（应用数学专业论文）格矩阵的周期指数.pdf

摘要 摘要 本文给出了模糊矩阵周期指数的一个上确界，并研究了格矩阵的周期指数达 到 n 时所满足的条件。 我们首先介绍了模糊矩阵的有关基本概念，然后简要回顾了相关领域的学者 针对模糊矩阵周期指数所作的研究成果。在此基础上，我们利用模糊矩阵分解定 理和图论的有关基本知识来研究模糊矩阵的周期指数问题，给出了其中的一个上 确界。由于模糊矩阵是在运算m a x m i n 的意义下，区间 0 ，1 内讨论，因此我们 在推广了的代数系统格上，研究格矩阵的周期指数。在整除格上，能构造出周期 指数为 n 的整除格矩阵。为了研究这类矩阵的特点，我们给出了格的维数的定 义。对于一般的格矩阵，当周期指数达到 n 时，讨论了格的结构。 本文建立的有关结果可以视为对以往关于模糊矩阵和格矩阵周期指数的研 究成果的发展，为模糊矩阵应用于神经网络等领域解决了收敛性问题。 关键词格矩阵；模糊矩阵；周期指数 北京t 业大学理学硕士学位论文 a bs t r a c t i i l “sp a p e r ，a i le x a c tu p p e rb o u l l do fp 耐o df o r 缸z z ) rm 枷c e si s 西v e i la i l d c o n d i t i o i l sm a tm e1 a t t i c es a t i s f i e dw h e i lm ep 甜o d 矗l a t t i c em a t r i c e si s n a r e 删e d a tf i r s t ，c o n c e p t so fm z z ym 删c e sa r e 百v e l l ，a 1 1 dt 1 1 朗l ep a p e rb r i e f l yi i 州e w sm e p r 嘶o u sr e s e 鲫出e si nr e l a 廿v ef i e l d s o nm e s eb a u s e s ，w e 咖i d y t l l ep 甜o df o r 勉z ) r m 撕c e su s i n gm ed e c 0 m p o s i t i o nm e o r e 虹1a 1 1 d 蓼a p h - t 1 1 e o r 西c a la p p r o a c h ，s 0m e 砷p e r b o u n di s 西v 钮a sm ec o m p o 鲥o ni sm a ) 【一m 血a 1 1 dt h e i n t e a 1i s 【0 ，1 】o f m e p r e v i o u sr e s e 删1 e s ，w ee x t dt 0 舢g e b r as y s t e m l 枷c e ，o nn l ed i 们s i b i l i t y1 a 位i c e ， l a t t i c em a t r i xc 纽b ec 0 n s 饥1 c t e do f 删c hp 耐o di s n 】h 1o r d e rt 0s t i l d yt h j sh n do f l a t t i c e ，l ed e f i l l i t i o no fd i i n e n s i o no f1 a 位i c ei s 百v e n w ed i s c u s sm ec o n 咖c t o ro fm e l 枷c e w h e i l 舭p 耐o d f o r l a 砸c e m a 儆i s 【n 】 t h er e s u l t sp r e s 肌t e dc 0 u l db er e g 硼c d 嬲d e v e l o p m e n to fm ep r e v i o u sr e s e a r c ho n f h z z ym a 埘c 髂a n dt l l e s ep r o b l e 1 sa r eb a l s i c a l l yr e s o l v e df o rf i j z z ym 枷c e sa p