（计算数学专业论文）构造向量值有理插值函数的方法.pdf

构造向量值有理插值函数的方法 摘要 向量值有理插值函数的构造方法已有多种，本文给出一种简便的构造 方法。具体方法如下： 第一章：简单介绍向量有理函数的一些背景及研究意义； 研究向量值函数有理插值与逼近的主要工具是向量连分式，所以第二 章主要介绍这个工具的用法：一元t h i e l e 向量有理插值和矩形网格上向量 值有理插值：通过这章的介绍，初步了解构建向量值有理插值函数的基本 方法。 第三章：将主要介绍构造一元向量值有理插值的方法，这种方法摆脱 了反复求s a m e l s o n 逆的运算，有其自身的优越性，并通过实例加以说明： 第四章：把这种方法从一元的情形推广到二元上来，并且与已有的方 法进行比较；通过实例具体探讨其有效性，从而说明这种方法的研究价 值， 最后是结束语，总结本文所作的工作以及提出在未来可以改进或者值 得进一步研究探讨的问题。 关键词：向量值有理插值；连分式；参数；方程组 m e t h o do fc o n s t r u c t i n gv e c t o r - v a l u e dr a t i o n a l i n t e r p o l a t i o nf u n c t i o n s a b s t r a c t t h i sp a p e ri sm a i n l ya b o u tas t r u c t u r eo fb i v a r i a t ev e c t o r - v a l u er a t i o n a l i n t e r p o 1 a t i o no nar e c t a n g u l a rg r i d ，s ot h ef r a m e w o r ko ft h ea r t i c l ei sf r o mt h e f o l l o w i n ga s p e c t s ： c h a p t e r 1 ：ab r i e fa c c o u n to ft h eb a c k g r o u n da n ds i g n i f i c a n c eo f v e c t o r v a l u er a t i o n a lf u n c t i o n s ； t h em a i nt o o lo fr e s e a r c h i n gv e c t o r - v a l u e dr a t i o n a li n t e r p o l a t i o ni sa n d a p p r o x i m a t i o ni sv e c t o rc o n t i n u e df r a c t i o n s ，s oc h a p t e r2i n t r o d u c e st h eu s a g e o ft h i st o o l ：u n i v a r i a t et h i e l ev e c t o r r a t i o n a li n t e r p o l a t i o na n dr e c t a n g u l a r g r i dv e c t o r - v a l u e sr a t i o n a li n t e r p o l a t i o n ；t h r o u g ht h i sc h a p t e r ，ap r e l i m i n a r y u n d e r s t a n d i n go ft h eb a s i cm e t h o do fc o n s t r u c t i n gv e c t o r v a l u e dr a t i o n a l i n t e r p o l a t i o nf u n c t i o n s c h a p t e r3 ：i tw i l lm a i n l yi n t r o d u c et h em e t h o do fs t r u c t u r i n g v e c t o r i n t e r p o l a t i o n ， w h i c hg e t sr i do ft h er e p e a t e ds a m e l s o ni n v e r s ec a l c u l a t i o n s a n di th a si t s o w ns u p e 。 - r i o r i t yw h i c h w ew i l lu s es o m ee x a m p l e st oe x p l a i n ； c h a p t e r4 ：1w i l le x t e n dt h eu n i v a r i a t es i t u a t i o nt ob i v a r i a t es i t u a t i o n ，a n d d i s c u s st h ev a l u eo ft h i sa p p r o a c hw i t ht h ee x i s t i n gm e t h o d ，t h e nt h r o u g h s p e c i f i ce x a m p l e st oe x p l o r ei t se f f e c t i v e n e s s f i n a l l yc o n c l u d i n gr e m a r k s , s u m m i n gu pt h ew o r kd o n ea n dp u tf o r w a r d t h eq u e s t i o n s ，w h i c hs h o u l db ei m p r o v e do rb ef u r t h e re x p l o r e di nt h ef u t u r e k e y w o r d s ：v e c t o r v a l u e sr a t i o n a li n t e r p o l a t i o n ；c o n t i n u e df r a c t i o n s ； p a r a m e t e r s ；s y s t e mo fe q u a t i o n s 表格清单 表格2 1 一元插值数据表5 表格2 2 反差商表6 表格2 - 3 例1 中算法的反差商算法6 表格3 1 插值节点数据表。1 5 表格4 1 二元插值节点数据表2 5 表格4 2 二元插值数据表2 7 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写 过的研究成果，也不包含为获得金世王些盔堂或其他教育机构的学位或证书而使 用过的材料与我一同工作的同志对本研究所作的任何贡献均已在论文中作了明确的说明 并表示谢意。 学位论文作者签名： 箍泵 学位论文版权使用授权书 签字眺尹钼殆 f 本学位论文作者完全了解金胆王些太堂有关保留、使用学位论文的规定，有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅。本人授 权金匙王些太堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以 采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名： 裘荣 签字日期：7 年月7 日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 导师签名：棠彻劫导师签名：尔7 ，甲 签字日期：即年月7 日 电话： 邮编： 致谢 至此论文完成之际，首先，衷心感谢我的导师尊敬的朱功勤教授，在 我研究生学习期间，无论在学习上还是日常生活上，导师都给予了我耐心 细致的教导和无微不至的关怀。他渊博的专业知识和伟大的人格魅力，使 我在做人和做学问两方面都得到了很大的提高。在论文的选题、研究及撰 写过程中，导师都倾注了大量的心血，使我顺利完成了论文的写作，导师 诲人不倦的高尚师德，认真严谨的治学态度，将使我受益终生! 感谢苏化明教授、邬弘毅教授、檀结庆教授、林京教授、黄有度教授、 朱晓临教授等老师们在我研究生学习期间给予的悉心关怀和热心帮助，以 及学业上对我的教诲和指导! 最后感谢所有帮助过我的亲人、老师、同学和朋友! 作者：程荣 2 0 0 7 年4 月 第一章绪论 1 1理论背景 在自然科学与技术科学领域中，许多问题可以归结为对具有有理性( 如具 有奇异点或有奇异边界值) 的函数的讨论。有理函数是属于简单函数类，它比 多项式复杂，但用它近似表示函数时，却比多项式灵活，更能反映函数的一些 特性。例如，多项式不能反映在某点a 附近无界的函数性态，当x 趋向于无穷 时，多项式总是趋于无穷。因此，人们在数值逼近、函数近似表示、计算机几 何辅助设计中更偏爱有理函数。随着科学技术的发展，非线性数学具有强大的 生命力。作为非线性数学的重要分支之一的有理逼近方法，已在实际应用中显 示出巨大优势和开发潜力。 有理逼近的理论和方法为数值逼近与近似计算和频域分析提供了一个强有 力的工具，被广泛应用于机械振动数据分析、数字滤波、电路分析、系统控制 理论的模型简化、计算机辅助几何设计等领域【l , 2 , 2 8 - 3 0 。有理逼近作为非线性逼 近的一个重要分支，其表现形式是多种多样的，如有各种连分式插值与逼近问 题，各种p a d e 逼近问题等。 虽然有理分式的计算比较复杂，但随着电子计算机的发展，有理插值与逼 近的研究才得以迅速发展。现在已在多元有理逼近、矩阵有理逼近、抽象有理 逼近分析，有理逼近的数值计算方法、以及与数学其它分支交叉研究等许多方 面蓬勃发展起来【3 1 。