（计算数学专业论文）矩阵广义逆偏序与矩阵多项式函数方程解.pdf

中文摘要 本文主要研究了如下几类问题； 矩阵的偏序是当前矩阵论研究的一个热点，国内外许多学者从事矩降偏序的研 究，他们研究各种类型的矩阵偏序，并应用到数理统计等学科中矩阵分解在矩阵 理论中有着极其重要的作用本文的主要工具是矩阵的奇异值( s v d ) 分解本文从 矩阵的偏序定义出发，提出了在集合意义下的新的矩阵广义逆偏序的定义as 1 ) b 甘a a l = b a 1 ，a ( 1 ) a = a 1 ) 日以及a 1 ，2 b 争a a 1 ，2 = b a ( 1 ，2 ) ，a 1 ，2 a a l ，2 ) b 并分别讨论了四种情况下，矩阵a ，b 的形式 最后得到了相应的广义逆偏序的充要条件 同时本文还研究了在，( 。) 为一般多项式函数时解的情况给出了矩阵函数方 程可解的定义，利用矩阵函数的定义和性质以及矩阵的j o r d a n 标准形理论，分别讨 论了矩阵多项式函数方程，( x ) 一a 在实数域和复数域上有解的充要条件，以及求 解的方法步骤。此外还给出可以用a 的多项式来表示方程的解的充要条件 关键 司：广义逆；偏序；矩阵函数；方程； j o r d a n 标准形 a b s t r a c t t h i st h e s i sm a i n l ys t u d i e st i l ef 0 1 l o w i n gp m b l e m s ： p a n i a lo r d e r i n go f m a t “c e si so eo f t h em o s td i s c u s s e dp o i n t so nt h em a t xt h e o r y m a n ys p e c i a l i s t sh a v eb e e ne n g a g e di ns t u d y i n gt h ep a n i a lo r d e r i n go fm a t r i c e ss u c ha s v a r i e dk i n d so f p a r t i a lo r d e r i n ga n di t sa p p l i c a t i o n st om a i h e m a t i c a ls t a t i s t i c s s v di so n e o f t h em o s ti m p o r t a i l ta n dw j d e i yt o o l si nm a t r i xa i l a l y s i s b yt h ed e 6 n i t i o no fp a n i a i o r d e r i n go fm a t r i c e s ，s o m en e wd e n n j t i o n so fp a r t i a lo r d e r i n gh a v eb e e np u tf o n v a r d ， s u c ha sa s 1 b 铮a a 1 ) = 曰a t l ) ，a 1 ) a = a ( 1 ) b a n da 1 ，2 曰备 a a 1 ，2 ) = b a 1 ，2 ，a l ，2 ) a = a 1 ，2 ) b i t i sd i s c u s s e d f o u rs i t i i a t i o n s i n d e t a i l ， a n ds u 墒c i e n t8 n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n so f t b en e wp a n i a lo r d e r i n gh a v eb e e nd e r i v e d m e a n w h i i ei nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w er e d e 右n et h es o i v a b t yo f t h ee q u a t i o no f m a t r i x p o l y n o m i a l 如n c t i o n ，w h e nt h e 如n c t i o n ，( x ) i sag e n e r a lp o l y n o m i a lf h n c t i o n u s i gt h e d e 6 n i