（应用数学专业论文）线性序拓扑空间上连续自映射的广义周期点与不稳定流形.pdf

独创性声明 l 呵 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地 方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含 为获得电子科技大学或其它教育机构的学位或证书而使用过的材料。 与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明 确的说明并表示谢意。 签名： 窒苤耄 日期：加，口年f 月2 舌日 论文使用授权 本学位论文作者完全了解电子科技大学有关保留、使用学位论文 的规定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁 盘，允许论文被查阅和借阅。本人授权电子科技大学可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或 扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后应遵守此规定) 签名： 生叁蕾 导师签名：鲤 日期：咖。年，月2 石日 ， f - k 裔 h l r 么 摘要 摘要 连续自映射的广义周期点( 即周期点、非游荡点、回归点，链回归点、缈极 限点等) 是拓扑动力系统研究的主要内容之一在现实世界中，具有周期状态的系 统大量存在而迭代过程中的周期轨是描述周期现象的重要数学模型之一，并且它 是迭代系统的最简单的不变子集更一般的还有非游荡点集、回归点集，链回归点 集、彩极限点等，这些广义周期点各自的特性以及它们之间的关系都在一定程度 上反映动力系统的本质特征 本文在阐述动力系统的研究背景、指出它在混沌理论研究中的重要作用并且介 绍广义周期点的研究进展的基础上，首先将一维动力系统中的周期点、不稳定流 形、非游荡点等重要概念进行拓扑推广然后，类比实直线上广义周期点的性质并 且利用拓扑学的基本方法与技巧，在线性序拓扑空间上得到如下一系列结果： 1 、关于周期点，得到了关于3 周期点的一个充要条件和周期点集有限的周期 结构，并将实直线上s h a r k o v s k i i 定理推广到完备稠序线性序拓扑空间( 简记为 c d l o t s ) 上 2 、关于不稳定流形，在c d l o t s 上得到了许多与实直线一致的结论，比如： 连续自映射不动点处的不稳定流形是连通的、连续白映射的周期点处的不稳定流 形必是有限个区间的并、不动点p 的不稳定流形与p 的任意邻域的交集，通过厂有 限次迭代之后，会包含p 的不稳定流形、周期点集有限的连续自映射厂在不动点p 的不稳定流形中没有异于p 的点经厂映射成p 等等，本文还指出，在具有最大最 小元的c d l o t s 上，连续自映射的不稳定流形的边界点，如果不属于流形本身， 则必为该连续自映射的周期点 3 、关于单侧不稳定流形，得到了“连续自映射的两个相邻不动点构成的区间 必含于其中一个不动点的单侧不稳定流形之中 和“周期点集有限的连续自映射， 其不动点处的不稳定流形被该不动点按序关系截为两部分，分别为该不动点的左、 右侧不稳定流形”等结论 此外，本论文还对广义周期点中的非游荡点的性质进行了推广，在一般拓扑 空间上得到非游荡点的等价条件，证明了非游荡集是闭不变集，并给出了第一可 数的h a u s d o r f f 空间中连续自映射的非游荡集的等价描述 摘要 最后，本文对所做工作进行了系统的总结，对广义周期点中还需要深入研究的 地方进行了展望，为将来的研究奠定了一定的基础 关键词：c d l o t s ，连续自映射，周期点，非游荡点，不稳定流形 r l r 、 卜 k 旃 、 霄 a b s t r a c t a b s t r a c t t h e g e n e r a l i z e dp e r i o d i cp o i n t s ( t h a ti s ，p e r i o d i cp o i n t ，n o n w a n d e r i n gp o i n t ， r e c u r r e n tp o i n t ，c h a i nr e c u r r e n tp o i n t ，c o l i m i tp o i n t ，a n ds oo n ) ，a r ep a r to fm a i n r e s e a r c ho fd y n a m i c a ls y s t e m i nt h er e a lw o r l d ，t h e r ea r eal o to fs y s t e m 谢lp e r i o d i c s t a t e t h ep e r i o d i co r b i ti nt h ei t e r a t i v ep r o c e s si so n eo ft h em a t h e m a t i c a lm o d e l sw h i c h d e s c r i b i n gt h ep