（概率论与数理统计专业论文）一般图上渗流模型临界点的唯一性.pdf

摘要 渗流模型首先是被b r o a d b e n t s r 和h a m m e r s l y j m ( 参看文献 1 】) 在1 9 5 7 年所提出，并，丑在近六十年来被深入地研究( 参考文献 2 】) ，这一统计物理模型的建 立大大扩充了概率的研究领域，并且还为此模型提供了严格的数学根据 第一章，设g 为任意无穷图，我们考虑g 上的渗流模型。记p c ( g ) 为模型的临界 概率，即p c ( g ) = s u p p ：b ( i v l = 。) = o ) ，其中c 为原点所在的开串我们给出 结论，当p 0 ，使得s u p 昂( 钉ho b ( v ，佗) ) e x p 一砂( p ) n ) 对一切n 0 成立由以上估计，我们得到模型临界点的唯一性：乳( g ) = 刀( g ) ， 其中p t ( g ) ：= s u p p ：k ( 1 e t ) 0 ， p p 。( g ) ( 1 1 ) ( 1 2 ) o v ( p ) 0 兮存在无穷开串，b a s ( 1 3 ) 2 第一章问题的提出及主要结果 从统计物理的观点看，以( p ) 被称为模型的序参数当0 0 进而x ( p ) ：= 岛( 1 e 1 ) = o 。明显地，x ( p ) 是p 的增 函数若随p 增加，x ( p ) 从有限演变到无穷，则这从宏观上演示了模型的相变现 象因而数学物理学家关心模型的另一个临界点 p t ( g ) ：= s u p p ：x ( p ) o c ) ( 1 4 ) 显然，由以上讨论，p f ( g ) m ( g ) 本文的目标是对任意无穷图一卜的渗流模型证明p 。( g ) = p t ( g ) ，即证明模型的 相变现象在宏观和微观上是统一的由于渗流理论大多都是针对l d 上的模型而发 展的，因而这些理论和方法极大地依赖图厶的拓扑性质，包括平移不变性对任 意图t 的渗流模型，将处理玩上模型的方法进行了适当改动。 设g 是无穷连通图，对给定n 0 ，记& = u v ：6 ( d ，u ) 咒) 为以原点0 为球心，以n 为半径的球，a & ：= u 鼠：5 ( 0 ，钍) = n ) 为岛的边界令为 事件“存在从o 到a 的开路”显然，若令r a d ( c ) = s u p 5 ( o ，“) ：仳c ) 为开 串c 的半径，则a n = 【r a ( 1 ( c ) 扎) 一般情形，设& ( ) = t v ：6 ( 郇，u ) 礼) ，群= uha & ( u ) ) ，g v , p ( 礼) = 昂( a 芸) 则简记& o ) = & a 嚣= a 。，g o , p ( n ) = 跏( n ) 本文将通过证明以下定理来完 成临界点的唯一性的证明显然，以下定理刻画了模型下临界相p p c ( g ) 情形更 为精致的性质 定义正整数值随机变量m ，它满足： 昂( m n ) = - g p ( n ) = s u p g ，p ( r ) ( 1 5 ) t ，v 定理1 1 当p 0 为仅依赖于图g 的常数于是， 昂( i v i 几) 昂( r a d c ( n z ( a ) ) 1 ) 这给h j 定理1 1 的如下推论： 推论1 2 对g 上的边渗流模型，若p 阢( g ) 且 ，则e p ( i c ( ) i ) 。o ，v v y 进而( g ) = 阳( g ) 第二章主要结果的证明 2 1 基本技巧 考虑概率空间( q ，厂，b ) ，这里q ：= n 。s o ，1 其中s 有限或可数厂为q 上有限维柱集生成的o r 代数，b 为空间( q ，厂) 上的乘积测度： 昂= n 地 s e s 其中比如下 p 。( u ( s ) = 1 ) = 1 一肛。( u ( s ) = 0 ) = p ( s ) ， 其中 p ( s ) ：s s ) 是某一特定的【0 ，1 】中元的集合记昂为b 对应的数学期 望 定义q 的自然偏序“s ”如下：对任意u l ，o j 2 q 0 j 1 u 2 w l ( s ) 忱( s ) ，vs s 对定义在可测空间( q ，厂) 上的随机变量，若对任意u 1 忱，我们有( u 1 ) ( u 2 ) ，则称增；若一增，则称减对事件a 厂，若它的示性函数以 增，则称a 为增事件；若厶减，则称a 为减事件 1 ，b k 不等式 设概率空间( q ，厂，b ) 定义如上，进一步，我们假设s 有限对任意q ， kcs ，定义柱集 c ( u ，k ) = u 7 q ：u 7 ( s ) = u ( s ) ，vs j r ) 对任意事件a ，b 厂，定义事件“a ，b 不交发生”，记为a i n b ，如下 a v l b = u a nb ：存在kcs ，使得c ( u ，k ) ca ，c ( u ，s k ) cb ) 定理2 1 1 ( b k 不等式) v a ，b 厂， 0 ( a 3 b ) 昂( a ) 昂( b ) ( 2 1 ) 本文只对增事件用到b k 不等式，对增事件a ，b ，我们记事件a ，b ”不交发 生”为aob 关于增事件的b k 不等式最初为b e r g 和k e s t e n 4 】所证明一般形 4 第二章主要结果的证明 式的b k 不等式由r e i m e r 于1 9 9 4 年证得，读者可以在文献 3 】中找到r e i m e r 的证 明因而，以上b k 不等式也称为b k r 不等式 2 ，r u s s o 公式 设s 有限，且p ( s ) 兰p 0 ，1 】，对任意u q ，s s ，记为满足 ct，=j!二2。s，：三二 厶) 厶( ) 记以( a ) 为事件“s 关于事件a 是关键的”，即 以( a ) = u q ：a ( u ) 厶( u 。) ) 显然，由以上定义，五( a ) 与s 的状态独立定义随机变量n ( a ) ，它记录事件a 关键点的数目，即，对任意u q ， ( a ) ) ：= i s s ：厶p ) 厶( ) 足理2 1 2 ( r u s s o 公式) 对任意增事件a 厂， d p p 厂( a ) = 耳( ( a ) ) 由r u s s o 公式，对增事件a ，经简单计算可得 1 d p p 厂( a ) = 三e p ( n ( a ) i a ) 昂( a ) 进而，对任意0 o t 口 1 ， ( 2 2 ) 只( a ) = 昂( a ) e x p ( 一口e p ( n ( a ) l a ) 咖) 昂( a ) e x p ( 一z p e p ( n ( a ) i a ) 咖)( 2 3 ) 第二章主要结果的证明 2 2 定理的证明 对任意u a 。，记e 1 ，e 2 ，e n 为事件如的n ( a 。) = n ( a 舰) ) 条关键 边，满足，从o 出发的任意开路7 r 要达到a 玩，必须依次通过e 1 ，e 2 ，e n 记 e i = ，1 i n ，且z t 为开路7 r 经0 到达o b 。过程中，首次到达e i 的 那个端点记y o = 0 定义随机变量序列 风，k 1 ) 如下： p k ( w ) = j ( 讥一1 ，x k ) ， + 。： u a 。n ( a 。) 七) ； k 1 否则 以下是本文的关键引理事实上，通过该引理，我们可以构造以p k ，k 1 ( 在 事件a 。成立的条件下) 为更新间距的更新过程与以m k ，k l ( m k ，k 1 相互独立 且与m 同分布) 为更新间距的更新过程之间的耦合，即式( 2 9 ) 所示的随机控制关 系，通过研究后者而实现对马( ( a 。) la 。) 的估计 引理2 2 1 设k 为正整数，r 1 ，r 2 ，以为非负整数，并满足冬l r i n - k ，0 p l ， 那么， 名( m r k ，成= r i ，1 i r l l a n ) b ( a 。+ 1 ) = g p ( r l + 1 ) 昂( m n + 1 ) 昂( p l r li a 。) 名( m r 1 ) ( 2 5 ) 5 n a o l +n a c | | 札 an ， n l p，t 上 实事 6 第二章主要结果的证明 从而k = 1 情形命题成立 现在对一般情形的k 进行证明对任意的边e = ( u ，可) ，令d e 为从原点0 出发 不使用e 的开路能够达到的顶点集合，令b 。为满足以下四项要求的事件： ( a ) 乱，u 只有一点属于眈，不妨记为，“； ( b ) e 为开边； ( c ) d 。不包含边界a & 中的点； ( d ) 事件 o 一移) 的关键边按顺序依次记( z ，箩1 ，x 2 ，沈) ，( x k 一2 ，y k 一2 ) ， ( x k 一1 ，鲰一1 ) = e 且6 ( 玑一1 ，x i ) = r i ，1 i 瑕jr 、a - nb ) = 昂( b ，虿= r ) p a p 七 “) na 氕i b ，一g = r ) = p a b ，否= r ) p a p 忌吼+ 1 ) na i b ，一g = r ) p a b ，虿= r ) p a y ( r ) 一a s k - t - i ( 可( r ) ) r 绕开r ) o 可( r ) 一a & 绕开r ) f a b ，虿= r ) 昂( 矽( r ) 一a s k + l ( 剪( f ) ) r 绕开r ) ) p a y ( r ) 一a & 绕开r ) ) p a b ，否= r ) p a y ( r ) 一o + ，( 矽( r ) ) ) ) r b ( y ( r ) 一a & 绕开1 1 ) ) r a m + 1 ) p a b ，虿= r ) p a u ( r ) 一a 晶绕开r ) ) r = b ( m r k + 1 ) 昂( a 。