t i o na n dp r o p c i t yo fm a t r i xf u n c t i o na sw e 儿a sj o r d a nc a n o n i c a lf o m ，w ed j s c u s s n e c e s s a r ya n ds u 币c i e n tc o n d j t i o n so f m a t r i xp o l y n o m i a lf u n c t i o n ，( x ) = ao v e r t h e6 e i d o fra n de r e s p e c t i v c l y ia n dg i v eap m c e d u r et os o l v ei t w ea l s og i v cn e c e s s a r ya n d s u f 6 c i e n tc o n d i t i o n st h a ta n ys o i u t j o nc a nb e e x p i i c i t l ye x p r e s s e d b ym a t r i xp o l y n o m i a lo f a k e yw o r d s ： g e n e r a l i z e d i n v e r s e ； p a n i a lo r d e 血g ； m a t r i xf u n c t i o n ； e q u a t i o n ： j o r d a nc a n o n i c a lf 0 n 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是在我导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成 果据我所知，除文中已经引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写 的研究成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在本文中作了明确的 说明并表示谢意 作者签名：童固是日期：塑i ：! ： 学位论文使用授权声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学 位论文并向国家主管部或指定机构送交论文的电子版和纸质版有权将学位论文 用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅，有权将学位论文的 内容编入有关数据库进行检索有权将学位论文的标题和摘要出版保密的学位论 文在解密后适用本规定 学位论文作者签名：耋塑叁 导师签名：亳鉴查兰 日 期：蛰堕：墨：盘日 期：二兰翌：鱼： 第一章绪论 本章给出了本文中经常用到的符号与记号、介绍了本文的基本内容以及与此相 关的基础知识 1 1符号表 复数域 实数域 域 c e ”。 阶矩阵的全体 r 上，n n 阶矩阵的全体 c ”“中所有秩为r 的矩阵的全体 r “中所有秩为r 的矩阵的全体 矩阵a 的转置 矩阵a 的共轭 矩阵a 的h b r i n i c e 转置 矩阵a 的逆矩阵 矩阵a 的广义逆矩阵 单位矩阵 n 阶单位矩阵 矩阵a 的秩 矩阵a 的行列式 矩阵a 的迹 矩阵a 的所有特征值的全体 矩阵a 的 1 ) 逆的全体，( 即为集合 x i a x a 矩阵a 的( 1 ) 逆 矩阵a 的 l ；2 ) 逆的全体( 即为集台 x i a x 一 矩阵a 的 1 ，2 ) 逆 a ，) a ，x a y = x 1 ) ， 4 ， 【 ， 卜 2 c r f秒妒甲妒万矿，厶删删州川川小删 堡塞堕堇查堂堕迨窒丝堕兰壅堡堕塾堑堕塞堡苎鱼竺壅堡竺堡 = = = = = i = = = = = = = = = = = = = = = ；= = = = 2 2 2 0 0 5 2 2 2 一一 1 2本文研究的问题及主要工作 在本节，我们先简单的介绍一下本文的基本内容 集合的偏序是指在集合上定义的一种关系，记为” ”，它满足如下的三条性 质： ( 1 ) 自反性：对一切z s ，总有。 甄 ( 2 ) 传递性：若卫，鲈，z s ，且z _ 剪，可 z ，则有z z ； ( 3 ) 若。