（应用数学专业论文）一类多步长的采样控制系统.pdf

论文摘要 本文主要研究一类多步长非线性采样控制系统，探讨系统进行采样过程中产 生量化误差的情况下其解的稳定性质。在这里分别采用c d t 和d t d 两种不同的方 法进行控制器设计，并以采样时刻的状态为初始状态进行欧拉叠代近似，也即充 分地考虑到量化误差的作用，然后利用所得到的近似状态来替换控制器中的系统 状态，再运用此修正后的控制器来镇定闭环采样控制系统和连续受控系统的相应 精确离散时间系统，在近似误差和采样量化误差受限的情况下从而使得系统的解 达到实用稳定( 定理2 2 1 ，定理2 2 2 和定理3 2 1 ) 。 本篇论文结构安排如下：第一章是问题的引入和数学模型的建立：第二章主 要基于连续时间模型上设计控制器，并在此基础上分析具有量化误差的非线性采 样控制系统的稳定性；第三章则是基于离散时间模型上进行控制器设计，同样探 讨量化误差对非线性采样控制系统的稳定性影响；第四章主要是通过一个具体的 非线性连续系统进行理论验证和计算机仿真；第五章则是对自己在探讨多步长非 线性采样控制系统过程中所产生的一点想法，遇到的一些具体难题作一个总结归 纳以及自我展望今后这类系统的可能发展趋势；最后是完成这篇文章所参考的文 献和对所有给我帮助的人的诚挚致谢。 关键词：非线性，多步长采样，量化误差。实用稳定，一致最终有界，欧拉近似 a b s t r a c t i nt h i s p a p e r w em a i n l ys t u d y ak i n do fm u l t i r a t en o n l i n e a r s a m p l e d d a t ac o n t r o ls y s t e m s ，a n dd i s c u s st h es t a b i l i t yp r o p e r t i e so fi t s s o l u t i o nw h i l ei t ss a m p l e rp r o d u c e sq u a n t i z a t i o nd u r i n gs a m p l i n g h e r e w eu s et w od i f f e r e n tw a y s ，c d ta n dd t d ，t od e s i g nt h ec o n t r o l l e r ，a n d t a k et h es a m p l i n gs t a t ea st h e i n it i a ls t a t ef o rt h e p r o c e s so fe u l e r i t e r a t i r e a p p r o x i m a t i o n ，w h i c ha d e q u a t e l y c o n s i d e rt h ee f f e c to f q u a n z a t i o n t h e nw et a k et h ea p p r o x i m a t es t a t ei n s t e a do ft h es t a t eo f t h ec o n t r o l l e r s a n du s et h em o d i f i e dc o n t r o l l e r st os t a b i l i z et h e c l o s e d 1 0 0 ps a m p l e d l d a t ac o n t r o ls y s t e m sa n d t h ec o r r e s p o n d i n ge x a c t d i s c r e t es y s t e m so ft h ec o n t i n u o u sc o n t r o l l e ds y s t e m w ec a no b t a i nt h e s o l u t i o no ft h es y s t e m si sp r a c t i c a b l es t a b i l i t yu n d e rt h ec o n d i t i o nt h a t a p p r o x i m a t ea n ds a m p l i n gq u a n t i z a t i o n a r er e s t r i c t e d ( t h e o r e m2 2 1 ， t h e o r e m2 2 2a n dt h e o r e m3 2 1 ) t h ep a p e ri so r g a n i z e da sf o l l o w s ：i nt h ef i r s tc h a p t e r ，w ei n t r o d u c e ab a c k g r o u n dq u e s t i o na n de s t a b l i s ht h em a t h e