（应用数学专业论文）几类微分系统的中心、极限环分支及等时中心.pdf

摘要 本文研究了平面多项式微分系统的中心条件、极限环分支与等时 中心问题。 首先对平面多项式微分系统的中心焦点的判定与极限环分支问 题以及等时中心问题的历史背景与研究现状进行了的概述，并将本文 所做的工作进行了简单的介绍。 其次，考虑了一类五次系统的中心与分支问题。给出了该复系统 计算原点的奇点量的公式，并在计算机上用m a t h e m a t i c a 推导了该系 统原点的前1 4 个奇点量，进而得到了该系统原点是中心的充要条件 与1 4 阶细焦点的条件，在此基础上并在不构造p o i n c a r d 环域的情况 下，给出了此类五次系统在原点可以扰动出8 个小振幅的极限环。 最后，利用第二章中的方法研究了一类拟五次系统的中心、等时 中心i 、u j 题与极限环分支问题。该系统是目前对拟解析系统问题研究的 最高次系统。推导了该系统原点的前1 1 个奇点量，进而得到了该系 统原点是中心的充要条件，再用一种新方法求出了计算系统原点周期 常数的线性递推公式，然后用m a t h e m a t i c a 软件求出该系统原点的周 期常数，从而得到了中心成为等时中心的充要条件。给出了1 0 阶细 焦点的条件，在此基础上给出了此类五次系统在原点可以扰动出7 个 小振幅的极限环。 关键词五次系统，奇点量，等时中心，周期常数，极限环分支 a bs t r a c t t h i st h e s i se x p l o r e st h ec e n t r a lc o n d i t i o n s t h eb i f u r c a t i o no fl i m i t c y c l e s a sw e l la st h ei s o c h r o n o u sc o n d i t i o n si n p l a n a rp o l y n o m i a l d i f f e r e n t i a ls y s t e m s f i r s to fa l l ，t h et h e s i s e x p l a i n s a n ds u m m a r i z e st h eh i s t o r i c a l b a c k g r o u n da n dr e s e a r c hs t a t u so ft h ec e n t r a lc o n d i t i o n s ，b i f u r c a t i o no f l i m i t c y c l e s a n di s o c h r o n o u sc o n d i t i o n so ft h e p l a n a rp o l y n o m i a l d i f f e r e n t i a ls y s t e m s a n dt h e nab r i e fi n t r o d u c t i o nt ot h ew h o l er e s e a r c h o ft h et h e s i si sg i v e n s e c o n d l y , t h ec e n t r a lc o n d i t i o n sa n db i f u r c a t i o no f l i m i tc y c l e sf o ra c l a s so fq u i n t i cs y s t e m sa r ep r o b e di n t o ，w i t hac o m p u t a t i o nf o r m u l af o r t h es i n g u l a rp o i n tq u a n t i t i e so ft h ec e n t e rp r o v i d e d a tt h es a m et i m e ，t h e f i r s t14s i n g u l a rp o i n tq u a n t i t i e sa r ed e d u c e db ym e a n so fm a t h e m a t i c ai n t h ec o m p u t e r o nt h ef o u n d a t i o no ft h e14s i n g u l a rp o i n tq u a n t i t i e s w i t h o u tt h ec o n s t r u c t i o no fp o i n c a r 6a n n u a ld o m a i n ，t h et h e s i sc o m e st o t h ec o n c l u s i o nt h a tt h i sc l a s so fq u i