e r i o d i c a lp h e n o m e n o n ，a n di ti st h es i m p l e s ti n v a r i a n ts e to ft h em a p m o r eg e n e r a l l y , t h e r ea r en o n w a n d e r i n gp o i n t ss e t ，r e c u r r e n tp o i n t ss e t ，c h a i nr e c u r r e n t p o i n t ss e t ，缈一l i m i tp o i n t ss e t ，e t c t h er e s p e c t i v ec h a r a c t e r i s t i c so ft h e s eg e n e r a l i z e d p e r i o d i cp o i n t sa n dt h er e l a t i o n s h i p sb e t w e e nt h e mw e r et os o m ee x t e n t ，r e f l e c tt h e e s s e n t i a lc h a r a c t e r i s t i c so ft h ed y n a m i c a ls y s t e m a f t e rd e s c r i b e dt h er e s e a r c hb a c k g r o u n da n ds i g n i f i c a n c eo fd y n a m i c a ls y s t e m ， i n d i c a t e dt h a td y n a m i c a ls y s t e mp l a ya ni m p o r t a n tr o l ei nt h er e s e a r c ho fm a t h e m a t i c a l t h e o r yo fc h a o s ，a n di n t r o d u c e dt h er e s e a r c hp r o g r e s so ft h eg e n e r a l i z e dp e r i o d i cp o i n t s o nt h e s eb a s i s ，t h i st h e s i sf i r s tg e n e r a l i z e dt h ep e r i o d i cp o i n t ，t h eu n s t a b l em a n i f o l d ，a n d n o n w a n d e r i n gp o i n ti no n e - d i m e n s i o n a ld y n a m i c a ls y s t e m ，a n dt h e na n a l o g yt h e i r p r o p e r t i e so nr e a ll i n e ，u s i n gt o p o l o g i c a lm e t h o d sa n dt e c h n i q u e s ，o b t a i nt h ef o l l o w i n ga s e r i e so f r e s u l t s ： 1 、a t t e n t i o nt o p e r i o d i cp o i n t s ，t h i st h e s i s o b t a i nan e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n t c o n d i t i o no f3 - p e r i o d i cp o i n _ t a n do b t a i nt h ep e r i o ds t r u c t u r eo fc o n t i n u o u ss e l f - m a p w i t hf i n i t e l ym a n y p e r i o d i cp o i n t s f u r t h e r , t h et h e s i se x t e n d e ds h a r k o v s l d it h e o r e mo n t h er e a ll i n et oc o m p l e t e l yd e n s e l yo r d e r e dl i n e a ro r d e r e dt o p o l o g i c a ls p a c e ( a b b r e v i a t e d a sc d l o t s ) 2 、a t t e n t i o nt ou n s t a b l em a n i f o l d s ，o nc d l o t s ，t h i st h e s i sg o ts o m ec o n c l u s i o n s s a m e 谢t l lt h er e a ll