m a t i cm o d e i ：t h ec o n t r o l l e t s b a s e do nt h ec o n t i n u o u sa n dd i s c r e t et i m es y s t e m sa r ed e s i g n e d ，w h i c hi s t h eb a s eo fa n a l y z i n gt h es t a b i l i t yo ft h en o n l i n e a rs a m p l e d d a t ac o n t r o l s y s t e m sw i t hq u a n t i z a t i o nr e s p e c t i v e l yi nt h es e c o n da n dt h i r dc h a p t e r i nt h ef o u r t h c h a p t e r ，w em a i n l yv e r i f y t h et h e o r e ma n dp r o c e s st h e c a l c u l a t e re m u l a t i o nw i t ham a t e r i a lc a s e i nt h ef i f t hc h a p t e r i s u m m a r i z et h ei d e aa n dt h eq u e s t i o n ，w h i c he n c o u n t e r e dd u r i n gt h es t u d y o ft h em u l t i r a t en o n l i n e a rs a m p l e d d a t ac o n t r o ls y s t e m s ，a n dv i e wt h e p o s s i b l et r e n d si nt h es t u d yo ft h i sk i n ds y s t e m si nt h ef u t u r e a tl a s t ， il i s tt h er e f e r e n c e sa n de x p r e s sm yg r e a ta p p r e c i a t i o nt oe v e r yo n ew h o h e l p sm e k e yw o r d s ：n o n l i n e a r ， m u l t i r a t es a m p l i n g ，q u a n t i z a t i o n ，p r a c t i c a b l e s t a b i l i t y ，u n i f o r mu l t i m a t e l yb o u n d ，g u l e ra p p r o x i m a t i o n 魑煎硕士学位论文答辩委员会成员名单 建世年笪月上日 姓名职称单位备注 僦疲攫磐锄缮犬砻撩 主席 易段胡数厦套墨勃爱好教獭 磁压菱舭攫 - f 铂勋膨融豸争 域心句 i 一 如锄擒钎潦掂计卿 、 1 t 1 i 学位论文独刨性声明 本人所里交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及 取得的研究成果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重 要贡献的令人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名：金益垦 日期： 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学 校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电 子版和纸质版。有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论 文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出舨。保密的学位论文在 解密后适用本规定。 学位论文作者签名：黍灞砸 导师签名：己乏。丫鸟 日期：1 。