（概率论与数理统计专业论文）poisson白噪声扰动的随机偏微分方程.pdf

摘要 摘要 本文主要考虑下面的抛物型的随机偏微分方程： 掣= 学+ 型絮呲+ 易9 ( ，u ( 扣) ；g ) 驾謦 【u ( o ，z ) = 札o ( z ) 其中( t ，x ) 【o ，o 。) r ，u o ( z ) l 2 ( r ) ，丛名掣是p o i s s o n 白噪声在这篇文章中， 我们考虑被p 豳s o n 白噪声扰动的一类抛物型随机偏微分方程解的情况，利用迭代 逼近的方法证明了这类方程存在唯一解，此外，我们利用一些重要的不等式( 如 m i i l l ( o w s k j 不等式和y 0 u n g 不等式) ，并且利用了格林函数的一些性质，得到一个 关于这个唯一解的正则性结果 关键词：抛物型随机偏微分方程，p o i s s o n 自噪声，p 0 i s s o n 随机测度 格林函数 学科分类号：0 2 1 2 。 a b s t r a c t a b s t r a c t t h i sp a p e ri sm a j n l yc o n c e r n e d 耐t hap a r a b o l i cs p d e 鱼餐掣= 堡舞掣+ 型笔警也! 垃+ 尼9 ( t ，z ，u ( t ，z ) ；) 堕等铲吐 ( 0 ，z ) = u o ( z ) o nt h e 百v e nd o m a l ni o ，o 。) rw i t hl 2i n i t i a 】c o n d i t i o n ，w h e r e 型i ! ：手吐i st h ep o i s s o n w h i t en o i s e 1 nt h i sp 印e r ，w ee s t a b l i s ht h ee x i s t e n c ea n du i q u e n e s so fa n 铲( r ) v a l u e d s 0 1 u t i o no nac l a s so f o n e d i i l l e s i o n 胡p a r a b o h cs p d e sd r 主v e nb yp o i s s o nw h i t en o i s eb y e 印l o 恼n gs u c c e s s i v ea p p r o 。( i m a t i o n sf h r t h e r m o r ew ee 就a b l i s har e g u l 撕z a t i o nr e s u l t f o rt h es o l u t i o no fp a r a b o l i cs p d e sb yu s eo fi m p o r t a l l ti n e q u a l i t i e ss u c ha sm i i l l ( a w s b s a n d1 u n g si n e q u a t i e sa dt h ep r o p e r t yo fp o i s s o nw h i t en o i s e t h ee s t i m a t i o n sf o r g r e e nn n c t i o np l a yav i t a jr o l ei nt h ep r o o fo f 也er e g u l a r i z a t i 0 r e s u l t k e yw o r d sa i l dp l l r a s e s ：p a r a | b o l i cs p d e s ，p o i s s o nw h i t en o 醍p o i s s o nr a d o m m e a s u r e g r e e nf u n c t i o n a m s2 0 0 0s u b j e c tc l a s s i f i c a t i o n s ：3 5 r 6 0 ，6 0 h 1 5 ，8 2 c 2 2 i i y9 6 8 6 9 0 南开大学学位论文版权使用授权书 p 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名：3 ，长讶， 知妒年三月3 j 日 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文 的研究成果不包含任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的 作品的内容。对本论文所涉及的研究工作做出贡献的其他个人和集 体，均已在文中以明确方式标明。本学位论文原创性声明的法律责任 由本人承担。 学位论文作者签名： 雾定在 知o f 年上月3 _ 日 c h a p t e r1 b a c k g r o u n da n di n t r o d u c t i o n d e r t e r m i n e dp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t l o n s ( p d e ) c o u l dn o td e s c r i b ep 盯t i c l e s m o _ t i o n 柚de c o n o m i cp h e n o m e n o n sc o r r e c t l yd u et ot h ei n c r e a s i n gc o m p l e x i t yo f0 u rw o r l d s o m es p e c i a 】i s t sh a v eb e e ns e e k i n gf o rab e t t e rw a yt od e s c 曲et h ew o r l d i n1 9 8 6 ，j o h n w a s hb r o u 曲tt i m 争s p a c ew h i t en o i s et op d e sa ds t o c h a s t i cp 缸t i a | d i 雎r e n t i a le q u a - t i o n ( s p d e ) o c c u r s f o l l o w i n gh 遮w a y ：s o m ea u t h