，副s 且z 掣，掣 z ，贝0 茁= 掣 下面介绍有关矩阵偏序的概念和以后要引用的结果 定义i 1 设a ，b c “，分别定义为 + 序： a 乏口 = a a ：j 4 + 日，a a + = b a ；( 11 ) 左+ 序 右+ 序 减序 a + b 亭4 + a = a 4 b ，r ( 以) r ( b ) ； ( 1 2 ) a + b 亭4 4 + = b a + ，r ( a + ) r ( b + ) ； ( 13 ) b 特a a = ab ，a a 5 = b a = ，以一，a 2 a l ；( 1 4 ) 预偏序： a b = r ( a ) 只( 口) ，r ( a + ) r ( b ) ；( 15 ) h a n w i g 证明了( 1 4 ) 中的两个正则逆可以用同一个正则逆取代，并称之为p l u s 序 矩阵的减序是由h a r t w i g 和s i y a n 首次命名的，h a r t w 培更进一步证明了如下的等 价刻画： a b 甘r ( b a ) = r ( b ) 一r ( 4 ) ：( 1 6 ) 利用m a r s a g l i a ，s t y a n ，c l i n e 和f u n d e r l i c 的结果，( 1 5 ) 可写成如下的形式 a b 争b b a = a 口2 b = 4 8 5 a = a( 17 1 其中b 一，b 5 ，b 5 b 1 ) 2 堡壅! 雯蕉盔堂堡圭丝塞堡堕兰冀堡堕塾堑堕童堡苎鱼丝壅堡墼堡 同时对于矩阵的预偏序，( 1 5 ) 可以写成 a b 口b a = a = - 4 b = 日( 18 ) 其中8 一，丑2 口 1 ) ， 从而有； a b 铮a 1 ，岛= ( 8 讲+ 岛，2 ) 亡一 s 。，2 a ：r ，存在口。c r 满足，) = k ，) ( 口。) = o ， = 1 ，( 8 u + s f ，2 1 ) ， ，( “- “z ) ( d 。) 0 ， 6 a 的初等园子有： 魂，1 个( a a ) ，品。2 个( 一凡) 。1 ，5 个( 一砀，s 啦 个( a a 。) 。1 ，t l ，“= ( s k l + s 。，2 ) t s 。，2 ，a 。c 豫，存在以c 腿满足 ，( 盯。) = 九，( 。( 口。) = o ，i = 1 ，( 8 m + s ：，2 1 ) ，( 扎l + 虬2 ) ( 口。) o ， 定理35 已知a c ”，满足 1 次实系数多项式函数，( x ) 一a 有解的条件 记4 的最小多项式”z 一( a ) = 兀( a 一) m 关于a ；的初等因子为 ( a a ；) “，( a 一九) ”，( a a 。) 娃( t ) ，岛= 1 2 i ( 】1 ( 1 ) 求，( ) 一a 。有解( d 。- ，。) ( 2 ) 令如一m i i l 妙i ，( 如) o ，= l ，? l 一1 ) ，记k = 以t ，吼。 ( 3 ) 对z 一，呶t ) 进行分组为m m m ，m “( ，) 其中m ；j = k ，一 l ，。一1j 记。灯的个数为r n ( ) ，“一1 的个数为 。f 一1 ) 并满足如下条件： 当a ：豫时： ( 1 ) j 文j r ，( 如) = a 。，r ，l ( “) = i ，n ( “u 一1 ) = 0 ，。= 1 ( 2 ) j 文3 c 瓞，( 文，) = a 。，m ( o 日) = 2 ，m ( o 日一1 ) = o ，“一1 ( 3 ) j 6 ：j 豫，( 如) = a 。，? n ( o “) + m ( n 一1 ) 一m m 纠，( 如o ( 4 ) j 再蚶c 碾，厂( 西) = ，7 n ( ( o ”) + m ( q 一1 ) ) 2 = m i 礼 七l ，( 最，o ) 当a 。c r 时： ( 1 ) | 玩，c r ，( b ) = ，m ( n 蝴) = l ，m ( o 妇一1 ) = o ：哦，一1 ( 2 ) j 也，c r ，( 如) = a t ，m ( o “) + ? n ( o 。一1 ) = m i n i ，( 1 ( 6 “o ) 由上述定理，给出了多项式函数在复数域上有解的定义； 定义3 4 ，( 。) 为实数域上 1 次多项式函数，对于a r 一”，记a 的最小多项式 m a ( a ) = 兀( a 一 ；) “，关于 ；的初等因子为 ( 一a ：) ”，( 一九) ”，( a 一九) - ，) ，其中q = 2 l i 。】1 若对a 的每一个特征根a ；，总满足： 6 兰奎! 重壅查兰堕主堕塞堑堕兰望堡矍塾堡堕童堡苎重塑童堡墼墅 1 方程，( z ) = a ，的解为 1 ，a 。) 