e s o 1 1 问题的背景 第一章前言 现代控制系统通常采用数字计算机控制，因此称为数字控制系统在数字 控制系统中，计算机的输入和输出信号都是数字信号，而受控对象是连续模型数 字控制系统实际上是系统内部既有连续时间的模拟信号又有离散时间的数字信 号的混合系统常见的数字控制系统的框图如下： 数 - 固- 受 字 控 控 制 对 器 困_ 象 圈1数字控制系统 由于离散时间信号是通过对连续时间信号采样而获得，因此也称其为采样信号， 相应的数字控制系统称为采样控制系统伴随着计算机技术的普及和迅猛发展， 数字化控制在现代系统控制中的地位臼益突出，也使得采样控制系统的理论研究 成为目前国际控制理论界的热点之一特别是非线性采样控制系统的研究 在采样控制系统的分析和设计中，我们必须考虑连续时间信号和离散时间信 号在相互转换过程中所产生的一系列问题，如采样，量化和保持等问题本文总 假定在控制系统各个不同地方的采样器和保持器同时采样，采样同时性的假定排 除了时滞和随机采样的情况于是根据控制系统中的采样器和保持器不同的采样 方式：单步长，多步长和变步长，采样控制系统可以分成三大类：单步长采样控 制系统，多步长采样控制系统和变步长采样控制系统所谓单步长采样是假定在 控制系统中的采样器和保持器都以同样的采样速率采样和保持在单步长采样率 的假定下，有利于简化采样控制系统的数学模型和相应的分析与设计过程关于 单步长线性采样控制系统，已有较成熟的理论体系，专著( 1 2 ) 系统总结了 过去几十年来这方面的研究工作对于单步长非线性采样控制系统的理论研究， 上世纪末才开始。至今仍然是控制论研究的热点和难点，尽管不完善，但已有一 些相关结果( 3 1 0 ) 单步长采样的假设，对于不太复杂的受控对象，是比较 符合控制系统的实际情况一般来说，采用较小的采样步长，可得较好的控制品 质但会提高单采样控制系统的造价但是随着经济的发展，受控系统越来越庞 大和越来越复杂，各个控制层次的受控量变化差异很大，要求采用同样的采样速 率实现控制，显然不实际，甚至不可能例如温度信号与电信号的变化速率相差 许多数量级因此必须采用多步长采样控制系统即要求在控制系统中的采样器 和保持器根据不同变化的速率信号采用不同的采样周期，从而可在花费较小成本 前提下，提高系统的控制品质 对于多步长采样控制系统，根据采样器和保持器的采样周期之间的关系，可 以进一步分为输入多步长采样控制系统，输出多步长采样控制系统和广义多步长 采样控制系统本文只考虑输入多步长的情况输入多步长采样控制系统的特点 是受控对象的输入只在采样瞬问变化，而在相邻两个采样瞬间的整个采样周期 内无论受控对象的输出如何变化，其输入特性仅根据保持器的特性而变化输 入多步长采样控制系统通过增加输入采样速率，来增加数字控制器的控制能力， 可以实现许多单步长采样控制系统所不具备的控制能力 多步长采样控制系统的理论研究工作由于其复杂性几乎都局限于线性系统 ( 1 1 1 8 ) ，文献 1 9 利用线性化原理处理了一类多步长非线性采样控制系 统，同时研究了量化误差对系统稳定性的影响文献 2 0 研究了一类特殊的多 步长非线性采样控制系统的镇定问题本文研究一类输入多步长非线性采样控制 系统的镇定问题，并且讨论量化误差对镇定问题的影响 为了对采样控制系统进行设计和分析，通常采用2 种控制器的设计方法一 种方法是，根据受控对象的动态系统，设计出连续时间控制器，然后离散化得到 计算机能够实现的数字控制规律，通过保持器和采样器对受控对象进行数字控 制，这种方法称为c d t 方法，即基于连续时间模型上控制器设计的方法另一种 方法则是，首先将连续受控对象离散化，得到它的离散化时间模型，然后根据离 散化时间模型设计出离散时间控制规律来进行数字控制，这种方法称为d t d 方 法，即基于离散时间模型上控制器设计的方法不同于线性连续受控系统，对于 非线性连续受控系统和它的连续时间控制规律，离散化一般都无法获得精确等价 的角翠析表达式因此c d t 方法和d t d 方法都会产生近似误差由于近似误差会引 起信号失真，如此获得离散时间的控制规律对受控对象实行数字控制是否仍然有 效? 这是非线性采样控制系统首先必须要解决的理论问题对于多步长非线性采 样控制系统镇定问题的研究，几乎空白，因此值得深入研究由于受到状态分量 采样的多重性影响，使得在线性多步长采样控制系统中行之有效的提升技术变得 十分困难，因此如何实施c d t 方法和d t d 方法也是个困难问题最近，被国际控 制界著名杂志a u t o m a t i c a 录用即将发表的文献 2 0 中，分别提出一种c d t 方法 和d t d 方法来研究采样具有大时滞的多步长非线性采样控制系统的镇定稳定，在 一定的条件下，获得了实用镇定的结果该结果第一次在多步长非线性采样控制 系统研究中给出了有效的设计方法，引起了广泛的关注 另外，在采样控制系统的研究中，量化误差是影响系统品质的又一个方面由 于连续受控对象和控制器的连接必须通过采样器和保持器形成闭环在信号传输 过程中，这些执行机构，例如控制器，采样器和保持器，都不可避免会产生量化 误差于是量化误差对系统品质的影响是采样控制系统设计与分析中另一个必须 研究的问题以往这方面的研究只局限于线性采样控制系统( 2 1 2 4 ) 由于 线性采样控制系统不产生近似误差，因此该问题的研究相对简单，因此相关的文 献较多而对于非线性采样控制系统，近似误差和量化误差一起是如何影响系 统的品质，由于非线性偶合的原因，其难度急剧增加，至今没见到这方面的研究 工作文献 2 0 仅仅研究了近似误差的情况本文借鉴文献 2 0 的设计思想，将 在第二章和第三章中分别在c d t 方法和d t d 方法中分析近似误差和量化误差在一 起是如何对多步长采样控制系统的镇定问题产生影响的，获得了与工程实践相符 合的理论结果。