（应用数学专业论文）几类古典组合序列性质的研究.pdf

摘要 本文利用发生函数法及微积分理论研究了几类经典的组合序列如二项式系数、s d i 4 数、d e l a r m o y 数的性质以及推广的b e r n o u l l i 和e u l e r 多项式所满足的漂亮恒等式论文 的主要内容如下： 1 第一章简单的介绍了经典组合序列的发展历程及预备知识 2 第二章利用文献【1 】和 7 中的积分公式研究了如下三类包含二项式系数倒数的无 限和： c t ) - 薹鼍擎和n 妻= o 再帛万；c 2 ，n 妻= l 焉和霎再善最万；c 3 ， 限和 ( 1 ) 与毕和雨帛两；( 2 ) i 蒜和忑三鼍? 两；( 3 ) n ；0、n ，、n 八nj，、n 八n ， n 竺1 ，、t 巾八 ， 形似薹矗磊；可面i j f 毛鬲i 砀的无限和分别得到了它们的计算公式及递 推关系 3 b e r n o u l l i 和e u l e r 多项式在数论和特殊函数理论中发挥着极其重要的作用，第三 章研究了三类推广的b e r n o u l l i 和e u l e r 多项式的性质： ( 1 ) 二元b e r n o u l l i 与e u l e r 多项 式在有理点的取值， ( 2 ) 文献【2 2 】中的优美恒等式在高阶e u l e r 与高阶b e r n o u l l i 多项式 以及n 6 r h m de u l e r 与n s r l u n db e r n o u l l i 多项式中的推广 4 连接原点o 与点( i j ) 的允许对角步的路的总数称为d e l a n n o y 数，记为函“根据 定义，血，j 满足递推关系= d f 一1 j + d i j 一1 + 矗一l j 一1 。第四章中讨论了i = j 即d f = 画t 这种特殊情况第一节把d e l a u n o y 数与一种积分联系起来，从而得到了d e l a n n o y 数的积 分表示，第二节利用推广的f i b o n a c c i 数得到了有关d e l a n n o y 数卷积和的封闭形式 5 - 第五章利用s a n d 数与胁数的关系解决了卷积和暑。一蔷惫疗蒜 的计算问题 关键词：发生函数；二项式系数；高阶b e r n o u l l i 和高阶e u l e r 多项式；n s r l u n db e r n o u l l i 和n s r l u n de u l e r 多硬式；d e l a n n o y 数；s a l i e 数 a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，t h ep r o p e r t i e so ns o m ek i n d so fc l a s s i c a lc o m b i n a t o r i a ls e q u e n c e sa n d s o m ei d e n t i t i e si n v o l v i n gg e n e r a l i z e db e r n o u l l ia n de u l e rp o l y n o m i a l s8 r ei n v e s t i g a t e db ym e a n s o fg e n e r a t i n gf u n c t i o na n dc a l c u l o u st e c h n i q u e t h em a i nc o n t e n t so ft h i st h e s i sc a nb es u m - m a r i z e d8 sf o u o w s ： 1 i nc h a p t e r1 ，w ei n t r o d u c et h ed e v e l o p m e n to ft h ec l a e s i c a lc o m b i n a t o r i a ls e q u e n c e sa n d t h ep r e p a r a t i v ek n o w l e d g e 2 i nc h a p t e r2 ，w eu t i l i z et w oi n t e g r a lf o r m u l a so f 1 a n d 7 】t od i s c u s s 。 t h r e ei d n d so fi n f r u i t es u n l si n v o l v i n gr e c i p r 。c a lo fb i n o m i a lc o e f f i c i e n t s ：( 1 ) n = 0 薹焉耘；c z 卜耋焉踊d 耋诹蒜备丽；c 。卜m i n f i n i t e s u m ss 衄- 缸t 。 