2 并且令丑，j m i n j ，( 也，j ) o ，t = l ，一，n ) ，k = 文，1 ，- - ，也m ) 3 对 1 ， ( 。) 进行分组为”i l ，m 2 ，m k ，其中m ；= 阻，f z ，n ；，啦一1 ，n l 一 1 ，o 。一1 】。记啦的个数为”l ( 。) ，啦一1 的个数为m ( o 一1 ) 并满足；当九r 时有 1 7 n ( n 。) = 1 ， l ( n 。一1 ) = o ，n 。= 1 ，王 玎r ，( a 巧) = ： 2 j a i r ，( a i ) = a 。，d u = ”z ( o 。) + m ( 。一1 ) 3 m ( n ；) = 2 ，m ( n ；1 ) = o ，n 。一1 ， 4 m ( 啦) ，m ( n 。一1 ) 为偶数，j k c r ，( b ) = 凡，= 胁( o ；) + m ( n 。一1 ) 】2 当a 。c r 时 1 l ( n 1 ) = 1 ，竹l ( d 。一1 ) = 0 ，t = 1 ， 2 j a _ ，( 九，) = ；，= m ( 啦) 十m ( 啦一1 ) 满足上面这种条件的一个分组，称为，关于a 的一个合理分组称，( z ) 在实数域 上关于a 是可解的 定理3 6 对于矩阵a 础”2 ，( z ) 为m 实系数多项式函数，则矩阵方程，( x ) = 4 在实数域上有解的充要条件为，( 。) 在实数域上关于a 是可解的 定理3 7 已知矩阵方程( 2 ) 有解，则( 2 ) 中有一个解可以用a 的多项式来 表示的充要条件为对a 的任意特征值a ；，当岛 1 时总存在盈， 一l ，s ，使 最后以一个具体的数值例子清晰的展示了求解的过程 7 第二章有关矩阵广义逆偏序的进一步讨论 2 1 引言 在矩阵论中研究最早的是l o r d e r 序，它是由德国数学家l o r d e r 在1 9 3 4 年提出 的之后有许多数学家研究了这种偏序的性质和刻画，并在统计中得到了广泛的应 用1 9 7 6 1 9 7 8 年间，d r a z i n 研究半群中幂等元素的自然偏序，在半群，结合环 中引进了+ 序的定义，利用元素的m o o r e _ p e r o s e 逆考察了正则半群的偏序 1 9 8 6 年，他与s t y a n 在讨论复矩阵的偏序时发现，这样的刻画还可利用( i ) 逆来给出，称 之为减序并利用矩阵的奇异值分解给出了矩阵+ 序和减序的捌画【，讨论了两种 偏序之间的关系 本章定义了矩阵在集合意义下的新的矩阵广义逆偏序并利用矩阵的奇异值分 解给出了这种新的定义的精细的等价刻画 定义2 1 设a ，b c ”“，满足 a a 1 ) = b a 1 ) ，a l a = a 1 ) b 则称为 1 ) 序，记作as 1 b 定义2 2 设a ，日c ”“，满足 a a t l ，2 2 廿a tj ，z j ，a t l ，2 ，a2a t l ，2 b 则称为 1 ，2 ) 序，记作a 啦) b 设a c ”“”，a 的s v d 为 a 叫吾：) y + ， 其中u ，v 是酉矩阵，是对角正定阵由 2 】易知 a ( 1 ) = y ( 芝：妻：) u + ， 则v a 1 a 1 ，其中x 玎是指定大小的任意矩阵由【2 】易知 卸( ) 旷 则v a a 1 ，2 ) ，其中置，是指定大小的任意矩阵 ( 21 ) ( 2 2 ) ( 23 ) 2 2主要结果 定理2 1 设a 为复数域上的”l n 矩阵，a 的s v d 为形如( 1 ) 式则满足 a a 1 ) b a 1 ) 和a 1 ) a a 1 ) b 的丑有如下形式 b = u ( ：) y + ， c za ， 丑2 1 日2 2 ， 、7 b 。满足 l 丑l l = + b 1 2 8 2 2 日2 l 丑1 2 = 一e b l 2 玩2 ( 2 5 ) ib 2 1 = 一b 2 2 8 2 1 其中b - 。，b ，2 是指定大小的任意复矩阵 证明若b 满足a a 1 ) b a 1 ) 和a 1 ) a 且 1 b ，则对于任意x a 1 ) ，存在y a 1 ) ，z a 1 ) 使得 a x = b y ，x a = z b ( 2 6 ) 妊y ( 髦) u + 仁r ， 尥lx 2 2 、7 y = y ( 芝) u 江s ， 酩lk 2 ， z = y ( ：2 ) u + 。