（交通信息工程及控制专业论文）鲁棒控制理论及高速磁悬浮列车姿态控制问题的研究.pdf

摘要 摘要 在实际工业控制中，由于系统中存在的未知参数、不确定干扰、 未建模动态等等因素，使得基于被控对象精确模型的现代控制理论往 往难以取得预期的控制效果，这使得不确定系统的鲁棒控制问题成为 近若干年来的一个研究热点。 本文基于l y a p u n o v 稳定性理论，采用反步法( b a c k - s t e p p i n g ) ， 线性矩阵不等式( l m i ) 、l y a p u n o v 函数等工具，对几类不确定性系 统的鲁棒控制问题进行分析和设计，对磁悬浮列车的姿态控制问题进 行了研究，获得了一些结果。 本论文的主要工作有： 首先，针对一类具有未知参数和不确定性的非线性系统进行了 研究，此类系统具有下三角形结构。在控制器的设计中引入了 b a c k s t e p p i n g 技术，分别就扰动有界和更一般的不确定性讨论了系统 的输出跟踪已知参考信号问题，给出了一种状态反馈自适应控制器， 在保证了闭环系统的稳定性的同时首次解决了占一跟踪问题：即对按 段光滑的参考信号) ，和事先给定的跟踪精度占 0 ，设计出自适应控制 器使得闭环系统的所有信号有界，且当f 充分大时，有iy ( f ) 一y r ( f ) i b ，v x r ”。 ( 2 ) 已知常数c 和d 分别为1 1 0 1 1 和l d , ( t ) ( e = 1 , 2 ，”，v t o ) 的上界。 ( 3 ) 参考信号”按段连续且有界，其导数只，只，矽也按段连续且有界。 2 2 2 鲁棒自适应控制器的设计 在假定( 1 ) 0 ，不妨设占1 + c 2 ，选取 = 丁2 ( 1 + c 2 ) ，k = 塑乎( 2 - 2 - 2 ) 并取 1 0 第2 章一类不确定性非线性系统的状态反馈控制 z l2 j ，一y r = 两一j ，( 2 2 3 ) z i = ) c i a f i ，i = 2 , 3 ，n 其中口h 是虚拟控制器，a i 是变量( 五，蕾圳否，”，z ) 的函数，由下列关系 式所确定： 口l = 一n z l 一否r 么一k z l + 夕， 铲_ r 附c 协i - 2 t 斋厕m 一芸等咿芸等“t 亿2 卅 竹f 0 a ( z 6 i - i 一一心，一舷，善- l 。百o a i _ 1 ) 2 + 智声a 砂a ；i 一- ，l y ：力，f = 2 ，3 ，z 一1 而函数t 满足关系式： z i = n z l 而一2 n o 。t + n z i ( 唬一艺j = l 掣h _ 2 ，3 ，z| 则可取自适应律为 0 = - 0 = 并取控制律为 2 2 3 稳定性分析和跟踪误差估计 ( 2 - 2 5 ) ( 2 2 - 6 ) 现在我们对上节所设计的自适应控制系统的性能进行分析，得到的主要结 果是下述定理。 定理1 设系统( 2 2 1 ) 和参考信号只满足假定( 1 ) 弋3 ) ，将上节所设计的自适 j 鲥g ( 2 2 6 ) 和控制律( 2 2 7 ) 应用于系统( 2 2 1 ) ，则闭环系统的所有信号全局有界， 且对任意给定占 0 ，存在有限时间丁( s ) 使得 l y ( t ) - y ，( f ) l s ，t 丁( f ) ( 2 - 2 - 8 ) 为了证明此定理，先证明几个相关结果。 挚静 一 生7 屯 洫一a ” 甄静 z 础闩纭 连同恼 一 _ 一 限 弩阳 弛 “ + o 一 一 z b ” 弛 r 。l ， k歹川倒 同济大学博士学位论文 引理1 在满足定理条件的前提下，下述不等式成立： 概圳 z i z ，+ l - 懈m m 嵩摹厂 脚一善挚心( 一) ，鲁+ 证明由( 2 2 3 ) 知 f 一2 d ： 4 k z 22 恐一口l = 而+ 口r 欢+ 吐一 等毫+ 鸳0 0 否+ 等o y 只+ 等只】 以。