ef o u n d a t i o n a lt h e o r i e so nw a v e l e ta n ds o m eb a s i ci n t e g r a le q u a t i o i l s f i r s tt h ed e f i n i t i o no ft h es i m p l e s tw a v e l e t ，i e ，h a a rw a v e l e ta n di t sb a s i cp r o p e r t i e s 趾i c p r e s e n t e d n e x tt h ee o n s t r u c t i o no ft h eh a a rw a v e l e ti n t e g r a l0 p e r a t o rm a t r i xa n dt h e m u l t i p l i c a t i o no p e r a t o rm a t r i x t h eh a m w a v e l e ti si n t r o d u c e d t h i r d l yt h e f r e d h o l me q u a t i o n sa n dv o l t e r r ae q u a t i o n sa l ed e c o m p o s e db yt h eh a a lw a v e l e ta n d t h e na r et r a n s f o r m e db yo p e r a t o rm a t r i c e si n t os y s t e m so fn o n l i n e a re q u a t i o n s ，w h i c h a l en u m e r i c a l l ys o l v e du s i n gc o l l o c a t i o nm e t h o d f i n a l l y , d i g i t a ls i m u l a t i o nd i a g r a m s a n dt a b l e sa r eg i v e nt ov i s u a l l yc o m p a r en u m e r i c a ls o l u t i o n sa n de x a c ts o l u t i o n s w i t h t h ei n c r e a s eo ft h es e r i e si n d e xm ，t h eo b t a i n e dn u m e r i c a ls o l u t i o n sb e c o m em o r e a c c u r a t e t h e r e f o r e ，w ec a ni n c r e a s em t og e tm o r ea c c u r a t es o l u t i o n s 2 t h ed e f i n i t i o na n ds o m eb a s i cp r o p e r t i e so fl e g e n d r ew a v e l e t sa r eg i v e nf i r s t a n dt h e nl e g e n d r ew a v e l e t i n t e g r a lo p e r a t o rm a t r i xa n dt h ep r o d u c to p e r a t o rm a t r i xa l e c o n s t r u c t e dt h r o u g ht h el e g e n d r ew a v e l e t s t h i st i m et h ef r e d h o l me q u a t i o n sa n d v o l t e r r ae q u a t i o n sa r ed e c o m p o s e db yt h el e g e n d r ew a v e l e ta n dt h e na r et r a n s f o r m e d b yo p e r a t o rm a t r i c e si n t os y s t e m so fn o n l i n e a re q u a t i o n s ，w h i c ha l en u m e r i c a l l ys o l v e d u s i n gc o l l o c a t i o nm e t h o d a si nt h ef i r s tp a r t ，c o m p a r i s o n so fn u m e r i c a la n de x a c t s o l u t i o n sa r e v i s u a l l yi l l u s t r a t e db ym e a n so fd i g i t a ls i m u l a t i o nd i a g r a m sa n dt a b l e s i ti s o b s e r v e dt h a tt h ea c c u r a c yo ft h en u m e r i c a ls o l u t i o n si n c r e a s e sw h i l e i n c r e a s i n gm a n d 幺 c o n s e q u e n t l y , l a r g e rma n d kc a ny i e l dm o r ea c c u r a t es o l u t i o n s a n dt h e ng i v e st h ed i g i t a ls i m u l a t i o nd i a g r a ma n dt a b l e sa r eg i v e nan u m e r i c a l s o l u t i o na n de x a c ts o l u t i o n so ft h ec o m p a r i s o n ，t h en u m e r i c a ls o l u t i o no b t a i n e dw i t ht h e i n c r e a s eo fma n dk ，a n db e c o m em o r ea c c u r a t e ，s ot og e tab e t t e rs o l u t i o n ，w ec a n o b t a i nal a r g ema n dkv a l u e s k e y w o r d s ：h a a rw a v e l e t s ，l e g e n d r ew a v e l e t s ，o p e r a t o rm a t r i x ，f r e d h o l me q u a t i o n ， v o l t e r r ae q u a t i o n i v 目录 目录 第一章绪论1 1 1 小波分析的产生与发展1 1 1 1 小波分析的来源1 1 1 2 小波分析的发展2 1 2 积分方程的研究现状4 1 3 本文的主要研究工作6 第二章小波的预备知识7 2 1 小波和小波变换。7 2 1 1 小波的定义。7 2 1 2 小波的变换。8 2 2 多分辨分析11 2 3 二维多尺度分析和小波基一1 4 第三章f r e h o l m 和v o l t e r r a 积分方程的h a a r 小波解一1 7 3 1h a a r 小波与算子矩阵1 7 3 1 1h a a r 小波及性质1 7 3 1 2h a a r 小波的积分算子矩阵1 9 3 1 3h a a r 小波的乘积算子矩阵2 0 3 2 用h a a r 小波求解f r e d h o l m 积分方程组2 l 3 3 用h a a r 小波求解v o l t e r r a 积分方程组2 5 第四章f r e h o l m 和v o i t e r r a 积分方程的l e g e n d r e 小波解2 9 4 1l e g e n d r e 小波与算子矩阵2 9 4 1 2l e g e n d r e 小波的积分算子矩阵3 l 4 1 3l e g e n d r e 小波的乘积算子矩阵3 3 4 2 用l e g e n d r e 小波求解f r e d h o l m 积分方程组3 5 4 3 用l e g e n d r e 小波求解v o l t e r r a 积分方程组3 8 第五章结论4 3 致谢4 4 v 目录 参考文献4 5 作者攻博硕期间取得的成果4 9 第一章绪论 1 1 小波分析的产生与发展 第一章绪论 小波分析是2 0 世纪7 0 年代发展起来的一门新的应用数学分支，它是在调和 分析、数值分析、泛函分析、逼近理论和傅立叶分析等数学理论基础上发展起来 的新的时频分析方法【i 】。小波分析既保留了傅立叶分析的优点，又弥补了傅立叶分 析的一些不足，从原则上讲，传统上使用傅立叶分析的地方，现在都可以用小波 分析取代，尤其对非平稳信号的处理，小波分析能更好地反映其频率特性，从而 获得更好的结果，其优于傅立叶变换的地方是，它在时域和频域同时具有良好的 局部化性质。