（应用数学专业论文）矩阵方程axb与axbc的几类约束解.pdf

摘要 约束矩阵方程是在满足一定约束条件的矩阵集合中求解矩阵方程解的问题它 是数值代数领域中最重要的研究课题之一在结构设计，系统识别，自动控制理论， 振动理论等领域有着广泛的应用本硕士论文主要研究了以下几类问题： 1 利用矩阵的广义逆和奇异值分解，给出了矩阵方程a x = b 有转动不变解 和循环解的充分必要条件及有解时其解的一般表达式，给出了与给定矩阵x + 的最 佳逼近解，给出了计算最佳逼近解的数值算法和数值例子 2 。设p 和q 分别是n 阶和m 阶自伴对合矩阵( 即满足p 丑= p ，q 月= q 和 p 2 = 厶，q 2 = k ) ，如果n xm 阶复矩阵a 满足a = p a q ，则称矩阵a 为关于自伴 对合矩阵p 和q 的广义中一1 、5 对称矩阵；如果nxm 阶复矩阵a 满足a = 一尸a q ， 则称矩阵4 为关于自伴对合矩阵p 和q 的广义中心反对称矩阵本硕士论文利用 矩阵对的广义奇异值分解，给出了矩阵方程a x b = c 有广义中心( 反) 对称解的 充要条件和通解表达式，证明了在矩阵方程a x b = c 的广义中心( 反) 对称解集 合中存在唯一与给定矩阵x + 的最佳逼近解，给出了求解问最佳逼近解的数值算法 和数值例子另外，给出了计算矩阵方程a x b = c 的广义中心( 反) 对称解及其 与给定矩阵x + 的最佳逼近解的一种矩阵形式的l s q r 迭代方法 关键词：矩阵方程；最佳逼近解；最小二乘解；代数解法；迭代解法 a b s t r a c t t h ec o n s t r a i n e dm a t r i xe q u a t i o n sa r ep r o b l e m st of i n dt h es o l u t i o n so fm a t r i x e q u a t i o n si nc o n t r a i n e dm a t r i xs e t s i ti so n eo ft h em o s ti m p o r t a n tp r o b l e mi n n u m e r i c a la l g e b r a a n di sw i d e l yu s e di ns t r u c t u r a ld e s i g n ，s y s t e mi d e n t i f i c a t i o n ， a u t o m a t i c sc o n t r o l ，v i b r a t i o nt h e o r y i nt h i sm s t h e s i s ，t h ef o l l o w i n gp r o b l e m sa r e c o n s i d e r e dm a i n l y 1 u s i n gt h eg e n e r a l i z e di n v e r s e ，s i n g u l a rv a l u ed e c o m p o s i t i o n ，t e n s o rp r o d u c t a n dd r a wo p e r a t o ro fm a t r i c e s t h es u 伍c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s - t e n c eo fa n dt h eg e n e r a le x p r e s s i o n sf o rt h em a t r i xe q u a t i o na x = bh a sar o t a t i o n i n v a r i a b l es o l u t i o no rac i r c u l a n ts o l u t i o na r ed e r i v e d i nt h es o l u t i o ns e to ft h e m a t r i xe q u a t i o n ，t h eu n i q u eo p t i m a la p p r o x i m a t i o ns o l u t i o nt oag i v e nm a t r i xi n f r o b e n i u sn o r mi sg i v e n n u m e r i c a la l g o r i t m sa n dn u m e r i c a le x p e r i m e n t st oc o m p u t t h eu n i q u eo p t i m a la p p r o x i m a t i o ns o l u t i o na r ea l s op r e s e n t e d 、 2 l e tp i 9 跏a n dq 舻仇a r es e l f a d j o i n t