， 磊l z 2 2 ， 、7 a x = u ( ：一u ( 筹：麓芝麓= ：2 芝) 一日yo o ，b 2 1 芑_ 工十至毛2 k lb 2 jy ；2 + b 2 2 k 27 刖州( x ：抄2 ( 勰二竺裟二麓) 一z bx 2 1 o z 2 1 b l l + z 2 2 8 2 1z 2 1 b j 2 + z 2 2 马2 i 曰l l = 一b 1 2 k l j 日2 i = 一日2 2 k 1 1 曰1 2 ( 酩2 一k l m 2 ) 一( x 1 2 一x 2 ) ( 2 1 0 ) ib 2 ( k 2 一k ，。、：0 9 兰查堡垫奎堂堡圭堡苎丝堕兰壅堡堕塾堑堕童堡塞亟墼壅堡塑堡 ib l l 一一z 1 2 8 2 l b 1 2 一z 1 2 8 2 2f 2 1 1 ) l ( 磊2 一z 2 l z 1 2 ) b 2 l = ( 为1 一z 2 1 ) 、 【( 玩2 一z 2 l z 1 2 ) b 2 2 ：o 由( 2 1 0 ) ( 2 1 1 ) 可得( 恐l z 2 1 ) e = ( 易2 一磊1 e z l 2 ) b 2 l = ( 邑2 一z 2 1 z 1 2 ) ( 一b 2 2 k 1 注意到( z 2 2 一易l z 1 2 ) 曰2 2 = o ，所以( 蜀1 一z 2 1 ) e = o ，即z 2 1 = x 2 1 同理可得 m 2 = x 1 2 由于z 1 2 ，m l 是大小固定的任意矩阵，可取z 1 2 一b 1 2 ，k 1 = b 2 1 对 于任意的y a 1 ) ，z a 1 ) 取毛l = x 2 1 ，k 2 一x 1 2 ，k 2 一百2 1 x 1 2 ，z 2 2 = x 2 l 亩1 2 ，则对于任意的b 2 2 ，当日1 1 = e + 豆1 2 丑2 2 龟l ，b 1 2 = 一e 百1 2 8 2 2 ，b 2 l ： 一日2 2 8 2 1 ，时( 2 6 ) 成立 口 定理2 2 设a 为复数域上的m n 矩阵，a 的s v d 为形如( 2 1 ) 式则当 且仅当a = b 时，有b a 1 ) a a 1 ) 且a 1 ) _ b a 1 ) a 证明 充分性 如果b a ( 1 ) a a 1 ) 且a 1 ) b 要a 1 ) a 则对于任意x a 1 ) ，存在y a 1 ) ，z a 1 ) 使得 _ 日x a y x b = z a ( 2 1 2 1 x = v ( i 1 ：) 矿 则x a 1 ) 存在y a 1 ) ，z a 1 ) 形如( 2 8 ) 和( 2 9 ) ( 2 1 2 ) 式等价于 b x = u ( 三：茎：) 【，+ = u ( ：芋2 ) 【，+ = a y y ( p “f 一y ( z 抄一 即有b l l 一，b 2 j = o ，m 2 = o 以及b l l 一，b 1 2 = o ，易l = 0 于是有b l l ： ，b 1 2 = o ，_ 日2 l = 0 ，即 b = u ( 吾三。) y + 皿 再取 k y ( i 1 羔。) u + 华东师范大学硕士论文矩阵广义逆偏序和矩阵多项式函数方程的解 其中x 2 2 为满秩矩阵，则x a 1 ，存在y a 1 ) ，z a 1 ，形如( 2 8 ) 和( 2 9 ) ( 2 1 2 ) 式等价于 b x = u ( ：b ：。) 一u ( ：2 ) 一a y o 口2 2 x 2 2 ，oo ， 邪= y ( ：噩：。) 一y ( z ：) 一z a 即有日2 2 x 2 2 = o ，置2 岛? = 0 因为2 是满秩矩阵，所以b 2 2 一o ，即日= a 必要性 当a = b 时，取y = x ，z = x 则显然有b x = a y ，x b = z a 口 定理23 设a 为复数域上的m n 矩阵，a 的s v d 为形如( 2 1 ) 式则满足 a a l ，2 ) b a 1 ，2 ) 和a l ，2 ) a a 1 ，2 ) b 的b 有形如( 2 ，4 ) 式：其中b 日满 足； ib 1 l e 十b 1 2 日2 2 日2 1 _ 日1 2 = 一b 1 2 8 2 2( 2 1 5 ) ib 2 1 一一b 2 2 8 2 l 证明若丑满足a a l ，2 ) 日a 1 ，2 ) 且a 1 ，2 ) a a 1 ，2 b ，则对于任 意x a f l ，2 ) ，存在y a 1 ，2 ) ，z a 1 ，2 ) 使得 其中x ，y ，z 有如下形式 a x b y x a = z b x ：y 1 蜀1 墨2 1u + x 2 l x 1 2 ， 卜y ( k 。) u + z = y ( 乏旎急。) u + 则( 2 1 6 ) 等价于 a x = u ( ：吾“) u + = u ( 笔：茎：兰芝：竺：茎：菱：茎：要：) u + = b y岛l 叫+ b 2 2 k lb 2 l m 2 + b 2 2 k 】一1 x 2 f 2 1 6 ) ( 2 1 7 】 ( 2 1 8 ) f 2 1 9 ) x a ：、厂f jo 1y t x 2 l o ， ： e 。