由于对高频成分采用逐步精细的时域或空域取样步长，从而可以聚 焦到对象的任意细节，从这个意义上讲，它被人们誉为数学显微镜。小波分析自 产生以来取得了巨大的发展，它同时具有理论深刻和应用广泛的双重意义。众多 的科学家( m e y e r , m a l l a t ，d a u b e c h i e s 等) 在小波分析这一领域取得了令人瞩目的成 就。 1 1 1 小波分析的来源 小波分析来源于信号分析，在各种信号和图像数据的处理方面，特别是在频 谱分析和各种滤波方法中，傅里叶分析是传统的基本工具。对于信号f ( x ) ，它的 一个重要特征就是它的频率特性或谱，在数学上就是厂( 石) 的傅里叶变换f ( r o ) ： 厂( 缈) = i f ( x ) e 一觚出 再由傅里叶逆变换公式： f ( x ) 2 去e 夕( 矿。d 缈 可以知道由一个信号的谱可以完全重构这个信号。所谓频谱分析、滤波等信号处 理方法，简单说来就是对夕( 彩) 的分析、加工变换的种种技巧。很久以来，这方面 电子科技大学硕士学位论文 已经发展了一套内容非常多的、在许多实际问题中行之有效的方法。可是因为傅 里叶变换夕( 功) 是将函数( 功按照函数系 p 觚) 砌的展开，并且l 矿。l 。；。= 1 ，所以 夕( 功只能刻划f ( x ) 在整个时间域( o o ，佃) 上的频谱特征，而不能反映出信号在时 间的局部域上的频率特征。这是傅里叶分析的一个严重缺点。 为了克服这个缺点，可以研究信号在局部范围的频率特征，d g a b o r 在1 9 4 6 年引进了“窗口傅里叶变换的概念。他的想法是取定一个函数g ( x ) ，称为窗口 函数，它在有限区间外恒等于0 ( 即紧支集) ，或很快趋于0 。用g ( x r ) 乘以厂( x ) ， 相当于在f 附近开了一个“窗口 ，称为信号厂( 力关于窗口函数g ( x ) 的“窗口傅里 叶变换( w i n d o wf o u r i e rt r a n s f o r n l ) 或g a b o r 变换。由定义可知道g a b o r 变换的 确可以反映出信号厂( 石) 在任意局部范围的频谱特性。并且，由于有反演公式，这 里的窗口函数满足一定的标准化条件。这是它比傅里叶变换优越之处。但是g a b o r 变换窗口的形状与大小、频率无关，保持不变。这不符合实际问题中变换窗口大 小应随频率而变的要求。而且不论如何离散化均不可能使g a b o r 变换成为一组正 交基。所以只能说g a b o r 只是克服了部分的傅里叶分析的缺点。由于g a b o r 还是 存在一些缺点使得g a b o r 变换未能得到广泛应用与进一步发展。 小波变换完全克服了傅里叶分析的缺点，它继承和发展了g a b o r 变换的局部 化思想，同时又克服了窗口大小不随频率变化、缺乏离散正交基等各种缺点，是 比较理想的对信号进行局部分析的数学工具。例如地震法探矿的关键一步就是看 对收集来的信息是否有合适的信号分析方法。傅里叶分析在此不是一个好方法， 它仅能提供频率信息( 组成信号的正弦波) ，而并没有给出某个正弦波发生的时间。 用短时傅里叶分析效果会更好一些，然而由于用这一方法时间间隔不可调，所以 那些持续时间非常短的、频率很高的脉冲信号的发生时刻难以监测到。但是此时 用小波分析就好多了，小波可以跟踪时间和频率信息，它可以“近看 前面所提 到的短时脉冲，或者“远眺 以检测长时慢变波。 小波分析的发展 小波分析的概念由法国从事石油信号处理的工程师m o r l e t 在1 9 7 4 年首先提出 的，但当时未能得到数学家的认可。1 9 8 6 年法国著名数学家m e y e r 【2 】偶然构造出 2 第一章绪论 了一个真正的小波基，并与m a l l a t 合作建立了构造小波基的一般方法即多分辨分 析方法( m u l t i r e s o l u t i o n a n a l y s i s ，简称m r a ) 【3 1 。多分辨分析的基本思想是把信号 投影到一组互相正交的小波函数构成的子空间上，形成了信号在不同尺度上的展 开，从而提取了信号在不同频带的特征，同时保留了信号在各尺度上的时域特征。 若从逼近的角度来讲，如果把尺度理解为镜头，当尺度由大到小变化时，就相当 于将镜头由远及近接近目标，在大尺度空间中，对应远镜头下观察目标，只能观 察到目标的大体形状，而在小尺度空间里，对应近镜头下观察目标，可以观察到 目标的细致部分，即随着尺度由大到小的变化，在各尺度上可以由粗到精地观察 目标( 逼近函数) ，因此多尺度思想小波分析开始蓬勃发展起来。