耋面石涵i f 毛罚碉s c a l c u l i o n m a 8 姐d r e c u r r e n c er e l a t i o n s o fa b o v es u m sa r ed e r i v e d 3 b e r n o u l l ia n de u l e rp o l y n o m i a l sp l a y8 ni m p o r t a n tr o l ei nn u m b e rt h e o r ya n ds p e c i a l f u n c t i o n i nc h a p t e r3 ，w es t u d yt h e i rp r o p e r t i t i e s ：( 1 ) t h ev a l u e so fb i n a r yb e r n o u l l ia n de u l e r p o y n o m i a l sa tr a t i o n a lp o i n t s ；( 2 ) s o m ee l e g a n ti d e n t i t i e so fp a p e r 【2 2 a r ee x t e n d e dt oo t h e r f o r m so fg e n e r a l i z e db e r n o u l l ia n de u l e rp o l y n o m i a l s 4 t h et o t a ln u m b e ro fp a t h sw i t hd i a g n a ls t e p so fj o i n i n go r i g i no ( 0 ，0 ) a n dp o i n t ( i j ) a r ec a l l e dd e l a n n o yn u m b e r ，d e n o t e db y 函j ，w h i c hs a t i s f i e st h er e c u r r e n t ：函，j = 出一1 j + 画j i + d i 一1 ，j 1 i nc h a p t e r4 ，w ed i s c u s st h es p e c i a lc a s eo f 也jw i t hi = j ：( 1 ) w eo b t a i na n i n t e g r a le x p r e s s i o nf o rd e l a n n o yn u m b e r ；( 2 ) w ed e r i v eac 1 0 8 ee x p r e s s i o no fc o n v o l u t i o ns u m s o fd e l a n n o yn u m b e rb ym e a n so fg e n e r a l i z e df i b o n a c c in u m b e r s 5 i nc h a p t e r5 ，w eu s ear e l a t i o nb e t w e e ns a l i fn u m b e r sa n de u l e rm u n b e r st od i s c u s s 怕一u t a t i o n o ft h e o fs a l i e n u m b e r sa st h e f o r m 叶而：。葛煮看孙 k e y w o r d s ：g e n e r a t i n gf u n c t i o n ；b i n o m i a lc o e f f i c i e n t s ；b e r n o u l l ia n de u l e rp o l y n o m i a l so f h i g h e ro r d e r ；n s r l u n db e r n o u l l ia n dn s r l u n de u l e rp o l y n o m i a l s ；d e l a n n o yn u m b e r s ；s a l i d n u m - b e t s i i 独创性说明 作者签名；赵益日期：边幺玩卸 大连理工大学学位论文版权使用授权书 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本学位论文作者及指导教师完全了解呔连理工大学硕士博士学位论文版权使用 规定，同意大连理工大学保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权大连理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索。也可采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论 文 作者签名 导师签名 盘磁。 