i n e f o re x a m p l e , t h eu n s t a b l em a n i f o l do faf i x e dp o i n ti sc o n n e c t e d ； t h eu n s t a b l em a n i f o l do fa p e r i o d i cp o i n ti st h eu n i o no f f i n i t ei n t e r v a l s ；t h ei n t e r s e c t i o n o ft h eu n s t a b l em a n i f o l do faf i x e dp o i n ta n da r b i t r a r yn e i g h b o r h o o do ft h e 丘x e dp o i n t ， b yf i n i t ei t e r a t i o no ff ，w i l lc o n t a i n st h eu n s t a b l em a n i f o l d ，i nt h eu n s t a b l em a n i f o l do f af i x e dp o i n tpo fac o n t i n u o u ss e l f - m a pf 、析mf i n i t e l ym a n yp e r i o d i cp o i n t s ，t h e r e i i i a r en op o i l l td i f f e r e n tf r o mpm a p p e dt opb yf ，e t c t h et h t s i s a l s op o i n t e do u t m ef 0 1 l o w i n gr e s u l t ：t h eb o u n d a r yp o i n t so ft h eu n s t a b l em a n i f o l do fa n y c o n t i n u o u s s e l f - m a po nc d l o t s ，w i t h t h em a x i m a ld e m e n ta n dt h em i n i m a le l e m e n t ，a r ep e n o d l c p o i n t si ft h e ya r en o tb e l o n gt ot h eu n s t a b l em a n i f o l d 3 、a t t 锶t i o nt ou m l a t e r a lu n s t a b l em a n i f o l d s ，t h i st h e s i sg o t c o n c l u s i o n se x a m p l ea s “m ei n t e r v a lw i t he n d p o i n t so ft w oa d j a c e n tf i x e dp o i n t so fa c o n t i n u o u ss e l f - m a p1 5 c o n t a i l l e di l l 也eu 1 1 i l 砷e r a lu n s t a b l em a n i f o l do fo n eo ft h e f i x e dp o i n t s ”a n d t h e u n s t a b l em a n i f o l do faf i x e dp o i n to fac o n t i n u o u ss e l 仁m 印w i t hf i n i t e l ym a n yp e r i o d i c p o i n t s ，a c c o r d i n gt ot h eo r d e rr e l a t i o no ft h ec d l o t s ，i s t r u n c a t e dt o 铆op a r t sb y 也e f i x e dp o i n t ，m a ti s ，m e1 e nu n s t a b l em a n i f o l da n dt h er i # tu n s t a b l em a n i f o l do ft h e f i x e dp o i n t i na d d i t i o n t h i st h e s i sg e n e r a l i z e dt h ep r o p e r t i e so fn o n - w a n d e r i n gp o i n t s ，g o ta e q u i v a l e n tc o n d i t i o no fn o n - w a n d e r i n gp o i n t so ng e n e r a lt o p o l o g i c a ls p a c e i t i sp r o v e d m a tt h en o n - w a n d e r i