本课件为高中数学（北师大版）选修1-2第三章 推理与证明第4节《反证法》PPT课件.ppt

推理与证明,第三章,4反证法,第三章,1.了解反证法是间接证明的一种基本方法；了解反证法的思考过程、特点2感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用,1.间接证明间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，不是直接从原命题的条件逐步推得命题成立的方法反证法就是一种常用的_证明方法,反证法,间接,2反证法(1)概念：假定命题结论的_成立在这个前提下，若推出的结果与_、_、_矛盾，或与命题中的_相矛盾，或与假定相矛盾，从而说明命题结论的反面不可能成立，由此断定命题的结论成立这样的证明方法叫作反证法(有时也叫归谬法)(2)形式：由证明pq转向证明：qrt，t与假设或某个真命题矛盾，q为假，推出q为真,反面,定义,公理,定理,已知条件,3反证法的证题步骤包括以下三个步骤：(1)作出否定结论的假设(反设)假设命题的结论不成立，即假定原命题的反面为真；(2)逐步推理，导出矛盾(归谬)从假设和已知条件出发，经过一系列正确的逻辑推理，得出矛盾结果；(3)否定假设，肯定结论(存真)由矛盾结果，断定假设不真，从而肯定原结论成立,1.用反证法证明问题的本质反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定假设，达到肯定原命题正确的一种方法用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论,也就是说，反证法是由证明pq转向证明qrt，t与假设或与某个真命题矛盾，q为假，推出q为真的方法从逻辑角度看，命题“若p，则q”的否定是“若p，则q”，由此进行推理，如果发生矛盾，那么“若p，则q”为假，因此可知“若p，则q”为真可以看出，反证法与证逆否命题是不同的由于受“反证法就是证逆否命题”的错误影响，在否定结论后的推理过程中，往往一味寻求与原题设的矛盾，而不注意寻求其他形式的矛盾，这样就大大限制和影响了解题思路,归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木推理必须严谨导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾,2反证法的适用对象作为一种间接证明方法，反证法尤其适合证明以下几类数学问题：(1)直接证明需分多种情况的；(2)结论本身是以否定形式出现的一类命题否定性命题；(3)关于唯一性、存在性的命题；(4)结论以“至多”、“至少”等形式出现的命题；(5)条件与结论联系不够明显，直接由条件推结论的线索不够清晰，结论的反面是比原结论更具体、更容易研究的命题,1.应用反证法证明时，可作为条件使用的有()结论的否定，即假设；原命题的条件；公理、定理、定义等；原命题的结论ABCD答案C,2使用反证法证明三角形中最多只有一个内角是直角时，正确的假设是()A三角形中有两个内角是直角B三角形中有三个内角是直角C三角形中至少有两个角是直角D三角形中没有一个内角是直角答案C解析至多有一个的否定是至少有两个,3(2014山东理，4)用反证法证明命题“设a、b为实数，则方程x3axb0至少有一个实根”时，要做的假设是()A方程x3axb0没有实根B方程x3axb0至多有一个实根C方程x3axb0至多有两个实根D方程x3axb0恰好有两个实根答案A解析至少有一个实根的否定为：没有实根,如图，AB、CD为圆的两条相交弦，且不全为直径求证：AB、CD不能互相平分分析本题考查用反证法证明题目的能力，反设后根据圆内接四边形的性质得出矛盾，结论得证,用反证法证明结论为否定的问题,证明假设AB、CD互相平分，则四边形ACBD为平行四边形ACBADB，CADCBD四边形ABCD为圆内接四边形，ACBADB180，CADCBD180.ACB90，CAD90.对角线AB、CD均为直径，与已知矛盾AB、CD不能互相平分,方法规律总结应用反证法的注意事项1用反证法证题时，首先要搞清反证法证题的思路步骤，其次注意反证法是在条件较少、不易入手时常用的方法2注意否定命题时，要准确无误3用反证法证题时，必须把结论的否定作为条件使用，否则就不是反证法有时在证明命题“若p，则q”的过程中，虽然否定了结论q，但是在证明过程中没有把“q”当作条件使用，也推出了矛盾或证得了结论，那么这种证明过程不是反证法,4用反证法证题，最后要产生一个矛盾命题，常见的主要矛盾有：(1)与数学公理、定理、公式、定义或已被证明了的结论相矛盾；(2)与假设矛盾；(3)与已知条件矛盾；(4)与公认的简单事实矛盾矛盾是在推理过程中发现的，不是推理之前设计的,平面上有四个点，没有三点共线证明以每三点为顶点的三角形不可能都是锐角三角形证明假设以每三点为顶点的四个三角形都是锐角三角形，记这四个点为A、B、C、D考虑ABC，则有点D在ABC之内或之外两种情况,(1)如果点D在ABC之内(图1)，根据假设以D为顶点的三个角都是锐角，其和小于270，这与一个圆周角等于360矛盾(2)如果点D在ABC之外(图2)，根据假设BAD、B、BCD、D都小于90，其和小于360，这和四边形内角之和等于360矛盾综上所述，原结论成立,分析本题中，含有“至少存在一个”，可考虑使用反证法,用反证法证明“至多”、“至少”类命题,方法规律总结1.当命题中出现“至少”、“至多”、“不都”、“都不”、“没有”、“唯一”等指示性词语时，宜用反证法2用反证法证题，必须准确写出命题的否定，把命题所包含的所有可能情形找全，范围既不缩小，也不扩大常用反设词如下：,求证：方程2x3有且只有一个根分析本题中“有且只有”含有两层含义：一层为“有”即存在；另一层为“只有”即唯一性，证明唯一性常用反证法证明显然xlog23是方程的一根，假设方程2x3有两个根b1、b2(b1b2)则2b13,2b23.两式相除，得2b1b21.,用反证法证明存在性、唯一性命题,b1b2，b1b20.如果b1b20，则2b1b21，这与2b1b21相矛盾如果b1b20，abc0，求证：a0，b0，c0.错解假设a0，b0，c0，则abc0，abc0与题设条件abc0，abc0矛盾假设不成立，原命题成立,辨析错解没有弄清原题待证的结论是什么？导致反设错误“求证：a0，b0，c0”的含义是“