红氛玲 7 一 垄监j 型“埠日 1 引言 随着统计学、代数学、数论、特别是电子计算机出现后，诞生于十七世纪的组合数 学逐渐显示出在数学理论及应用中其他学科无法替代的作用如今组合学渗透到很多领 域，它与其他学科相结合，不断创造出新理论及新方法同时，规划学、生物数学等学科 的发展也为组合数学理论提供了新问题。总之，随着科学技术的日新月异，组合数学这 门古老的数学分支充满活力和挑战 二项式系数、多项式系数、b e r n o u l l i 数、e u l e r 数、两类s t i r i n g 数、b e l l 数、g e n o c c h i 数以及f i b o n a c c i 数等等都是组合数学中无处不在、经常遇到的序列，且都具有深刻的组 合背景所以我们称这些序列为经典组合序列经典组合序列源于组合数学中的计数问 题，并被作为计数工具来使用，在其中起着重要而特殊的作用，一直是组合界的热门话 题之一很久以来就有不少人对它们进行了研究，证明它们在组合数学中起着非常重要 的基础性作用，许多离散数学问题都与它们具有密切的联系至今这些序列还吸引着不 少数学工作者的浓厚兴趣，对它们的研究特别是应用研究从未间断过，因为个新的有 趣的结果必将激起新的研究热情它们虽然看起来比较简单，比较诱人，但要想在这方 面有所创新、有所突破、有所作为的话，并不是件容易的事情 研究组合序列的一般的方法和工具有直接演算法、发生函数法、反演公式法、超级 何级数法、递归法、数论法、渐进分析法、微分积分法以及机械化方法等等而且随着现 代计算机科学技术的飞速发展，也为组合序列的研究开辟了新的前景 发生函数是组合论中求解计数问题的重要工具之一，诸如用来求解有限制条件的组 合个数、有限制条件的排列个数、解递推关系、求渐进公式等等，在此主要用来证明恒等 式和解递推关系发生函数主要分为三种：设 o 。) 是一序列， 毒令，( 。) = y ：扩，则称，( z ) 为序列 n 。) 的普通幂级数发生函数特别适用于 n = 0 作出涉及组合数的序列的发生函数； 令，( z ) = 蔓：兰t ，则称，( z ) 为序列 o 。) 的指数型发生函数特别适用于作出 二磊 ”1 涉及排列的序列的发生函数 oo 令，( = ：兰，则称，( z ) 为序列 n 。) 的d i r i c h l e t 级数，在乘法数论中， ：磊n d i r i c h l e t 级数是常用的发生函数 本论文利用发生函数法及微积分理论来研究几个经典的组合序列如二项式系数、推 广形式b e r n o u l l i 数和e u l e r 数、s a l i e 数、d e l a n n o y 数的性质以及推广的b e r n o u l l i 和e u l e r 多项式所满足的恒等式 大连理工大学硬士学位论文；几类古典组合序列性质的研究 1 6 5 4 年，b l a i s ep a s c a l ( 1 6 2 3 - 1 6 6 2 ) 发表了一篇关于= 项式系数的有影响的论文 f 1 1 】，自此对( 三) 及各种推广形式的研究吸引了不少数学工作者，因其在组合数学中的 基础性作用雨备受关注二项式系数是组合序列的基础，它在概率统计、数论中有及其 广泛的应用t i b e r i ut r i f 在【1 l 中运用二项式系数倒数的积分公式： g ) - - 1 却+ 1 ) z 1 唧叫” 哥等等筹= 号i 黼得到借助于此公式， t i b e r i u 强f 证明了在概率统计中 经常用到的关系式塞( 笳= 嵛薹等等一系列重要结果 在文献吲中，c e 蛐利用积分公式譬8 i 一舻+ 1 船两赢篇丽 钟) = 薹丽丽再两确 洲= 薹两而i 确 本文第二章利用文献 1 】和【7 】中的方法，研究了如下三类包含二项式系数倒数的无 蜘( 1 ) ，n z 0 觜和薹南( 2 ) 三赤和n = l 赢( 3 ) 、n ，n = 口、n 八n ，l = 1 、n 八n ， rn 儿住， 形似萎h 磊；可画再五f 气鬲再互丽的无限和，分别得到了它们的计算公式及递 推关系 b e r n o u l l i 与e u l e r 多项式在组合学中占有重要的地位，它们有许多重要的性质以 及优美的恒等式，在解析数论及特殊函数中有着及其重要的应用，例如借助它们可以计 算r e m a n nz e t a 函数在有理点的取值鉴于此，近年来，e u l e r 与b e r n o u l l i 多项式在有 理点处的取值情况倍受数学工作者的关注关于e u l e r 多项式或( 。) ，f o x 1 翻证明出：对 于有理数r s ，8 n ( e ( r 8 ) + ( 一1 ) 7 ”1 晶( o ) ) z s t a y 【19 推广了上述结果得到：当8 取 偶数时，8 ”晶( r s ) z ；当s 取奇数时，扩( 蜀 8 ) + ( 一1 ) r _ 1 晶( o ) ) z 关于b e r n o u l l i 多项式，a l m k v i s t 和m e u r m a n 【1 4 】证明出s ”( 取( r i l l i _ ( o ) ) z ，文献 1 8 】给出了这 一结果的简单证明在第三章第一节中，我们讨论了一类推广的b e r n o u l l i 与e u l e r 多项 式在有理点取值情况 h m o m i y a m a 在文献 2 4 】中证明出：对于m ，n 且m + 0 ， 0 = 柳q +m 、，； 1 + j 竹 ， 。