（应用数学专业论文）汇率联动期权的定价.pdf

摘要 近年来，随着投资的全球化，投资者不仅可以投资于国内资产，而且还可以投 资于国外资产，因而汇率联动衍生品越来越受到投资者的青睐。由于资产价格和汇 率都可能因各种随机因素发生波动，所以汇率联动衍生品的定价问题具有重要意 义。前人在风险中性框架下，求出了随机利率情形下汇率联动远期合约的定价公式 及它们的远期价格。本文受此启发，运用风险中性定价原理，利用偏微分方程的方 法，求出了四类汇率联动期权的定价公式，为实践者提供了理论上的参考价值。由 于资产价格和汇率过程都可能发生不连续的变化，比如因突发事件而发生跳跃，而 且大量统计资料表明资产价格表现具有明显的肥尾分布，即所谓的“波动率微笑” 现象，因此本文在资产价格服从跳一扩散模型的基础上，进一步考虑汇率联动期权的 定价问题，并得到了期权应满足的积分微分方程。 关键词： 衍生证券，汇率联动远期合约，h u l l & w h i t e 模型，汇率联动期权，风险中 性定价，随机微分方程，跳一扩散模型 a b s t r a c t w i t ht h eg r o w t hi ng l o b a l i z a t i o no fi n v e s t m e n t si nr e c e n ty e a r s , t h ea g e n t sc a ni n v e s tn o t o n l yi nt h ed o m a i nc a p i t a lm a r k e t ，b u ta l s oi nt h ef o r e i g nc a p i t a lm a r k e t t h ec r o s s - c u r r e n c y d e r i v a t i v e si so ft h e o r e t i c a ls i g n i f i c a n c ea n d p r a c t i c a lv a l u ei nf i n a n c i a lm a t h e m a t i c s ，b e c a u s e 6 ft h ei n d e t e r m i n a t i o ni ne x c h a n g er a t ea n dt h ep r i c eo fa s s e t i nt h i sp a p e r , a c c o r d i n gt ot h e r i s kn e u t r a lp r i c i n gt h e o r y ，t h er e c i p r o c a ls t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dt h eg e n e r a lp r i c i n gf o r m u l a so ft h ef o u rt y p e so fc r o s s - c u r r e n c yo p t i o n sa r eg i v e n ，s os e r i e so fr e f e r e n c ep r i c i n ga l ep r o v i d e di np r a c t i c e f o rt h ep 订c eo fa s s e ta n de x c h a n g er a t em a yc h a n g ed i s c o n t i n u o u s l y , a n ds t a t i s t i ca n a l y s i sh a ss h o w n o b v i o u s t h i c kt a i l ”d i s t r i b u t i o no ft h ep r i c eo fa s s e t , s o s u p p o s i n gt h ep n c eo f a s s e ti s j u m p - d i f f u s i o np r o c e s s ，w em a k ef u r t h e rs t u d ya b o u t t h ep r i c i n g o ft h ec r o s s - c u r r e n c yo p t i o n sa n dh a v eo b t a i n e dt h ei n t e g r o d i f f e r e n t i a le q u a t i o n k e yw o r d s ：d e r i v a t i v es e c u r i t i e s ，q u a n t of o r w a r dc o n t r a c l h u l l & w h i t em o d e l ，c r o s s c u r r e n c yo p d o n s ，r i s kn e u t r a lp n c i n g ，s t o c h a s t i cc a l c u l u se q u a t i o n ，j u m p - d i f f u s i o nm o d e l 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。 