这是个非常有意义的研究工作 本文在第四章给出具体的仿真例子分析和验证本文所获得的结果文章的最 后总结本文的工作和所作的贡献，并指出多步长非线性采样控制系统的困难，拟 解决的问题和可能发展的方向 i 2 预备知识 描述和刻划系统稳定性，常用的方法有嬲种一种是利用l y a p u n o v 函数来 进行刻划；另外一种就是利用k 类函数给出系统稳定性的等价定义为此，我们 预先给出本文将用到的一些符号的说明和这些函数概念及其基本性质和相关的 已知结果 r + 表示非负实数集合： i i 圳表示向量x 的范数；l x l 表示向量x 的欧氏模 k 一函数口：如果函数口( ) ：舻舻连续，严格单调递增。且口( o ) = 0 记 为a k ； 以一函数口：如果口是芷一函数，并且 蛩口( r ) = 佃记为口也； k l 一函数：如果函数卢( ，- ) ：r + xr + - + r + ，对每一个固定的f 0 ， 卢( ，t ) 是k 一函数，而对每一个固定的j 0 ，( j ，) 是连续，单调递减并且有 l i m ( j ，t ) = 0 记为卢k l 考虑非线性系统 量= h ( t ，z )( 1 2 1 ) 其中r rx r ”假设v f b ，v 善r ”，系统( 1 2 1 ) 的解妒( f ；r ，f ) 在 r ，0 0 ) 存在唯一，且h ( t , 0 ) ；0 ，vr f b 定义1 2 1 ：系统( 1 2 1 ) 是一致渐近稳定：如果存在常数r 0 与口k l 使得， 当i f l 0 ，对每一个 占( o ，) ，存在与r 6 无关的数m = m ( 8 ) 0 ，使得 l 孝i 8 j i 妒( f ；f ，f ) j m ，v t f b ( 1 2 3 ) 如果对vd 0 不等式( 1 2 3 ) 都成立t 则称系统( 1 2 1 ) 的解伊( r ；f ，善) 是全局一致 有界 定义1 2 3 ：系统( 1 2 1 ) 的解矿( f ；r ，善) 是一致最终有界：如果存在与f b 无关的 正常数，和 ，对每一个占( o ，r ) ，存在与f b 无关的常数丁= t ( 8 ，m ) 0 ，使 得 i 善i s 艿jl 妒( f ；r ，f ) i m ，v t f + t ( 1 2 4 ) 定义1 2 4 ：系统( 1 2 1 ) 的解是实用渐近稳定：如果对于vr 0 和万 0 ，存在 碰一函数( ，) 使得， 0 f | r o ( 1 w 1 ) 辛i o v g ( x ，厂( z ) + g ( x ) w ) o 进行采样，而其输入”( ，) 则 是由v ( 七) 的各分量h ( 七) 通过不同的输入采样周期巧 o ( i = 1 , 2 ，肌) 的保持器而 得到通常成立巧t ，我们称其为输入多步长采样控制系统，在不混淆的情况 下，简称为多步长采样控制系统其采样特点是在时间t 内只对x ( f ) 采样一次， 但数次改变”( f ) 各分量的值为简单起见，通常假定t 和z 之间满足整数倍关系： f 寺，肌 ( 13 1 ) 令 m = l c m fi i = 1 , 2 ，m ) ( 1 3 2 ) 其中l c m 表示最小公倍数则图2 所表示的多步长采样控制系统的基本采样周期 为 + 瓦= 斋 ( 1 3 3 ) 以瓦 0 为输入采样周期，它可以充分小，以达到镇定目标在执行机构没有量 化误差的情况下，上述采样系统的数学模型描述如下： 1 ) 连续受控对象的数学模型由下列状态方程描述： 量= f ( x ，“) ( 1 3 4 ) 其中厂满足：对vx l , x 2ed ic 和蚝，“2 d ：cr ”，存在一个足函数 ，使得 i f ( x l ，) 一f ( x 2 ，) i 蔓y i ( i 一x 2i ) ，i ，( ，”i ) - f ( ，“2 ) i 蔓，l ( i 一“21 ) ( 1 3 5 ) 2 ) 以为固定周期的采样器为： x ( y ) _ - x ( 皿) ，j = 0 ，1 ，2 ，( 1 3 6 ) 若采样器不产生量化误差，则 y ( j ) = x ( j ) ( 1 3 7 ) 注： 这里表示系统状态在，瓦时刻是可测量的 3 ) 数字控制规律为： u ( i ) ：= “( 以) = y ( y ( i t d ) ，i = 0 ，1 ，2 ，( 1 3 8 ) 4 ) 若数字控制器和保持器没有量化误差，并且保持方式是以矗为周期的零阶保 6 持，则 v ( o = u ( i ) ，i = 0 ，1 ，2 ，一 ( 1 3 9 ) “o ) = v ( o ，r 【f 瓦，( f + 1 ) 瓦) ， i = 0 ，l ，2 ，( 1 3 1 0 ) 注意e 和瓦采样率的差别，在( 1 3 8 ) 中可见控制器输入y ( i t ) 是缺少的，我们仅 仅知道，t 时刻的状态，在其他时刻的状态未知在线性情况下，可以利用提升 技术定义扩展输入向量将多步长问题转化为以r 为周期的单步长的问题来克服 上述困难但对于非线性受控系统，上述方法失效这是问题的困难之一，我们 将引进受控对象连续时间系统的欧拉近似离散系统，获取替代的近似状态，并校 正所得到的控制器来克服所说的困难如何提出和设计控制规律使得上述采样控 制系统在某种意义下镇定是本文研究的主要问题。