卯。 a 口： z 毒 j + t 0 0 ，i = 2 ，3 ，n 一1 ( 2 2 9 ) = 乞托：棚r 欢+ 如一_ 0 0 1 i l恐棚r办+diox,) 一吾乱等允一等o v 辨 d bg 、 2 乃屹- 一n z 2 - - 飞晚一鼍d x , 办) + 鼍恐竹骞u 也z 也z 尝) 2 + 参只 d 砥d 班； ， +等辫如+攻一百cal71。aya x , j c 2 办+ 盔) 奢吾一等鼻一雾拜 。 o b 叫 = z 3 _ 一胞：+ 矿( 欢一挈o x , 破) + ( 乃一务r 器一殷：+ 吐一心z 串l y x l ) 2 鼍面 0 t 似1 从而 砒。+ 乞) = z 2 z 3 一z ：+ 万一晏o x , 办) + ( 吒一南r 罄一磁+ 如一心：串o x l ) 2 - 鼍盔】 d6，a 另外，由于可配成完全平方的二次三项式是非负的，故有 和 所以 z ：d ：一i e 2 重4 k 一心20 a l ，2 。o o qd 。巫4 k o x , u x l 吡蚓 z 2 2 3 - n z ；脚鲁聃砒勘r 鲁+ 警 ( 2 - 2 1 0 ) 即当i = 2 时，( 2 - 2 9 ) 成立。对于一般的i ( i = 2 ，3 ，z 1 ) ，应用式( 2 2 3 ) 2 - 2 - 5 ) 和( 2 2 一1 ) ，不难推出 1 2 川 芦 第2 章一类不确定性非线性系统的状态反馈控制 弛心心”心州谚嘻等磐考矾谚一芸等办， 地面r 等咆峥磁芸c 等) 2 _ 芸挚， z i d i 一磁s 慕 和 一磁2 缶t - it 可a a f _ l2 一刁善等盔芸鲁 可得 概吲r 婚喇一善挚，势等 脚一薯挚心( 一勘r 鲁+ 壹j = 至4 k ，i = 2 , 3 , - - - , n - 1 ( 2 - 2 - 1 1 ) 引理2 假设定理的条件成立，并取 l = 圭骞弓+ 上2 n 万r 万，f = 2 ，3 ，z ( 2 - 2 - 1 2 ) 则当i = l ，2 ，万一1 时，有 珑 - z ：i + l - 2 n l + 上4 k 如j = lh 刚蚓1 2 + ( 专万+ 静秘( t 南( 2 - 2 - 1 3 ) 而当i = ，z 时，有 得 而 吃 _ - 2 n v + 1 + c 2( 2 2 - 1 4 ) 证明我们用数学归纳法来证明不等式( 2 2 1 3 ) 首先，当i = 1 时，对巧求导， 瑶= z 。三。+ 1 b - r 彦 1 3 同济大学博士学位论文 从而 三1 = x j 一 = x 2 + 0 2 识+ d l 一弗 = z 2 + 口l + 0 2 办+ d l 一只 = 乞一n z l 一否，办一k z l + 弗+ 口r 么+ 吐一只 = 乞一人+ 07 办一点2 l + d l 坑 _ z l z 2 - 弛沁。歹 袅一土n 歹r 参 = z l z 2 - 2 叫妒万+ z l 万”鲁一丙1 b - 7 爹 另外，由 知 故 ，_ 0 。9 = 秒2 ( 乡一日) - _ = 0 1 0 0 1 0 昙( 歹r 万+ 0 r p ) 一万r 否 ， 、 7 _ _ 0 。0 0 。0 2 0 。0 恼矿2 川圳刎2 嚎+ 扣肮武 ( 2 - 2 - 1 5 ) = 弓乞一2 川制1 2 + 嘉+ i b - 丁( q 一函 即当i = 1 时( 2 2 1 3 成立) 。另外，设当i = k ( k = 1 , 2 ，n 一2 ) 时( 2 2 1 3 ) 式成立，即 有 i 夕k b ，v x r ” a 2 ：已知常数c 是的上界，且对每一个仍( x ，f ) 存在按段光滑的己知非 线性函数，( x ，f ) 和常数d 0 ，使得 l9 f | dl ，i ， 1i聆(2-3-2) 界。 