o r sh a v ed o n ea1 0 to f o r k ，w r i t t i n g al o to fs i g n m c a n tp a p e r ss u c ha s 【8 ) 【9 j 【2 1 】a n ds p d e sd r i v e nb yg a u s s i o nw h i t en o i s e h a v eb e e ni i l t e n s i v e l ys t u d i e d s o m ec l a s s i cm a t h e m a t i c 出a n dp h y s i c 出e q u a t i o i l sh a v e b e e ne x t e d e dt os p d e sd r i v e nb yw h i t en o i s es t o c h a s t i cb l l r g e r se q u a t i o n sw h i c h bo n eo fc l a s s l ce q u a t i o n sh a v eb e e np a i dm o r ea t t e n t i o n s 1 tn o to n l yc a 皿b eu s e dt o m o d e lo u rw o r l d sp h e n o m e n o nb u ta l s oh a ss 唔n 曲c a n t l yt h e o r e t i c a lv a l u e ss t o c h a s t i c b u r g e r se q u a t i o n sd r i v e nb yn o i s eh a v e9 0 t t e nm o r ep e o p l e si t e r e s t i k c e n t l yw i t h t h ed e v e l o p 瑚e n to ft h e o r i e sa n dp h y s i c a lc o n d i t i o l l s ，m o r ea n dm o r ep e o p l eh a v eb e e n i n t e r e s t e di ns p d e sb yn o d g a u s s i a nw h i t en o i s ei n c l u d i n gp o i s s o nw h i t en o i s e ，s t a b l e n o i s ea n ds oo n ，f o re x 锄p l ei n 【l 】【7 】，【1 4 】a d 1 9 卜i np a r t i c u l a r ，s p d e sd r i v e n b yp o i s s o nw h i t en o i s ew e r e6 r s t l yi n v e s t i g a t e di n 1 a n da l b e v e r i ow ua n dz h a n g p r o v e dt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fa n 2 ( r ) 砌u e ds o l u t i o nf o rao n e d i 】e n s i o n a l p a r a b o l i cs p d e i np a s s i n g ，n u m a na n dw up r o v et h ee ) ( i s t e n c ea n du n i q u e n e s so fa 1 0 c a ls o l u t i o nt ot h es t o c h a s t i cb u r g e re q u a t i o l l si n 【1 9 】b u tu n f o r t u n a t e l yt h e yo n l y g e tt h eu n i q u el o c a ls o l u t i o nf 研s t o c h a s t i cb u r g e re q u 乱i o n i nv i e wo f 七h 嘁w ec o s i d e rac l a s ss t o c h 8 s t i cp a r a b o b cs p d e sd r i v e nb yp o i s s o n w h i t en o i s e ，n a m e l yt h i sp a p e ri sm a i n l yc o n c e r n e dw i t has p d e 、 ，鱼告乎= j 堡矗攀+ 型盟掣+ 易9 ( t ，z ，u ( ，z ) ；可) 盟掣 lu ( o ，z ) = “o ( z ) o n 恤e 百v e nd o m a i n 【o ，o o ) rw i t hl 2i n i t i a jc o n d i t i o n ，w h e r e ! ! 咤乎吐i st h ep o i s s o n w h i t en o i s e 1 t h i sp 即e r ，w ep r o v et h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s s 。rac l a s so fs p d e sd r i v e n b ，p o i s s a nw h i t en d s es t a t e da b o v ea n dg e tar e g 址a r i z a t i o nr e s u l tf o rt h es o l u t i o n l b a c l ( g r o u n da n di n t r o d u c t i o n o fp a r a b o l i cs p d e sb yl l s eo fi m p o n a n ti n e q u 出i t i e ss u c ha sm i n k o w s k i sa 1 1 dy o u n g s i n e q u a l i t i e sa n dt h ep r o p e r t yo fp o i s s o nw h i