i n v o l u t o r ym a t r i c e s ( i e p 日= p ，p 2 = 厶，q 日= q ，q 2 = k ) a nn mc o m p l e xai ss a i dt ob ea g e n e r a l i z e dc e n t r o ( o rc e n t r o s k e w ) s y m m e t r i cm a t r i xw i t hr e s p e c tt ot h es e l f a d j o i n t i n v o l u t o r ym a t r i c e sp a n dqi fa = p a q ( o ra = - p a q ) b y u s i n gt h eg e n e r m i z e d s i n g u l a r - v a l u ed e c o m p o s i t i o n so ft h em a t r i xp a i r ，t h i sp a p e rh a sb e e ne s t a b l i s h e d t h en e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo fa n dt h ee x p r e s s i o n sf o r t h eg e n e r a l i z e dc e n t r o ( o rc e n t r o s k e w ) s y m m e t r i cs o l u t i o no ft h em a t r i xe q u a t i o n a x b = c ，s h o w e dt h a tt h e r ei sa nu n i q u eo p t i m a la p p r o x i m a t i o ns o l u t i o nt oa g i v e nm a t r i xi nf r o b e n i u sn o r mi nt h eg e n e r a l i z e dc e n t r o ( o rc e n t r o s k e w ) s y m m e t r i c s o l u t i o ns e to fm a t r i xe q u a t i o na x b = c ，a n dp r e s e n t e dn u m e r i c a la l g o r i t m sa n d n u m e r i c a le x p e r i m e n t st oc o m p u tt h eu n i q u eo p t i m a la p p r o x i m a t i o ns o l u t i o n i n t h i sp a p e r ，i na d d i t i o n ，h a sa l s ob e e ng i v e nt h em a t r i xf o r ml s q ri t e r a t i v em e t h o d s t oc o m p u tag e n e r a l i z e dc e n t r o ( o rc e n t r o s k e w ) s y m m e t r i cs o l u t i o na n dt h eu n i q u e o p t i m a la p p r o x i m a t i o ns o l u t i o nt oag i v e nm a t r i xi nf r o b e n i u sn o r mo ft h em a t r i x e q u a t i o na x b = c k e yw o r d s ：m a t r i xe q u a t i o n ；b e s ta p p r o x i m a t i o ns o l u t i o n ；l e a s t s q u a r es o l u - t i o n ；a l g e b r a i cm e t h o d ；i t e r a t i v em e t h o d i i 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研 究所取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文 不包含任何其他个人或集体己经发表或撰写的成果作品。对本文的研 究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完 全意识到本声明的法律后果由本人承担。 作者签名：纪件& 冰 日期： 20 0 8 年3 月2 5 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版， 允许论文被查阅和借阅。