n t i cs y s t e m sc a nr e s u l ti nli m i tc y c l e s o f8s m a l la m p l i t u d e sa tt h eo r i g i n f i n a l l y , b yt a k i n ga d v a n t a g eo ft h em e t h o de x p l a i n e di nc h a p t e r2 ， c e n t r a lc o n d i t i o n s ，i s o c h r o n o u sc o n d i t i o na n db i f u r c a t i o no fl i m i tc y c l e s o fq u a s iq u i n t i cs y s t e m sa r ei n v e s t i g a t e d i na i do ft h em a t h e m a t i c a s y s t e mi nt h ec o m p u t e r , t h ef i r s t11s i n g u l a rp o i n tq u a n t i t i e sa r ed e d u c e d a n dt h ep r o b l e m so ft h ei s o c h r o n o u sc o n d i t i o n so ft h i ss y s t e ma r e i n v e s t i g a t e d b yu s i n g an e wm e t h o d ，t h er e c u r s i o nf o r m u l a sf o r c a l c u l a t i n gp e r i o d i cc o n s t a n t sa r eg i v e n t h e nt h ea u t h o rp r o p o s e st h e s u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o rc e n t e rt ob ea ni s o c h r o n o u sc e n t e r m e a n w h i l e ，t h ec o n d i t i o n sf o rt h eo r i g i nt ob eac e n t e ra n d10 o r d e rf i n e f o c u sa r ed e r i v e dr e s p e c t i v e l y , a n dt h i ss y s t e mc a nb i f u r c a t e7l i m i t c y c l e s k e yw o r d s q u i n t i cs y s t e m ，s i n g u l a rp o i n tq u a n t i t y , i s o c h r o n o u s c e n t e r , p e r i o d i cc o n s t a n t s ，b i f u r c a t i o no fl i m i tc y c l e 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致 谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材 料。与我共同工作的同志对本研究所作的贡献均已在论文中作了明 确的说明。 作者签名：- _ 纰 日期：逊年止月丝日 学位论文版权使用授权书 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文并根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论 文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或 部分内容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文。同时授 权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文 数据库，并通过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：垄垒备导师签名望盛日期：避年且月么归 硕上学位论文 第一章绪论 第一章绪论弟一早三百下匕 常微分定性理论，从h p o i n c a r 6 发表的奠基性工作微分方程所定义的积 分曲线起，一百年来得到蓬勃发展，它已成为从事许多学科和尖端技术( 包括 自动控制理论，航天技术，生物科学，经济学等) 研究的不可缺少的数学工具， 并且定性的思想和技巧已经逐渐渗透到其它数学分支，例如偏微分方程等，而在 定性研究中极限环的研究又有着举足轻重的地位。