（应用数学专业论文）强耦合捕食模型的正平衡解.pdf

东南大学学位论文 x6 44 4 5 3 独创性声明及使用授权的说明 ，学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下连厅i 0 研毫t ： 毫= 蔓致辞口j 研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标明和致谢的地方”论支。下皂耋姜j 电，1 、巴 经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育虮构目0 学位或证书 ：h ； 而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所敞的任何贡献均己往i 乏趸申f 二i 眄 确的说明并表示了谢意， = 、关于学位论文使用授权的说明 笺名7 刍良均巩兰旦堡! 冉 j 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所连交学 _ 羔i 兰文 的复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文、友人电子：噎 的内容和纸质论文的内容相一致，除在保密期内的保密i i 竺文姓t ：! 沦支破查 焉苫 阅，可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布f 包括刊登) 授权东雨六 学研究生院办理 签名：75 陆捌币虢迎啤嗍幽 摘要 本文讨论了一类非线性交错扩散l o t k a - v o l t e r r a 捕食系统带有齐次d i r i c h l e t 边界条 件的正平衡态，即下面的强耦合椭圆型方程组的正解： f 【( 1 + o 口) u = 。u ( 1 一u c u ) ， 。q ， _ ( 1 + 焘) ” _ 6 m + m u 刊，筇 【钆： ：0 ， z a q 经过适当的变换，将此强耦合椭圆型方程组等价为弱耦合椭圆型方程组通过对等价方 程组的讨论，利用锥上的不动点指数理论，得到了正解存在的条件特别地，对于一维 的情形，我们得到了正解的唯一性借助于c r a n d a l l r a b i n o w i t z 分支定理，讨论了关于 参数o ，b 的局部分支，以及对应的弱耦合椭圆型方程组的分支解的渐近稳定性 关键字：l o t k a v o l t e r r a 捕食系统，非线性交错扩散，平衡解，分支，共存，稳定性 a b s t r a c t t h i sp a p e ri sc o n c e r n e dw i t ht h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n so fa n o n l i n e a re l l i p t i c s y s t e mu n d e rt h eh o m o g e n e o u sd i r i c h l e tb o u n d a r yc o n d i t i o n s f 一 ( 1 + q ”) 川= 。u ( 1 一一c ) ， z q ， - ( + 赤) ” 刊螂+ m “刊，z 【u=u=0，xaq t h es y s t e ma r i s e si nt h es t u d yo ft h el o t k a - v o l t e r r ap r e y - p r e d a t o rm o d e lw i t hn o n l i n - - e a rc r o s s - d i f f u s i o n i nv i r t u eo ft h ee q u i v a l e n ts y s t e m ，m a k i n gu s eo ft h et h e o r yo ft h e f i x e dp o i n ti n d e x ，w ec a nd e r i v eas u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h ee x i s t e n c eo f p o s i t i v es t e a d y s t a t e s ，n a m e l y ，c o e x i s t e n c es t a