据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写 过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说 明并表示谢意。 作者签名 日期：纽2 二 ， 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学 位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版。有权将学位论 文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文 的内容编入有关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的 学位论文在解密后适用本规定。 学位论文作者签名：j 烨 醐：五卜彳士 篡盔 导师签名嶂奢笔至h 日期：丝么：亟：f 第一章引言 1 1 课题研究的背景 由于经济全球化与金融自由化的影响，金融市场呈现出前所未有的波动性。市场 风险的管理成为全球金融机构与投资者关注的焦点。越来越多的投资者期望采用相 应的投资策略对投资进行套期保值，以规避金融风险。同时还要求获得最大的期望 投资回报。因此，在传统的金融工具的基础上，金融衍生工具得以形成和发展。 具体来说，衍生工具( 如期权、期货、远期合约) 其实就是一份合约，它的损益 取决于标的资产的损益，其价格与标的资产的即期价格相关联，因而标的资产价格 的波动必将影响该衍生工具的价格。比如一份远期合约，它是一个在确定的将来时 间按确定的价格( 履约价) 购买或出售某项资产的协议，决定远期合约的价格的关 键变量是标的资产的市场价格。但在签署远期合约时，该合约的价值为零，之后， 它可能具有正的或者负的价值，这取决于标的资产的价格运动。例如，如果合约签 署不久，该标的资产的价格上涨很快，则该远期合约多头的价值为正而空头价值为 负。 再比如一份标准欧式看涨期权，它赋予持有人一种权利：在合约规定的时间 内，以确定的价格k ( 称执行价格e x e r c i s e p r i c e ) 购买一定数量的某种商品( 称标的 资产u n d e r l y i n ga s s e t ) 如果到期时刻( t ) 标的资产价格( s f r ) ) 高于执行价格k ，持 有者就执行该期权，获得收益为s f r ) k ，否则，放弃执行，收益为0 。也就是说， 期权持有者只包含进行交易的权利，而没有交易的义务。当标的资产的价格发生 对其不利的变化时，持有者有权放弃执行合同。由于期权这种金融衍生工具的交 易优势，使得投资者可以根据自己的风险偏好和正常预测，利用期权与股票或其 他投资工具进行组合构成各种各样的投资策略，从而达到使可能的收益范围和收 益幅度得到提高的目的，而这是单纯的基础证券无法达到的。由于期权合约中双 第一章 l 言 2 方的权利和义务是不对称的，为了使对方愿意接受合约规定的义务，期权的购买 者必须支付给出售者一定的费用，。这笔费用便称为期权的价格( p r e m i u m ) 。显然， 如何通过合理的数学模型来确定期权的价格，便成了数理金融中理论与应用研 究的一个关键性问题。1 9 7 3 年，f i s h e rb l a c k m y r o ns c h o l e s 在j o u m a lo fp o l i t i c a l e c o n o m y ) 上发表了题为mp r i c i n go fo p t i o n sa n dc o r p o r a t el i a b i l i t i e s ) 的文章， 推出了著名的b l a c k s c h o l e s 欧式期权定价公式，从而导致了以无套利为前提，构造 等价证券组合，并由此引出用f e y n m a n k a c 公式求解的一般未定权益定价方法。此 外，r o b e r t 。m e r t o n ，c o x ，r o s s ，r u b i n s t e i n 等人开展了对未定权益定价模型的研究。从 此，金融理论中复杂的数学模型开始对金融实践有了更直接、更广泛的影响，期权 定价模型成为当今金融研究中金融理论与金融实践相结合的研究主流。 1 2 汇率联动衍生证券的介绍及国内外研究现状 随着全球经济一体化和金融一体化的日益深入，投资者不仅可以投资于标的资 产为国内资产的衍生品，还可以投资于以外国资产为标的物的金融衍生品。国内单 纯汇率期权在文【6 】- 【8 】中得到了初步研究。因而当汇率与股票价格都在随机变化时， 投资者不仅关心国外资产的价格风险，还关心汇率变动的风险。从2 0 世纪9 0 年代开 始，已有不少远期合约及期权是以外国资产为标的物的( 诸如外国股票、外国股票 指数或其他标的物) ，但这些远期合约及期权等衍生证券在本国交易，以本币计 价。