计算的方法和问题的提法也不断革新，如利用c l i f f o r d 代 数结构的p a d e 向量型逼近和p a d e 逼近【弘l ，有理插值与逼近的最小实现问题【3 2 】， 具有有理解的微积分方程求解问题 4 3 1 ，切触有理插值 3 3 3 4 】，有理样条问题3 5 1 ， 各种p a d e 型逼近问题1 3 6 - 3 8 1 等等。 因为许多实际问题，可以归结为向量( 或矩阵) 有理插值和逼近问题，所 以对这类问题的研究就显得格外重要，也是本文重点研究的问题。 向量值函数有理插值问题最早是由p w y n n 于1 9 6 3 年在一篇文章 3 9 中 提出来的，他注意到：若将8 一算法应用到向量上并实施s a m e l s o n 逆变换，就 能得到如同数量一样的精确结果。以p rg r a v e s m o r r i s 为代表的一些学者于2 0 世纪8 0 年代初从机械振动中有关振动膜这实际问题出发，利用一元t h i e l e 型 连分式和s a m e l s o n 逆变换，研究了向量值函数有理插值问题，建立了一元向量 值有理插值的理论与方法。在此基础上他们也对有关的算法问题、有向向量的 有理插值、向量有理逼近等问题做了开拓性的研究1 3 0 , 3 9 - 4 4 】。在国内，朱功勤、 顾传青、檀结庆等于1 9 9 0 年开始，较系统地研究了多元向量值函数有理插值与 逼近问题。给出了二元向量值有理插值的概念，特征性，唯一性，以及各种算 法 6 - 1 7 , 1 9 , 2 0 , 4 5 - 5 ( 1 ，特别值得指出的是将向量值有理插值推广到矩阵有理插值，建 立较完整的理论及方法 2 1 - 2 3 , 5 1 , 5 2 】。关于向量值有理插值的应用，他们也进行了 探讨，得到一些有价值的结果 3 , 1 8 , 1 9 , 2 5 l 。研究向量值函数有理插值与逼近的主要 工具是向量连分式。由于连分式系数可以递推计算，所以有关向量值有理插值 的算法易于在计算机上实现。随着科技的发展，向量值函数有理插值与逼近的 应用将进一步扩大。但是，由于有理插值问题的复杂性，至今仍有些问题没有 彻底解决，值得作进一步的探讨。 1 2 本文所作工作的概述 一般，向量值有理插值算法是利用连分式。但计算是有条件的，就是假定 在计算过程中每一步都是可行的，即不会出现分母为零，但在实际进行计算之 前，却无法判定某一步会出现分母向量为零的情况；即使出现分母向量为零向 量的情况，也不能断言相应的向量值有理插值函数不存在。对于这个问题，针 对二元，若在方格网上可用复合型向量值有理插值方法及针对一元文献 2 6 3 中利用n e w t o n 公式构造的一种插值方法等都较好的解决了。本文给出另外一 种构造向量有理插值函数的方法，针对一元及二元向量值有理插值函数构造方 法，还给出存在性的判定法则。这种方法不但计算简单、灵活，而且构造出的 插值函数的分母可以任意选定次数，这种方法有它自身的优点，具有一定的应 用价值。 2 第二章向量值有理插值方法的概述 向量值有理插值，它既是标量函数有理插值的推广，又是矩阵有理函数插 值的基础。有关这一课题的研究，由于它在机械振动，数据分析，自动控制及 c a g d 中的应用背景，己引起了国内外学者的关注。研究的问题主要集中在插值 函数的构造方法，插值函数的存在唯一性，插值函数的特征性及算法等。本章 将对向量值函数插值概念及方法作一个简单的概述。 2 1一元向量值函数有理插值问题 一元向量值有理插值的系统研究始于上世纪八十年代g r a v e s m o r r i s 的系 列文章( 见 4 0 4 2 ) 。 设由n + 1 个不同节点组成的点集为兀：= “l i = o ，l ，刀；而r ) 和相应的有限 值向量集为 矿i 矿= 旷 ) ，墨兀：，矿e c 。) ，令 j ( x ) ：盟型 ( 2 1 1 ) 上) ( x ) 其中n ( x ) 是d 维向量多项式，即霄( x ) = ( i ( 力，虬( ) ，( x ) ( 1 s _ ，d ) 是x 的多 项式，d ( x ) 是实系数代数多项式。j o ) = ( 墨( x ) ，岛( x ) ) 。 所谓向量值函数有理插值问题，就是寻求形如( 2 1 1 ) 的向量值有理分式 函数j ( 工) ，使之满足如下插值条件： 足，( 为) ：! 妥婴：k ，f ：0 ，1 ，l ；_ ，：1 ，d ； ( 2 1 2 ) l 玉j 这里r j ( x ) 是豆 ) 的第，个分量，即夏( x ) = ( 墨( x ) ，岛( x ) ) ，是矿的第，个分量， 即k - - ( r , ，) 。 从向量值有理插值的提法可以看出，对向量的各分量而言就是数量有理插 值，所以说向量值有理插值是数量有理插值的推广，基于此在文献 4 0 中作 了如下基本假设： 若只中的第k 个分量为唯一非零分量，即r = o ，_ ，= l ，k l ，k + l ，d ，则 向量值有理插值问题便简化为相应的有理分式函数插值； 如果每个向量矿的所有分量是成比例的，即哆= 五鸬，k = l g m g d ，且数量朋 在点五处被相应的数量有理函数r ( x ) 插值，即， ) = 麒，则向量插值的分 量为 五，( 力i k = l ，d ； 向量值有理插值问题的解不依赖于插值节点的排序； 在某种意义下，插值问题的解是唯一点的； 插值问题的d 个分量的极点产生于工轴上同一区间上。 