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东北大学硕士学位论文摘要 离散风险模型中有关索赔次数的研究 摘要 破产理论作为风险理论的核心内容，近年来由于相关数学理论的进展而得 到了更多的关注，运用现代数学工具分析破产论中的问题是当代破产论的主要 研究方向，而破产论中的中心问题就是破产概率的研究。本文主要讨论了离散 风险模型下的破产概率和破产时刻的索赔次数，所使用的方法主要是组合数学 与概率论的方法。首先建立了复合二项风险模型的破产概率尹0 ，挖，l j ) 的递归关 系，通过递归关系得到妒0 ，七) 的解，其次本文重点讨论了索赔额是常数2 时 的情形，对不同的破产时刻进行了不同的讨论，分别得到了不同定义下的各自 破产概率伊0 ，i ) 和破产时的平均索赔次数m 0 ) 。 关键词：破产概率破产时的平均索赔次数复合二项风险模型 发生函数 一i i 东北大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h er e s e a r c ha b o u tt h ec l a i mn u m b e ri nt h ec o m p o u n d b i n o m i a lr i s km o d e l a bs t r a c t i nr e c e n ty e a r s ，t h em a i nc o n t e n to fr i s kt h e o r y ，r u i nt h e o r yh a v eg a i nm a n y d e v e l o p m e n t sa st h eh u g ep r o g r e s s e so fm a t h e m a t i c s a p p l y i n gm a t h e m a t i c a lt o o l s t oa n a l y z et h eq u e s t i o no fr u i nt h e o r yh a sb e c o m ea st h em a i nr e s e a r c h o fr u i n t h e o r y r u i np r o b a b i l i t yi st h ec e n t e ro fr u i nt h e o r y i nt h i sp a p e r ，w em a i n l y d i s c u s st h er u i np r o b a b i l i t ya n dt h em e a n n u m b e ro f c l a i mw h e nr u i no c c u r si nt h e c o m p o u n db i n o m i a lr i s km o d e l m a n yo f t h e s ec o n c l u s i o n sa r eo b t a i n e dv i a c o m b i n a t o r i a la n dp r o b a b i l i t yt o o l s f i r s t l y ，w eg e tt h er e c u r s i o no ft h er u i n p r o b a b i l i t y 妒0 ，行，i ) ，w h i c h c o n t a i n e dt h en u m b e ro fc l a i mi nt h ec o m p o u n d b i n o m i a lr i s km o d e l ，t h e nw eg e tt h es o l u t i o no f 妒0 ，挖，k ) b yt h er e c u r s i o n s e c o n d l yw ed i s c u s st h ec a s et h a ta l lc l a i m sa r ec o n t e n t2 a sf o rt h ed i f f e r e n t d e f i n i t i o no fr u i nt i m e ，w eg e td i f f e r e n tr u i np r o b a b i l i t y 妒0 ，七) ，w h i c hc o n t a i n e d t h en u m b e ro fc l a i m m e a n w h i l ew eg e tt h em e a nn u m b e ro fc l a i m sm 0 ) w h e n t h er u i no c c u r s k e y w o r d s ：r u i np r o b a b i l i t y ，t h en u m b e ro f c l a i m w h e nr u i no c c u r s ， c o m p o u n db i n o m i a lr i s km o d e l ，g e n e r a t i n gf u n c t i o n 一i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是在导师的指导下完成的。