（应用数学专业论文）非线性schrodinger方程整体适定性的最佳条件.pdf

哈尔滨工程大学硕士学位论文 摘要 本文研究一类非线性s c h r t ，d i n g e r 方程的初边值问题解的适定性依赖于 初始值适当的性质，对于非线性s c h r 6 d i n g e r 方程的初边值问题本文研究解的 整体存在性和有限时间爆破，特别是对其整体适定性的最佳条件进行讨论 本文首先建立变分问题，利用变分方法得到位势井深度，定义非线性 s c h r 6 d i n g e r 方程的n e h a r i 流形，并且建立稳态解和流形的关系本文主要围 绕非线性s c h r o d i n g e r 方程展开讨论，然而其结果可以推广到具位势和非线性 导数项的s c h r o d i n g e r 方程中本文通过引入算子半群归纳并研究了具有变分 结构的s c h r o d i n g e r 方程所拥有的整体适定性的门槛结果，并将这些结果统一 到对初始值所属空间性质的研究中通过引进三个集合分别表示解的爆破集 合，整体解存在集合与整体解存在当时间趋于无穷时解消失的集合来描述和 刻画这些集合的结构和性质本文指出对于研究非线性s c h r o d i n g e r 方程的初 边值问题即当初值属于所谓的“稳定空间”时，整体解存在；当初值属于所谓 的“不稳定空间”时，解爆破；当初值属于所谓的“衰减空间”时，整体解存在并 当时间趋于无穷时解消失；由此表明解的性质依赖于初值处于何种空间，通过 引入算子半群描述了方程这种特殊的性质本文证明了，当初始值在非负的泛 函所构成的圆锥体空间内时，在“稳定空间”和“不稳定空间”之间存在一条“分 割线”即n e h a r i 流，每一条原点o 属于硪( q ) 空间并且本身位于圆锥体内的 半线被分成了三个部分：一个是趋于0 属于“稳定空间”的部分，“稳定空间”边 界上的一点和属于“不稳定空间”的剩下的半条线最后，本文引入能量泛函， 联系解的存在集合研究非线性s c h r 6 d i n g e r 方程初边值问题，并特别关注初始 值处于高能量状态，非线性s c h r 6 d i n g e r 方程初边值问题解的情况，指出了处 于高能量的初值会同时导致解的整体存在与爆破 关键词：初边值问题；整体存在性；有限时间爆破；稳态解；半群 哈尔滨工程大学硕士学位论文 a b s t r a c t h f i st l l e s i ss t u d i e st h ew e l l - p o s e d n e s so fs o l u t i o n st oi n i t i a lb o u n d a r yv a l u e p r o b l e mf o rac l a s so fn o n l i n e a rs c h r o d i n g e re q u a t i o n s d e p e n d i n go ns u i t a b l e p r o p e r t i e so ft h ei n i t i a ld a t a ，w ea r ei n t e r e s t e di nb o t hs o l u t i o n sw h i c he x i s tg l o b a l l y a n df i n i t et i m eb l o w - u ps o l u t i o n so fn o n l i n e a rs c h r o d i n g e re q u a t i o n s ，p a r t i c u l a r a t t e n t i o ni sp a i dt od i s c u s st h es h a r pc o n d i t i o no f g l o b a lw e l l p o s e d n e s s t h i st h e s i se s t a b l i s h e st h ev a r i a t i o n a lp r o b l e m s t h et h e s i sg e t sp o t e n t i a l w e l ld e p t hb yv a r i a t i o n a lm e t h o d sa n dd e f i n e st h en e h a r im a n i f o l do fn o n l i n e a rs c h r o d i n g e re q u a t i o n s ，a n de s t a b l i s h e st h e r e l a t i o n sb e t w e e nt h e s t a t i o n a r y s o l u t i o n sa n dt h em a n i f o l d t h e nt h e t h e s i sm a i n l yd i s c u s s e sa b o u tt h en o n - l i n e a rs c h r i s d i n g e re q u a t i o n