2 2 一元t h i e l e 向量有理插值 将数量t h i e l e 型连分式，写成向量形式 瓦+ 等等+ 等 q 2 d 自然假定后0 ( 零向量) 江1 ，2 ，撑。为了将式( 2 2 1 ) 由质向前有理化可 得 j i ：巡。 显然在有理过程中需要计算向量五的逆。为此引入向量矿的 s a m e l s o n 逆： 旷一：旷i 旷 2 ，旷为旷的共轭向量。 ( 。) 给定打+ 1 个互异点 五 ( f = 0 ，l ，一) ，而r 和对应的有限值待插向量 矿= 旷 ) c 。 f = o ，l ，；，所谓向量值有理插值就是寻求向量有理函数 r ( x ) = 箦却千。+ 等 眩2 使之满足插值条件j ( t ) = 考黯= 只，f = o ，l ，疗 其中贾( 工) 是d 维向量多项式 ( 霄( 工) ：( l ( d ，0 ) ) 是x 的多项式，j = l ，2 ，d ) ，d ( x ) 是实多项式，五是d 维 向量多项式，x ，五r ，i = o ，l ，疗 而l 旷i 表示向量旷= ( k ，砭，) 的模，即i 矿i - k 2 + + 吁 下面介绍构造插值公式的一种方法【4 。 i ) 定义一个向量磊= 瑶； ( 2 2 3 ) i i ) 定义酏) = 稀小l 扣川 ( 2 2 4 i i i ) 定义瓦= 凰( 矗) ，| = l ，2 ，一一l ； 且对七+ 1 ，甩豆+ i ( 薯) = 赫5 2 2 5 i v ) 定义瓦= 元( ) ( 2 2 6 ) 把用此方法确定的五( j = 0 , 1 ，哟带入式( 2 2 2 ) ，并由后向前有理化便可得 肌) = 箦 例1 给定数据 4 表格2 1一元插值数据表 i ol 2 3 薯 1o1 2 矿( 薯) ( 0 ，0 )( 1 ，0 )( 6 5 ，2 5 )( 2 l ，1 3 ，2 1 3 ) 求j ( x ) = 等等使之满足詹 ) = 牙，“= o ，1 ，2 ，3 ) 解：瓦= 瓦= ( o 。) ， 由豆“) 2 号专得： 幂瓴) = 。；置( 西) = 丽x 1 - x o = 而o - ( - 1 ) = 而1 = ( 1 ，o ) ，= 糟2 南= 茜= 曲1 ；gc x ，) - - 嚣= 蕊3 = 哼7 宁4 、5 5 7、1 3 1 3 7 魂= r i “) = ( 1 ，o ) ， 由是( ) = 画x 丽t - ，i = 2 ，3 得 鹕) 2 赫2 两1 丽叫，1 ) 椭2 丽x 3 - x 1 。药2 丽邓，2 ) 又丘= 是( 而) = ( 1 ，1 ) ，而秀( 弓) 2 面石x 3 万- - x 忑22 石鬲面1 ；( o ，1 ) = 瓦 最后钔蜘 0 ) + 嵩+ 孟蒜。 由后向前有理化可得j ( x ) =f 兰1 2 f 兰：兰! ：兰：2 ：! ! 丛生 2 x 2 + 2 x + l d ( x ) ( 2 2 7 ) 可以验证j i ( x ) 满足插值条件，且d ( x ) i l 霄( 力1 2 ( “i ”表示整除记号) 。 此外，对于连分式各个系数的值，也可以用反差商来计算。通过建立的反 差商表，可以更加便捷的计算出云的值。具体算法过程为： 令魄= r ( x o ) = 魂( h ) ； 魂魄) = 矿“) ； 岛2 不再x 1 - 瓦x o 丽2 9 ( x o ，) 丘2 晚瓴， ，黾) 2 丽：石i _ j ：j 乏x k f - - j x k _ i 忑i i i i ：乏j ，豇= 1 ，2 ，一， 在实际计算中常采用如下反差商表 4 1 1 ： 5 表格2 2反差商表 一 五k 一 1 而 一 而 y 一 0 恐 一 而 嵋磊( ，而) l ： 萌( 而，而) ： 磊( ，)蟊( x o ，薯，屯) 2 霞( x o ，五，毛) ； 死( 而，而，屯，恐) 3； ： 表格2 3例1 中算法的反差商表 一 五k 磊( ，五)霞( x o ，而，)霞( x o ，而，x 2 ，毛) z o1 ( o ，o ) 1o ( 1 ，o )( 1 ，o ) 2l ，弓 哼3 ，尹1 ( 1 ，1 ) ) ， 32 口里、 咭7 ，j 4 ) o ，2 )( 0 ，1 ) 、1 3 1 3 7 显然，五值取表格对角线上的对应值，用这个确定丘值与用前面的方法确 定的值是一样的，所以最后计算结果是同样的。从而利用这个结果可以得到与 ( 2 2 7 ) 一样的向量值有理插值函数。 值得指出的是：若用式( 2 2 3 ) ( 2 2 6 ) ，则当求解过程中出现分母为零 的情况时，有时只需调整节点即可；若利用反差商表时，如果出现相邻( 纵列) 两个反差商相同的情况，则反差商计算需停止，然后调整节点即可。