论文中取得的研究 成果除加以标注和致谢的地方外，不包含其它人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包括本人为获得其它学位而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究 所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：啼枉 1 日期： 幽歹，j l 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者和指导教师完全了解东北大学有关保留、使用学位论文的 规定：即学校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人j 疃璺东北大学可以将学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库盎行检索、交流。 ( 如作者和导师同意网上交流，请在下方签名；否则视为不同意。) 学位论文作者签名：导师签名： 签字日期：签字日期： 东北大学硕士学位论文第一章绪论 第一章绪论 在这一章中，我们主要介绍破产论的发展状况，已取得的成果和我们将要 进行的工作。 1 l ，1 引言 破产理论作为风险理论的主要研究课题，在过去的一个世纪中得到了飞速 发展，已经成为金融保险业测度风险的主要理论依据，已经引起金融保险业的 高度重视。其原因在于：一方面应归功于破产概率在保险公司测度风险中的实 践应用；另一方面应归功于过去的一个世纪中完美的数学理论的进展。在实际 应用中，人们通常选择破产概率、方差、条件期望损失等易于使用的方法测度 风险。这一方面要求风险的测度方法简便可行，另一方面也促进了破产理论的 进一步深入研究，特别是要求所考虑的风险模型更接近于现实。 在破产理论研究中，一个非常重要的问题是破产概率，即保险公司的盈余 首次为负( 或非正) 时的概率。破产概率之所以是破产理论研究的重点，是因 为它是精算师的基础工具，是险种制定、保费计算、再保险策略、代理人策略 等工作的理论基础。关于破产概率的研究，可以依据风险的不同提法，针对保 险公司运作中的遇到的各种不同问题，通过附加适当条件，对模型进行修正， 以使模型更接近保险公司的实际运作。因此关于破产概率的研究非常富有挑战 性，在国际上一直是人们关注的焦点，但在国内这方面的研究还不是那么多。 1 2 连续时间风险模型 传统上对按收取的保费划分，把风险模型化划分为连续时间模型和离散时 间模型。 连续时间模型是以连续变化的量连续地收取保费。风险理论中大部分结论 都是关于连续时间模型的，其中连续时间经典风险模型是复合p i o s s o n 模型， 其表述为： 设保险公司t 时刻的盈余有下式给出： n o ) u ( f ) = + c ，一五 f 0 k = l 其中“是初始盈余，也称初始准备金，c 是保险公司单位时间的保费率， 1 东北大学硕士学位论文第一章绪论 坼表示第k 次索赔额，是正的独立同分布的随机变量序列，它们的分布函数为 雕) 。记 t = e x l = r f l 一，0 ) 】出 ( f ) 表示至时刻r 为止发生的索赔次数，是以五为参数的p i o s s o n 过程，n ( o 与皿相互独立。设 c = ( 1 + 口协 其中0 是相对安全负载，假定它是大于0 的。经典的风险过程是风险理论 中最基本的风险模型，关于它的讨论已基本趋于完善。复合p i o s s o n 模型是由 瑞典精算师l u n d b e r g 首先提出的，后来是c r a m e r 将l u n d b e r g 的工作奠立在数 学的基础之上，使这个模型获得了长足的发展。他们研究的主要是最终破产概 率： 妒( “) = p 丁 m i u ( o ) = u v u o 其中r 是破产时刻，定义为 丁= i i l f f ：u ( r ) 0 i l l f = 。o 以下简称p 0 ) 是最终破产概率。显然最终破产概率可以作为评价一个保险 公司偿付能力的一个数量指标。