本人授权湖南科技大学可以将本学位论文的 全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存和汇编本学位论文。 涉密论文按学校规定处理。 作者签名：弘沣色私。 导师签名：现佩参程 日期：20 0 8 年3 月25 日 日期：20 0 8 年3 月25 日 第一章引言 1 1 课题研究意义 约束矩阵方程问题是在满足一定条件的矩阵集合中研究矩阵方程解存在的条件 及获得约束解的有效的计算方法的问题约束矩阵集合类不同，求解的矩阵方程类 型不同，均分别构成不同类型的约束矩阵方程问题。如：已知矩阵a ，b 和x 书，求满 足某种约束条件的矩阵x 使得a x = b 且i l x x + 怙= m i n 的问题( 称为矩阵方 程问题a x = b 的最佳逼近解问题) 是一类约束矩阵方程问题；已知矩阵a ，b 和 x + ，求满足某种约束条件的矩阵x 使得l i a y b l l f = m i n 且i l x x + 怯= m i n 的问题( 称为矩阵最j 、- - 乘问题i i a x b 怯= r a i n 的最佳逼近解问题) 也是一类 约束矩阵方程问题研究约束矩阵方程问题不仅具有重要的理论意义而且在结构设 计、参数识别、生物学、电学、固体力学、结构动力学、分子光谱学、自动控制理 论、振动理论、非线性规划、动态分析、图的分块问题及教育实验问题等许多领域 都具有重要应用例如：在结构动力学中，对系统中质量矩阵和刚度矩阵的校正导 致谱约束下矩阵方程最佳逼近解问题 1 ，2 】在电学、光学或自动控制的线性系统进 行测试或复原时，由于原有资料不全或者要求对已有资料进行检核等原因，也导致 了谱约束下矩阵方程最佳逼近解问题【3 此外，在有限元模型的修正【4 】、线性最 优控制 5 ，6 】、线性模型中方差及协方差的估计【7 、电力系统的慢负荷分析和短电 路研究 8 ，9 等问题中，也导致了类似的问题正是这些领域提出的许多不同类型 的问题刺激了约束矩阵方程问题理论的快速发展，使得约束矩阵方程问题成为当今 计算数学领域最热门的研究课题之一 1 2 课题研究慨况 在某种约束条件下简单矩阵方程a x = b 的求解问题是近期研究最活跃的问 题之一b j e r h a m m e r 1 0 ，m a g n u sa n dn e u d e c k e r 【1 1 ，v e t t e r 1 2 等给出了有一 般解的充要条件及有解时其解的一般表式毛锦云f 1 3 ，k i n g - w a he r i cc h u 1 4 ，1 5 ， d a ih u a 1 6 】等研究了对称解问题彭振赞【1 7 研究了自反与自反解及其最佳逼近 解问题w ul e i 1 8 研究了r e 一正定解问题彭振赞 1 9 】研究了广义反对称矩阵 解及其最佳逼近解问题此外，1 9 9 8 年，胡锡炎、张磊和谢东秀【2 0 】系统地研究 了在双对称，双反对称，对称次反对称和反对称次对称矩阵集合类中的矩阵方程反 问题，( 即已知矩阵x ，b 和a + ，求满足某种约束条件的矩阵a 使得4 x = b 或 i i a x b 怙= m i n ) ，并得到了一系列成果 2 1 2 3 2 0 0 2 年，周富照 2 4 】系统地研 1 第一章引言 究了在对称正交对称，对称正交反对称，反对称正交对称和反对称正交反对称矩阵 集合类中的矩阵方程反问题，2 0 0 2 年，张忠志 2 5 】系统地研究了h e r m i t e - 广义 h a m i l t o n 矩阵，h e r m i t e 一广义反h a m i l t o n 矩阵，反h e r m i t e - 广义h a m i l t o n 矩 阵和h e r m i t e 一广义反h a m i l t o n 矩阵集合类中的矩阵方程反问题 矩阵方程a x b = c 的代数解法( 亦称直接解法) ，p e n r o s e 2 6 】利用矩阵的广 义逆给出了存在一般解的充要条件和通解表达式l a n c a s t e r 【2 7 】利用k r o n e k e r 乘积和拉直算子也得到了存在一般解的充要条件和通解表达式 c g k h a t r i 和 s k m i t r a 7 】给出了有h e r m i t e 解及非负定解的条件及解的一般表达式戴华 1 0 ， 2 8 】与c h u 【1 】利用矩阵对的广义奇异值分解给出了有对称解的充要条件和通解表 达式彭振赞 2 9 给出了有中心对称解的充要条件和通解表达式本文根据广义中 心( 反) 对称矩阵的性质并利用矩阵对的广义奇异值分解给出矩阵方程a x b = c 有广义中心( 反) 对称解的充要条件和通解表达式，证明在矩阵方程a x b = c 的 广义中心( 反) 对称解集合中存在唯一与给定矩阵x + 的最佳逼近解，给出求解问最 佳逼近解的数值算法和数值例子 