t e s m o r e o v e r ，u n d e rs o m ef u r t h e ra s s u m p t i o n s ，w ec a ng e t an e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h ec o e x i s t e n c e i np a r t i c u l a r ，i nt h es p e c i a lo n e d i m e n s i o n a lc a s e ，t h eu n i q u e n e s so fp o s i t i v es o l u t i o n si sd i s c u s s e d a p p l y i n gt h ef a m o u s c r a n d a l l - r a b i n o w i t zb i f u r c a t i o nt h e o r e m ，w ei n v e s t i g a t el o c a lb i f u r c a t i o nw i t hr e s p e c tt o t h ep a r a m e t e r saa n db ，a n dd i s c u s st h eb i f u r c a t i o nf r o mt h es e m i t r i v i a ls o l u t i o n s f o r t h ee q u i v a l e n ts y s t e m ，t h es t a b i l i t yo ft h eb i f u r c a t i o ns o l u t i o n si sa l s oc o n s i d e r e d k e y w o r d s ：l o t k a - v o l t e r r ap r e y p r e d a t o rm o d e l ，n o n l i n e a rc r o s s d i f f u s i o n ，s t e a d y - s t a t e s o l u t i o n s ，b i f u r c a t i o n ，c o e x i s t e n c e ，s t a b i l i t y 2 1 引言 生态数学模型的研究是一个十分热门的课题，引起了众多生物学家和数学家的极大关注 本文讨论带非线性交错扩散的l o t k a + v o l t e r r a 捕食模型 “c 一 ( d 十a u ) u = 。u ( 1 一普) 一”， 。移q ( o ，o 。) 、 旷 ( d 2 + 赤) u = 6 ”( - 一薏) + ，i 枷( 0 删，。) u = = 0 ，f ：士、a q ( 0 ，。) ， u ( z ，0 ) = u o ( x ) 0 ，0 ，u ( 。，0 ) = v o ( x ) 0 ，0 ，。q 的正平衡解，其中q 为r “中的有界区域且边界a q 充分光滑，q ，7 ，卢，1 ，k 2 ，a ，b ，c ，m 均 为正常数u ( 茹，t ) ，v ( x ，# ) 分别食物( p r e y ) 和猎物( p r e d a t o r ) 的种群分布密度，k hk 2 分 别为两种群环境的最大容纳量( c a r r y i n gc a p a c i t y ) ，a ，b 分别为食物和猎物的出生率，t i t 称为响应函数，表示单个猎物在单位时间内( 比如说一天) 捕捉到的食物的个数m c 是转化率，即猎物得到食物后生育幼儿的能力如果把扩散项写成散度形式： d i v ( d l 十a v ) v u + a u v v 就可以看出d 1 ，d 2 是简单扩散系数 扩散系数，并且 a i v 卜祷杀v 让+ ( ”赤) v ”卜 o ：v 和口- 2 栅_ 是自扩散系数，o u 和一菥知是交错 l ，z = 一 ( d 1 + a v ) v u + a u v v ， 一 _ 赢v u + ( d 2 + 赤) v 吣 可以分别看成u 和 沿m 方向的扩散流量交错扩散系数。