其中c r a m e r 研究破产概率使用的分析方法比较 复杂。f e l l e r 的更新理论和g e r b e r 的鞅方法对这一模型的结果给出了严格的证 明。更新理论和鞅方法也是当代研究破产论的主要途径。 g e r b e r 在初始盈余为零的情况下，给出了与风险有关的最终破产概率、破 产前刻的盈余和破产时赤字的概率的显示解。在假定调解系数存在的条件下 有如下结果： ( 1 ) 妒( o ) 2 南 ( 2 ) l u n d b e r g 不等式 妒0 ) p 一舶，v 0 ( 3 ) l u n d b e r g c r a m e r 近似，存在正整数c ，使得 嫩尝：l ce h ” 其中r 称为调解系数。它是个体索赔额盈的矩母函数虬( ，) = e e “满足下 2 东北大学硕士学位论文第一章绪论 列方程 m 。似) = 1 + ；r 的最小正解。 结论( 1 ) 说明了初始盈余为0 时，最终破产概率p ( o ) 仅依赖于相对安全负 载，与个体索赔额无关。结论( 2 ) ，( 3 ) 说明了，保险公司茬初始盈余很大 时，在经营小索赔时，破产不容易了发生，这点与我们直观的理解一致。 1 3 离散时间风险模型 风险理论中的大部分结论都是关于连续时间模型的，而现实中离散时间模 型更易于应用，离散风险模型中讨论最多的就是复合二项风险模型。 复合二项风险模型就是取定一个单位时间后，假定在任一单位时间内仅可 能出现两种情况：或有一次索赔发生，或没有索赔发生。用六= 0 表示在该单 位时间内没有索赔发生，六= 1 表示在该单位时间内仅有一次索赔发生。且满 足： p g j = 1 ) = p ，p 皓。= o ) = 1 一p = g0 p 1 在上述假定下，记 0 ) = 茧+ 色+ 掌。约定( o ) = 0 v n 0 为至时刻，z 时发生索赔的总次数。我们用品表示保险公司所支付的第珂个索赔 额。当取得一钱币后，可以假定仅取正整数值的随机变量，则至时刻即为止 保险公司所支付的索赔总额& 通过下式给出： 配= x i + z 2 + x 约定s o = 0 v 珂0 假定保险公司所支付的索赔额墨x ，也是独立同分布的随机变量序列， 且与硫，开1 独立。则索赔总额序列 砖，一1 就是复合二项序列 假定x 与五同分布并称之为个体索赔额，其分布定义为： p o = 0 ，p ，= p = 班 v i 0 在保险公司事务中，是初始盈余，只取非负整数值。在每个单位时间的 始端只收一个单位的货币的保险费，则在拧时刻保险公司的盈余矾以) 可表为： u ) = 甜+ 以- s 。 甩= o ，1 ， 我们要假定e s i = p l * l ，= e x ，这就表明了在收取保险费时考虑了安 全负载。用0 表示安全负载，有 3 东北大学硕士学位论文第一章绪论 列方程 蚝亿) = 1 + ；r 的最小正解。 结论( 1 ) 说明了初始盈余为。时，最终破产概率垆( o ) 仅依籁于相对安全负 载，与个体索赔额无关。结论( 2 ) ，( 3 ) 说明了，保险公司茬初始盈余很大 时，在经营小索赔时，破产不容易了发生，这点与我们直观的理解一致。 1 3 离散时间风险模型 风险理论中的大部分结论都是关于连续时间模型的，而现实中离散时间模 型更易于应用，离散风险模型中讨论最多的就是复合二项风险模型。 复合二项风险模型就是取定一个单位时间后，假定在任单位时间内仅可 能出现两种情况：或有一次索赔发生，或没有索赔发生。用善。= 0 表示在该单 位时间内没有索赔发生，六= 1 表示在该单位时问内仅有一次索赔发生。且满 足； p 氓= 1 ) = = p ，p 倍。= o ) = l - p = g0 p 1 在上述假定下，记 0 ) = 卣十邑+ 普。约定( 0 ) = 0 v n 0 为至时刻n 时发生索嫱的总次数。我们用品表示保险公司所支付的第”个索赔 额。当取得一钱币后，可以假定焉仅取正整数值的随机变量，则至时刻”为止 保险公司所支付的索赔总额品通过下式给出； 鼠= x i + z 2 + x 约定s o = 0 v n 0 假定保险公司所支付的索赔额x ，x 2 ，也是独立同分布的随机变量序列， 且与硫，n l 独立。则索赔总额序列慨， l 就是复合二项序列 假定x 与蜀同分布并称之为个体索赔额，其分布定义为： p o = 0 ，p ，= p = f ) ， v i 0 在保险公司事务中，”是初始盈余，只取非负整数值。在每个单位时问的 始端只收一个单位的货币的保险费，则在n 时刻保险公司的盈余矾n ) 可表为： u 枷) = “4 - n - s 。 = 0 , 1 ， 我们要假定e s , = 掣 i ，= e x ，这就表明了在收取保险费时考虑了安 全负载。用p 表示安全负载，有 全负载。