p l y i i l g t 0m e 石e l d so fn e r v en e 魄o f k k e y w o r d s l 枷c em a 缸x ；f h z z ym a ：x ；p e r i o di 1 1 d e x u 独创性声明 本人声明所呈交的论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他 人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得北京工业大学或其它教育机构 的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均 己在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：豇乞鸶n 日期：l 蝉 关于论文使用授权的说明 本人完全了解北京工业大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅：学校可以公布论文的全部或部 分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 躲勉翩签名：氆蚤翌魄 第1 奇绪论 第1 章绪论 我们首先给出模糊数学的一些基本概念，然后简单介绍模糊矩阵周期指数的 历史背景。 1 1 引言 每个概念都有一定的内涵和外延，外延是指概念反映的那类对象，内涵是指 概念反映的客观对象的本质。从集合的观点来看，一个概念的内涵就是集合的定 义，外延则是组成该集合的元素。这表明集合可以描述概念，如集合 1 ，2 ，3 ) 描 述了“正整数”这一概念。然而，如果我们对我们周围的一切细加考察的话，就 不难发现，普通集还不能描述所有的概念。像“天气好 ，“个子高 ，“美丽”这 样一类经常遇到的模糊概念，就无法用普通集合来表达。因为普通集合描述的概 念有这样的特点：一对象要么符合该概念，要么不符合该概念，二者必居且仅居 其一，没有模棱两可的情况。而对于模糊概念来说，一对象是否符合它，不能简 单的用“是”或“否”来回答，因为对象既不完全符合，也不完全不符合，而是 在某种程度上符合该概念。美国计算机与控制论专家l a z a d e h 教授于1 9 6 5 年 提出了模糊集合这一重要概念，其基本思想是：把经典集合中的隶属关系加以扩 充，使元素对“集合”的隶属程度只能取o 和1 这两个值推广到可以取单位区间 o ，1 中的任意数值，从而定量地刻画出模糊性对象。简单的说，一论域u 到 o ，1 区间的一个映射。：【，一 o ，1 】，工一一( x ) ，心称为模糊集彳的隶属函数，在不 致误解的情形下，对模糊集和它的隶属函数将不加区分。在某种意义上，模糊集 是经典集合的推广。模糊集的隶属函数可看作经典集合论中集合的特征函数的推 广。我们直接给出布尔矩阵、模糊矩阵的概念和最基本的性质。 设尺是x 上的二元关系，若尺是x x 上的有限子集，就称尺为有限二元关 系。有限集合上的所有二元关系都是有限的，我们可以用关系矩阵表示二元关系。 定义1 1 1 设r 为甩元集合矿= “，v ，1 ，。) 上的二元关系。我们称 m 俾) = ( 白) 。为尺的关系矩阵，其中勺= 1 当且仅当( 1 ，v ，) 尺，否则，勺= 0 ， 任意1 f ，_ ，z 。 任意有限二元关系尺都可以由其关系矩阵m 俾) 确切描述，依照定义，m ( r ) 的所有元素的取值都属于集合 0 ，1 ) ，这样的矩阵称为布尔矩阵。 例1 1 1 尺为x = 2 ，4 ，6 ，8 ) 上的整除关系，有 北京工业大学理学硕十学位论文 m ( r ) = 11 ol o 0 0 0 11 0l 10 01 定义1 1 2 设彳= ( ) 。刚b = ( ) 。为布尔矩阵， 序关系：彳b 当且仅当，f - 1 ，2 ，m ，_ ，= 1 ，2 ，刀 加法：彳v b = ( m a x i f ，) ) 。= ( v ) 。 合取： 么 b = 口 f ，6 f ”。= ( 口扩 6 驴) 。 