u 0 表示食物 t t 逃避猎 物，向着猎物密度小的方向迁移，交错扩散系数一程骞舞s0 表示猎物追赶食物，向着食 物密度大的方向迁移更详细的生物学解释可以参见文献【2 0 ，2 3 模型( 1 1 ) 的一个重 要研究内容是共存问题，既正平衡解的存在性 本文讨论( 1 1 ) 的平衡解经尺度变换，可以把( 1 1 ) 的非负平衡解问题转化为下面的 强耦合椭圆型方程组 一 ( 1 + q u ) 词= a u ( t u c ”) ， 一 ( ，+ 焘) ”】_ b u ( ，+ 价u - v ) = = 0 u ( z ) 0 ，v ( z ) 0 ， 4 p q g 弛旺 工 o z 嚣 对于问题( p ) 的解( “，”) ，若在q 中u 0 ，u 0 ，就称它是( p ) 的正解或者( 11 ) 正平 衡解相对应的( 0 ，0 ) 称为问题( p ) 的平凡解如果( “，口) 中只有一个分量为0 ，我 们称之为半平凡解本文主要关心问题( p ) 的正解 当o = 7 = 0 时，( p ) 即为齐次d i r i c h l e t 边界条件下，二维l o t k a - v o l t e r r a 捕食经 典模型的平衡态问题许多文献 3 ，9 ，1 0 ，1 1 ，1 5 ，1 8 ，1 9 ，2 4 ，2 6 对此模型的共存问题都 作了深入研究p a o 【2 4 运用上下解及迭代的方法，得到了多种参数情况下的存在性结 果；b l a t b r o w n 【3 ) 利用解耦方法和整体分支理论，证明了正解的存在性；d a n c e r ，l 6 p e z g 6 m e z ，o r t e g a 1 1 在径向对称性质情况下利用算子谱分析的方法，得到了正解的存在唯 一性；j l 6 p e z g 6 m e z ，r p a r d o 【1 8 对参数空间( a ，b ) 经过精细的分析，得到最优的共 存锥，对于难情况他们还得到了正解的存在唯一性( 【l9 ) ；l i 【1 5 】和w a n g 2 6 对反应 项推广到较一般的函数形式，得到某种条件下共存的充分必要条件；文献 2 ，4 ，1 2 ，1 3 将 方程组( p ) 中的c ，m 分别由赤，i 睾毛( d 0 ) 代替，研究了一类具有饱和项( s a t u r a t i o n ) 的捕食方程组；文献( 2 2 】考虑了具有非单调转化系数的捕食方程组，此时问题变的更为 复杂 n a l l l m s h i m a 和y a m a h a 2 1 】研究了扩散项分别为- a 0 + q ) u ，一【( 1 + 卢u ) u 形式 的l o t k a - v o l t e r r a 捕食模型和l o t k a - v o l t e r r a 竞争模型实际上，他们研究具有此类形式 的扩散项的捕食模型是不符合生物学意义的 带齐次n e u m a n n 边界条件的l o t k a - v o l t e r r a 捕食模型有更丰富和深刻的结果参见 文献f 5 ，1 6 ，1 7 ，25 研究问题( p ) 的基本方法，是先引入两个新的函数将问题( p ) 转化为弱耦合椭圆型方 程组令 u 2 ( 1 + 鲫) u 和v 。( 1 + 赤卜 由于在r 辜= “0 ，口o ) 内，g 船1 ，因此( u ， ) 0 和( y ) 0 一一对应， 并可得到如下的关系式， u = u ( v ) = 型坚塑塑地等等堕尘幽i ( 1 - 2 )2 f 1 + 口y ) r 7 u = ( v ) 一( 。卢y 一卢一，y u ) + 、质五万可_ = = _ 万= _ 了二_ 歹弘i f 五；琢r i i 巧i 歹丽 一五万万广一 ( 1 3 ) 5 6 我们可以将( p ) 改写为等价形式， r 一己，= o u ( 1 一u c ”) ( 1 + o l v ) ，x s 2 ， j 一y = b v ( 1 + m u 一 ) ( 1 + 南) ，卫nf e p ) iu=v=0，xaq， 【u20 ，v 0 ， z q 此时( e p ) 为弱耦合椭圆型方程组，这里( e p ) 中的u 和v 是关于u 和v 的光滑函数， 满足( 1 2 ) 和( 1 3 ) 下面，我们通过讨论等价方程组( e p ) 来研究问题( p ) 的正解 a m a n n 【1 发展的锥上的拓扑度理论对于研究非线性椭圆型方程组正解的存在性是一 个强有力的工具之后，d a n c e r 8 ，9 和王明新 2 6 成功地发展了正锥上的不动点指数 理论来研究半线性椭圆型方程组正解的存在性 本文组织如下，第二节给出一些预备知识和主要结果，第三节建立( e p ) 正解的先验 