用口表示安全负载，有 一3 东北大学硕士学位论文 第一章绪论 复合二项风险模型近来也取得了许多成果，见g e r b e r ( 1 9 8 8 ) ，s h i u ( 1 9 8 9 ) ， w i l l m o t ( 1 9 9 3 ) ，d i e k s o n ( 1 9 9 4 ) ，成世学( 1 9 9 8 ，1 9 9 9 ，2 0 0 1 ) 等。此时的破产时 刻定义为： t = i 1 1 f 加1 ：u o ) 0 ) 在假定调解系数存在的条件下有如下主要结果： ( 1 ) 在所有的索赔为常值2 时g e r b e r ( 1 9 8 8 ) 得到 妒( o ) = 刚 妒o ) 文刊 ( 2 ) 在索赔变量取一般值的情况下有 妒。) = 砉居 ( 仅一k p l p k q s , - h - * l 1 一妒( 0 ) ) 其中 q = 佬：笔 1 4 模型的推广 为了使模型更贴近现实，经典风险模型在很多方面都被作了很多推广。首 先风险到达的点过程不再是p i o s s o n 过程，例如推广为更新过程( s p a r r e a n d e r s e n ( 1 9 5 7 ) ，t h o r i n ( 1 9 8 2 ) ，g r a n d e l l ( 1 9 9 1 ) ，e m b r e c h t s ( 1 9 9 7 ) ，k l i i p p e l b e r 和 m i l o s e h ( 1 9 9 7 ) ，刘再明( 2 0 0 2 ) ) 或混合p i o s s o n 过程( 见 g e r b e r ( 9 8 3 ) ，g - r a n d e l l ( 1 9 7 6 ，1 9 9 5 ，1 9 9 7 ) ，蒋涛( 2 0 0 2 ) 或广义p i o s s o n 过程( 见 戚懿( 1 9 9 9 ) ，龚日朝和杨向群( 1 9 9 9 ) ) 。其次，保费收入过程不再是常速 率过程，而是推广为一个p i o s s o n 过程，称推广后的模型为双p i o s s o n 模型。这 方面的研究见孙立娟和顾岚( 1 9 9 9 ) ，王黎明和金珩( 2 0 0 0 ) ，龚日朝( 2 0 0 1 ) ， 高明美和赵明清( 2 0 0 2 ) 。对经典风险模型的再一种推广是考虑利息的因素， 这方面的工作见d e l l b a e n 和h a e z e n d o n c k ( 1 9 8 7 ) ，s u n d t 和t e n g e l s ( 1 9 9 5 ，1 9 9 7 ) ， k a l a s h n i k o v 和k o n s t a n t i n i d e s ( 2 0 0 0 ) 。对经典风险模型的再一种推广是考虑经 典风险模型中的总理赔过程受到w i e n n e r 过程或其它过程的干扰，而干扰可以 被视为保险公司管理或经营的偏差对其财务的影响。这种带干扰因素的风险过 程破产概率方面的研究见g e r b e r ( 1 9 7 0 ) ，d u f r e s n e 和g e r b e r ( 1 9 9 1 ) ， s c h i e g e l ( 1 9 9 8 ) ，王过京和吴荣( 2 0 0 0 ) 4 。 东北大学硕士学位论文第一章绪论 1 5 问题的提出及主要研究内容 与经典的风险模型研究相比，复合二项风险模型的研究也是研究其破产概 率，及其中关于破产前盈余，破产时刻及破产前的最大盈余的联合分布等等。 “破产”这个词并不等于保险公司没有能力偿付债务，实际上“破产”并 不像字面上那样可怕，因为我们忽略了影响保险公司经营的许多其它因素，如 果其它因素都考虑在内的话，盈余仍可能是正的或可能回复为正的。因此破产 发生的概率只是衡量一个保险机构金融风险极其重要的尺度。在风险理论中， 影响破产的重要因素就是索赔次数和索赔量，也就是说是这两个因素的左右着 保险公司的破产是否发生。其中索赔次数越多，索赔量越大，保险公司的开支 就越大，就容易产生破产。我们就是从这点出发研究风险模型中的与破产次数 有关的问题。其中主要的就是关于复合二项风险模型。 5 东北大学硕士学位论文第二章复合二项风险模型中有关索赔次数的分布 第二章复合二项风险模型中有关索赔 2 1 引言 次数的分布 一般的复合二项风险模型定义为就是取定一个时间后，假定在任一单位时 间内仅可能出现两种情况：或有一次索赔发生，或没有索赔发生。用己= 0 表 示在该单位时间内没有索赔发生，己= i 表示在该单位时间内仅有一次索赔发 生。且满足： p 蛾= 1 ) = p ，p g ，= o ) = 1 一，= q0 p 1 在上述假定下， g ) = 鲁+ 参+ 。