近三十年来，由于计算机代数 系统的出现和发展，给定性理论研究提供了有力的工具。本文也利用计算机代数 系统作为工具，研究了几类微分自治系统的极限环分支问题。 1 1 多项式微分自治系统的极限环 极限环问题的研究在常微分方程定性理论中扮演了一个重要的角色。著名数 学家h i l b e r t 于1 9 0 0 年在国际数学家大会上提出了二十三个影响数学发展的难 题，其中著名的h i l b e r t 第十六个问题是迄今为止仅有的少数几个尚未解决的问 题之一。h i l b e r t 第十六个问题的后一半就是：给定微分方程 妾= 丽p o ( x , y ) ， ( 1 1 1 ) 出q ( x ，y ) 其中只，q 是而少的次数不高于刀的实系数多项式，问这类系统最多有几个极限 环? 当达到最大数目时，它们的相对位置又如何? 即对一切这样的刀次系统，能 否估算出极限环个数的上界( 自然依赖于刀) 。一个世纪以来，这一问题引起了世 界各地相关数学工作者的关注，同时，其困难程度也一直困扰着人们。有关这个 问题只有法国数学家h d u l a c 1 在1 9 2 3 年证明了对每个这样的系统，极限环的 个数是有限的。但对于全体甩次多项式系统所能达到的最大极限坏个数而言，即 使是最简单的二次系统还未最终定论。另外，只对限制很强的一类极限环，即强 稳定和强不稳定极限环，s p d i l i b e r t o 2 给出了极限环个数的上界。但随着此问 题研究的深入和发展，尤其是随着计算机的出现与发展，大量的研究方法和较好 的结果不断涌现【3 】。如：1 9 7 9 年，史松龄【4 】和陈兰荪、王明淑【5 】分别独立地举 出至少具有四个极限环的二次系统的实例，从而破除了二次系统极限环个数的上 界是3 的传统猜测，对刀：2 时的h i l b e r t 第十六问题是一个大的推进，并把这一 困难问题重新摆到人们面前。这方面前期的工作已收集在叶彦谦的专著【6 】中。 在这两个例子举出来以后，史松龄【7 】又把它们分别推广到较一般情形。如果记 h i l b e r t 第十六个问题中r 次多项式系统所能达到的最大极限环个数为圩( ”1 ，则 史松龄得到- ( 2 ) 4 ；李继彬、黄其明 8 】得到h ( 3 ) 1 1 ；郁培、韩茂安【9 】得到 硕上学位论文第一章绪论 日( 3 ) 1 2 ；刘一戎、黄文韬【l o 】由两个细焦点扰。- 。一z 。，1 0h ( 3 ) 1 2 ；杜超雄【1 1 】 得到了日( 4 ) 15 ；2 0 0 5 年，郁培【1 2 】在浙江举行的微分方程分支理论和动力系统 国际数学大会上又阐述了对于h ( n ) 的研究近况： h ( 2 ) 4 ，h ( 3 ) 1 2 ，h ( 4 ) 2 1 5 = 4 2 - 1 ； u ( 5 ) 2 4 = 5 2 - 1 ( l i ，c h a n & c h u n g ，2 0 0 2 ) ； h ( 6 ) 6 2l ( w a n g & y u ，2 0 0 5 ) ； z ( 7 ) 4 9 = 7 2 ( l i & z h a n g ，2 0 0 4 ) ； h ( 9 ) = 9 2 - 1 ( w a n g ，y u & l i ，2 0 0 6 ) ； 胃( 11 ) 1 2 1 = l1 2 ( w a n g & y u ，s u b m i t t e df o rp u b l i c a t i o n ) 上述结果除了h ( 2 1 4 ，h ( 3 1 1 2 ，h ( 4 1 1 5 ，h ( 5 ) 2 4 已正式刊出外，其 他结论可能还在研究中。著名的数学家s s m a l e 1 3 认为对于( ”) 的研究可能是 h i l b e r t 问题中最难解决的一个。虽然多项式系统到底有多少个极限环的研究十分 复杂，但近些年来好的结果层出不穷，尤其是就解析系统单个焦点分支出的极限 环的问题。本文试图从两个方面展开研究：其一是一类解析系统的单个焦点分支 出的极限环问题，其二是研究一类拟解析系统的等时中心问题和单个焦点分支出 的极限环问题，给出了系统在原点分支出8 个和7 个小振幅的极限环的结论。 1 2 等时中心问题及其发展过程 在平面多项式微分系统定性理论中，中心与等时中心这两个经典的问题一直 吸引着众多的数学工作者的兴趣，如果一个平面多项式系统的中心充分小邻域内 闭轨族的周期函数为常数，则称之为等时中心。显然，等时中心是中心的一种特 殊情形，他在实际中有着重要的应用。而对于微分系统等时性的研究最早可以追 溯至u 1 6 7 3 年惠更斯( c h u y g e n s ) 的工作。