口l l + z 1 2 丑2 le _ 1 8 1 2 十z 1 2 8 2 2 1y + ：z b z 2 1 8 1 1 十z 2 】一1 2 1 2 8 2 1z 2 l b l 2 + z 2 l e - 1 2 1 2 8 2 2 即 ib l l = 一日1 2 m l b 2 l = 一日2 2 k 1 e ( 2 2 0 ) 【e ( x 1 2 一m 2 ) = o ib l l e ez 1 2 8 2 1 b 1 2 = 一z 1 2 8 2 2 ( 2 2 1 ) i ( x 2 1 z 2 1 ) e = o 由( 22 0 ) ( 2 ，2 1 ) ，又为非奇异矩阵，知y ，z 分别为邑l = x 2 l ，m 2 = x 1 2 由于 x 1 2 ，x 2 l 是大小固定的任意矩阵。另而2 = b | 2 ) k l = b 2 1 对于y a 1 ，2 ) ，z a l ，2 ) ，存在m 2 = x 1 2 ，m 】= 反1 ，z 2 1 = x 2 1 ，z 1 2 = 亩1 2 ，则对于任意的b 2 2 当 嚣1 1 = + 豆1 2 8 2 2 豆b 1 2 = 一e 豆1 2 8 2 2 ，b 2 1 = 一口2 2 豆2 1 e 时， ( 2 1 6 ) 式成 立 口 定理2 4 设a 为复数域上的m ，l 矩阵，a 的s v d 为形如( 1 1 ) 式则当且 仅当a = b 时，有b a l ，2 ) a a f l ，2 ) 且a l ，2 ) b a l ，2 a 证明充分性如果b a l ，2 ) a a 1 ，2 ) 且a 1 ) b 量a 1 ) a 则对于任 意x a 1 ) ，存在y a 1 ，2 ) ，z a 1 ，2 ) 使得 b x = a l ，x _ b = z a ( 2 2 2 ) 令廿的彤式彤娟( 2 ，4 ) 式，职义彤如( 2 ，1 3 ) 式则a t l ，2 ，存在y a 1 ) 2 ，z a 1 ，2 ) 形如( 2 - 1 8 ) 和( 2 - 1 9 ) ( 2 2 2 ) 式等价于 b x = = c ，( ：茎：) u 一u ( ： 2 ) u + = a yb 2 l e “o7 o o x - b = y ( 一”一”) y 4 = y ( z e ：) y = z a 即有b 1 1 = ，口2 l ：0 ，m 2 ：= o 以及b l l = ，b 1 2 = 0 ，磊l = o 于是有b l l = ，b 1 2 2o ，马l o ，即 b = u ( 吾三。) 矿 仁。， 堡壅! 雯壅奎兰堡圭篁塞望堕兰耋堡堕塾丝堕垒堡塞重丝壅堡塑墅 再取x 形如( 21 7 ) 式则x a ( 1 ，2 存在y a ( 1 ，2 ) ，z a l ，2 ) 形如( 2 1 8 ) 和( 2 1 9 ) ，( 2 2 2 ) 式等价于 嚣x = u ( 岛二。甄嚣) 一u ( ：孑2 ) 一a yb 2 2 x 2 l 露2 2 x 2 l x 1 2 ，o o ， x b = y ( x ：托盖裳肚y ( z 抄+ 一x 2 1 托l x 1 2 日2 2 z 2 l o ， 即有l b 2 x 2 l = o ，x 1 2 日2 2 一o 因为x 2 l 和x 1 2 是任意的矩阵，所以启2 2 = 0 即 必要性当a = 日时，取y x ，z x 则显然有日x = a y ，x 日= z a 2 3结论 定义2 3 设a ，b c “，满足 a a 一= b a 一，a a 2 = 日j 4 2 ，a 一，a 2 a 1 ) 则称为a ，日的减序，记作as 日 矩阵的减序是由h a n w i g 和s t y a n 首次命名的，h a r t w i g 更进一步证明了如 下的等价刻画； a b 营r ( 露a ) = ，( 嚣) 一r ( a )( 2 2 4 ) m “r a 证明了如下的结论 a s b 铮b 1 ) a 1 ( 22 5 ) 本文从定义( 2 1 ) 定义( 2 2 ) 出发，论证了，满足定义( 2 ，1 ) 中的a ，b 必相等 满足定义( 2 2 ) 中的a ，丑也相等 3 第三章矩阵多项式函数方程的解 3 1引言及符号 在本章中我们引进如下记号 厶( a ) 磐 表示a 的m 阶若当标准形 t ，( 玩，s h 一，昂一- ) = 其中，岛，s ，l 。” c ( n ，6 ) 些f “， 、一6 a ( n ，6 ) 厶 i o g ( n ，厶) 厶( a ( 。