比如说，日经指数的认售权证( n i k k e ii n d e xp u tw a r r a n t s ) 是以日经指数为标的， 但认售权证是在加拿大多伦多市场及美国股票交易市场( a m e x ) 挂牌上市。再如本 文即将讨论的汇率联动期权，其标的就是外国股票，但这些衍生证券在本国上市交 易。这些与汇率相关联的金融衍生品吸引了许多国际投资者的兴趣，也因此引发了 不少大型证券商及商业银行发行此类所谓交叉外汇期权( c r o s s - c u r r e n c yo p t i o n s ) 。因 此，如何给这类证券进行合理定价，为金融市场上的实践提供理论上的参考价格尤 其重要，成为数理金融的一个重要任务。 目前衍生证券的定价在投资领域中的应用研究是最热门的前沿之一。汇率联 动期权作为期权当中的一种，实际上是对衍生证券的一种扩张，考虑了在有汇 率影响下的衍生证券的定价，因此，可以说，这种证券既具有普通衍生证券的 特点，又与汇率结合起来，适应于经济全球化与金融自由化的需求，当然会受 第一章；t 言3 到投资者的青睐。从理论研究上看，进入2 0 世纪9 0 年代以后，衍生商品定价的重 点集中于交叉的外币衍生品。r e i n e r ( 1 9 9 2 ) 1 4 3 1 首次提出了简单的股票一汇率联动期 权，且给出了其定价公式，d a v i d 和r i c h a r d s o n t 4 0 l 研究了日本n i k k e r 认售权证的定 价，a m i n 和j a r r o w ( 1 9 9 1 ) 根据远期利率的随机变动过程，完成了复杂的外汇期权的 定价模型，w e i ( 1 9 9 7 ) 1 】对交叉外币衍生性商品进行了概括性的研究。综观其定价方 法，主要有两大类：一类是利用m a r t i n g a l ep n c i n g 方法进行定价；另一类就是p d e 方 法。根据m a r t i n g a l e p r i c i n g 方法，在风险中性情况下，任何衍生产品的价值是其到期 现金流量期望值的贴现值，并以无风险利率贴现。本文介绍的汇率联动远期合约的 定价就是运用了这种方法。如果将这种方法运用到汇率联动期权的定价上，则对模 型的假设条件有一定的要求，例如，两国的无风险利率必须是固定不变的或者为一 已知函数；若将两国短期利率固定的假设加以松绑，到目前为止，很少有文章利用 这种方法推导出汇率联动期权的定价公式。而且利用这种方法推导的时候在数学计 算上有一定的偶然性。也有作者利用p d e 的方法为汇率联动期权定过价f 4 】，他在对冲 汇率风险时采用的工具是货币，最后将之归结到b l a c k s c h o l e s 模型。 1 3 本文研究内容和思路 汇率联动期权概念和分析方法在西方经济发达国家已经出现了十多年了，也有 相应的实践应用。在我国，汇率联动期权的引进和研究相对来说比较晚，但现在， 也有不少学者尝试着应用不同的方法来为其定价，为实践者提供一定的理论参考价 值。由于汇率联动期权不仅与某国标的资产( 股票) 相关联，而且还涉及到两国汇 率，比一般的b l a c k s c h o l e s 模型的假设要复杂。因此，经典的b l a c k s c h o l e s 定价模型 不能直接套用于汇率联动期权的定价问题。 为此，我们先把求解汇率联动期权的定价问题放到一个“风险中性”的世界里去 研究。在这个假想的世界里所有的市场参与者都是风险中性的，他们对于有风险的 收益，都不需要风险的补偿。在一个风险中性的世界里，各金融衍生产品未来不确 定的现金流的数学期望值( 即按照风险中性概率计算未来收益的预期值) ，用无风 险利率折现后的价值就是均衡价格。最后将所得的结果放回到真实的世界，就获得 了有实际意义的结果。这种定价方法被称为风险中性定价。 在文献【1 6 冲，对汇率联动远期合约进行了分类，并且考虑两国利率为常利率情 第一章；l 言4 形下对汇率联动远期合约进行了估价，给出了具体表达式。本文主要是受到汇率联 动远期合约定价的启发，尝试利用原有的定价理论的思想，在b s 模型和等价鞅测 度模型的基础上，建立汇率联动期权的定价模型。我们假设股票价格和汇率都满足 相应的随机过程，并运用对冲方法，构造相应的投资组合，由于它是一个二因素 模型，即同时受到随机变化的标的资产和汇率的影响，因而分别运用了两种相应的 对冲资产，用于对冲标的资产的风险和汇率的风险，利用偏微分方程的方法对它进 行了研究，并得出了相应的一些结论。文章还考虑了在标的资产服从跳一扩散情形 下该期权的定价情况，得到了相关的定价方程，并对得到的方程作了相应的说明。 通过这些研究，为汇率联动期权应用的进一步深化奠定了一定的理论基础，在提高 定价的科学性，增强定价的灵活性方面也具有重要的意义。 本文具体内容分为五部分： ( 1 ) 引言。包括本文研究的起源、对象及所使用的研究方法。 ( 2 ) 文章所使用的数学定理及一些与本文有关的知识。 ( 3 ) 介绍了在风险中性情况下，h u l l & w h i t e 利率模型下，汇率联动远期合约的定价 模型。 ( 4 ) 运用风险中性定价理论，利用偏微分方程方法推导了汇率联动期权的定价方 程，并求得了解的表达式。 ( 5 ) 考虑了标的资产价格服从跳一扩散模型下，汇率联动期权所满足的定价方程。 最后对全文进行了总结并指出进一步研究前景，说明了可以考虑的研究方向。 第二章预备知识 市场假设： i ) 市场无摩擦，无交易成本，无税，可自由买空卖空。 i i ) 交易时间是连续的，标的资产的数量是可分的。 i i i ) 标的资产价格在未来是不确定的，且标的资产是连续可交易的。 2 1 必备的数学知识 根据论文研究的需要，参照相关的文献资料得到下面一些有关的预备知识，具体 可参考文献【4 ，3 0 ，3 1 ，3 5 1 。 定理1 ( i t o 定理1 ) 假设某随机过程 x ，t 0 可t t t l t o 过程表示如下： d x t = 口( x f ，t ) d t - i - 扫( 墨，t ) d w t 此处w = 1 w t ，t o 代表一维布朗运动( b r o w n i a nm o t i o n ) 。令- ，= f ( x t ，f ) 是随机变 量x t 及嗣j f n t t 的函数嬲f 蔫足如t 方程： d f = ( 面o f + 篆a + ；等矿肺+ 篓龇 此处：f = ，( 五f ) ，a = 口( x 巩b = 厶( x f ) ，x = 墨。 定理2 ( n 0 定理2 ) 假设随机过程i x l ( f ) ，t o l 及i 恐( f ) ，t o 满足： d x i = a l ( x 1 ，t ) d t + b l ( x i ，f ) d w l ( 力 d x = = a 2 ( x 2 ，t ) d t + b 2 ( x 2 ，t ) d w 2 ( t ) 令f = f ( x i ，x 2 ，o 为随机变量x i x 2 及时凤的函数踏满足如t 方程： d ，= ( 石o f + 石o f ”差砚+ j 1o 叫啦f b ：+ ；毫咖。0 。2 fp 加d f + ( 著6 t d w l ( f ) + 差6 ：d w 2 ( f ) ) 5 第二章预备知识 6 定理3 ( g i r s a n o v 定理) 殳( q ，f ，p ) 为一概率空间 w ，0 ts 丁 是该概率空f 司上 序筛朗运动，e = 卅职，0 j s t l , 占= 蚴，0 s t l f , i 令 吖= 砰+ jo ( u ) d u ， 刍= e x p ( r o 。o ( “) d p 一：i ：o i 嘶) 1 2 m ) 鳓) = f 毒北e ) 牵耗 e x p ( j e0 2 ( u ) d u ) o o ，贝炮是一个完各的概率测度，随机过程 w 尹，0 fs 丁 是 d 吖= d w 产+ o ( t ) d t ， e # r l a 】= e q i h 以上舻n 。e q u 分别表示在p 和q 测度下的数学期望，i 是a 的示性函数。 定理4 ( 多资产期权的b 1 a c k s c h 0 1 e s 方程和多资产欧式期权的b 1 a c k s c h o l e s 公式) 多贽 警+ ；砉哪m 差岳+ 喜c ，一鳓s t 畿一r y = 。 剐= 赤j 5 丽e - r ( t - t ) f f 等掣e 印 - 鬻卜 玄= a ! i = i n 鲁“r - q i - 了a i i ) ( 卜力( i _ l n ) 第二章预备知识 7 2 2 汇率联动远期合约的分类 国际投资者对外国股票进行投资时，除了关心外国股价风险外，也很关心汇率变 动的风险。为了有效地管理风险，投资者或者同时对外国股价及汇率进行避险，或 者考虑规避其中之一的风险。此时，投资者可能会选择汇率联动远期合约来进行套 期保值，来规避所持资产的风险。针对投资的各种不同需要，根据到期现金流量的 不同，构造出以下四类汇率联动远期合约。 记号： 露：到期时，以国内货币计价的第i 类远期合约的价值，待1 ，2 ，3 ，4 f r ：远期合约到期时汇率，代表每一单位外币的本国货币价值 s ：到期日外国标的资产的价格，以外币计价 x ： 远期合约的履约价，以外币计价 1 ) 第一类汇率联动远期合约 到期现金流量为：刀= f r ( s r 一幻 群是到期时外国远期合约交割价格( s ；一目，以当时的即期汇率毋转换成本国货币价 值。 2 ) 第二类汇率联动远期合约 到期现金流量为：砰= - y ( s ；一1 0 此处，f = 期初已约定的汇率( 固定) ，露是到期时外国远期合约交割价格( s ；一回以 期初已约定的固定汇率f 转换成本国货币价值。 3 ) 第三类汇率联动远期合约 到期现金流量为：席= i 3 ；一所正 到期时，外国标的价格s ；是以固定汇率_ 转换成本国货币价值3 ；，而履约价却以到期 时的浮动汇率f r 转换成本国货币价值而置。 4 ) 第四类汇率联动远期合约 到期现金流量为：群= ( ，r s ；一f 硒 与第三类不同的是，到期时，以当时的浮动汇率矸将外国标的价格s ；转换成本国货 币价值，r s ：，但履约价却以固定汇率转换成本国货币价 t - f k 。 