a 3 ：参考信号y ，按段连续且有界，其导数夕，y ：孙，y ：”也按段连续且有 2 l 同济大学博士学位论文 注3 假定爿：中的肼必须是己知函数，这是对仍的一个限制性条件，但这 种限制是极其微弱的实际上，满足( 2 3 - 2 ) 的d 和l 1 ，f ( f = 1 ，甩) 可以取得很大， 此时不影响输出跟踪的精度，更不影响闭环系统的全局稳定性，这可从定理2 的 结论及其论证中看出因此满足假定4 ：的伊，具有非常一般性的不确定性，它可以 是无界的，诸如指数增长之类的函数 2 3 2 自适应控制器的设计 在假定么l a 3 的条件下，使用b a c k s t e p p i n g 自适应控制器设计的基本思 想方法，针对系统( 2 3 1 ) 来设计鲁棒自适应控制器，使得闭环系统的输出y 按 预定的精度要求( 可取正数占足够小) 跟踪参考信号y ，设莎( f ) 表示秒在时刻t 的 估计量，万( f ) = 口一否( f ) ，乙( 1 f 门) 表示闭环状态变量；对给定的跟踪精度 占 0 ，不妨假定s 2 1 + c 2 ，选取 并取 n = ( 1 + c 2 ) 占2 ，k = n ( n + 1 ) d 2 8 ( 2 3 3 ) 毛2y y ，2 五一”， z j = x f 一口j l ， 2 i 刀( 2 3 - 4 ) 其中o i _ 1 是变量( x l ，x f 1 ，参，y ，一，y y ) 的函数，由下列关系式所确定： 口。= 一n z 。一7 五一心。；+ 夕， 卟_ r 雌c 势鲁_ 6 ) 。一芸等嚆等h 。 q 鲁咆小心，黑c 等脚2 + 杰务，2 i _ n - 1 ( 2 - 3 - 5 ) 对于求和符号圭( ) ，当七 l 时，约定它取值为零( 下同) ，而函数t 满足关系 ( 2 3 - 6 ) 0 ，存在有 限的时间t ( e ) 使得 ly ( t ) 一y ，0 ) 峰占，v t z ( 占) ( 2 - 3 9 ) 为了证明这个定理，先证明几个不等式，它们将在定理的证明中扮演着重 要的角色。7 引理3 在满足定理2 条件的前提下，下述不等式成立： z ，( z ，- i + z i ) _ z j z j + n - n z ? 地( 办一蓦等j - x 著屺职办一芜等办) ，葺1o ， d 6 蕾lc i 。 屺( t 一妒鲁+ z 生4 k ，i - - - 2 , 3 , - - , n - 1 协3 枷， 出 证明 依次对i = 2 , 3 ，j t9 刀- 1 ，应用关系式( 2 3 - 4 ) ，( 2 3 5 ) 和( 2 3 1 ) ，不难推 同济大学博士学位论文 杈禾一扣甲小卅讹c 办一芸等势鲁托职识一姜簪办， 屺( 一面7 等埘小一心? 芜( 等脚2 - - z ，莠等吁( 2 - 3 - 1 1 ) 和 因为可配成完全平方的二次三项式是非负的，所以必有 z ，妒，一心? ；z 。，一kz ；9 ；d 2 d 2 ( 4 k ) ， ( 2 3 1 2 ) _ j 篁= l 等纺埘j 篁= l ( 等2 j 凯- i 等州( 等o h ：2 ( ) 等 锻， 积， 。 出， 。 ； 斗 从( 2 3 1 1 ) ( 2 3 1 3 ) 式立即推出不等式( 2 3 1 0 ) 成立 ( 2 3 1 3 ) 引理4 假设定理2 的条件成立，并设 形= j 1 蔷i 矿2 去狮，2 ，儿( 2 - 3 - 1 4 ) 则当i = 1 ，2 ，n 一1 时，成立 - z i z i + 1 - 2 n 2 + 警nc 扣新砸，勘( 2 - 3 - 1 5 ) 和 吃2 人+ l + c 2 ( 2 3 1 6 ) 证明 先来证明( 2 3 1 5 ) 当i = 1 时，对巧求导，并使用关系式( 2 3 4 ) ， ( 2 3 1 ) ，( 2 3 5 ) 和( 2 3 6 ) ，容易推出 破= z 。