伽 r l 卜 2 + + n al+ 、 1 + 0r m ：i m ” 一 第1 章 引言 w u 在文献 2 2 】中推广了h m o m i y a m a 的结果并得到以下结论 b 。+ j ( - z ) e 。+ j ( - z ) ( 1 0 1 ) ( 1 0 2 ) _ _ ( _ 1 ) n 窆n1 ) ( m + 川) b i n 小吐 ( 1 ) ( 一1 ) m ( “ 1 ) ( n + t + 1 ) b “( z ) 叫叫n 塞1 ) ( m + j + 1 ) 小巩 ( 1 0 4 ) 在第三章的后两节中，我们把文献【2 2 中的优美恒等式( 1 0 1 1 0 4 ) 推广到了高阶b e r n o u l l i 与高阶e u l e r 多项式以及n s r h m db e r n o u l l i 与高阶n s r l u n de u l e r 多项式 连接原点o 与点( i j ) 的允许对角步的路的总数称为d e l a n n o y 数，记为盔，根据 定义，呶，满足递推关系反，j = 函一1 j + 呶卜1 + 盔一1 j 一1 本文主要讨论i j 即也= 也， 这种特殊情况第四章把d e l m m o y 数与一种积分联系起来，有效的得到了d e l a u n o y 数的 计算公式；此外，本章还利用推广的f i b o n a c c i 数得到了有关d e l a u n o y 数卷积和的封闭 形式 一一 一 张在文献【3 2 】中利肿b 阶乘数研究了和式叶。量。盎舞篙南的 计算问题刘在文献 2 6 】中利用广义中心阶乘数推广了张在 3 2 】中的结果，进而得到 当k ：2 m + 1 时 p 马口l 岛d 2 e 2 d k 。+ 8 2 壬4 ”。( 2 。1 ) ! ( 2 啦) ! ( 2 口k ) ! = 丽蒜薹( 州帕m + 1 ，塑笋铆； ( 1 嘶) 当= 2 m 时 r垦! ；垦塑：璺1 6 时壬4 。蒯( 2 d 1 ) ! ( 2 砚) ! ( 2 口k ) ! =可(_1)m雨+n_122n+2m_1m 台- 1a ( 2 r n , r n , 2 t ) 笔篙。一( 1 0 6 ) 有关其他详细情况，参考文献【2 6 和【3 2 】事实上，也有许多学者研究过b e m o u l l l 数和 g e n o c c h i 数的卷积和，并最终得到了许多优美结果 3 v卜v。创。瑚“ 鼻、 r 旧 唧 川 峭 卜 卜 “ 如 和 巩 取 ； 门uu加一 m言：l州础 宝、 宝、 宝、 以 o o 大连理工大学硬士学位论文：几类古典组合序列性质的研究 在第五章中，我们利用s a 】i f 数与 ) 的关系； = 壹k = o ( 笏而m ，解决了卷积 和叶。暑，。高震高茜匆的计算问题 4 2 有关二项式系数倒数的无限和 定义2 1 ：二项式系数的足义为； = 旁烹： 这里n ，m 都是非负整数二项式系数的名称来源于著名的二项式定理，它的组合意义为从 n 个不同的小球中任取k 个小球的方法数有关二项式系数的结果极其丰富，然而，象 通常涉及倒数的和式一样，要得到与二项式系数倒数有关的和式的封闭形式很难数学 工作者接受了这个挑战，经过长期的探索发现了解决此类问题的一种行之有效的方法一 积分法例如，b s u r y 9 】利用下面提到的积分( 2 _ 1 _ 1 ) 证明了丕等豢= 丽2 霉8 i n - 1 x ， 并以推论的形式得到： 毳南。亏1 + 南，轰而1 = 孚，薹丽1 = 篙 这些漂亮的结果回答了许多年以前一直困扰着我们的问题，激励着我们做出新的探索与 研究 本章分三节来讨论有关二项式系数倒数的无限和的计算问题第一节与第二节利用 文献【1 】中的积分公式： 繇) = 唧+ 1 ) z 1 ( 1 一矿一”出计算了如下两类和式t ( 1 ) 薹警和薹再南；c z 卜薹南和薹赢第三节通过 积分公式( 见【7 ) z 暑咖2 kc 2 1 亡d t = 面再了雨i 毒署j 鬟碉来寻找类似 三面再了恧i i 西西再五丽的无限和的计算公式。 ，n + h ， ， 2 j 薹瞥和薹南舢蝻酗糊附算 t i b e r i ut r i f 在【1 】中使用二项式系数倒数的积分公式： ( 茹= c 州，z 1 师叫”如 5 大连理工大学硬学位论文t 几类古典组合序列性质的研究 该公式可以由著名的e u l e rb e t a 函数b ( n ，m ) = 露t n - 1 ( 1 一t ) m d t 和公式b ( n ，m ) = 哥鲁罟等= 号景黼得到借助于此公式，t i b e r i un i f 证明了在概率统计中 经常用到的关系式耋g ) = 等薹等等重要结果在本节和下一节中 我f 】仍 然使用这种方法来讨论两类和式的计算问题 引理2 1 1 ：对于积分z 1 矿= 南和z 1 f 干南，我们有 f 1 d x2 。2 ( 2 k + 1 ) r 1 d x 厶矿i 丌而。丽十可再百工 i - - x ( 1 - - x ) k 年1 r 1 如2 2 ( 2 k + 1 ) ，1 如 厶磊f 研2 骊十丽再虿五f 函酉而 对于上述引理，读者可自行验证 ( 2 1 2 ) ( 2 。1 。3 ) 定理2 1 1 ：设氐：妻写尊，轨：妻掣其中为菲负整数，我们有递推定理2 1 ：设氐= 辞，轨= 铲其中为菲负整数，我们有递推 t l = 0 、n ，= 0、n ， 关系； 且k + 1 = 一百丽2 + 2 3 ( 【2 七k + + 1 3 ) ) a 跏一南+ 嚣等最 ( 2 1 4 ) ( 2 ，1 5 ) 也= 薹( n ：弘刊产c ，叫 因为薹( “：。) ( 2 n + 1 ) z 1 矿( 1 一霉) n 妇在区间【0 1 1 】上是一致收敛的，所以 小f o 薹c 拇z 州矽c 刮如 注意到当 l 时， 薹( ”：) 矿= 毒杀， 仁， n 壹- - - - - 0 竹c ：2 ) 矿= 器券 偿- 砷 整! 童三翌塞墨墼塑型墼 从而我们有 同理可证 r 1 d 钆2 0f 丽三庐+ 。( k + i ) f 0 1 蒂辨 ；一( 。南+ - ) z 1 而_ = _ 知+ 。 + t ) z 1 瓦= i 南 b 。：一( z 后+ ) z 1 瓦j i 知+ 2 + - ) z 1 百j i 知 再有结合( 2 1 2 ) 和( 2 1 8 ) 得 a = 争2 k 3 + lj 1 。 1 风= ；一2 k 5 + lj 。1 缸 矿习f 研雨 如 矸矗f 而 由( 2 i 8 ) 和( 2 1 9 ) 我们很容易得到递推关系( 2 i 4 ) 和( 2 i 5 ) - 口 推论2 - l 1 ：设m 为正整数，定义a k ，= n = 0 盟kn 竺r 一( 二1 2 ：塑 丽风一苜 ( 2 1 8 ) ( 2 1 9 ) 则有 a k , r r t ：w + 1 ) j ( 1 正斋与酽+ 2 ( 川) ( 1 再茄与平 b k , n 。= - - + 1 ) z 1 而斋与酽+ 。( , 0 1 陌斋b 酽 定理2 1 2 ：我们记镰= n = l 瓯= d k 5 c k + 1 = d k + i 2 证明：经简单计算可得： 关于戗和d k ，我们有如下结 一痞卜孚 志+ 揣瓯一赫1 ，3 仕+ 1 ) 。3 + 1 ) 83 ( 缸+ ) 一1 赤6(k1 + 揣1 仇一赫1 -+ ) 3 佧+ ) 一53 + ) g e = ；薹芒，耻莲端 7 ( 2 1 1 0 ) ( 2 1 1 1 ) ( 2 1 1 2 ) ( 2 1 1 3 ) 佩 i i 巩 塑一 ，一口产厶 m等：i l 一2 1 2 大连理工大学硬士学位论文t 几类古典组合序列性质的研究 p ：南) 产_ 1 ( t 叫出= ；z 1n 妻= l ( n ：七) c ，叫出 ，n + 知、 切。1 ( 1 - x ) ”1 如 再结合( 2 1 6 ) 可知( 2 1 1 0 ) 成立 注意到当川 1 时， 从而仇= 另一方面 妻单矿：妻可与一妻；一h c ，一。卜 ， n = l 半拈蚤南一萎；i l n ( 1 - u ) ( 2 1 1 4 ) ；砉麒南一h 伽叫刊，如 ，1 l n 【1 一z ( 1 - x ) 】妇：一2 + 孕因此( 2 1 1 1 ) 成立 fl n 【1 一z () 】妇= 一2 + 半因此( ) 成立 j o o c k + 1 - - 仇= ；z 1 眄舞酽 d k + i - - d k = 南z 1 眄杀而赤 再由( 2 1 2 ) 可证( 2 1 1 2 - 2 1 1 3 ) 口 注t 类似地，读者可以考虑和式 n = l错笋和薹罐铲的计算 艘。工s 冷峨= 薹南2 r 。n + k 那么 取一妻( 弘灿洲z ，砉( 护 埘圭i = 0 ( c 叫i d k + ：, i + 2 41 譬铲 + ( 4 k - 2 ) z 0 1 与学， s ， l 其中d k ，t = 舻等毒离弘也，且满足递推关系 d k ，i + l = 如一l ，i d k 8 ( 2 1 1 6 ) 喊f 1 2 1 2 得 = | | u 以 巩 钽 由 证明：根据( 2 1 1 ) 得 取=薹( 轨蝴卅) f o 州，叫“如p ( z 刊曲 三( 2 1 m “) 上上扩( 1 r 旷( 1 叫严蛐 2 蚤舻j ( 上矿( 1 叫r 以1 - 们曲 + ( 2 3 ) 至n 上o 扩( 1 一r 州1 。