矩阵方程a x b = c 的迭代解法是近年来最热门的研究内容彭亚新等 3 0 ，3 1 】 和黄光新等 3 2 】分别给出了求矩阵方程a x b = c 对称解和反对称解的矩阵形式 的共轭梯度迭代法侯进军等【3 3 】，彭振赘f 3 4 】和雷渊等 3 5 】分别根据共轭梯度法不 同变形形式，给出了求矩阵方程a x b = c 的最小二乘对称解的迭代法：y u y a n g q i u 等 3 6 】基于g h g o l u ba n dw k a h a n 3 7 】关于矩阵的双对角化方法，给出了 求矩阵方程a x b = c 的最小二乘对称型锯的一种矩阵形式的l s q r 迭代法本 文根据l s q r 算法的另一形式，给出求解矩阵方程a x b = c 的广义中心( 反) 对 称解及其与给定矩阵x 4 的最佳逼近解的一种矩阵形式的l s q r 迭代法 1 3 本文主要工作 全文共分三章： 第一章，介绍课题研究的意义，课题的发展状况，本文的主要工作 第二章，利用矩阵的广义逆和奇异值分解，给出矩阵方程a x = b 有转动不 变解和循环解的充分必要条件及有解时其解的一般表达式，给出与给定矩阵x + 的 最佳逼近解，给出计算最佳逼近解的数值算法和数值例子 第三章，利用矩阵对的广义奇异值分解，给出矩阵方程a x b = c 有广义中心 ( 反) 对称解的充要条件和通解表达式，证明在矩阵方程a x b = c 的广义中心( 反) 对称解集合中存在唯一与给定矩阵x + 的最佳逼近解，给出求解问最佳逼近解的数 值算法和数值例子给出求解矩阵方程a x b = c 的广义中心( 反) 对称解及其与 给定矩阵x + 的最佳逼近解的一种矩阵形式的l s q r 迭代法 湖南科技大学硕士学位论文 1 4 本文所用记号 r ( c ) ：全体实( 复) 数组成的集合 舻( c n ) ：n 维实( 复) 向量组成的集合 舻x m ( 俨m ) ：nxm 实( 复) 矩阵组成的集合 0 r 似佗：n 阶正交矩阵组成的集合 i s ：表示n 阶单位矩阵 厶：表示n 阶反序单位矩阵 a t ：表示矩阵a 的转置 a 月：表示复矩阵a 的共轭转置 a _ 1 ：表示矩阵a 的逆 a + ：表示矩阵a 的m o o r e p e n r o s e 广义逆 i i a h f ：表示矩阵a 的f r o b e n i u s 范数 t r a c e ( a ) ：表示方阵4 的迹 r a n k ( a ) ：表示矩阵a 的秩 a ，b ) ：表示矩阵a 与b 的内积 a 木b ：表示矩阵a 与b 的h a d a m a r d 积 aob ：矩阵a 与b 的张量积 第二章矩阵方程4 x = b 的几类约束解 2 1 矩阵方程4 x = b 的转动不变解及其最佳逼近 定义2 1 设矩阵a = ( o 巧) 妒黼，则称矩阵 和 a l = a r = = g l n ( 1 1 n 一1 ( 1 1 2 g l l ( 1 7 n l ( 1 m 2 n m n 一1 i l m n ( 1 2 n a 2 n 一1 ( 1 2 2 ( 1 2 1 口m 一1 1 o 竹l 一1 2 ( 1 m 一1 礼一1 o m 一1 n 口m 一1 m ( 1 m 1 7 7 , 1 o m 一1 2 o m 一1 1 o m m 口m n l 0 m 2 ( 1 m ，1 ( 1 2 1 ( 1 1 1 1 1 2 2g 1 2 ( 1 2 n 一1 ( 1 2 忆 ( 1 1 ，f 2 , 一1 o i n 分别叫做矩阵a 的左转动矩阵和右转动矩阵设矩阵a = ( ) 毋跏，若a l = a ， 则称矩阵a 为左转动不变矩阵，若a n = a ，则称矩阵a 为右转动不变矩阵显 然，a 是左转动不变矩阵当且仅当a 是右转动不变矩阵因此统称为转动不变矩 阵，并且t 舻加用分别表示n 阶转动不变矩阵的集合 魏岭【3 8 】于2 0 0 3 年提出了转动矩阵的概念，给出矩阵a = ( o 彬舻黼的左转动 矩阵和右转动矩阵的一系列的性质本文讨论矩阵方程a x = b 的转动不变解及 其最佳逼近，即如下两类问题 问题2 1 给定矩阵a ，b 胛黼，求x t 舻跏，使得a x = b 问题2 2 给定x 舻黼，求戈，使得i i 又一x + f i f = m i ni i x x + l i f 其中s e 为问题2 j 的解集 本文利用矩阵的广义逆、奇异值分解、张量积和拉直算子，给出问题2 1 有解的充 分必要条件及通解的表达式，证明问题2 2 有唯一解，给出问题2 2 的解的表达式 及求解问题2 2 的数值算法和数值例子 4 湖南科技大学硕士学位论文 引理2 1a t 形n 当且仅当a 厶= a tj n a 厶= a 证明由转动不变矩阵的定义直接计算可得 引理2 2 给定矩阵a ，b r m 跏，若矩阵a 的奇异值为 a = u ( 言兰) y t ， c 2 1 ， 其中e = d i a g ( a x ，a 2 a t ) ，a i 0 ，i = ( 1 ，2 7 ) ，r = r a n k ( a ) ，u = ( u 1 ，u 2 ) o r m m ，v = ( ，) 0 舻舰，u 1 舻舯，r 似r ，则矩阵方程a x = b 有解 的充分必要条件是u b = 0 ，且有解时解的一般表达式为 其中g o r ( n - r ) n 是任意的 x = a + b + k g o ， ( 2 2 ) 让明由( 2 1 ) 知a x = b 等影于 u ( 言三) y t x = b 设y t x = ( 蔓) ，其中x i ei y 黼，r m - r 冷n ，则有 ( 吾兰) ( 羔) = u t 7 而上式等价于 u b = 0 ，x 1 = e - 1 蜉b = a + b 令x 2 = g o r ( n 一，) n ，贝0 有x ：a + b + g o _ 设a = ( a 1 ，a 2 ，a n ) r m 黼，用v e c ( a ) 表示将矩阵a 按列拉直，即v e c ( a ) = ( a ，a 多，a ：) t 设r m 竹时，口e 何纛( ) = b = ( b 1 ，b 2 ，b n ) r m 佗，其中 b r m 为的第m i + 1 分量到第m ( i + 1 1 分量组成 定理2 3 若矩阵a 的奇异值分解为俾j ，z 是使得矩阵g o r m r ) n 满足 u e c ( g 吾) = z v e c ( g o ) 的n ( n r ) 阶置换矩阵，设矩阵 卜圳， z 乞 、，t- 厶厶 o 孓 一 九= ，j 一 一 眨k k 厶 -。l = 彤 第二章矩阵方程4 x = b 的几类约束解 的奇异值分解为 w = 尸a 卜 江3 ， 其中a = d i a g ( b l ，b 2 6 t ) ，b i 0 ，i = ( 1 ，2 亡) ，t = r a n k ( w ) ，p = ( p 1 ，p 2 ) o r n 2 矿，q = ( q 1 ，q 2 ) o r n ( n r ) 佗唧一引，只舻2 妣，q 1 形m r ) t ，令 = ivec(五a+ab+)t厶-一a+ab+j,1vec bbj r 旷， ( 2 4 ) i 厶a + 厶一a + l 、7 则问题2 j 有解的充分必要条件是 啄b = 0 ，霹n = 0 ( 2 5 ) 且有解时解的一般表达式为 x = a + b + v 2 v e c ：1 _ r n ( w + + q 2 g ) ，( 2 6 ) 其中g r n ( n - r ) 一。是任意的 证明由引理2 1 和引理2 2 知，问题2 1 有转动不变解的充分必要条件是 呀b = 0 且其解可以表示为( 2 2 ) 式，其中g o 是下列矩阵方程组的解， k g 。厶一g 吾吁= ( a + ? ) t - a + b 厶( 2 7 ) ik g o 一厶g o 厶= 厶a + b 厶一a + b 、 由张量积和拉直算子性质及矩阵w 和的定义，关于g o 的矩阵方程( 2 7 ) 等价 于线性方程组 w v e c ( g o ) = n ( 2 8 ) 由引理2 。2 知线性方程组( 2 8 ) 有解的充分必要条件是墨n = 0 ，且有解时解的一 般表达式为 因此， v e c ( g o ) = w + n + q 2 g g o = k e c 0 m ( 彬+ n + q 2 g ) 将g o 代入( 2 2 ) 知问题2 1 的转动不变解可以表示为( 2 6 ) 湖南科技大学硕士学位论文 定理2 4 给定x + r n 黼，若问题2 j 的解集合非空，则问题2 2 在s e 中存 在唯一解x ，并且 又= a + b + k v e c ：r ，n ( w + n + q 2 q t m w + 】) ， ( 2 9 ) 其中m = v e e 吁( x + 一a + b ) 】 证明因为问题2 1 的解集合非空，则是h i l b e r t 空间毋黼中的一个非 空闭凸锥因而问题2 2 有唯一解利用正交矩阵f r o b e n i u s 范数不变性，由( 2 6 ) 有 l | x x | 1 ；= l | e c 芒n 佗( w + n + q 2 g ) 一( x + 一a + b ) i i 刍 = i e c = n 凡( w + + q 2 g ) 一曙( 更一a + b ) i i 刍+ l l 吁( 又一a + b ) i i 刍 = i i q 2 g 一( m w + n ) i i 刍+ i i 呼( 灾一a + b ) i i 刍 = i l a q t ( m w + n ) i i 刍+ i t q t ( m w + n ) i i 刍+ l i 吁( 贾二a + b ) i 陪 因此，i i x x + 恬= r a i n 当且仅当g = q t ( m w + ) 将g = q t ( m w + ) 代入( 2 6 ) 知问题2 2 的解可以表示为( 2 9 ) - 算法2 1 计算问题2 2 的唯一解 ( 1 ) 输入矩阵a ，b r t m 黼x + i e 黼； ( 2 ) 按( 2 1 ) 做矩阵a 的奇异值分解； ( 3 ) 计算z = ( 磊t ) ( n - r a n k ( a ) ) n , 玩t = ( 锄) 舻x ( n - - r a n k ( a ) ) , z i j = 1 , i = t , j = 后； c 4 ，计算w = ( 上n 。