s ，h o w e v e rt h er e s u l t sc a nb ee x t e n d e dt on o n l i n e a r s c h r 6 d i n g e re q u a t i o n sw i t hah a r m o n i cp o t e n t i a lo rw i t ht h es e c o n do r d e rd e f i v a - t i v et h en o n l i n e a rs c h r 6 d i n g e re q u a t i o n s t h i st h e s i sc o l l e c t sa n ds t u d i e st h es h a r p c o n d i t i o n so fg l o b a lw e l l p o s e d n e s sf o rt h en o n l i n e a rs c h r o d i n g e re q u a t i o n sw i t h t h ev a r i a t i o n a ls t r u c t u r eb yt h es y s t e m i cv i e wp o w e r e db yt h eo p e r a t o rs e m i g r o u p a n dt h e nt h ew e l l p o s e d n e s sr e s u l t sc a nh ew h o l es t u d i e db yc o n s i d e r i n gt h ep r o p - e r t i e so ft h es p a c e sw h i c ht h ei n i t i a ld a t ab e l o n gt o t h et h e s i sd e p i c t sa n dc h a r - a c t e r i z e st h es t r u c t u r ea n dp r o p e r t yo ft h em a n i f o l dt h a tt h es o l u t i o n ss t a yi nb y i n t r o d u c i n gt h r e es e t s t h e s es e t sr e p r e s e n t sr e s p e c t i v e l yt h eg l o b a ls o l u t i o n s ，t h e b l o wu ps o l u t i o n sa n dt h ev a n i s h i n gs o l u t i o n s t h et h e s i ss h o w st h a tf o rt h ei n i t i a l b o u n d a r yp r o b l e mo fn o n l i n e a rs c h r i s d i n g e re q u a t i o n su n d e rs t u d y , w h e nt h ei n i t i a l d a t ab e l o n gt ot h es o c a l l e d “s t a b l es p a c e ”，t h e r ee x i s tt h eg l o b a ls o l u t i o n s ；w h e n i n i t i a ld a t ab e l o n gt ot h es o - c a l l e d u n s t a b l es p a c e ”，t h es o l u t i o n sb l o wu p ；w h e n i n i t i a ld a t ab e l o n gt ot h es o - c a l l e d v a n i s h i n gs p a c e ”，t h eg l o b a ls o l u t i o n se x i s ta n d a p p r o a c h e st o0a st h et i m et e n d st oi n f i n i t y s ot h ep r o p e r t i e so ft h es o l u t i o n s d e p e n do nw h a tk i n do fs p a c et h ei n i t i a ld a t ab e l o n gt o ，t h e s es p e c i a lp h e n o m e n aa r ed e s c r i b e db yt h ei n t r o d u c t i o no f t h eo p e r a t o rs e m i g r o u p t h et h e s i sp r o v e s t h a tw h e ni n i t i a ld a t aa r ei nt h ec o n eo fn o n n e g a t i v ef u n c t i