布尔矩阵的加法与普通矩阵的加法的区别在于“取大”运算代替普通加法， 这样才能保证布尔矩阵加法的封闭性。 定义1 1 3 直积u 矿的一个模糊子集尺称为从u 到矿的一个模糊关系 露 u o y ，而隶属度r ( “，v ) 则称为( “，v ) u y 关于尺的相关程度。特别有当u = y ， 称r 为u 上的二元模糊关系。 由定义可见，r ( “，) 反映了“对v 的相关程度，若尺( “，v ) 越接近于1 ，则甜与 、，对尺而言关系越密切；若尺( “，v ) 越接近于o ，则 与v 对r 而言关系越稀疏。特 别地，当尺( “，) 有，2 个顶点，则称其为玎阶图，称d = 为 图，指 d 有力个顶点并且有m 条边。如果m = o ，即e = 矽，称d 为零图。如果疗= 1 ，m = o ， 即d 只有一个顶点，且无边，就称d 为平凡图。 用m 表示顶点，用p ，表示边。当d = 给定后，如矿= “，屹，v 。) ， 用下面的方式画出它的图形：首先，在平面上任意画出，z 个点，并分别标记为 m ，v 2 ，v 。；其次，对e 中的每一条边，设e 七= ，画出一条u 到不经 过其他顶点的有向边。 定义2 1 2 设d = 为有向图，其中矿= “，v 2 ，v 。) ，如果 哝= e 是d 的一条边，则称m ，v ，与彼此关联，u 是气的始点，v ，是气 的终点，1 ，邻接到1 ，v ，邻接于u 。 无边关联的顶点称为孤立顶点，始点与终点重合的边称为自环。如果两条边 的始点相同，终点也相同，则称它们为平行边，一对顶点间平行边的条数称为它 们的重数。在本文中，只涉及无平行边的有向图。 定义2 1 3 设d = ，d = 为有向图，如果矿矿，且 f e r 、( 队矿) ，则称d 是d 的一个子图，记为d d 。 设矿为矿的非空子集，称= 称由矿导出的d 的子图，简 称导出子图。 如果d 的子图包含d 的全部顶点，则称该子图为d 的生成子图。 例2 1 1 图2 1 中给出了有向图及其生成子图与导出子图的例子。 北京 _ 业大学理学硕士学位论文 v 2 图2 1 定义2 1 4 设d = 为有向图，其中 矿= h ，屹，以) ，e = e 。，g ：， ，如果顶点和边的一个交替序列 ，勺t ，u 。，勺2 ，v f 2 ，魄中，对p = 1 ，2 ，七，每个都以l 为始点，以为 终点，其中毛= f ，t = ，则称这个交替序列是一条由m 到y ，的通路，记为 三= 三( 1 ，i o ，e 一，v i l ，p j 2 ，v 1 2 ，e 业，v 姨) 。 通路中边的数目称为该通路的长度，记为j i 三i i 。当v f = v ，时，这条通路称作 回路。如果一条通路中的所有顶点互不相同，则称其为初级通路或路径。如果一 条回路中的所有顶点，除起、终点外，均不相同，则称此回路为初级回路或圈。 如果一条通路中的所有边互不相同，则称其为简单通路。如果一条回路中的所有 边均不相同，则称此回路为简单回路。 图2 2 给出了通路，回路示意图。( a ) 为到v ，长度为3 的初级通路，也是 简单通路。( b ) 为到的长度为4 的初级回路，也是简单回路。 哆 ( b ) 图2 2 引理2 1 1 设d 为甩阶有向图，则下列结论成立： ( 1 ) 每条初级通路的长度都不大于万一1 。 ( 2 ) 每条初级回路的长度都不大于玎。 ( 3 ) 任给两个不同顶点“y ，存在一条“到v 的通路的充分必要条件是存在一条“ 到1 ，的初级通路。 ( 4 ) 任意顶点“，存在通过“的回路当且仅当存在一条通过“的初级回路。 证明：( 1 ) 由d 为刀阶有向图，知d 有，2 个顶点。由于初级通路的顶点不重，故 任意一条初级通路中最多有甩个顶点，于是最多有，z 一1 条边，所以每条初级通路 的长度都不大于，z 一1 。 ( 2 ) 注意到过，? 个顶点的初级回路长度为，2 ，即有每条初级回路的长度都不大于 ，zo 第2 章模糊矩阵的周期指数 ( 3 ) 设三= 三( v u l ，一，) 是一条“到1 ，的通路，若的顶点无重复出现，则是初 级通路。若三的顶点有重复出现，则设= k ，s o ) 为彳的边集，边的赋权为缈( ) = ，v e 。 