nb ) = r ( m r k ) b ( nb ) n开绕 ， 力r 吖、 钉 似 万 一 8 卜 n t、 a 认 昂 昂 n n = = 一g g 口 c q 昂 弓 r r 第二章主要结果的证明 即 弓( 风 r k na 。nb ) 弓( m r k ) b ( a nb ) ( 2 6 ) 两边同除于昂( anb ) ，得 从而， 昂( 服 r k l a 。nb ) 昂( m r k ) b ( p 七r 七) l 厶nb ) 名( m r k ) 两边同时乘以p p ( b i a ) ，得 得证 昂( m r k l lb i a 。) 昂( m r k ) 斥( b i a n ) 口 ( 2 7 ) 有了引理2 2 1 ，我们可以对耳( ( a n ) la n ) 进行估计事实上，我们有以下 引理 引理2 2 2 对任意0 得证 n 耳( ) = e p ( k ) 耳( m ；) nn 瓦磁2 再葛面丽 儿 2 再夏豸琢硒2 ( 2 1 1 ) 由引理2 2 2 ，要得到耳( ( a 。) ia 。) 的有效估计，我们需要研究随机变量m 的期望事实上，我们希望级数虱( p ) 收敛，即期望耳( m ) 存在为此，我们给 n = 1 出以下引理 引理2 2 3 对p 0 使得 b ( m n ) s6 0 ) 咒- 1 2 证明：对任意0 a 一 万 翕口 一 第二章主要结果的证明 在由引理22 2 ，得 则，对v v v ( n ) 卵( n ) e x p ( 一f , fe ( ( a 。) i a 。) d p ) 卯( 几) e x p ( 一z p 三雨n 嘲一1 】咖) s 卯( n ) e x p ( 一( p q ) 夏孺n 订嘲一1 】) 夕”，。( 佗) 舶，口( 咒) e x p ( 一( p 一皿) 【芝翼三了i 萄n j 嘲一1 】) 先后将该武右边，左边对 取上确界，得 只( m n ) 昂( m n ) e x p ( 一一q ) 蓦了羡砑 可 固定0 p p c 和正整数n ，令n n ，由上式可得 其中 p 0 ( m n ) 昂( m n 7 ) e x p ( 一( 一n ) 主歪了瓦n 万函一1 】) 蹦舱哟e x p ( 1 _ 一蠢蒜) 妻昂c m z ，= 嘉 n - 1 昂c m t ，+ 羹昂c m 纠 h 昂( m o ) - - u p 昂( m n ) 】 ：三+ 昂( m n ) 咒 记仰( 凡) = l 昂( m n ) - 1 j ，令n = 礼伽( 几) ，则 从而， 孑1 昂( m i ) 2 p z ( m 凡) i = 0 r ( m 礼7 ) 昂( m 礼) e x p ( 1 一赫) 9 第二章主要结果的证明 若取p q = 2 局( m n ) ( 1 一l o g 昂( m n ) ) ，则 只( m n ) 焉( m n ) 以下思路：先按上面取n 和q 的方法，取到一个单减序列 p i ) 墨。 增序列 江0 0 0 ，使+ 。( m f t i + 1 ) 瑶( m 眦) ，i = 0 ，1 ，2 ，成立； 啦】墨。进行插空 先固定p p c ，令p o = 7 r ，且p 丌 p c ，定义 n t + 1 亿一p i + 1 n 2 玩( 1 一l o g y ) 其中 y i = ( m ) = 【( m m ) _ 1 j ，玩= p p , ( m 啦) 则 虿i + 1 - - g 2 定义一个实数序列 玩) 墨o ：0 x o l ；鼢+ 1 = 甄2 ，i 0 则易知 ( 3 0 s ( x o ) ：= 2 x ( 1 一l o g x ) o 。 i = 0 且，当z o _ 0 时，s ( x o ) _ 0 因此，可取z o 足够小，使得s ( x o ) 毛玩 只一2 或( 1 一l o g 虿 ) 只一1 2 或一1 ( 1 一l o g g i 一1 ) 一2 歹i ( 1 一l o gi ) i r 一2 虿1 ( 1 一l o g y j ) j = o i 7 r 一2 z j ( 1 一l o gx j ) j = o 7 r s ( x o 、 p ( 2 1 5 ) 和一个单 再对序列 ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) 蔓三童圭墨绫墨笪垂塑 1 1 这说明可构造一个单减序列 鼽) 墨。且p p p c ，v i2 0 由n 的定义，得v k l n 七2n o t o t l r 知一1 玑一1 巩一1 矾一1 蘸一2 g k 1 9 七一2 9 1 9 6 n ( r k - 1 r 一2 r o ) 一1 虱 6 2 ( p ) 咒i 1 其中，6 2 ) = n o 虿。 