o n s t h e r ee x i s t sa b o r - 哈尔滨工程大学硕士学位论文 h in i i i 每i i i 蕾i i i i i i i i 审宣i i i 掌宣离i 眷i i i i 置菌嗣蔫 d e r l i n e ，b e t w e e nt h e s t a b l es p a c e ”a n dt h e u n s t a b l es p a c e ”a n de a c hh a l f l i n e s t a r t i n gf r o mt h eo r i g i nw h i c hb e l o n g st o 础( q ) a n ds t a y si nt h ec o n e i sd i v i d e d i n t ot h r e ep a r t s ：as e g m e n tc l o s et o0 w h i c hi si n c l u d e di n “s t a b l es p a c e ”，ap o i n tl n t h eb o u n d a r yo f s t a b l es p a c e a n dt h er e m a i n i n gh a l fl i n ew h i c h i si n c l u d e di n “u n s t a b l es p a c e ”i nt h ee n d ，c o m b i n i n gt h ee x i s t e n c es e t so fs o l u t i o n s ，w el n 咖d u c e t h ee n e r g yf u n c t i o n a lt os t u d yt h ei n i t i a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mo ft h en o n l i n e a r s c h r o d i n g e re q u a t i o n s as p e c i a la t t e n t i o ni sp a i dt o i n i t i a ld a t aa th i g he n e r g y l e v e l ，a n dt h et h e s i ss h o w st h a ti n i t i a ld a t aw i t hh i g he n e r g y c a nl e a dt ob o t hg l o b a l e x i s t e n c ea n db l o w u po fs o l u t i o n k e y w o r d s ：i n i t i a lb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ；g l o b a le x i s t e n c e ；f i n i t et i m eb l o w u p ； s t a t i o n a r ys o l u t i o n s ；s e m i g r o u p i n 哈尔滨工程大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：本学位论文的所有工作，是在导师的指导下，由作者本人 独立研究完成的有关观点、方法、数据和文献的引用已在文中指出，并与参 考文献相对应除文中已经注明弓i f f j 的内容外，本学位论文的研究成果不包含 任何其他个人或集体己经公开发表的内容对本论文所涉及的研究工作做出 贡献的其他个人和集体，均已在文中阐明本人完全意识到本声明的法律结果 蚌膈扭 紫蜀黝日 哈尔滨工程大学 学位论文授权使用声明 本人完全了解学校保护知识产权的有关规定，即研究生在校攻读学位期 间论文工作的知识产权属于哈尔滨工程大学哈尔滨工程大学有权保留并向 国家有关部门或机构送交论文的复印件本人允许哈尔滨工程大学将论文的 部分或全部内容编入有关数据库进行检索，可采用影印、缩印或扫描等复制 手段保存和汇编本学位论文，可以公布论文的全部内容同时本人保证毕业后 结合学位论文研究课题再撰写的论文一律注明作者第一署名单位为哈尔滨工 程大学涉密学位论文待解密后适用本声明 本论文( 口在授予学位后即可口在授予学位1 2 个月后口解密后) 由哈尔滨 工程大学送交有关部门进行保存、汇编等 作者( 签字) ：易竹i 传 导师( 签字) ：夕ll 函破 日期： z 新年易月j 阳卅年占月国日 。 