估计第四节利用不动点指数理论，给出( e p ) 正解存在的条件第五节利用文献【6 】中 的简单特征值分支定理，讨论( e p ) 关于半平凡解的分支，证明分支解的局部存在性，一 定条件下的渐近稳定性第六节利用【1 9 】的思想，证明一维情形下正解的唯一性 2 预备知识和主要结果 对于任意q c ( q ) ，记 1 ( g ) 是特征值问题 = 咖m 咖羔 的第一特征值由特征值的变分性质知 a l ( q ) = i n f “e 础圳：l l l v 缸1 1 2 + 厶口( 咖2 ， 其中范数儿_ l i 为l 2 ( q ) 范数显然有 a 1 ( q 1 ) ) q ( q 2 ) 如果g l q 2 ( q l 啦) ， 当q 三0 时，记a 1 ( 0 ) = a 1 对于半线形椭圆型方程 叫- - a ：w 。，= 。叫。一叫l ：i 募 有众所周知的如下引理，证明分别参见文献 2 和【27 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) 引理2 1 ( i ) 如果。茎a 1 ，那么铷= 0 是( 2 3 ) 唯一的非负解 ( i i ) 如果a a 1 ，那么( 2 3 ) 有唯一的非负解口。并且如果a b a 1 ，那么在 区域q 内如 如 ( j i i ) l i m 目。= 0 在q 内一致成立 g 。叶 1 ( i v ) 对于q 内任意紧子集，盥恐0 。= 1 在内一致成立 引理2 2 定义微分算子为 l w = 一a w + a ( 2 如一1 ) 叫 其中w 满足齐次d i r i c h l e t 边界条件，则己的所有特征值都是严格正的 利用引理2 1 ，如果a a 1 ，问题( p ) 有半平凡解( 如，o ) ；如果b ( 1 + ，y 卢) a 1 ，问题 ( p ) 有半平凡解( 0 ，。) 这里记b 1 = 6 ( 1 + ，y 伊) 在不混淆的情况下，若a a 1 ，定义如兰o ；若b ( 1 + 7 弗) a l 即b 1 a l ，定义 如，三0 相应的，问题( e p ) 有半平凡解慨，o ) ，( 0 ，( 1 + 7 b ) 0 b 。) 在这里，简单概括一下正锥上的不动点指数理论 本文中，记e ：= 岛( 丽) c o ( 功，这里岛( 固= u = c ( 孬) ，训a n = o ) 定义正锥 w c e ，这里w = k k ，其中k ：= 缸岛( - ) j u 0 ，。q ) 我们使用文【8 】的记号，令y = ( y l ，y 2 ) 是中任一元，定义w 中楔：= 如 e 1 存在r 0 ，使得y + r o w 1 当y = ( 0 ，o ) ，则有厩= ；当y = ( 可1 ，o ) ( 可1 o ) ，则有i 巧= 岛( 豆) w ；当 = ( 0 ，现) 渤 o ) ，则有厩= w c o ( 囝；特别是，当y = ( y l , y 2 ) 0 ，则有砺= e 记岛= 茹玩卜。玩) 设l ：可巧- + 两紧线性算子，我们称l 具有性质a ， 如果| t ( o ，1 ) 和w 厩s 使得 t o t l w 岛 定理2 3 ( 【2 6 j ) 设w 是e 中一个楔，假定a ：w _ w 是紧算子且有不动点a y o = y o w ，令= a 7 ) 是a 在y o 处的f r 6 c h e t 导数，刚五：甄_ 瓤，设，一在 可际上可逆那么下面结论成立， i ) 如果二在f 啄上具有性质o ，则i n d e x | ，( 4 ，y o ) = o i i ) 如果在上不具有性质q ，尉i n d e x w ( a ，y o ) = ( 一1 ) 。，这里盯是三大予1 的特征 值重数 7 我们主要讨论问题( e p ) 的正解存在性，利用能量方法我们知当a a 。时，( e p ) 无 正解( 参见引理3 1 ) 在以后的讨论中，我们一般假定a a 1 关于问题( e p ) 的正解存在性主要结论为如下的定理 定理1 假定a a l ，如果 警掣 ( 2 a ) 和 州一等掣) 1 ，如果c o 和m ( ( p + 1 ) ( 卢2 + 所一2 7 ) 2 7 2 ) 7 ( 卢+ 1 + 2 d ， 则有( e p ) 或者其等价形式( p ) 的正解存在的充分必要条件为( 2 4 ) 和( 2 5 ) 都成立 为了研究问题( e p ) 关于半平凡解的分支，我们需要下面著名的分支定理，参见文献 f 6 1 ， 定理c & r 假定x ，y 是两个b a n a c h 空间，vcx 是0 的一个邻域，映射f 一 ( 一6 ，6 ) v _ y 有下列性质： 1 ) 当 0 ，使得当b ( 6 0 ，6 0 + j ) 时，( e p ) 有解 ( u ，y ) ，这里b o 由a ( 一寺号；) = 0 唯一确定，满足： 8 i ) ( 阢v ) 是( e p ) 在( p 。