值得注意 的是这种方法只适合有理插值函数存在的情形。 订，、 定义2 1 4 1 1 若向量值有理函数豆( x ) = 要罢中贾 ) = ( 1 虬o ) ) 满足 z j ( x ) ( 1 ) a m ( x ) m ，l s i d 且存在某个f o 使a 心= m ，l 毛s d ； ( 2 ) a d ( x ) = ， ( “a 表示多项式次数”) 则称j ( x ) 具有 m 1 型，或简记为豆( x ) r ( m ，) 。 6 定义2 2 t 4 u 设d ( x ) 是实代数多项式，霄( x ) 是d 维向量多项式，且 d ( x ) 霄( x ) 1 2 ，由式( 2 1 1 ) 给出的向量有理分式函数的连分式表示( 2 2 2 ) 满 足插值条件( 2 1 2 ) ，则称豆( 芹) 为基于广义逆( ) 的向量值有理插值函数，或 t h i e l e 型向量有理插值，简记为g i r i 。 耀2 1 h 1 1 潇赋酗硼( 功2 舞一b o 争等一u ( a ) 若h 是偶数，则j ( x ) 具有 n n 型； ( b ) 若n 是奇数，则具有 n n 一1 型； 在例1 中，行= 3 ，此时厦( 膏) 3 2 】，显然符合定理2 1 结论。 定理2 2 【4 l l ( 唯一性) 设聃= 器及砭= 器是任意两个g i r i ， 若它们满足： ( a ) 詹l ( t ) = 忌( t ) = 矿，i = 0 ，1 ，蹦 ( b ) 具有相同的型， 则称豆( 并) ；扇( 工) 。 定理2 3 旺 设厦。) = 等等是一个g i r i ，f f d ( x ) _ o ，设 而) kc ( 以6 ) ，且 向量函数矿( 力在( 4 ，6 ) 内具有直到n + l 阶的连续导数，则对任意x ( 口，b ) 成立下 面误差公式 咻聃嘲一t b o + t x - x o 一三挚= 高芸a x 【d ( 顽硼硝a 岛和斗 i 胛+ l j ! 上，u j 其中f ( 口，6 ) ，阡：( x ) = ( x - - x o ) ( x 一五) ( x 一矗) 。 2 3 二元向量有理插值 如同将一元插值推广到二元插值一样，将一元向量值函数有理插值问题推 广到二元甚至多元的情形是十分有意义的。多元的问题可以类似于二元的情形 区推广，只是计算更为复杂。这节主要就二元的情形作一个扼要的介绍( 见 4 ，9 ，2 4 ) 。 由平面上不同点组成的点集如下：兀：；= ( 一，y , ) l i = o ，l ，m ，为，乃r ) ，其 对应的由有限向量组成的集为 瓦i 吃= 矿( 而，乃) ，而，咒兀：；，瓦c 4 。 所谓二元向量值有理插值问题，就是构造尹力：要譬婴，使之满足插值 u l 马川 条件州) = 粼= 露，眦) 其中r ( x ，y ) 是二元d 维向量值多项式，d 力二元实多项式。 下面，就针对矩形网格介绍二元向量有理插值的一种算法【9 】。 设r 2 中的点集n “由下表给出 7 ( ，y o x x , ，儿) ( t ，儿) ( ，y , x x , ，只) ( t ，只) 瓴，只) ( 葺，咒) 纯，见) 称i - i ”为矩形网格或矩形点阵。对1 - i ”中的每个点 ，j ，) 给定d 维插值向量露 并将其排成如下表格 瓦瓦 圬。露。玩， i；i 元吃 并用矿”t 彤记之。并称矿一为向量网格。 所谓二元向量值有理插值，就是寻求向量值有理函数，使之 讹y ，= 业高等逊= 渊 满足尹( 薯，y ，) = 元o = o ，l ，n ；j = o ，l ，m ) ( 2 3 1 ) 定义2 3 若二元向量值有理函数f ( x ，y ) = 若是号满足： a s ，j = 1 , 2 ，d 且存在某个j o ( 1 j o d ) 使a n j a = ，； o d = r a( “a 表示多项式次数”) 则称尹( x ，y ) 具有 1 m 型。 如果r ( x ，y ) = ( l ( x ，力，虬( 善，j ，) ) 中d 个多项式与d ( x , y ) 之间不存在非常 数的公因式，则称尹( x ，j ，) 是既约的。 钾( 咖轴) + 最最+ 赣 ( 2 - 3 - 2 ) 其中i ( y ) = 瓢( ，而；) + 瓦i i y _ - i y 而o瓦x i = y j - - y 历m - i i 丽2 3 3 ) 而向量丘，( x o ，x ，；y o ，y ，) 通过下述递推公式计算 瓦，o ，乃) = 元，( f = o ，1 ，n ；j = o , 1 ，朋) ( 2 3 4 瓦一( ；，乃) 2 瓦：忑i i 了i z ：5 y 万j 二- - 瓦y j ：- i 忑i 瓦了i 歹丽 2 3 5 ) 瓦( 驴，而；) 2 瓦忑i i 丽萨x i - - 瓦x i _ i 瓦i i i 而 l ( x o ，x ；y o ，乃) 2 苏忑i 罚万瓦j y 万- 瓦y j _ ! 