其间，m a l l a t 的小 波分解与重构算法为小波分析在工程中的应用提供了坚实的基础【4 1 ；其中比利时数 学家d a u b e c h i e s 撰写的l e c t u r e so nw a v e l e t s ) ) 对小波分析的普及起了重要的 推动作用【5 】。1 9 8 9 年，作为正交小波基的推广，c o i f m a n n ，m e y e r 和w i c k e r h a u s e r 等又引入了正交小波包的概念。1 9 9 0 年，崔锦泰和王建忠构造了基本样条函数的 所谓半正交小波函数，并讨论了具有良好局部性的多尺度分析的生成函数及相应 的小波函数。1 9 9 1 年，g o o g r n a n ，l e e 和t a n g 给出了多小波的概念，即尺度函数 和小波可由多个函数构成。1 9 9 2 年，c o h e n ，d a u b e c h i e s 和f e a u v e a u 给出了紧支 集双正交小波的构造方法，多小波和双正交小波克服了正交小波的一些缺点，可 使小波兼顾更多的实际应用中需要的性质。此后，崔锦泰、王建忠及m e y e r 进一 步充实了小波分析理论 6 1 。至此小波分析才真正形成为- - 1 7 学科。近十几年来，由 于算子理论和空间理论的许多有用的工具用于框架的研究。许多学者集中讨论了 框架小波的强离散性和框架集，给出了框架集的刻耐7 。1 2 1 。而为了适应各种应用的 需要，近年来又相应的提出了提升小波( s h i t d n gw a v e l e t s ) 、插值小波( i n t e r p o l a t i n g w a v l e t s ) 和多带小波( m u l t i - b a n d sw a v e l e t ) 等概念。目前，小波分析已经进入全面应 用阶段。它已经被广泛应用于图像处理、微分及积分方程数值解、矩阵稀疏化、 量子场论、天体识别、股市分析、信号处理、地震勘探、话音识别与合成、音乐、 雷达、机器识别、c t 成像、彩色复印、流体湍流、机械故障诊断和监控、分形以 及数字电视等科技领域【1 3 19 1 。 随着小波的发展，许多学者把小波应用到积分方程问题，由于在静电学、流 体力学、物理学、电磁场理论、电动力学、弹性力学、辐射学、地球物理勘探等 学科中，许多问题的解决可化为解对应的积分方程，常微分方程与偏微分方程的 定界问题也可以化为等价的积分方程，所以对积分方程的求解，在理论和应用上 都具有很重要的意义。因为实际中遇到的积分方程，大部分不能或难以求出它的 电子科技大学硕士学位论文 精确解析解，但在大多数情况下，可以求出它的近似解或者数值解。目前，由于 小波理论的广泛应用，人们注意到小波基是具有很多优良特性的基函数，比如它 有正交性，紧支撑性，消失距等性质，所以利用小波做为基去分解求解积分方程 可以得到很好的效果数值解。 1 2 积分方程的研究现状 由于电子计算机的出现，促进了计算数学的发展，在解决科学与工程方面的问 题中，有限元法及边界元法得到了广泛的应用。位势理论与积分方程作为上述两 种方法的数学基础，日益受到重视。 微分方程和积分方程，都是描述物理间问题的重要数学工具，积分方程的优 越性体现在对同一问题，当用微分方程描述时，由于在求近似解的过程中涉及数 值微分，所以往往引起较大的相对误差，而如果用积分方程来描述，因为数值积 分引起的相对误差较小，虽然计算量较大，但由于累计误差较小，因而往往容易 得到较理想的结果。随着现代物理问题复杂度的提高，积分方程变得越来越重要。 积分方程的解的存在性，稳定性，唯一性等理论方面，经过学者长期不懈的 努力，成果日渐丰富【2 0 抛】。但在实际应用当中，除了极为特殊的情形，积分方程 解的解析形式难以求出，因此必须求助于近似方法或数值方法田。2 4 。 本文将简要研究和讨论两类积分方程组的小波近似解的算法。积分方程的近 似解法大致可分为两类：一类是对解析解法做近似计算，例如逐次逼近法等：另 一类是化为便于进行数值计算的其他类型的问题，例如退化核近似代替、用数值 积分公式把积分化为代数方程组、把积分化为变分问题求数值解、待定系数法等。 近似方法历来被众多国内外学者密切关注，各种方法层出不穷，精度越来越高， 操作也越来越简单。 对于f r e d h o l m 积分方程，国内外众多学者对不同类型的积分方程用了不同的 方法来处理。s o l a n 首先采用迭代的方法解得了非光滑的第二类f r e d h o l m 积分方程 的数值解【2 5 1 。随后林群，石军等对非光滑的第二类f r e d h o l m 积分方程的配置解进 行了迭代校正【2 6 1 。童创明，袁乃昌等利用矩量法和l a n c z o s 加速技术对第二类 f r e d h o l m 积分方程进行快速求解【2 刀，解决了一般数值解法占用计算机内存过大的 缺陷。