假定采样器具有量化误差，即： 灭) = x ( j r ) + q ( x ( j t , ) ) ，( j = o l ，2 ，)( i 3 1 1 ) 代替( 1 3 7 ) 不失一般性，为简单起见，仍然假设数字控制器和保持器没有量化 误差。本文在第二章和第三章中，将分别运用采样控制系统中的c d t 方法和d t d 方法，在有量化误差的情况下，如何设计控制器，同时消除近似误差和量化误差， 将采样控制系统实用镇定下来 第二章基于连续时间模型上的控制器设计 2 1 控制器设计和条件假设 在这一部分，首先根据连续受控系统( 1 3 4 ) 设计一个连续时间状态的镇定控制 器= ，( 功，然后将它以五为周期进离散化，所得到的离散化控制器对于整个采 样控制系统而言，当瓦充分小的时候，是非常有效的但同时注意到由于系统状 态只是在，t 时刻是可测的，而对于其它时刻状态无法知道，所以连续时间状态 控制器“= y ( x 1 离散化后所获得的控制器同样不可操作调控为此我们将所获 得的连续时间状态控制器”= y ( x ) 中的状态用采样点处的可测量状态和以r 为 周期的欧拉近似状态来代替于是，这样就设计出一个实际可操作的控制器考 虑在采样器的采样过程中出现定点量化误差的情况下，我们采用这个控制器来研 究能否镇定整个闭环采样控制系统为此，我们首先给出下面两个假设： 假设2 1 1 ；对于连续受控系统( 1 3 4 ) ，存在一个状态反馈“= y ( x ) ：r ”_ + r ” 使得其闭环系统膏= f ( x ，( z ) ) 全局渐近稳定，并且状态反馈u = r ( x ) 满足：对任 意的x , y d c r ”，存在一个足函数仍使得 i ，( x ) 一，( y ) 喀妒2 ( ix y i ) ( 2 1 1 ) 假设2 1 2 t 输入保持器保持周期瓦 0 可以任意调节 在假设2 1 2 之下，我们不妨取瓦= t ，t = m t ，m ( 1 ，2 ，) 同样简 单起见，只考虑采样器在采样过程中产生量化误差，而数字控制器和保持器没有 量化误差的情形，那么上述的闭环采样控制系统的数学模型可描述为： 1 ) 连续受控系统的数学模型由下列状态方程描述： i = f ( x ，”)( 2 1 2 ) 其中算r ”是受控系统状态，材r ”是受控系统输入，且，满足：对 v 薯，x 2ed lcr ”和，u 2 d 2c r ”， 存在一个足函数n ，使得 i f ( x l ，) 一f ( x 2 ，) l 矿l ( 1x i x 2i ) ，l 厂( ，“1 ) 一厂( ，”2 ) 阵妒l ( 1 “l 一”21 ) ( 2 1 3 ) 8 2 ) 以t 为固定周期进行采样的采样器 y ( ，) = x ( j l ) + g ( z ( ，t ) ) ，j = 0 ，1 ，2 ，( 2 1 4 ) 这里假定，i 时刻的系统状态是可测量的，采样误差满足：i ig ( s ) 忙j s ，其中 g r 表示系统的量化精度要求，j r 是一个独立于占的定常数 3 ) 建立在以r 为积分周期以采样状态为初始状态的欧拉近似上的数字控制器： z 。( f + 1 ) = 厶( f )( 2 1 5 ) u ( i ) = r ( x 。( f ) )( 2 1 6 ) 喜中t = 上，矗( f ) = z ( f ) + t ( 聋( f ) y ( x 。( f ) ) ) ， m 譬( ，肌) = y ( j ) z ( f + 1 ) = a ( a f r ( y ( j ) ，y ( y ( 朋) ，r ( x 。( f 1 ) ) ) ， ( 2 l 7 ) j = 0 ，l ，2 ，。，f j m ；i = j m ，j m + l ，一，少”+ ，”一2 ，m l ，2 ，) 亦即膏( f + 1 ) 是班- ，疋时刻采样所到系统状态经过f j m 次欧拉近似复合所得第 ( i + 1 ) z 时刻的状态 4 ) 输入保持器为以瓦= t 为保持周期的零阶保持方式： v ( o = u ( i ) ，i = 0 ，l ，2 ， ( 2 1 8 ) u ( t ) = v ( i ) ，t 【i t ，( f + 1 ) t ) ，i = 0 ，l ，2 ，( 2 1 9 ) 2 2 具有量化误差的非线性采样控制系统的稳定性分析 在前一节讨论的基础上，这部分我们主要探讨整个闭环采样控制系统( 2 1 2 ) ( 2 1 9 ) 的稳定性在这里我们分别记： 瓦( ) 表示采样器在采样过程中不产生量化误差的情况下欧拉近似状态； x 。