他发现随着摆钟发条的伸展，能量下降， 摆锤振荡的周期越来越小，摆钟具有单调的周期函数。因此，他希望设计一个更 加精确的时钟用于航海。对于多项式微分系统等时特征的研究仍然是个非常困 难的问题。 对于一些原点的等时中心问题的研究，主要集中在下述系统的讨论上 塑：舐一y+xk(五y)，dt k = 2 _ 刊 ( 1 3 1 ) 搴= x + 8 y + 窆k ( 圳) 班 篾一“7 2 硕j ：学位论文第一章绪论 这罩鼍( x ，y ) ，k ( x , y ) 是关于x , y 的齐k 次多项式，许多学者进行了研究，已经有 了一些研究成果，例如，l o u d 1 4 解决了二次系统；p l e s h k a n 1 5 解决了缺二次项 的三次系统；c h r i s t o p h e r 、d e v l i n 1 6 解决了三次k u k l e s 系统；l l o y de t c 1 7 解决 了一类三次系统；c h a v a r r i g a 、g i n e 、g a r c i a 1 8 ，1 9 解决了只有线性项加四次项、 五次项的系统；c a i r oe t c 2 0 ，z h a n gw e i n i a ne t c 2 1 解决了三次可逆系统等。 对于无穷远点的等时中心问题的研究，主要集中在对下述2 n + 1 次系统的讨 论上 等2 薹叉l ( 工，少) 一y ( x 2 + 少2 ) ”， ( 。3 2 ) 罢= 薹冲力+ jx + y 2 ) ” 该系统p o i n c a r 6 闭球面上的赤道f 。为系统的轨线，其上没有实奇点，称f 。为系 统的赤道环或无穷远点。对于系统( 1 3 2 ) 的等时中心问题也有了二些结果 【2 2 - 2 5 】。近来，刘一戎、黄文韬【2 2 】延伸了微分系统无穷远点的等时中心的概念。 最近，l i uy i r o n g 、l ij i b i n 2 6 ，2 7 】分别给出了判定系统的等时中心的新方法。 至于与系统( 1 3 1 ) 相对应的拟解析系统 - - 塞= 万x - y + 羡( x 2 + y 2 ) 半五( 训) ， 坳+ 驴y z ) 半咖) q 3 _ 的等时中心问题则是一个新领域，这里五为任意的非零实数。对于系统( 1 3 3 ) 的 等时中心问题也有了一些结果 2 8 3 l 】。 求系统等时中心的方法并不是唯一的。c h r i s t o p h e r 、d e v l i n 1 6 】，c h a v a r r i g ae t c a l 1 8 】和c a i r oe t ca l 2 0 分别给出了一些确实可行的方法。求系统等时中心常见 的方法是，先求出中心的前面若干个周期常数，然后令这些周期常数全部为零， 从而获得等时中心的必要条件，最后利用多种有效途径证明了这些条件的充分 性。计算周期常数的方法目前有几种，如原始的定义法，等时常数法等，但都具 有计算复杂、不便应用的缺点。刘一戎、黄文韬f 2 6 】把周期常数放入复数域全面 考虑，给出了一种最新的算法，用此方法求周期常数只需以系统系数为符号进行 有限次加、减、乘、除四则运算，避免了前述方法的复杂的积分与三角运算，且 在计算机代数中用一个递归函数就能方便的实现，从而克服了上述缺点。本文运 用这一方法解决了一类拟五次系统的等时中心问题。 硕一卜学位论文第一章绪论 1 3 本文的主要工作 本文研究了一类五次系统的中心和极限环分支，得到了该系统存在8 个极限 环的结论，其焦点量的表示较为简单，且极限环的存在性的证明过程也避免了近 似计算。本文还研究了一类拟五次系统的中心、极限环分支与等时中心，得到 了该系统存在7 个极限环的结论，并找到了该系统的中心为等时中心的系数条件。 4 硕十学位论文 第二章一类五次系统的可积性条件与极限环分支 第二章二类五次系统的可积性条件与极限环分支 本章研究一类五次多项式系统的极限环问题，用奇点量的方法计算焦点量得 得到一类五次多项式系统在细焦点分支8 个极限环的结果。奇点量的表达式是符 号的，极限环存在性证明过程是准确的符号运算过程。 2 1 引言 在多项式微分系统定性理论中，极限环分支是一个公认的难题，目前的研究 结果并不是很多见。目前，对多项式系统原点极限环分支与中心条件的研究主要 集中在以下实多项式微分系统， 瓦d x = 拶x j ，+ 荟o o 以( x ，y ) ， ( 2 1 1 ) 生：x+8y+主砭(训)，dt 盘一 其中 五( x ，y ) = 锄，y 户， 驰川：薹2 乞 q 1 2 本章研究了一类4 1 次系统原点的中心条件与极限环分支问题，通过将实系统 化为复系统研究，给出了计算原点奇点量的递推公式，并在计算机上用 m a t h e m a t i c a 推导出系统原点前1 4 个奇点量，进一步导出了原点成为中心的条 件和八阶细焦点的条件得到了石次系统存原点分支m8 个糨限环的宴例。 