：o ) ) 磐i j o o i u o 0 腿2 。2 oo oo1 1 舻n n m e ( 。，b )，2i o g ( 。，b ) 0 0 0 0 o 0 0 l l 0 a 0 0 l 、 0 0 0 0 0 0 0 、， 耻s 岛 6 篁壅! 里苎查墅主篁塞堑堕竺兰耋堡堕塑堡堕童堡塞鱼墼壅堡墼堡 定义3 ，l 设n 阶复矩阵a = p 一1 d 。n 9 ( 以。( a 1 ) ，( a 2 ) ，氐( a k ) ) p ，其中p 为可逆矩阵，若复值函数f ( x ) 在丸处有也一1 阶导数( i = 1 ，2 ， ) ，则矩阵函 数，( a ) 定义为 朋m “妻。w w m 卜，锷，p 定义3 2 设，( z ) 为复数域c 上的函数，a 为复数域上n 阶方阵，如果存在” 阶方阵b 满足 ，( 且) 一a ( 3 1 ) 则称b 为矩阵函数方程的一个解( 根) 作为矩阵函数的反问题，文 1 8 】给出了矩阵函数方程3 1 的解存在的一个充分 条件，并在，( z ) 为某些特殊函数( 如e 2 ，扩等) 时，给出矩阵方程 = a x k a 等解的存在性的充要条件文【2 3 在，( z ) 为多项式时给出了矩阵方程3 ，1 的解存 在的充要条件文【2 0 在引用源根表达多项式矩阵根基础上，介绍了多项式矩阵 ，( o ) = 0 的根的性质和多项式矩阵根的简便求法，文【2l 】在引用源根研究复数域上 多项式矩阵根的性质及求解方法的基础上，引用j a c o b s o n 型源根、f r o b e n i u s 型源 根，进一步研究了实数域r 、有理数域q 上多项式矩阵根的性质，并给出了实数域 r 、有理数域q 上多项式矩阵根的求解方法。 本章在，( z ) 为一般多项式函数时，利用矩阵函数的定义和性质以及矩阵的j o r d a n 标准形理论，分别讨论了矩阵多项式函数方程3 1 在实数域和复数域上有解的 充要条件，以及求解的方法步骤。此外还给出可以用a 的多项式来表示方程的解的 充要条件 5 3 2引理 引理3 1 5 】每个n 阶的复矩阵a 都与一个若当标准形矩阵l ，相似 ，= 出口9 ( 以，( a ) ，- ，厶。( k ) ) 这个若当标准形矩阵除去其中若当块的排列次序外是被矩阵a 唯一决定的，它称为 a 的若当标准形 1 5 华东师范大学硕士论文矩阵广义逆偏序和矩阵多项式函数方程的解 引理3 2 5 j 每个，z 阶的实矩阵a 都与一个若当标准形矩阵j 相似 j = 珑9 ( 以，( a 1 ) 一战。g ( 以。d 1 ) 以。( a 。) ，以，( g ( n ，6 - ) ) ，一， 。( e ( 吼，“) ) ) 以。( a 。) ，五扣1 + 6 l i ) ，五。( n l 一矗iz ) ，一，五。( 吼一也订) 其中，九r ，啦碾，6 。瓞，6 。 o 对任意的 成立这个若当标准形矩阵除去其 中若当块的排列次序外是被矩阵a 唯一决定的，它称为4 的若当标准形 根据矩阵函数的定义，我们有 引理3 3 1 8 对于任意的解析函数，( ) ，若 a = d 2 n g ( a l ，- ，a 。) 璺a l o a 2 0 o a 。， 则有 1 ，( 4 ) = = 厂( a ) o ，( a z j o o ，( a ，) ， 2 - 若“鼠) = a t ，i 一1 ，s 成立，则有口= b 1o ob ，为方程 厂( b ) = a 的 根 3 若a = p 。曰p 1 ，( x ) = 口，则，( p 一1 x p ) = a 引理3 4 【1 8 】设p 阶上三角方阵a = ，( 。，一1 ) ，则 ( 1 ) n 1 o 时，a 的初等因子只有( a n o p ； ( 2 ) o l = 吼一1 = o ，o 时，a 的初等因子有一 个( a a 。) 