第二章预备知识 2 3 汇率联动期权的分类 8 此外，国际投资者还可以选择汇率联动期权来进行套期保值，来规避所持资产的 风险。针对投资的各种不同需要，根据到期现金流量的不同，构造出以下四类汇率 联动期权。 记号： 咿：到期时，以国内货币计价的国外股票欧式买权，f = 1 ，2 ，3 ，4 f r ：到期时，以国内货币计价的每一单位外币价值 s r ：到期时，国外股票价格( 以外币计价) 蜀：各类汇率联动期权的执行价格，f - l ，2 ，3 ，4 1 ) 第一类汇率联动期权 到期现金流量为：町= f ，岱r k j ) + 这里k 1 以外币计价， 是到期时期权的国外价值( s ，一k 】) + 以当时的即期汇率f r 转换 成本国货币价值。 2 ) 第二类汇率联动期权 到期现金流量为：w = ( f r s r 一配) + 这里局以本币计价，孵是到期时先将国外股票价格以当时的即期汇率矸转换成本国 货币价值矸s r 然后取( s r 厅一憨) + 。 3 ) 第三类汇率联动期权 这种期权与第一种的不同之处在于，到期时以预先约定的汇率，o 将国外股票期 权转换成以本国货币计价的期权。该期权的到期现金流量为：孵= f o 岱，一甄) + 这里届以外币计价。 4 ) 第四类汇率联动期权 到期现金流量为：口= s r ( n 一甄) + 这里甄以本币计价，它的执行价格是针对汇率而言的。 投资者可以根据自己的需要，选择不同的汇率联动期权来进行套期保值，例如， 如果预计将来汇率会下跌，但国外某股票会上涨，则此时可以预先约定一个汇率， 选择投资第三类汇率联动期权。再如，如果预计将来汇率会上涨，并十分看好国外 某股票，则可以选择投资第四类汇率联动期权。 第三章汇率联动远期合约的定价模型 3 1 基本假设 假设国外标的物价格及汇率在( q ，e 励上的随机过程可分别表示如下( r 为风险 环境下的概率测度) ： 鲁吨一曲出+ o - d w ； df：j出+crfdw晏f-g- = ，d f + ( 3 1 ) ( 3 2 ) 此处： s ：t 时刻国外标的物( 股票) 价格 e ：t 时刻两国即期汇率，是以本国货币计价的每一单位外币 q ： 国外资产支付的连续红利率( 为股价某一确知百分比) ，肌：分别代表股票瞬间期望回报率及汇率瞬间变动率( 这里假设是常数) 矿，旷f ：分别代表股票瞬间回报率的标准差及汇率瞬间变动标准差( 这里假设是 常数) d 矿，d w r f + 分别是( q ，只励上股票价格的布朗运动及汇率的布朗运动 利用w e i ( 1 9 9 7 ) 1 】的方法，将( 3 1 ) 、( 3 2 ) 式变成风险中性情况下的随机变动过程 ( p 为风险中性概率测度) ：( 假设c o v ( d 矿，d n p f ) = 0 ) i d f s ；= ( r 一q ) d t + ，d 蟛 ( 3 3 ) d f f t ：( r a - r ) d t ( r a + 旷f d 昨 ( 3 4 ) 百= + 旷f m 咋 ( 3 4 ) 此处： r ，r a ：分别代表国外与本国无风险利率( 这里假设为常数) 9 第三章汇率联动远期舍约的定价模型 1 0 d 矿，d 蝶：分别是( q ，f p ) 上股票价格的布朗运动及汇率的布朗运动 因此，由( 3 3 ) ， ( 3 4 ) 式及定理2 ，在风险中性情况下，以本国货币计价的外国 资产价格s ，= ：e ) 的随杌过程为： d s 弋 = ( r d q ) d t + o - s ，d w s ，+ o f d w u f s t = s 。r f t ：g f b t n 一碱瑚+ 。s 瞄s e ( sr ) = s i f , e f f ( r a - o d “ 此处：一= “等) = v a r ( 1 n ( s ：f , ) ) = ( 唾，+ 砟) ( 丁一f ) 由( 3 3 ) 式及定理l ，可求得： m n s l = ( ，一鼋一；唾，) d t + 吩，d 嘭 f 城= f r ( r i _ q - 翟澌f 咐d w p 加簧= r ( r i - q - 如血+ r 州嘭 s ；- - s ；e ”q 一域黼叶椭：， ( s ；) = s ，叮m 同理有： f r ：f e 妇一r r l 畦m + ，f d w f e ( f r ) ：f t 小r d - r 油 在文献 1 6 3 ，介绍了在两国利率为固定不变时( n o n s t o c h a s t i c ) 汇率联动远期合约的 定价。虽然，在极短时间内，两国利率也许变动极小，但也无法完全确定不会变 动。因此，若将两国短期利率固定的假设加以松绑，并推导出随机利率下汇率联动 远期合约的价值及远期价格，这样将会更切合实际。 假设国内与国外利率满足h u & w 1 1 j t e 利率模型。该模型的特点是即期利率 是均值回复的，且被一些学者用来考虑定价股票期权和其它些衍生证券。 