2 2 微分自治系统原点中心焦点的概念 考虑右端在原点邻域解析的多项式微分自治系统 鲁= 万x y + 薹也( x ，y ) ， d 讲y = x + 渺+ 薹k ( 埘 系统( 2 2 1 ) 可通过变换 x = r c o s o y = r s i n 0 5 ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) 硕士学位论文 第二章一类五次系统的可积性条件与极限环分支 化为 d r = ， d e 万+ 仇+ ：( 口) ( 2 2 3 ) 对于充分小的，方程( 2 2 3 ) 适合初值条件，i 脚= r o 的解记为 ，= ，( 秒，r o ，万) = 咋( 秒，8 ) r o ( 2 2 4 ) k = l 其中 m ( 秒，万) = g 衍，唯( 0 ，万) = 0 ，k = 2 ，3 ，。 文【3 2 】中证明了： 引理2 2 1 对任一正整数掰， 吃埘( 2 x ，万) 有 m i 【1 + h ( 万，万) 】1 ，j 辨( 2 x ，万) = 专? v l ( 2 x ，万) 一1 】+ 嚣v j + l ( 2 z r ，万) ( 2 2 5 ) k = l 其中嚣都是h ( 万，万) ，v 2 ( n ，万) ，屹。( 万，万) iv i ( 2 # ，万) ，v 2 ( 2 n ，6 ) ，吃。( 2 万，6 ) 这4 m 个元素的有理系数多项式。 由引理2 1 1 ，如果v l ( 2 万，万) = l ，则诸v k ( 2 x ，万) 中第一个不为零者其下标 为奇数。 定义2 2 1 如果m ( 2 石，万) 1 ，则称系统( 2 2 1 ) 的坐标原点为粗焦点；如果 m ( 2 x ，万) = 1 ，且存在正整数七，使得v 3 ( 2 n ，0 ) = 屹( 2 x ，0 ) = = v 2 ( 2 n ，0 ) = 0 ， 且屹川( 2 万，0 ) 0 ，则称系统( 2 2 1 ) 的坐标原点为k 阶细焦点，并称吃川( 2 刀，o ) 为 系统( 2 2 1 ) 坐标原点的第k 个焦点量；如果v l ( 2 7 r ，6 ) = 1 ，且对任一正整数k 有 v 2 川( 2 万，0 ) = 0 ，则称系统( 2 2 1 ) 的坐标原点为中心。 定理2 2 1 ( 1 ) 如果h ( 2 刀y 1 ) ，则方程( 2 2 1 ) 的零解厂= 0 是稳定的( 不稳定的) ； ( 2 ) 如果v 1 ( 2 n ) = l 且存在正整数k 使得m ( 2 万) = v 2 ( 2 # ) = v 3 ( z j r ) = v 2 t ( 2 万) = 0 ， 且吃( 2 万) 0 ，则当v 2 m ( 2 万) o ) 时，方程( 2 2 1 ) 的零解，= 0 是稳定的( 不 稳定的) ； ( 3 ) 如果m ( 2 刀) = l ，对任一正整数k ，有v 2 川( 2 x ) = 0 ，则对于充分小的h ，方 程( 2 2 1 ) 所有适合初值条件，1 口彳。= h 的解都是2 万周期解。 定理2 2 2 如果坐标原点是系统的粗焦点，则当u ( 2 x ) 1 ) 时，坐标原 点是稳定的( 不稳定的) ；如果坐标原点是系统的k 阶细焦点，则v 2 川( 2 z r ) 0 ) 时，坐标原点是稳定的( 不稳定的) ；如果坐标原点是系统的中心，则在原点的 小邻域充满闭轨。 本文讨论一类实平面五次系统 6 硕卜学位论文 第二章一类五次系统的町积件条件，极限环分支 t a i x = 万x y 一( 岛l x + 4 l y ) ( x 2 + y 2 ) 一( 岛3 + 忍2 + 忍l + 色o ) x 5 + ( 如一4 2 3 4 l 一5 4 0 ) x 4 y - 2 ( b 2 3 + 马2 一日l 一5 氏) x 3 y 2 + 2 ( a 2 3 4 2 一4 ，+ 5 4 。弦2 y 3 一( 色，+ b 2 3 目i + 5 色。) x y 4 一( 4 3 4 2 + 4 - 一4 。) y 5 ，( 2 2 6 ) 等= x + 砂+ ( 4 l x 一岛i j ，) ( z 2 + y 2 ) + ( 如+ 呜2 + 4 l + 4 0 ) ， + ( 垦3 一尾2 3 8 , l 一5 忍o ) x 4 y + 2 ( 4 3 + 4 2 4 i 一5 4 0 ) x 3 y 2 + 2 ( b 2 3 一忍2 一日l + 5 忍。归2 y 3 + ( 4 3 + 4 2 3 aj + 54 , 0 ) y 5 + ( 垦3 一色2 + 色l 一色o ) y 5 ) ， 其中万，4 ，岛，f ，j f = o ，l ，2 ，3 ，4 ，5 均为实数，坐标原点的中心焦点条件以及极 限环分支。 