，0 ) 附近唯一的正解 i i ) 如果。曼c ，此分支解( 以y ) 是渐近稳定的 同样有( e p ) 关于半平凡解( 0 ，( 1 + 7 卢) 如。) 的分支( 参见定理5 1 ) 对于一维的情形，我们有如下的定理， 定理4 当n = 1 时，如果满足c 。，m ( ( 卢+ 1 ) ( 卢2 + 卢7 2 7 ) 一2 7 2 ) 7 ( 卢+ 1 + 2 7 ) 那么( p ) 有唯一的正解此时( p ) 有唯一的正解充分必要条件为( 2 4 ) 和( 2 5 ) 都成立 3 先验估计 首先我们得到( e p ) 正解的一些先验估计第一个引理给出当a 很小，正解的不存在性 引理3 1 如果a a 1 ，那么( e p ) 无正解特别是，当o a l 和6 ( 1 + 7 卢) a l 时，( 0 ，0 ) 是( e p ) 唯一的非负解 证明：假设( u ，v ) 是( s v ) 的正解对( e p ) 第一个方程式两边同乘以u ，并在q 作 l 2 ( q ) 内积，可以得到 i l v u i l 2 = n 五羔”u 一铡) 入条件下，得到( e p ) 正解的一些先验估计 引理3 2 如果( u v ) 是( e p ) 的正解，那么对于q 有 呸呱司鲫x ) 口， 唰：卜专h 1 + 删1 ) i f 蛇帝 【1 + 右讧m 0 ，可以从( e p ) 第一个方程式得到 0 一a u ( z o ) = o ( 。o ) ( 1 一u ( x o ) 一c v ( z o ) ) 知1 一u ( 印) 一c t j ( x o ) 20 因此有 酬组州曼掣 9 这样得到估计 i i u i i 。= ( 1 + 。”( 。) ) “( z 。) ：让( z 。) ( c + 。一8 ( z 。) ) 上式右边可认为是关于u ( z o ) 的函数，在0su ( 蜘) s1 中考虑其最大值可以得到u 的 最大模估计 同样，假设对于某个x o q ，利用i l y l l 。= v ( x o ) 0 可以从( e p ) 第二个方程式得 到 0 一a v ( z o ) = a v ( x o ) ( 1 + m u ( 。o ) 一v ( x o ) ) 于是有1 + m u ( x o ) v ( x o ) 0 因此 这样得到估计 o 。2 ( 1 + 南) ( 1 + 砌( z 。) ) - 上式右边也可认为是关于扎( 。o ) 的函数，在0 乱( z o ) m i 中考虑其最大值，经过细致 的计算，可以得到y 的最大模估计门 下面我们给出当c q 或p 2 + p ，y 三聊时，正解( 阢y ) 的另一个估计， 定理3 3 假定( v ) 是( e p ) 的正解，如果c a ，则有 目口u u ， 。q 如果卢2 - k 卢7 m ，贝0 有 v 芝巩。， z q 证明：当c o ，由引理3 2 知u 1 ，考虑 u + 。v ( 1 一u ) = r 拿 ( 1 十。”) ( 1 一u ) 一1 + 钍+ c u 】 = 。壮 ( 口+ c ) ”一警卅 = ( c + 一竿字) = 羔( c 一口+ 甜 ) 0 1 + 。，2 1 0 由此可知u 是( 2 3 ) 的一个下解1 为( 2 , 3 ) 的一个上解，因为( 2 3 ) 有唯一解以由比 较原理可得到第一个结论类似地，我们考虑 a v + b l v ( i v 1 2 砥b l v ( 一一+ w ) + 6 ，y + 赤) 叫 = 羔 ( 一m u - l + v ) ( ，+ 抄( 1 + 赤) ，+ 赤) w 2 茄 _ 叫，+ 茜) 一茄b + ” ( 1 + 吾) _ ( 1 + 焘) 2 ) 霜b l v 而砰州让2赤) 归+ 乱) p p 2 一p y ) ) 结合给定条件，得到a v + b l v ( 1 一v ) 0 类似可知结论成立 在口，7 相对较小情况下，我们得到下面的先验估计 引理3 4 假定( u y ) 是( e p ) 的正解，如果 成立，则有 c a ， 旧( ( p + 1 ) ( p 2 + 卢，y 一2 7 ) 一2 7 2 ) 7 ( 卢+ 1 + 2 7 ) 以u 让， ( 1 + 吾) ”v ( 1 + ) 如， 证明- 我们只须证明( 3 3 ) ，对于半线形椭圆型方程 a w 岫( 1 一 i z q o q 茁q o a n 口 显然知( i + - y # ) e 6 。