y 2 - - ( v 2 。i n ) z ) ，= v e c ( a + b ) t - a + b j n ( 5 ) 按( 2 3 ) 作w 的奇异值分解； ( 6 ) 若条件( 2 5 ) 成立，转( 7 ) ；否则，问题2 2 无解； ( 7 ) 按( 2 9 ) 计算x 一7 第二章矩阵方程a x = b 的几类约束解 例2 1 给定矩阵a ，b 和x + 为 a = 1214 57 12l45 7 12 1 457 5 5 7 8 96 5 5 7 8 96 1214 5 7 5 5 7 8 96 x + 一23 23 23 12 12 23 12 b = 一3 2 2 31 62 71 82 12 92 1 3 96 15 73 。98 27 13 34 1 2 83 24 6 2 5 1 61 5 1 6 1 9 4 73 12 12 24 33 77 95 1 5 65 66 13 。77 62 ，88 33 7 1 37 1 7 2 7 34 56 13 94 6 2 32 93 81 71 63 12 81 5 1 41 53 16 32 93 87 34 6 验证知给定的矩阵a 和b 满足条件( 2 5 ) ，因此相应的问题2 2 存在唯一解按上 述计算步骤用m a t l a b 计算得 ) 4 2 8 8 01 4 6 6 3 8 1 6 1 23 2 6 3 9 。5 9 8 8 95 8 3 8 84 4 6 4 94 2 8 8 0 4 4 6 4 9 1 2 5 8 45 2 9 6 1 4 7 5 9 61 2 6 9 32 2 7 8 01 2 5 8 41 4 6 6 3 5 8 3 8 82 2 7 8 06 2 0 7 12 7 4 0 21 8 1 2 66 2 0 7 15 2 9 6 1 8 1 6 1 2 5 9 8 8 91 2 6 9 31 8 1 2 64 6 9 8 14 6 9 8 12 7 4 0 24 两9 63 2 6 9 3 3 。2 6 3 94 7 5 9 6 2 7 4 0 2 4 6 9 8 14 6 9 8 11 8 1 2 61 2 6 9 35 9 8 8 9 8 1 6 1 25 2 9 6 16 2 0 7 11 8 1 2 62 7 4 0 26 2 0 7 12 2 7 8 05 8 3 8 8 1 4 6 6 3 1 2 5 8 42 2 7 8 0 1 2 6 9 34 7 5 9 65 2 9 6 11 2 5 8 4 4 4 6 4 9 4 2 8 8 04 4 6 4 95 。8 3 8 85 9 8 8 93 2 6 3 98 1 6 1 2 1 4 6 6 34 2 8 8 0 2 2 矩阵方程a x = b 的循环解及其最佳逼近 定义2 2 具有4 口- t 形式的n n 阶方阵c 称为循环矩阵 一8 一 趴&趴埔蝤阻惦 4 4 4 7 7 4 7 3 3 3 7 7 3 7 5 5 5 4 4 5 4 4 4 4 7 7 4 z 钾舒盯m m 钾m虬吼虬瑚瑚5=坳 6 6 6 5 5 6 5 8 8 8 4 4 8 4 o 0 0 6 6 0 6 7 7 7 2 2 7 2 8 8 8 悸娼8 烙 螺硌坞m m 坞m 湖南科技大学硕士学位论文 皓董 ( 2 1 0 ) 循环矩阵在数理统计、石油、地震物探及其他应用科学中，尤其是图象、数字信号 处理中具有重要应用【3 9 ，4 0 c 形托表示钆阶复循环矩阵的集合，本文讨论如下 两类问题 问题2 3 给定矩阵a ，b 俨跏，求x c r 似n 使得j j a x b i l e = m i n 问题2 4 给定x + c n 黼，求又使得 l i 贾一x + i i f2 l 磊l i x x + i i f ， 其中s e 表示问题2 3 的解集合 引理2 5 用表示n 阶单位循环矩阵， 卜l 1 0 0 1 = l ：； i 则形如俚1 0 ) 的n 阶循环矩阵c 可以表示为 证明取n 阶f o u r i e rr 变换矩阵 畦f ， 、n i l j n 一1 “，乱一2 一9 一 ( 2 1 1 ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 、liiiilii， 一 一 一； b 旷旷旷： 踟 、ll 0 o ； 1 o ， ， 耳 