约定n ( o ) = 0 v n 0 为至时刻一时发生索赔的总次数。我们用表示保险公司所支付的第n 个索赔 额，当取得一个单位钱币后，可以假定墨仅取正整数值的随机变量，则至时刻 n 为止保险公司所支付的索赔总额品有下式给出： 鼠= z l + x 2 + x “1 约定s o = 0 v n 0 假定保险公司所支付的索赔额五五，也是独立同分布的随机变量序列， 且与 ， i 独立。则索赔总额序列慨，刀1 ) 就是复合二项序列 假定x 与咒同分布并称之为个体索赔额，其分布为： p o = 0 ，p ，= p 僻= f ) ， v i 0 在保险公司事务中，“是初始盈余，只取非负整数值。在每个单位时间的 始端只收一个单位的货币的保险费，则在n 时刻保险公司的盈余矾n ) 可表为： u 咖) = “+ 行一s 。 n = 0 , i ， 就称盈余过程u ( n ) f 为复合二项风险模型，筒记为c b r mu ( n ) 。我们要假定 e s l = p l t 0 。 p i t 定义破产时刻 东北大学硕士学位论文第三主叁全三堡垦坠堡型主查薹室堕查塾塑坌查 t = i r l f ，z 1 ：u ( 聆) 0 i n f 矿= 0 0 记保险公司在初始盈余为“的情况下，在时刻，z 破产，且至此时索赔次数 是七，破产概率记为 p ( 甜，k ) = p ( h ) = 七，r = 胛】“( o ) = ) 显然我们有 p ( ”，胛，k ) = 0 当七 聆，“ 0 下面我们用发生函数的方法求尹0 ，聆，k ) 的表过式。 2 2 预备知识及引理 2 2 1 发生函数或生成函数 对于一个有限或无限的数列 ，a l ，口： ， 用形式幂级数 a ( x j = 口o + c l l z + a 2 x 2 + 。 使之成为一个整体，我们称4 0 ) 为序列k ，a 。，口： 的发生函数，记为 g 口。 。发生函数的方法是在我们研究组合问题时的一个重要具，它是一根硒 衣绳，在它上面挂满了我们要展示的一列数。 2 2 2 王要引理 引理2 1 ( l a g r a n g e ) 设l 是复平面c 上包围原点的闭曲线，复变量函数妒g ) 在曲线l 上及其内部解析，记a zp c ；i t 0 ( z ) ，定义妒0 ，膏) 是保险公司初始准备金是甜，破 产时刻发生在时刻h 而至时刻n 时共发生了k 次索赔的破产概率，我们有 ( 1 ) 施噼错，。，蟛 ( 2 ，) 加咖等筹磊，垂簪汜：， g 丕n - 1 l * k + 芝m + l - n 瑚舌u + m p + 妒l 川弘，) 错剪1 等i m 一0 ，e 口t f )v “一， l i oj 证明：我们以第一个单位时间内是否有索赔发生，以及索赔发生时的索赔 额蜀的大小为条件，根据全概率公式可得伊0 ，即，t ) 的递归解： 妒0 ，聆，i ) = q 。o ( u + 1 ，n - 1 ，_ j ) + p q ，( u + l - i ，n - i ，七一1 h ( 2 3 ) 首先引进母函数 ；d ，国) = 妒0 ，玎，忌b i 国i l( 2 6 ) 卸 由( 2 5 ) 式的递推关系式有： z “ ；o ，脚) ：g o + 1 ，胛一1 ，珊i 。+ t + p 芝乒o + 1 一f ，玎一1 ，b ，z 。+ - “0“o曲j i l 即为： z ；( ，n ，k ”= q g ，n l ，t o ) - q ；( o ，n - 1 ，c o ) + p c o ；0 + l i ，n 一1 ，。k 一4 = 。 n o l ，1 l = 西g ，z 一1 ，珊) 一g 乒( 0 ，z 一1 ，o j ) + p c o p ，：乒0 + 1 一i ，行一1 ，国) i = l* o l = q j ( z ，玎一1 ，彩) 一q 乒( o ，玎一1 ，) + p 以声0 弦0 ，挖 = p c o p ( z ) + q p ( z ，h 一1 ，) 一g ；( 0 ，n 一1 ，脚) 1 , c o ) 令官g ，珊) = g + p 砸( z ) 上式可化为： z g ( z ，胛，) = 喜0 ，弦g ，即一1 ，国) 一g 乒( 0 ，z 一1 ，国) ( 2 7 ) 上式又可以看作j ( z ，n ，) 关天h 的递推关系，再一次引进母函数： 痧o ，t ，国) = ；g ，胛，) f ” n ；z o ” i t l ”= 雪匕印) 童( z ，n - 1 ，缈) f ”一g 驴( o ，n - l , c o ) ” ，e lnl，1 上式化为： z 【眵g ，t ，c o ) 一毒( z ，o ，国) 】= t 氧乃彩) 痧( z ，t ，甸一g 确( o , t , c o ) ( 2 8 ) ( 2 9 ) 东北大学硕士学位论文第二章复合二项风险模型中有关索赔次数的分布 因为 z 一嘻0 ，0 3 彤( z ，r ，) = z o g ，o ，国) 一庐，( 0 ，r ，国) ；g ，0 ，国) = 痧 ，0 ，国“= l 所以我们可得到： k 一辔0 ，：) 眵g ， 国) = z g 乒。