d ( 4 ) 中的通路 的容量记为国( ) 或 简记为国( 三) ，其中国( 三) = 国( 三 ) = 口竭 口，l ，2 人 口- ，。 引理2 3 1 设图d 中的通( 回) 路三可分解为厶和厶之和，则 国( 三) = 国( 厶+ 厶) = 国( 厶) + 缈( 三2 ) 。 定理2 3 1 设彳= ( 口：) 。为模糊矩阵彳的幂序列。任给正整数后，任给 o ，) ，l f ，_ ，万，令形( f ，_ ，尼) 为v f 到v ，长为露的所有通路构成的集合，则 。f o ， 形( f ，功= 矽 2 1 焉) 烈三) ， 其他 这个定理给出了模糊矩阵幂序列元素的一种直观的描述，度量的尺度变化 了，不再从元素间运算来考虑，而从一条路的角度来看，基本单元变大了。由这 个定理可以看到基本通路决定了矩阵幂序列的性质。 第2 章模糊镩阵的周期指数 定理2 3 2 设么= ( 口：) 。为模糊矩阵彳的幂序列，任给正整数尼1 ，任给 ( f ，) ，1 f ，_ 以，有 噶= m q 蛐m q d 朝m ，l ，2 磅 吨八 也 力， 其中，毛，红为非负整数，且s + + 局+ + 红= 尼。 证明：由定理2 3 1 及通( 回) 路的分解式，无妨设 口；= 国( 厶+ c 1 + + e + 。) ，其中厶为到1 ，长为5 的初级通( 回) 路，c f 为过厶 的第f 个顶点长为砖一。的回路，且j + + 岛+ + 红= 尼。 设彩( 厶) = 口j f l 口弛 口，一l - ， 则有口；= ( 厶+ c l + + c + 1 ) = 缈( 厶) 八缈( c 1 ) 国( c 2 ) 缈( e + 1 ) 口凰 口，l f 2 口一。， 口 口磊 以乏土：。 口刍， 所以噶= m 磷蛐m 啦一“如旭他人- 叭八毋 吃 八晚q 喀。 定理得证。 定义2 3 2 如果存在d ( 彳) 中的回路通过顶点叶，则称v f 为回路顶点；如果_ 不是d ( 彳) 的回路顶点，但存在与v 单向连通的回路顶点v ，则称v 是分支顶点。 否则，称m 是瞬态顶点。 推论2 3 1 如果u 是瞬态顶点，则对所有的尼哪，z ，口；= 口j = o 。 如果d 似) 是强连通的，则记d 似) 的所有回路长度的最大公因子为d ( 彳) ， 称为d ( 彳) 或彳的回路指数。 约定彳及其幂序列彳的伴随图有相同的顶点集，在这一意义上，d ( 彳) 中的 回路与d 似) 中的回路之间有着内在联系。设l ( 、，v f l ，v 1 ，v f o ) 是d ( 彳) 中一条 长为f 的回路。对任意给定的尼1 ，令 为尼与r 的最大公因子，f ，= 三，则在 f l d ( 彳) 中可分解为 条长为f ：的不相关的回路。 定义2 3 3 设么为甩珂模糊矩阵，召= 彳v 彳2v v 么“= ( 6 1 f ，) 。称 岛l 一，k ) 为彳回路容量指标集，称6 1 f f 为顶点v 的回路容量指标。 定义喀，1 f ，z 是彳的回路指数集：如果= o ，则定义喀= 1 ，否则，定义呸 为v 的所有容量等于的回路长度的最大公因子，称z 为v 的回路指数。 在本文中，用q ，( f = 1 ，功表示模糊矩阵彳的回路容量指标，如果= 0 ， 则m 一定不是彳的回路顶点，并有口：= o ，v 尼1 。如果彳是强连通的布尔矩阵， 则d ( 彳) ；d l = = d 。 定理2 3 3 设么为任意玎n 模糊矩阵，碱，吃) 为彳的回路指数集，彳收 北京丁业大学理学硕十学位论文 敛的充要条件是对任意砸= 1 ，功，儡= 1 。 注意到d ( 彳) 的任意一条容量为c 长为z 的回路，对应d 似) 中条容量为c 长为乞的不相关回路，其中f 。为七与f 的最大公因子，f ：= 三；另一方面，d 似) z l 中任意一条容量为c 长为f 的回路同时也是d ( 么) 的一条容量为c 长为腩的回路。 对于模糊矩阵的周期指数有以下定理成立： 定理2 3 4 1 设彳为任意，2 ，2 模糊矩阵，只为其周期指数，z ( 1 f 玎) 为彳 的回路指数，则只= 趾硝盔，以】，其中肠m d 。，以 表示盔，d 。