是( 3 4 ) 唯一的非负解同时， y + 6 t y1 一丁研v ) 2 燕 c - m u - 1 + v m + 抛+ 赤h 替 2 再9 - v 利r ( z + 护南+ 南、舢2 7 川u + 鬻) 】 卢2 ( 卢+ u + 7 ) ( p + u ) 2 l m p ( 卢+ 7 ) ( 卢+ u ) 2 ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) 1 1 柏( 卢刊+ 南( 2 即+ “) 7 + 7 2 ( 2 卢刊) 曼万i j 歹j j 石! ( 一m 口( 卢+ 7 ) - - y + 2 7 v ) # + ( 一2 e 卢( 卢+ 7 ) - 7 + 7 警) u ， 由条件c n 知m 1 = 1 ，经过一系列计算，在引理3 4 条件下，得到 l 1 0 在爵上成立，p 为正实数考察特征值问题 j 盯( 一a u + p u ) = ( o ) + p ) u ，z q ， l “k 如果a l ( 一o ( z ) ) 0 ，则所有的特征值都小于1 ；如果a l ( 一o ( z ) ) 0 ，则有大于1 的特征 值 引理4 4 令 l ：( w 。) _ ( 一0 口。一a 6 - - z c 。，) ( ：) ， 映d 2 “( 豆) 到e 营( 丽) ，则l 的谱仅由特征值构成，且 a ( l ) = p a ( l ) = ( l ，已，毫，u 目- ，啦，哺，) ， 其中f l 矗 是算子一一a ( z ) 的全部特征值，卵l 啦 r h 是算子一一c ( 茁) 的全部特征值 1 4 u v w w 如如 m 卜 0 嚣 、 厶乳 0 凡乳 ， ( 伽 + p 纽m _ 一b n 1 p 烈 得 导 求 = 厶肌 uv 凡乳 十( ( 2 y 出 理 娥 由 中 于 其 由 幻景 m 甜 舰删6 “ ，一m w w叼叼 引理4 5 ( j ) 当n a i 且6 a l 且6 ( i + 7 卢) a 1 ，那么i n d w ( a ，( o ，0 ) ) = 0 证明；结合( 4 2 ) ，( 4 3 ) 和( 4 4 ) ，我们得到 a ( o ，o ) ：= ( 一+ p ，) 一1 p + ( ；) 】 在k k 内考虑如下的特征值问题 f 口( 一a + p ) 妒= ( p + 。) 砂，z q ， 1 盯( 一a + 芦) 妒= ( p + 6 1 ) 妒，z q ( 4 5 ) 显然，( 4 5 ) 的特征值口1 ，即有，一a ，( o ，o ) 在e 上可逆 考虑 ：( ) 一+ ( 以+ 。p 一p 0 映c 5 2 + 。( 豆) 到( 普( 固根据引理4 4 ，三的谱 盯( l ) = p 盯( l ) = 矗，已，& ，- ) u q 1 ，q 2 ，一，仇， ， 且满足6 已 矗 和_ i 啦 讯 ，这里6 ：p 一牮+ 气 吼2 p 学+ a ”九为算子一在齐次d i r i c h l e t 边界条件下的第i 个特征值 由( 4 5 ) 知，0 口( 三) 对于8 a l 且b ( 1 + v f i ) a l ，因为0 盯( 三) ，那么 p 一字岫 0 1p 一学“ a 1 ，如果a 1 ( 一毒耥) 入l 且b ( 1 + 7 b ) l ，姘转 1 ( 一篱) 0 ，那么 i n d w ( a ，( 0 ，( 1 + 吾) 吼。) = 0 证明：结合( 4 2 ) ，( 4 3 ) 和( 4 4 ) ，我们得到 讯0 ) 斗埘) - l p + ( 咄心台1 咐圳洲g 1 ( 。+ 焘) ) 这里 g t = 一口以黼 在岛( 丽) k 内，考虑如下的特征值问题 f 仃( 一a + p ) 咖= p a ( 2 p o 一1 ) ) 咖+ g l 妒，z q ， 一y l 盯( 一+ p ) 妒= + 6 ( 1 + r n o a ) ( 1 + 万 瓦) ) 妒，。