们旬 m “) 薹j ( j ( 矿( 1 叫r 旷( 1 叫卢蛐 考虑到( 2 1 6 - 2 1 7 ) 以及 我们有 i3 2 1 一“( 1 一) 2 。( 1 一u ) 3 巩= a o i 0 1 矿捣如嘶+ ( z 七一s ，z i 0 1 一m o i 0 1 糕蛐 籼时，记驰) = j ( 1f 南 ( 2 1 1 8 ) 得 注意到 从而有 如曲 ( 2 1 1 7 ) ( 2 1 1 8 ) 显然有厶+ ( ) = 鬻哿厶( v ) + 而南代入 现= t o l ( 刊“ 若杀舶) + i 再6f + 巧1 d y + ( 2 k - 3 ) f 0 1 ( z 刊 南) + 南 d y - k z 0 1 ( 叫句 五( g ) = 丽4 删n 皿= 。e j o 瓦编、s - - y 眦t a n 皿29 6 矿而丽眦。 + ( 4 k - 2 ) f 0 1 等曲+ 8 ( 。一 一4 kf o 丽( 1 i - - 葡y ) k ”c t 姐 9 3 ) j ( 1 矿而( 1 - 丽y ) k 缸c t a n = n 气 脚 属 眄 令 = u 则= 羔，由= 百8 研u d u ，于是 所以( 2 1 1 5 ) 成立 口 最后我们给出级数i 南的封闭形式。 n = o n ， o o _ 定理2 1 4 ：对于级数高，我们有 证明：由( 2 1 1 ) 得 =。i01而斋一soojoj oj o 1 - - x ( 1 - - 生, z ) i ( 1 - - y ) 2一= i f 习而叫土 + s o i 0 1 矿i f d 面z d y 研 熹= ( 4 n f 2 n 、 2 2 一厶 n = 0l 竹j n = 0 = ( 锄2 + 4 n + t ) z 1 $ ”( ，一。) “d z z l ”( 1 一”) n d v + 4 n + 1 ) z 1 石0 1 x n ( 1 一矿旷( 1 一矿出白 根据( 2 1 6 - 2 1 7 ) 以及( 2 1 1 7 ) 即可得到( 2 1 1 9 ) 口 ( 2 1 1 9 ) 注2 掣亏孝警亨出现的积分，我们可以利用矩形域上的插值型求积公式( 梯形公式或s i 。l p s o n 公式) 估计出近似值 。2 砉南和耋杰，的计算 器一 ”一舳户错霉 三 脚 为叙述方便，我们引入下列记号 岛( k ) = 丑( ) = q 1 ( 砖) = r 1 ( 南) = 定理2 2 1 ：设为正整数且七2 ，那么 剐1 - 。2 k 1 坚型坐巢挲生疵 + 净孕) ， z m 踯卜挈- ( 1 竺型杀掣出 一；( 俪掣一，) ， 孙) = 丽1 1 2 一半， 孙，= 一；( h 竿) 2 一掣 证明：由( 2 1 1 ) 得 研( ) = 岬叫懈( z 一；) 薹 扎+ 七 铲( 1 - t ) “d t + ( z 一；) 。妻。o lt - k ( 1 _ n - t 一) = - k d t ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) 踯，=；薹垃哗坐+(z一)。妻。_(-1)-kfjt-k(1-o-kdt 引 喘 她 m 撕 肥 阢嗌 既 黜烯壹槲榭蛲 1 i 勘h罐篙 l 邳鲥南葚。香黑 跏蒜翟。 们 =札目巾冀嚣 此。酽均出龇萨督撇喇赢| l一了一 z z 1 一n 1 一疗 警问 l 一 1 一居 盔壅墨三盔望塑主堂垡堡塞：些耋宣塞塑盒壁型壁厘煎墅壅 注意到当“ 一1 ，1 ) 时， 另一方面 薹等一卜牡， ( 2 2 5 ) 肛1 - - t + t 2 ，d r = - 2 + 孚，x i n c l + t - - t 2 肛z ( 佩掣一) 综上可知( 2 2 1 ) 和( 2 2 2 ) 成立 通过计算可知 孙) = ；耋丽1 一面1 铡, 7 1 而= 石1 三o o 丽1 一剐1 ， 踯，= ；薹黯一知卜 又因为( 见文献【2 】和【1 0 】) 薹万南 从而可得( 2 2 3 - 2 2 4 ) 成立 口 习q r 2 薹器一( k 竿) 2 此外，我们还可以把& ( ) a n d 正( ) “= 1 ，2 ) 推广到下列形式； - - ，m ) 2 至而而1 1丽n = 、。，、m ， m 她m 卜州zq 1 瓣t r t , 。 1 一v 儿， 在这里我们以推论的形式给出相应结果 推论2 2 1 ：设和m 为正整数，那么 岛( m ) = 、o( 一1 ) n 剐m ) 。三1 埚n = 。