李功胜，张瑞等采用优化正则化策略获得了较好的第一类f r e d h o l m 积分方 程的数值解【2 引，选取适当的参数能够获得最优的渐近收敛率。对于v o l t e r r a 积分方 4 第一章绪论 程的数值求解，研究成果也不断涌现。如b r e n n e r h 给出了v o l t e r r a 积分方程的迭 代配置法 2 9 】。m a r c h u k g1 s h a i d u r o v v 采用n y s t r o m 方法得到了v o l t e r m 积分 方程的近似解【3 0 1 。丁皓江，王惠明等采用递推的方法求得了压电弹性力学中的第 二类v o l t e r r a 积分方程的数值解【3 l 】，并且对较大步长仍有足够的精度。周维楚等采 用积分算子解决了常系数弱奇异v o l t e r r a 积分一微分方程【3 2 1 ，并证明了对核函数是 光滑和不光滑的情形使用该方法均有相同的收敛率。数值解方法虽然非常精确， 但更多地依靠先进的计算机。与数值解相比，近似解允许在一定范围内存在误差， 因此近似解方法仍旧被许多学者采用，在近似方法当中，有泰勒展开解法，利用 泰勒展开式展开核，w a z w a z 和k h u l i 得到了近似解【3 3 】。利用t a y l o r 展开式在区间 某个固定点展开所求的未知函数。r e n 等得到了第二类f r e d h o l m 积分方程的近似 解 3 4 1 。m a l e k n e j a d 和a g h a z a d e h 利用t a y l o r 展开式解决了一类特殊的v o l t e r r a 积分 方程【3 5 】。处理f r e d h o l m 积分方程组和v o l t e r r a 积分方程组的传统数值解法有迭j 代法，插值法，g a l e r k i n 函数法，配置法，正交多项式法，积分法，样条函数法， 网格法等等【3 6 - 4 2 。传统的近似解法有迭代法，级数展开法，谱方法等等。近来出 现了一些新的解法，如：利用a d o m i a n 分解方法，第二类f r e d h o l m 积分方程组和 v o l t e r r a 积分方程组可以通过迭代的方法来处理【4 3 删。 然而长期以来，人们一直在寻找具有各种优点的特殊函数来分解任意函数，从 而用来分解积分方程里面的函数，而目前兴起的小波级数正是这样的一种正交展 开。这为求解积分方程翻开了新的一页。h s i a o 利用h a a r 函数向量的积分，建立 了h a a r 算子矩阵，并构想出了h a a r 乘积矩阵【4 孓4 6 】。k m a l e k n e j a d 及e m i r z a e e 运 用h a a r 小波求解了积分方程，得到了较好的效梨4 7 - 4 8 ；m r a z z a g h i 和s y o u s e f i 建立了l g e n d r e 小波的乘积矩阵【4 9 】。采用小波矩阵变换法，霍春雷，冯象初等给 出了第二类f r e d h o l m 积分方程的快速算法咖】以及自适应小波包方法和多小波方法 【5 1 1 ，并且提高了计算速度。y m a h m o u d i 利用l g e n d r e 小波对非线性积分方程进行 了求解【5 2 】；s y o u s e f i 运用l g e n d r e 小波求解了a b e l s 方程【5 3 】；s y o u s e f i 和 a b a n i f a t c m i 运用c a s 小波求解了f r e d h o l m 方程【矧；k m a l e k n e j a d 还利用l g e n d r e 小波求解了非线性边界积分方程【5 习；k m a l e k n e j a d 和h d e r i l i 将d a u b e c h i e s 小波 运用于h a m m e r s t e i u 方程的求解中吲；k m a l e k n e j a d ，m y o u s e f i 利用h e r m i c ec u b i c s p l i n e s 小波求解了第二类积分方程网；k m a l e k n e j a d 和m k a r a m i 还运用 m u l t i w a v e l e t s 对非线性f r e d h o l m 方程进行了求解 5 s 】等等。 5 电子科技大学硕士学位论文 1 3 本文的主要研究工作 由于不同的小波基具有各自特殊的性质，解决实际问题的效果也有差异，没 有哪个小波基是万能的，能适合任何问题。