q 、 一_ l v n 如果o - = 1 为( 4 7 ) 的特征值，那么存在( u l ，“j 2 ) g ( 豆) k 满足( 4 , 7 ) 且 l ，) ( 0 ，0 ) 口 ( 4 6 ) ( 4 7 ) 由于a 1 ( 一番溉) , x l ，得w = 0 这样得到矛盾 同样，假设= u 。= 0 且= u 。0 ，记 玩= 淼舵， 同样可以得到 o 。= o ( 1 一u o 。) ， 钮= ( 1 + ，y p ) 掣钮 1 8 ( 4 1 2 ) ( 4 1 3 ) 这里记w 0 为 吃) 某一个子列的极限函数由( 4 1 2 ) 可得【，。= u o 。= 以由 于 0 ，由k r e i n r u t m a n 定理知，从( 4 1 3 ) 可以得到，当b = ( 1 + 7 卢) a 1 时， a t ( 一番转 ；) = 0 这与我们假设矛盾 口 - u2 志( 1 一一c ) 玩z q ， i 紧b ”一州三 a 。( 等 ) = 0 当( 3 ，1 ) 成立，由于引理3 4 有 6 ( 1 + e u ) 、b ( 1 + e 以) 1 + 赤一1 - 4 - 赢 又因为显然有 坐! ! 二生 ! 唑= 1 2 1 + q 刨1 - 4 - 口 a - ( 错) 扎 ( 4 1 4 ) 丛! 掣掣 (415)11+ 口 一 + 口巩， 、7 错 一鬻旧 由( 4 1 4 ) ，( 4 1 5 ) 和( 4 1 6 ) ，可得到关系式 州警群t ( 帮) _ o 州一等掣c 错闻 结合定理1 ，当满足条件( 3 1 ) ，我们得到了正解存在的一个充分必要条件口 注1 ，在o a 1 时，考虑 的变分结构将b 作为盘的函数，那么有 b ( 1 1 + m l o o ) ，、：o - 4 l - 焘7 。 南p 二南斋u 2 d x f n i w l i v w l 一：d x l 蚶0 ) 嘲( 咖 丽- 8 u p t 厶再砑而面扩 u 【o j 洲洲” 将g 作为b 的函数，那么有 丽1 = s u p f n 总痢z f a i w 2 如0 ) 明( 嘞 在参数空间( a ，6 ) 定义曲线，p 2 ， ”_ ( 。朋r 2 h ( 一掣) - 0 ) 1 。口+ & _ ( 啪) 邶，( 喾掣) 删 文献( 1 8 ，2 1 对此有充分的分析，类似文献 2 1 的证明，可得到如下的结论， ( i ) 6 ( 。) 关于n 严格单调递减；6 ( a 。) = ( 1 + 7 p ) 舰6 ( 口) = 等嘉苦警击 ( i i ) a ( b ) 关于b 严格单调递增；。( ( 1 + e f i ) a 1 ) = a 1 ； f ；l i i n 。( 6 ) = ( 1 + 。) a 1 ( 1 一c ) ， c 1 当其它参数固定，点( a ，b ) 在( a ，b ) 空间中某一的区域内，此时定理1 的条件能够满足， 即问题( p ) 有共存情况出现当( 2 4 ) 和( 2 5 ) 同时成立，定理2 给出了( a ，b ) 空间的一 个最优的共存区域然而，在a ，7 相对较大情况下，我们没有得到更好的结论 注2 结合引理4 , 3 和引理4 4 ，类似引理4 6 的证明方法，可得下面结论； ( i ) 当。 a l 时，如果a l ( 一书赭) 0 ，那么i n d w ( a ，( e o ，o ) ) = 1 ( 1 1 ) 当血 入l 且b ( 1 + 7 p ) l 时，如果a 1 ( 一篱) 0 ，那么 i n d w ( a ，( 0 ，( 1 + ；) 如。) = 1 由上述结论的条件以及引理4 5 和引理4 6 的条件，我们能够得到问题( p ) 对应的动 力系统平凡解和半平凡解的稳定性对于平凡解和半平凡解的稳定性分析，是通过研究 其线性化方程的特征值问题( 1 4 1 ) 类似引理4 5 和引理4 6 的证明，我们有如下的结论： 平凡解( 0 ，0 ) 是稳定的，则其不动点指数为1 ；当其是不稳定的则其不动点指数为0 半平凡解( 0 。，o ) 是稳定的，则其不动点指数为1 ；当( 0 。，0 ) 是不稳定的，则其不动点指 数为0 ( 0 ，p b 。) 是稳定的，则其不动点指数为1 ；( 0 ，目6 。) 是不稳定的，则其不动点指数为 0 ( 参见文献 9 ，2 1 1 ) 5 问题( e p ) 非平凡分支解的稳定性 定理3 的证明我们首先固定o a - ，而以b 作为分支参数，讨论问题( e p ) 在点 ( u ，v ) = ( 铊，0 ) 处的分支 令x = 诺+ 。