之+ i a - 7 萝 z 。z ：一2 媚+ c 2 4 d i 2 + 上n 万7 ( f 一参) 这表明( 2 3 1 5 ) 在f = 1 的情况下成的其次，假定当f = 2 ，m 时( 2 3 1 5 ) 成立， 则当，= m + 1 时，有 第2 章一类不确定性非线性系统的状态反馈控制 r m + i - - - z m + l z m + 2 - - 2 + c 2 + 警n ( 扣弘等) r ( 一南 这就证明了当i = 1 ，n - 1 时，( 2 3 1 5 ) 式皆成立再来证明( 2 3 1 6 ) ，对圪求 导并利用( 2 3 1 5 ) 可得 吃钇( z n - ! + z n ) _ 2 峨。+ c 2 + 警d 2 + ( 扣缸。等八k 。一旬 ( 2 3 1 7 ) 其中三。可由( 2 3 4 ) 和( 2 3 1 ) 求得 铲o + o r 丸+ 励弧一荛等( x j + l + o r 九慨) 一参r 百o l i n _ 1 一嘉务妒 t lo x ， 。 。 a 目，= lg v y ( 2 3 1 8 ) 将( 2 3 6 ) 、( 2 3 7 ) 、( 2 3 8 ) 和( 2 3 1 8 ) 代入( 2 3 1 7 ) ，化简后得到 吃 0 ，不妨假定占2 2 ( 1 + c 2 ) ，选取 = 2 ( 1 + c 2 ) 占2 ，k = n ( d + e ) 2 4 ( 3 6 ) 设占( ，) 表示参数向量护在时刻t 的估计量，口( f ) = 0 - 0 ( t ) ，毛( 1 f 门) 表 示闭环状态变量，取为 z 15y y ，；五一炸 ( 3 7 ) 乞= m 一一l ， i = 2 ，九 其中口“是变量( y ，莎，心，y r ，j r ，z 卜1 ) ( = 彘l ，一，彘，螽l ，白f ，厶，1 ，l ，一，_ 】r ) 3 1 同济大学博士学位论文 的函数，由下列关系式所确定( y = 鼢。，：l 一，。】r ，刁= 畴：，色：，彭：】7 ) ： = 一( + k ) 而一缸一九j t ( 吵+ 叩) + j c ， 一钆帆一心咆( 等o y2 卅一勃u 沁等+ 8 ， 石d钟 堠：坻+ v 2 ) 等+ f 等叫纽a w , + 耖券，一 f 对于上式中的求和符号( ) ，当f 0 ，存在有限的时间t ( e ) 使得 ly p ) 一y ，o ) i - 占， v t 丁( 占) ( 3 - 1 2 ) 为了证明这个定理，我们先证明几个有关的不等式，它们将在定理的证明中扮 演着重要的角色。 引理1在满足定理条件的前提下，下述不等式成立： z 。( z i - i + z i ) ( - - z i z i + 1 - - 峥引m 静争( 川等 屺c q 一句r 鲁+ 訾瑚3 扩1 ( 3 - 1 3 ) 证明由( 3 - 2 ) 、( 3 - 1 ) 和( 3 - 4 ) 司得 夕= 文l = x 2 + 九l + 97 i 矿+ d l = 曼2 + e 2 + 九l + 臼了y + 吐 ( 3 1 4 ) = 岛2 + 九1 + v 2 + p7 ( j c ，+ 功+ e 2 + d 1 依次对江2 , 3 ，z 一1 应用关系式( 3 - 7 ) 、( 3 3 ) 、( 3 4 ) 、( 3 1 4 ) 和( 3 8 ) ，不难 推出 乙( z i _ 1 1 z 1 ) = z i z l + 1 - n z ；_ ( 歹+ 薯鲁。