磊_ i i 巧j ：万j ，l6 川( 而，而；朋，乃- 2 乃) 一6 j 一i 瓴，而；，乃- 2 ，乃一i ) 定义2 4 若二元向量值有理函数 8 ( 2 3 6 ) ( 2 3 7 ) 讹加粉2 昂+ 裔+ 蒜。+ 锗，其嘲y ) ，= 0 ，1 ，川由( 2 3 3 ) 确定，若满足：d ( x ，y ) 是二元实多项式且d ( x , y ) i i 霄( x ，y ) 1 2 ；焉，( 毛，y ，) = 瓦， i = o ，l ，n ；y = 0 , 1 ，m ，则称它为基于广义逆( ) 的二元向量t h i e l e 型向量值有 理插值，简记为b g i r t t 。 将式( 2 3 2 ) ( 2 3 7 ) 合在一起，称为在矩形网格上r r 一对向量集矿一插值的 二元t h i e l e 型向量值有理插值公式。 定理2 4 【7 】对形如( 2 3 2 ) 的b g i r t t e ( x ，j ，) ，当m ，行全是偶数时，则尹力 具有【m n + m + n , 朋+ 所+ 川型；当m ，”不全是偶数时，则产瓴力具有【m h + m + n ， m n + m + n l 】型。 定义2 5 记b v r i 。为所有形如下式 酏加昂+ 而x - x o + 嚣一专苦；砌哺，+ 气。警 的二元向量值有理函数组成的集合，其中，( o ) ，( 1 ) ，( 州) 是o ，l ，册的一个排列。 相应的，记b v r i 。为所有形如下式 娜刊t o ( + 锗+ 错锗；i ；( 蝴a i ( o ) + 等。等虻元 向量值有理函数组成的集合，其中，( o ) ，( 1 ) ，l ( n ) 是0 , 1 ，行的一个排列， 磊。o ( 为，y ，) = ， o = o ，1 ，n ；j = 0 ，1 ，m ) ( 2 3 8 ) 磊胁y o ，乃2 瓦瓦石瓦两y j 鬲- - y j 丽- i 瓦i 磊历 2 3 9 磊o ( x o ，而；蜘) = = - 之_ 兰d _ ( 2 3 1 0 ) q l , o ( x o ，一2 ，而；y o ) 一q l m 【，毛一2 ，x t _ l ；y o ) 磊。j ( x o ，x j ；y o ，乃) ： 丝二丝：! ， 1 ( 2 3 1 1 ) n i 。i ，x 二y o ，y j d ，y i ) 一n u a x o ，x 二y o ，y i 一2 ，y i - i ) 定理2 5 【4 1 i ( 唯一性) b v r i 。中任意两个向量值有理函数e ( x ，y ) 和 j ( x ，y ) ，若满足 芦( t ，y ，) = 胄( 五，y j ) ， o = 0 ，l ，n ；j = o ，l ，m ) ， 且有相同的型，则有尹( j ，y ) s 爰o ，y ) 这个定理说明了b v r i 。中的向量值有理插值函数与点阵兀一每一行中的 m + 1 个元素的排序无关。然而，若将n 一中各行的位置互换，则将得到不同的 向量值有理函数。类似的，b v r i 。中的向量值有理函数与点阵n n ”每一列的n + 1 个元素的排序无关。但若将各列的位置互换，则将得到不同的向量值有理函数。 定义2 6 若尹( 工，力b v r i x ，所o ，y ) e b v r i y ，且，“，y ，) = d f ( x j ，y ，) = 乃， ( ，y ，) i - u 4 ，则称它是定义在点阵n ”上插值于向量网格旷”的互为对偶的向 量值有理插值函数。 9 定理2 6 【9 j 若尹j ，) 与上炉( x ，j ，) 互为对偶，则 尹( ，力；历( ，j ，) ；尹( 墨y o ) ；所( 工，) ； 如果玎= 肌，葺= 咒；吃= 露，i , j = o ，1 ，疗，则插值点阵n 一和向量网格旷”一称作 是对称的。 定理2 7 【9 】定义在对称点集上的互为对偶的两个向量值有理函数芦( x ，j ，) 和 d p ( x , 力，如果插值于对称向量网格矿一，则尹( 工，力f - 历 ，力。 2 4小结 本章叙述了基于广义逆的t h i e l e 型向量有理插值的基本概念，构造方法， 性质及算法等。从而对这个构造向量值有理插值函数的主要工具连分式有了深 入的了解。通过本章可看出对向量有理插值的研究已取得了丰硕的成果，但对 其存在性的研究，目前基本上还是空白。然而存在性问题又是向量有理插值的 基础，对它的研究，无论在理论上，还是在实际应用上都有很大意义。因此， 我们将在第三章中对其作初步的研究。针对一种特殊的向量有理插值，给出其 存在性的一种判别方法。 1 0 第三章构造一元向量值有理插值的方法 和标量有理插值一样，研究向量值有理插值的存在性问题是一个基本问题， 众所周知，标量有理插值的存在性问题是一个复杂且困难的问题，而向量有理 函数的存在性问题则更加复杂困难，然而存在性问题又是向量有理插值研究的 基础，对它的研究，无论在理论上，还是在实际应用上都是有很大的意义，我 们针对这个问题做了一些初步的研究，得出了一些结果，并用数值例子验证了 方法的可行性。 