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Ansys 简支梁再分析姓 名 x x学 号 1 0 0 0 0 0 班 级 土木工程博士班简支梁有限元再分析一、问题概述在计算力学的学习渐入尾声的时候，重新做第一次上机的题目用有限元法分析简支梁跨中的应力，有着不一样的体会。这一次分析主要集中在对有限元解影响较大的三个方面：1、积分点个数；2、尺寸效应对；3、单元中间结点的位置。具体题目如下：一简支梁高3m，长18m，E=3e10 , u=0.2，承受均布荷载10 kN/m，取t=1m，作为平面应力问题。考察对象为跨中挠度和跨中截面顶部和底部正应力。图1 结构计算简图二、积分点个数对有限元解的影响由于采用ansys10.0，plane42 , plane82 单元均默认为2x2个积分点，为此，这一部分的分析用shell 181 单元，并设定keyopt(1)=1，只考虑膜效应，此时单元与平面应力单元相当。有限元模型如下图：图2 有限元模型采用1个积分点和4个积分点的计算结果列为下表：表1积分点个数对有限元解的影响 （单位：长度为m，应力为Pa）模型号积分点个数单元边长顶部正应力误差1底部正应力误差2跨中挠度110.5-35.27 236.7333.19 -238.81 61841210.25-143.04 128.97140.84 -131.16 61661310.1-63.989208.0161.471-210.53 424.262440.5-271.270.73271.27-0.73 3.52E-07540.25-271.810.19271.81-0.19 3.60E-07理论解-272.00272.00模型1，2，3采用减缩积分，3，4采用完全积分。从表中可以看出，在单元尺寸相当的情况下，减宿积分所得结果与理论解相差甚远，继续细分网格，精度仍不见提高。再看其跨中挠度，可以确认是出现了刚体位移；完全积分在单元尺寸较大的情况（0.5m）下，位移、应力解已经有了很好的精度（0.73Pa），进一步细分网格，进一步接近精确解，只是由于前一步已经得到了较好的精度，因此实际中没有必要再细分网格；对于跨中的位移，由于简支梁跨高比=3，理论计算时剪切变形不可忽略。图3 减缩积分下的刚体模态产生刚体模态的原因是简支梁的结点约束少。图4 完全积分结构变形单元、结构的变形方式均合理图5 完全积分应力分布三、单元长宽比对有限元解的影响用有限元进行结构分析时，要求划分的单元尽量规则、统一，例如不要有太大的钝角或锐角，单元的长和宽尽量相当，这是因为单元某些维度的尺寸相差过大时，其刚度也相差很大，这样易引起较大的计算误差。下面通过改变单元长宽比来考察这种影响。表2 单元长宽比对有限元解的影响模型号宽长长宽比顶部正应力误差1底部正应力误差2跨中挠度60.50.51.0 -271.270.73 271.27-0.73 3.52E-0770.51.83.6 -266.18 5.82 265.74 -6.26 3.36E-0780.250.93.6 -270.571.43 270.61-1.39 3.47E-0790.1251.814.4 -266.525.48 265.9-6.10 3.37E-07仍然采用shell，积分方案为完全积分。基准有限元模型为模型6，长宽相等。对比模型6、7可知，长约增加4倍时，不管是跨中截面应力还是跨中挠度，误差都有较为明显的增加。但是这并不能说明是单元长宽比变化的影响，因为模型7的单元数（也即积分点数）也为原来的1/4。因此，模型7、8在保持单元数基本不变的情况下来改变单元尺寸。对比模型6、8可知，长宽比变为3.6时，误差增大，但并不明显；但当长宽比变为14.4时，误差明显增大，其影响与单元数变为原来的1/4相当。综上，单元长宽比会影响有限元法的求解结果。当长宽比不大时，这种影响较小；但当长宽比较大（如15）时，影响会比较显著。图6 模型8，9单元尺寸对比四、单元边中节点对有限元解的影响边中点的位置改变后，单元内各点的Jacobi矩阵也会随着改变。当边节点在边的正中间时，单元内各点的Jacobi行列式总体上取最大值；当边中节点往两侧移动时，单元角部Jacobi行列式会减小；当边中节点往两分偏移到一定程度时，某些角部Jacobi行列式会 0 ，这样求解就不能够进行。因此建立单元时，应注意边中节点的布置对Jcobi矩阵的影响。下面通过改变边中节点的位置来考察这种影响。图7 三种不同的边中节点位置（短边长度占总长的0.5，0.4，0.3） 表3 边中点位置对有限元解的影响模型号边中点局部坐标顶部正应力误差1底部正应力误差2跨中挠度100.5 -271.90.10 271.91-0.09 3.65E-07110.4 -266.13 5.87 278.48 6.48 3.68E-07120.3 -261.1110.89 285.913.90 3.72E-07边中点局部坐标系中，0.5表示边的正中间。从表的数据表明，当边中点从正中间向两侧偏移时，跨中截面顶部和底部的正应力也偏离理论解越来越大；当边中点在0.3位置处时，ansys发布Jcobi行列式比率过大的警告；当边中点在0.2位置处时，ansys发布Jcobi行列式出现负值的错误提示。图8 Jacobi行列式比率过大警告五、总结与疑问这一次虽然是重新做简支梁的分析，依然有新的收获和体会，同时也加深了对所学理论知识的理解，现将体会与疑问一并总结如下：1、有限元方法用有限的节点代替无限自由度，会产生一定的离散误差；在具体计算过程中又用到了高斯积分等数值方法，如采用减缩积分又会产生新的误差。由于减缩积分降低了有限元模型的刚度，与实际结构刚度更为接近，有可能取得更加精确的解。但是，减缩积分又会产生刚度矩阵奇异和零能模式等问题，因此选择减缩积分时最好对结构进行模态分析。图9 刚体模态时报错2、用有限元进行计算时，单元的各种尺寸尽量相当边长、角度尽量相等，如果单元的边长或角度相差过大时，其刚度也相差很大，这样易引起较大的计算误差。3、单元中节点的布置会影响单元内各点的Jcobi矩阵/行列式，边中节点尽量在中间，当其偏移中间时有可能使Jcobi行列式小于0而使求解无法进行；当Jcobi行列式接近于0时即使能够求解也会产生较为显著的误差。4、用减缩积分