在h u l l & w h i t e 模型下，国内利率r a ( t ) 与国外利率r 加) 分别遵循以下过程： d r a ( t ) = ( a d 一r a ( t ) ) d t + o d d w d ( t ) ( 3 5 ) d r i ( t ) = ( a 一b f r f ( t ) ) d t o i d w i ( t ) ( 3 6 ) 第三章汇率联动远期合约的定价模型 其中，a d ，b a ，o d ，a f ，b ，吖为己知常数，w e ( t ) ，h ，( f ) 是标准布朗运动。为简化计算，假 设： c o v ( d ，d w f ) = 0 ， c o v ( d w j ，d w s ，) = 0 ， c o v ( d h 0 ，d w j ) = 0 ， c o v ( d w ? ，d w s ，) = 0 ， c o v ( d w ：，d w j ) = 0 r h ( 3 5 ) 及i t o 定理1 得： 一 r e ( t ) = r a ( o ) 面a ( o ，f ) + f 碍磊( “，f ) 血+ f 啊( “，t ) d w d ( u ) j 0j 0 此处： 压( “，v ) = e x p l f 加出 故 r 啡胁= 癖c 町，+ r 口磊c 啦，出+ r 诟肛d c 毗 此处： 压( “，力= f 历( “，s ) d s 令 c d ( o ，t , r z ) = 妇( o 届( o ，r ) + f 4 磊( 虬t ) d u 故 卜炉+ r 嘲 腿氤 卜肌吣刎+ r 椰，叫哪 j r ，( s m s = c ，( o ，tr ，) + i嘴( ，r ) d 似) j 0j 0 此处： 乃( 地= e x p 一厂乃d f 力( 虬，) ；厂力( 。，。) “ c a o ，t ，r ，) = o ( o 癣( o ，r ) + f 口历( h ，t ) d u 丝丝塑型塑幽l 1 2 3 2 汇率联动远期合约的定价 的薪耄2 险：警篓2 黧翌慧品的价值是其到期现金流量期望值以无风险利率 鲁折现值。舭根据风舯性的定价理论来计算谥茹茹未荔磊荔淼 i ) 第一类汇率联动远期合约的定价。 正。e 一石嘶m 乃( s ；一别 = 占f p 一7 舢胁，s 力一k e e r 州枷。n 】 e 矿州岫一j 妇= e e - f 州胁s ；p r f 什i ，m + r 吩i v ，p ( u 、，。耻r r ( 一- 一；畔胁坩州嘴们 = s b p r 卜 ， 畔协e f ，4 哆( 砷坩”d 彬吐 = s ；r o g 脚 e 一石。“m f r = 占k f 嘣枷“凡叶一 砰m + f 口d 吼】1 = f o e r 砰“f p f 州h m + 工r d 吩砷1 2 ，0 e p 吖c ：“0 研h f 晴( u r ) a w z ( 。) ) 】 = 凡f 哪l r e e r 确* 聊町。) 】 = f e a 簪 协r ) d u c i t o , t , r ) 故第一类汇率联动远期合约的价值为： = s 毛f o e - 弛一x f m 毒a ；净札，m c r 幢，n 2 ) 第二类汇率联动远期合约的定价。 正= e e - r 栅脚私；一蝴 = f e 陋一石“m s 力一k - f f e e f 嘣“m 1 e f p 一石。”m s 妇= e e f 砷岱j p f ，呻，m + f ，。哆“) 1 笠三童垄兰壁塑堡塑全堑盟壅丛型” = s ：e f ( 一 ，1 m 研吩d 哆似+ f ( 州口卜q “灿】 ：s o p j ”o 1 e e f ( 叫h 卜嘣“m 】 = s 和印( r ( ；前( 地乃+ ；巧殍( 地即十c ，( 。，r r ，) 一a ( o ，l 蹦一g ) 血) e e - f f 。( ”m 】：唧( ；f io - 蕊2 ( ，t ) d u c z ( o ，lr d ) ) 二，0 故第二类汇率联动远期合约的价值为： 丘= - ：s o e f 0 7 ( ；币孑m ，r ) + ；司努( ，r ) + c ，( o ，t r ，) 一o ( 。，l 砌) 一日) 血) 一- - ，置即咿( ；if 口i 历7 ( “，t ) d u c a ( o ，t 憎) ) j 0 3 1 第三类汇率联动远期合约的定价 f 3 ：旷f “帅( 两；一f r k ) ：- f i e e 一r “) 血s ；】一k e e - f f 口扣) d u f r 】 ；- ：s o e x p ( f 7 ( ；前( 妒) + ；币抛r ) + c ，( 0 丁，r ，) 一c e ( o ，t , r a ) 刊血) j 0 二 一f o ke x p ( ；f 巧了( t ) d u - c f ( o ，f ，r ，) ) j o 4 ) 第四类汇率联动远期合约的定价 f 4 ：研p f 嘣眦( ，r s ；一 p h 3 ：e p f 州”m 矸s 妇一 f f k e e - f fr z m 】 = f o s ；e r 讪一砝唰；j ：7 桶( 妒一c d ( o ，l 棚 第三掌汇率联动远期合约的定价模型 3 3 汇率联动远期合约的远期价格 1 4 因为某个远期合约的远期价格( f o r w a r d 州e e ) 定义为使得该合约价值为零的履约 价格，而远期合约的期初价值为零。