( m ) 等 + z f ( t 一参厂 - w - 1 一霹可a o t i _ t ) 2 - 砒z 等 ( 3 - 1 5 ) 由于可配成完全平方的二次三项式是非负的，故有 掘( 等) 2 _ z i ”西) 等譬 把( 3 1 6 ) 代入( 3 1 5 ) 立即推出不等式( 3 - 1 3 ) ， 即引理1 的结论成立 引理2假设定理的条件成立，并设 k = 圭( 杰弓+ 土n 狮) ，2 ，z 刚 同济大学博士学位论文 砖钚r 2 k + c 2 + i ( e 2 4 + k 1 i 、j 2 + ( 专万+ 缸争”菇 i = 1 , 2 ，厅一1 和 审，s 一2 n v 七n p | 2 ( 3 1 7 ) ( 3 1 8 ) 让h 月 我1 川书毅字归多丹法采让明小等瓦( 3 。1 7 ) 。百先，当i = 1 时，对k 求导，并使用关系式( 3 7 ) 、( 3 - 1 4 ) 、( 3 8 ) 、( 3 - 9 ) 和n z i ! = 2 m 一万r 歹以及 显然成立的下列不等式 万7 p + 2 痧) = 2 一f l a i l 2 c 2 和 一心；蝎g ：+ 盔) 譬 容易推出 = z + l f f 丁多 = z 。z ：一n z ? 一心? + z 。( 占：+ d 。) + 上n 万r ( 胞。少一参) 、：一2 w + c 2 + 号竽+ 护n 一句 ( 3 - 1 9 ) 这表明不等式( 3 1 7 ) 存i ：1 的情沂。下县成立的。 其次，假定当i = m ( m = 2 ，刀一2 ) 时，不等式( 3 1 7 ) 成立，那么只要推 出当i = m + 1 时，不等式( 3 1 7 ) 式也成立，就完成了( 3 1 7 ) 式中所有n - 1 个 不等式的证明。对圪+ 。求导，并应用归纳法的假定和引理1 以及( 3 9 ) 可以推 出 圪+ i = 乙+ l z m + l + 圪 钇+ 。( z m - i - 7 m + l h 峨+ c 2 + m 譬+ c 挣魏争c 南 第3 章类不确定非线性系统的输出反馈自适应控制 铒制v m + l + c 2 + c 聊州哮+ c 挣弘分c 勘 2 。， 这就说明了当i = m + 1 时，不等式( 3 1 7 ) 成立，从而对所有i = 1 , 2 ，n - 1 ，不 等式( 3 1 7 ) 式皆成立。 最后，对圪求导，开利用小等式( 3 1 7 ) 日j 得 吃= z 。2 。+ 吃一l 。吲乳。圳制圪- 1 + c 2 + ) 譬+ 砖歹+ 孰( 铂一务 ( 3 2 1 ) 其中三。可由( 3 7 ) 两边对时间t 求导，并使用关系式( 3 3 ) 和( 3 1 4 ) 而推出 p f l , , v , , + t r ( y ) u - ( e 2 + d , ) - a - w - 舻”吃可o c t _ 1 ，百a a ! 协2 2 ， 奢智吖等一耖务 将( 3 3 ) 、( 3 9 ) 、( 3 1 0 ) 、( 3 1 1 ) 和( 3 2 2 ) 代入( 3 2 1 ) ，化简后得到 吃 - 2 圪+ c 2 均_ 1 ) 譬一磁( 等) 2 _ _ z n 心+ 哆) 等( 3 - 2 3 ) 当i = 门时应用不等式( 3 1 6 ) ，上式就变成 吃一2 n v + c 2 + ，2 ( 9 2 + d 0 2 ( 4 k ) 一2 n v + c 2 + 刀( d + e ) 2 ( 4 k ) ( 3 2 4 ) 由( 3 6 ) 式可知，行( d + e ) 2 = 4 k ，i + c 2 ：姚2 2 ，所以上式意味着不等式 ( 3 1 8 ) 成立。 定理的证明： 取矿( d = 圪( f ) = 丢喜z ? 。) + 去万飞) 万( m 则利用( 3 - 1 8 ) 式推得 丢( 晰2 令啊) e2 f + 2 n v ( f ) e 2 f 等( 3 - 2 5 ) 对( 3 2 5 ) 式的两端在【o ，t 】上进行积分，并用e - 2 m 乘以不等式的两边得 y ( f ) y ( 。) 