( 0 ，r ，国) 此时我用引理2 1 ，令痧g ) = 雪g ，) ，g ) = z 可知z = 瞎( z ，) 存在唯一解 z = z o ，国) 且 ，国) ) = 善i t 驴d n - 1 机弦”m 。】 将g ) = 季g ，国l ，g ) = z 代入上式可得： z = 善丢筹阻p 撕g 儿 亿 再根据弓i 理2 2 可得多项式 g + p 碰0 汀中的。m 的系数，记为 一0 ，m ，脚) = 胛! 兀二! _ “p ”“国”“ mn j j e 。( h ，m ) ，= o j f ： 于是( 2 1 0 ) 式变为 即有 庐。( 0 ) 可1 善掣“月丑 将上式代入庐。( o ，f ，国) = 庐( o ，”，国) f ”，比较两端，”的系数得： 月2 0 ( o ，n ，缈) = g1 击彳o + 1 ，玎埘) 我们在由( o ，玎，国) = 妒( o ，t ，七b ，比较国的系数可得： 2 0 地鸭功= 蔫，磊，赡n p i 1 0 掣 东北大学硕士学位论文第二章复合二项风险模型中有关索赔次数的分布 又由 慨小帮c o = 宅1 黜皆 z 1 2 、z ，l zf 2 、z 。l 将上式先展开为f 的多项式，比较f “的系数，得： z g ( z ，n ，国) = 雪”z ，m ) - q z z n - j - i 痧( o ，n - 1 ，瓷7 ( z ，0 9 ) 将j 0 国) = ；0 ，挖，国k ”4 弋x a a ，比较= ”的系数可得： n - 1 庐0 ，甩，珊) = 爿o ，n + u ，o , ) - q z 多( o ，n - 1 一，h ( ，u + j + l ，国) 再由 ；0 ，国) = 妒0 ，n ，后b 。，我们比较。的系数，即得： “啦错，囊再筹一 g m 芝= o l = k + 羔m + m = o i = k + m + l - n j e q ( 丢iu + m 妒+ ”l 聊 h ) 错前i = 0 1 等j ，)、，f ： 定理证毕。 东北大学硕士学位论文第三章索赔额是常数值时的破产概率 第三章索赔额是常数值时的破产概率 本章我们主要讨论索赔额是常数时的情形。其中最有意思的是所有的索赔 额是常数2 时的情形，而且对破产时刻的定义有所不同，我们将对不同的破产 时刻的定义加以不同的讨论。对不同的情形给出各自的破产时的概率，破产时 需要的平均索赔次数。 3 1 引言 假定在任一单位时间内仅可能出现两种情况：或有一次索赔发生，或没有 索赔发生。用品= 0 表示在该单位时间内没有索赔发生，= 1 表示在该单位时 间内仅有一次索赔发生。且满足： p 魄= 1 ) = p ，p 皓。= o ) = 1 一p = q0 p 1 在上述假定下，至时刻 时的总索赔次数定义为： 0 ) = 文+ 善：+ 。约定( 0 ) = 0 v n 0 我们用墨表示保险公司所支付的第竹个索赔额，当取得一个单位钱币后， 可以假定五仅取正整数值的随机变量，我们主要考虑的是五恒等于常值2 时 的情形，即 p 呱= 2 ) = l ，竹1 则至时刻n 为止保险公司所支付的索赔总额最有下式给出： s 。= 五+ 爿j + 抽1 = 2 n ( n )约定s o = 0 v n 0 假定保险公司所支付的索赔额五，五，也是独立同分布的随机变量序列， 且与纸，玎1 独3 z 。则索赔总额序列 瓯，咒1 ) 就是复合二项序列 在保险公司事务中，“是初始盈余，只取非负整数值。在每个单位时间的 始端只收一个单位的货币的保险费，则在行时刻保险公司的盈余u ( 甩) 可表为： u ( 竹) = u + n 一2 ( 即) h = o ，1 ， 我们要假定e s 。= 2 p m ) ， 则在此次计票过程中a 的得票数始终大于b 的得票数的概率只。= 型。 十m 证明： 我们根据两个候选人哪位得了最后一张票，记 胙口的得票数始终大于曰 ， a 1 = 钮得最后一张选票， 由全概率公式可得 只矿p 4 ) 志1 1m + p 缸l 万，) 焘m+玎十 即是 只，志+ 只川志 显然，o ，m ) ：型满足上述递归关系和初始值，所以我们有 n + m 只广，o ，小) 2 焉 1 3 东北大学硕士学位论文第三章索赔额是常数值时的破产概率 定理3 2 在c b r m 取疗) 中，如果所有的索赔额取值为2 时我们有 俐：i l l 2 ：2 p 陇 。