( ) 表示采样器在采样过程中含有量化误差的情况下以采样点处为初始状 态的欧拉近似的状态 考虑到数字控制器是建立在以r 为积分周期的欧拉近似状态上的，那么当 采样器在采样过程中不产生量化误差的时候，我们可以根据著名的欧拉数值近似 原理得到系统状态x ( f ) 和近似状态瓦( f ) 之间的关系，有： 引理2 1 。l ：当采样器在采样过程中不产生量化误差的情况下，整个闭环采 样控制系统对于任意给定的一对正数( ，蜀) ，存在五，使得对所有的r 0 和 f ( 0 ，1 ，2 ， ，当t ( 0 ，互1 l l j ( o ) l l 1 ，l l x ( s ) l l a 1 ，i t t 时，有： f e f 0 ，i lx ( j r ) 一毫( j ) l q ( 2 2 1 ) 在引理2 2 1 的基础上，我们可以得到整个闭环采样控制系统( 2 1 2 ) 、( 2 1 9 ) 的状态和欧拉近似状态之间的联系 定理2 2 1 ： 考虑采样控制系统( 2 1 2 ) ( 2 1 9 ) ，对于任意给定的一对正数 ( ：，g ：) ，存在五，使得对所有的t 0 和i o ，1 ，2 ，) ，当r ( o ，7 ：】， 8x ( o ) i l a2 ，i | x ( s ) 茎a 2 ，i t ，时，有： j e 【o ，r l l x q t ) 一x o ( i ) | 0 ，由定理2 2 1 知道，存在正， 0 ，使得 对所有t i l t 0 和f e 0 ，1 ，2 ， ，当t e ( o ，瓦i 】，0 x ( 0 ) i 喀，| | x ( s ) i i s a ，i t f 时。有： lx ( i t ) 一z 。( i ) i 占2 + 口“_ 1 ( iq i1 ) = 占 记z 2 2 口i 。a 2 ( a ，) ，正：。慨：i f ( x , ，r ( x 0 ) l ，取五= m i n e 一，疋z ) ， t ( o ，五】 由假设2 1 1 和定理1 2 1 可知：存在参考输入w r ”，光滑函数 v ：r ”- - r ”，增益甲比，和光滑可逆矩阵函数o ( x ) e r ，使得： ( 1 ) 口l ( ix i ) v ( x ) 口2 ( 1 x i ) ； ( 2 ) v ( x ) 甲( 1 w i ) = 旷( x ) = 娑 厂( 工，( x ) + g ( 石) w ) 一鸭( 矿( x ) ) ， 卿 其中吼k 。，i = 1 , 2 ，3 下面利用l y a p u n o v 函数方法来探讨闭环采样控制系统( 2 1 2 ) ( 2 1 9 ) 首先说明欧拉近似状态t ( f ) 也是位于所讨论的区域百( ：) 里 这是因为： ix ( 0 ) l a 3 ，矿( z ( r ) ) o t 2 ( x ( f ) ) ： y ( x ( o ) ) ( x ( o ) ) = 口2 ( 3 ) ， 由函数连续性知：存在t o 0 ， 使得： 矿( x ( f ) ) 口：( ，) ，f 【o ，t o l m q x ( ，) 喀口i 1 。a ：( 3 ) = 是，【o ，t o 再根据前面定理2 2 1 可得： i x c ( f ) 1 q 气( f ) 一x ( i t ) i + l x ( f r ) 喀s + 会 a ：，i e o ，l ，2 ，) ，i h t o 记r ( f ) = ，( t ( f ) ) 一，( x ( f ) ) ，t i t ，( f + 1 ) 丁) ，那么取参考输a w = g “( x ) r 0 ) ，从 而对每个t 【o ，t o n i t ，( f + 1 ) r ) ， 有： 瞰( f ) ) e ( i g 飞删) r ( 圳) 葛警m ( f ) 顽小r ( f ) ) 一a a v ( 砌 j i o v 厂( 工( 帅( t ( j ) ) ) 一( 矿( z o ) ) ) 又因为 五2 = 可r 山n a 啪x ：l ( ，y ( 屯) ) l ，e = m i n 瓦，瓦： ，丁( o ，瓦】； 膏= 厂( 薯甜) jz ( f ) 一z ( f r ) = 厂( “) 出j f x ( f ) x ( i t ) i s 占 和 i r ( ，) i 刊r ( x a o ) 一，( x o ) ) l 甲( g o 仍( 2 s ) ) 甲( f g 。( x ( f ) ) r o ) f ) j 矿( x ( f ”= i o v ( x ( 帅( t ( f ) ) ) 一( y ( x ( ，”) ，吼】 下面证明上述在f 【0 ，t o 上的结论对于一切，2 0 都成立 矿( z ( r ) ) ：j o i v ，( x p ) ，( ( f ) ) ) 0 ； 既然矿( x ( ，0 ) ) s 一口3 ( p ( x ( ，0 ) ) ) s 一鸭。