一_ 2 c t 9 2 ( 3 2 6 ) 同济大学博士学位论文 其中y ( o ) 0 ，不妨假定y ( o ) 8 , 2 4 ，则可取 丁( s ) ：l n 扣而乃j 显然t ( 6 ) 是有限的，且 矿( o ) 一占2 4 e - 2 m 占2 4 ，v t 丁( 占) ( 3 2 7 ) 由( 3 2 6 ) 和( 3 2 7 ) 立即推出 i y o ) 一y ，o ) i = l z 。o ) i 而厕，v f 丁( 占) ( 3 2 8 ) 即不等式( 3 1 2 ) 成立。 据矿( f ) 的定义和( 3 2 6 ) 式，可知万 ) 和z l ( r ) ，z 。( f ) 在0 f 0 0 上有界， 且它们的有界性不依赖于状态初值x ( o ) r ”和辨识初值莎( o ) r p ，即z l ，一，z 。 和万全局有界，由万、z 1 的全局有界和假定( 3 ) 容易推出莎和y 全局有界。下 面我们来证明闭环系统的所有其余信号都是全局有界的。 考察( 3 3 ) 式，由于y 全局有界，根据假定( 1 ) 和矩阵彳的构成可由( 3 - 3 ) 推出乞( _ ，= 0 , 1 ，p ) 全局有界。分别由( 3 3 ) 、( 3 - 8 ) 和( 3 - 9 ) 得知y l 、q 和 f 。全局有界，并由( 3 - 7 ) 得知吃全局有界，于是w l 和w 2 皆全局有界， 且可由 ( 3 3 ) 推出叱和咖：也全局有界。 因为 等一一k ，雾o y = + k ，等= 1 鲁= 【0 1 ，吖，芳一少一叩tg ) ) 6 付 或为常量或为有界量，所以由( 3 8 )( 3 9 ) 和假定( 3 ) 立即推出口2 和f ：全 局有界， 从而再由( 3 7 ) 得知吃全局有界，于是w 3 和也也全局有界。 又因 为 皇宴蔓：一1 一n ( n + k ) 一k ( n + k ) 3 一 1 + ( + k ) 2 】( y + 7 7 ) r ( y + 7 7 ) 卯 罢蔓：l + ( + k ) + k ( + k ) 3 + 【1 + ( + k ) 2 】( 杪+ 7 7 ) 7 ( y + 7 7 ) c 少， 鲁= 一( + k + 刁) ，象= 城 i 8 a 一2 ：【o ，一一k ，o ，o ，展一一k ，o 】7 历攸 3 6 第3 章一类不确定非线性系统的输出反馈自适应控制 或为常量或为有界量，因此又可由( 3 8 ) 、( 3 9 ) 和假定( 3 ) 推出口3 和f ，全局 有界。 如此逐次递推，不难按顺序推出咋、以、和io = 4 ，n - 1 ) 皆 全局有界；最后再由( 3 7 ) 和的定义得知屹和全局有界。 由于霉纽的前( 2 + p ) 刀一1 个分都是常数( 零也算作常数) ，而最后一个分 o w 量，即第( 2 + p ) n 个分量必定是零，而以前( 2 + p ) n 一1 个分量皆全局有界，所 以根据上述递推论证所得的结果，由( 3 1 1 ) 和假定( 1 ) 立即推出u 是全局有 界的。进一步利用关系式( 3 4 ) 和假定( 2 ) 直接推出曼全局有界，从而有 x ：曼+ e 也全局有界，定理证毕。 注2 若v ( o ) s 2 4 ，则可取定理中的丁( ) = 0 。这表明白适应控制的输 出跟踪精度一开始就达到了预定的要求，展p y ( t ) - y ，( r ) i ，v f 0 。 注3 不等式( 3 2 8 ) 对输出跟踪精度的估计是比较保守的。实际上，偏 差i y ( f ) 一y ，( f ) i 可能比占小得多，而且达到跟踪精度要求的时刻f 可能比丁( ) 早 得多。这可以从下一节的仿真结果中看出。 