o 1 0 o 醒 勺 “触 = c 、liiiij， 1 2 1 驴 肛 u ul l 护 其中u = e 警( i = j ) 是佗次单位根易知r 是酉阵，即f 一1 = f 圩，且有 只r = d i a g ( 1 ，u ，u 2 ，u n 一1 ) ( 2 1 4 ) ( 2 1 4 ) 表明( j = 0 ，1 ，2 ，礼一1 ) 是的佗个特征值因此，当n 阶循环矩 阵c 第一行为7 = ( c o ，c 1 ，a n 一1 ) 时， n 一1 c = 勺职 j = o 引理2 6n 阶复矩阵c 是一个循环矩阵当且仅当存在复数入o ，a 1 ，h 一1 使得 c = f n d i a g ( ) _ o ，a 1 ，) - n - - 1 ) 晔 ( 2 1 5 ) 证明若c 是第一行为，y = ( c o ，c 1 ，一1 ) 的循环矩阵，则由( 2 1 2 ) 和( 2 1 4 ) 得 记 f 2 c f = 勺蟛h j r j = o 礼一1 = 啦。扎，u 巧，u 1 h ) j = o n - - 1 几一1 t l 一1 = 成0 9 ( 勺，勺，勺u 巧， j = oj = o j = o n - - 1 入七= 勺u 幻，( 尼= 0 ，1 川2 一，亿一1 ) ， j = o 并注意到r 是酉阵可得( 2 1 5 ) 反之，注意到u 几= 1 ，通过直接计算可知c = f n d i a g ( ) o ，a 1 ，a 礼一1 ) 砰是 一个循环矩阵 一 定理2 7 给定a ，b c m 跏记a r = ( a 巧) m n ，b f = ( b ) m n ，眦= a ，件1 + 丘；，件1 + + a l ，件1 ，m = b l , i + a a l ，件1 + 5 2 , i + 1 9 2 , i + l + + k ，件1 a m , i + 1 ，( i = 0 ，1 ，2 ，礼一 1 ) ，则问题2 3 有解，且其通解为 其中 = f n d i a g ( ) | o ，入1 ，入竹一1 ) ， 址 激数， 薹i oi 扎1 ，2 ，几_ 1 当眦= 0 一1 0 ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) d 一 u 勺 州倒 湖南科技大学硕士学位论文 证明设a f = ( 五巧) 。亿和b r = ( b ) m 礼，则由引理2 6 及酉阵f r o b e n i u s 范数不变性可知存在循环矩阵x 使得l l a y b 忙= m i n 等价于存在复数 入o ，, k l ，入n 一1 使得 a f n d i a g ( a o ，入1 ，) , n - i ) 一b r 怯= m i n 将a r = ( 的) m n 和b e = ( b i a ) m n ，则有 由( 2 1 8 ) 可得 耻 潞数，耄鬣兰。0 江叭忍一l 、i2 气 z2u ，上，么，7 0 一l - l 任何复数，当瞰= 。 = r a i n ( 2 1 8 ) 即问题2 3 有解，且其通解可以表示为( 2 1 6 ) - 当( 2 1 8 ) 的左边等于零时，直接计算可得下列引理 推论2 8 给定a ，b c m n 记a r = ( a 订) m n 和引= ( ) m 忆，则矩阵方程 a y = b 有循环矩阵解的充分必要条件是 俐当a i j = 0 时，b = 0 ( i ，j = 1 ，2 ，佗) 俐当a 舰0 ，五。i 0 时，b k i s k i = 6 鲥a 。t ( i ，k ，8 = 1 ，2 ，n 1 ) 且有解时其通解可以表示为 其中 x = f n d i a g ( a o ，a 1 ，入n - - 1 ) f ， 九= 任b i + 何l , k 复a 数i + ，l i , a 5 k i + 刚1 , k ：0 0 ，i = 。，1 ，2 ，m 一1 i 任何复数，a 惫，件1 = ， 一 。 注意到对任意x & ，由( 2 1 6 ) 及酉阵f r o b e n i u s 范数不变性有 x x + | i 蚤= j i d i a g ( ) 、o ，入1 ，a 仡一1 ) 一c x + r i l ； 因此有下列定理 = 忱一南扎幅+ 慨惰 o j n - 1o 0 ，o ，o a 和0 2 是相应阶数的零矩 阵设矩阵对b 1 和b 2 的广义奇异值分解为 b 1 = 3 畔，b 2 = 虿4 皑， 一1 昏 ( 3 4 ) 乱 2 d n ，、 = 2 、lf，也 其中w 2 c 9 g 是非奇异矩阵， 一p c t x t , - 0 c ( m t ) ( m t ) 是酉矩阵， 3 = ( _ 岛。3 ；。) r 25 2 1 2 7 2 - - 8 2 q - - 1 2 ，4 2 ( 。4 & 五：一，。一。