d ：( ，) f o 这就与我们的假设v ( x ( t o ) ) = ( ，) ，矿( x ( f ) ) 口2 ( 3 ) ，t ( t o ，t o + j ) ，6 o 相 矛盾 所以对于一切的f 0 都有矿( x ( ，) ) 口2 ( 3 ) ，从而对于一切的t 0 也都 有： y ( x ( f ) ) = 矿( x ( f ) ) ：o ；i v 厂( x ( f ) ，( k ( f ) ) ) 一吩( 矿( x ( r ”) 口 m 。 经整理即可得到： 定理2 2 2 采样控制系统( 2 1 2 ) ( 2 1 9 ) ，对于给定的正数a 3 口一。q ( g ) 0 ， 存在常数 0 ，五 0 ，使得对任意，0 ，当t ( o ，五】，i l x ( o ) 临a ，时，就有： 矿( x ( f ) ) = ，y ( x ( f ) ) 一吗( y ( 工( f ) ) ) ，( 2 2 5 ) 其中e = e 2 + a “( ) ，g o - ，m 。声a ( 。x ，) i g 一1 ( 圳 注1 定理2 2 2 中的常数 0 的选取显然要受到系统状态近似误差和采样器 采样误差的双重限制，由前面的推导过程不难得知、 r ( g 。妒：( 2 s ) ) 注2 定理2 2 2 中要求s 町1 。口：( 色) ，也即系统状态近似误差和采样器产 生的量化误差要受到一定的限制 针对关于l y a p u n o v 函数的不等式( 2 2 5 ) ，下面利用k 函数和k l 函数来探究 系统解的性质在研究一般的非线性系统过程中下面引理显得十分重要( 文献 2 6 引理2 4 和引理3 4 ) ： 引理2 2 2 ：考虑微分不等式 少一口( y ) ，y ( t o ) = y o ，( 2 2 6 ) 其中口( - ) 在【o ，) 上是满足局部l i p s c h i t z 的k 函数，对于所有的0 y o 0 ，t + 0 和函数卢舡，使得对任意，0 当t ( o ，t 】，ix ( o ) b a 时， 就有： ix ( ，) i s ( i j ( o ) i ，f ) + 口i 。( v ( 6 0 ，2 ( 2 s ) ) )( 2 2 8 ) i ( f ) l ( i x ( o ) | ，i t ) + 町。( v ( c o 仍( 2 s ) ) ) + 5 ( 2 2 9 ) 其中e = e 2 + o r ”1 ( i 吼i ) ， g 。2 ，m 。i a ( x lg “( x ) i ，甲疋，仍k 证明 ：对于给定的a 0 ，由定理2 2 1 知：存在五 0 ，取a ：= 口i 1 。口：( ) ， 当r ( o ，正】，0 x ( 0 ) i i a 2 ，0 x ( s ) l l a 2 ，i t t 时，有： 疆i u t 】 i x ( i t ) 一x 。( f ) l 茎占，i 0 ，l ，2 ，) 由定理2 2 2 知：存在疋 0 ，取a 3 = a ，常数= 甲( g o 矿2 ( 2 s ) ) ，当t ( o ，疋】， i i x ( o ) 1 1 - 0 和函数k l 使得，对任意f 0 当t ( o ，t 】，i x ( o ) 喀时， 就有： x o ) i ( i x ( o ) i ，) ) + d ix c ( f ) 峰( ix ( o ) i ，i t ) ) + d( 2 2 1 2 ) 其中占= e 2 + a “( i 吼i ) ， g 。= ，m 。i a ( 。x ，) l g 一1 ( x ) i ， 啊，甲氏，仍e k 2 3 小结 本章采用c d t 方法，将连续时间非线性受控系统( 2 1 2 ) 量= f ( x ，“) 的连续 时间状态控制器u = y ( x ) 以r 为周期进行离散化，同时将控制器中的系统状态替 换为以采样点处的可测状态为起点进行以丁为积分周期的欧拉近似状态然后用 此离散状态控制器来镇定整个闭环采样控制系统在理论推导过程中，首先根据 欧拉数值近似原理给出系统采样不产生量化误差的情况下系统状态x ( f ) 和以r 为积分周期的欧拉近似状态墨( o 之间的关系( 引理2 2 1 ) ，接着我们讨论采样过 程中含有量化误差的情况下以采样点状态为初始时刻的欧拉近似状态z ，( f ) 和不 产生量化误差的情况下欧拉近似状态瓦( f ) 之间的关系，得到一个重要的结论( 定 理2 2 1 ) 及其一个推论( 推论2 2 1 ) ，然后我们根据连续时间受控系统的渐近 稳定性质( 定理1 2 1 ) ，得到关于系统l y a p u n o v 函数本身的一个重要性质结论 ( 定理2 2 2 ) ，在非线性系统稳定性论证过程中我们主要借助于一个引理( 引理 2 2 2 ) 得到整个闭环采样控制系统的解是一致最终有界，而且上界同时受限于 系统的采样量化误差和欧拉近似误差( 定理2 2 3 ) 同样考虑到实际工程的需 要我们也可以在系统采样误差和近似误差受限的情况下，得到系统的解是实用稳 定的结论( 定理2 2 4 ) 6 第三章基于离散时间模型上设计控制器 3 1 欧拉近似系统簇的假设和性质 在这一章，我们仍然考察图2 