，妒( 0 ，i ) ： a j p g 七2 ( 3 1 ) 1 p + p q | j = 1 证明： 当k = l 时，结论显然成立的。 考虑在风险过程中酞订) 首次非正的概率，且发生了k 次索赔，由于索赔量 的特殊性，可知破产时刻在正= 2 k 时发生。这样要求在前2 k - 2 个时间段中了发 生了“2 次索赔，不发生索赔的次数是k ，且不发生索赔的次数始终领先于发生 索赔的次数，在2 k - i ，2 k 两个时间段内发生了两次索赔，这样我们要据引理3 1 有： 妒( o ，女) = p ( r x = ku ( o ) = o ) 一k-(k一-2)i(：七k一-qjqkpk-22k 22 刀 一 i 七一j = 击k1 一k2 p l1 1 定理3 3 在c b r mu ( ) 中，如果所有的索赔额取值为2 时，且初始准备金 是0 时，我们有时终破产概率： p ( o ) = 2 p ( 3 2 ) 证明： 由最终破产概率的定义我们有： p ( o ) = p t o 的情形 本节我们主要讨论初始准备金大于0 时的情形，也将给出发生k 次索赔时 的破产概率，破产时的平均次数。 在c b p u k i u ( n ) o ，如果所有的索赔额取值为2 时，且初始准备金是1 时， 若在生生了k 次索赔时，协) 首次非正，则破产发生在2 k - 1 时间段内。同酞o ) = 0 时分析一样，在2 k - 1 时间段内发生了k - 1 次不索赔，且不索赔的次数始终领先 索赔发生的次数。所以有： m 班p 亿叫= 1 ) ) = 击f 2 譬1 k “4 ， 同理我们可求得： 妒( 1 ) ：尸 o 时： f o “ 1 ：u 0 ) o ) 时的情形 本节中我们讨论破产时刻另一种定义的情形： 疋= i n f n 1 ：u 0 ) o 时，如果所有的索赔额取值 为2 时，破产时刻定义的是正，我们有： i o _ j “ 出名卜赤心-hi-2k 2k12 弦一，溉1 2 【一一l j 1 ，“ 证明：当七“时显然有p 0 ，七) = 0 - 2 3 东北大学硕士学位论文第三章索赔额是常数值时的破产概率 。r 。，后) = = 2 k _ u - u _ 21 2 七七- 一1 l 。- 2 p 。一2 ， 因为当k 甜，且七2 时： q f ( u + 1 ，o + p f ( u 一1 , k 一1 ) = g 蒜茄r 卿一2 ) p k q k + + o - 2 + p 弼u 书- 11 ) _ 2 l ( 犯h 0 - ( 一- ，d p = 五u + l 强h - u - 3 p k q k - u - 2 + 是阵k m u 2 - 3 p 一2 = p g ”2 2 p 。g + 2 = p q ”2 篙裂掣一t - p k q k - - 2 面( u - l x 旷2 k - u 面- 4 ) 可端+ ，) ( 七一雄一) + 。一t ) ( 七一1 ) 】 u ( 2 k 一“一3 l (。k。-。1。)。(。k。-。u。-。1) = 一2 k - u - 2 ( 2 七七- - 一b l ，m 2 ) p g 一2 = ，也，k ) 我们由前面的推导可知，0 ，i ) 与妒0 ，k ) u * h 同的初始值和相同的递归关 系，自然它们也有相同的表达式，即有： 妒o ，后) = 焘f 2 尼i 二f 2 p q “p 2 定理3 1 4 在c b r m 矾胛) 中，初始准备金是职0 ) o 时，如果所有的索赔额 取值为2 时，破产时刻定义的是正，我们有最终破产概率 证明 荆= 树 ( 3 1 3 ) 东北大学硕士学位论文第三章索赔额是常数值时的破产概率 定理证毕。 = 萎赤r - u 。- 2 p l = 7 p 急石u 而( 2 ( k - 1 ) 叫l ( p q ) h k - l - = n 弓薹熹( 2 n 以- “炒n - u = l 土2 1 + u l 愕“协 lr 。 叫“主i = 0 等等如1 “，l ： 矿1 ( 呼丁 = 榭 2 5 。枷 卅 p = 东北大学硕士学位论文 第四章总结 第四章总结 4 1 本文综述 破产理论作为风险理论的主要研究内容，由于近来数学的相关理论的发展 而得到了更大的发展空间，同时风险随着数学的发展，模型也越来越朝接近现 实的方向发展。本文并没有去对模型进行推广，只是讨论了风险理论中关于索 赔次数这个重要的对破产产生决定作用的变量。由于以前的成果大多在连续的 情况下讨论而索赔次数是个离散的变量，这样我们的讨论就只对复合二项风险 模型加以讨论。其原因主要是：一方面，复合二项风险模型是最基本的离散风 险模型，有很多的理论和结果都是在这个风险模型的框架下研究出来的，另一 方面，在这个模型假设下，对我们提出的这个索赔次数变量的讨论有一定的方 便。 