；。) ， e 1 3 , e 1 4 ) = o ，e 2 4 = 0 ，( 玛1 ，玛4 ) = 0 ，( 且1 ，e 4 2 ，且3 ，且4 ) ：0 当p 纠式成立时，问题7 j 的解x 可以表示为 _ 卜掣铲 o fn u n 1 2 矿i 2 1笥1 ( e 2 2 一$ 1 m 2 2 岛) 筇1 n 3 1 e 3 2 笥1 ( 3 5 ) ( 3 6 ) 1 巍。川垆( 3 7 ) e 媳il 其中m 1 3 c r l ( 细2 吨) ，尬2 g s l 如，3 c s l x 叱吨) ，1 c ( k - r , - s 1 ) 伽 2 c 扣”瑚2 ，舰3 c ( k - n - , , ) o - - r 2 8 2 ) ，1 1 c ( n 一忌- 1 1 悯) ( m - t - - 1 2 + r 2 ) ： 1 2 c 一1 如d 瑚2 ，m 3 c ( n - k - l l + s 1 ) x ( z 2 - r 2 - 8 2 ) ，2 1 俨1 ( m - t - - 1 2 + r 2 ) ，3 1 毒 c ( h - r l - 8 1 ) ( m - - 。t - - z 2 + r 2 ) 是任意矩阵 。 证翌：由( 3 1 7 积引理3 4 ，求x c m ( p q ) 使得a x b ：c 等价于求 m c 凫t ，n c ( n 一知) 唧一t ) 位得 一旦m 和被求出，则 a 1 m b l 七a 2 n b 2 = c 。 x ：u - m o 1v n 1 0 n j 由( 3 2 ) 和( 3 4 ) ，并注意到啊和w 2 是可逆矩阵， ( 3 8 ) 等价于 e t - 歹h m y e 3 + 和产虿4 ：w 9 1 c ( 畔) 一1 7 ( 3 8 ) ( 3 9 ) ( 3 1 0 ) 匕数e己 一阶屹，咦 磊，；|；枫伊绦篙篙戳荔耀惠 邶生，觥 第三章矩阵方程a x b = c 的广义中心( 反) 对称解 令 沪m = ( ) 3 3 ，俨虿= ( ) 。3 ) ( 3 1 1 ) 其中a 钉1 c 7 1 x 2 ，m 2 2 c 。1 扔，m 3 3 c ( k - r l - 8 1 ) ( t r 2 一s 2 j ，n 2 2 c 5 1 s 2 ，n 1 1 c ( n - k - l , + s 1 ) x ( r n 一2 2 2 + r 别，3 3 c ( t l - r i - 8 1 ) ( t 2 - r 2 一s 引，贝! ( 3 1 0 ) 等价于 m 1 研m 2 1 0 0 m2&0 s l m 沈s 3 + s 2 n 沈s 色s 2 n 2 3 飓2 &飓3 0 0 ( 3 1 2 ) 成立当且仅当下列( 3 1 3 ) 一( 3 1 5 ) 成立 引e24e3s e 3 4 m ， 饬3 l ，。，、 l 、 e 锶e 镳 ( 局3 ，蜀4 ) = 0 ，e 2 4 = 0 ，( e 3 1 ，马4 ) = 0 ，( e 4 1 ，及2 ，e 4 3 ，玩) = 0 ， ( 3 1 3 ) m 1 l = 日1 ，m 1 2 = e 1 2 s 1 ，m 2 1 = 酊1 易1 ，2 产s i le 2 3 ，n 3 = e 2 3 s f l ，n 3 3 = e 3 3 ，( 3 1 4 ) s 1 m 2 2 s 3 + s 2 n 2 2 s 4 = e 2 2 ( 3 1 5 ) u 矿( 豢。二。场。耋。& ，野。卺。) 日移m l le毫霎_：卺3)虿日y日，c&，7， 其中 五1 c r l ( m - - t - - 2 + r 2 j ， 如1 c 8 1 ( m 一2 2 2 + r 2 ， 如2 c 3 1 扔，m 3 2 c ( k - r - s , ) 8 2 ， 坞1 c ( k - - r l - - 8 1 ) x ( m 一。一2 2 + r 2 ，1 1 c ( - - h + r 1 ) 他，1 2 c ( n - k - l l + r 1 ) 8 2 ，1 3 c ( n 一七一f 1 押1 ) ( t r 2 一s 引，n 3 1 c ( h - r l - s 1 ) 7 2n s 3 c ( 1 , - r l 一3 1 ) ( 扣r 2 一s 2 ) 是任意矩阵 一1 8 一 目饬马日 历易马及 ，。i一 l l 湖南科技大学硕士学位论文 证明由( 3 1 ) 和引理3 4 ，求x 四x m ( p ，q ) 使得a x b = c 等价于求 m c 七x ( m - t ) ，n e ( n - k ) 。使得 a 1 m b 2 + 4 2 b 1 = c 一旦m 和n 被求出，则 品苫卜 由( 3 2 ) 和( 3 4 ) ，并注意到y 和w j 是可逆矩阵， ( 3 1 8 ) 等价于 t 1m l n wv 4 + s t y 日n - f i e 3 ：w i - 1 c ( w ) 一1 令 - g h m - 虿= ( ) 3 3 ，俨- = ( ) 3 3 )