2 3 奇点量与焦点量的关系 奇点量( 包括焦点量和鞍点量) 是微分方程定性理论、分支理论和解析理论 中重要的判定量，但奇点量公式的推导和化简需要进行大量的计算，例如用后继 函数法求焦点量需要进行大量的积分，用形式级数法求l i a p u n o v 常数需要求解 大量的线形方程组。焦点量或l i a p u n o v 常数的算法以及计算机实现的问题吸引 了众多学者的关注。首先用计算机推导焦点量公式1 艉 3 3 3 8 1 d ? 的工作，【3 9 4 l 】， 【4 2 - 4 5 】等众多文献也相继研究了上述问题。 系统( 2 1 1 ) l 踟经过变换 z = x + y ，w = x i y ，t = i t , i = 一l ( 2 3 1 ) 化为 孝d t2 z + 妻k = 2 乙。，叻= 及乙叻 。2 3 2 ， 【等一w 一薹嗽川圳亿叻 其中 乙( z ，w ) = ，矿，r v 。( z ，w ) = z 。w p ( 2 3 3 ) 其中 0 2 l = 4 l + 哆l ，a 4 i = 4 l + 哦l ，a 3 2 = 4 2 + 假2 ，a 2 3 = 4 3 + 退3 ， a 5 0 = 4 0 + 氓o ，6 2 l = a 2 l ，以i2q i ，岛2 = a 3 2 ，6 2 3 = a 2 3 ，魄o = 呜。一 这里z ，w ，t 为复变量。称( 2 1 1 ) 1 籼与( 2 3 2 ) - q j g 伴随系统。 引理2 3 1 对系统( 2 3 2 ) 可逐项确定形式级数 7 硕十学位论文 第二章一类五次系统的町积性条件与极限环分支 m = l + 锄z 口扩 a + p = l ( 2 3 4 ) 其中c o o = 1 使得 i o ( m _ z ) 一_ a ( m f w ) ：主( m + 1 ) ( 州刖 ( 2 3 5 ) 一= 7，丌十i - “z w 、厶u ， 瑟跏 等、 。 其中可以任取，k = l ，2 ，。心是系统( 2 3 2 ) 坐标原点的第m 个奇点量， m = 1 ，2 ，且对于任意口与，当口时，由递推公式 2 赤。驴1 邯“以川伊川 q 3 届 确定；对任意的正整数m ，心由递推公式 z i = ( 嚷- 1 一b j 卜j h 小枷小l ( 2 3 7 ) 确定。其中v ( k ，) ，当k 0 ，或 0 时已置= 气= = 0 。 定义2 3 1 对系统( 2 1 1 ) 1 占= o ，如果存在关于诸锄，的多项式磊，磊， ，厶- l 使得 ( 2 万) = 吒+ 磊v ( 2 万) ， ( 2 3 8 ) 则称( 2 7 r ) 与v i 代数等价，记为( 2 7 r ) - a 。对任意非零常数d ，用记号 v m ( 2 z ) 蛾表示吒一v m ( 2 z ) d 。 定理2 3 1 由文6 1 有系统( 2 3 2 ) 坐标原点的第m 个奇点量心与其伴随系统 ( 2 1 1 ) 1 脚坐标原点的第m 个焦点量v ：川有如下关系 吃川i z t 。，m = l ，2 ，3 ， 其中 系统( 2 2 6 ) 经过变换( 2 3 1 ) 得 建 = ( 1 一i 8 ) z + a 2 1 2 2 w + a 5 0 2 5 + 口2 3 2 2 w 3 + 吗2 2 3 w 2 + 口4 l z 4 w = 一( 1 + i s ) w 一6 2 l w 2 z 一玩o w 5 6 2 3 w 2 2 3 6 3 2 w 3 2 2 - b 1 w 4 z a 2 l = 4 l + 退l ，0 4 l = a 4 l + 缄l ，0 3 2 = a 3 2 + 溅2 ，口2 3 = 4 3 + 峨3 ， a 5 0 = 4 0 + 慨o ，5 2 1 = a 2 l ，钆l = 口4 l ，2 j 3 2 = a 3 2 ，6 2 3 = 0 2 3 , 6 5 0 = 0 5 0 8 ( 2 3 9 ) 硕i ：学位论文第一二章一类五次系统的可积性条件与极限环分支 2 4 五次系统奇点量与中心条件 由引理2 3 1 得： 定理2 4 1 系统( 2 3 9 ) i 脚的坐标原点的前1 4 个奇点量为 h = a 2 l 一6 2 i ， 鸬= a 3 2 一岛2 ， , u 4 = 6 2 3 6 4 l a 2 3 a 4 i ， 脓= 三( 3 厶一舢 鸬一京( 口2 t + 6 2 1 ) ( 9 厶一6 + 厶) ， 熊2 一言( 口3 z + 6 3 ：) ( 9 厶一6 厶+ 厶) ， “。一袁( 4 口4 - 6 4 l 一口5 。么。) ( 9 1 0 一6 厶+ 厶) ， “。：娶西，b ；, ( 9 1 0 一6 + 1 2 ) ， “42 丽瞄l“l + ， 6 = 鸬= 4 = “l = “2 = 肛3 = 0 ， 其中厶= 以以。