n gs e ti sad o s e di n v a r i a n ts e t ，a n dg a v es o m ee q u i v a l e n tf o r m s o f n o n w a n d e r i n gs e to n a f i r s tc o u n t a b l eh a u s d o r f fs p a c e f i n a l l y t h et h e s i ss 1 加胍a d z e dt h ew o r k ，p r o s p e c t e dt h ew o r kw h i c hi sr e q u i r e d i n - d e p t hs t u d y t h u s ，t h et h e s i sl a i ds o m e f o u n d a t i o nf o rt h er e s e a r c ho f t h eg 饥e r a l i z e d p e r i o d i cp o i n t sf u t u r e 1 “y w o r d s ：c d l o t s ，c o n t i n u o u ss e l f - m a p ，p e r i o d i cp o i n t ，n o n - w a n d e r i n g p o i n t ， u n s t a b l em a n i f o l d i v 1 目录 目录 第一章绪论1 1 1 选题依据1 1 2 广义周期点的研究进展3 1 3 论文的内容结构4 1 4 预备知识5 1 4 1 本论文涉及到的符号5 1 4 2 本论文涉及到的基本定义5 1 4 3 本论文涉及到的基本引理7 第二章线性序拓扑空间上连续自映射的周期点8 2 1 引言及预备8 2 2 关于3 周期点的一个充要条件9 2 3 周期点集有限的周期结构1 0 2 4 本章结语1 2 第三章c d l o t s 上的沙可夫斯基定理1 3 3 1 引言1 3 3 2 线性序拓扑空间的一些性质1 4 3 3 奇周期轨序关系1 5 3 4s h a r k o v s k i i 定理的证明2 0 3 5 补充说明2 3 3 6 本章结语2 4 第四章c d l o t s 上连续自映射的不稳定流形2 5 4 1 预备知识2 5 4 2 不稳定流形边界点的周期性2 5 4 3 不稳定流形的映射性质3 1 4 4 单侧不稳定流形的性质3 4 4 5 不稳定流形的其他性质3 8 4 6 本章结语4 0 第五章拓扑空间上连续自映射的非游荡点4 2 v 目录 5 1 定义及引理4 2 5 2 主要定理及证明4 2 5 3 本章结语4 6 第六章总结与展望4 7 致谢4 9 参考文献5 0 攻硕期间取得的研究成果5 3 v i 1 1 选题依据 随着基础科学和应用科学的发展，非线性科学已引起现代科技界许多专家学 者的高度兴趣，非线性数学则是非线性科学的基础和重要组成部分，而自映射( 迭 代) 的研究可说是非线性数学中最基本的部分，特别是函数迭代和一维动力系统， 它除了作为高维动力系统最基本的例子，其本身也是极富吸引力的数学课题，因 此，线段上自映射、序空间自映射、拓扑空间自映射的研究成为动力系统领域中 不可忽视的部分 动力系统的研究可以追溯到牛顿【l 】在牛顿的体系中，以时间为参变量的微分 方程占据了主导地位牛顿的经典著作自然哲学的数学原理在接下来的两个世 纪中成为人们研究天体问题的典范，人们甚至乐观的认为可以象牛顿顺利解决二 体问题那样，通过求出微分方程的显式解来处理任何天体问题，但没有实现到上 世纪末，情况发生了一个质的转折，著名的法国数学家p o i n c a r e 将相空间的几何 ( 系统参数向量所有可能值的空间) 引入分析过程，将人们的注意力从方程的单 个解转移到所有可能的解曲线及其相互关系上来，从而从经典力学和微分方程定 性理论的研究中提出了动力系统的概念【2 】随着p o i n c a r e 定性分析方法的引入，动 力系统研究的焦点从以微分方程定义系统的模式转到相空间和作用群上，最终两 个重要的分支从研究中衍生出来：拓扑动力系统和遍历理论这两套理论有着惊人 的平行性，一方面，拓扑动力系统可以自然地视为一个保测系统，另一方面，任 何遍历系统有其拓扑表示这两套理论中有着许多相对应的概念，例如，遍历 极小性、离散谱一等度连续、测度熵拓扑熵此外，局部性质的研究在拓扑 动力系统一般性理论中很早就有体现，而这些局部性质最终反映了系统的全局性 质例如，一个拓扑动力系统为等度连续的当且仅当其局部p r o x i m a l 关系为对角 线，一个拓扑动力系统为d i s t a l 的当且仅当其p r o x i m a l 关系为对角线近年来，为 得到遍历理论中k o l m o g o r o v 系统的拓扑对应，b l a n c h a r d 等人局部化了拓扑熵、 测度熵等概念，事实证明，这种做法非常有效，利用这种思想人们证明了极大零 熵因子的存在性、局部变分不等式等结论，然后，这些概念从熵对推广到熵串， 