的最小公倍 数。 证明：设m 是使得彳”收敛的最小正整数。在烈彳) 中，设v f 的所有容量等于的 回路有s 条，p ，( 1 s ) 为这些回路的长度，由回路指数的定义， 盔= g c d p l ，n ) ， 令p ，= d ，g ，g c d ( g 】，g ，) = 1 ，1 歹j 。 由以彳) 的任意一条容量为c 长为f 的回路，对应d 似。) 中厶条容量为c 长为 乞的不相关回路，其中矗为七与f 的最大公因子，f ：= 。又由彳“收敛，由定理 z l 2 3 3 ，在d 似”) 中，v 的回路指数 叱书c a 锅，南) = g c d 锪，彘) - 1 ，s c 妣p 脯衲 和p ，的最大公约数，有西i m ，所以比m 盔，d 。 l 历。由定理2 2 3 得 只= 比埘画，以】。 定理得证。 下面定理把模糊矩阵周期指数上界用另外一种形式表示。 定理2 3 5 设么为任意刀，z 模糊矩阵，只为其周期指数，则 乞纪聊 ，z l ，】。 证明：首先证明只z c 聊， ，z i ，z ，】。对顶点的序号进行重新排列( 不影响周 期指数) ，一定能得到q 呸。4 为m 回路指数，即为v 的所有容量等于 的回路长度的最大公因子，等于气中m 所在强连通分支s ：的回路指数。 对于 ，有s ：r 、- s ! ， 二豸 ( 1 ) 当sr 、s ，= 矽时，因为都是强连通分支，对任意强连通分支，每个顶点的回路 指数都相等，为强连通分支的回路指数。设吩为s ：所含顶点个数，对任意1 f ， 第2 章模糊矩阵的周期指数 有喀琢。所以有只= 缸埘d l ，一，d 。 比，l 碍，刀， 。 ，1 1 ”“r ) “ ( 2 ) 当s n s 时，有5 r ，冬墨，设d ，= g c d p l ，p 2 ，b ) ， 而d ，= g c d ，p 2 ，见，n + l ，只) ，p ，( 1 _ ，5 ) 为s 中所有初级回路的长度， p ，( 1 f ) 为5 1 中所有初级回路的长度，所以盔ld ，把盔去掉并不影响结果， 有e = z c 啦西，吃 三纪砸岛，九，“，瓯】。不考虑v 所在强连通分支s ，只考虑 s ，是，乳，最。由f ，- ，的任意性，类似的考虑，只剩下s ，毛，& ，这 些强连通分支中所含顶点数分别为，z 1 ，吃，珥，其中& r 、最，= 矽，即为 第一种情况。 对任意强连通分支，每个顶点的回路指数都相等，为强连通分支的回路指数， 分别记为西，且z ，f = 1 ， ，- ， 一 有只= f c 啊盔，d 。 - 比m d ? ，d ：】比聊 ，z l ，z ，】。 ，i l 唧” 下证等号能取到，即只= z c mh ，砟】。 一r 呷“r ；几 令4 为，z ，阶有如下形式的矩阵 4 = 令，l l + + 珞= 咒， 那么彳= 4 oo 0 o 鸣 o o 0o0o以 为，z 玎阶矩阵， 周期指数是只= 纪m 7 2 1 ，z ， 。 啊+ 斗一r = 一 定理得证。 2 4 本章小结 我们首先给出了图论的有关基本概念，然后给出了模糊矩阵的幂序列，引出 了矩阵的周期指数，并在此基础上探讨了模糊矩阵幂序列与其有向伴随图之间的 o o o o ；1 o o 0 o o o o o o 1 o ；0 o o 1 o o ；0 o 1 o o 0 ；o 0 0 o o o ；o 1 北京工业大学理学硕士学位论文 关系。利用图论中最大强连通分支证明了模糊矩阵周期指数的一个上确界。 第3 章格矩阵的周期指教 第3 章格矩阵的周期指数 上面讨论的模糊矩阵的元素均属闭区间【o ，1 ，所涉及的运算也限于v = m a x 和 = m i l l 。在这部分中，讨论更一般的代数系统格，元素不再仅属于 o ，1 ，运算不 再限于v = m a x 和人= m m 。在这类代数系统中，研究格矩阵的周期指数，进一步 的，在整除格上，构造了一类矩阵，其周期指数为垅，甩的最小公倍数，记为 嘲。 为了研究这类格矩阵的结构，给出了格的维数的定义，得到了一般格矩阵的周期 指数达到这个上界的一个充分条件。 