最后，当k 一。时，鲰_ 0 ，则当k 足够大时，n k 一1 n o ，存在k ，使得n k 一1 礼 扎知， r a m 礼) 蚕七一1 a ( p ) n - ；1 2 n o 下，我们可以调整常数6 ，来得到同样的不等式对所有 n l 都成立。 口 有了以上三个引理的准备，我们来证明定理1 1 定理1 1 的证明：由引理2 2 3 ，得 v o 0 ，使得：o 昂( m2i ) ( p ) n 1 2 由( 2 1 4 ) 式，得 从而， r ( m 扎) e x p ( 1 一( 一q ) 只( m n ) e x p ( 1 对于0 p p c 1 ，得 ：o 昂( m i ) 黑2 ) ( p ) 7 弓( m n ) e x p ( 1 一p 叫c - 仇p j n l 2 ) ( 2 1 9 ) ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) | | 一 一 一 一 = o瓦 第二章主要结果的证明 从而， 故， o o e p ( m ) = p v ( m 扎) o o ，p 乳 n = = 1 又由( 2 1 9 ) 式，取0 口= p = p c 1 ，得 昂( m n ) e x p ( 1 n 溉一p ) e p ( m ) 昂( m n ) e x p - ( i ) ( p ) n 】 口 ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 参考文献 s r b r o a d b e n t j m h a x m n e r s l e y , p e r c o l a t i o np r o c e s s ，c r y s t a l sa n dm a z e s p r o c c a m b p h i l s o c 5 3 ( 1 9 5 7 ) ，6 2 9 6 4 1 g g r i m m e t t ，p e r c o l a t i o n ，2 n de d i t i o n ，s p r i n g e r - v e r l a g ，n e wy o r k ，b e r l i n ( 1 9 9 9 ) 3 】c b o r g s ，j t c h a y e s ，d r a n d a l lt h ev a nd e nb e r g k e s t e n r e i m e z i n e q u a l i t y ： ar e v i e w 【m i ，p e r p l e x i n gp r o b l e m si np r o b a b i l i t y ：f e s t s c h r i f ti nh o n o ro fh a r r y k e s t e n ，b i r k h 五u s e r ( m b r a i n s o na n dr d u r r e t t ，e d i t o r s ) ，1 9 9 9 ，p p1 5 9 - 1 7 3 4 】j v a nd e nb e r g ，h - k e s t e ni n e q u a l i t i e sw i t ha p p l i c a t i o n st op e r c o l a t i o na n d r e l i a b i l i t y 【j 】j o u r n a lo fa p p l i e dp r o b a b i l i t y2 2 ，1 9 8 5 ，p p5 5 6 5 6 9 【5 】i b e n j a m i n i ，o s c h r a m m ，p e r c o l a t i o nb e y o n dz d ，m a n yq u e s t i o na n daf e wa n s w e r s e l e c t r o n c o u u n u n p r o b 1 ( 1 9 9 6 ) ，7 1 8 2 h s g g s t r s m ，o p e r e s ，y m o n o t o n i c i t yo fu n i q u e n e s sf o rp e r c o l a t i o no nc a y l e yg r a p h s ：a l l i n f i n i t ec l u s t e r sa r eb o r ns i m u l t a n e o u s l y , p r o b a b t h r e l f i e l d s ，t oa p p e r b e n j a m i n i ，i ，l y o n s ，r ，p e r e s ，s c h r a m m ，o ：g r o u