哈尔滨工程大学硕士学位论文 第1 章绪论 1 1 非线性s c h r s d i n g e r 方程的研究背景 近些年来，非线性s c h r o d i n g e r 方程受到了许多数学工作者的广泛关 注不仅因为它揭示了微观物理世界物质运动的基本规律，在非线性光 学领域有着广泛的应用，而且因为有很多模型经简化后，都是一些确定的 非线性s c h r 6 d i n g e r 方程可见b e 唱e 在文献【l 】中及c s u l e m 和p - l s u l e m 在 【2 】中的论述非线性s c h r s d i n g e r 方程是量子力学的基本方程，它来源于 量子场论( q u a n t u mf i e l dt h e o r y ) ，特别是h a r t r e e f o c k 理论例如，可见a v r o n ， h e r b s t 与s i m o n 在文献【3 】，【4 】，【5 】，b i a l i n y c k i b i r u l a 与m y c i e l s k i 在文献【6 】， 【7 ，c o m b e s ，s c h r a d e r 与s e i l e r 在文献【8 】，e b o l i 与m a r q u e s 在文献【9 】，g o g n y 与l i o n s 在文献【1 0 ，k a t o 在文献【l l 】，l e b o w i t z ，r o s e 与s p e e r 在文献 1 2 】， l i e b 与s i m o n 在文献【1 3 ，r e e d 与s i m o n 在文献【1 4 ，b s i m o n 在文献【1 5 】 及c s u l e m 与p l s u l e m 在文献【1 6 1 非线性s c h r o d i n g e r 方程也是一个非常好 的色散方程的模型，因为就技术上而言，非线性s c h r s d i n g e r 方程比其它色散 方程如波动方程或k d v 方程更简单： 从数学的角度来看，非线性s c h r b d i n g e r 方程兼具抛物型方程与双曲 型方程两者的性质特别有用的方法是能量与s t r i c h a r t z 估计关于非线性 s c h 哟d i n g e r 方程，已被很多数学工作者研究，并取得了丰硕的成果不但关注 局部解的问题( 解的局部存在性，唯一性，正则性，光滑影响性) ，而且研究了整 体解的情况( 有限时间内解的爆破，整体解存在性，解的长时间行为) 描述的方 法大量适用于半线性色散方程总的来说，我们需要详尽的线性( 及非线性) 估 计，并且大多数的整体解的结论是依赖于小的初始值 1 9 8 5 年g i n i b r e 与v e l o 在文献【1 7 】中研究了如下s c h r 6 d i n g e r 方程 i 饥+ a u = l 训p u ，3 7 q ，t 0 哈尔滨工程大学硕士学位论文 的柯西问题，初值条件为 u ( o ，z ) = u o ( x ) ，z q ，t 0 作者证明了上述问题在啦空间中局部解与整体解的存在性 1 0 a nb e j e n a r u 与t e r e n c et a o 在文献 1 8 1 中建立如下二次非线性 s c h r i s d i n g e r 方程 i 饥+ u = u 2 其中u ：rzr c 作者研究获得了当8 一l ，上述问题在日8 ( r ) 空间中 存在局部解当8 一互3 ，上述问题在蟛( r ) 空间存在局部解，相比之下，当 二次非线性项为i u l u 时，则其在e ( r ) 空间存在整体解【2 0 】 r o w a nk i l l i p 与t e r e n c et a o 在文献【2 l 】中建立如下临界质量非线性 s c h r 6 d i n g e r 方程 i 饥+ 钆= 士l u l 2 乱 对于属于对称球l ：( r 2 ) 初值，作者建立了上述问题解的整体适定性与散射的 相关结果作者关心的问题为质量严格小于稳态解时解的情况，并推得了任意 球对称爆破解至少聚缩到稳态解的质量 t e r e n c et a o 与m o n i c av i s a n 在文献【2 2 】中研究了如下s c h r t j _ d i n g e r 方程 i 毗+ a u = 入1 l u i ：u + 入2 i u l ；u ，z q ，t 0 2 哈尔滨工程大学硕士学位论文 的c a u c h y 问题，初值条件为 u ( o ，z ) = 咖( z ) ，z q ，t 0 其中乱( 亡，z ) 是空间r t r 2 中的复值波函数，n 3 ，初始值d o 属于琊( 或 ) 入1 ，a 2 是非零的实常数，并且0 0 其中( z ，t ) 是复值波函数，入r 并且为兄上的l a p l a c e 算子关于上述 问题，对于q 等于r n 的情况，已被很多数学工作者研究，对于q p ，除了 b r e z i s 和g a l l o u e t 在文献【2 4 】中表明上述问题存在唯一整体强解，还没有得 到其它任何结论w a n gb a o x i a n g 在文献【2 3 】中证明了b r e z i s 和g a l l o u e t 对上 述问题存在唯一整体强解的结论 王明新在文献【2 5 】中研究了如下s c h r t j d i n g e r 方程 蕾仇+ a u + ，( 让) = 0 ，z q ，t 0 u ( o ，z ) = u o ( x ) ，z q ，t 0 其中u 0 n o ( q ) ，局部l i p s c h i t z 连续函数f ：础( q ) _ h - 1 ( q ) 作者结合半 群理论得到了上述问题局部解存在性 3 oj 厶qaz0 = 幻 z ，f l = 吩 z ，i l 珏 为件条界边 哈尔滨工程大学硕士学位论文 c a z e n a v e 在文献【2 6 】中研究了如下s c h r i s d i n g e r 方程 i 饥+ 札+ a l 钆l a 牡= 0 ，t 0 ，z r 乱( o ，z ) = u o ( z ) ， z r 这里f ( u ) = - a l u l a u ，其中入c 并且q 0 作者探讨了上述方程的初值问 题在日1 ( r ) 空间存在局部解 q i a nl i u ，y u q i a n z h o u ，j i a nz h a n g ，w e i n i a nz h a n g 在文献 2 7 】中研究了如 下调和位势非线性s c h r 6 d i n g e r 方程 i 饥+ u = l z l 2 钍一k ( x ) l u l 昙u ，t 0 ，z r n 乱( o ，z ) = 咖( z ) ， z q 其中凡是空间维数，u ( 亡，z ) ：r r n c ，为舻上的l a p l a c e 算子，u o ( x ) 为 初始值k ( x ) 是给定的g 1 泛函使得h o ，k 2 0 满足 ( 日1 ) i x r n ，尼1 三i n f 正e r nk ( x ) k ( x ) s u p r 。k ( x ) 三k 2 ； ( 飓) 比舻，z v k ( x ) 0 对于描述b o s e e i n s t e i n 冷凝物的调和位势非线性s c h r 6 d i n g e r 方程，作者根据 稳态解的变分性质证得了解整体存在的门槛结果 2 0 0 6 年g u a n g g a nc h e n ，j i a nz h a n g 在文献【2 8 】中研究如下调和位势非线 性s c h r 6 d i n g e r 方程 i u t = 一“+ i z l 2 钍一l u l p 一1 “，t 0 ，z r 对于的初值条件 u ( o ，z ) = u 0 ( z ) ， z r 其中当n 3 时，1 p 倦；当n ，= 1 ，2 时，1 p 。o 通过结合方 程与g a g l i a r d o n i r e n b e r g 不等式的最佳常数，作者获得了调和位势非线性 s c h r o d i n g e r 方程c a u c h y 问题解的整体存在性 4 哈尔滨工程大学硕士学位论文 2 0 0 7 年j i a nz h a n g 在文献【2 9 】中研究了具- l u l p - 1 u 项的调和位势的非线 性s c h r t ，d i n g e r 方程 i u t ：一昙u h 2 i z l 2 仳一i 钍p 一1 u ，t 0 ，z r t = 一言u i z l 2 仳一i 钍p 一1 u ， ，z 乱( o ，z ) = 咖( z ) ， z r 其中u = u ( t ，z ) 是( t ，z ) r + 册的复值函数，h 为正参数，并且1 p 阿n + 2 这里当n = 1 ，2 时，两n 乏+ 2 f = o 。；当n 3 时，( n 一2 ) + = n - 2 作者 通过定义交叉不变流形得到了上述方程柯西问题解的整体存在与爆破的门槛 结果( 这里交叉不变流形为：m ：= u h ，s ( u ) 0 ，q ( u ) = o ) 其中h ：= u h 1 ，fi z l 2 l u l 2 d x o o ) ，s ( u ) = f 互ll v u l 2 + h 2 i z l 2 l u l 2 + 伽l 札1 2 一i u l p + 1 d z q ( u ) = fi w l 2 2 h 2 肝一署n 1 2 , l p + i d x ) j is h u 在文献 3 0 】中研究了具双非线性源项的非线性s c h r t i d i n g e r 方程 的c a u c h y 问题 i u t = - a u u l u l p 一1 + u l u l q 一1 = 0 ，t 0 ，z r n 对于的初值条件 乱( o ，z ) = u 0 ( z ) ， z r 其中让= u ( t ，刀) ：肘r _ c 是复值波函数，i = j ，为冗上 的l a p l a c e 算子，n 2 为空间维数，1 q 0 与c o 满 足 ( 皿) 比册，七1 k ( x ) k 2 ； ( 飓) 比舻，i v 尼( z ) i + pv k ( x ) i c ； ( 风) 存在z o 舻，k ( x o ) = k 2 作者通过建立变分问题和初值问题生成流的不变集，得到了上述初值问题解 的整体存在与爆破的最佳条件 6 哈尔滨工程大学硕士学位论文 1 2 本文的目的 本文目的正如标题所说研究s c h r s d i n g e r 方程初边值问题解的整体存在性 和有限时间爆破，即依赖于初始值u o ，在某些条件下存在整体解，并且此整体 解当时间趋于无穷时消失，同时在某些条件下解在有限时间内爆破本文在第 三章精确地给出什么是爆破，并引入如下的集合： 召= u o 硪( q ) ；问题( 1 - 1 ) ( 1 3 ) 的解钍= u ( t ) 在有限时间内爆破) 9 - u o 础( q ) ；对于所有t 0 ，问题( 1 一1 ) 一( 1 3 ) 的解u = u ( t ) 存在 9 0 = 咖9 ；当t o 。