熵集、熵点，经典的熵的变分原理也推广到了局部形式 电子科技大学硕士学位论文 动力系统中的一维迭代在混沌数学理论研究中也起着重要作用，它是研究非 线性方程演化过程的有力工具最早研究混沌数学理论的方法就开始于一维迭代， 为了研究一个系统的混沌性，把系统的状态用一组变量( 它们是关于时间t 的函数) 来描述，同一个系统还可能受某些可以调节的“控制参量”的影响，比如固定一 组参量，把时间变化限制成等间隔的t , t + l ，t + 2 ，看下一个时刻的系统状态如何 依赖于当前状态在只有一个状态变量时，这个演化过程可以由一个非线性函数描 述而一维迭代则可以表现出系统的分岔现象甚至混沌现象等更复杂的行为 混沌( c h a o s ) 学是近三十年才发展起来的一个跨多个学科的学术分支，其本 质是研究非线性系统的不确定性，在研究中最为关注的又是其不确定性中蕴含的 规律性，从而对其加以控制，达到为实际应用的目的混沌的概念最早由李天岩和 他的导师y o r k e 提出【3 】，1 9 7 5 年，李天岩和y o r k e 在a m e r m a t h m o n t h l y ( 美国数 学月刊) 上发表了一篇文章“p e r i o dt h r e ei m p l y sc h a o s ”( 周期三意味着混沌) ， 其中给出了混沌映射应满足的几个条件，称满足这几个条件的映射为l i y o r k e 混 沌映射，指出实直线上连续自映射如果有3 周期点，那么一定具有l y 混沌性质。 1 9 8 5 年，d e v a n e y 从对初值的敏感性、拓扑传递性和周期点的稠密性三个方面来 定义混沌映射，即d e v a n e y 混沌映射在这之后更多的人投入到混沌理论的研究 中，19 8 6 年，d e v a n e y 发表了专著a ni n t r o d u c t i o nt oc h a o t i cd y n a m i c a ls y s t e m s ) ) 较为全面的介绍了混沌动力系统，之后英国又创办了电子刊物( c h a o s ，s o l i t o na n d f r a c t a l ) ) 介绍一些前沿的研究成果美国的f e i g e n b a u m 发现了倍周期分岔过程中分 岔间距的几何收敛性，且其收敛数率( 每次缩小的倍数) 为4 6 6 9 2 ( 此为著名的 f e i g e n b a u m 常数) ，他还把相变临界态理论中的普适性，标度性，重整化群方法引 入混沌研究，计算出了一组新的普适常数，建立了关于一维映射混沌现象的普适 理论，发现了怎样做尺度变换，给出了一条走向混沌的具体道路，把混沌研究从 定性分析推进到了定量计算的阶段目前对混沌的研究已经深入到了医学工程、气 象研究、电子与通信、计算机科学、经济学等许多学科领域并且在这些领域都取 得了很多重要应用比如近年来，人们发现，脑中也存在混沌现象【4 】，混沌理论可 以用来理解脑中的某些不规则活动，从而，混沌动力学为人们研究脑电和神经网 络提供了新的契机 但是，当前混沌的理论基础研究却远远滞后于应用研究，特别是混沌的数学 基础研究还非常薄弱，正等待我们去开拓与发展基于动力系统的发展态势和它在 混沌理论研究中的作用，对连续自映射的广义周期点的研究是非常必要的 2 第一章绪论 广义周期点的研究进展 对线段j 上连续自映射厂的广义周期点的性质和关系，国内外动力学者们进行 了深入的研究，得到了丰富的结论上世纪七十年代，b l o c kl 在文献 5 】一 7 1 i 正r j e 了若线段j 上连续自映射厂的周期点集肋( 厂) 有限，则厂的周期均为2 方幂的， 且厂的拓扑熵为0 ，还证明了厂的非游荡点集q ( n 包含厂的准周期点，并且若 e 2 ( f ) 有限，则它等于厂的周期点集p e r ( f ) ；然后在文献【8 】中证明了若厂有非2 方幂的周期，则厂有同宿点，若厂有同宿点，则存在两两不交的闭子区间一，厶和 正整数，z ，有厂”( 以) 3 以( f ，k = 1 ，2 ) ；在文献 9 中讨论了区间上连续自映射的链回 归点的一些性质b o w e n r 则在文献 1 0 中证明了若厂有素周期点n = 2 d m ，则厂的 拓扑熵大于( 1 n 2 ) n 上世纪八十年代，熊金城在文献 1 1 【1 5 中证明了若周期点集 为闭集，则厂没有同宿点，若同宿点集日( n = 矽，则对任意非游荡点z ，x 的功 极限集包含周期点集p e r ( 厂) ，若还有周期点集包含国极限集，则缈极限集是厂的 一条周期轨，得到了q ( 门一肋( 厂) 中每一个点在q ( 厂) 中都是单边孤立的周作领在 文献 1 6 】- 2 1 】中得到t 2 ( f ) = 肋( 厂) 当且仅当r ，( 厂) 为闭集；厂有同宿点的充要条 件是b x f 2 ( f ) ，石是准周期点但不是周期点；f l ( f ) 有限的充要条件是周期点集 p e r ( f ) 有限等等上世纪九十年代，张景中总结并研究了这些结果，在文献 2 2 】 中系统地给出了非游荡点、c o 极限点、( 链) 回归点、周期点及周期轨的稳定性的 基本性质其他动力学者的研究结果参见 2 3 】- 2 5 等文献 近几年来，g l f o n i ，j s r r d t a l ，l p a g a n o n i 等人在文献 2 6 、 2 7 中对正方形 上的三角映射的国极限集、周期点、( 链) 回归点和同宿轨进行了研究，指出实线 段上三角映射的某些性质对正方形上三角映射仍成立，而有些性质不再成立那 么，其他空间或集合中连续自映射的动力学性质与实线段上连续自映射的动力学 性质又有何异同呢? 