本文首先对破产理论的发展作了一个大致的介绍并给出了几个经典的结 果。这些结果由于现代数学相关理论的发展，特别是随机分析和鞅方法的引入， 使得结论更易分析和证明，同时也对离散风险模型的推广也作出了相关的介绍。 第二章我们主要讨论了，发生k 次索赔的破产概率，这个结果的形式有点 复杂，在现实中可能不易应用。如果对于特殊的索赔值的分布，可能得出的结 果就比较简洁，这正是我们下一步将要做的工作。 第三章我们重点讨论了索赔值为常数2 时的分布情形。由于以前的成果对 于破产时刻定义有两种，所以我们对不同的定义都作了相关的讨论。对不同的 定义都给出了具体的结果，而且通过对发生k 次索赔时破产概率的研究，我们 得到了最终破产概率和破产时所需的平均次数。这个模型看似简单，其实在现 实中有很多的应用，其中两个相同赌注的赌博就是这个模型；另外一大批相同 的保单，其索赔额是其费率的2 倍也是这个模型。在这一章里的我们的主要结 果全是只与索赔发生的概率芦有关，因为索赔额是定值。 4 2 下一步应该做的工作 本文的工作只是相关工作的开始阶段，其他许多问题都等待我们去重新推 敲研究。 由于对一般的索赔分布所得的结果形式不是很简洁，下一步我们将对不同 2 6 东北大学硕士学位论文第四章总结 特殊分布加以讨论。譬如，索赔额服从二项分布、p i o s s o n 分布等情形。同时， 不在限于经典的风险模型了，可以去讨论推广的风险模型。如：索赔额带有一 定的贴现。另外我们也可以对连续的风险模型进行讨论其索赔次数。得出其索 赔为k 次时破产概率及最终破产概率等等。 - 2 7 - - 东北大学硕士学位论文参考文献 2 3 4 6 7 8 9 1 0 参考文献 d i c k s o n dcma n dw a i l r s hrr e c u r s i v ec a l c u l a t i o no fs u r v i v a l p r o b a b i l i t i e s j ，a s t i nb u l l e t i n ，9 9 1 ，2 1 ，1 9 9 2 2 1 d i c k s o n dcmo nt h ed i s t r i b u t i o no ft h es u r p l u sp r i o rt or u i n j l ，i n s u r a n c e m a t h e m a t i c sa n de c o n o m i c s1 9 9 2 ，11 ，1 9 1 2 0 7 g e r b e r hua ni n t r o d u c t i o nt om a t h e m a t i c a lr i s kt h e o r y m 】，p h i l a d e l p h i a ：s s h e u b n e rf u n d a t i o nm o n o g r a p hs e r i e s 8 19 7 9 g e r b e r hum a t h e m a t i c a lf u nw i t ht h ec o m p o u n db i n o m i a lm o d e l j ，a s t i n b u l l e t i n ，1 9 8 8 ，1 8 , 1 6 1 - 1 6 8 s h i u eswt h ep r o b a b i l i t i e so fe v e n t u a lr u i ni nt h ec o m p o u n db i n o m i a l m o d e l 【j 】，a s t i nb u l l e t i n ，1 9 8 9 ，1 9 ，1 7 9 - 1 9 0 w i l l m o t ger u i np r o b a b i l i t i e si nt h ec o m p o u n db i n o m i a lm o d e l j ， i n s u r a n c em a t h e m a t i c sa n de c o n o m i c s ，1 9 9 2 ，1 2 ，1 3 3 1 4 2 d i c k s o n dcms o m ec o m m e n to nt h ec o m p o u n db i n o m i a lm o d e l 【j ，a s t i n b u l l e t i n ，1 9 9 4 ，2 4 ，3 3 4 5 成世学破产论研究综述 j 】，数学进展，2 0 0 2 ，3 1 ( 5 ) ，4 0 3 4 2 2 h