一砖反。，厶= a 2 ，玩，a s 。一6 ，a 4 反。，1 2 = 砰，口舶一2 反。 在上述心的表达式中已置“= , u 2 = = 以一l = 0 ，k = l ，2 ，1 2 ，1 3 ，1 4 。 由文f 4 6 】中的推论3 1 得到： 引理2 4 1 系统系统( 2 3 9 ) 1 脚恰有1 5 个基本l i e 一不变量 a 2 1 , 6 2 i ，a 3 2 ，岛2 ，a 2 3 a 4 l ，a 4 1 6 4 l ，a 2 3 乞3 ，6 2 3 钆l ，a 5 0 魄o ， 口五口如，砝以o ，b 2 1 a 5 0 ，q 2 1 6 5 0 ，a 2 3 6 4 l a 5 0 ，6 2 3 a 4 l 如o ( 2 4 1 ) 定理2 4 2 系统( 2 3 9 ) 1 脚原点的前1 4 个奇点量为0 ，当且仅当下列4 个 条件之一成立。 条件 条件 i a 2 l = 6 2 l ，a 3 2 = 岛2 ，a 4 l = 3 6 2 3 ，6 4 l = 3 a 2 3 i ia 2 l = 6 2 l = 0 ，a 3 2 = 岛2 = 0 ，a 2 3 = a 5 0 = 6 4 l = 0 ，a 4 i = 3 1 , 2 3 条件i i ia 2 l = 6 2 l = o ，a 3 2 = 6 3 2 = 0 ，6 2 3 = 6 5 0 = 口4 l = 0 ，6 4 l = 3 a 2 3 条件i va 2 l = 6 2 l ， a 3 2 = 6 3 2 ，0 2 3 a 4 i6 2 3 钆l ，l o = = 2 = 0 证明：( 1 ) 由a 4 l = 3 6 2 3 ，6 4 l = 3 a 2 3 则, u 4 = 0 ，且_ 3 i o = l l ，9 1 0 - 6 i , + 1 2 = 0 ， 此时若a 2 l = 6 2 l ，a 3 2 = 6 3 2 则条件i 成立。 ( 2 ) 由a 2 l = 2 j 2 l = 0 ，a 3 2 = 6 3 2 = 0 则 则得4 = 朋o = h 4 = 0 ，且吼l = 3 b 2 3 可 “= 2 = , u 7 = h = 0 ，由a 2 3 = 吩o = b 4 l = 0 ， 得心= 0 ，则条件i i 成立，类似可得条件 9 硕上学位论文 第二章一类五次系统的可积性条件与极限环分支 i i i 也成立。 定理2 4 3 如果定理2 4 2 中的条件i 成立，则系统( 2 3 9 ) l 脚具有积分因子 m = ( z w ) ( 2 4 2 ) 定理2 4 4 如果定理2 4 2 中的条件i i 、条件i i i 成立则系统( 2 3 9 ) l 脚具有 积分因子 m = ( z w ) ( 2 4 3 ) 定理2 4 5 如果定理2 4 2 中的条件成立，则系统( 2 3 9 ) l 脚满足广义 对称原理条件。 由定理2 4 3 至定理2 4 5 得： 定理2 4 8 系统( 2 3 9 ) i 脚原点所有的奇点量全部为零，当且仅当原点的前 1 4 个奇点量全部为零，即定理2 4 2 中4 组条件至少有一组成立。 2 5 五次系统的分支问题 考虑系统( 2 1 1 ) 的扰动系统 其中x ，y ，f 为实变量，s ，8 为小参数。 五( x ，y ，占，万) = 锄( ，8 ) x 口y 芦， “+ 卢2 ( 2 5 2 ) k ( x ，y ，s ，万) = ( s ，艿) x y 、 a + p = k 所有的锄( g ，万) ，( s ，万) 均为关于占，艿的具有非零的收敛半径和实系数的 幂级数，其存在正数，虬，岛，磊，使当ixl x o ，iyi ，lsi ，i 万i 瓯 时，上述系统的右端幂级数收敛。 系统( 2 5 1 ) 在坐标变换( 2 2 2 ) 下适合初值条件，i 伽= h 的解与p o i n c a r 6 后继 函数统一记为 卢以见死岛国2 荟岬，8 ) h 。， ( 2 5 3 ) a ( h ，万) = 户( 2 万，h ，s ，万) 一h 由微分方程的解析理论 4 1 1 中解对初值和参数的解析依赖性，存在，岛， 瓯，使得卢( 口，h ，g ，万) 在域 ihi ，isi 岛，i81 8 0 ，lo1 0 ，则当g = 万= 0 时系统( 2 5 1 ) 的坐标原点是中心。 基本条件2 5 2 万= 万( g ) 是一个关于的具有非零收敛半径和实系数的幂 级数，a ( o ) = 0 ，且存在自然数n ，m 和一个与s 无关的量凡，a ，厶，使得 m ( 2 万，占，万( s ) ) 一l = 厶占，o + + d ( 占屯+ ) ， 屹七+ l ( 2 万，占，万( s ) ) 竺磊砂+ 1 b 0 ( 占i k + n ) ， ( 2 5 6 ) k = 1 ，2 ，3 ，m 其中，o ，乙一。