，、 l n ， 吲嘲2 薹搞n = 1 ”、“，、m n ， ( z 1 l n 1 - t i n ( 1 - t ) m + t r a 而( 1 - t ) m + + 苎芒出 一；j ( 1 l 卜州1 叫”m ( 2 删 叫一( ；一州业竺鲨筹嘉坐出 一；z 1 1 n 【，+ 扩( 1 一亡) m 】d t ， 孙，m ) = 一关z 1 1 1 1 1 1 - 可f n ( 可1 - t 一) m d t 孙m ) = 一罢z 1 业铲 ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) m m 轧 轧 研 岛 ：，涡，谒b 一 一 苎星童 三堡茎茎墼塑型墼 证明：我们只给出( 2 2 8 - 2 2 9 ) 的证明，读者可类似的证明( 2 2 8 - 2 2 7 ) 注意到 孙，m ) = ；。妻1 熹kr n n ! 孙咖；耋器 同时根据文献 1 0 j 中关系式 一；岛( 七，m ) = 一号z 1 m 1 + 可r ( 可1 - o 一 i d t 所以( 2 2 8 2 2 9 ) 成立 口 尽管定理2 2 1 给出了最( ) 和正( 自) 的计算公式，但是它们的结构比较复杂在某 些1 膏况下，它们并不能快速而准确的帮助我们计算出结果换句话说，我们有必要知道 鼠( ) 和丑( 女) 的更多信息 定理2 2 2 ：设k 为正整数且k 2 ，关于& ( k ) 和五( k ) 有如下递推关系 踯+ 1 ) = 掣踯) + 南一盎 岛忙+ 1 ) 噩他+ 1 ) 一等踯，+ 南一筹h 掣， 一器等+ 帮k 哪卜南+ 志 1 8 + 1 ) 2 。( + 1 ) 21 u “，一i i ；? 酽1 - 百琢i ：i 乒 ( 2 2 1 0 ) ( 2 2 1 1 ) ( 2 2 1 2 ) 孙删= 一篱( h 筝) 2 一斜孙卜南 2 5 ， 5 + 1 十丽血下 ( 2 2 1 3 ) 证明：令0 4 ，那么，墨= ； 证明；不难得到墨= 互1 + 彳1 三o o 脚一扣所以薹揣薹南 圳z 博三0 0f 1 丽= 薹堕掣 从而有 因此r 1 i m + o o 墨= ；口 z =2 t一3 2 1 蛆叫1 n 1 - m t ) l e t 2 3 形似耋西i i 叹磊了可j 毛芴；碉的无限和 在文献【7 】中，c e l s n e r 讨论并计算了和式 踯) = 三c o 两丽丽可1 面鬲再丽 踯) = 薹两丽杀确 从而分别得到了上述和式的封闭形式及递推关系 踯，3 雨志可( c 峨s q + 薹品) 皿s m ，2 雨南可( 扩( 学) 一备k - 1 雨5 “) ( 2 。2 ) ( 2 七十1 ) 2 - s 1 ( + 2 ) + 4 + 2 ) s 1 ( c + 1 ) 一3 岛( 忌) = 0 ( 2 k + 3 ) 2 岛+ 2 ) 一4 ( 3 k + 4 ) 函( k + 1 ) + 5 s 2 ( k ) = 0 其中k 为非负整数于是我们就想，一些类似岛( ) ，岛( 七) 的无限和是否也能计算出来 呢? 其结果存在封闭形式吗? 若存在，其封闭形式又是怎样的呢? 一 脚南脚 坚删婀 整卜 2 壁e 里王盔堂塑主兰i ! ! g 塞! 些壅直苎望盒壁型丝堕塑婴塞 对于任意正整数k ，我们记 z c 七，= ，i ，- 3 5 7 - _ 。( 2 一1 ) ：三： 在本节中，我们利用积分公式 z 5 s i n 2 k t c o s 毗出： 来计算下列和式 ! ! ：坐2 ( 2 n + 1 ) ( 2 n + 3 ) - - ( 2 n + 2 + 1 ) ( 哿) ( 2 3 3 ) 踯，m 号丕两再而面酉可1 磊面碉， 剐m ) 2 薹丽而丽寿磊丽丽， 珊i m 2 三- - 币葫研焉两1 1 丽而丽， 剐毛m ) 。薹而而而高等而诵， 哪i m 2 三而丽而而矿1 丽甬碉， 吲m ) 2 薹丽忑丽d 篙丽诵 定理2 3 1 ：对整数0 和整数f n , 1 ，我们有 肿川= 磊z 1 南咖 踯 m ) = 丽4 mz 1 南也 丑( 七，m ) = 一丽i 0 1 “2 k l n ( 1 一( 丁1 - - 2 ) m ) 乱 珏( ，m ) = 一丢【_ z 1 铲l n ( 1 + ( 丁1 - - i l 2 j m ) 如 邺 m ) = 一鼎p m 坐饕塑砒， w 2 ( 七，m ) = 一鱼z ( k + 1 ) j ，1 o2 啪1 n ( 1 + 1 - ( 宰, u 2 ) ”) w ，u , 在这里，我们只证明定理中的( 2 3 4 ) ，( 2 3 6 ) 和( 2 3 8 ) ，其他的证明类似 ( 2 3 4 ) ( 2 , 3 5 ) ( 2 3 6 ) ( 2 3 ” ( 2 3 8 ) ( 2 3 9 ) 整兰茎 三要塞墨墼堕型墼 证明：由( 2 3 3 ) 得 5s i n 2 ktc o s 2 r n + it 出 j 0 丽z z 【刨儿- 1u 2 k ( 1 一舻) ”“砒 注意到对固定的m ，当u o i 】时，n 妻= 0 1 # = 瓦器两一致收敛， 注意到对固定的m ，当u o ，】时，竖三兰；：五- 二蒜一致收敛， 、， 于是有 所以( 2 3 4 ) 成立 8 - ( k , r a ) = 薹o o 南上1 卿。) ”也 = j ( 1 焉薹警砒 4 m ，i 2 5 ；两j o 而了f 刁f 砒 根据( 2 3 1 0 ) ，我们有 ( 2 3 1 0 ) 1 = 4 - , 若t 而j ，1 0 ( 1 一铲) ”如嘧( ) n “、， 对醍的m ，当u 【0 1 1 】时级数耋# ：乩( 1 一( 学) m ) 一致收敛，所以 对固定的m ，当u 【0 ，1 】时，级数坚云篙子= 一l n ( 1 一( 生) m ) 一致收敛，所以 孙i m ) = 三c 。