为此，文献 2 8 对序列紧空间上的连续自映射进行研究，证明 了序列紧空间中点x 的国极限集有限当且仅当它为连续自映射的一个周期轨，并 指出若该空间还满足第一可数性公理，则连续自映射的( - 0 极限点就是它的回归点， c o 极限集为闭集文献 2 9 】在没有孤立点的h a u s d o r f f 空间中进行讨论，得到连续 自映射的传递集与回归点集均稠密，且传递集与周期点集不相交文献 3 0 1 i 正明了 序列紧赋范线性空间上连续自映射的回归点集是强不变集，每一个回归点或是类 周期点或是类周期点的聚点文献 3 1 】- 3 3 则分别在连续d o m a i n 、连续体和华沙圈 上讨论了连续自映射的若干性质 为了得到与实线段上更加一致的结果，本论文在文献 1 】- 3 3 】的基础上，结合 3 电子科技大学硕士学位论文 线性序拓扑空间的一些性质( 参见文献 3 4 】- 4 0 】) ，考虑严格介于线性序拓扑空间 与实直线之间的完备稠序线性序拓扑空间( c o m p l e t e l yd e n s e l yo r d e r e dl i n e a ro r d e r e d t o p o l o g i c a ls p a c e ，简记为c d l o t s ) ，讨论了c d l o t s 上的连续自映射厂的动力学 性质关于周期点，本论文得到结论“厂有任意周期点当且仅当厂有3 周期点”和 “若厂的周期点集有限，则每个周期点的周期都是2 方幂的”，并推广了s h a r k o v s k i i 定理；关于不稳定流形，本论文得到结论“不动点处的不稳定流形是连通的”、“连 续自映射的周期点处的不稳定流形必是有限个区间的并”、“在具有最大最小元的 c d l o t s 上连续自映射的不稳定流形的边界点，如果不属于流形本身，则必为该 连续自映射的周期点”、“不动点p 的不稳定流形与p 的任意邻域y 的交集，通过厂 有限次迭代之后，会包含p 的不稳定流形 、“广在肼( 1 f 后) 的不稳定流形被厂映 射的象集合为广在厂( 阢) 的不稳定流形( 其中穰为的k 一周期轨上的点) ”、“周 期点集有限的连续自映射厂在不动点p 的不稳定流形中没有异于p 的点经厂映射 成p ；关于单侧不稳定流形，本论文得到结论“连续自映射的两个相邻不动点构 成的区间必含于其中一个不动点的单侧不稳定流形之中”和“周期点集有限的连 续自映射，其不动点处的不稳定流形被该不动点按序关系截为两部分，分别为该 不动点的左、右侧不稳定流形 此外，本论文还在一般拓扑空间x 上得到点x x 为连续自映射厂的非游荡点的等价条件，证明了非游荡集是闭不变集，并给出了第 一可数的h a u s d o r f f 空间中连续自映射的非游荡集的等价描述 1 3 论文的内容结构 本论文对完备稠序线性序拓扑空间( c d l o t s ) 上连续自映射的动力学性质进 行了研究，讨论了周期点、非游荡点、不稳定流形和单侧不稳定流形的性质全文 共分六章 在第一章中，介绍了动力系统的研究历史和近期发展，给出了本论文使用的 主要定义 在第二章中，我们讨论了连续自映射的周期点，证明了连续自映射有任意周 期点的一个充要条件和若连续自映射的周期点集有限的一个必要条件 在第三章中，我们使用比实直线上更弱的条件，将奇周期轨序关系推广到 c d l o t s 上，然后利用此关系把s h a r k o v s k i i 定理推广到c d l o t s 上 在第四章中，我们集中讨论了c d l o t s 上连续自映射的周期点的不稳定流形， 得到周期点处不稳定流形的边界点的周期性，映射性质，不动点处的不稳定流形 4 在第六章中，我们对本论文各部分的创新点进行了总结，指出对广义周期点 研究的不足和后续工作的方向 1 4 预备知识 1 4 1 本论文涉及到的符号 在本论文中，我们用矽表示空集，n 与z + 分别表示自然数集和非负整数集若 么是空间彳的一个子集，我们用么表示彳的闭包，用c a r d ( a ) 表示么的基数( 即彳 的元素个数) ，用x 表示拓扑空间，用4 x ) 表示点x x 的开邻域系，k ) 。