时u ( t ) 一。于硪( q ) ) 显然，硪( q ) = 夕u b ，夕，b 为硪( q ) 空间的子集；目的是描述和刻画集 合8 ，9 和吼的结构和性质，换句话说，即要确定在硪( q ) 的空间中对于哪一 种初始值咖问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 的解整体存在和对于哪一种初始值u o 解爆破由 此本文引入如下的能量泛函，联系解的存在集合研究非线性s c h r o d i n g e r 方程 初边值问题解的整体存在性和有限时间爆破，下面是能量函数： ，：础( q ) 一r ，m ) = 互1 上i v 让卜寿f l u 旷1 k ( 缸) = fl v u l 2 如一f l 钆旷1 如 这里了随着方程( 1 1 ) 的不恒为常量的解严格减少文献【1 7 q h 的结果描述了 当u o 处于低能量状态时问题( 1 - 1 ) ( 1 3 ) 解的性质，在下面的定理4 1 中阐述 了当能量j 低于过山值( m o u n t a i np a s sl e v e l ) 时解的情况过山值d 的表达式： d = u 础m ( 州i n 。) 1 搿j ( s u ) t 础( 2 ) o ) 8 o 相比之下，定理4 4 研究了让。处于高能量状态及u o 所满足的能量大于d 时， 问题( 1 - 1 ) - ( 1 3 ) 的解的性质 7 哈尔滨工程大学硕士学位论文 1 3 本文的工作 本文研究如下s c h r o d i n g e r 方程的初边值问题 i 饥+ u + i u j p 一1 让= 0 ，z q ，t ( 0 ，t ) u ( o ) = a o ， z q 牡= 0 ，z a q ，t ( 0 ，t ) ( 1 - 1 ) ( 1 - 2 ) ( 1 3 ) 令q 为r n 上的带有光滑边界a q 的有界域依赖于初始值u o 适当的性质，对 于s c h r o d i n g e r 方程的初边值问题，本文研究整体解的存在性与有限时间内解 的爆破，其中铷础( q ) ，t ( 0 ，o 。】和1 p 0 存在正的初始值 a m 与v m 使得k ( u m ) 0 ，k ( v m ) 0 及 a m ，v m 召。 类似地，还可以考虑存在处于任意高能量的初始值属于b 与负n e h a r i 泛函的 情况本文主要借助的方法是变分方法 在第二章本文引入方程( 1 1 ) 的稳态解的n e h a f i 流形的定义，并且建 立稳态解和流形本身的两个关键的性质 在第三章本文研究问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 的局部可解性：对于所有的u o 硪( q ) 存在问题( 1 1 ) ( 1 3 ) 的唯一局部解u = 乱( 亡) 在定理3 9 和定理3 1 0 中，这个解只要是在础( q ) 空间中有界解就有意义此外，整体解是有界的， 以致其任一子列都收敛到稳态解；在定理3 1 2 中我们表明了整体解在无穷点 处“小的时间振动”( s m a l lt i m eo s c i l l a t i o n s ) 另一方面，定理3 1 3 说明了如果解 乱在有限的时间内爆破，当和解u 的妒“和础范数比较时，u t 的l 2 范数以 较高的速率爆破换句话说，这意味着爆破可以被描述为解u 的长时间振动 在定理4 1 描述了当钍。初始能量低于d 时问题( 1 1 ) 一( 1 3 ) 的发展情况： 如果u o 在集合里面，当t _ 时解消失( i t o 9 0 ) ，而如果u o 在集合外 8 哈尔滨工程大学硕士学位论文 面，解爆破( u o 召) 推论4 1 通过展示属于鲕中的一类初始值来补充这个结 果 下面的引理4 3 阐述了对于动力学性态方程( 1 1 ) ，n e h a r i 流形对于相 应的半流来说，是划分弱耗散区域与反耗散区域的分界线利用这个引理，本 文得到位于9 0 ( 或b ) 中的带有任意高能量的一类初始值，及相应的解不穿过 这最后的性质不是对每一个解都适用 根据拓扑的观点，正如本文定理3 1 4 所陈述的吼= i n t ( g ) ，它暗示着问 题( 1 1 ) ( 1 3 ) 的多数非平凡动态解在“细的”集合a 9 中：特别地，每一个非平 凡平衡解在这个集合中当初始值仅仅在非负的泛函所构成的圆锥体k 空间 内时，拓扑结构更清楚明了本文类比文献【3 4 得到类似的结果，概括地说，在 9 和召之间存在一条“分割线”更精确地说，每一条原点0 属于砩( q ) 空间并 且本身位于k 内的半线被分成了三个部分i 一个是接近钆三0 属于吼部分， 0 9 中的一点和属于召的剩下的半条线 本文研究大量地依赖- ：f i l i p p