因此可利用上节各类型远期合约的定价公式求 解远期价格，它也就是交割时的履约价k ，分别求解如下： 1 ) 第一类汇率联动远期合约的远期价格 ( 履约价) 。 令 = 0 ，( 解出f i ( = 0 ) 得： f i = s o e x p ( f ( q ( 0 t , r f ) 一；啊( h ，r ) 一q ) d u ) j o 二 2 ) 第二类汇率联动远期合约的远期价格f 2 ( 履约价) 。 令五= 0 ，( 解出尼( = 幻) 得： f 2 = s j 唧( j ( c ，( o ，t , r f ) + ；币7 ( n ，丁) 一q ) d u ) j 0 二 3 ) 第三类汇率联动远期合约的远期价格f 3 ( 履约价) 。 令f 3 = 0 ，( 解出乃( = 目) 得： s 3 = 磊s o e x p ( f o r ( 2 c ，( 。，l ，) + ；噍? ( 虬r ) 一c d ( o ，l r d ) 一日) d l f ) 4 ) 第四类汇率联动远期合约的远期价格一( 履约价) 。 令f 4 = 0 ，( 解出，4 ( = 趵) 得： ，f 4 = f f o s ；唧( f 唧( o ，l 小；顼地力刊血) 第四章汇率联动期权的定价模型 4 1 模型假设 假设国外标的物价格及汇率在( q ，只固上的随机过程可分别表示如下： 孥叱一日灿+ t r s d w ： ) 鲁计出+ o - r d 睇 ( 4 2 ) 此处： s ，：t 时刻国外标的物( 股票) 价格 f t ：t 时刻两国即期汇率，是以本国货币计价的每一单位外币 q ： 国外资产支付的连续红利率( 为股价某一确知百分比) 胁，1 ，：分别代表股票瞬间期望回报率及汇率瞬间变动率( 这里假设是常数) o s ，矿f ：分别代表股票瞬间回报率的标准差及汇率瞬间变动标准差( 这里假设是 常数) d ”，d 嵋：分别是( q ，只r ) 上股票价格的布朗运动及汇率的布朗运动 利用w e i ( 1 9 9 7 ) 1 】的方法，将( 3 1 ) 、( 3 2 ) 式变成风险中性情况下的随机变动过程 ( p 为风险中性概率测度) ：( 假设c o v ( d w ；s ，d 矿f ) - - - - 0 ) 孥= ( r ，一g ) d f + 矿，d 嵋 ( 4 3 ) 鲁= ( r d r ) d t 协螂 ( 4 4 ) 此处： r ，r a ：分别代表国外与本国无风险利率( 这里假设为常数) 1 5 第四幸汇率联动期权的定价模型 d 彬，d 嵋：分别是( q ，只p ) 上股票价格的布朗运动及汇率的布朗运动 4 2 汇率联动期权的定价模型 我们利用一对冲原理，在时间段( t t + 出) 作一个投资组合，使得n 在( t t + d f ) 时间段内无风险。n 是由一份汇率联动期权多头v ( s ，e 力( 以本币计价) 和l 份国外 股票空头s ( 以外币计价) 及2 份以汇率为标的物的期权( 只f ) ( 以本币计价) 组成。在 ( t t + d t ) 时间段内n 的收益为： 所以： n r = 一a 1 s f ，f 一2 ， d i i = d v a l d ( s f ) 一a 2 d v t a 1 s q f d t 由i t o 公式，我们有： a y = 罾出+ 筹妒+ 筹邙+ j 1 而0 2 v ”，12 m + 互1 而0 2 v 孵s 2 出 d ( s f 、= s d f + f d s d u = 铷+ 等；器出 将( 4 6 ) 、( 4 7 ) 、( 4 8 ) 代入( 4 5 ) 得到： d i i = 罾m + 而o v a f + 万o v 心+ ；豢砟f 2 由+ ；豢一s 2 出一t a ，+ 朋， ( 4 5 ) ( 4 6 ) ( 4 7 ) ( 4 8 ) - 2 ( 百o v td f + 而o v l 叭；器- a l s q f d f ( 4 9 ) 选择1 ，2 消去随机项， ( 4 1 0 ) o i i 盟卵 o = 一 ， s 一 一 w 一 8 吖一卯 ，-i_j、_l 第粤章汇率联动期权的定价模型 得到： ，三翌 f8 s a 22 a ysa y a ff8 s o v i a ， ( 4 1 1 ) 由此( 4 9 ) 式变为： d - o 出v d t + j 1 而o “v 略，：m + ；象一s ：由_ 2 t 百0 v i 珊+ ；器砟，：- a i s q f m 由于是无风险的，根据无套利原理圆： 即： d i i = r a n d t 罾出+ 1 2 塑o f z 。p ，z d f + 芝l 而i f v 吒s ：出一句，o 研v jd t + ；器砟f ：一。