本章受文 2 6 ，2 7 ，5 3 的启发，建立了一种类似于标量有理插值的非t h i e l e 型向量值有理插值，通过类似于l a g r a n g e 基函数的方法构造出向量值有理插值 函数的表达式，同时给出存在性的一种判别方法。 3 1 预备知识 对于给定的疗+ 1 个互异点如 o = o ，1 ，刀) 记以x ) = o x o x x x o o 一矗) 令w a x ) = ( x - x o ) ( x x o ( x - x y ( x 一再) = 兀( x - x j ) ( 3 1 1 ) 嚣 显然( 3 1 1 ) 式右端是珂次多项式，将其展开可以表示成 w a x ) = ，+ q ，- l j 】广1 + 一2 工“一2 + + q x + a o j ( 3 1 2 ) 其中 一圳= 习； ( 3 1 3 ) j = o i 吐 a n 叫= 屯( 所有不取x j 的两个不同的一乘积之和) ； ， ( 一1 ) 。j = 屯( 所有不取而的_ j 个不同的一乘积之和) ； j ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) ( 一1 ) ”a o j = 稚l x l + i 而 ( 3 1 6 ) 引入n + 1 个待定参数吼o = 0 ，l ，n ) ，定义一次代数多项式 上 烈功= ( z ) + qw l ( 工) + + ( 力= qw f ( 力 ( 3 1 7 ) j = o 利用两个代数多项式恒等的充要条件，即系数相等条件，可通过选择参数 啦( f = o ，l ，n ) ，将q ( 工) 转化成某一确定的多项式d ( 这就是下面的 定理3 1 选择参数啦( 扛o ，l ，行) 可将n 次多项式q ( x ) 变成任何k 次( k n ) 的 多项式d ( x ) 。 事实上，设d ( 功= ，+ 岛x “1 + + b a k 功 当| = 丹时，取喁o = o ，1 ，开) 为1 即可；当j 行时， 用公式( 3 1 3 ) ( 3 1 6 ) 及两个多项式恒等， 啦( f = o ，l ，疗) 的线性方程组 a g = 口 将( 3 1 7 ) 式右端乘开，利 系数相同的条件，便得含 ( 3 1 8 ) 其中彳= 11 l a - l , o 一i j a n - 1 月 a o oa o , 1嘞 口= a o 嘶 曰= 【o 01 岛如玩r 。 其中q ，的确定详见式( 3 1 3 ) 一( 3 1 6 ) 。 定理3 2 方程组( 3 1 7 ) 中系数矩阵a 的行列式d e t a = 兀( x p - x q ) o ，故 p 勺 方程组( 3 1 8 ) 有唯一解。这就证明了可选择参数o = o ，1 ，刀) 将q ( 功变成 d ( 工) 3 2 一元向量值有理插值构造 定义3 1 对给定的n + 1 个互异点“) o = o 1 ，撑) 及相应地向量值矿( 五) ， i = 0 , 1 ，珂；记d ( x ) = ( ，霄( 曲= 啦( 石) 矿 ( 3 2 1 ) 显然d ( 功是n 次代数多项式，霄( x ) 是万次向量多项式。 f l i = ， 蚴2 哿眉鼢硼渺 。，：且蜘l - o 闸 ( 3 2 定理3 3 对于给定的互异节点而及相应地向量值旷( 而) i - o ，1 ，n ，由式 ( 3 2 1 ) 、( 3 2 2 ) 定义的d ( x ) 和r ( x ) 构成如下一元向量值有理函数 船) = 筹= 驴n 脚 ( 3 2 3 ) 满足插值条件j ( 玉) = 矿i = o ，1 , - - - , 行且j i ( x ) r ( n ，甩) 。 显然由( 3 2 3 ) 式构造出的有理插值函数次数较高，为了降低次数引入参 数吼i = o ，1 ，聍，重新定义并仍然记为霄( 功和d ( x ) 。 定义3 2 对给定的n + 1 个互异点“，o = o ，l ，疗) 及相应地向量值旷( 而) ， i = 0 , i ，甩；记d ( 功= 啦( 力霄( x ) = q ( x ) 旷( 毛) ( 3 2 4 ) 记仍= 絮馒艄q o 一- 0 ，1 ，m 则 f 1f = ， 仍( ) = 【0i ， 且仍( 工) = l ， 因此在全不为零时，仍( x ) 可以视为基函数。 定理3 4 对给定的n + 1 个互异点如 o = o ，1 ，行) 及相应地向量值旷 ) ， 。“旷一一例”器= 鬻母蚰参数 q 均不为零的前提下满足插值条件晨( 葺) = 矿。f = o ，l ，疗，且d ( x ) 的次数( k n ) 按这种方法构造出来的插值公式类似于多项式插值中的l a g r a n g e 插值公 式，通过选择参数啦( f = o ，l ，栉) 可求出所需类型的向量值有理插值函数。 注：从上述定理可以知道，当要求降低分母次数时，不妨令o d ( x ) = k ( k s l 1 ) ， o f - 根据需要设d ( 功= 矿+ 6 l 矿。