n 表示 x 中的序列 设厂为z 专z 的映射，我们记为f c o ( 彳，x ) ，用心，( 厂) ，以厂) ，f i x ( f ) ， q ( 厂) 分别表示厂的周期点集，周期的集合，不动点集，非游荡点集；用o r b ( x ) 表 示厂以点x 为起点的轨道；用形“( p ，门、矿”( p ，厂，+ ) 和矿“( p ，厂，一) 分别表示厂在周 期点p 的不稳定流形、右侧不稳定流形和左侧不稳定流形 1 4 2 本论文涉及到的基本定义 在这里，我们只给出本论文涉及到的基本定义，具体章节涉及到的特殊定义 在具体章节中给出 定义1 4 1 t 4 1 】集合么中的一个关系“ ”称为全序关系，如果满足下列性质： ( 1 ) ( 可比较性) 对于彳中满足工y 的每个x 和y ，或者x - 4y ，或者y - 4 石； ( 2 ) ( 非自反性) 么中没有z ，使得z x 成立： ( 3 ) ( 传递性) 若x ) ，并且) ，z ，则x - 4z 具有全序关系的集合称为线性序集( 1 i n e a ro r d e r e ds e t ) ( 或称为全序集) 在线性序集中，序关系用a - 4b 表示，并用a - 4 = b 表示a - 4b 或者a = b 如同实 直线，如果口，b x ：口- 4b ，贝i j x xl 口 x - 6 ) ， z xi 口- 4z - 4 = 6 ) ，z xa - 4 = x - 4 = b ，伽xi x 6 ) 都称为( x ， ) 上的区间且分别记为( 口，6 ) ，( 口，6 】， 口，6 】，( 卜，功 关于陋，6 ) ， 口，专) 等区间的定义与上面类似在本论文中，我们还用 口；6 表示拓扑 空间中以a ，b 为端点的区间，即当a - 4b 时， 口；6 = 口，b 】；当b - 4a 时， 口；6 】= 6 ，a 】， 5 电子科技大学硕士学位论文 并用( a ；b ) 表示端点口，b 可能取到也可能取不到的区间通常，我们将全序集( x ， ) 简记为x 定义1 4 2 t 4 1 】设以是全序集4 的一个子集，如果b 4 且v x 4 有x = b ) ，则称元素b 为4 的最大( 小) 元；称4 有上( 下) 界，如果3 b a ，使 得v x 4 ，有石 - = b ) ，元素b 称为4 的一个上( 下) 界；如果以的 所有上( 下) 界的集合有一个最小元( 最大元) ，则称它为4 的上确界( 下确界) 定义1 4 3 t 4 1 】、如果全序集么的每一个有上( 下) 界的非空子集必有上( 下) 确界，则称么具有上( 下) 确界性质 定义1 4 4 t 4 2 】设x 是一个线性序集( 1 ) 称x 是稠序的( d e n s e l yo r d e r e d ) ，如果 v x ，y x ，x 一 y ，3 z x 使得x z y ；( 2 ) 称彳是完备的( c o m p l e t e ) ， 如果x 中 每个有上界的非空子集都有上确界 定义1 4 5 t 4 3 1 设z 是一个线性序集，了是x 上的一个拓扑( 1 ) 称了是x 上 的线性序拓扑( 1 i n e a ro r d e r e dt o p o l o g y ) ，如果了是彳上以伊= ( 卜，b ) ，( a ，专) l 口，b x ) 为子基的拓扑；( 2 ) 拓扑空间x 称是完备稠序线性序拓扑空f 司( c o m p l e t e l y d e n s e l yo r d e r e dl i n e a ro r d e r e dt o p o l o g i c a ls p a c e ) ，简记为c d l o t s ，如果x 是一个完 备并且稠序的线性序拓扑空间 下面给出一个不同于实直线的完备稠序线性序拓扑空间的例子 例1 1 【4 1 】：若彳和b 是全序关系分别为“_ ”和“_ 。”的两个集合，a xb 上的全 序关系“ ”定义为：当a l 一a 2 时或者当a l = a 2 并且2 5 i 口吃时，a l 包- a 2 6 2 ，它 称为彳b 上的字典序关系设s 是一个良序集( 任意非空子集都有最小元的全序 集) ，在s x 0 ，1 ) 上赋予字典序拓扑，则s x 0 ，1 ) 是完备稠序线性序拓扑空间 定义1 4 6 t 删设z 是一个拓扑空间，所谓x 的一个分割，是指x 的一对无交 的非空开子集u 和y ，它们的并等于x 如果x 的分割不存在，则称空间z 是连通 的 定义1 4 7 t 5 1 、厂为空间x 上的一个自映射是指厂：x x ，若连续，则称 为x 上的一个连续自映射，记作厂c o ( z ，x ) 并记厂胂1 = f 。f ”( v n n ) 定义1 4 8 【5 1x x 称为厂的一个万一周期点，如果3 n n ，使得厂”( 功= x ，而 厂七( 功石( v 1 k x 连续，k 为包 含于x 的闭区间，且足c 厂( k ) ，则k 中必含有厂的一个不动点 引理2 1 3 设厂：x 专y 是从连通空间x 到具有序拓扑的全序集y 的一个 连续映射若口和b 是x 的两个点并且，是】，中介于f ( a ) 与厂( 6 ) 之间的一个点，则 z 中存在一个点c 使得厂( c ) = 厂 引理2 1 4 t 4 1 1 若z 是一个c d l o t s ，则x 连通，并且x 的每一个区间( 有限 或无限) 也都是连通的 引理2 1 5 t 4 1 1 设x 是一个c d l o t s ，f c o ，x ) ，则x 中闭区间在厂之下 的像仍为闭区间 引理2 1 6 t 州连通空间的连续象是连通的