s 矿d f = ( y a 1 s f a 2 v i ) d 将( 4 11 ) 代入( 4 1 2 ) ，经计算得到： 罾+ ；豢一，z + ；象嵋s ：一面o v s 日一心y + 万o v 砌s a ysa y 8 ff8 s 豢+ 三2 盟0 f 2 砟皿y8 t r1 ：= - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 一 0 v 1 而 f 4 1 2 ) ( 4 1 3 ) 注意等号左侧是关于函数v 的表达式，而右侧是关于函数u 的表达式，这说明其 应等于一个与v 、无关的函数，假设此函数为嘲： l o - p 一( r d r 伊 这里 是市场风险价格，在风险中性条件之下，a = 0 作为一个风险价格【3 l 。 由此得到： 磐+ 筹( _ r ，) ，+ ；而0 2 v i 叩4 2 一“= 。4 ) 第四孝汇率联动期权的定价模型 1 8 罾+ ( r ，一秘筹+ ( 一r ，) f 而o v + 芝1 而0 2 v r ，- r 2 + j 1 而0 2 v 嵋s 2 一妇y = 。5 ) 4 3 定价公式及其结论 上述已经得到了汇率联动期权所满足的定价方程( 4 1 5 ) ，结合期权到期e l 的收益函 数，利用多维b l a c k s c h o l e s 公式，我们可以得到四类汇率联动期权的定价问题及其 定价表达式。 1 ) 第一类汇率联动期权的定解问题及其定价表达式 它的价格满足下列定解问题： f 罾+ ( r ，一拶筹+ ( 砌一r ，) f 筹+ 芝l 而o “v 昨，：+ ；象s 2 - - r d y = 。 y 。s ，r ，：，。s 一置。，+ ， 。s 。，。s f 。，。，r ，4 1 6 由多维b 1 a c k s c h o l e s 公式，我们可以给出上述定解问题的解的显式表达式： y c s ，只力= 丽两l c r d t d 而if r 垃唧 - 瓣】却，魄 其中： ， ， l n 差+ ( r - q - 争( 卜力 。川n 熹m r ，一譬) ( r f ) ”f z f 罾+ ( r ，一口垮筹+ ( _ 一，矿万o v + ；豢砖严+ 芝1 而i 2 v 略_ s ：一砌，= 。 iv ( s ，只t ) = ( ，s 一鲍) + ， ( 0 ss o o ，0 s f ，0 茎t s t ) ( 4 1 8 ) 第四幸汇率联动期权的定价模型1 9 郴用，= 南e 州去rr 垃笔；竽唧 _ 三蓦鲁麦嵩 却，却， 其中： = l “_ s + ( r ，一鼋一手) ( 丁一f 口，：l n 三+ ( h r t - - 以- s - - ) ( t f ) 3 ) 第三类汇率联动期权的定解问题及其定价表达式 它的价格满足下列定解问题： f娑+(r，一邪筹+(一r，)，而ov+芝l而02vut矿；铲+ ；豢嵋s ：一y = 。 1y 。s ，r ，：，。s 一局，+ ， 。s 。，。s ， 。，。s ，r ， 4 2 。 由多维b 1 a c k s c h o l e s $ _ 斌，我们可以给出上述定解问题的解的显式表达式： 陋只。= 丽1 可c - j ：( r - o 面1r r 警唧 _ 鬻】蛐， 其中： o r s = i n 未+ c r ，- q - 和一力 ”l 嗉+ ( r 一- r f - 譬灯- f )，7 ， z 4 ) 第四类汇率联动期权的定解问题及其定价表达式 它的价格满足下列定解问题： 罾+ ( r ，一秘筹+ ( 一r ，) ，而o v + 互1 而0 2 v 晔f 2 + 芝! 而o z v 略- s 2 一砌y = 。 ( 4 2 2 ) v ( s ，e 丁) = s ( f 一甄) + ，( o s o o ，0 s f o o ，0 t r ) # l 多维b l a c k s c h o l e s 公式，我们可以给出上述定解问题的解的显式表达式： ，y c 踮归丽b r 嘣n 。去f f 垃唧 - 蔫嵩 岛，咖 h 2 3 ) 第四章汇率联动期权的定价模型 其中： a , = l n 未+ c r f - q - 知叫 即：1n旦f+(一r，一宰)(丁一f)ir 。 z 请注意：上述在利用多维b l a c k s c h o l e s 公式推导时，我们用到了： a 锻圳蚓 d e t a = 一砖 一= 去】 玄= 引 从公式( 4 1 7 ) ，( 4 1 9 ) ，( 4 2 1 ) ，( 4 2 3 ) 我们可以看出，它们都是被积函数带有奇性的 两重积分，要真正解决问题，还必须针对问题作具体分析，尽可能找出简化的办 第五章跳扩散模型下的汇率联动期权 5 1 问题的引出 在前面的讨论中，股票价格和汇率被假定为几何布朗运动的连续随机过程，然 而大量金融统计数据表明这样的模型得到的结论与实际情况有较大的偏差，其中主 要的两种不一致现象是：( 1 ) 由b l a c k s c h o l e s 模型确定的无条件报酬分布的峰度偏 小。( 2 ) 实际观测到的资产价格具有“肥尾”分布，即存在隐含波动率“微笑” 现象。为改进b l a c k - s c h o l e s 模型达到与实际相符的目的，且前主要有两种方法，其一， 是对于