og a z z o l a 在文献 3 4 与z h a n gj i a n 在文献 【2 8 一【3 3 的工作对于方程( 1 一1 ) 的一般情形，已有的研究工作主要集中于解 的爆破和适定性方面，例如，文献 3 5 讨论了孤立子解的l i a p u n o v 稳定性文 献 3 6 得到了此类方程在任意维空间日o o 和通常的s o b o l e v 空间日忌( r ) 中 的局部适定性和整体适定性文献【3 7 】研究了任意维空间中解的爆破性质 文献【3 8 讨论了二维和三维空间中解的整体存在性文献【3 1 】研究了初值问 题整体解存在的最佳条件 尽管本文希望所得的结果可以更多的解释问题( 1 1 ) ( 1 3 ) 的发展，但是 达到完全的理解仍旧有很多工作需要去做 本文的结构如下在第2 章我们建立了与方程( 1 1 ) 有关的稳态解的一些 性质在第3 章对比现有的文献本文叙述了关于问题( 1 一1 ) 一( 1 3 ) 初始值分类的 主要结果第4 章是初值处于低能量状态与高能量状态时问题( 1 1 ) ( 1 3 ) 解的 情况 9 哈尔滨工程大学硕士学位论文 第2 章非线性s c h r s d i n g e r 方程的稳态解与 n e h a r i 流 在本文中，总假设q 为r n 上的带有光滑边界的有界域，其中1 p 2 d 1 2 哈尔滨工程大学硕士学位论文 证明令u 为欧拉方程( 2 一1 ) 的结点解，首先 i 乱( z ) l p 一1 u ( x ) u + ( z ) = i u + ( z ) i p + 1 对于a e z q ( 2 6 ) 显然，对于嵌入( 2 4 ) 式来说，乜+ 不是最小值；要不然，铭+ 的倍数是欧拉方程 ( 2 - 1 ) 的解由在q 上的最大原理，可知钆+ 0 ，这与u 叠k 矛盾因此，由紧嵌 入不等式和分部积分，可得 s p + l l l u 刈知， 锛i 由( 2 7 ) 式一( 2 8 ) 式及u ( 为了k ( u ) = 0 ) ，可知 荆= 万p - 两1 州p + l = 互乞；? 两( 1 l 钍+ - l p p + + l + l l u l l ；丰j ) 籍群 1 3 ( 2 - 7 ) ( 2 - 8 ) 哈尔滨工程大学硕士学位论文 = 2 d 上面不等式可结合( 2 5 ) 式的结果得到，则该命题证毕 2 2n e h a r i 流的引入 在下文中，本文给出与能量泛函歹联系紧密，并且在全文中有关键作用 的n e h a r i 流的定义，定义如下： = 乱础( q ) o ) ；9 0 , ) = 0 ) ( 2 - 9 ) 对于忆f i = 1 的球域，通过研究映射shk ( s u ) 可知，每一条始于磁( q ) 的 原点的半轴与n e h a f i 流仅相交一次，可见文献【4 0 显然，n e h a r i 流分 成两个无界的集合 人= 卜= u 月吾( q ) ；g ( u ) o ) ，与人厂_ = u 月吾( q ) ；k ( u ) 0 ( 2 - 1 3 ) h 口= s 即 | l 1 1 2 ；u 儿) 显然有如下单调性质： ah 入。不增 口ha n 不减 并且a 表示为入。= i n f l l u l l = ；u ) 在下面定理的第一个结论中假设p 不是亚临界点( s u b c r i t i c a l ) ：因此，为 明( q ) n 护+ 1 ( q ) 的子集 定理2 2 假设p 1 ，则， ( i ) 如果p 1 + 鲁，则入= o ； ( i i ) 如果p 1 + i 4 ，则a o o 0 ； ( i i i ) 如果p 爱和d o ，则0 a 口 a 。 。o 这里给出( 2 1 2 ) 式的证明 首先证明 虬：= 坩三 钆叫 、 ，却 证明由于让，那么i l v u l l 2 = 0 u 叩p + 1 因为从：= n 了n ，则了( 让) 0 u ( o ) = z x ( 3 - 3 ) ( 3 - 4 ) 如果对任意给定的初值镪( o ) ，问题( 3 3 ) 在【0 ，0 0 ) 上均存在唯一解乱( t ) ， 那么存在线性算子s ( 亡) ，使得对于t ，k 0 ，有 u ( t ) = s ( 古) u ( o ) ，s ( t ) s ( k ) = s ( t + 尼) 形式地把s ( t ) 写成s ( t ) = e m 如果解关于初值连续，那么s ( t ) 是有界的 在应用中，通常可以使得s ( t ) 的定义域是整个空间x 显然，映射ths ( t ) 应 当具有某种连续性基于这些理由以及一些技巧方面的考虑，本文给出下面的 定义 定义3 1b a n a c h 空间x 上的一簇有界线性算子 s ( t ) ) t o 称为是一个强连续 1 7 哈尔滨工程大学硕士学位论文 半群( 或岛半群) ，如果 ( a ) s ( o ) = i ( 恒等映射) ； ( b ) s ( t ) s ( k ) = s ( t + 七) 对所有t ，s 0 成立； ( c ) l i r a t o + i i s ( t ) z z 0 = 0 对所有z x 成立