所示的非线性采样控制系统，控制器在受控系 统的离散时间模型上进行设计，也即通常所说的d t d 方法 1 ) 连续时间非线性系统为 膏= f ( x ，“)( 3 1 1 ) 其中x r “是系统状态，“r ”是输入对于任意的x ，y 豆c r ”， m ，“：厦 尺”存在一个正常数，使得： i f ( x ，) 一f ( y ，- ) 悔r i x y ，i ，( ，) 一，( ，i a 2 ) 喀r i 一”2 l ：( 3 1 2 ) 2 ) 采样器仍然是以r 为固定周期进行采样的采样器： j ，( _ ，) = x u t , ) + q 1 ( x ( _ ，t ) )j = 0 ，1 ，2 ， ( 3 1 3 ) 其中q l ( x ( _ ，瓦) ) 表示系统采样器采样过程中产生的定点量化误差简单期间一般 就记为q ，其精确度要求记为l 口，j 3 ) 输入保持器以瓦为周期的零阶保持方式： ”( f ) = ( i )r 【t 瓦，( + 1 ) 瓦) k = 0 ，1 ，2 ， ( 3 1 4 ) 其中保持周期瓦可以任意调节，为此不妨取t = 五，t = m t ，m 1 ，2 ，) 不 过这里是运用d t d 方法来设计控制器，先考察以t 为采样周期的精确离散模型： x ( k + 1 ) = ，( x ( 七) ，“( 七) ) ( 3 1 5 ) 一般的，只要能在精确离散系统( 3 1 5 ) 上设计一个离散控制器，那么就可 以在一定条件下镇定图2 的闭环采样控制系统( 3 ) ，但实际上系统( 3 1 1 ) 受限 于非线性其精确的离散模型一般情况下不可能直接得到，也就无从谈起设计控 制器，但是我们能得到以积分周期t 为参数的连续时间非线性系统( 3 1 1 ) 的一簇 欧拉近似离散模型： x 。( + 1 ) = f ( x 。( 七) ，“( 七) ) = x 。( t ) + t f ( x 。( t ) ，“( 七) )( 3 1 6 ) 以及在近似离散系统簇( 3 1 6 ) 上的状态反馈镇定控制器 u ( k ) = r ( x 。( 女) ) ， ( 3 1 7 ) 使得闭环系统 x 。( 七+ 1 ) = ，( x c ( t ) ，r ( x 。( i ) ) ) = x c ( t ) + t f ( x 。( 七) ，r ( x 。( 七) ) ) ( 3 1 8 ) 的解渐近稳定 考虑到受控系统状态仅在，t 时刻是可测的，这里须对控制器进行修正，即 采用可测的欧拉近似状态来代替状态反馈控制器中的系统状态，为此： 照：+ 1 ，_ 曩双曲川( 七” ) + n 八妖的一 ” ( 31 9 ) i ( 七) = y ( x 。( 七) ) 。 其中i ( t ) 表示一个采样周期【t ，( j - i - 1 ) l ) 内以e 时刻采样所得到的系统状态 经过k j m 次欧拉近似复合所得到的| r 时刻的系统状态近似，也就是： f 膏( ，m ) = y ( ，) = x ( 正) + g l z ( 七) ：，( ，( ，( f ( y ( ，) ，( y ( ，) ) ) ，一，( x 。( 一1 ) ) ) ( 3 1 1 0 ) k = j m + 1 ，j m + 2 ，少m + m 一1 ，= 1 ，2 ，一， r = 生 这样，就在一簇欧拉近似离散系统( 3 1 6 ) 上设计出可操作的状态反馈控制律 ( 3 1 9 ) 那么在此控制律作用下精确离散系统( 3 1 5 ) 解的情况如何呢? 采样误差 如何影响系统解的稳定性? 这都将是后面一节所主要讨论内容下面我们先针对 欧拉近似离散系统簇( 3 1 6 ) 与状态控制器( 3 1 7 ) 给出如下一些必要的假设： 假设3 1 1 ：考察欧拉近似离散系统簇( 3 1 6 ) ，假设存在口，口：k 。，k ， t + 0 ，使得对每个t e ( 0 ，t 】，存在一个函数：胄”斗r + 和状态反馈控制 器“，( 七) = y r ( x 。( ) ) 满足： ( i ) 口i ( 1x i ) v ( x ) 茎口2 ( 1 x i ) ； ( i i ) ( f 罗( x ，y r ( x ) ) ) 一巧( x ) 一口，( 1x i ) ( i i i ) 对于每一个d 0 ，存在m 0 ，正( 0 ，t 】使得对任意的 工l ，x 2 b ( d 1 ) ，t ( o ，五】，均有 ( x 1 ) 一( z 2 ) s m ix l x 2i 1 8 ( i v ) 对于任意的d 2 0 ，存在巧( o ，r 】使得 s u p ly r ( x ) i ：t ( o ，巧】，iz 1 0 ，t + 0 ，使得对任意x ，z b ( d i ) ，”e b ( d 2 ) ，te ( o ，t 】，均有： i ，罗( x ，“) 一，( z ，”) i l ix z i( 3 1 1 1 ) 证明 ：根据连续函数f 的局部l i p s c h i t i z 性质，即对于