9 和 个 ( a n o ) 叶1 ，这里p = 口b + ，l ( o 1 时，( 文) 0 ，且，”，一1 ( 也) 有意义； ( 3 ) 存在l ，2 ， ，s 的一个排列z ，屯，- ，。满足s ，= q ，a 。在4 中与岛在 j 日中有干日同阶数和块数的的若当块，j21 ，2 ，s 3 3多项式函数在复数域上的解 定理31 设a ：厶( a ) ，( z ) 为复数域上解析函数，则矩阵方程，) # a 有解 的充要条件是存在d 满足，( d ) = 证明由引理3 5 可以推得口 进一步有； 定理32 对于矩阵a c n “，( z ) 为m 次的多项式函数，则矩阵方程，( x ) a 复数域上二有解的充要条件为4 一a 1 。a 2 。 $ a 。，其中a 。， = 1 ，s 满足下列 条件之一 1 a 。的初等因子为( 一九) “，t 。= l ， 2 ：的初等因子有5 m 个【a a ：) ，岛，2 个( a a 。) 1 ，t 1 ，存在吼满足下列条件 之一，( 仃。) = 九，t ( 以) = o ，z = 1 ，2 ，- ，( 5 + 岛，2 1 ) ，1 讲( 以) o ， 证明充分性；若，( x ) = 有解不妨设矩阵b 为方程，( x ) = a 的一个解其 中 b = p 一1 如p = p 一1 0 山；( 最) p 以= ，( 口) = ，( p 一1 如p ) = p 一1 ( 目，( 占。( 6 t ) ) ) p 妒由( 堋洲1 ) ( ，等等) ) p a 。由( “巾也产耶也，等等) ) = a ，金a ，0国。 在这里取a 。= ：( 五。( ，( 坑) ，( 1 ( 以) ，错) 再由引理35 依次可推得； 1 ) 当鼽= 1 时，可知a ：的初等因子满足( 1 ) 2 ) 当a l 时，a ；的初等因子满足( 2 ) ； 必要性：对于卜面的矩阵a 以及相应的哦，我们构造矩阵b 满足 b = 出g ( 口1 ，- 一，口，) 1 7 些奎些垄奎兰堡主篁塞堑堕! 兰壅堡堕塾堑墼童堡苎里墼壅堡竺墅 其中 则有 根据引理2 5 得 b ：= 以( 仉) ，( 口沪( 咖，等等) a t ，( b 。) ， = 1 ，- 一，s 所以有，( b ) a ，可求得可逆矩阵p 满足p - 1 ，( b ) p 一4 ，则矩阵p - 1 b p 为方程 的一个解 口 由此根据上面的定理我们给出矩阵多项式函数在复数域上可解的充要条件： 定理33 对于矩阵a c t l “， 的最小多项式m ( a ) = 兀( a 一九) “，关于九的 初等因子为( ( a a 。) ”，( a 。) ，一，( a 一九) ( ，1 ，其中s ；一2 l z 2 2 “21 若对a 的每一个特征根a 。，( z ) 为m 多项式函数，则矩阵方程，( x ) = a 在复数域 上有解的充要条件为a 的每一个特征根a ，总满足： 1 方程，( o ) = 凡的解为 九、h ，a 。) 2 对于a 。，九。定义： 屯= = i n f h 严( j 。) o ，一1 ，” 3 对 l ，“( 。) 重新排序，( 排序后仍记作。一，吐( 。) ) 然后再进行分组 并满足下列条件之： 1 o j l = 且一j l1 = l 2 m囊一j = l ，1 k 3 i n a x 协lj 十1 ，z j - 一l n i l l i ml + 1 ，z n ) 1 ， k 则称，( z ) 在复数域上关于4 是可解的 直接可得， 1 8 华东师范大学硕士论文矩阵广义逆偏序和矩阵多项式函数方程的解 推论3 1 对于任一复数域上次数大于零的多项式，( 。) ，任一矩阵a c “， 设s p e c a = a l ，a 。) ，且( ，7 ( z ) ，( z ) 一a 。) = 1 ， = 1 ， ，s ，贝4 ，( x ) = a 定有解，并且至少存在一个解可以用的多项式来表示 推论3 2 l a i 【) # 亭e 。= a 有解 = = 存在多项式p ( z ) ，使p ) = x 3 4多项式函数在实数域上的解 定理3 4 对于矩阵a 时”。，( z ) 为m 次实系数多项式函数，则矩阵方程 ，僻) = a 在实数域上有解的充要条件为a a 1 0 a 2 0 o a ，其中a ，t = 1 ，s 满足下列条件之一 1 a ；的初等i 封子有：( a 一九) “，t ；= 1 ，a 。r ，并且存在吼r 满足，( 巩) = 九 2 j 4 。的初等因子有： 2 个( a 一九) “，。= 1 ，九瓞，并且存在最c 佃满足 ，