3 1 偏序集 定义3 1 1 ( 偏序关系与偏序集) 设尺是集合x 上的一个二元关系，如果r 具 有自反性，反对称性和传递性，那么称尺为一个偏序关系。集合x 在偏序关系尺 下做成一个偏序集，记为 。 例3 1 1 ( 1 ) 正整数集矿关于整除关系d 做成一个偏序集 。 ( 2 ) 设x 为任意集合，只四为x 的幂集，即x 的所有子集构成的集合，为其砷 的包含关系，则 构成偏序集。 ( 3 ) 设x 为实数集合的任意非空子集，为实数中的小于或等于关系，则 是 偏序集。 关系图是研究分析偏序集和偏序关系的重要工具，对偏序集的关系图进行简 化，但也能突出偏序集的本质特征，得到 定义3 1 2 ( h a s s e 图) 设 为偏序集，如果五y 置x j ，且z z y 意 味着z = x 或z = y ，则称少覆盖z 。 的h a s s e 图以x 为顶点集，当且仅当y 覆盖x 时，画出无向弧 力， 且把x 置于y 的下方。 下面给出几个基本但又非常重要的概念： 定义3 1 3 设 为偏序集，b 是x 的任意非空子集。 ( 1 ) 设口b ，如果x 叩咄四，则称口为b 的最大元。 ( 2 ) 设口b ，如果口玎咄助，则称口为b 的最小元。 ( 3 ) 如果口召，只要x 础励，就有x = 口，则称口为b 的极小元。 ( 4 ) 如果口b ，只要口础仞，就有x = 口，则称口为b 的极大元。 ( 5 ) 设口x ，如果工斫咄助，则称口为占的一个上界。 ( 6 ) 设口x ，如果口玎坛四，则称口为b 的一个下界。 ( 7 ) 设口为曰的一个下界，如果对b 的任意一个下界x ，都有z 口，则称口为b 的 北京t 业大学理学硕 ：学位论文 最大下界，也称下确界。 ( 8 ) 设口为b 的一个上界，如果对b 的任意一个上界x ，都有口z ，则称口为b 的 最小上界，也称上确界。 由定义，一个子集的最大、最小元和极大、极小元都必须是该子集本身的元 素，而上( 下) 界可以不在子集里边。最大( 小) 元素要不小于( 不大于) 子集 中的每个元素，因此和子集中的所有元素都是可比的。极大( 小) 元不需要和每 个元素都可比，只要没有比它更大( 小) 的元素即可。另外，一个子集如果有最 大( 小) 元，则它一定是极大( 小) 元，但反之不成立。一般地说，任意有限非 空集合都存在极大元和极小元，但不一定存在最大元和最小元。 设有最大( 小) 元q 和呸，由偏序关系具有反对称性，那么q 吗，同时吗q ， 因此岛= 珥，所以最大元和最小元如果存在必惟一。 有限偏序集 的极大元和极小元必存在且未必惟一。 偏序集的子集如有上( 下) 界，上( 下) 界可以是不惟一的，如图3 1 ，b = ( c ，盔曰 有两个上界口和6 和一个下界d 。偏序集的子集可能没有上确界或下确界，但如 果有上( 下) 确界，上( 下) 确界必惟一。有上( 下) 界，未必有上( 下) 确界。 如图3 1 ，以和6 都是b 的上界，但召没有上确界：d 是8 的下界，也是下确界。 3 1 2 格的两种定义形式 d 图3 1 定义3 2 1 ( 格的偏序定义) 设 厶为偏序集。如果对于任意正6 l ，子 集缸6 ) 在三中都有上确界和下确界，分别记为s u p 岛协和i n f 包6 ) ，则称 厶是一 个格。记口v 6 = s u p 岛6 ) ，口 6 = i n f 包6 ) 。 当三= 1 矿，记最是玎的所有约数构成的集合， 是格。 & ，p ， ， 的h a s s e 图如图3 2 。 图3 2 定义3 2 3 ( 有界格) 如果一个格有最大元和最小元，分别记为l 和0 ，称 这个格为有界格。 例3 2 3 一个有限格一定是有界格，但无限格可能有界也可能无界。如 万，有下界但无上界。又如 口 6 = 口 ( 4 ) 口6 有口v c 6 v c ，口 c 6 c ( 5 ) 口c 和6 s c 有口v 6 c ( 6 ) c 口和c 6 有c 口 6 定义3 2 6 ( 补元) 有界格 中元素6 称为口的补元，如果口 6 = 0 且 口v 6 = 1 。 从定义得到补元是相互的，即6 是口的补元，则岔也是6 的补元。 定义3 2 7 ( 有补格) 有界