爿而j c l 庐( ，锄”札 = z 1 焉薹譬如 一z ( k ) 1 u 2 ki n ( - 一c 字，”) 砒 从而( 2 3 6 ) 得证 现在我们证明( 2 3 8 ) ，注意到 1 ：志 1 p ( 1 - u 。) n m d u 4 ”z ( 七) n 2 “ 因此研( m ) = 薹4 n m 烈七j n 。山f u 2 k ( 1 一舻) “m d u 为方便证明，我们蜘归薹5 ， 的，注蒯即) = 薹等= 一掣，n 丑1 1 显然瓠f 0 1 】日寸，茹n 2 一致收敛 s ( o ) = 0 故s o ) = 一詹堕皆如于是有 薹訾叫学卜z 学掣如 眦哪，小一z 1 焉( j ( 譬 式 口 ) d u 计算此积分，我们便得到( 2 3 8 ) 推论2 3 1 ：在定理中分另u 令m = 1 和f f l * = 2 ，则有下列递推关系： 当m = 1 时 3 堪+ 1 ) 丑( ) + 艰+ 2 1 ) 乃( “1 ) = 志 m + 2 ) t 2 ( k “1 ) 一5 。( k + 1 ) t 2 ( k ，1 ) = 熹， ( 2 k + 3 ) t h + 1 ，1 ) 一i 砚佧，1 ) = 一2 乃伪+ 1 ，1 ) ， ( 2 k + 3 ) 讳t ( + 1 ) 一i 仡 ，1 ) = 2 t 2 ( k - 4 - 1 ，1 ) 当m = 2 时 ( 2 + 3 ) ( 2 + 1 ) s i ( k + 2 ，2 ) 一2 ( 2 k + 1 ) 马 + 1 ，2 ) 一1 5 毋( 氓2 ) = ( 2 + 3 ) ( 2 k + 1 ) s 2 ( k + 2 ，2 ) 一2 ( 2 k + 1 ) s 2 ( k + 1 ，2 ) + 1 7 s 2 ( k ，2 ) = ( 2 k + 3 ) 噩( k “2 ) 一t 1 ( 蛐) _ 4 ( 亲高一s l ( k + 1 , i ) ) ( 2 + 3 ) t 2 ( k + 1 ，2 ) 一t 2 ( ，2 ) = 4 ( 万1 两一岛( + 1 ，2 ) ) ( 2 k + 3 ) 慨+ l ，2 ) 一啊 ，2 ) = 一4 n + 1 ，2 ) ， ( 2 k + 3 ) 睢+ 1 ，2 ) 一，2 ) = 4 t 2 ( k + 1 ，2 ) 下面我们给出当讥= l 时，丑( ，m ) 和- 钦( ，m ) 相应的取值 在( 2 3 ，6 ) 和( 2 , 3 7 ) 中令k = 1 ，我们有 孔( 1 1 1 ) 3 v 丁7 3 r - 1 6 ，噩( 1 1 ) = 可3 2 一丁l o , v 5 1 n 掣 2 0 - - 1 6 z + 1 ) 1 6 z + 1 ) 第2 章二项式系数的倒数 在( 2 3 8 ) 和( 2 3 9 ) 令= 1 ，我们有 哪= 一南j ( 1 = 蠢z 1 哪 1 ) = 丽2z 1 u 现在我们计算积分 。蝉 p 圳h ( 半) 一 。! = ( ：! 生 = 丽2z 1 卜2 删h ( 字) + 令j ( 。) = 詹型挚，t ，( 。) = 詹堕皆，这里o s 口s 1 x ( o ) = 0 ，j ( o ) = 0 分别对j ( n ) 和j ( a ) 求导得； 设z = ，( o ) = 一 忐4 = 一：z 1 蚴2 + 一口一a n 一： 忐a r c t 趿 三4 - a2 一i 再盯趿v 一 ，( 。) ：1 ju d u 4 + a 一口u 2 一壶2 a ( h 警、 1 ，1 2 一若1 0 击，”= 半，则有、再”2v 了舢有 j ( 口) = 一2 xa r c t a n m d m a l c t a n 周 j ( a ) = 砒 舻+ ( 罔2 u 。一( 罔2 仙l 譬i ) 、，f 7 = 一( a r c t a n z ) 2 + c 1 2 + c l ， = ；( h 群) 2 + q ；( h 扫一- ) 一h 扫+ ，) ) 2 + c 2 巫厚 大连理王大学硬士学位论文t 几类古典组合序列性质的研究 由慨j ( o ) = 0 和牌j ( 。) = 0 知c i 20 ，包。0 从而有 另一方面 因此 x ( a ) = ( 一雒她周2 洲，) -