是正整数，乙= 0 ，丸0 ，且 屹枞+ l ( 2 万，s ，万( g ) ) = o ( 8 ) ( 2 5 7 ) 注：在基本条件2 5 2 中，如果v , ( 2 z r ，s ，艿( g ) ) 一1 三0 ，则视凡= 0 ，l o = ；如 果对某个k l ，2 ，m 1 ) ，有v , ( 2 x ，占，万( s ) ) 兰0 ，则视五= o ，乓= 0 0 。 定理2 5 1 如果基本条件2 5 2 成立，则系统( 2 5 1 ) 当0 | s | 1 时在原点充 分小的邻域内至多可以由焦点或者中心扰动出所个极限环。 对于m = 0 的情况，由定理2 5 1 可以得到以下推论： 推论2 5 1 如果原点是系统( 2 5 1 ) 的粗焦点，则当0q s l 1 时系统( 2 5 1 ) 在 原点充分小邻域内没有极限环。 推论2 5 2 如果原点是系统( 2 5 1 ) 的中心，h ( 2 a ，s ，万( s ) ) 一1 = 凡占+ o ( 占) = 0 ， 五0 ，则当0q fi 1 时系统( 2 5 1 ) 在原点充分小邻域内没有极限环。 定义2 5 1 当基本条件2 5 2 成立时，称 l ( h ，占) = s h 2 ( 2 5 8 ) 硕f ：学位论文第二章一类五次系统的可积性条件与极限环分支 是系统( 2 5 1 ) 的分支函数。 定理2 5 2 如果基本条件2 5 2 成立，且存在一个正数d ，使得在( 2 5 6 ) 式 中有 厶= ( m - k ) d ，( j | = 0 ，l ，朋) ( 2 5 9 ) 而以7 7 2 又有所个相异的正零点r = 编，珑，则当o s 1 时，l ( h ，占) 恰肴锡个正零点h k ( e ) = i r k c d 尼i + o ( e 扪) 。 相应地，系统( 2 5 1 ) 在原点充分小的邻域内恰有m 个极限环，其位置分别在圆 x 2 + y 2 = 仇2 一附近( k = 1 ，2 ，m ) 。 定理2 5 3 假定万= 万( 占) 是一个关于占的具有非零收敛半径和实系数的幂 级数，万( 0 ) = 0 ，并且 v t ( 2 x ，s ) 一1 = c 0 6 2 ”一2 + d ( 占2 ”一2 ) v 3 ( 2 万，s ) = c l 0 0 2 “+ d ( 占2 州) v 5 ( 2 万，s ) = c 2 扩6 + o ( t r 2 棚) ( 2 5 1 0 ) v 2 。3 ( 2 x ，s ) = 已一2 s 2 + 0 ( 6 2 ) v 2 n - i ( 2 万，占) = 厶一l + d ( 1 ) 且当0 isl l 时，则系统( 2 5 1 ) 在原点可以分支出刀一1 个极限环。 证明：当 v i ( 2 万，s ) 一1 = c 0 0 e 2 ”一2 + d ( s 2 ”一2 ) v 3 ( 2 万，占) = q 8 2 ”一4 + d ( 占2 ”一4 ) v 5 ( 2 万，占) = 乞产6 + 。( 扩6 ) ( 2 5 1 1 ) v z _ 3 ( 2 n ，s ) = q 一2 占2 + 0 ( 8 2 ) v 2 。1 ( 2 x ，) = 巳一l + d ( 1 ) 时，这里c o ，q ，巳一。满足方程 g ( 乃) = ：c 乞。一+ l ( c 厅l h 22 一+ 1 ) c ( 2 h 2 4 一+ ) + c ( n 矗_ 1 2 h 2 n - 2 一1 ) 2 ) ，( 2 5 1222- ( n ) = 乞一l ( 厅2 一1 ) ( 2 一) ( 矗2一1 ) 2 ) ， 在此条件下可知，系统( 2 5 1 ) 在原点附近有刀一1 个极限环，其位置在 j r 2 + y 2 = k 2 8 2 附近，七= l ，2 ，3 ，n - l 。 对于五次系统( 2 3 9 ) ，由定理2 4 1 与定理2 4 2 容易得到： 定理2 5 4 系统( 2 3 9 ) i 脚的原点为1 4 阶细奇点，一= , u 2 = 鸽3 = o ，- f i 4 0 的充分必要条件是： a 2 l = 如l = o ，0 3 2 = b 3 2 = o ，o = ，1 = o ，4 a 4 1 6 4 l = a s o b 5 0 ，厶o ，口4 i a 4 1 0 ( 2 5 1 3 ) 1 2 硕士学位论文第二章一类五次系统的町积性条件与极限环分支 且细奇点的最高阶数为1 4 。 推论2 5 3 系统( 2 3 9 ) i 脚的共轭系统( 2 2 6 ) 1 艿：o 的原点为1 4 焦点的充分必 要条件是( 2 5 1 3 ) 式成立，且1 4 细奇点的最高阶数。 由推论2 5 3 及定理2 4 1 ，我们构造出扰动系统( 2 2 6 ) 在原点分出8 个极 限环的实例如下： 定理2 5 5 系统( 2 2 6 ) 的伴随系