3 6 仿真例子 例子考虑具有有界扰动的非线性系统 戈l = x 2 + 良? + d l o ) ， 戈2 = u + d 2 ( f ) ， ( 3 2 9 ) 取p = 【5 ，4 】7 ，则可定义如下滤波器 彘= 二三三 彘+ 三 y ，毒= 二三三 磊+ 三 y 2 ，寸= 二三三 v + 三 甜 在假定0 = 1 ，4 ( d = 0 2 s i n ( o 1 n o ，吐( f ) = 0 2 c o s ( 0 1 刃) ，”( f ) = c o s ( o 0 5 n t ) 的情 况下，对系统( 3 2 9 ) 进行输出反馈的鲁棒自适应控制仿真。分别按跟踪精度 q = 0 2 5 和乞= 0 2 来设计自适应律和控制律。可设定c = i ，d = 0 2 ，e = 3 8 ，则由 3 7 同济大学博士学位论文 式( 3 - 6 ) 可算出相应的m = 6 4 和2 = 1 0 0 ( 在模拟计算中，不必完全按照( 3 6 ) 来计算n ，我们取l = 3 2 ，2 = 5 0 ) ，而墨= k 2 = 8 ；采用3 4 中给出的设 计步骤和方法，针对本例而设计的自适应律和控制律分别为 p = n ( y + n z 2 + k z 2 - c o s ( o 0 5 n t ) ) ( y 2 + 孝1 2 ) 一2 n o 和 “= ( 4 - n - k ) v 2 一( 4 + + k ) 4 0 2 + ( 3 一 鸶三一 瞥磊) y 一2 瞥1 2c o s ( 0 0 5 n t ) y 2 2 瞥1 2 y 3 + n c o s ( 0 o s n t ) y 4 一妙5 一【+ k ( + k ) 2 + ( + k ) ( j ，4 + 2 磊2 j ，2 + 晶+ 品) 】z 2 + ( 一k ) ( y 2 + 氧2 ) 否+ ( 1 + 人学三+ 人呼乏一0 0 0 2 5 2 2 ) c o s ( o 0 5 n 0 + ( 1 + 善三+ n 4 乏) c o s ( o 0 5 n 0 0 0 5 z ( n + k ) s i n ( 0 0 5 n t ) 其中 z 2 = y 2 + ( + k ) y + 4 0 2 + ( y 2 + 缶2 ) 目一( + k ) e o s ( 0 0 5 n t ) + o 0 5 t z s i n ( o 0 5 n t ) 仿真结果见图3 1 3 2 。其中图3 1 是按照跟踪精度蜀= 0 2 5 而进行的仿 真结果，闭环系统的输出y ( f ) 几乎与参考信号y ，( f ) = c o s ( 0 0 5 x t ) ，0 r 1 6 0 重 叠，从而图3 1 中y ( t ) + 0 5 和y ，( r ) 。图3 - 2 是跟踪误差曲线，曲线1 和曲线2 分别代表对应于毛= o 2 5 和岛= 0 2 的跟踪误差。图3 2 表明对应子蜀的最大跟 踪误差m a x l z ，l o 0 8 ，而对应于岛的最大跟踪误差m a x | z l l o 0 4 ，都比预期的 跟踪精度小得多。 图3 1 系统的输出曲线与待跟踪的参考信号曲线 第3 章一类不确定非线性系统的输出反馈自适应控制 注4 从仿真结果看出，增大参数n 可使跟踪误差迅速减小，只要按( 3 6 ) 式确定n 和k 的值就能保证跟踪误差比f 小得多。实际上，n 和k 的值取得小 一点，也能使跟踪误差b l 占。 3 7 结论 图3 - 2 跟踪误差曲线 本章设计出一类具有有界扰动的非线性系统的输出反馈自适应控制器，对 干扰和参数的不确定性具有鲁棒性，既能保证闭环系统的全局稳定性，又能使 跟踪误差充分小，而且控制量的大小在容许控制的范围之内，从而很好地解决 了这类不确定性非线性系统的占一跟踪问题。 3 9 第4 章基于状态观测器系统的鲁棒容错控制 第4 章基于状态观测器系统的鲁棒容 错控制 4 1 引言 在控制系统的实际设计中，当系统的传感器、执行器或其它部件发生故障 时，传统的反馈控制设计可能导致不满意的性能，甚至失去稳定性，从而容错 控制的研究得到了广泛的重视。