所以本文将研究使用两种小波基来解 f r e d h o l m 积分方程组和v o l t e r r a 积分方程组，而且将两种小波的解的结果进行了比 较。本文的工作及结构安排如下： 第一章为绪论，介绍了选题的背景和意义，小波分析的产生和发展，积分方 程的研究现状，以及文章的组织结构。 第二章为小波的一些理论知识，介绍了小波定义的发展变化。然后介绍了常 见的三种小波变换：连续小波变换，离散小波变换和二进制小波变换。还介绍了 小波的多分辨分析和二维的多尺度分析以及它的基的构成。 第三章讲述了h a a r 小波的定义和一些基本性质，介绍了h a a r 小波构造出h a a r 小波的积分算子矩阵和乘积算子矩阵，并给出了h a m 小波求解f r e d h o l m 方程组和 v o l t r r a 方程组的算法，先用h a a r 小波分解了f r e d h o l m 方程组和v o l t r r a 方程组， 再用算子矩阵将它们变换成代数方程，然后用配置法解出这两种方程组的数值解。 第四章讲述了l e n g d r e 小波的定义和一些基本性质，介绍了l e n g d r e 小波构 造出l e n g d r e 小波的积分算子矩阵和乘积算子矩阵，然后用l e n g d r e 小波分解了 f r e d h o l m 方程组和v o l t r r a 方程组，再用算子矩阵将它们变换成代数的方程，然后 用配置法解出这两种方程组的数值解。最后比较了随着同样的阶数m 增加l e n g d r e 小波数值解和h a a r 小波数值解收敛的速度。 第五章为结论，对本文的研究工作进行了总结。 6 第二章小波的预备知识 2 1 小波和小波变换 第二章小波的预备知识 本节先介绍了小波定义发展的历史，接着介绍了小波变换的三种不同的表现 形式：连续小波变换，离散小波变换和二进制小波变换【5 9 1 。 2 1 1 小波的定义 什么是小波? 顾名思义，“小波”就是小的波形，它具有很快的衰减性和振幅快 速衰减，只有局部是非零的；小波的振幅呈正负相同的震荡形式。与此相反的是“大 的波形”，例如正弦函数，它的图形在( - - o o ，佃) 上震荡大小不变的波。 从小波分析的发展史来看，小波定义的发展有过许多变化【5 9 】： g r o s s m a n n 与m o r l e t 给出y 4 , 波的第一定义：r ( r ) 上的函数少( x ) 是一个小波， 如果它的f o u r i e r 变换汐( 彩) 小波几乎处处满足条件： p ( 新_ d t = 1 小波的第二定义是由l i t t l e w o o d p a l e y - s t e i n 的理论修改而成：口( 尺) 上的函数 y ( 功是一个小波，如果它的f o u r i e r 变换汐( 彩) 小波几乎处处满足条件： + a ol 汐( 2 一，缈) 1 2 = 1 第三种定义由f r a n k l i n 和s t r o m b e r g 给出，一个小波是口( 尺) 上的函数y ( x ) ， 如果 2 f f ：- 少( 2 7 石一后) ；_ ，k z ) 是l 2 ( r ) 的一个正交基。这样的小波一定满足第二定义 的条件。 由小波的三个定义可以看出，逐次添加了更多的条件，因此变窄了“小波 7 电子科技大学硕士学位论文 的范围。m e y e r 于1 9 8 6 年创造性地构造了具有一定衰减性的光滑函数y ( x ) ，它的 二进伸缩与平移函数系 ， 蚧i ：= 2 2 y ( 2 7 x 一七) ；j f ，k z ) 构成了口似) 的规范正交基，才使小波得到真正的发展，统一了在此之前的许多 小波构造方法。 通常考虑的实小波函数y ( 力，其定义域为( 棚，佃) 且满足下面两条性质删： ( 1 ) ( x ) 的积分为零： iy ( 批= 0 ； ，m ( 2 ) y 2 ( x ) 的积分为1 ： e y 2 0 ) d x = 1 ( 2 - 1 ) 对于正弦函数，( 2 1 ) f l 勺移q 分是无穷大，因此，正弦函数是不能被标准化a 2 1 2 小波变换 2 1 2 1 连续小圾变殃 如果函数y ( 功厶似) 满足容许性条件： q = c 咩虮佃 弘2 ， 而且满足规范化条件桫i l = l ，则称y 为基本小波。对沙作伸缩口，平移口可得到一 族函数： 曲铷ii 叫2 少( 等) ， 如果厂( 石) 口( r ) ，则厂( x ) 的连续小波变换定义为： w f ( 口，6 ) = ( 厂，虬j ) = l 口i 一佗e 厂( 工) y ( 孚)