t en o i s e t h l sp 印e r n s i s t so ft h r e es e c t i o n s i nt h en e x ts e c 七i o n ，w es e tu pp o i s s o nw h i t e n o i s ea n dt h ec o r r e s p o n d i n gs t o c h a s t i ci t e g r a j s w ei n t e r p r e tt h ep 缸a b o h cs p d e d r i v e nb yp o i s s o nw h i t en o i s ea n d 舀v et h em a i nr e s u l ti nt h e 矗n a ls e c t i o n ，w ep r a v e t h em 越nr e s u l ts t a e di nt h es e c o n ds e c t i o ne x p 】o i t i n gam 乱h o do fs u c c e s s i v ea p p r 时 i m a t i o i l sa n du s i n gs o m ee l e m e n t a r yi n e q u a j i t i e ss u c l la sm i n k o w s k i sa n dy b u n g si - e o u a l i t i e s 2 c h a p t e r2 p r e l i m i n a r ya n dm a i nr e s u l t st ot h ep a r a b o l i cs p d e t h i sp a p e ri sm a j n l yc o n c e r n e dw i t ht h es p d e 掣= 铲+ m ，圳( t ，z ) ) + 型等必+ 七9 ( 细，u ( t ，z ) ；p ) 鹄掣 【缸( o ，z ) = “o ( z ) ( 2 1 ) 。nt h e 舀v e nd 。m a i n 【o ，o 。) rw i t hl 2i n i t i a 】c 。n d i t i 。n ：w h e r e ! ! i ：鲁业i st h ep 。i s s 。n 0 n er i 9 0 r o u sf o r m u l a t i o no fe q n a t i o n ( 21 ) c a b e 百v e nb y 七h ef o l l o 、v i n gi t e f a l e q u a t i o n u 。，z ) = ：g t ( 。一z ) t 幻( z ) 出一z ：坌! ! ! = ：i ；二二尘h ( s ，z ，u ( s ，z ) ) d z d s + 厂厶上g 一伍叫如，孙栅脚陋川 ( 2 2 ) w h e r eg t ( z ) i st h eg r e e nf u n c t i o na d ! ! ! ：韭i st h ep o i s s o nw h i t en o i s e n e x t ) w ew i l le x p 】i c a t et h em e a i o g so fs t o c h a s t i ci n t e g r 出si n v o l v i n gp o i s s o nw 陆t 8 n o i s ea n dt h ep r o p e r t i e so fg r e e nf l m c t i o s f i n a h y jw ew i l l 舀v e 出em a i nr e s l l l t sf o 。 t h ed a r a b o l i cs p d e 2 1p o i s s o nw h i t en o i s ea i l di t ss t o c h a s t i ci n t e g r a l s i nt h i ss e c t i o n ，w eg i v et h ed 曲i t i o no fp o i s s o nw h i t en o i s ea n ds e tu ps t o c h a s t i 。 i n t e g r a l si n v o l v i o gp 0 i s s o nw h i t en o i s ea si n 【l 】a n d 1 9 】 l e t ( n ，p ) b eac o m p l e t e dp r o b a b i i i t ys p a c e w i t h6 l t r a t i o n 五) t 2 0a i l d ( b ( u ) ，p ) b ea 盯一6 i t em e a s u r es p a c e d e f i n i t i o n2 1 l e t ( f ，肛) a n d ( 以b ( u ) ，) b e 盯一矗n i t em e a s u r es p a c e s w ec a l ln ： ( e ，p ) ( 以8 ( u ) ，) ( n ，厂，p ) ，u o ) u o 。) ap o i s s o nr a n d o mm e a 5 u r ew h i c h s a t i s 矗e s ： 3 p r e l i m i n a r ya n dm 越nr e s u l t st ot h ep a r a b o i i cs p d e ( i ) f b ra a n db b ( u ) ，( a ，b ，) ：( n ，p ) _ u o ) u 。) i sp o i s s o n d i s t r i b u t e dr a n d o mv a r i a b l ew i t h p ( u n ：j v ( 4 ，b ，u ) = n ) = 生= 兰竺生竺摹出龇 f o re a c hn u o ) u o 。) h e r ew eu s et h ec o n v e t i o nt h a t ，b ，u ) = o o ，p - 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