（应用数学专业论文）二阶离散周期边值问题的多重正解.pdf

摘要 本文考虑如下周期边值问题： 一加( n 一1 ) ( n 一1 ) + q ( 竹) g ( n ) = ，( n ，) ) ，九 1 ， ，( 1 1 ) g ( o ) = ( ) ， p ( o ) ( o ) = p ( ) ( ) ，( 1 2 ) 其中 f ( n ) 梨等是一个期望解通常情况下，前面的微分算予定义为 可( 礼) = 可( n + 1 ) 一( 礼) 在连续的条件下，许多作者研究了带有周期系数的微分方程正周期解的存 在，以及周期边值问题的正解的存在性然而，除文献【l 一4 ，2 3 ，2 4 ，关于 离散的情况，结果很少最近，文献【4 通过k r a s n o s e l s l ( i i 的范数形式的锥拉伸 和压缩定理研究了边值问题( 1 1 ) 和( 1 2 ) 多重正解存在的充分条件 本文运用锥不动点定理，给出了一种二阶离散周期边值问题多重正解的新的 存在性定理还得到了有限离散区间上非线性微分方程在周期边值条件下的一些 新结果 关键词：周期边值问题，离散区间，存在性，正解，锥不动点定理 一引言 具有非分离边界条件的二阶非线性微分方程的正解已经在文献 1 4 】中研究 过了，在本文中，依据文献 4 1 的一些结果，我们研究了一个类似的具有非分离 边界条件周期边值问题，对于固定的常数n ，我们考虑下面的边界值问题： 一囟( n 一1 ) s ，( n 一1 ) + g ( 礼) ( n ) = ，( n ，( n ) ) ，n 1 ， ，( 1 1 ) g ( o ) = 可( ) ，p ( o ) 9 ( o ) = p ( ) g ( ) ， ( 1 2 ) 其中 ( n ) ) 翟孑是一个期望解通常情况下，前面的微分算子定义为 ( 礼) = ( n + 1 ) 一g ( 扎) ， 对两个整数os6 ，f ，6 】定义为集合 n ，o + 1 ，6 ) 上的离散区间本文中 我们总假设 p ( n ) o ，q ( 礼) 0 ， 并且，( 礼，f ) 满足 ，：【1 ， 【o ，+ 。o ) _ o ，+ 。) 关于连续 注1 1 如果，： 1 ，l 【o ，+ 。o ) _ o ，+ o o ) 是拓扑空间【1 ， 【o ，+ o o ) 到拓 扑空间 o ，+ o 。) 的连续映射，则称映射，是连续的本文中【1 ，】上的拓扑是一 个离散拓扑 虽然不假设p ( o ) = p ( ) ，我们仍称边值条件( 1 2 ) 是周期边值条件 在连续的条件下，许多作者研究了带有周期系数的微分方程正周期解的存 在，以及周期边值问题的正解的存在性正解的存在性理论是建立在全连续算子 的锥不动点定理以及格林函数正性基础上的在文献【5 - 2 2 】中都应用此技巧，然 而，除文献【1 4 ，2 3 ，2 4 】，关于离散的情况，结果很少最近，文献 4 】通过 k r a s n o s e l s k i i 的范数形式的锥拉伸和压缩定理研究了边值问题( 1 1 ) 和( 1 2 ) 多重正解存在的充分条件 1 萋于班 = 的结慕，本文将要给崮一个薪的多重蠢解的存在理论，邵应粥锥 不动点定理，给出了边值问蹶( 1 1 ) 和( 1 2 ) 的多重正周期解的新的存在理 论，在实际中，定理中的条件很容易被验证，定理证锈中关键问题是麟于周期边 值( 1 ，1 ) 和( 1 2 ) 的格林函数的性质，利用锥不渤点定理，找到缀数够，使 得葬子圣满足条件圣芎十( 参觅文献 4 | ) 僵嫩乖j 用范数形式的锥拉佛或 压缩去征明怒很困难的( 参见文献【2 6 m 为了推释这个绪论，我们阐述一个在下文中将掰捌的锥不动点定理 定臻i i 滓5 渤i 令x = x ，盯m 是一个b 糊a c h 空阊，蜀怒盖串一个锥，且 r ，r 是常数，o r 兄假设西：晓咒n k 叶k ( 这墼n r = z x ， 咒 ) 是连续且全邋续算予，使褥 ( 0g a 西茁，对 f o ，l 】寝鬈n 8 n ， a n d ( i i ) 存农妒彭 o 傻缮z 零茹+ 弹对嚣搿n 强茸骚5 o ， 则西在kn 。：r 忪 中存在一个不动点 注1 2 在嫩理1 1 中，若( i ) 和( i i ) 换成 ( i ) g a 蚤。，对a 【o ，l 】和茹暂n a n r ， ( i i ) + 存栏妒菇 o ，使褥。釜嚣+ 黝对茹1 f n 勰，稷d o ，则圣 在n 伽并：r l ，知 1 ； ( 口2 ) ，o g ( 礼) f ，n 1 ，1 洼2 工魏栗存在一个p 。餐褥嚣妒。热有 ，( 傩，) o 使得蠢p si p ，有 ，( 礼，) 口( 札) p ，n 【1 囊姜蘩j 氮 萋；妻i i ! 羹i 誊i 薹? 孽鼙i l 冀i 霪鎏誊下8 羹羹；霪 定理2 1 假设( 日1 ) 和( 日3 ) 成立，则边值问题( 1 1 ) 和( 1 2 ) 至少存在两个正 解玑= - ( n ) ：等和9 2 = ( 可2 ( n ) ：等、使得o l f f p | | 2 f f ， 0 掣l ( n ) p 可2 ( n ) ， 几 1 ，1 推论2 1 用下面的假设( 日1 + ) 代替( 日1 ) ，定理2 1 的结论仍成立 ( h 1 4 ) ，0 = 。，矗= o 。 定理2 2 假设( 日2 ) 和( 日4 ) 成立，则边值问题( 1 1 ) 和( 1 2 ) 至少存在两个正解 玑= 9 1 ( 礼) 封和2 = ( 2 ( 礼) ) 梨身，使得o l 1 9 1 i p | | 2 ， o 可l ( n ) p 1，尸 l ，可得到o o 因此，l l 蜘i i ；p 且嚣p 蜘( s ) p s 1 ，】，于是有 ，( n ，珈( s ) ) q ( 竹) p ，礼f 1 ，】 ( 2 ，1