( q ) ) 2 ，y = c 。( q ) 2 ，定义非线性算子f ：x r 斗y 为 2 1 聃：怯塞：= 托) ， “眠砷2i 一忐c ，刊j lyj 这里记w ：( u y ) 令w + = ( 台) ，则f ( w ；) = o 定义l ，( ，) ：= d w f ( w ，6 0 ) ，其中 d w f ( w , b ) 表宗f ，在点( 彬6 ) 的关于的n 6 c h e t 导数 训m ，( 影) = r 。一岬品”赢，) ( 孑) ， ( - a4 - o ( 2 以一1 ) ) 庐l = 一g l 西2 ，。q ， ( 一一沁( 1 + m ) ( 1 + 歹瓦) ) 咖2 2 o ，z q ， ( 5 1 ) 毋1 = 0 ，毋2 = 0 ，z a q 由条件a t ( - b o ( 1 + m ) ( 1 + 彘) ) = 0 ，可知存在特征函数也 o ，。q ， 且| | 2 = 1 ，又有( 5 1 ) 存在唯一函数妒1 满足第一个方程 因此n ( l ，( w ，b o ) ) = s p a n ( 1 ，咖) 7 ) 设( h 1 ， 2 ) t r ( l 1 ( w + ，6 0 ) ) ，这里r ( l ) 表示 l 的值域考察方程组 r ( 一+ 盘( 2 既一1 ) ) u + g 1 v = h i ， z q ， ( 一一6 。( 1 + 枷。) ( 1 + 赢) ) y = h 2 , z q ， lu ：0 ，y ：0 ， 。a q 由f r e d h o l m 二择一定理第二个方程有解的充分必要条件是 = 0 ，这里 定义工2 内积可知n ( l - ( 彬+ ，b o ) ) nr ( l l ( 渺，b o ) ) = o ，将第二个方程的解代入第一 个方程，第一个方程有唯一解因此有c o d i m r ( l 1 ( w + ，b o ) ) = 1 ，同时有 r ( l ，( 1 彤，) ) = ( ，厶) 7 y i 五，2 庐z = o 定义l 2 ( w + ，b o ) ：= d b d w f ( w + ，b o ) ， 二等等挚) ( 象) = ( 二等等西。) 毛r c l ，c 彬，。， b o o + m 以) 1 + 彘 西2 2 d x = 妒2 2 j n一二i v 2 i 2 d z o 至此， 6 中简单特征值分支定理条件全部满足，故3 s o 0 ，以及两个g 1 函数 满足 记 p ：( - s o ，s o ) - r 和 p ( 0 ) _ o i ( ：) r ( l 1 ( 旷6 0 ) 1 ( 0 ) = 似0 ) _ 。 w c s ，= ( 孑 ；) = ( 台) + s ( 象：茇 岛) ， c s 。， b ( s ) = b o + p ( s )( 5 3 ) ( ( s ) ，6 ( s ) ) 是f ( ；b ) = o 在( w + ，b 。) 附近唯一的非平凡解因咖2 0 ，当s 0 充分 小时，有 u ( s ) 0 ，y ( s ) 0 ，。q 如果c o ，注意到g 1 u ( s ) 0 ，v ( s ) 0 ，x q ，如 为了考察分支解w ( s ) 的稳定性，我们用q ( s ) 表示l 1 ( w ( s ) ，b ( s ) ) 的王待，仳值根话 【7 ，按照 2 2 】的方法，有 l i r a 掣：1 s _ o 田( s ) 从而有 露( 5 ) = s p ，( s ) ( 1 + o ( 1 ) ) 下面确定( o ) 的符号由f ( w ( s ) ；b ( s ) ) = 0 可以推出 ( 一一鬻) y ( s ) + 鬻y ( s ) 一丛盟皇 号掣y ( s ) = 0 ( s 4 ) 此时u ( s ) ，v ( s ) 由( 1 2 ) 和( 1 , 3 ) 所确定u ( s ) ，v ( s ) 的函数将表达式( 5 2 ) 和( 5 3 ) 代入 ( 5 4 ) ，有 ( 一一生；掣) w 。( s ) + 堡 ；等( z + 娩( s ” ，。 一堡塑二 掣( 。+ w 。( s ) ) = p ( s ) ! 等( 。+ u 。( s ) ) 5 芦+ u ( s )。卢+ 扣) 用2 与( 5 5 ) 作内积，有 厶一( s ) 三掣。( 庐2 - fw 2 ( s ) ) = 二堡