文 5 1 基于参数空间方法设计状态反馈律，文 5 2 】 利用l q r 理论给出了多变量系统具有完整性的设计方法。文 5 3 1 n 用l y a p u n o v 函数方法，给出一种关于模型不确定性鲁棒性的完整性控制器存在的充分条件， 并给出了控制器的设计方法。文 5 4 1 基于一个r i c c a t i 型方程的解设计了使系统 具有完整性的状态反馈律。另外，系统模型不可避免地与实际系统有一定的误 差，确保容错控制律在系统参数不确定时仍然有效也是非常重要的。上述提及 的文献大都没考虑系统的参数不确定性，致使设计的系统不具有鲁棒性，在实 际控制系统中，由于参数不确定性的广泛存在以及系统部件发生故障的不可避 免性，同时考虑这两者对系统控制带来的影响，使鲁棒容错控制问题的研究更 具有实际意义。近年来，容错控制方法大都基于状态反馈。但在实际控制系统 中，由于系统状态有时不容易获得，往往采用状态观测器，故而研究带状态观 测器的容错控制是很有意义的。现在这方面的研究还不太多。文 5 5 研究的是 状态观测器系统的不确定项表现为奇异值有界时，把控制器的设计归结为求解 r i c c a t i 方程。但在实际工业控制系统中，不确定项更多表现为数值界的形式。 本章对上述问题进行了研究，另外本章还讨论了关于区间系统的鲁棒容错控制 问题。结果显示，只要适当选取系统的状态反馈阵k 和观测器参数阵h ，就可 以达到闭环系统的鲁棒稳定性和完整性。在设计方法上，k 及h 的设计被归结 为l m i 的求解，这就大大方便了控制器的设计。事实上，l m i 方法以其高效的 求解以及容易对参数进行优化等优点受到关注，而且在m a t l a b 中有着专门的命 同济大学博士学位论文 令。数值例子表明，本文的方法是可行和有效的。 4 2 具有数值界的不确定系统的鲁棒容错控制 4 2 1 问题描述 考虑如图所示的带状态观测器状态反馈系统。其中对象方程为 观测器方程为 髓 出+ b “( 4 - 2 - 1 ) c x 曼= ( a 一厶) 曼+ b u + h c x 其中a r ”，b r ”。7 ，c r ”。“。 ( 4 2 2 ) 图4 - 1 带状态观测器的状态反馈系统 f i g 4 - 1s t a t e - f e e d b a c ks y s t e mw i t ht h es t a t e - o b s e r v e r 4 1 第4 章基于状态观测器系统的鲁棒容错控制 其中表示所要研究的系统，虚框部分表示观测器系统。 事实上系统模型的参数不可避免地有着定的扰动，故可把对象描述为： j 贾= 【么+ 鲋( ) x + b + a b ( ) 弘( 4 - 2 - 3 ) 【y = 【c + a c ( t ) x 其中a a ( t ) ，凹( f ) ，a c ( t ) 为系统的时变不确定项，它们有如下的数值界： a a ( t ) l l d ，ia b ( t ) l e ，ia c ( t ) l f d ，e ，f 为相应维数的非负实常数矩阵。取控制律为 u = k s c 并考虑传感器失效，引入失效阵 g = q 0 j 0 0 。2 ： 0o o 0 。： o ” ( 0 q 1 ；i = 1 , 2 ，朋) ( 4 2 4 ) 其中o - i 为第i 个传感器有效度，0 0 i = 1 表示传感器正常，正= 0 表示传感器完全 失效，。 q 表示传感器部分失效，记墨= 而吻= x 一毛i = 曼 ，则闭环系统 方程为 古f 毫 i 毫i 彳+ b k + a a + 衄k一( b + 衄) k f x l x 2 【岛j 2 b 一刽21 日( ，一g ) c + a , 4 + a b k h g a c 彳一朋一衄k l 恐j ( 4 2 5 ) 我们的目的是适当选取状态反馈阵k 和观测器参数阵日，使得整