1 + + 以，此时关键在于如何选择q ，使得 d ( x ) = x k + 岛矿。1 - i - + 瓯- - e 喁嵋( 功。 从而在利用算出的q 来计算霄( 工) = q 嵋( x 矿( ) ，显然这个问题就解决了。 定理3 5 一元向量值有理插值存在的充要条件为线性方程组 1 a n 一1 。0 q o , o 1 一l j 嘞j m ： a n 0 ： 0 1 6 i ： 钆 存在一组全非零解口= 嘞q 】7 ，且有霄( x ) = q ( x 矿， d ( x ) = q m ( x ) ( 其中q 值由式( 3 1 3 ) 一( 3 1 5 ) 确定，也是依需要而确定 的d ( x ) = + 包矿- 1 + + o k 中项，。的系数。) 。 证明：先证必要性：若一元向量值有理插值函数存在，则必有向量值有理插 值函数晨( x ) = 若鲁满足插值条件孟( 而) = 矿，f = 0 , 1 ，撑。 由定理3 1 及其证明知，对于d ( x ) = 矿+ 鱼矿- i - + b a k 月) ，总可通过选择参数 h q o = o ，1 ，玎) ，使q w ( x ) = o ( x ) f f i o 即 ， ( 矿+ 山x 加+ + a o j ) = ，+ 6 i ，- 1 + + 瓯 i f f i o 1 3 。? 再利用两个代数多项式恒等的充要条件，可将式转化成缸= b ，又l a l 0 ，那 么方程组( 3 2 5 ) 存在唯一的非零解。 因为毗) 甾曷，又。( x 9 = 喜酬俨w j ( x j ) 0 ，则 o ( i = o ，1 , - - - , 甩) 。也就是说线性方程组a a = b 存在一组全不为零的解 口= 嘞嘶】r 。 下面的关键问题在于如何确定霄( j ) 再由定理3 1 ，在a 霄( 工) 聍时，也总可选择参数z ( f = 0 , 1 ，疗) ，使 西m 矿= 贾( x ) 姻她俨等= 耥= 乃u = o ，l ，m 所以巧= q 巧u = o ，1 ，栉) ，将其代入式，得霄( 功= q ) 矿 再证充分性：设a a = b 有全不为零的解口= 【嘞r ， 令( 曲= q ( x ) 矿，d ( x ) = m ( 工) ，则 呐，= 筹= 鬻彤删 ，功 为了清晰起见，下面给出在( 七h ) 时，这一算法的具体步骤。 算法i ： s t e p l ：根据需要确定d ( x ) 的次数和类型，然后按x 的降幂顺序写出代数多 项式d ( x ) = 矿+ 岛矿4 + + 玩，+ 以，根据各项系数，记 曰= f o o l a 如钆1 。，其中口中所含0 的个数为胛一k 个； s t e p 2 ：根据已知插值节点及公式( 3 1 3 ) ( 3 1 6 ) 写出w ( x ) 的展开式， 形如m ( x ) = ，+ 1 广1 + q 卜2 j 矿- 2 + + q j x + a o 。，扛o ，1 ，疗。 再依据( x ) 江o ，1 ，疗展开式的各项系数写出系数矩阵4 ，形如 a = ll 1 q i 0a - u 6 1 - l g o , on o 。1月 s t e p 3 ：记参数矩阵为口= 【嘞嘶r ； s t e p 4 ：根据a a = b 求出参数矩阵的值，当参数的值全不为零时，继续第5 步，反之，则立即中止； 1 4 s t e p 5 ：将求得的值带入霄o ) = q 坼( 工妒，即可求出霄( 功的表达式； s t e p 6 ：最后带入j ( 工) = 苦器，即为所求的向量值有理插值函数 3 3 实例 前面两节主要从理论上介绍了一种构造一元向量值有理插值函数的新算法， 为了更能鲜明的体现这种方法的有效性及优越性，本节将从具体例子入手来逐 一说明。 例l 【4 1 l 已知 表格3 1插值节点数据表 lol23 而 一l ol 2 一 咣，哟，咣，o )( ，0 ，) y ( 而)( 0 ，0 ，o ) 求出满足插值条件的向量值有理插值函数j ( x ) = 尝鲁且孟 ) 矗( 3 ，2 ) 一 解：首先给出利用连分式及s a m e l s o n 逆的计算，结果为 m ) = 鬟器( 3 x 2 + 2 x + 2 , x - - 2 , x 2 + x - - 2 ) 下面利用本文给出的算法，具体过程如下： w a y l ： 打= 3 为奇数，若要分母次数为2 ，可直接令参数- - - - o t 2 = - i ， 啊= = l ，则a d ( x ) = a ( q w ) ) = 2 ， 且 d ( 工) = 一w o ( x ) + m ( 功一w 2 ( 工) + w 3 ( = 2 x 2 2 x + 2 = 2 ( x 2 - x + 1 ) 霄( x ) = q m o ) 牙= 一w o ( x ) r o + m o ) k 一屹o ) 吒+ b ( 砷巧 = ( ，+ 3 ，一致) ( o 。，o ) + 。3 2 x 2